apostila estatistica completa mar 2005 pag_1 90

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - PROF. ARMANDO ANDREAZZA- 2005 1

ESTATÍSTICA – GERAL a APLICADA - PROF ARMANDO ANDREAZZA - 2005 1

UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA

DEPARTEAMENTO DE ADMINISTRAÇÃO E ECONOMIA

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

PROF. Ms. ARMANDO ANDREAZZA

Matemático-Mestrado em Economia-UFRGS/2003 Analista de Valores Mobiliários-APIMEC/CVM-2005 Agente Autônomo de Investimentos-24-11-2004

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RESUMO DOS CONTEÚDOS E EXERCÍCIOS PRÁTICOS

0102030405060708090

1° Trim. 2° Trim. 3° Trim. 4° Trim.

Caxias do Sul, março de 2005.

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PROBABILIDADE e ESTATÍSTICA

Prof. Armando Andreazza CAPÍTULO 1 – CÁLCULO DAS PROBABILIDADDES

1) PROBABILIDADE : É o modelo matemático construído para estudar os fenômenos aleatórios. Sabemos da importância dos experimentos da ciência e da engenharia.

2)FENÔMENOS:

A) DETERMINÍSTICOS: São aqueles cujas mesmas causas geram os mesmos efeitos. EX.: 1) fenômenos de física. 2) gravidade, corrente elétrica.

B) ALEATÓRIOS: (determinísticos ou estocásticos): São aqueles cujas mesmas causas geram efeitos diferentes. Ex.: 1) sorteios 2)loterias 3)produção de peças. 4) pesquisas 5) jogos de dados

3)EXPERIMENTOS: SÍMBOLO: E Experimentos: LANÇAR A MOEDA : JOGAR UM DADO - Se caracterizam pelo fato de não se poder dizem de antemão qual será o resultado que acontecerá. - o resultado só será conhecido após a realização do experimento, embora sejam conhecidos antecipadamente os seus possíveis resultados.

Ex.: 1)lançamento de uma moeda: cara(C) e coroa(K) à {C,K}. 2)jogar um dado: pode resultar as faces à {1,2,3,4,5,6}. 3)máquina que fabrica parafusos: resultados à {defeituoso, não defeituoso} 4)medir "duração da vida” de uma lâmpada: à {0 < t < 6.000}

4) ESPAÇO AMOSTRAL: Símbolo: S No. de elementos do espaço: n(S). É o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório

Total de Resultados Possíveis: 2n Ex.: 1) jogar um dado. S = {1,2,3,4,5,6} N(S) = 6 2) jogar duas moeda. S = {cc, ck, kc, kk} N(S) = 4 Nos exemplos, abaixo, calcule o valor de S e N(S): 1)Loteria Esportiva :_____________________ 2)O sexo de um bebê no 1º mês de vida?:____________________________ 3)Verificar fusível:____________________________________________________ 4)Contagem de chamadas telefônicas p/hora.:_______________________________ 5)Jogar 2 dados.:________________________________________________ 5) EVENTOS : A,B,C,... Um evento é um subconjunto A do espaço amostral S, i.é, é um

conjunto de resultados possíveis. Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Ex.: Seja um DADO à eventos são as faces PARES. Assim, se A e B são eventos, então

1. AU B é um evento “ A, ou b, ou ambos”. 2. AI B é o evento A e B. 3. A é o evento “não-A”. 4. A – B é o evento “A , mas não-B”.





6)TIPOS DE EVENTOS: 1–EVENTOS SIMPLES: formado por um elemento. 2-EVENTOS COMPOSTOS: formado por 2 ou + eventos 3-EVENTOS CERTOS: sempre ocorre na realização do evento 4-EVENTOS IMPOSSÍVEIS: nunca ocorre na real. do evento. 5-EVENTOS COMPLEMENTARES: é formado por todos os elementos do espaço amostral(S), que não pertencem a “A”. 0=∩=∪ AAouSAA 6-EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS: Não podem acontecer ao mesmo tempo e não possuem elementos comuns. Ex.: 1) Moeda: { Cara(C); Coroa(K)} 2) Fusível: { Queimado; Bom} 7- EVENTOS INDEPENDENTES: Podem acontecer simultaneamente, um não depende do outro. Ex.: 1) duas moedas: cara(C) e coroa(K) 2) dois fusíveis: bom e bom. 8- EVENTOS DEPENDENTE OU CONDICIONAIS: - Quando o aparecimento de um deles estiver condicionado, vinculado ou depender do aparecimento anterior do outro. ex.:1) jogar 1 moeda e considerar 3 casos: 3 coroas sucessivas. 2) seja uma urna com 30 bolas: retirar uma bola supondo que seja impar: qual a prob. da próxima ser múltiplo de 3 ? de 5?

9-EVENTO SOMA: A+B OU AUB: é a união de dois ou mais conjuntos.

A = {2,3) B = {4} à AUB = {2,3,4}. É o evento que ocorre se A ou B ou ambos ocorrem.

10-EVENTO PRODUTO: BAouBA int∩ - É a interseção de conjuntos. - É o evento que ocorre se A e B ocorrem. - Ex.: lançar um dado :à A = {2,3,5} (Face com números primos) B = {2} (par } à A inter B = {2} (Primo e Par)

CONCEITO DE PROBABILIDADE

Em qualquer experimento aleatório, há sempre uma incerteza quanto a ocorrência, ou não, de determinado evento. - Seja o espaço amostral S. A probabilidade de ocorrer o evento A. P(A) é uma função definida no S(espaço amostral) que associa a cada evento um número real, satisfazendo os seguintes axiomas:

I) 1)(0 ≤≤ AP II) P(C) = 1 III) P(I) = 0 IU) P(AUB)=P(A)+P(B) Para eventos mutuamente exclusivos (A/\B = 0)





DEFINIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADE: ( A PRIORI)

)()()(

SNANAP = POSSÍVEISCASOSNo

FAVORÁVEISCASOSNoAP.

.)( =

DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE – PROCESSO DE FREQÜÊNCIA – (A POSTERIORI).

∞→= NondeNfiLimAP ,)(

Se após N repetições de um experimento se observam fi repetições de um determinado evento então a probabilidade é fi/n ou fi = fi/n ou P(A)= fi/n

TEOREMAS PRINCIPAIS

I)TEOREMAS DA SOMA: 1º) P( BA ∪ ) = P(A) + P(B)à para dois eventos mutuamente excludentes 2º) P( BA ∪ ) = P(A) + P(B) – P( BA ∩ ) quando φ≠∩ BA à eventos quaisquer II) TEOREMAS DO PRODUTO 3º) P( BA ∩ ) = P(A).P(B) à INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTCA. 4º) P( BA ∩ ) = P(A) P(B/A) à PROBABILIDADE CONDICIONAL P( BA ∩ ) = P(B) P(A/B)

)/()()()(

)()/( BAPBPBAPBP

BAPBAP =⇒= II

)/()()()(

)()/( ABPAPBAPAP

BAPABP =⇒= II

III) TEOREMA COMPLEMENTAR

)(1)( APAP −= OBS.: Para 3 eventos quaisquer: A, B e C 1) P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) - P( BA ∩ ) - P( CA ∩ ) - P( CB ∩ ) + + P( CBA ∩∩ ) 2) Para quaisquer eventos A e B: P(A)=P( BA ∩ )+P( BA ∩ )





VI) TEOREMA DE BAYES

Se A1, A2,...,An, N eventos mutuamente exclusivos, cuja união é o espaço amostral S, isto é, um dos eventos deve necessariamente ocorrer, então, se A é um evento, temos o seguinte teorema:

)/().(...)/().()/().()/(

11 nn

iii ABPAPABPAP

ABPAPBAP++

=

Ex.: 1- Tomamos duas caixas iguais. Na 1ª há 3 bolas brancas e 7 pretas e na 2ª. 1 branca e 4 pretas. Escolhe-se uma caixa ao acaso, seleciona-se uma bola e verifica-se que é branca. Qual é a probabilidade de que a caixa de onde foi extraída a bola seja a 1.ª? COR \ CAIXAà CAIXA 1 CAIXA 2

BRANCA 3 1 PRETA 7 4

1º à SELECIONAR A BOLA BRANCA

2º à P(C1), P(C2): SELECIONAR CAIXA. P(C1) =1/2. P(C2)=1/2. P(B/C1)=3/10 P(B/C2)=1/5.

)/().()/().()/().(

)/(2211

111 CBPCPCBPCP

CBPCPBCP

+= 6,0

53

5/1.2/110/3.2/110/3.2/1)/( 1 ==

+=BCP

Ex.: 2 – Vejamos a seguinte aplicação: CORES \ URNAS U1 U2 U3

PRETAS 3 4 4 BRANCAS 1 3 3

VERMELHAS 5 2 1 9 9 8

Questões: - Escolher uma urna ao acaso e dela extrair uma bola. Verifica-se que é branca. qual a probabilidade de ter vinda da urna: a) U2 b) U3 A) Resp.: P(Ui) = 1/3 pois P(U1) = P(U2) = P(U3). P(Br/U1)= 1/9 P(Br/U2)= 3/9 P(Br/U3)=3/8

4068,05924

8/3.3/19/3.3/19/1.3/19/3.3/1)/( 2 ==++

=BrUP

B) Resp.: P(U3/Br)=27/59=0,457 EXERCÍCIOS - SÉRIE I - CAPÍTULO 1 – PÁG. 23 1. Lance um dado e uma moeda. a) Construa o espaço amostra b) Enumere os seguintes eventos A = {coroa, marcado por número par} B = {cara, marcado por número ímpar} C = {múltiplos de 3} c) Expresse os eventos I) B II) A ou B ocorrem III) B e C ocorrem IV) BA ∪ = BA ∩ d) Quais dos eventos A, B e C são mutuamente exclusivos?





2. Se P(A) = 1/2; P(B) = 1/4 e A e B mutuamente exclusivos, calcular: a) P( A ) b) P( B ) c) P(A∩ B) = d) P(A∪ B) = e) P( BA ∩ ) = P( BA ∪ ) =1 - P(A∩ B) é a 1ª Lei de Morgan

f) )()( BAPBAP ∩=∪ = 1 - P(A∪ B) é a 2ª Lei de Morgan 3. Se P(A)=1/2; P(B)=1/3 e P(A∩ B)= 1/4 Calcule: a) )( BAP ∪ =

b) )( BAP ∪ =

c) )( BAP ∩ = 4. Determine a probabilidade de cada evento: a) um número par aparece no lançamento de um dado não viciado; b) um rei aparece ao extrair-se uma carta de um baralho; c) pelo menos uma cara aparece no lançamento de 3 moedas; d) pelo menos uma cara aparece no lançamento de "n" moedas; e) duas copas aparecem ao retirarem-se duas cartas de um baralho; f) uma carta de copas e uma de ouro aparecem ao extraírem-se duas cartas de um baralho. 5. Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números 1, 2, 3..., 50. Qual a probabilidade de: a) o número ser divisão por 5; b) terminar em 3; c) ser primo; d) ser divisível por 6 ou por 8. 6. Qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de copas, quando retiramos uma carta de um baralho? 7. Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de: a) a soma ser menor que 4; b) a soma ser 9; c) o primeiro resultado ser maior do que o segundo. 7 8. Numa urna são misturadas dez bolas numeradas de 1 a 10. Duas bolas são retiradas (a, b)sem reposição. Qual a probabilidade de a + b = 10? 9. Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e duas com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que: a) ela não tenha defeitos graves; b) ela não tenha defeitos; c) ela ou seja boa ou tenha defeitos graves. 10. Considere o mesmo lote do problema anterior. Retiram-se 2 peças ao acaso. Qual a probabilidade de que:

a) ambas sejam perfeitas; b) pelo menos uma seja perfeita; c) nenhuma tenha defeito grave; d) nenhuma seja perfeita.

11)Uma urna contém 5 bolas brancas e 6 pretas. Três bolas são retiradas. Calcular a probabilidade de:

a) todas pretas; b) exatamente uma branca; c) ao menos uma preta.

12. Numa classe existem 5 alunos do 4º ano, 4 do 2º ano e 3 do 3º ano. Qual a probabilidade de serem sorteados 2 alunos do 2º ano, 3 do 4º ano e 2 do 3º?





13. Numa urna existem N bolas assim distribuídas: Nv (quantidade de bolas vermelhas); Na (quantidade de bolas azuis) e Np (número de bolas pretas). Qual a probabilidade de retirarmos “n” bolas; sendo Nv (nº de bolas vermelhas); Na (nº de bolas azuis) e Np (nº de bolas pretas).

EXERCÍCIOS – SÉRIE II – CAPÍTULO 1 – PÁG.30 1. Dado P(A) = 1/2; P(B)=1/3 ; )( BAP ∩ =1/4, calcular: a) );( BAP ∪ b) P(A/B); c)P(B/A); d) ];/)[( BBAP ∪ 2. Faça A e B serem eventos com P(A)= 1/2 ; P(B)= 1/3 e P(A∩ B)=1/4 Encontre )./()/( ABPeBAP 3. Qual a probabilidade de que r pessoas façam aniversário em dias distintos? 4. As probabilidades de 3 jogadores marcarem um “penalty” são respectivamente 2/3, 4/5 e 7/10. Se cada um “cobrar” uma única vez, qual a probabilidade de:

a) todos acertarem; b) apenas um acertar; c) todos errarem.

5. A probabilidade de fechamento de cada relé do circuito apresentado abaixo é dada por “p”. Se todos os relés funcionarem independentemente, qual será a probabilidade de que haja corrente entre os terminais L e R? +----------| |----------| |-----------+ L | 1 2 | R .---è-----| |-è------. | | ----------| |--------| | -------------

3 4 6. Uma urna contém 12 bolas: 5 brancas, 4 vermelhas e 3 pretas. Outra contém 18 bolas: 5 brancas, 6 vermelhas e 7 pretas. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de que as duas bolas sejam da mesma cor? 7. Numa bolsa temos 5 moedas de R$ 1,00 d 4 de R$ 0,50. Qual a probabilidade de, ao retirarmos duas moedas, obtermos R$ 1,50? 8.Uma urna contém 5 bolas pretas, três vermelhas e duas brancas. Foram extraídas 3 bolas com reposição. Qual a probabilidade de terem sido duas bolas pretas e uma vermelha? 9. A urna nº1 contém: 1 bola vermelha e 2 brancas. A urna no.2 contém:2 bolas vermelhas e 1 branca. Tiramos aleatoriamente uma bola da urna nº1, colocamos na urna nº2 e misturamos. Em seguida tiramos aleatoriamente uma bola da urna nº2. Qual é a probabilidade de tirarmos uma bola branca da urna nº2? 10. A urna 1 contém "x" bolas brancas, e "y" bolas vermelhas. A urna 2 contém "z" bolas brancas e "v" vermelhas. Uma bola é escolhida ao acaso da urna 1 e posta na urna 2. A seguir uma bola é escolhida ao acaso da urna 2. Qual será a probabilidade de que esta bola seja branca? 11. Uma contém 10 bolas pretas e 5 bolas vermelhas. São feitas retiradas aleatórias. Cada bola retirada é resposta, juntamente com 5 bolas da mesma cor. Qual é a probabilidade de saírem nessa ordem: 1 preta, 1 preta, 1 vermelha, 1 vermelha? E nesta ordem: 1 preta, 1 vermelha, 1 preta, 1 vermelha? Dado que a primeira bola é preta, qual é a probabilidade de que a segunda seja preta? 12. Uma caixa A contém 8 peças, das quais 3 são defeituosas e uma caixa B contém 5 peças, das quais 2 são defeituosas. Uma peça é retirada aleatoriamente de cada caixa: I) Qual a probabilidade p de que ambas as peças não sejam defeituosas? II) Qual é a probabilidade p de que uma peça seja defeituosa e a outra não? III) Se uma peça é defeituosa e a outra não, qual é a probabilidade p de que a peça defeituosa venha da caixa A?





13. A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos é 3/4 e de seu marido 3/5. Calcular a probabilidade de: a) apenas o homem estar vivo; b) somente a mulher estar viva; c) pelo menos um estar vivo; d) ambos estarem vivos. 14. Uma urna A contém 4 bolas: 2 brancas, 2 pretas; uma urna B contém 5 bolas: 3 brancas, 2 pretas. Uma bola é transferida de A para B. Uma bola é retirada de B e verificada ser branca. Qual é a probabilidade de que a bola transferida tenha sido branca? 15. São dadas duas urnas A e B. A urna A contém uma bola preta e uma vermelha. A urna B contém duas bolas pretas e três vermelhas. Uma bola é escolhida ao acaso na urna B. Uma bola é então extraída ao caso, da urna B. Pergunta-se:

a) Qual a probabilidade de que ambas as bolas sejam da mesma cor? b) Qual a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha, sabendo-se que a Segunda foi preta?

16. Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Uma bola é selecionada aleatoriamente da urna e abandonada, e duas de outra cor são colocadas na urna. Uma Segunda bola é então selecionada da urna. Encontre a probabilidade de que:

I) a segunda bola seja vermelha; eI II)ambas as bolas sejam da mesma cor. 17. Recorrendo-se ao problema precedente: I)se a segunda bola é vermelha, qual é a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha? II) se ambas são da mesma cor, qual é a probabilidade de que sejam brancas? 18) A urna A contém X bolas vermelhas e Y bolas brancas e a urna B contém Z bolas vermelhas e V bolas

brancas. I) Se uma é selecionada ao acaso, e uma bola é retirada, qual é a probabilidade de que a bola seja vermelha

II) Se uma bola é retirada da urna A e colocada na urna B, e uma bola é retirada da urna B, qual é a probabilidade de que a segunda bola seja vermelha? 19) Uma urna contém X bolas brancas e Y bolas pretas. Extraem-se todas elas. Qual a probabilidade de

que saiam primeiro as brancas e as pretas ? 20) Seja E: lançar dois dados, e A = {(x1, x2)/x1+x2=8} B={(x1,x2)/x1= x2)} Calcular: a) P(A/B) TEOREMA DE BAYES 21. Temos duas caixas: na primeira há 3 bolas brancas e 7 pretas e na 2ª., 1 bola branca e 5 pretas. De uma caixa escolhida ao acaso, seleciona-se uma bola e verifica-se que é preta. Qual a probabilidade de que a caixa de onde for extraída a bola seja a primeira? e a segunda? 22. A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar um carro é 3/4, de B é 1/6 e de C é 1/20. a probabilidade do indivíduo de classe A comprar um carro da marca D 1/10; de B comprar da marca D é 3/5 e de C é 3/10. Em certa loja comprou-se um carro da marca D. Qual a probabilidade de que o indivíduo da classe B o tenha comprado? 23. Em certo colégio, 5% dos homens e 2% das mulheres têm mais do que 1,80 m de altura. Por outro lado, 60% dos estudantes são homens. Se um estudante é selecionado aleatoriamente e tem mais de 1,80 m de altura, qual a probabilidade de que o estudante seja mulher? 24. Três máquinas, A, B e C produzem respectivamente 40%, 50% e 10% do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são 3%, 5% e 2%. Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina B? 25. Apenas uma em cada dez pessoas de uma população tem tuberculose. Das pessoas que têm tuberculose 80% reagem positivamente ao teste Y, enquanto apenas 30% dos que não têm tuberculose reagem positivamente. Uma pessoa da população é selecionada ao acaso e o teste Y é aplicado. Qual a probabilidade de que essa pessoa tenha tuberculose, se reagiu positivamente ao teste?





EXERCÍCIOS - SÉRIE III - CAPÍTULO 1 - PÁG. 34 1. Uma moeda é lançada três vezes. Ache a probabilidade de se obterem: a) três caras; b) duas caras e uma coroa; c) uma cara; d) pelo menos uma coroa; e) nenhuma cara. 2. São lançados dois dados. Qual a probabilidade de: a) obter-se um par de pontos iguais; b) um par de pontos diferentes; c) um par em que o 1º < 2º; d) a soma dos pontos ser um número par; e) obter-se soma 7, se o par de pontos é diferente; f) obter-se soma 6, dado que o par de pontos é igual; g) a soma ser 14. 3. A probabilidade de o aluno X resolver esse problema é 3/5 e a do aluno Y é 4/7. Qual a probabilidade de que o problema seja resolvido? 4. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair o número 5 ou um número par? 5. Um grupo de 15 elementos apresenta a seguinte composição: Homens Mulheres Menores 5 3 Adultos 5 2 Um elemento é escolhido ao acaso. Pergunta-se: a) Qual a probabilidade de ser homem? b) Qual a probabilidade de ser adulto? c) Qual a probabilidade de ser menor e mulher? d) Sabendo-se que o elemento escolhido é adulto, qual a probabilidade de ser homem? e) Dado que a escolhida é mulher, qual a probabilidade de ser menor? 6. Um número é escolhido ao acaso no conjunto {1,2,3,...,20}. Verificar se são independentes os eventos: a) X: o número é múltiplo de 3. Y: o número é par. b) M: o número é primo. N: o número é impar. 7. Um grupo de 100 pessoas apresenta, de acordo com o sexo e filiação partidária, a seguinte composição: SEXO Arena MDB Homens 21 39 Mulheres 14 26 Calcular: a)a probabilidade de um escolhido ser homem; b)a probabilidade de um escolhido ser mulher do partido MDB; c)a percentagem dos partidários do MDB; d)a porcentagem dos homens filiados à Arena; e)se o sorteado for da Arena, qual a probabilidade de ser mulher; f)se o sorteado for homem, qual a probabilidade de ser MDB.





I – EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES - PROBABILIDADE 1. Seja o experimento que consiste na extração de uma carta do baralho. Consideremos o evento A como extração

de um ás, o evento B a extração de um rei. Qual a P de, ao extrair uma carta do baralho, aparecer um ás ou um rei ?

Resp.: 15,38% 2. Seja A o evento consistente na extração de ás e o evento B extração de uma carta de copas. Qual a P de, ao

extrairmos uma carta do baralho, aparecer um ás ou carta de copas? Resp.: 30,7% 3. Seja A o evento que consiste na extração de um ás de um baralho com 52 cartas. Calcular a probabilidade do evento

A e de seu complemento. Resp. a) 7,69% b) 92,30% 4.Extraem-se, com reposição, duas cartas de um baralho com 52 cartas. Qual a P de que ambas sejam de ouro ? Resp.: 6,25% 5. Resolver o problema anterior( no. 4) considerando o experimento, sem reposição Resp.: 5,88 % 6.Uma urna contém 15 bolas numeradas de 1 a 15. Qual a probabilidade de se tirar uma bola marcada por um múltiplo de 3 ou de 5 ? Resp.: 46,7% 7. De posse da letras AAAMMTTEIC, colocadas em uma urna e extraindo as dez letras, qual a probabilidade de se obter a palavra MATEMÁTICA ? Resolver o exercício com e sem reposição das letras retiradas. a) Extração com reposição Resp.: 432/10.000.000.000 b) Extração sem reposição Resp.: 1/151.200 8.Joga-se uma moeda três vezes ( ou três moedas uma vez). Calcular: a) A probabilidade de se obterem exatamente 2 caras? Resp.: 3/8 b) A probabilidade de se obter pelo menos 2 caras ? Resp.: ½

CAPÍTULO 2 – VARIÁVEL ALEATÓRIA

2.1) VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA(V.A.D.) a)DEFINIÇÃO: uma função que associa a cada elemento de um espaço amostral discreto um número real é dita de Variável Aleatória Discreta(V. A. D.) Ex.: 1) moeda è S = {Cara,Coroa} 2) Seja X uma função tal que: X(cara) = 1 X(coroa) = 0 P(X=1) è P(cara) = 1/2 P(X=0) è P(COROA) = 1/2 P(X = x) = ½ ; X= 0, 1 = 0 ; p.qq. outro valor b)FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE TEOREMA: As quantidades P(X=x) constituem um distribuição de probabilidade no sentido de

que: a) 1)(0 << xP ) ∑ =1)(xP c) ∑<

==x

xjxXPxP )()(

è Função de Distribuição de probabilidades de X. P(X) pode ser expressa por uma tabela, gráfico ou fórmula. c) FUNÇÃO DE REPARTIÇÃO - Probabilidade Acumulada Se X uma variável aleatória discreta. Define-se Função de Repartição da Variável Aleatória X, no ponto X, como sendo a Probabilidade de que X assuma um valor menor ou iguala X, isto é: )()( xXPXF ≤=

A função de probabilidade acumulada: FX(x) = P(X≤ x) = )(∑≤xx

ii

xp





Propriedades:

1. )()()( xFdecálculoXPXF iXXi

∑≤

=

2. 0)( =−∞F 3. 1)( =+∞F 4. )()()( aFbFbXaP −=≤< 5. )()()()( aXPaFbFbXaP =+−=≤≤ 6. )()()()( bXPaFbFbXaP =−−=<< Ex.: Admitindo que a variável aleatória X tome os valores 0, 1, 2 com probabilidade 1/3, 1/6, ½ respectivamente. F(x) = 0 se X < 0 F(x) = 1/3 se 10 ≤≤ X F(x) = 1/2 se 21 <≤ X Construir o gráfico de F(x). c) FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE (f.d.p.) Seja X uma variável aleatória contínua. A função densidade de probabilidade f(x) é uma função que satisfaz as seguintes condições: a) f(x) 0≥ para todo xRX ∈

b) ∫ =Rx

dxxf 1)( Além disso, define-se, para qualquer xRemba <

c) ∫=<<b

a

dxxfbXaP )()( Se o valor for X0, tem-se para a função P(X=x0)=0, pois

∫ ===0

0

0)()( 0

X

X

dxxfxXP

d) Quanto à função Repartição, neste caso ela é definida como:

∫∞−

=x

dxxfXF )()(

Ex.: 1) Seja X uma variável aleatória contínua. Com a seguinte função densidade de probabilidade: 2x èpara 0 < X < 1 F(x)= 0 è para qualquer outro valor. Construir os gráficos da função densidade e da função Repartição. CHANCE: Chance a favor de um evento é igual a razão do número de resultados favoráveis para um número de resultados não-favoráveis. Ex.: 1) 10 bolas è 8 vermelhas e 2 verdes.

P(VERDE) = 51

282

=+

èPROBABILIDADE

èCHANCE A FAVOR DE VERDE = 2: 8 1 : 4 ou “ um para quatro”





1) (v.a.d.)è Tomemos a distribuição do número de crianças do sexo masculino em famílias de 4 filhos: 0, 1, 2, 3, 4. as probabilidades correspondentes são: P(0)=(1/2)4 = 1/16 P(2) = 6. (1/2)4 = 6/16 P(4)=(1/2)4 = 1/16 P(1) = 4. (1/2)4 = 4/16 P(3)=4. (1/2)4 = 4/16 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE: Xi P(Xi) TOTAL 0 1/16 1 4/16 2 6/16 3 4/16 4 1/16 ∑= 1

2.2 - MEDIDAS DE POSIÇÃO: ESPERANÇA MATEMÁTICA OU MÉDIA 2.2.1) - V. A . DISCRETA: µµ ==== ∑∑ Xii XPXXPXE )(..)( O valor esperado de uma variável aleatória discreta X é definida como: a) E(X) = ∑

xx.P(x) b) E(K)=K c) E(K.K)=K.E(K) d)E(K±Y)=E(X) ±E(Y)

e) E(aX±b)=aE(X) ±b

2.2.2) - V.A. CONTÍNUA: ∫∞

∞−=== dxxxfXE X )()( µµ

2.2.3 - DESVIO-PADRÃO/VARIÂNCIA.

2.2.3.1- V.A. DISCRETA: )(.)()( 2iii XPXXXVAR −=∑

2.2.3.2 - V. A. CONTÍNUA: dxxfXXXVAR i )()()( 2∫∞

∞−−=

2.3 – SOMA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS:(Combinação Linear) 2.3.1 - A média da soma ou da diferença de duas v. a. é a soma ou a diferença das médias.

YXYXYXYX OUXXX µµµ ±=±= ±± 2.3.2 – A variância da soma ou a diferença de duas v. a. independentes é a soma das respectivas variâncias:

22222 )()()( yxyxouYXYX σσσσσσ +=+=± ±

Ex.: 1) 10== yx µµ ou 201010 =+=+ yxµ

2) 24,4333 22 =+=⇔=+′ +YXYX σσσ





2.4. Variância

a)σ2 = ∑ [(X - µx)2]/N = ∑x

(X - µx)2 Px(X)

b) VAR(K)=K c) VAR(K.K) = K2.VAR(X) Para dois valores ( X e Y): d) VAR(X±Y)=VAR(X) + VAR(Y) ± 2COV(X,Y) e) VAR(aX±b) = a2.var(X) f) VAR(X) = E(X2) – {E(X)}2 g) )(XVARx =σ O desvio-padrão, σx, é a raiz quadrada positiva da variância.

2.4.1 -Variância de uma Variável Aleatória Discreta (Fórm. Alternativa): σ2= ∑

x

x2P(x) - µ2

2.5. Covariância Seja X uma variável aleatória com média µX , e seja Y uma variável aleatória com média µY. O valor esperado de (X - µX)(Y - µY) é chamado covariância entre X e Y, denotado COV (X,Y). Para variáveis aleatórias discretas,

COV (X,Y) =N

YYXX∑ −− ))(([( ou COV(X,Y) = E(X.Y) – E(X). E(Y)

Se X e Y são independentes è COV(X,Y) = 0

2.6. Correlação YX

YXCOVσσ

ρ.

),(=

2.7. Somas e Diferenças de Variáveis Aleatórias Sejam X e Y var. aleat. com médias µX e µY e var. σ2

X e σ2Y . As propriedades resultantes são:

E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(X) + c V(aX + bY + c) = V(X)a2 + b2V(Y) + 2abCov(XY)

2.8 - Variáveis Aleatórias Contínuas

2.8.1- badxxfbXaPb

a<⇔=<< ∫ )()(

2.8.2 - CONCEITO DE INTEGRAL

a) ∫∞

∞−= 1)( dxxf b) ∫ === 0

0

0)()( 0

X

XdxxfxXP

c) 0)( 0 ==xXP d) )()()( aFbFbXaP −=<< e) TODAS AS PROBABILIDADE. ABAIXO SÃO IGUAIS: )()()()( bXaPbXaPbXaPbXaP <<=<≤=≤<=≤≤

2.8.3) f(x) é f.d.p. se

=

≥

∫∞

∞−

1)(.2

0)(.1

dxxf

xf ∫=≤≤b

a

dxxfbxaP )()(





2.8.4) ∫∞

∞−

= dxxfxxE )(.)( 9.3) dxxfxxVAR )(.)()( 2∫∞

∞−

−= µ

2.8.5) { }222 )()()( XEXEXE −=

2.8.6 Teorema Tchebychev P ( )X(EX − ≥ K) ≤ [V(X)]/K2 ou P ( )X(EX − < K σX ) ≥ 1-(1/ K2) 2.9- TÉCNICAS DE CONTAGEM 2.9.1. PRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO. Se há "n" decisões seqüências cada uma com "m" escolhas, o número total de resultados

possíveis é: 323.594.1313 =→NM Ex.: Um teste com 20 questões V ou F qual a p(acertar teste)=

576.040.11

2120 =

2.9.2. PRINCIPIO FUNDAMENTAL Se um evento pode acontecer de qualquer um de “N1” modos e se, quando ocorrer um outro evento pode realizar-se de qualquer um dos “N2” modos então o número de maneiras segundo as quais ambos os eventos podem ocorrer numa determinada ordem será: N1 . N2 Ex.: Se há 3 candidatos a governador e 5 a prefeito, os dois cargos podem ser preenchidos de: 3 x 5 = 15 modos 2.9.3. FATORIAL(!): Fatorial de N representado por N! é definido por: N!=N(N-1)(N-2).....1 ONDE 0! = 1àPor definição Ex.: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 2.9.4.PERMUTAÇÕES ( ARRANJOS) 2.9.4.1-PERMUTAÇÕES DE N OBJETOS: N! 2.9.4.2-PERMUTAÇÕES COM r ELEM. e ”N”

I) )!(!

, rnnPP r

nrn −== II)

)!(!

, rnnAA r

nrn −==

OBS.:1-Número de "permutações de “N” objetos é número de maneiras pelas quais os objetos podem ser arranjados. 2-Permutação é um arranjo quando utiliza a "totalidade" dos elementos.( n = r) 2.9.5-PERMUTAÇÃO C/REPETIÇÕES:

n

nk

NNNAOndeNNNN

nnnnnPn

+++=

=

...!!....!!

!,...,,,

21

321321

2.9.6. COMBINAÇÕES: FatorialRRN

NC NR

RN =>⇔

−= )(

!)!(!





Uma combinação de "N" objetos diferentes, tomados “R” de cada vez, e uma escolha de “R” dos ”N” objetos, não se levando em consideração a "ordem" de sua disposição. 2) nCr = nCn-r ===> 20C17 = 20C3= 148.1

3.2.118.19.20 = (*) Usando Taxas Complementares

2) 10 =nC 3) 1=nnC 4) nCn =1

EX. 1- Qual o número de combinações das letras: A, B e C, tomadas 2 de cada vez.

)(,,322.323 2

3 BAABBCACABCC =→⇒===

note-se: AB é a mesma combinação do que BA mas não é a mesma permutação(arranjo). 2.9.7. DIAGRAMA DA ÁRVORE Questões Nº1 Nº 2 Nº 3 RESULTADOS V VVV V F VVF V V VFV F F VFF * V FVV F V F FVF V FFV F F FFF Nº DE QUESTÕES-TOTAIS ( total de resultados para V e F); 2n n=2 è 22=4 n=3è23=8 n=5 è 25=32 2.10 - EXERCÍCIOS: 1.Num torneio há 4 times de futebol. De quantas maneiras pode apresentar-se o resultado final? Resp.: 24 2.Quantos números distintos com 3 algarismos cada, podemos formar com os dígitos 1,2,3 sem que nenhum dígito seja repetido em cada número. Resp.: 3!=6 3.Cinco colegas saem de férias numa longa viagem de automóvel. Todos sabem dirigir. De quantas maneiras diferentes podem sentar-se esses amigos? Resp.: 120 4. Quantos números distintos com 10 algarismos podemos formar com os dígitos de 0 a 9. Resp.: 3.628.800 5. Quantos números distintos com 2 algarismos podemos formar com os dígitos 1,2,34, sem que nenhum dígito seja repetido em cada número. Resp.: 12 6. De quantas maneiras 8 pessoas podem sentar num banco se existem somente 4 lugares disponíveis?

Resp.: 1.680 7.Um campeonato de futebol é disputado por 16 clubes. De quantas maneiras distintas esses clubes podem classificar-se nos três primeiros lugares. Resp.: 3.360





8.Quantas permutações distintas de 3 letras podemos formar com as letras RRRRUUUN? Resp: 280 9. Quantos comitês distintos, de 3 pessoas de cada, podemos formar com um grupo de 10 pessoas. Resp.: 120 10. A partir dos dígitos 1,2,3 e 4, forma grupos distintos de números com 2 algarismos cada, em que os grupos difiram entre si apenas pelos dígitos que compões, sem se levar em conta a ordem dos mesmos. Resp.: 6 2.9.8 -EXEMPLOS DE APLICAÇÃO(Esperança Matemática) 1. Um empreiteiro faz a seguinte estimativa. Prazo de execução Probabilidade 10 d 0,30 15 d 0,20 22 d 0,50 Resp.: 17 dias 2. Suponha-se que uma loja tenha compilado os seguintes dados sobre vendas de televisores: ( Xi)) No. Vendidos P(x) =Freq. Relativa 0 0,20 1 0,30

2 0,30 3 0,15 4 0,05 Resp.: 1.55 televisores

3. Um investidor julga que tem 40% de probabilidade de ganhar de R$ 50.000,00 e 60% de probabilidade de perder R$ 30.000,00 num investimento. Seu ganho esperado é: Resp: R$ 2.000,00 4. Um empreiteiro faz as seguintes estimativas: Prazo de Execução Probabilidade 20 d 0,30 10 d 0,20 25 d 0,50 Resp.: 20,5 dias 5. Suponhamos que seja jogada uma moeda com P(K) = 0,60 e P( C ) = 0,40. Aqui temos uma distribuição de probabilidade diferentes para uso o no. de caras em duas jogadas da moeda. Resp.: E(K) = 1,2 caras 6. Uma família com 3 filhos . Qual a Probabilidade de nascer menina ? ou menino?

a) Construir a tabela de Distr. de Probabilidades b) Calcular a média e o desvio padrão. c) Construir o diagrama da árvore.

7. Determinar a constante “C” de modo que a função: Cx2 , 0 < X < 3 a) f(x) = 0, em caso contrário. Resp.: C = 1/9 b) Calcule P( 1 < x < 2) Resp.: 7/27 8. Uma variável aleatória tem a seguinte densidade de probabilidade : x < 0 , f(X) =0 0≤ x<1, f(x) = kx2 x≥ 1, f(x) = 0 Resp.: 3 9) Seja x uma v. a. c., com a seguinte função densidade f(x) = 0 para x < 0 f(x) = 3x2 para 0 < x < 1 f(x) = 0 para x > Calcular: E(x), VAR(x) e DESVIO-PADRÃO.





a) 43|

4333.)( 1

0

41

3

31

0

2 ==== ∫∫xdxxdxxxXE

b) 8033)4/3()()()( 21

0

22 =−=−= ∫∫ dxxxdxxfXXXVAR

c) DESVIO-PADRÃO: 19,08/3)( ==xσ

EXERCÍCIOS - SÉRIE III - CAPÍTULO 2 - PÁG. 59 1. Considere a seguinte distribuição conjunta de X e Y: x y -2 -1 4 5

1 0,1 0,2 0 0,3 2 0,2 0,1 0,1 0

a) achar as distribuições marginais de X e Y; b) Calcular E[X], E[Y] e E[X, Y] ; c) Calcular a covariância entre X e Y; d) Calcular σx e σy ;

e) Calcular ρxy; f) As variâncias são independentes? Por quê? 2. Sejam M e N duas variáveis aleatórias com as seguintes distribuições:

N 5 10 12

P(N) 0,3 0,5 0,2

a) achar a distribuição conjunta de ( M,N ); b) calcule E[M] e E[N]; c) calcular σ(M) e σ(N); d) qual é o valor de ρMN ? por quê ?

M 1 3 PM) 0,6 0,4





Capítulo 3 – MODELOS DE DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE (LEIS ou MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DISCRETAS) 3.1- LEI ou DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI. DEFINIÇÃO: Experimento de Bernoulli é o experimento aleatório e, que tem somente dois resultados possíveis: - sucesso ( s) - insucesso(fracasso)(i) S = {S, I} P(x) à X àX1 = 1 (sucesso = p) P(x1) = p X àX2 = 0 (fracasso = q ) P(X2) = 1 –p = q µ = E(x) σ2 = p.q

xx qpxXP −== 1.)( ou P(X=x) = px (1-p)1-x E(X) = p VAR((X) = p.q

3.2 - LEI OU DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL - ( COM REPOSIÇÃO ) DEFINIÇÃO: é o experimento aleatório de “Bernoulli” repetido “N” vezes (tentativas), sempre nas mesmas condições , no qual se podem ocorrer duas alternativas, ou seja: 1. N provas (tentativas) independentes e do mesmo tipo, são realizadas. 2. Cada prova(tentativa) admite dois resultados – sucesso ou fracasso. 3. A probabilidade de sucesso em cada prova é: “ P ” e de fracasso é: “ 1 – p = q ”.

xnxn

xxnxx

n qpxXPOUqpCxXP −− ==== )()()( MÉDIA DA BINOMIAL: pnx .)( =µ

VARIÂNCIA DA BINOMIAL: qpnx ..)(2 =σ

Ex.1 - Jogando a moeda 4 vezes. Supondo-se que cara seja sucesso. Qual a probabilidade de obter X = 3, isto é, 3 caras). Dados: N = 4 X = 3 P = ½ Q = ½

Resp.: P(3) = ¼ = 0,25 2 – Uma prova com 6 questões, cada uma com 5 alternativas. Quem acertar 3 ou mais questões é considerado aprovado. Um aluno não se preparou para a prova. Qual é a probabilidade de ser aprovado ? Resp.: P(X≥3)=p(3)+p(4)+p(5)+p(6) = 9,89% 3 - Numa prova com 10 questões, com as alternativas V ou F (2 alternativas: sucesso ou fracasso). Qual a Probabilidade de tirar 5 ou mais ? Resp.: PX ≥ 5) = 0,6231 ou 62,31% . 4- Qual a probabilidade de acertar na loteria esportiva( no chute).

6272.000.000,0323.594.1

1)32()

31()13( 01313

13 ==== CXP

3.3 - Distribuição Multinomial ou Polinomial(com reposição – independentes) - é uma generalização da distribuição binomial

- é uma das mais importantes distribuições da variável discreta . - considerando um experimento e, seu espaço amostral s, e uma partição de s, em k

eventos mutuamente exclusivos a1,a2,a3,....ak,( isto é, um somente um, dos eventos ai ocorrerá. repetindo e experiência “n” vezes, temos





Sejam “N” provas, com a probabilidade de A1 ocorrer X1 vezes, A2 ocorra X2 vezes,...Ak ocorra Xk vezes, então a P é igual a:

kXk

XX

kk ppp

XXXnXXXP ....

!!...!!),...,( 21

2121

21 = (permutações c/repetição)

Ex.1. Numa caixa existem 5 bolas vermelhas, 3 azuis e 2 brancas. Selecionando-se, ao acaso e com reposição 4 bolas dessa caixa, calcular a probabilidade de encontrarmos:

a) 2 vermelhas, 1 azul e 1 branca.

∑

∑=++=

====++=

12,03,05,0102

103

1054112 321

3

1

i

i

p

oupppeX

18,0)2,0()3,0()5,0(!1!1!2

!4)1,1,2( 112321 ===== xxxXXXP

b) 3 vermelhas e 1 azul.

15,0)2,0()3,0()5,0(!0!1!3

!4)0,1,3( 013321 ===== xxxXXXP

3.4 - MODELO OU DISTRIBUIÇÃO DE POISSON - (Lei da Eventos Raros)

Conceito: é uma extensão do modelo binomial, quando o número de provas n tende ao infinito. Em muitos casos, conhecemos o no. de sucessos, porém se torna difícil e, as vezes, sem sentido, determinar o número de fracassos ou no. total de provas.

Ex.: O No. de emendas num rolo de fita colante. Poderemos determinar quantas emendas possui, porém não sabemos contar quantas emendas não ocorreram?

tondeex

xXPouex

xXPxx

..!

)(.!

)( λµλµ λµ ===== −− λσϖ === 2.pn

!.)(xexXP

x µµ −

== P(X=x) = (e-λ λx)/x! E(X) = λ VAR(X) = λ

Ex.: 1- Há um defeito em cada 250 m de tecido. Qual a probabilidade que na produção de 500. Haja:

a) Nenhum defeito P(X=0) = 13,534% b) Mais de 1 defeito P(X>1) = 1 – [P(x=0) + P(X=1)]=59,398 c) Se a produção é de 500 m, num período de 60 dias de trabalho, em quantos dias podemos

esperar a produção sem defeito. Resp.: P(X=0 dias) = P(X=0) . 60 = 8 dias 2. O número de ligações telefônicas, por unidade de tempo é 5 . Qual a P de Ter recebido 10 chamadas.

Resp.: P(X=10) = 0,018 ou 1,8% 3.5 - DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA

(TEORIA DAS FILAS – ENVOLVE MODELO DE BERNOULLI) Qual a Probabilidade de que sejam necessárias “n” provas independentes para se obter o primeiro sucesso, quando o sucesso em cada prova é P ? - Logo X: número de tentativas necessárias ao aparecimento do primeiro sucesso. - Diferença da Binomial: O Experimento E é realizado até que A ocorra pela 1ª vez. Na binomial o no. de repetições é predeterminado, neste é um número aleatório.:





Ex.: 1)Fábrica: número de itens produzidos até que surja um item defeituoso. 2)Jogos: no. de partidas jogadas(ganhas) até perder-se a 1ª. 3)Chegada de clientes: lapso de tempo entre duas chegadas(filas, guichê, semáforo, .. ) A variável tempo é contado como variável discreta. 4) Telefone: tempo de espera para uma chamada telefônica.

1.)( −== xqpxXP ou f(x) = p(1-p)x-1 para x = 1, 2,..., ∞

a) Média e Desvio padrão:

221

pqe

p== σµ

Ex.: 1)Em uma determinada localidade a P de ocorrência de tempestade(tormenta) em dia de verão(dez, jan e fev) é de 0,1. Admitindo-se a independência de um dia para outro, qual é a probabilidade de ocorrer a 1ª tempestade na estação de verão no dia 24 de janeiro. Solução: Seja X o No. de dias ( verão começa em 21 de dez.) Verão: 21/12 a 24/01 àX = 34 dias a) p =0,1 q = 1-p q=0,9 X = 1,2,3, ..., 34 Resp.: %3,0003,0)9,0)(1,0()34( 134 ouXP === − 2) Num programa de rádio, fazem-se perguntas aos ouvintes, que respondem por telefone e a

resposta correta ganha um prêmio. Em geral 15% dos que respondem acertam as questões. a) Qual a P de que a 8ª pessoa a telefonar ganhe um prêmio? Resp.: 4,81% b) Qual a P de que o próximo seja ganho por um dos primeiros 5 a telefonar? Resp.: 55,6% c) Qual é o No. médio de telefonemas necessários para o prêmio ser ganho? Resp.: 7 tel.

3.6 DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA (Sem Reposição). Conceito: 1. Seja o seguinte problema: uma urna contém 50 bolas, sendo 40 brancas e 10 pretas. Tirando-se 5 bolas, qual a probabilidade de saírem 2 pretas?

Solução: 3.6.1 – Com Reposição ( utiliza-se a binomial) P(2) = 2048,0)8,0.()2,0).(25( 32 =

3.6.2 – Sem Reposição: usa-se o modelo Hipergeométrico.

nN

xnXN

xX

CCCxXP

−−==

.)( ou

−−

==

nN

xnrN

xr

xXP )(

onde N = No. total de Bolas de uma urna X = Total de Bolas Pretas – No. de sucessos da população n = extraem-se n bolas - No. de bolas extraídas x = probabilidade de entre elas haver x bolas pretas –

2098,0.)2( 550

251050

210 ==

−−

CCCP

E(X) = n.p Nrp =

1)()1()(

−−

−=N

nNpnpXVAR





2. Suponha que uma urna contenha 200 bolas brancas e 100 pretas e que a probabilidade de se extrair qualquer bola é a mesma. Pede-se: a) Em três extrações obtermos duas bolas pretas e uma branca.( Sem reposição) Resp.: 22,2 % b) Obter uma ou duas pretas . Resp.: 66,9%

3.7. Pascal: Quando um experimento aleatório é repetido independentemente até que um evento

A ocorra pela n-ésima vez.

rkr qprx

xXP −

−−

==11

)( 2

)()(prqXVARe

prXE =

Ex.1)A probabilidade de que um evento, por ex.: um sinal de trânsito esteja aberto numa esquina é 0,20. Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 10 vezes para encontrá-lo aberto pela 4ª vez?

Solução: r = 4 p=0,20 q=0,80 03523,0)80,0.()20,0(39

)10( 64 =

==XP

EXERCÍCIOS - SÉRIE I - CAPÍTULO 3 - PÁG. 68 Distribuição Binomial. 1. Uma moeda é jogada 10 vezes. Calcular as seguintes probabilidades: a) de ocorrer 6 caras; b) de dar pelo menos 2 caras; c) de não dar nenhuma coroa; d) de dar pelo menos uma coroa; e) de não dar 5 caras e 5 coroas. 2. Admitindo-se que os nascimentos de meninos e meninas sejam iguais,calcular a probabilidade de um casal com 6 filhos ter 4 filhos homens e 2 mulheres. 3. Em 320 famílias com 4 crianças cada uma, quantas se esperaria que tivessem: a) nenhuma menina; b) 3 meninos; c) 4 meninos. 4. Qual a probabilidade de obter ao menos uma vez o ponto 3 em "n" jogadas de um dado? 5. Um time X tem 2/3 de probabilidade de vitória sempre que joga. Se X jogar 5 partidas, calcule a probabilidade de: a) X vencer exatamente 3 partidas; b) X vencer ao menos uma partida; c) X vencer mais da metade das partidas. 6. A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 1/3. Se ele atirar 6 vezes, qual a probabilidade de: a) acertar exatamente 2 tiros? b) não acertar nenhum tiro? 7. Num teste do tipo certo-errado, com 100 perguntas, qual a probabilidade de um aluno, respondendo as questões ao acaso, acertar 70% das perguntas? 9. Se 5% das lâmpadas de certa marca são defeituosas, achar a probabilidade de que, numa amostra de 100 lâmpadas, escolhidas ao acaso, tenhamos: a) nenhuma defeituosa; b) 3 defeituosas; c) mais do que 1 boa. 10. Aplique a definição de Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta para provar que a média de uma binomial é n.p e a variância n.p.q.





Distribuição Multinomial 11. Jogue um dado 8 vezes. Calcule a probabilidade de aparecer 2 números 2; 2 números 5 12. As lâmpadas coloridas produzidas por uma fábrica são 60% verdes, 30% azuis e 10% amarelas. Em 5 lâmpadas, encontre a probabilidade de que 2 sejam verdes, 1 azul e 2 amarelas. 13. O sangue humano foi classificado em 4 tipos: A, O, B e AB. Numa certa população, as probabilidades destes tipos são respectivamente: 0,40; 0,45; 0,10 e 0,05. Qual a probabilidade de que em 5 indivíduos escolhidos ao acaso haja: a) dois do tipo A e um de cada um dos outros? b) três do tipo A e dois do tipo O? Distribuição de Poisson 14. Uma fábrica de pneus verificou que ao testar seus pneus nas pistas, havia em média um estouro de pneu cada 5.000 km. a) Qual a probabilidade que num teste de 3.000 Km haja no máximo um pneu estourado? b) Qual a probabilidade de que um carro ande 8.000 Km sem estourar nenhum pneu? 15. Certo posto de bombeiros recebe em média 3 chamadas por dia. Calcular a probabilidade de: a) receber 4 chamadas num dia; b) receber 3 ou mais chamadas num dia. 16. A média de chamadas telefônicas numa hora é 3. Qual a probabilidade de: a) receber exatamente 3 chamadas numa hora? b) receber 4 ou mais chamadas em 90 minutos? 17. Na pintura de paredes aparecem defeitos em média na proporção de 1 defeito por metro quadrado. Qual a probabilidade de aparecerem 3 defeitos numa parede de 2 x 2 m? 18. Suponha que haja em média 2 suicídios por ano numa população de 50.000. Em uma cidade de 100.000 habitantes, encontre a probabilidade de que em um dado ano tenha havido: a) 0; b) 1; c) 2; d) 2 ou mais suicídios. 19. Suponha 400 erros de impressão distribuídos aleatoriamente em um livro de 500 páginas. Encontre a probabilidade de que uma dada página contenha: a) nenhum erro; b) exatamente 2 erros. 20. Uma loja atende em média 2 clientes por hora. Calcular a probabilidade de em uma hora: a) atender exatamente 2 clientes; b) atender 3 clientes.





CAP. 4 - MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES CONTINUAS 4.1 Distribuição Uniforme ou Retangular Se X é uma variável uniformemente distribuída no intervalo [a, b] a sua função densidade é dada por:

≤≤−

=

=

bxaparaab

xf

badeforaxparaxf1)(

],[0)(

Sua função Repartição é:

≥=

<≤

<=

bx para1F(x)

bxaparaa-ba-x=F(x)

a x para 0 F(x)

Média: 2

bax

+=µ Variância:

12)( 2

2 abx

−=σ

4.2 DISTRIBUIÇÃO NORMAL – (Gauss-deMoivre – Laplace) O estudo da chamada distribuição normal iniciou-se no século XVII, quando se começou a observar que, se um objeto fosse pesado repetidamente, os pesos observados não eram idênticos, havendo uma variação entre as medidas. Se um número razoável de medições fosse feito, a distribuição das observações apresentam um padrão regular, hoje reconhecido como sendo o da distribuição normal. Erros de observações de características diversas também seguiam o mesmo padrão. De fato, a distribuição era inicialmente identificada como “curva normal de erros”. Esta curva, originada por deMoivre em 1733, foi também estudada por Laplace e Karl Frederich Gauss (1777-1868). Como base nos trabalhos de Pascal (1623-1662), de Fermat(1601-1665), e Bernouilli(1654-1705), Abraham de Moivre(1667-1754) foi capaz de mostrar que a curva matemática que modela esse tipo possui a seguinte expressão:

2)(21

22

21),;(),(: σ

µ

πσσµσµ

−−

=x

exfondeNX , para - ∞ <x< ∞

Onde os seus parâmetros são a média µ da população e o desvio-padrão σ da população. Qualquer distribuição de Gauss-deMoivre-Laplace de média µ e desvio-padrão σ, mediante a transformação linear.

f(x) = 22

1

πσe

2x2

1

σµ−

− - ∞ <x< ∞ E(X) = µ V(X) = σ2

Se X= N(µ , σ2 ) ou X: N(µ , σ2 ), Z = (X - µ) / 2σ segue Z~N(0,1) ou Z:N(0,1);

P(a<X<b) = P

σµ−

<<σ

µ− bZa

4.3 APROXIMAÇÃO NORMAL DA DISTRIB. BINOMINAL OU CORREÇÃO DE CONTINUIDADE

Na prática uma variável contínua só pode ser expressa por valores discretos, por causa da limitação dos instrumentos de medida . Além disso uma variável discreta pode se tratada como contínua desde que o nº de observações seja muito grande. Em ambos os casos somos obrigados a fazer uma correção de continuidade. A correção de continuidade é feita somando-se ou subtraindo-se 0,5 conforme o caso.





4.4 Distribuição Exponencial

<=>≥= −

00)(00)(

tsetftseetf t λλ λ

2

1)(1)(λλ

== tVARtE

f(t) t0 t EXERCÍCIOS - SÉRIE I - CAPÍTULO 4 - PÁG. 84 Distribuição Uniforme. 1. Um ponto é escolhido ao acaso no segmento de reta[1,4]. Calcular:

a) probabilidade de que o ponto escolhido esteja entre 2 e 3; b) entre 0,5 e 2,5; c) seja exatamente o 2; d) a média dessa distribuição; e) a variância dessa distribuição.

Distribuição Normal 4. Faça Z uma variável com distribuição normal padronizada e encontre:

a) )44,10( ≤≤ zP b) P(-0,85 < z < 0)

c) P(-1,48 < z < 2,05) d) P(0,72 < z < 1,89) e) P(z ≥1,08) f) P(z ≥ -0,66) g) P(|z|≤ 0,5) 5. A duração de um certo componente eletrônico tem média 850 dias e desvio-padrão 45 dias. Calcular a probabilidade desse componente durar: a) entre 700 e 1.000 dias; b) mais de 800 dias; c) menos que 750 dias; d) exatamente 1.000 dias. e) Qual deve ser o número de dias necessários para que tenhamos de repor no máximo 5% dos componentes? 6. Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média 65,3 kg e desvio-padrão 5,5kg. Encontre o número de alunos que pesam: a) entre 60 e 70 Kg; b) mais que 63,2 Kg. 7. Suponha que as notas de uma prova sejam normalmente distribuídas com média 73 e desvio-padrão 15. 15% dos alunos mais adiantados recebem a nota A e 12% dos mais atrasados recebem nota F. Encontre o mínimo para receber A e o mínimo para passar, não receber F.





8. Uma fábrica de pneumáticos fez um teste para medir o desgaste de seus pneus e verificou que ele obedecia a uma distribuição normal, de média 48.000 Km e desvio-padrão 2.000 km. Calcular a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso: a) dure mais que 46.000 km b) dure entre 45.000 e 50.000 km. 9. X é uma variável aleatória contínua, tal que X = N(12,25). Qual a probabilidade de uma observação ao acaso: a) ser menor do que -3; b) cair entre -1 e 15. 10. O salário semanal dos operários industriais são distribuídos normalmente em torno de uma média de R$180,00 com desvio-padrão de R$25,00. Pede-se: a)encontre a probabilidade de um operário ter salário semanal situado entre R$ 150,00 e R$ 178,00; b)dentro de que desvios de ambos os lados da média, cairão 96% dos salários? 11. Certo produto tem peso médio de 10g e desvio-padrão 0,5g. É embalado em caixas de 120 unidades que pesam em média 150g e desvio-padrão 8g. Qual a probabilidade de que uma caixa cheia pese mais que 1.370 g? 12. Determinada máquina enche latas baseada no peso bruto com média 1kg e desvio-padrão 25g. As latas tem peso médio de 90g com desvio-padrão 8g. Pede-se: a) a probabilidade de uma lata conter menos de 870g de peso líquido; b) a probabilidade de uma lata conter mais de 900g de peso líquido. 13. Um avião de turismo de 4 lugares pode levar uma carga útil de 350kg. Supondo que os passageiros têm peso médio de 70kg com distribuição normal de peso e desvio-padrão 20Kg, e que a bagagem de cada passageiro pese em média 12Kg, com desvio-padrão 5Kg e distribuição normal do peso. Calcular a probabilidade de: a) haver sobrecarga se o piloto não pesar os 4 passageiros e respectiva bagagem; b) que o piloto tenha de tirar pelo menos 50 kg de gasolina para evitar sobrecarga. 14. Em uma distribuição normal, 28% dos elementos são superiores a 34 e 12% inferiores a 19. Encontrar a média e a variância da distribuição. 15. Seja Y uma função tal que Y = X1 + X2 + X3 e as variáveis Xi são independentes com as seguintes distribuições: X1 = N(10,9); X2 = N(-2,4); X3 = N(5,25). Qual é a distribuição de Y? 16. Suponha que o diâmetro médio dos parafusos produzidos por uma fábrica é de 0,25 polegadas, e desvio-padrão, 0,02 polegadas. Um parafuso é considerado defeituoso se seu diâmetro é maior que 0,28 polegadas ou menor que 0,20 polegadas. a) Encontre a porcentagem de parafusos defeituosos. b) Qual deve ser a medida mínima para que tenhamos no máximo 12% de parafusos defeituosos? 17. Suponha que a duração de vida de dois equipamentos E1 e E2 tenham respectivamente distribuições: N(45,9) e N(40,36). Se o equipamento tiver que ser usado por um período de 45horas, qual deles deve ser preferido? 18. Certa máquina de empacotar determinado produto oferece variações de peso com desvio-padrão de 20 g. Em quanto deve ser regulado o peso médio do pacote para que apenas 10% tenham menos que 400g? Calcule a probabilidade de um pacote sair com mais de 450g.

Distribuição Exponencial 19. Uma lâmpada tem a duração de acordo com a densidade de probabilidade a

seguir: 0. t < 0

f(t) = { '1000

1 10001

−e t ≤ 0





Determinar: a) a probabilidade de que uma lâmpada qualquer queime antes de 1.000 horas; b) a probabilidade de que uma lâmpada qualquer queime depois de sua duração média; c) qual é o desvio-padrão da distribuição. 20. Se as interrupções no suprimento de energia elétrica ocorrem segundo uma distribuição de Poisson com a média de uma interrupção por mês (quatro semanas), qual a probabilidade de que entre duas interrupções consecutivas haja um intervalo de: a) menos de uma semana; b) entre dez e doze semanas; c) exatamente um mês; d) mais de três semanas.





EXERCÍCIOS – SÉRIE I - CAPÍTULO 5 - PÁG. 107

1. Montar uma série cronológica para representar os valores das exportações de açúcar, fornecidas pelo Instituto do Açúcar e do Álcool, nos anos de 1965 a 1971 em milhares de dólares: 60.193 - 80.114 - 812.826 - 106.879 - 112.064 - 126.740 - 149.548. 2. Idealizar uma série geográfica para representar o seguinte fato: população da região Norte do Brasil em 1970, sabendo-se que em Rondônia, Acre, Amazonas, Roraima, Pará e Amapá, temos, respectivamente: 116.620 - 218.006 - 960.934 - 41.638 - 2.197.072 e 116.480 habitantes, segundo dados da Fundação IBGE. 3. Fazer uma tabela estatística para representar o movimento religioso de certo município no período 1975-1977, que apresentou os seguintes dados: em 1975, houve 56.738 habitantes batizados (dos quais 26.914 do sexo feminino), 15.884 casamentos e 13.678 extremas-unções. Em 1976, houve 33.915 batizados do sexo masculino e 29.568 do sexo feminino; os casamentos foram em número de 71.232, 34.127 eram do sexo masculino; as extremas-unções foram 16.107 e os casamentos 16.774. 4. A tabela a seguir mostra as áreas, em milhões de km2, dos oceanos. Representar graficamente os dados, usando: a)um gráfico de colunas; b)um gráfico de setores.

Oceano Antártica Ártico Atlântico Índico Pacífico Área(milhões(km2 ) 36,8 23,2 199,4 137,9 342,7

5. Representar em um gráfico polar os dados: Meses J F M A M J J A S O N D Temperatura (oC ) 28 29 27 24 20 19 18 21 22 24 28 30 6. Construir um gráfico em barras que represente a série: INAMPS - Benefícios Concedidos - Brasil - 1973 Espécie Quantidade Auxílio-natalidade 901.000 Auxílio-doença 467.000 Auxílio-funeral 88.000 Aposentadoria por Invalidez 40.000 Aposentadoria por Tempo de Serviço 39.000 Abono Permanente em Serviço 30.000 Pensão por Morte 73.000 Outras Espécies 44.000 Fonte: Mensário Estatístico do INAMPS. 7. Usando um gráfico em curva, representar a tabela a seguir Índices dos Preços Recebidos p/Agricultores do Brasil/76(1966 = 100) Meses Índices Lavoura Produtos Animais Agropecuário Janeiro 1.304 884 1.044 Fevereiro 1.418 891 1.092 Março 1.494 916 1.136 Abril 1.580 943 1.186 Maio 1.715 964 1.250 Junho 1.816 960 1.287 Julho 1.929 972 1.337 Agosto 2.013 1.015 1.396 Setembro 2.113 1.066 1.473 Outubro 2.197 1.097 1.517 Novembro 2.290 1.119 1.566 Dezembro 2.358 1.144 1.607 Fonte: IBGE.





EXERCÍCIOS - SÉRIE II - CAPÍTULO 5 – página 116 1. Dada a amostra: 3, 4, 4, 5, 7, 6, 6, 7, 7, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 5, 8, 5, 6, 6, pede-se:

a) construir a distribuição de freqüência; b) construir o gráfico das freqüências; c) determinar as freqüências relativas; d) determinar as freqüências acumuladas; e) qual é a amplitude amostral;

f) qual a porcentagem de elementos maiores que 5. 2. Considere os dados obtidos pelas medidas das alturas de 100 indivíduos (dadas em cm): 151 - 152 - 154 - 155 - 158 -159 -159 - 160 - 161 - 161 161 - 162 - 163 - 163 - 163 -164 -165 - 165 - 165 - 166 166 -166 -166 -167 -167 -167 -167 - 167 -168 -168 168 -168 -168 -168 -168 -168 -168 - 168 -169 - 169 169 -169 - 169 - 169 -169 -170 -170 - 170 -170 -170 170 - 170 - 171 - 171 - 171 -171 -172 - 172 - 172 - 173 173 - 173 -174 -174 -174 -175 -175 - 175 -175 -176 176 -176 -176 -177 -177 -177 -177 - 178 -178 -178 179 - 179 - 180 - 180 - 180 -180 -181 - 181 - 181 - 182 182 - 182 - 183 - 184 -185 -186 -187 - 188 -190 -190

Pede-se determinar a) a amplitude amostral; b) o número de classes; c) a amplitude das classes; d) os limites das classes; e) as freqüências absolutas das classes; f) as freqüências relativas; g) os pontos médios das classes; h) a freqüência acumulada; i) o histograma - polígono de freqüência; os gráficos de freqüência acumulada.

3. As notas de 32 estudantes de uma classe estão descritas a seguir: 6,0 - 0,0 - 2,0 - 6,5 - 5,0 - 3,5 - 4,0 - 7, O 8,0 - 7,0 - 8,5 - 6,0 - 4,5 - 0,0 - 6,5 - 6, O 2,0 - 5,0 - 5,5 - 5,0 - 7,0 - 1,5 - 5,0 - 5,0 4,0 - 4,5 - 4,0 - 1,0 - 5,5 - 3,5 - 2,5 - 4,5

Determinar: a) o rol; b) as distribuições de freqüências (variável contínua). (Sugestão: iniciar por O e intervalo de classe 1,5); c) o maior e o menor graus; d) a amplitude total; e) qual a porcentagem dos alunos que tiveram nota menor do que 4; f) qual o limite superior da segunda classe; g) qual o ponto médio da quarta classe; h) qual o ponto médio da terceira classe; i) os gráficos (histograma e gráfico da Freq. Acumulada).

4. Os pesos de 40 alunos estão relacionados a seguir: 69 57 72 54 93 68 72 58 64 62 65 76 60 49 74 59 66 83 70 45 60 81 71 67 63 64 53 73 81 50 67 68 53 75 65 58 80 60 63 53 a) Construir a tabela de distribuição defreqüência, dado Log 40 = 1,6. b) Construir os gráficos da distribuição. Valores Freqüência ( fi ) Freqüência Acumulada( Fi ) Freqüência Relativa( f’i )

1 4 0,08 2 4 3 16 0,16 4 7 0,14 5 5 28 6 38 7 7 45 0,14 8





EXERCÍCIOS - SÉRIE III - CAPÍTULO 5 - Pág. 122 1. Determinar a média aritmética das seguintes séries: a) 3, 4, 1, 3, 6, 5, 6 b) 7, 8, 8, 10, 12 c) 3,2; 4; 0,75; 2,13; 4,75 d) 70, 75, 76, 80, 82, 83, 90 2. A média mínima para aprovação em determinada disciplina é 5,0. Se um estudante obtém as notas 7,5; 8,0; 3,5; 6,0; 2,5; 2,0; 5,5; 4,0 nos trabalhos mensais da disciplina em questão, pergunta-se se ele foi ou não aprovado. 3. Calcule para cada uma das distribuições abaixo sua respectiva média. a) Xi 3 4 7 8 12 b) Xi 10 11 12 13 ----------------------- ---------------------- fi 2 5 8 4 3 fi 5 8 10 6 c) Xi Fi=Fac d) Xi fi e) Xi fi --------- ----------- --- -------- 2 3 7 1/16 85 5 3 9 8 5/18 87 1 4 19 9 1/3 88 10 5 25 10 2/9 89 3 6 28 11 5/48 90 5 4. Dadas as estaturas de 140 alunos, conseguiu-se a distribuição abaixo. Calcular a média. Estaturas(cm) 145|-150 150|-155 155|-160 160|-165 165|-170 170|-175 175|-180 180|-185 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- No. dos alunos 2 10 27 38 27 21 8 7 5. Abaixo temos a distribuição dos aluguéis de 65 casas. Determine pelo processo abreviado sua média. Aluguel(mil R$) 1,5|-3,5 3,5|-5,5 5,5|-7,5 7,5|-9,5 9,5|-11,5 --------------------------------------------------------------------------------- No. de casas (fi) 12 18 20 10 5 6. Dada a distribuição Classes 68|-72 72|-76 76|-80 80|-84 ------------------------------------------------------------ Fi=Fac 8 20 35 40 determinar a média. 7. Dados os seguintes números: 3 5 7 9 2 4 6 8 10 15 20 25 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 8 6 5 4 3 2 1 0 10 15 20 25 12 11 8 6 4 2 1 3 5 7 9 11 a) Construa a distribuição de freqüência ( do tipo "A".) b) Determine a média. 8. Turmas que possuem determinada disciplina em comum apresentam, nessa disciplina: turma A (40 alunos) - média 6,5 turma B (35 alunos) - média 6,0 turma C (35 alunos) - média 4,0 turma D (20 alunos) - média 7,5 Determine a média geral.





9.Dada a amostra: 28 33 27 30 31 30 33 30 33 29 27 33 31 27 31 28 27 29 31 24 31 33 30 32 30 33 27 33 31 33 23 29 30 24 28 34 30 30 18 17 18 15 16 17 17 18 19 19 20 29 a) Agrupar os elementos em classes (inicie pelo 15) e use h = 5. b) Construir a tabela de distribuição de freqüência do tipo "B". c) Determinar a média pelo processo abreviado. 10. Calcule a média geométrica para as séries: a) 8, 15, 10, 12 b) 3, 4, 5, 6, 7, 8 c) xi 8 9 10 11 12 ------------------------------ fi 12 10 7 5 3 11. Encontre a média harmônica para as séries: a) 5, 7, 12, 15 b) Xi 2 3 4 5 6 ----------------------- fi 3 4 6 5 2 12. Tem-se R$2.000,00 disponíveis, mensalmente, para a compra de determinado artigo que custou, nos meses de

junho, julho e agosto, respectivamente, R$200,00; R$ 500,00 e R$ 700,00. Qual foi o custo médio do artigo para esse período?

13. Utilizando a série de dados: 2, 7, 8 e 15, comprove as seguintes propriedades da média aritmética.

a) A soma dos desvios em torno da média é zero. Isto é 0)( =−∑ xxi

b) Somando ou subtraindo a mesma quantidade arbitrária de todos os valores da série, a média ficará aumentada ou diminuída dessa mesma quantidade.

c) Multiplicando ou dividindo cada termo de uma série por uma constante, a média ficará multiplicada ou dividida pela constante.

d ) A soma dos quadrados dos desvios medidos em relação à média é um mínimo, ou seja, é sempre menor que a

soma dos quadrados dos desvios medidos em relação a outro valor qualquer. Isto é, 2)( xxi −∑ é mínima.

EXERCíCIOS - SÉRIE IV - CAPÍTULO 5 - Pág. 135 1. Para cada série, determine a mediana: I) 1, 3, 3, 4, 5, 6, 6 II) 1, 3, 3, 4, 6, 8, 8, 9 III) 12, 7, 10, 8, 8 IV) 82, 86, 88, 84, 91, 93 3. Para a distribuição, determine a mediana: I) Classes 1|-3 3|-5 5|-7 7|-9 9|-11 11|-13 --------------------------------------------------- fi 3 5 8 6 4 3 4. Para cada série, determine a moda: I) 3, 4, 7, 7, 7, 8, 9, 10 II) 43, 40, 42, 43, 47, 45, 45, 43, 44, 48 5. Para cada distribuição, determine a moda: Xi 72 75 78 80 --------------------------- fi 8 18 28 38





6. Para a distribuição, determine a moda pelos dois processos(Pearson): I) Classes 7|-10 10|-13 13|-16 16|-19 19|-22 ----------------------------------------------------- fi 6 10 15 10 5 7. Para as distribuições: I) Classes 4|-6 6|-8 8|-10 10|-12 ---------------------------------------- fi 4 11 15 5 Calcule D6, P65 e Q1. 8. Abaixo temos a distribuições do número de acidentes por dia, durante 53 dias, em certa rodovia: No. de acidentes 0 1 2 3 4 --------------------------------------- No. de dias 20 15 10 5 3 pede-se: a) determinar a média; b) determinar a mediana; c) calcular a moda; d) qual a porcentagem de dias em que tivemos dois ou mais acidentes por dia? 9. O Nº de operários, numa fábrica, nos últimos dois anos, foi: Ano\Mês Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez ------------------------------------------------------------------------- 1975 4 8 3 6 7 7 3 8 2 4 3 3 1976 7 4 6 5 10 5 4 3 5 4 4 1 Faça X --> número de operários acidentados por mês.

a) Construa a distribuição de freqüência b) Calcule a moda, mediana e moda. 10. Sendo: Idade(a) 10|-14 14|-18 18|-22 22|-26 26|-30 30|-34 34|-38 38|-42 -------------------------------------------------------------------------------- No. de pessoas 15 28 40 30 20 15 10 5 a) determinar a m_‚“dia (processo abreviado); b) calcular a medida que deixa 50% dos elementos; c) determinar a moda (fórmula de Czuber); d) calcular o 3º decil; e) determinar a medida que deixa 1/4 dos elementos; f) calcular o percentil 80; g) qual a porcentagem das pessoas maiores de idade? 11. Foi pedido aos alunos de uma classe de 40 alunos que escolhessem um dentre os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Obteve-se o seguinte resultado: 8 - 0 - 2 - 3 - 3 - 5 - 7 - 7 - 7 - 9 8 - 4 - 1 - 9 - 6 - 6 - 6 - 8 - 3 - 3 7 - 7 - 6 - 0 - 1 - 3 - 3 - 3 - 7 - 7 6 - 5 - 5 - 1 - 2 - 5 - 2 - 5 - 3 - 2 a) montar a distribuição de freqüência; b) determinar a média; c) qual foi o no. mais escolhido? O que ele representa? d) calcule a mediana.





12. Abaixo estão dadas as notas(em créditos) de 50 alunos: 60 85 33 52 65 77 84 65 74 57 71 35 81 50 35 64 74 47 54 68 80 61 41 91 55 73 59 53 77 45 41 55 78 48 69 85 67 39 60 76 94 98 66 66 73 42 65 94 88 89 Pede-se: a) determinar a amplitude total da amostra; b) número de classes pela fórmula Sturges. Dado log50 = 1,7; c) amplitude das classes; d) quais as classes? (inicie pelo 30); e) freqüências absolutas das classes; f) freqüências relativas; g) pontos médios das classes; h) freqüências acumulada; i) histograma; j) polígono de freqüências; k) gráfico da freqüências acumulada; l) média - processo abreviado; m) moda - processo gráfico; n) mediana - pelo gráfico do item k; o) 1º e 3º quartis - pelo gráfico do item k; p) 7º decil e 55º percentil pelo gráfico. EXERCÍCIOS - SÉRIE V - CAPÍTULO 5 – pág. 151 Medidas de Dispersão, Assimetria, Curtose. 1. Dada a amostra: 2, 3, 4, 5, 7, 10, 12

a) qual é a amplitude total? b) determine o desvio médio; c) calcule a variância.

2. Para a série 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9.

a) construir a distribuição simples de freqüência; b) calcular a amplitude; c) determinar o desvio médio; d) calcular a variância populacional; e) determinar o desvio-padrão populacional; f) calcular o coeficiente de variação.

3. Calcular a variância amostral:

Classes 2|--4 4|--6 6|--8 8|--10 10|--12 Freqüências ( fi ) 3 5 8 6 3

4. Num teste aplicado a 20 alunos, obteve-se a seguinte distribuição de pontos:

Pontos 35|--45 45|--55 55|---65 65|--75 75|--85 85|--95 No. De alunos 1 3 8 3 3 2

a) calcular o desvio médio; b)determinar a variância populacional; c) determinar o desvio-padrão; d)calcular o coeficiente de variação; e) determinar o coeficiente de assimetria (12 coeficiente de Pearson); f) calcular o coeficiente de curtose.





5. Abaixo temos a distribuição de freqüência dos pesos de uma amostra 45 alunos: Peso em kg 40|--45 45|--50 50|---55 55|--60 60|--65 65|--70

No. de alunos 4 10 15 8 5 3

a) determinar a média; b) determinar a variância; c) qual é o valor do coeficiente de variação? d) a distribuição é simétrica?

e) a distribuição é mesocúrtica? 6. Sendo:

Classes 30|--40 40|--50 50|---60 60|--70 70|--80 Freqüências ( fi ) 10 20 35 25 10

Calcular: KASCVSSX ,,,,, 2

7. A distribuição abaixo possui desvio-padrão igual a 3,02. Determine o valor do coeficiente de variabilidade.

Classes 0|--4 4|--8 8|---12 Freqüências 2 3 2

8. Um fabricante de caixas de cartolina fabrica três tipos de caixa. Testa-s a resistência de cada caixa, tomando-se uma amostra de 100 caixas determinando-se a pressão necessária para romper cada caixa. São o seguintes os resultados dos testes:

Tipos de caixas A 8 c Pressão média de ruptura (bária) 150 200 300 Desvio-padrão das pressões (bária) 40 50 60

a) que tipo de caixa apresenta a menor variação absoluta na pressão de ruptura? b) que tipo de caixa apresenta a maior variação na pressão de ruptura?

9. Um pesquisador da rádio XY aborda 30 transeuntes ao acaso e pergunta-lhes a idade. O resultado é dado pela tabela:

35 26 39 25 39 22 42 40 39 22 21 40 16 32 39 21 28 39 18 37 23 14 27 44 30 32 21 15 26 43

a) resuma as informações sob forma de uma distribuição de freqüência. Dado l og30 = 1,48; b) apresente os dados na forma de um histograma; c) calcule a média e o desvio-padrão amostral.

10. É dada a distribuição dos salários semanais de 1 00 funcionários: Salário por semana($) 500|--1.000 1.000|--1.500 1.500|--2.000 2.000|--2.500 2.500|--3.000

No. de empregados 26 43 17 9 5

a) calcule a variância populacional; b) a distribuição é assimétrica?

c) distribuição é leptocúrtica?





EXERCÍCIOS - SÉRIE VI – CA PÍTULO 5 – pág. 153

Medidas de Posição, Dispersão, Assimetria e Curtose. 1. Dada a série: 1,2; 1,4; 1,5; 1,8; 2 calcular a média e o desvio-padrão populacional. 2. Calcular:

a) média b) mediana c) moda d) desvio médio e) coeficiente de assimetria da seguinte distribuição: Altura(cm) Freqüências 160 |-- 164 5 164 |-- 168 13 168 |-- 172 22 172 |-- 176 25 176 |-- 180 10 180 |-- 184 3 Total ( N )

3. Num fim de semana, o supermercado X vendeu as seguintes quantidades carne:

Tipo de Carne Preço ( $ por kg ) Quantidade (kg) Boi 35 1.000 Porco 38 450 Galinha 39 600 Peru 45 350 Peixe 28 250 Total ( N )

Qual foi o preço médio por quilograma vendido? 4. Completar os dados que faltam para a seguinte distribuição: Valores ( Xi ) Freqüência ( fi ) Freqüência Acumulada( Fi

) Freqüência Relativa( f’i )

1 4 0,04 2 8 3 30 0,18 4 27 0,27 5 15 72 6 83 7 10 93 0,10 8

5. Encontrar a freqüência correspondente à terceira classe da distribuição a seguir, sabendo-se que a média é igual a 11,50. Xi 5 8 13 18 25 Freqüência ( fi ) 4 5 ...... 3 1 6. Achar o 1º quartil, o 7º decil e o 73º percentil da distribuição: Classes (Xi ) 0 |-- 1 1 |-- 2 2 |--3 3 |-- 4 4 |-- 5 Freqüência ( fi ) 10 12 12 10 6





7. Obter a moda e a variância para a distribuição amostral: Classes (Xi ) 0 |-- 25 25 |-- 50 50 |--75 75 |-- 100 100 |-- 125 Freqüência ( fi ) 20 140 180 40 10 8. Lançando um dado 50 vezes, obteve-se a seguinte distribuição: Xi - Classes Freqüências ( fi ) 1 6 2 11 3 6 4 7 5 9 6 11 Total ( N ) Calcular a variância populacional e o desvio-padrão. 9. Calcule a média e a variância amostral:

Classes 30.000 30.002 30.004 30.006 30.008 30.010Fac ( Fi ) 10 22 36 46 50 52

10. Estudar a distribuição abaixo, com respeito à assimetria e à curtose. Classes 150|--200 200|--250 250|--300 300|--350 350|--400 400|--450 450|--500

Freqüências( fi ) 5 16 21 28 19 8 3

11. Cronometrando o tempo para várias provas de uma gincana automobilística, encontramos:

Equipe 1: 40 provas tempo médio: 45 segundos variância: 400 segundos ao quadrado Equipe 2: tempo: 20 40 50 80 No. de provas: 10 15 30 5 a) qual o coeficiente de variação relativo à equipe 1 ?

b) qual a média da equipe 2? c) qual o desvio-padrão relativo à equipe 2? d) qual a média aritmética referente às duas equipes consideradas em conjunto? e) qual a equipe que apresentou resultados mais homogêneos? Justifique,





12. Dada a amostra de 60 rendas (em milhares) de dada região geográfica: 10 7 8 5 4 3 2 9 9 6 3 15 1 13 14 4 3 6 6 8 10 11 12 13 14 2 15 5 4 10 2 1 3 8 10 11 13 14 15 16 8 9 5 3 2 3 3 4 4 4 5 6 7 8 9 1 12 13 14 16

a) agrupar os elementos em classes. Sendo K = 6 e h = 3; Li=0 b) construir o histograma e o polígono de freqüência acumulada; c) construir o gráfico de freqüência acumulada; d) calcular a média; e)calcular a mediana; f) determinar o 3º quartil; g)calcular o 4º decil; h) calcular o 47º percentil; i)determinar a medida que deixa 25% das rendas; j) calcular o desvio médio; l) determinar a variância; m) determinar o desvio-padrão; n) qual é o valor do coeficiente de variação? o) a distribuição é simétrica? p) a distribuição é mesocúrtica ? q) Usando o gráfico da freqüência acumulada, determine o 1º quartil, o 7º decil e o 80º percentil; r) Prepare um relatório para a descrição das rendas dessa famílias.





EXERCÍCIOS - SÉRIE VII - CAPÍTULO 5 – Pág. 157 Para cada uma das questões abaixo, assinale a alternativa correta. 1. A média aritmética é a razão entre: a) ( ) o número de valores e o somatório deles; b) ( ) o somatório dos valores e o número deles; c) ( ) os valores extremos; d) ( ) os dois valores centrais. 2. Na série 60, 90, 80, 60, 50 a moda será: a) ( ) 50; b) ( ) 60; c) ( ) 66; d) ( ) 90. 3. A medida que tem o mesmo número de valores abaixo e acima dela é: a) ( ) a moda; b) ( ) a média; c) ( ) a mediana; d) ( ) o lugar mediano. 4. a soma dos desvios entre cada valor e a média é: a) ( ) positiva; b) ( ) negativa; b) ( ) diferente de zero; d) ( ) zero. 5. Na série 60, 50, 70, 80, 90 o valor 70 será: a) ( ) a média e a moda; b) ( ) a média e a mediana; c) ( ) a mediana e a moda; d) ( ) a média, a mediana e a moda. 6. quando queremos verificar a questão de uma prova que apresentou maior número de erros, utilizamos: a) ( ) moda; b) ( ) média; c) ( ) mediana; d) ( ) qualquer das anteriores. 7. Dado o histograma abaixo, no interior de cujos retângulos foram anotadas as freqüências absolutas, então a mediana é: ------ | | ------ | | | | | | ------ | | 30 | | | 25 | | ------ | | | 20 | | ------ | | | 15 | | 10 | | | | | | | | | | | ------------------------------------ 2 4 6 8 10 12 a) ( ) 6,5; b) ( ) 8,0; c) ( ) 7,5; d) ( ) 7,0. 8. Na série, 15, 20, 30, 40, 50, há abaixo da mediana: a) ( ) 3 valores; b) ( ) 2 valores; c) ( ) 3,5 valores; d) ( ) 4 valores.





9. Dada a figura a seguir, podemos afirmar que: a) ( ) a moda é maior do que a mediana e menor do que a média; b) ( ) a moda é menor que a mediana e maior do que a média; c) ( ) a moda é menor do que a mediana e esta maior do que a média; d) ( ) a mediana é maior do que a média e menor do que a moda. fi X 10. O coeficiente de variação é uma medida que expressa a razão entre: a) ( ) desvio-padrão e média; b) ( ) média e desvio-padrão; c) ( ) amplitude semi-interquartílica e mediana; d) ( ) desvio-padrão e moda. 11. O cálculo da variância supõe o conhecimento da: a) ( ) média; b) ( ) mediana; c) ( ) ponto médio; d) ( ) moda. 12. Numa distribuição de valores iguais, o desvio-padrão: a) ( ) negativo; b) ( ) positivo; c) ( ) a unidade; d) ( ) zero. 13. Na série 10, 20, 40, 50, 70, 80, a mediana ser_ “: a) ( ) 30; b) ( ) 35; c) ( ) 40; d) ( ) 45. 14. Examinando a figura a seguir podemos dizer: ( curvas de freqüência ) B A X a)( ) o desvio-padrão da distribuição A é maior do que o da distribuição B, e as médias são iguais; b)( ) o desvio-padrão de A é menor do que o de B e as médias são diferentes; c)( ) o desvio-padrão de A é igual ao de B, independentemente de valor da média; d)( ) as distribuições possuem o mesmo coeficiente de variação. 15. Realizou-se uma prova de matemática para duas turmas. Os resultados foram os seguintes: Turma A: 5=X 5,2=σ Turma B: 4=X 0,2=σ Com esses resultados, podemos afirmar: a)( )a turma B apresentou maior dispersão absoluta; b)( )a dispersão relativa é igual à dispersão absoluta; c)( )tanto a dispersão absoluta quanto a relativa são maiores para a turma B; d)( )a dispersão absoluta de A é maior do que a de B, mas em termos relativos as duas turmas não diferem quanto ao grau de dispersão das notas.





16. O desvio-padrão de um conjunto de dados é 9. A variância será: a) ( ) 3; b) ( ) 18; c) ( ) 36; d) ( ) 81. 17. 50% dos dados da distribuição situam-se: a) ( ) abaixo da média; b) ( ) acima da mediana; c) ( ) abaixo da moda; d) ( ) acima da média. 18. Dada a figura a seguir (polígono de freqüência), o primeiro quartil da distribuição será: a) ( ) 5,0; b) ( ) 5,5; c) ( ) 4,8; d) ( ) 3,0. 19. Os coeficientes de variação dos resultados abaixo são: Estatística: 16;80 == SX História: 5;20 == SX a) ( ) 16% e 40%; b) ( ) 20% e 25% c) ( ) 50% e 40%; d) ( ) 80% e 40%. 20. Média, mediana e moda são medidas de: a) ( ) dispersão; b) ( ) posição; c) ( ) assimetria; d) ( ) curtose. 21. Uma empresa possui dois serventes recebendo salários de R$2.500,00 cada um, quatro escriturários recebendo R$ 6.000,00 cada um, um chefe de escritório com salário de R$10.000,00 e três técnicos recebendo R$ 22.000,00 cada um. A média destes salários: a) ( ) R$ 1.050,00; b) ( ) R$ 5.050,00; c) ( ) R$ 26.250,00; d) ( ) n.r.a. 22. O valor dominante de uma distribuição de freqüência chama-se: a) ( ) mediana; b) ( ) média; c) ( ) moda; d) ( ) 1º quartil. 23. Na distribuição abaixo: Classes Freqüências 30 |--- 40 10 40 |--- 50 20 50 |--- 60 35 60 |--- 70 25 70 |--- 80 10 Total 100 A moda é: a) ( ) 50,6; b) ( ) 55; c) ( ) 50; d) ( ) 56. 24. Para a distribuição Classes 150|-200 200|-250 250|-300 300|-350 350|-400 400|-450 450|-500 .fi 5 16 21 28 19 8 3 A média será: a) ( ) 350; b) ( ) 314; c) ( ) 324,76; d) ( ) 323,80.





25. O valor da medida que deixa 45% dos elementos da distribuição: Renda 10|-20 20|-30 30|-40 40|-50 50|-60 60|-70 70|-80 80|-90 90|-100 No. de Famílias

50 100 150 250 150 100 80 70 50

é: a) ( ) 45; b) ( ) 50; c) ( ) 46; d) ( ) 63. 26. O 5º decil da distribuição Classes 2|-- 4 4|--6 6|-- 8 8|-- 10 10|-- 12 .fi 5 7 10 3 5 é: a) ( ) 7,20; b) ( ) 5,50; c) ( ) 6,60; d) ( ) 7,20. 27. A média da distribuição Classes 0 |-- 6 6| -- 12 12| ---18 Fi 1 2 5 é: a) ( ) 12,0; b) ( ) 8,5; c) ( ) 10,83; d) ( )11,4. 28. O desvio médio da distribuição: Classes 90 |-- 110 110| -- 130 130| ---150 .fi 2 2 5 é: a) ( ) 12; b) ( ) 14; c) ( ) 16; d) ( ) 18. 29. A variância da distribuição: Classes 1 |-- 3 3| -- 5 5| ---7 .fi 1/5 2/2 2/5 é: a) ( ) 2,24; b) ( ) 2,8; c) ( ) 2,5; c) ( ) 4. 30. A média de uma série de valores iguais a uma constante é: a) ( ) zero; b) ( ) o valor da constante; c) ( ) a unidade; d) ( ) não é possível calcular o desvio-padrão.





EXERCÍCIOS - SÉRIE VIII - CAPÍTULO 5 - Pág. 163 1. Explique qual a utilidade das medidas de posição. Dê 3 exemplos. 2. O que são medidas de dispersão? 3. Fale sobre as medidas de curtose. 4. Se multiplicarmos todos os elementos de uma série por uma constante, que acontecerá com a média? E com a variância da série? 5. Quanto vale o ?)( XX i −∑ 6. Se somarmos a todos os elementos de uma série um número, o que

acontecerá com a média e a variância da série? 7. O 1º decil é igual ao décimo percentil? Explique. 8. Para analisar os dados de uma folha de pagamentos, quais medidas você utilizaria para: a) descobrir o salário mais freqüente; b) descobrir o salário que divide os pagamentos em partes iguais; c) descobrir a dispersão absoluta em torno da média; d) descobrir o grau de dispersão relativo. 9. Numa distribuição, teremos sempre a mediana como sendo a média aritmética entre o 1º e 3º quartis. Discuta. EXERCÍCIOS - SÉRIE I - CAPÍTULO IV - PÁG. 76 - versão 3.0 APROXIMAÇÃO NORMAL DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 1. Uma moeda é lançada 12 vezes. Determinar a probabilidade de que o número de coroas ocorra entre 4 e 7 inclusive, usando a aproximação normal da binomial. 2. Um dado é atirado 180 vezes. Encontre a probabilidade de que o número 5 apareça: a) entre 28 e 32 vezes inclusive; b) 31 vezes; c) mais do que 35 vezes. 3. A probabilidade de sucesso de um quadro de um artista é 1/3. Expostos 18 quadros. Calcular a probabilidade de: a) 8 terem sucesso; b) menos do que 3. 4. Calcule a probabilidade de aparecer de 45 a 60 vezes inclusive o dígito 7 entre 400 números aleatórios. 5. Calcular a probabilidade de termos entre 3 a 8 peças (inclusive) defeituosas numa amostra de 100 elementos escolhidos ao acaso de uma população com 5% de defeituosas.





CAPÍTULO 6 – DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 6.1 - CONCEITOS 6.1.1 - População(N): é o conjunto formado por indivíduos ou objetos que têm pelo menos uma variável comum e observável. Podemos falar em:

• população dos alunos do primeiro período de uma faculdade; • população dos operários da indústria automobilística; • população de alturas em cm das pessoas de determinado bairro; • população de peças fabricadas numa linha de produção, e assim por diante.

Tamanho de uma população(N) finita é o número de elementos que a compõem.

6.1.2 - Amostra(n): fixada uma população, qualquer subconjunto formado exclusivamente por seus elementos é denominado amostra desta população. Amostragem: é o processo de seleção de uma amostra, que possibilita o estudo das características da população. 6.1.3 - Erro amostral. é o erro que ocorre justamente pelo uso da amostra. 6.1.4 - Parâmetro: é a medida usada para descrever uma característica numérica populacional.

Genericamente representaremos por Θ . A média ( µ ), a variância ( 2σ ) e o coeficiente de correlação ( ρ ) são alguns exemplos de parâmetros populacionais. 6.1.5 - Estimador: também denominado Estatística de um parâmetro populacional; é uma característica numérica determinada na amostra, uma função de seus elementos. Genericamente, representaremos por Θ̂ (. A média amostral ( X ), a variância amostral S2 ) e o coeficiente de correlação amostral (R) são exemplos de estimadores. 6.1.5.1 - Estimativa: é o valor numérico determinado pelo estimador, que genericamente é representado por oΘ̂ . O erro amostral, que designado por ε , é definido por: Θ−Θ= ˆε . O valor

de Θ̂ varia em cada uma das NN amostras de tamanho n, tiradas da população. Logo, Θ̂ é uma variável aleatória e, como tal, podemos determinar a E ( Θ̂ ), VAR( Θ̂ ) isto é, a esperança matemática de Θ̂ e sua variância. Podemos desmembrar o erro amostral em duas partes: oΘ̂ =[ Θ̂ - E( Θ̂ )] + [E( Θ̂ ) - Θ ]

1:parte casual 2:viés ou desvio O viés pode aparecer na seleção da amostra, na coleta dos dados ou na estimação dos parâmetros. 6.2 - Viés de Seleção A amostragem pode ser probabilística e não probabilística. Amostragem probabilística é o processo de seleção de uma amostra no qual cada unidade amostral da população tem probabilidade diferente de zero e conhecida de pertencer à amostra. Na amostragem não probabilística, a probabilidade de seleção é desconhecida para alguns ou todos

os elementos da população, podendo alguns destes elementos ter probabilidade nula de pertencer à amostra, como por exemplo em amostras intencionais, a esmo ou de voluntários. O melhor modo de evitar o viés de seleção é o uso do sorteio, seja ele manual ou por meio de

uma tabela de números aleatórios, ou então pela geração de números aleatórios por computador. A amostragem probabilística é isenta de viés de seleção.





6.3 - Viés na Coleta de Dados Este tipo de vício pode ocorrer principalmente quando se substitui a unidade de amostragem ou quando há falta de respostas. 6.4 - Viés de Estimação Este tipo de vício pode ser controlado fazendo-se amostragens probabilísticas. 6.5 - Estimador Não-Viesado O estimador θ

)é dito um estimador não-viesado do parâmetro θ se E(θ

)) = θ

6.6 - Eficiência

Para θ)

1 e θ)

2 , estimadores não-viesados de θ, θ)

1 é mais eficiente que θ)

2 se V(θ)

1) < V(θ)

2)

EXERCÍCIOS - SÉRIE I - CAPÍTULO 6 - Pág.173

1. Uma população se constitui dos números 2, 3, 4, 5. Considere todas as amostras possíveis, de tamanho 2, que podem ser extraídas dessa população com reposição. Determine: a) média da população, b) o desvio-padrão da população,c) a média da distribuição amostral das médias amostrais, d) o desvio-padrão da distribuição amostral das médias. Constate que:

n

xex σσµµ == )()(

2. Considere os dados da população do exercício anterior e amostras de tamanho 2 sem reposição. Constate que:

)1

()()(−−

==N

nNn

xex σσµµ

CAPÍTULO 7 – TEORIA DA AMOSTRAGEM

“Generalização dos resultado da amostra para a população”. Conceitos sobre inferência estatística e distribuições por amostragem. Definição: “ é o estudo das relações entre uma população e as amostras dela extraídas”. 7.1. População: 1) finita: nº de elementos é finito 2) infinita: nº de elementos, não pode ser fixado(determinado). População é o Universo. Ex.: população infinita: salinidade nos mares, estrelas, números pares,... 7.2. Amostragem: é a técnica de se extrair amostras da população. a) com reposição: “Quando cada elemento sorteado para a amostra é recolocado na população para novo sorteio”: NN

b) sem reposição: “Cada elemento não é mais colocado na população; não pode se repetir.

nN

nN C

nN

C =

==>





7.3. Amostra aleatória – (a . a): “é aquela cujos elementos são retirados da população por um processo aleatório, em geral por sorteio”. Nº aleatórios – são tabelas confeccionadas por computador (calculadoras). 7.4. Tipos de Amostragem: 7.4.1 Amostragem aleatória simples (a .a .a) É o trabalho feito com uma única amostra aleatória e constitui a mais simples técnica usada. POPULAÇÃO AMOSTRA

- Pontos importantes para a amostra ser representativa: a) Amostra deve ser aleatória, ou seja, cada elemento deve ser aleatório, ou seja, cada elemento deve ter a

mesma chance de acontecer. 1/N. b) Se baseia no cálculo de probabilidades. c) Não pode ser apenas pelo bom senso. POPULAÇÃO AMOSTRA

7.4.2 Amostragem estratificada: Quando a população é muito grande, por exemplo, cidades, dividimos a cidade em estrato e de cada estrato tiramos uma amostra. Variância pequena entre estratos homogêneos n1 + n2 + n3 +......+ nt = n 7.4.3 Amostragem por conglomerados -Região muito heterogêneos - Região com qualidade parecidas - A variância entre cada parte é grande. Ex.: Conjunto de indivíduos Renda per capita centro Bairro 7.4.4 Amostragem sistemática: Bairro Seleciona-se uma rua. Pegue uma casa e pula 2 casas. Ex.: Seja N = 500 e n = 50 Calcula-se N/n ou o inteiro mais próximo a “a”. Sorteia-se, um nº então 1 e “a” formando-se a amostra dos elementos: X; X + a; X + 2 a; ... 7.5. Tamanho da População – N É o nº de elementos que compõem a população. 7.6. Tamanho da Amostra (n). É o nº de elementos que compõem a amostra. n < N mas se n = N é um censo. Censo: Quando trabalhamos com toda população. 7.7. Parâmetro É qualquer medida feita da população. Ex.: Média, Desvio – padrão, variância ... 7.8. Estimador – (ou estatística) É qualquer medida feita na amostra (média a variância da amostra).





7.8.1 Estimação: Quando usarmos os resultados extraídos da amostra para produzir inferências sobre a população da qual foi extraída aleatoriamente a amostra. 7.8.2: Quando usamos os resultados extraídos da amostra para tentarmos valores de certos Teste de Hipóteses parâmetros da população ou mesmo testarmos a natureza da população. Quanto aos testes de hipótese eles podem ser de dois tipos: (i) Paramétricos: quando formulamos hipóteses com respeito ao valor de um parâmetro populacional (ii) Aderência: quando formulamos hipóteses com respeito à natureza da distribuição da população. Estimar: avaliar Estimador serve para estimar o parâmetro correspondente. Simbologia

Medida Parâmetro (população) Estimador (amostra) Média

variância desvio-padrão

µ, σ2, σ

X, s2 (n-1), s (n-1)

∑∑=

i

ii

fXf

X 1

.)(1

2

2

−

−=

∑=

n

fXXS

n

iii

Na teoria da amostragem, são consideradas duas dimensões: a)Dimensionamento da amostra-vide fórmulas na Tabela 7.1 b)Composição da amostra – vide métodos a seguir: 7.9 Métodos Probabilísticos O método de amostragem probabilística exige que cada elemento da população possua determinada possibilidade de ser selecionado. Se N for o tamanho da população, a probabilidade de cada elemento é 1/N. 7.9.1 AMOSTRAGEM CASUAL SIMPLES

Definição: uma amostra se diz casual simples quando P(X=xi )=1

Tanto para amostragem com reposição como para sem reposição, temos: P(X=x)=1/N Ver tabela de dígitos aleatórios - Tabela 5 7.9.2 - AMOSTRAGEM POR ESTRATIFICAÇÃO Seja a população formada por: 1,2,3,4,...,7,8,9 o mesmo exemplo abordado anteriormente. Devemos usar uma variável critério" para separar a população em estratos.

No exemplo, o critério de estratificação será: E1: grupo formado pelos três menores valores; E1 = 1, 2, 3 E2: grupo formado pelos três valores centrais; E2 = 4, 5, 6 E3: grupo formado pelos três maiores valores. E3 = 7, 8, 9





EXEMPLO Dada a população de 50.000 operários da indústria automobilística, formar uma amostra de 5% de operários para estimar seu salário médio. Usando a variável critério "cargo" para estratificar essa população, e considerando amostras de 5% de cada estrato obtido, chegamos ao seguinte quadro. Çargos População Amostra Chefes de seção 5.000 250 Operários especializados 1.500 750 Operários não especializados 30.000 1.500 Total 50.000 2.500 A amostragem por estratificação tem as seguintes características:

• dentro de cada estrato há uma grande homogeneidade, ou então uma pequena variabilidade; • entre os estratos há uma grande heterogeneidade, ou então uma grande variabilidade. No primeiro exemplo, retiramos o mesmo número de elementos de cada um dos estratos e, no

segundo, fizemos uma partilha proporcional. 7.9.3 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS Se estivermos interessados no salário médio dos operários da indústria automobilística, como no exemplo anterior, podemos selecionar uma montadora e, dentro dela, estudar os salários. Há uma mudança fundamental na unidade de sorteio. Passamos de elemento para grupo.

Consideramos conglomerados os grupos de elementos com as seguintes características: • dentro de cada conglomerado há uma grande heterogeneidade, ou então uma grande

variabilidade; • entre os conglomerados há uma pequena variabilidade, ou então uma grande

homogeneidade. 7.9.4 - AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA Consideramos uma população de tamanho N e dela tiramos uma amostra de tamanho n. Definimos

nNa = : fator de sistematização

Sorteamos um número entre 1 e a. Seja m esse número: • O primeiro elemento da amostra é o de número m; • O segundo elemento da amostra é o de número a + m; • terceiro elemento da amostra é o de número 2s + m; • n-ésimo elemento da amostra é o de número (n - 1)s + m.

Para esse tipo de amostragem é necessário que a população esteja ordenada, por exemplo, em nomes de uma lista telefônica ou em números das casas de uma rua.

EXEMPLO De uma população de N = 1000 elementos ordenados, retirar uma amostra sistemática de tamanho

100. 10100

1000==a

Seja 101 ≤≤ m 1. Suponhamos que m = 7. Logo temos: 1º) elemento da amostra 7º 2º) elemento da amostra 17º

3º) elemento da amostra 27º ......

100º elemento da amostra 997º





7.10-MÉTODOS NÃO PROBABILÍSTICOS São amostragens em que há uma escolha deliberada dos elementos da amostra. Não é possível generalizar os resultados das pesquisas para a população, pois as amostras não-probabilísticas não garantem a representatividade da população. 7.10.1 – Amostragem Acidental Normalmente utilizada em pesquisa de opinião, em que os entrevistados são acidentalmente escolhidos. 7.10.2 – Amostragem Intencional De acordo com determinado critério, é escolhido intencionalmente um grupo de elementos que irão compor a amostra. 7.10.3 – Amostragem, por Quotas Um dos métodos de amostragem mais comumente usados em levantamentos de mercado e em prévias eleitorais é o método de amostragem por quotas

EXERCÍCIOS - SÉRIE I - CAPÍTULO 7-Pág.182

1. Dada a seguinte população ( renda em $ 1000) 29 6 34 12 15 31 34 20 8 30 8 15 24 22 35 31 25 26 20 10 30 4 16 21 14 21 16 18 20 12 31 20 12 18 12 25 26 13 10 5 13 19 30 17 25 29 25 28 32 15 10 21 18 7 16 14 11 22 21 36 32 17 15 13 8 12 23 25 13 21 5 12 32 21 10 30 30 10 14 17 34 22 30 48 19 12 8 7 15 20 26 25 22 30 33 14 17 13 10 9 a)Calcule o tamanho da amostra para se estimar a média, sendo d=$2000, σ =$7.000 e 1 - α = 95,5%. b) agrupar os elementos em classe; c) calcular sua média; d) calcular o desvio-padrão amostral;

e) o que você pode afirmar quanto ao valor da média amostral. 2. Escolha uma página qualquer da lista telefônica e retire uma amostra sistemática de vinte nomes. 3. Calcule o tamanho da amostra de seus colegas desta faculdade, para estimar a proporção dos usuários de óculos. 4. Sendo '

10001 1000

1−

e , população infinita, d = 0,05 e 1 - α = 95,5%, determine o tamanho amostral. 5. Sendo 5,0ˆ == qp , população de 200.000, d = 0,05 e 1 - α = 95,5% determine o tamanho amostral. Compare com o resultado obtido no Exercício 4. 6. Determine o tamanho amostral para se estimar o salário médio dos trabalhadores do município em que você mora.





CAPÍTULO 8 - INTERVALOS DE CONFIANÇA ESTIMAÇÃO 8.1 INFERÊNCIA ESTATÍSTICA

Usualmente, é impraticável observar toda uma população, seja pelo custo caríssimo seja por dificuldades diversas. Examina-se então uma amostra. Se essa amostra for bastante representativa, os resultados obtidos poderão ser generalizados para toda a população.

O pesquisador poderá levantar hipóteses das possibilidades das generalizações dos resultados aos experimentos semelhantes. Deverá testar essas hipóteses que poderão ser rejeitadas.

Um experimento pode ter por finalidade a determinação da estimativa de um parâmetro de uma função.

Toda conclusão tirada por uma amostragem, quando generalizada para a população, virá acompanhada de um grau de incerteza ou risco.

Ao conjunto de técnicas e procedimentos que permitem dar ao pesquisador um grau de confiabilidade, de confiança, nas afirmações que faz para a população, baseadas nos resultados das amostras, damos o nome de Inferência Estatística.

O problema fundamental da Inferência Estatística, portanto, é medir o grau de incerteza ou risco dessas generalizações. Os instrumentos da Inferência Estatística permitem a viabilidade das conclusões por meio de afirmações estatísticas. 8.1.2 ESTIMAÇAO DE PARAMETROS Um dos objetivos básicos da experimentação é a estimação de parâmetros. Estuda-se uma população cuja distribuição é considerada conhecida por meio de sua função de densidade de probabilidade(f.d.p), ),...,,,( 21 nXf ΘΘΘ onde X é uma variável aleatória e pii ,...,3,2,1, =Θ são os parâmetros da distribuição. EXEMPLO

2)(21

22

21),;(),(: σ

µ

πσσµσµ

−−

=x

exfondeNX , portanto, a distribuição de X, que é normal,

depende de 2 parâmetros 2σµ e . Temos de avaliar um ou mais parâmetros da distribuição populacional, tomando por base uma amostra casual simples X1, X2,....,Xn. O principal problema é procurar funções de observações que forneçam estimativas dos parâmetros.

Logo: ∑=

=n

iiX

nX

1

1 é um estimador de 0XXe =µ é uma estimativa.

2

1

2 )(1

1 xxn

Sn

ii −

−= ∑

=

é um estimador de 20

2 SSe =σ é uma estimativa calculada na amostra.

8.1.2 TIPOS DE ESTIMAÇÃO Há dois tipos fundamentais de estimação: por ponto e por intervalo. 8.1.3 ESTIMAÇÃO POR PONTO Na Estimação por Ponto, a partir das observações, calcula-se uma estimativa, usando o estimador ou "estatística". A distribuição por amostragem dos estimadores torna possível o estudo das qualidades de um estimador.





8.1.4 Qualidades de um Bom Estimador Quanto maior o grau de concentração da distribuição amostral do estimador em torno do verdadeiro valor do parâmetro populacional, tanto melhor será o estimador. As principais qualidades que deve ter um estimador são: a) consistência; b) ausência de vício; c) eficiência; d) suficiência. 8.1.5 ESTIMAÇÃO POR INTERVALO A estimação por pontos de um parâmetro não possui uma medida do possível erro cometido na estimação. Uma maneira de expressar a precisão da estimação é estabelecer limites, que com certa probabilidade incluam o verdadeiro valor do parâmetro da população. Esses limites são chamados "limites de confiança": determinam um Intervalo de Confiança, no qual deverá estar o verdadeiro valor do parâmetro.

Logo, a estimação por intervalo consiste na fixação de dois valores tais que (1 - α ) seja a probabilidade de que o intervalo, por eles determinado, contenha o verdadeiro valor do parâmetro. α : nível de incerteza ou grau de desconfiança. 1 -α : coeficiente de confiança ou nível de confiabilidade(nível de significância)

Portanto, α nos dá a medida da incerteza desta inferência (nível de significância). Logo, a partir de informação de amostra, devemos calcular os limites de um intervalo, valores críticos, que em (1 - α )% dos casos inclua o valor do parâmetro a estimar e em α % dos casos não inclua o valor do parâmetro.

8-1.6 - RESUMO DA ESTIMAÇÃO POR INTERVALOS DA MÉDIA POPULAÇÃO TAMANHO DA

MOSTRA conhecidoXσ dodesconhecixσ GRANDE (n 30≥ )

nzX σ

± n

SzX ± ** NORMALMENTE DISTRIBUÍDA PEQUENA (n < 30)

nzX σ

± n

StX ± GRANDE (n 30≥ )

nzX σ

± * n

SzX ± + PEQUENA (n < 30)

nzX σ

± n

SkX ± ++

Onde: 1-αα

α =⇒−= Kk 2

11 * Utiliza o Teorema do Limite Central. * Z é utilizado como uma aproximação de t + utilizamos Z como uma aproximação de t

++ Intervalo pouco confiável

nStX ± para

< 30ndodesconheciσ

nzX σ

± è n

zXn

zX σµ

σ+≤≤−





8.2. Intervalos de Confiança(IC) para a Média( µ )de uma População Normal com Variância Conhecida ( 2σ ) x -

nzx

nz σ

µσ

αα 2/2/ +<<

8.3. Intervalos de Confiança para a Média( µ ) de uma População Normal: Variância Populacional ( bXaYEst+= )Desconhecida

nSt

xnSt

x xx 2/2/ αα µ +<<−

8.4. Intervalos de Confiança para a Variância de uma População Normal

2inf

22

2sup

2 )1()1(χ

σχ

xx SnSn −<<

− onde 1−= nϕ graus de liberdade

8.5. Intervalos de Confiança para o Desvio-Padrão

2inf

2sup

)1(.)1(.χ

σχ

−≤≤

− nSnS onde 1−= nϕ graus de liberdade

8.6. Intervalos de Confiança para a Proporção da População (Grandes Amostras)

n

)p̂1(p̂zp̂p

n)p̂1(p̂

zp̂ xx2/x

xx2/x

−+<<

−− αα

8.7. Intervalos de Confiança para Diferença entre Médias: Pares Combinados

Uma amostra aleatória de n pares de observações de uma distribuição com médias µX e µY. Sejam d s Sd a média e o desvio-padrão amostrais observados para n diferenças di = xi – yi:

n

Std

n

Std d

2/,1nYXd

2/,1n α−α− +<µ−µ<−

8.8. Intervalos de Confiança para Diferença entre Médias: Amostras Independentes (Variâncias Conhecidas ou Grandes Amostras) Suponha que temos amostras aleatórias independentes com nx e ny observações de distribuições

normais com médias µX e µY e variâncias σ2X e σ2

Y. Se as médias amostrais observadas são x e y , então o intervalo de confiança para (µX - µY) é dada por

( x - y ) - zα/2y

2Y

x

2X

2/YXy

2Y

x

2X

nnz)yx(

nnσ

+σ

+−<µ−µ<σ

+σ

α





Tabela 8.9 - FÓRMULAS PARA CÁLCULOS DOS INTERVALOS DE CONFIANÇA ( I.C.)

TEORIA DA ESTIMAÇÃO AMOSTRAS INFINITA FINITA A -ESTIMATIVA DE MÉDIA- 1ª PONTUAL

X

X

2ª INTERVALAR conhecidoσ n

ZX σ±

1−−

±N

nNn

ZX σ

dodesconheciσ

nStX ±

1−−

±N

nNn

StX

3º TAMANHO DA AMOSTRA conhecidoσ

2.

=

Ezn σ

)1(.

..222

22

−+=

NEzNzn

σσ

dodesconheciσ 2.

=

EStn

)1(...

222

22

−+=

NEStNStn

B-ESTIMATIVA DE PROPORÇÃO - 1º Pontual

nxp =

nxp =

2º intervalar

nppzp )1( −

± 1

)1(−−−

±N

nNn

ppzp

3º tamanho da amostra

−

= 22 )1(

Eppzn

)1()1().1(.

22

2

ppzENNppzn

−+−−

=

C- ESTIMATIVAS DA DIFERENÇA DE MÉDIAS conhecidoσ

2

22

1

21

21 )(nn

zxxσσ

+±− 1

)(2

22

1

21

21 −−

+±−N

nNnn

zxxσσ

dodesconheciσ

2121

11.)(nn

Stxx +±− 1

11.)(21

21 −−

+±−N

nNnn

Stxx

D-ESTIMATIVA DO INTERVALO P/VARIÂNCIA

inf2

22

sup2

2 )1()1(χ

σχ

SnSn −≤≤

−

2)1()1(

21

222

211

−+−+−

=nn

SnSnS





EXERCICIOS - SÉRIE 1 - PÁG. 193 Construa os IC e interprete cada resultado Para a Média Populacional. 1. Foram retiradas 25 peças da produção diária de uma máquina, encontrando-se para uma medida uma

média de 5,2 mm. Sabendo-se que as medidas têm distribuição normal com desvio-padrão populacional 1,2 mm, construir intervalos de confiança para a média aos níveis de 90%, 95% e 99%.

2. De uma distribuição normal com a 2σ = 1,96, obteve-se a seguinte amostra: 25,2; 26,0; 26,4; 27,1;

28,2; 28,4. Determinar o intervalo de confiança para a . média da população, sendo α = 0,05 e α = 0,10. 3. Suponha que as alturas dos alunos de nossa faculdade tenham distribuição normal com a σ = 15 cm. Foi retirada uma amostra aleatória de 100 alunos obtendo-se X = 175 cm. Construir, ao nível de significância de 95% o intervalo para a verdadeira altura média dos alunos. 4. Dados n = 10, X = 110 e S = 10, determinar os intervalos de confiança g aos níveis de 90% e 95%. 5. Uma amostra é composta pelos seguintes elementos: 7, 7, 8, 9, 9, 9, 1 0, 11, 11, 11, 12, 13, 13, 14, 15, 15. Construir os intervalos de confiança para a média sendo: 1 - α = 97,5% e 1 -α = 75%. 6. Colhida uma amostra de 30 peças, forneceu os seguintes pesos: 250, 265, 267, 269, 271, 275, 277, 281, 283, 284, 287, 289, 291, 293, 293, 298, 301, 303, 306, 307, 307, 309, 311, 315, 319, 322, 324, 328, 335, 339. Por meio da construção do intervalo de confiança, responder se esta amostra satisfaz a especificação pela qual o peso médio deve ser 300 kg. Sugestão: Adote α = 5%. 7. Em uma fábrica, colhida uma amostra de certa peça, obtiveram-se seguintes medidas para os diâmetros: 10, l1, l1, l1, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16.

a) Estimar a média e a variância; b) Construir um intervalo de confiança para a média sendo α = 5%.

8. Em quatro leituras experimentais de um "comercial" de 30 segundos, u locutor levou em média 29,2 segundos com uma S2 = 5,76 segundos a quadrado. Construir os limites de confiança para a média. Dado α = 10 9. Construir intervalos de confiança para a média admitindo-se as seguinte distribuições amostrais, ao nível de 95%: a)

Classes 0 |--- 5 5 |--- 10 10 |--- 15 15 |--- 20 fi 2 3 5 2





Intervalos de Confiança para a Variância 10. Supondo populações normais, construir o intervalo de confiança para a variância ao nível de 90% para

as amostras: a) 44,9 - 44,1 - 43 - 42,9 - 43,2 - 44,5; b) 2 - 2 - 2 - 3 - 3 - 4 - 5 - 5 - 5 - 5 - 6 - 6 - 7 - 7 - 8.

11. Suponhamos que uma amostra de n = 10 fornecesse S2 = 2,25. Quais os limites de confiança a 80%

para a verdadeira variância?

12. Sendo X uma população tal que X = N ( µ ,2σ ) em que µ e

2σ são desconhecidos. Uma

amostra de tamanho 15 forneceu os valores .3,277,8 2∑∑ == JJ XeX Determinar um intervalo

de confiança de 95% para 2σ .

13. Determinar, ao nível de 99%, o intervalo para o desvio-padrão da população que deu origem à amostra

do exercício 6 desta série. 14. Qual é o intervalo de confiança que conterá com 90% a verdadeira variância de uma população normal

que resultou 80,436.238,700 2∑∑ == JJ XeX de uma amostra de 30 elementos? Intervalos de Confiança para a Proporção 15. Uma centena de componentes foi ensaiada e 93 deles funcionaram mais de 500 horas. Determinar um

intervalo de confiança de 95% para a proporção. 16. Uma amostra aleatória de 400 domicílios mostra-nos que 25% deles são casas de aluguel. Qual é o intervalo de confiança da proporção de casas de aluguel? α = 2%. 17. Em 50 lances de uma moeda, foram obtidas 30 caras. A partir de um intervalo de confiança de 96%,

pode-se dizer que a moeda é honesta? 18. Para verificar se um dado era viciado, jogou-se o mesmo 120 vezes, obtendo-se 25 vezes o número cinco. Calcular um intervalo de confiança para a proporção α = 1%. Pode-se dizer que o dado é viciado? 19. Uma amostra de 300 habitantes de uma cidade mostrou que 180 desejavam a água fluorada. Encontrar os limites de confiança de 90% e 95% para a proporção da população favorável a fluoração.





CAPÍTULO 9 – TESTES DE HIPÓTESES 9.1 - HIPÓTESE ESTATÍSTICA.

É uma suposição quanto ao valor de um parâmetri populacional que será verificada por um teste paramétrico ou uma afirmação quanto à natureza de população que será verificada por um teste de aderência. 9.1.1 - EXEMPLOS DE HIPÓTESES ESTATÍSTICAS: 1. A média populacional da altura dos estudantes brasileiros é 1,70m, isto é, a µ=1,70m. 2. 3% das peças são defeituosas. 3. A % dos desempregados em duas cidades vizinhas é igual. 9.2 - TESTE DE HIPÓTESE OU DE SIGNIFICÂNCIA. -O teste de hipótese é uma regra de decisão para aceitar ou rejeitar uma hipótese estatística com base nos elementos amostrais. -A finalidade de um teste de significância é avaliar afirmações sobre os valores de parâmetros populacionais. .3 – HIPÓTESE NULA ( Ho ) e ALTERNATIVA( H1). Ho = Hipótese Nula ou Hipótese de Nulidade. É uma hipótese de que não haja diferença. Formulada com expresso propósito de ser rejeitada. H1 = Hipótese Alternativa -É a definição operacional da hipótese de pesquisa do pesquisador. -A hipótese de pesquisa é a predição deduzida da teoria que está sendo comprovada. -A hipótese alternativa geralmente representa a suposição que o pesquisador quer prova. 9.4 - TESTE UNILATERAIS E TESTE BILATERAIS 1. TESTE BICAUDAL Ho = p = 0,50 H1 = p ≠ 0,50

α/2 α/2

Rejeitar Aceitar Ho Rejeitar Ho V.C. V.C. 2. TESTE UNICAUDAL À ESQUERDA Ho = p = 0,50 H1 = p<0,50

α

Rejeitar Aceitar Ho V.C. 3. TESTE UNICAUDAL À DIREITA Ho= p= 0,50 H1= p > 0,50 (desvio abaixo)

Aceitar Ho Rejeitar Ho V.C.





9.5 - TESTE DE SIGNIFICÂNCIA- PROCEDIMENTOS

Os teste de significância são usadas para avaliar afirmações sobre parâmetros populacionais. O processo geral consiste no seguinte: 1. Formular a hipótese nula e a hipótese alternativa. 2. Escolher a distribuição amostral adequada. 3. Escolher um nível de significância (valores críticos). 4. Calcular a estatística teste e comprá-la com os valores críticos. 5. Rejeitar a hipótese de nulidade se a estatística teste excede os valores críticos; caso contrário,

aceitá-la. Se o Ho é verdadeira: Distribuição amostral supondo Ho Verdadeiro

Estes resultados Estes resultados são prováveis Estes resultados não são prováveis não são prováveis. 9.6 - TESTE DE UMA AMOSTRA PARA MÉDIAS.e PROPORÇÕES -Utiliza –se o teste de uma amostra para tentar uma afirmação sobre uma única média populacional. -Escolhe-se o nível de significância, extrai-se uma amostra de n observação e calcula-se a média amostral e a estatística teste. Suponhamos que uma certa distribuição dependa de um parâmetro Θ e que não se conheça Θ ou, então, há razões para acreditar que o Θ variou, seja pelo passar do tempo ou, então, pela introdução de novas técnicas na produção, por exemplo. A Inferência Estatística fornece um processo de análise denominado Teste de Hipóteses, que permite se decidir por um valor do parâmetro Θ ou por sua modificação com um grau de risco conhecido.

Formulamos duas hipóteses básicas: H0 : hipótese nula ou da existência. H1: hipótese alternativa.

Testamos hipóteses para tomarmos uma decisão entre duas alternativas. Por essa razão o Teste de Hipótese é um Processo de Decisão Estatística.





Vejamos alguns exemplos de hipótese

· os chips da marca A têm vida média 0µµ = · o nível de inteligência de uma população de universitários é 0µµ = · o equipamento A produz peças com variabilidade menor que a do equipamento B: 22

BA σσ < · o aço produzido pelo processo A é mais duro que o aço produzido pelo processo B: BA µµ > .

Podemos, pois, apresentar as hipóteses genéricas que englobam a maioria dos casos:

1. para testes bilaterais

2.

>=

01

00

::

µµµµ

HH

para testes unilaterais à direita

3.

<=

01

00

::

µµµµ

HH

para testes unilaterais à esquerda

9.7 - ESTATÍSTICA TESTE= amostralãodistribuiçdapadrãoDesvioalegadamédiaxamostralmédia )()( µ−

1º) σx conhecido – A estatística Teste é: Zteste =

n

Xxσµ0−

2º) σx desconhecido- A estatística Teste é: tteste =

ns

Xx

0µ−

9.8 - DISTRIBUIÇÃO DE t DE STUDENT COMPARAÇÃO DE DUAS MEDIAS: T.H. PARA A DIFERENÇA DE DUAS MEDIAS

Analisaremos os vários casos de comparações de médias de duas populações normais. Em geral faremos testes sobre a diferença entre duas médias populacionais: dH µµµ =−= 210 sendo na maioria dos casos 0=dµ , o que significa que estaremos testando a igualdade entre as médias: 210 : µµ =H

Consideraremos dois casos na comparação das médias: dados emparelhados (populações correlacionadas) e, dados não emparelhados (populações não correlacionadas). 9.9 - DADOS EMPARELHADOS Fazemos testes de comparação de médias para dados emparelhados quando os resultados das duas amostras são relacionados dois a dois, de acordo com algum critério que fornece uma influência entre os vários pares e sobre os valores de cada par. Para cada par definido, o valor da primeira amostra está claramente associado ao respectivo valor da segunda amostra.

Para exemplificar, tomaremos um grupo de pessoas que fizeram determinada dieta por uma semana. Medimos o peso no início e no final da dieta. As pessoas estão claramente determinadas. A identidade de cada uma tem influência nos valores observados de seu peso, porém essa influência deve ser aproximadamente igual dentro de cada par de valores do tipo "antes" e "depois".





Ao tomarmos a diferença entre vários pares de valores e trabalharmos com elas, a influência

individual de cada pessoa deverá desaparecer, ficando apenas a influência da dieta. Calculamos as diferenças para cada par de valores, produzindo dados de uma amostra de n

diferenças.

<>==−

00:0:

1

21'0

dd

d

ouHH

µµµµµ

nS

SondeS

dt dd

d

=−

=µ

r

∑=

=n

iid

nd

1

1

:d média da amostra das diferenças :dµ valor das diferenças entre médias das populações a ser testado

Sd: desvio padrão da amostra das diferenças N: tamanho da amostra das diferenças. 9.10 - TIPO DE ERROS - ERROS DE DECISÃO Podemos cometer um erro de decisão quando feito o Teste de Hipótese:

1. Rejeitamos uma hipótese nula verdadeira: é o denominado erro de 1ª espécie ou do tipo I. 2. Não rejeitamos uma Ho falsa: é o chamado erro de 2ª espécie ou erro do tipo II.

Resumindo: Decisão H0 Verdadeira Falsa Não rejeitar Não há erro Erro do tipo II- β Rejeitar Erro do tipo I Não há erro Só podemos cometer o erro do tipo 1 quando rejeitamos Ho, e o erro do tipo II, quando não rejeitamos H0. 1. ERRO TIPO I ou erro de primeira espécie: “ Comete-se um erro TIPO I rejeitando-se Ho é

verdadeira. A PROBABILIDADE DE UM ERRO Tipo I é igual ao nível de significância de um teste de hipótese, α (alfa)”.

2. ERRO TIPO II ou erro de Segunda espécie ( β, Beta). “Comete-se um erro Tipo II aceitando-se Ho quando ela é falsa.”





9.11 - FÓRMULAS PARA TESTES DE HIPÓTESES 1)

nZX σ

± 2) 1−

−±

NnN

nZX σ

3) n

StX ±

4) n

SkX ± 5) αα

=k 6)

n

xz t σ

µ0−=

7)

1

0

−−

−=

NnN

n

xz t

σ

µ 8)

ns

xk t

0µ−= 9)

ns

xt t

0µ−=

10)

2

22

1

21

21

nn

XXZ t

σσ+

−= 11) 2

1k

P = 12)

2

22

1

21

21

nS

nS

XXtt

+

−=

13)

+

−+

−+−

−=

2121

222

211

21

112

)1()1(nnnn

SnSn

XXtt 14) 2

22 )1(

σSnX t

−= 15)

)1(2 −

−

=n

S

z tσ

σ

16)

npp

ppZ

oot

)1(0

−

−= 17)

+−

−=

21

21

11)1(nn

pp

ppZ t 18)

21

21

nnxx

p++

= 19)n

dd ∑=

20) n

SddS = 21) 1

).( 22

−

−= ∑

ndnd

Sd 22) n

LSC σµ

3+=

23) n

LIC σµ

3−= 24) ∑ −

=E

EO 22 )(

χ 25) dS

dt t =

26) N

CLf e

∑ ∑=))((

EXERCÍCIOS - SÉRIE II - CAPÍTULO 9 - página 218 Testes para a Média Populacional

1 . Uma amostra de 25 elementos resultou média 13,5 com desvio-padrão 4,4. Efetuar o teste ao nível de 0,05 para a hipótese que µ = 16 contra µ ≠ 16; e µ < 1 6.

2 . Retirada uma amostra de 15 parafusos, obteve-se as seguintes medidas para seus diâmetros:

10 10 10 11 11 12 1 2 12 12 13 13 14 14 14 15

Testar Ho: µ = 12,5 contra µ ≠ 12,5; µ > 12,5; µ < 12,5. Adotando α = 0,05. 3. Dada a distribuição amostral Classes 5 |--- 10 10 |--- 15 15|---- 20 20|---- 25 25|---- 30 fi 3 5 8 3 2

Testar a hipótese de que a média da população é 20 contra H,: µ ≠ 20, sendo α = 2,5%.





4. As estaturas de 20 recém-nascidos foram tomadas no Departamento de Pediatria da FMRP, cujos resultados são em cm.:

41 50 52 49 49 54 50 47 52 49 50 52 50 47 49 51 46 5 0 49 50

a) Suponha inicialmente que a população das estaturas é normal com variância 2 cm2; teste a hipótese de que a média desta normal é 50 cm (α = 0,05 ) ( teste unicaudal ).

b) Faça o mesmo teste para a média, mas agora desconhecendo a variância ( teste unicaudal ); 5. 15 animais foram alimentados com uma certa dieta durante 3 semanas e verificou-se os seguintes aumentos de pesos: 25 30 32 24 40 34 37 33 34 28 30 32 38 29 31 Testar a hipótese de que a média é 30, sendo α = 10% ( teste bicaudal ). Testes para a Variância Populacional 6. Um laboratório fez oito determinações da quantidade de impurezas em porções de certo composto. Os valores eram: 12,4; 12,6; 12,0; 12,0; 12,1; 12,3; 12,5 e 12,7 mg. a) Estimar a variância de impurezas entre porções.

b) Testar a hipótese de que a variância é 1, ao nível de α = 0,05 e α = 0,10, contra H,: 2σ < 1.

7. Testar Ho : 2σ = 10 contra H1 :

2σ ≠ 10 admitindo a seguinte distribuição: Classes 5 |-- 10 10 |-- 15 15 |-- 20 20 |-- 25 25 |-- 30 .fi 3 5 8 3 1 Admita α = 20%

8. Suponha X = N( µ , 2σ ) em que µ e

2σ são desconhecidos. Uma amostra de tamanho 15 forneceu

23,277,8 2∑∑ == JJ XeX . Testar a hipótese de que a variância da população é 4. Adotar α = 1% (testes uni e bicaudal). Testes para a Proporção 9.Uma amostra de 500 eleitores selecionados ao acaso dá 52% ao Partido Democrático. Poderia esta amostra ter sido retirada de uma população que tivesse 50% de eleitores democratas? Admita α = 0,05. 10. Com base na tabela Cigarros Cigarros Não fumam Total Slfiltro Clfiltro Homens 12 64 14 90 Mulheres 8 26 16 50 Total 20 90 30 140

a) Testar a hipótese de que a proporção de fumantes é 80% sendo α = 0,04. b) Testar a hipótese de que a proporção dos que fumam cigarros com filtro é 70%. α = 0,02. c) Testar a hipótese de que a população de fumantes femininas é 40%. α = 0,01.

11. Lança-se uma moeda 1 00 vezes e obtém-se 60 caras. Testar ao nível de 5% a hipótese de que a

moeda é honesta. 12. Uma pesquisa revelou que das 500 donas de casas consultadas, 300 preferiram o detergente A. Testar a

hipótese ao nível de 0,04 para H0: p = 0,5 contra H,: p ≠ 0,5.





13. A experiência tem demonstrado que 40% dos estudantes são reprovados num exame de ESTATÍSTICA (?). Se 40 de 90 estudantes fossem reprovados, poderíamos concluir que esses estudantes são inferiores em Estatística? α = 5%.

Testes para a Igualdade de Duas Variâncias 14. Para verificar a eficácia de uma nova droga foram injetadas doses em 72 ratos, obtendo-se a seguinte

tabela: Tamanho da amostra Variância Machos 41 43,2 Fêmeas 31 29,5

Testar a igualdade das variâncias sendo α = 10%. 15. Tome duas dietas quaisquer do exercício 19 e teste a igualdade das variâncias sendo α = 10%. 16. Sendo α = 10%, testar a igualdade das variâncias para as duas marcas A e B do exercício 18.

Testes para a Igualdade entre Duas Médias

17. Sendo: Amostra 1: n, = 60; X = 5,71; 2σ = 43

Amostra 2: n2 = 35; X = 4,12: 2σ = 28

testar H0: µ 1 = µ 2 sendo α = 0,04. 18. Na tabela abaixo estão registrados os índices de vendas em 6 supermercados para os produtos concorrentes da marca A e marca B. Testar a hipótese de que a diferença das médias no índice de vendas entre as marcas é zero. Sendo α = 5%.

SUPERMERCADO Marca A Marca B 1 14 4 2 20 16 3 2 28 4 11 9 5 5 31 6 12 10

=AX =BX SA = SB = tcrítico= tteste = 19. Com a finalidade de se estudar a influência da dieta no ganho de peso de prematuros, um grupo de 25 recém-nascidos (com pesos entre 1500 e 2000 g) foi dividido em 5 grupos de 5 crianças cada, e submetidas a diferentes dietas. Os dados abaixo representam o ganho médio diário em gramas: DIETAS Cálculos A B C D E 22 22 42 21 26 31 26 30 21 19 31 24 28 17 23 26 21 26 19 25 27 40 25 28 17 α 137 133 151 106 110

∑ 2iX 3811 3777 4749 2316 2480

=X S = a) Tome 2 dietas quaisquer e teste a igualdade de médias. α =0,05. b) Repita o teste para outras duas.





20. Da população feminina extraiu-se uma amostra resultando:

Renda ( em $ 1.000) 10 |-- 25 25 |-- 40 40 |-- 55 55 |-- 70 70 |-- 85 No. De mulheres 7 12 10 6 4 Da população masculina retirou uma amostra resultado: Rendas ( em $ 1.000) 15 |-- 30 30 |-- 45 45 |-- 60 60 |-- 75 75 |-- 90 No. De homens 8 15 12 7 3 Testar ao nível de 10% a hipótese de que a diferença entre a renda média dos homens e das mulheres valha $ 5.000,00. Testes para igualdade de duas proporções: 21. Uma empresa de pesquisa de opinião pública seleciona, aleatoriamente, 300 eleitores de São

Paulo e 400 do Rio de Janeiro, e pergunta a cada um se votará ou não no candidato A nas próximas eleições. 75 eleitores de SP e 120 do RJ respondem afirmativamente. Há diferença significativa entre as proporções de eleitores a favor de A naqueles dois Estados? Use α = 5%.

22. Estão em teste dois processos para fechar latas de comestíveis. Numa seqüência de 1.000

latas, o processo 1 gera 50 rejeições, enquanto o processo 2 acusa apenas 200 rejeições. Pode-se, no nível de 0,05, concluir que os dois processos sejam diferentes?

23. Numa pesquisa sobre possuidores de videocassete, encontram-se 120 das 200 casas

pesquisadas do bairro X e 240 das 500 residências do bairro Y. Há diferença significativa entre a proporção de possuidores de vídeo nos dois bairros? Use α = 10%.

CAPÍTULO 10 – ESTATÍSTICA NÃO PARAMÉTRICA TESTES DE ADERÊNCIA E TABELAS DE CONTINGÊNCIA

10.1 - TESTES DE ADERÊNCIA

Consideremos um experimento aleatório onde: k - categoria de provas ou classes; Oi - freqüência absoluta observada da i-ésima categoria; Ei - freqüência absoluta esperada da i-ésima categoria.

Definimos neo

eoe

EEO n

i i

i

i

iin

i i

ii −=−

=−

= ∑∑∑== 1

22

1

22 )()(

χ

Sendo que necessariamente: ∑∑==

==n

ii

n

ii noe

11

Por meio dessa expressão podemos realizar testes que permitam verificar se os resultados práticos obtidos em um experimento aleatório seguem uma determinada distribuição. No teste, só há uma região de rejeição à direita, pois quanto mais próximo for Oi de Ei, portanto mais próximo ao zero (à esquerda da 2χ ), mais perfeita será a aderência testada.





Faremos testes de aderência para verificar se determinados dados seguem uma distribuição de probabilidade, como Binomial, Poisson ou Normal. Podemos verificar também se há distribuição de famílias por classes de renda, por exemplo. 10.2 - Ajustamentos e Testes de Aderência Apresentamos um procedimento para efetuarmos um ajustamento e o teste de aderência desse ajustamento: 1) realiza-se um levantamento da amostra e ordenam-se os dados; 2) observa-se o tipo de distribuição e propõe-se um modelo para a distribuição: Binomial,

Poisson, Normal etc. 3) estimam-se os parâmetros de que dependem esta distribuição proposta; 4) com estas estimativas, executa-se o ajustamento, verificando quais seriam os valores esperados,

com base nessa estimativa, isto é, testa-se a aderência, verificando-se se é possível admitir que os valores observados seguem a distribuição proposta.

EXEMPLO 1. Seja um dado que é lançado 120 vezes.

Testar a hipótese de que os dados sejam perfeitos, ao nível de 5%. Ho: O dado é perfeito (honesto). H1: O dado não é perfeito. Nota-se que as hipóteses são qualitativas. (g.l.= rk −−=Φ )1( , onde r são os estimadores, neste caso não é usado nenhum). Como por Ho o dado é perfeito, deveremos ter como Ei, = valor esperado de cada face 20 vezes, pois as faces são equiprováveis e

2061.120

61

=∴=p vezes cada face. A tabela abaixo determina

faces Oi Ei 2iO ii EO /2

1 25 20 625 31,25 2 17 20 289 14,45 3 15 20 225 11,25 4 23 20 529 26,45 5 24 20 576 28,80 6 26 20 256 12,80 Total(n) 120 125,00

5120125 22 ==>−= calccalc χχ

0705,115016..%5 2%5,5

2 ===−−==Φ= χχα critentãolg 95% RC Como 5% 11,0705 Como 22

critcalc χχ < , não se rejeita H0, isto é, ao nível de 5%, podemos concluir que o dado é perfeito, honesto. 10.3 Tabelas de Contingência São tabelas de dupla entrada construídas com o propósito de estudar a relação entre as duas variáveis de classificação. Em particular, pode-se desejar saber se as duas variáveis são relacionadas de algum modo. Por meio do teste 2χ é possível verificar se as variáveis são independentes. Se r = número de linhas e c=número de colunas, então o número de graus de liberdade é )1)(1( −−=Φ cr = (l -1)(c - 1).





10.4- EXEMPLO No Congresso Americano, grupos de Democratas e Republicanos votaram em um projeto de interesse nacional como está na tabela abaixo. Ao nível de 5%, testar a hipótese de não haver diferença entre os dois partidos, com relação a esse projeto. Partido\Votos A favor Contra Indecisos Total Democratas 25 78 37 Republicanos 118 61 25 Total Resp.: 2)!3)(12(%59915,50881,9 22 =−−=Φ==== αχχχ αcritcalc Rejeita-se H0, logo os políticos não votaram independentemente da orientação de seus partidos. Observação Quando Φ =1, o teste não é tão eficiente como nos outros casos. Yates sugeriu que fosse feita uma correção de continuidade:

{ } { }∑∑ −−

=−−

== i

iin

i i

ii

eoe

EEO 2

1

22 5,0||5,0||

χ





EXERCÍCIOS - SÉRIE I - CAPÍTULO 10 – página 226 1.Uma moeda é lançada 200 vezes e verifica-se 110 caras e 90 coroas. Testar a honestidade da moeda, sendo α = 0,10. 2.Um dado é lançado 180 vezes e as seguintes freqüências são observadas: Eventos Sair o 1 Sair o 2 Sair o 3 Sair o 4 Sair o 5 Sair o 6 Freqüências 31 28 35 26 29 31 Testar a hipótese do dado não ser viciado adotando α = 0,05 e α = 0,025 3. Em 240 lances de um par de dados, observaram-se 17 somas “4” e “ 42” somas “ 7”. Verificar

se os dados são honestos adotando o nível de significância 0,01. 4. O último algarismo do CIC/CPF de 40 pessoas resultou: 2 8 0 4 5 7 3 7 7 4 3 2 1 0 9 6 5 9 1 9 8 0 3 3 2 1 9 8 7 6 6 0 1 2 4 9 3 7 6 4 Testar se é razoável supor esses números aleatórios, α = 5%. 5. O número de pessoas de certa raça que possua 4 tipos de sangue estaria nas proporções 0,18; 0,48; 0,20; 0,14. Dadas as freqüências observadas de 180; 360; 130; e 100 para uma outra raça, coloque à prova a hipótese da igualdade das distribuições . Adote α = 2,5 %. 6. O número de livros emprestados por uma biblioteca, durante uma determinada semana, está indicando a seguir. Testar a hipótese de o número de livros emprestado não depender do dia da semana, sendo α = 0,01.

Dia da semana Seg Ter Qua Qui Sex Nº de livros emprestados 110 135 120 146 114

. EXERCÍCIOS - SÉRIE II - CAPÍTULO 10 – página 231 1. Testar (α = 5%) se há alguma relação entre as notas escolares e o salário.

NOTAS ESCOLARES ALTA MÉDIA BAIXA TOTAL %

fO fe fO fe fO fe fO fe ALTO 18 17 5 MÉDIO 26 38 16 BAIXO 6 15 9 TOTAL %

S A L Á R I O S

2.A tabela apresenta os resultados de um experimento destinado a investigar o efeito da vacinação de animais contra determinada doença. Testar a homogeneidade dos resultados utilizando: a) α = 5%; b) α = 1%.

Contraíram a doença Não contraíram a doença Vacinados 14 42 Não vacinados 16 28





3. Determine o valor do coeficiente de contingência considerando os dados: Arena PMDB Homens 50 72 Mulheres 29 35 4. Verificar se há associação entre os níveis de renda e os municípios onde foram pesquisados 400

moradores. Adote α = 1% Níveis de renda Municípios A B C D

1 28 42 30 24 2 44 78 78 76 5. O dados abaixo são o resultado de um questionário aplicado a 500 eleitores.

Partidos Opinião a respeito Da pena de morte Esquerda Centro Direita Total fO fe fO fe fO fe Aprovam 35 50 80 Não aprovam 45 80 60 Sem opinião 20 70 60 TotaL Os dados sugerem que a opinião em relação à pena de morte seja independente do partido? Use α = 5%. EXERCÍCIOS - SÉRIE III - CAPÍTULO 10 – página 247. 1. Para cada uma das situações aplique o teste dos sinais e o teste de Wilcoxon. Adote α = 2,5%. a) Indivíduos submetidos a um programa de dieta. Peso (kg) pré-dieta Peso (kg) pós-dieta Continuação 55 50 48 50 63 65 49 51 78 78 90 81 81 79 93 85 68 70 90 90 58 57 56 58 60 58 66 64 60 62 67 68 75 70 73 70 85 81 74 70 90 80 48 53 50 60 68 65 58 55 72 70 83 75 86 83 47 52 80 81 b) Veículos com um novo aditivo. Km/l Antes Depois Antes Depois 8,7 9,3 4,8 5,5 9,8 9,2 6,7 6,8 10,0 9,5 8,3 8,5 9,6 9,6 9,5 9,0 8,5 8,8 10,5 10,0 5,8 6,5 12,5 13,0 6,3 7,0 12,5 12,0 12,5 11,5 9,0 10,0 8,8 8,9 14,0 12,0 7,3 8,0 13,0 11,0 12,5 11,0 9,5 10,5 13,8 14,0 8,0 9,3





2. Use o teste de Mann-Whitney para determinar se a média do grupo X é maior do que a média do grupo Y. Adote α = 1%.

X: 63 65 70 48 50 81 88 99 35 47 75 85 61 Y: 90 50 60 70 40 38 89 47 51 65 87

3. Aplique o teste da mediana nos dados do Exercício 2. Adote α = 1%. Compare as conclusões. 4. São dadas as durações (em km) de duas marcas de amortecedores. Aplique um teste para

verificar a igualdade das quilometragens. Use α = 5%. Marca A Marca B 26.560 33.400 21.900 29.600 28.800 25.500 27.700 27.900 31.800 24.500 24.500 23.800 27.800 27.800 30.600 30.100 25.600 28.860 24.600 27.700 25.400 24.450 35.500 32.300 26.300 34.300 27.900 28.400 5. Testaram-se quatro tipos de lâmpadas para determinar se havia diferença entre suas vidas médias. Adote α = 5% para realizar o teste estatístico que confirma, ou não, a igualdade da duração. MARCA A 704 604 1.038 881 924 672 723 591 MARCA B 752 709 717 921 761 991 805 981 MARCA C 873 666 1.021 992 816 918 978 1.203 MARCA D 690 850 824 856 915 734 799 700 6. Verificar se há diferença entre as vendas médias dos shoppings. Use α = 2,5%. (Em $ 1.000.000) A 3,2 4,8 5,0 2,7 1,8 6,0 7,0 5,5 B 6,2 1,3 1,7 2,0 5,0 2,3 C 5,0 4,0 3,0 2,0 1, 7 1,0 4,5





CAPÍTULO 11 - ANÁLISE DA VARIÂNCIA - COMPARAÇÃO DE VÁRIAS MÉDIAS - (ANOVA) 11.1 – INTRODUÇÃO Trata-se de um método estatístico, desenvolvido por Fisher, que através de testes de igualdades de médias, verifica se fatores produzem mudanças sistemáticas em alguma variável de interesse. Os fatores propostos podem ser variáveis quantitativas ou qualitativas, enquanto a variável dependente deve ser quantitativa (intervalar) e é observada dentro das classes dos fatores - os tratamentos. Ex.: pode-se estar interessado no consumo de combustíveis dos automóveis. Poder-se-ia admitir que a marca do veículo, idade, potência etc. como fatores. Por meio da análise da variância é possível verificar se as marcas, idade, potência,..., ou uma combinação desses fatores produzem efeitos apreciáveis sobre o consumo, ou se concluir que tais fatores não têm influência sobre o consumo. 11.1.1 – HIPÓTESES DO MODELO Há três suposições básicas que devem ser satisfeitas para que se possa aplicar a análise da variância.

1. As amostras devem ser aleatórias e independentes. 2. As amostras devem ser extraídas de populações normais. 3. As populações devem ter variâncias iguais.

11.2 - CLASSIFICAÇÃO ÚNICA OU EXPERIMENTO DE UM FATOR. Admite-se um único fator (variável independente) que é subdivido em tratamentos (níveis do fator). A variável de estudo (variável dependente) é medida através de amostras de cada tratamento. Eis a configuração desse tipo de experimento: 11.3 - CLASSIFICAÇÃO ÚNICA OU EXPERIMENTO DE UM FATOR.

Tratamentos Ementos da amostra

1

2

3

.......

1 X11 X21 X31 Xk1 2 X12 X22 X32 Xk2 3 X13 X23 X33 Xk3 ... ni X1n1 X2n2 x3n3 xknk Somas TOTAL Médias 1x 2x 3x kx x





11.4 – Quadro de Análise de Variância Fonte de Variação Soma de Quadrados Graus de Liberdade Quadros Médios Teste F Entre Tratamentos (colunas)

eQ K – 1 1

2

−=

KQS e

e

Dentro das Amostras (Linhas/Residual)

etr QQQ −= n - k KnQQS et

r −−

=2

2

2

r

ecak S

SF =

Total tQ n - 1 Ho: kµµµµ ==== ...321 A hipótese alternativa é de que pelo menos um par de médias seja diferente: H1: qp µµ = para qp ≠ A aceitação de Ho revelará que o fator considerado não acarreta mudanças significativas na variável de estudo. Por outro lado, a rejeição de Ho indicará, com risco α , que o fator considerado exerce influência sobre a variável de estudo. F tabelado com (k-1) g.l. no numerador e (n-k) no denominador, fixando certo nível α de significância. Se tabcal FF ≤ , então aceita-se Ho e conclui-se com risco α que o fator considerado não causa efeito sobre a variável em estudo. Por outro lado, se tabcal FF > , rejeita-se Ho, concluindo-se pela diferença das médias e conseqüente influência do fator sobre a variável analisada. 11.5 – CLASSIFICAÇÃO DE DOIS CRITÉRIOS OU EXPERIMENTOS DE DOIS FATORES Admitem-se dois fatores (variáveis independentes). A variável de estudo (variável dependente) é observada em cada cela, combinação dos tratamentos do fator 1, e dos blocos do fator 2. Tem-se uma tabela de “k” colunas e “L” linhas. Ou seja, K . L = n observações. 11.6 - Primeiro critério (colunas) = tratamentos. FATOR (1)

Tratamentos Ementos da FATOR(1) Amostra - FATOR(2)

1

2

3

.......

K

X11 X21 X31 Xk1 X12 X22 X32 Xk2 X13 X23 X33 Xk3 X1n1 X2n2 x3n3 xknk TOTAL

Segundo Critério (linhas) Blocos

1x 2x 3x kx x





11.7 – Quadro de Análise de Variância – QAV Fonte de Variação Soma de Quadrados Graus de

Liberdade Quadros Médios Teste F

Entre colunas Tratamentos FATOR 1

( )C

Lx

QI

ijEC −

= ∑ ∑ 2

K – 1 1

2

−=

KQS EC

C

Entre linhas Blocos/Dentro das Amostras/Residual) FATOR 2

( )

CKx

QI

ijEL −

= ∑ ∑ 2

L - k

12

−=

LQS EL

L

Residual ELECtr QQQQ −−= (K-1(L-1) )1)(1(

2

−−=

LKQS r

r

Total CxQi j

ijt −= ∑∑ 2 n - 1

2

2

r

CCcal S

SF =

2

2

r

LLcal S

SF =

11.8 - EXPERIMENTO DE DOIS FATORES COM REPETIÇÃO Nesse caso haverá mais de um valor correspondente a um tratamento e um bloco. Admite-se que haja R valores para cada posição. Tem-se K colunas (tratamentos); L linhas(blocos) e R observações para cada interação. 11.9 – Quadro de Análise de Variância – QAV Fonte de Variação Soma de Quadrados Graus de

Liberdade Quadros Médios Teste F

Entre colunas

ECQ K – 1 1

2

−=

KQS EC

C

Entre linhas

ELQ

L - k 1

2

−=

LQS EL

L

Devida à Interação Qi (L-1)(K-1) )1)(1(

2

−−=

LKQ

S ii

Residual Qr LK(R-1) )1(

2

−=

RLKQS r

r

Total CxQi j

ijt −= ∑∑ 2 n - 1 1(

2

−=

nQ

S tt

2

2

r

CCcal S

SF =

2

2

r

LLcal S

SF =

2

2

r

IIcal S

SF =

Os Fcal da última coluna podem ser usados para testar as hipóteses nulas:

:COH Todas as médias de tratamento(colunas) são iguais;

:LOH Todas as médias de blocos (linhas) são iguais;

:IOH Não há interações entre tratamentos e blocos.





EXERCÍCIOS - SÉRIE 1 - CAPÍTULO 11 – página 282 1. Quatro analistas determinaram o rendimento de dado processo, obtendo: Analistas ________________________________________ 1 2 3 4 ________________________________________ 26 17 36 20 27 20 33 18 24 22 31 17 25 21 29 22 29 21 28 23 _______________________________________

Determine: a) as médias para os diferentes analistas; b) a média total; c) a variação total; d) a variação entre tratamentos; e) a variação dentro dos tratamentos (residual); f) se há diferença entre as médias, adote α = 5%; g) se possível, identifique os pares de médias diferentes, usando o teste de Scheffé.

2. Uma companhia deseja testar Quatro tipos diferentes de válvulas A, B, C, D. .As vidas médias

em horas constam da tabela que segue, em que cada tipo foi testado aleatoriamente em seis aparelhos idênticos. Teste se há diferença significativa entre as válvulas, ao nível de 5%.

A 53 58 56 60 51 55 B 52 60 52 58 50 54 C 51 57 55 53 54 50 D 49 54 52 50 53 51 3. São feitas cinco misturas da mesma liga metálica e para cada mistura serão efetuadas seis

determinações da densidade. Os resultados são: Densidades Mistura A 3,6 3,5 3,7 3,1 3,1 3,2 Mistura B 3,3 3,5 3,4 3,2 3,4 3,4 Mistura C 3,5 3,3 3,4 3,4 3,3 3,2 Mistura D 3,5 3,4 3,0 3,3 3,3 3,8 Mistura E 3,7 3,4 3,6 3,5 3,6 3,4

Há evidência de que certas misturas tenham densidade média maior do que outra? α = 5%. 4. Os dados a seguir representam, em segundos',' o tempo gasto por cinco operários para realizar

certa tarefa, usando três máquinas diferentes. Considerando α = 5%, verifique se há diferenças entre as máquinas e entre os operários.

Máquinas Operários A B C 1 40 59 42 2 39 55 51 3 47 55 45 4 45 50 40 5 52 52 41





5. Plantam-se quatro tipos diferentes de sementes de café em cinco blocos. Cada bloco é dividido em quatro lotes, pelos quais se distribuem, então, aleatoriamente, os quatro tipos de sementes. Ao nível de significância de 0,05, teste se a produção, indicada na tabela, varia significativamente:

a) devido ao solo (isto é, os cinco blocos); b) devido à variedade do café.

Tipos de café I II III IV A 15 12 10 14 B 19 15 12 11 Blocos C 18 14 15 12 D 16 11 12 16 E 17 16 11 14 6 A seguir estão anotadas as quantidade vendidas de certo artigo, considerando-se três preços de venda e três tipos de distribuidores: Preços Distribuidores P1 = 54 P2 = 49 P3 = 44 Farmácias 78 - 76 108 - 106 124 - 122 74 - 77 110 - 104 123 - 125 Drogarias 78 - 78 108 - 110 126 - 125 80 - 77 111 - 107 122 - 128 Outros 80 - 78 110 - 106 128 - 130 79 - 81 108 - 111 126 - 129

a) Testar se a distribuição interfere nas quantidades vendidas; b) testar se o preço interfere nas quantidades vendidas; c) testar o efeito da interação. Observação: Adote α = 5% para os três testes.

7. Três técnicos fazem três determinações de dureza em cada um de quatro blocos de certo metal.

Ao nível de 5% determine se a) as durezas médias dos blocos são constantes; b) as determinações dos técnicos são iguais; c) há alguma interação entre técnicos e blocos.

Blocos Técnicos 1 2 3 4 x 516 513 514 517 513 513 512 508 511 506 505 506 y 529 517 519 513 510 511 509 512 513 508 508 508 z 518 520 518 517 515 516 506 508 509 507 506 506 8. Um experimento foi executado por seis máquinas e dez operários, de modo que cada operário

use cada máquina apenas uma vez. Complete o quadro a seguir e faça as conclusões ao nível de 5%.

Fonte de variação Soma dos quadrados G.L. Quadrados médios Teste F Entre máquinas 904 Entre operários 2.334 Resíduo Total 5.832 8. Aplique a regra de Scheffé para descobrir as médias diferentes, considerando os dados do

Exercício 7.





11.10 – TESTES DA ANOVA O método de análise de variância indica a aceitação ou rejeição da hipótese de igualdade das médias. Se Ho for rejeitada, pelo menos uma das médias é diferente das demais . A análise da variância permite afirmar que, ao nível de 5% de significância, existe pelo menos uma média de tratamentos diferentes. Surge, então, a questão: Quais médias devem ser consideradas diferentes? Existem alguns testes para a solução dessa questão.

1º) teste de Tukey (Sônia Vieira- pág. 236) r

RMQqsmd ..... =

onde: q é um valor obtido em uma tabela de Student, ao nível de significância α . Q.M.R. = Quadrado Médio do Resíduo. R = é o número de elementos submetidos a cada tratamento. 2º) teste de SCHEFFÉ(Fonseca/Martins-pág, 279): a) Para o caso do modelo de classificação única:

)]();1[(11)(1(9|| 2 KnKFNn

KSXXBA

rBA −−+−>− α

Cap 12 - CORRELAÇÃO E REGRESSÃO

Prof. Armando Andreazza CORRELAÇÃO: Estuda a relação entre duas variáveis com o auxílio de um gráfico(chamado diagrama de dispersão) e de um medida(chamada coeficiente de correlação linear) REGRESSÃO: Estuda as relações lineares entre duas variáveis com o auxílio da equação e do gráfico de uma linha reta, chamada reta de regressão. INTERVALO DE VARIAÇÃO E DE PREDIÇÃO: Este método analisa as diferenças existentes entre os valores preditos de uma variável e os valores efetivamente observados. REGRESSÃO MÚLTIPLA: Este método procura uma equação linear que relacione três ou mais variáveis. O coeficiente de determinação múltipla é apresentado como uma medida de quão bem os pontos amostrais se ajustam, ou aderem, à equação linear. CORRELAÇÃO: Existe uma CORRELAÇÃO entre duas variáveis quando uma delas está, de alguma forma, relacionada coma outra. Vamos determinar (para dados emparelhados ou bivariados) se há correlação entre a variável X e a variável Y.

1 - EQUAÇÃO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Uma medida da “quantidade do ajustamento” da curva C aos dados apresentados(aderência) é proporcionada pela quantidade 22

221 ... nDDD +++ D, se ela é pequena, o ajustamento é BOM; se é

grande o ajustamento é MAU.





DEFINIÇÃO: de todas as curvas que se ajustam a um conjunto de pontos, que tem a propriedade de apresentar o mínimo valor de: 22

221 ... nDDD +++ , é denominada a melhor curva de

ajustamento. bXaYEst += Para calcular o valor dos coeficientes utilizamos as fórmulas abaixo: Coeficiente Linear: a Coeficiente Angular(declividade): b Os valores de seus parâmetros “a” e “b” são determinados, pelo método dos mínimos quadrados pela resolução do seguinte sistema de equação:

bN

=−

Σ Σ ΣΣ ΣXY- X. Y

N X X)2 2( a =Σ ΣY - b X

N

Ex.1) Y = f(x) ou P = f (L/a), que se lê: O preço (P) é uma função f(x) do lucro-por-ação (L/a). Por esta metodologia, procede-se, em primeiro lugar, a definição da função P/L do mercado, no momento em que se está determinando o preço de lançamento da ação. Para tanto levanta-se os lucros/ação e os preços para o conjunto de ações pertencentes ao setor ou ao mercado como um todo e, por ajuste de regressão, define a função ajustante de menor erro padrão de estimativa. A título de exemplo, tem-se os seguintes preços médios ( P) e as relações do lucro por ação (LPa) levantados da Revista Bolsa (nº 624), relativos a empresas pertencentes ao índice BOVESPA, selecionadas ao acaso. EMPRESA AÇÃO (Lpa=X) (P=Y) ( Lpa)2 P. (Lpa) (P)2 BANESPA PN 1,93 10,12 BANCO NACION ON 1,37 7,50 CEMIG PN 0,10 0,95 SOUZA CRUZ ON 4,32 37,00 DOCAS DE SAN ON 2,14 20,90 FERRO BRASILE PN 0,73 2,30 PETROBRÁS PN 1,55 29,91 UNIPAR PB 1,74 17,00 TOTAIS ( ∑ )

2- Admitindo-se que a função de melhores ajustes seja uma reta do tipo: P = a + b (Lpa) < ----------> Y = a + bX Preço = f( Lucro por Ação)

Construa o gráfico dos dados acima. 3 - CORRELAÇÃO de Pearson ( r ou R):

]Y)(-Y][NX)(-X[X.

2222 ΣΣΣΣ

ΣΣ−Σ=

NYXYNR





Características de R: 1. O valor de r varia de -1 a +1: 11 +≤≤− R 2. Um relacionamento positivo ( R é +) entre duas variáveis indica que os valores altos ou baixos de

uma das variáveis, correspondem valores altos ou baixos da outra. 3. Se R = + 1 indica um relacionamento perfeito e posotivo. 4. Se R = - 1 indica um relacionamento negativo e perfeito 5. Um relacionamento negativo ( R é -) entre duas variáveis indica que os valores altos ou baixos

de uma das variáveis, correspondem valores altos ou baixos da outra. 6. Se R = 0 indica total ausência de relacionamento entre as variáveis. 4 – Coeficiente de Determinação ( R2): ( R ) 2 ( % )

yemtotaliânciayemlicadaiânciaR

varexpvar2 =

5 - DADOS POR POSTOS: O COEFICIENTE r DE SPEARMAN. A correlação por postos de Spearman é uma técnica não-paramétrica para avaliar o grau de relacionamento entre observações emparelhadas de duas variáveis, quando os dados se dispõem em postos.

)1(6

1 2

2

−−= ∑

nnd

Rsp

Ex.:1. Dois provadores devem julgar 12 vinhos. Cada um atribuirá postos denotando a preferência, desde 1 (mais alta ) até 12 ( mais baixa). Calcular coeficiente de correlação de Spearmen para os dados da tabela abaixo:

Vinho Juiz Juiz Diferença(d) Diferença(d2) 1 1 3 2 5 4 3 2 1 4 7 5 5 4 2 6 8 9 7 3 7 8 6 6 9 9 8 10 12 10 11 11 11 12 10 12 ∑

Resp.: Rsp = ..............





Ex. 2) Calcular o coeficiente de correlação de Spearman entre o peso e a altura de 10 estudantes do sexo masculino selecionados ao acaso. POSIÇÕES

PESOS(kg) ALTURA(cm) PESOS ALTURAS d d2

80 175 60 170 75 174 56 163 60 165 78 175 80 180 73 170 80 170 82 168

∑ = ∑ =

Resp.: rsp=................ 6 – Um Teste de Significância de Rsp. O valor do coeficiente de correlação amostral pode ser usado como estimativa do verdadeiro coeficiente de correlação, ρ, da população. A menção de r como valor isolado pode dar a impressão errônea de que se trata do valor efetivo. Por isso, em geral é mais conveniente incluir um intervalo de confiança para o verdadeiro valor de juntamente com a estatística amostral. Em outros casos pode se necessário avaliar uma avaliação sobre o valor ρ. A maneira mais simples é construir um intervalo de confiança para r e observar se o valor alegado está ou não incluído no intervalo. Em caso afirmativo, aceita-se Ho; em caso negativo, rejeita-se Ho e aceita-se a alternativa. Por exemplo, suponhamos Ho: ρ = 0,3 e H1: ρ ≠ 0,3. Se obtivermos um intervalo de confiança de + 0,05 a + 0,26, rejeitaremos H0 porque +0,3 não está no intervalo. Teste de Significância(Ho: ρ=0)

O processo pode ser calculado pela fórmula: )2/()1(

02 −−

−=

nrrt

Ex.: Uma amostra de 24 observações dá r =0,50. Queremos saber se r é significativo ao nível de

0,01. A estatística teste é: 42,5)224/()50,01(

050,02

=−−

−=t

O valor bilateral de t, com n – 2 graus de liberdade para o nível 0,01 é 2,819. Portanto, assim, concluir que r ≠ 0 ou seja Rejeita-se Ho. Conclusão: ACEITA-SE HO: Não há relação entre as variáveis REJEITA-SE HO: Há relação significativa entre as variáveis. ρ à população r à amostra





7 -CÁLCULO DA CORRELAÇÃO DE PEARSON: r ( USANDO A HP-12C): ( teclas da HP-12C estarão entre colchetes): 1) Introdução dos dados: 1º par de dados (X,Y) variável Y ----> [ ENTER ] variável X ----> [ A ] 2º par de dados (X,Y) ...... 3º par de dados (X,Y) ....... ........... nº par de dados (X,Y)

2) [ ].... [ $, ]g y> r

3) [ X Y ]≥ ≤ è R

4) 0 [ ].... [ $, ]g y> r è a (Coef. Linear ou intersecção do eixo Y’Y) 5) STO 0 6) 0 [ ][ $,g x r] [CHS] 7) RCL 0

8) ][Y][X ÷≥≤ è b (Coeficiente Angular ou declividade) ) VALOR PROJETADO: y’ EX..: Se o lucro por ação for 5,00 ( ou Lpa = 5) 9) digite 5

10) [ ].... [ $, ]g y> r à Valor esperado ( projetado ) Ex.: 2 . Sejam as seguintes empresas: Empresa Código Lpa Preço Médio BRASIL BB 4 3,50 8,09 CEMIG CMI4 1,35 45,26 ERICSSON ERI4 2,50 30,17 IPIRANGA PTI4 4,70 16,56 MARCOPOLO POM4 2,40 215,00 TELEBRAS TEL4 5,70 112,45 TELESP TLS3 2,30 324,00 KLABIN KLA4 5,20 1,02 VARIG VAG4 1,40 2,01 1) Qual o valor da Correlação ( R ):............................................................................ 2) Há correlação entre o preço de mercado e o lucro por ação ? ............................... 3) Estabeleça a equação da análise de regressão:........................................................ 3) Qual o valor do Preço de a ação se o Lucro por Ação for R$ 5,00?.......................





Ex. 3) Os dados abaixo referem-se ao volume de precipitação pluviométrica(mm) e o volume de produção de leite tipo C, em determinada região do país: ANOS PROD. DE

LEITE ÍNDICE PLUVIOMÉTRICO

1990 22 23 91 25 21 92 31 28 93 29 27 94 27 23 95 31 28 96 32 27 97 28 22 98 30 26 99 30 25 ∑

a) Ajustar os dados através de um modelo linear: Y = a + bX. b) Admitindo-se, em 2000, um índice de pluviosidade de 24 mm, qual deverá ser o volume

esperado de produção do leite tipo C? Resp.: a = b = r = R2 =..................... 4) Dez alunos foram submetidos a um teste de Estatística de Matemática, obtendo as notas: ALUNOS Estatística(X) Matemática(Y)

A 7 6 B 6 9 C 8 10 D 10 9 E 3 2 F 4 3 G 8 9 H 7 5 I 6 6 J 2 3

∑

a) calcular a variância de X e Y. Resp.: cov(X,Y) = 5,9 b) Determinar as variâncias de X e de Y. Resp.: 62 =xS 72 =yS c) Determinar o coeficiente de Correlação de X e Y. Resp.: r = 0,91

d) Se for ajustada uma reta aos valores de X e Y( tomando Y como variável dependente), qual o valor do coeficiente angular b e do coeficiente linear a ? Resp.: b = 0,98 a = 0,12 e) Representar graficamente a reta: Y = 0,12 + 0,98 X





CAP. 13 - CONTROLE DE QUALIDADE

A qualidade de um produto pode ser medidas de várias maneiras, porém, quando há uma produção em grande escala, a qualidade pode, geralmente, ser medida por uma simples característica do produto. Por um exemplo: a espessura de um parafuso. Nestes casos, haverá sempre certa variação, mesmo que os processos de produção sejam constantes. Esta variação pode ser atribuída a duas principais causas: 1º)CAUSA ALEATÓRIAS: são aquelas provenientes do processo de produção. Elas exercem um pequeno efeito na qualidade do produto não provocando maiores conseqüências. Quando num processo da produção somente esta causa está sendo notada dizemos que o processo está sob controle estatístico. 2º)CAUSAS RELEVANTES: Quando a variabilidade torna-se anormal, isto é, as características do produto se alteram sensivelmente, diz-se que as causas são relevantes. OBJETIVO DE CONTROLE DE QUALIDADE: determinar as causas relevantes de variações de qualidade tão logo elas ocorram no processo de produção. GRÁFICOS DE CONTROLE Seja X uma variável aleatória continua tal que conheçamos o valor da sua média (µ) e desvio-padrão (σ). Então, X tem uma distribuição normal ),( 2σµNX ≅ .Se escolhemos amostras de tamanho n e calcularmos suas médias, já deduzimos que x tem distribuição normal de média µ e variância

n

2σ , ou seja, X (N≅ µ,n

2σ ), e que

n

xZσ

µ−= é a distribuição normal reduzida de α .

Observando uma tabela de curva normal padronizada, notamos que: 68,26% dos valores de x estão no intervalo µ ± σ 95,44% dos valores de x estão no intervalo µ ± 2σ 99,73% dos valores de x estão no intervalo µ ± 3σ Se analisarmos o terceiro intervalo, podemos afirmar que só muito raramente e unicamente devido ao

acaso, teremos um valor de x caindo fora do intervalo-nσ

µ3

± . Então, se obtivermos um valor de x

fora desses limites, devemos suspeitar que alguma causa relevante está presente e tomar as devidas providênciasd para sua localização e efetuarmos a correção.

Os gráficos mais utilizados são os da média, do desvio-padrão, da amplitude e o da fração deficiente. O mais aplicado é o gráfico da média, contudo, em certas variações importantes é conveniente construirmos os dois gráficos – o da média e o desvio-padrão. O gráfico da amplitude é utilizado em lugar do desvio-padrão pela sua facilidade de cálculos. O gráfico da fração deficiente é mais utilizado para controle de qualidade de atributos ( de qualidades e produto). Geralmente, quando a variável é discreta. FASES DO CONTROLE DE QUALIDADE: 1) Especificação 2) Fabricação 3) Inspeção

O Controle Estatístico de Qualidade atua em todo processo produtivo. Inspeção - Qualidade do Produto – Produtos Acabado.





GRÁFICO DA MÉDIA: 1.Estimar µ e σ, usando N = 100 elementos(tamanho), n = 5 itens e k = 20 amostras.

XMLk

xxxx

kX

kx

Xone

k

ii

ki =⇒=+++=⇒=

∑∑ ==

..)...(1 11

21

3. Estimativa do desvio-padrão - pela amplitude amostral: 3.1 - )()( min amplitudeRangeXXR máx ⇔−=→σ

3.2 - k

RRRR k+++

=...21

3.3 - 2d

R=σ

3.4 d2 = 2,326 ( Valor Tabelado, conforme tabela abaixo). TABELA I – FATORES PARA CÁLCULO DOS LIMITES EM GRÁFICOS DE CONTROLE - (Sistema Norte-Americano)

Gráfico de Amplitude Gráfico do Desvio-Padrão Gráfico da média Limites de controle Linha

Média Limites de Controle Linha

Média Limites de Controle

Tamanho da

Amostra n A A1 A2 .d2 .d3 D1 D2 D3 D4 C2 1/c2 B1 B2 B3 B4

4 1,500 1,880 0,729 2,059 0,88 0 3,68 0 3,26 0,56 1,77 0 1,84 0 3,26 5 1,342 1,596 0,577 2.326 0,86 0 4,91 0 2.11 0,84 1.18 0 1,75 0 2,08 10 0,949 1,028 0,308 3,078 0,79 0,68 5,46 0,22 1,77 0,92 1,08 0,2 1,58 0,28 1,71

Reprodução parcial do “ASTM” – Manual on Control of Materials”, 1951.

Fórmula para cálculo do A2 577,05326,2

332

22 ==⇔= A

ndA

TABELA II - FÓRMULAS PARA CÁLCULO DOS LIMITES EM GRÁFICOS DE CONTROLE - Sistema Norte-Americano

Norma conhecida Norma desconhecida Gráfico de Controle

da Linha Média

Limites de Controle

Linha Média

Limites de Controle

Média, por σ µ σµ .A±= x sAx .1± Média, por R --- ---- x RAx .2±

Desvio-Padrão c2.σ B1. σ; B2. σ s B3. s ; B4. s

Amplitude d2. σ D1. σ; D1. σ R RDRD .;. 43 Fonte: Estas tabelas encontram-se no Livro: LOURENÇO FILHO, Rui de C. B..Controle Estatística de Qualidade.LTC:Rio de Janeiro.1981. PARANTHAMAN, D. Controle da qualidade. São Paulo: McGraw-Hill,1990.





LIMITES DE CONTROLE por Amplitude FÓRMULAS I - NORMA CONHECIDA: µ e σ

L.S.C. = µ + nσ3 OBS.: LIMITE SUPERIOR CONTROLEà L.S.C.

L.I.C. = µ - nσ3 LIMITE INFERIOR DE CONTROLEà L.I.C.

FÓRMULAS II - NORMA DESCONHECIDA: µ e σ RAXCSL .... 2+= onde A2 = 0,577

RAXCIL .... 2−= EXEMPLO 1 Verificar se o processo de fabricação de eixos, definido pela norma: média do processo µ= 5,60 e desvio-padrão σ = 0,05. Vinte amostras(k=20), com 5 itens (n=5), foram extraídos de hora em hora. Utilizar o gráfico da média, por σ. Calcular os limites(tabela II) e traçar o gráfico. 1- L.S.C.= µ + A . σ 2- L.I.C. = µ - A . σ





EXEMPLO 2 - Valores Observados de 20 amostras de 5 itens na fase inicial do controle de um processo de fabricação. Calcular os Limites de Controle e construir o gráfico, utilizando os dados da Tabela 2 AMOSTRA X1 X2 X3 X4 X5 X R 1 143 137 145 137 138 140,0 8

2 141 142 147 140 140 3 142 137 145 140 132 4 137 147 142 137 135 5 137 146 142 142 140 6 145 144 146 148 149 7 137 145 144 137 140 8 144 142 143 135 144 9 140 132 144 145 141

10 132 135 136 130 141 11 137 142 142 145 143 12 142 142 143 140 135 13 136 142 140 139 137 14 142 144 140 138 143 15 139 146 143 140 139 16 140 145 142 139 137 17 134 147 143 141 142 18 138 145 141 137 141 19 140 145 143 144 138 20 145 145 137 138 140 Calcular a média das médias e a

Amplitude(Range) média =X =R

Resp.: L.S.C = 140,76 + 0,577 . 8,70 = 145,78 L.I.C. = 140,76 – 0,577 . 8,70 = 135,74 Exemplo 3 - (Livro Fonseca e Martins - capa vermelha - pág 256) Admitindo-se que um processo de fabricação de parafusos esteja sujeito a uma média de 0,9996 polegadas para sua espessura com um desvio-padrão de 0,0106 polegadas. Construir o gráfico de controle para verificar se as seguintes amostras estão dentro dos limites, ou seja, se o processo está sob controle: AMOSTRAS:

Nº 1 Nº 2 Nº 3 Nº 4 Nº 5 1,005 1,012 0,990 0,993 1,006 1,013 1,011 0,999 0,994 0,997 0,997 0,982 1,004 1,006 0,994 1,003 0,993 1,017 1,002 1,019 1,987 1,000 1,015 0,998 1,000

Resp.: LCS = 1,0138 LCI = 0,9854 9996,0=X





Exemplo 4 Foram colhidas 10 amostras de 5 elementos cada uma, de acordo com os abaixo: AMOSTRAS

DADOS

1 9,989 10,004 10,000 9,994 10,005 2 10,030 10,002 9,992 9,994 10,001 3 10,005 10,006 9,990 10,035 9,995 4 9,997 10,045 9,910 9,998 10,001 5 10,001 9,998 10,025 10,008 9,925 6 10,004 10,007 9,995 9,996 10,002 7 90,998 9,978 10,006 10,010 9,935 8 10,003 9,995 10,008 10,010 9,925 9 10,050 9,999 9,999 9,985 10,040 10 9,997 10,003 10,014 10,011 10,025

a) estimar µ e σ; b) construir o gráfico de controle; c) pode-se dizer que o processo está sob controle? Exemplo 5. Admita que o processo de produção dom produto do exercício Nº 4 esteja sujeita a uma média 10 e desvio-padrão 0,1. a) construir o gráfico de controle para esses valores; b) quais as conclusões?





TABELA 1 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO Distribuição Z

Z 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,00 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,10 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,20 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,30 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,40 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,50 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,60 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,70 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,80 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,90 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,00 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,10 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,20 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,30 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,40 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,50 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,60 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,70 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,80 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,90 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,00 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,10 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,20 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,30 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,40 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,50 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,60 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,70 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,80 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,90 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,00 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,10 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 3,20 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,30 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,40 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 3,50 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 3,60 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,70 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,80 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,90 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 4,00 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000





Tabela 2 – Distribuição de 2χ Nível de significância

gl 0,10 0,05 0,025 0,010 0,005 1 2,7055 3,8415 5,0239 6,6349 7,8794 2 4,6052 5,9915 7,3778 9,2104 10,5965 3 6,2514 7,8147 9,3484 11,3449 12,8381 4 7,7794 9,4877 11,1433 13,2767 14,8602 5 9,2363 11,0705 12,8325 15,0863 16,7496 6 10,6446 12,5916 14,4494 16,8119 18,5475 7 12,0170 14,0671 16,0128 18,4753 20,2777 8 13,3616 15,5073 17,5345 20,0902 21,9549 9 14,6837 16,9190 19,0228 21,6660 23,5893 10 15,9872 18,3070 20,4832 23,2093 25,1881 11 17,2750 19,6752 21,9200 24,7250 26,7569 12 18,5493 21,0261 23,3367 26,2170 28,2997 13 19,8119 22,3620 24,7356 27,6882 29,8193 14 21,0641 23,6848 26,1189 29,1412 31,3194 15 22,3071 24,9958 27,4884 30,5780 32,8015 16 23,5418 26,2962 28,8453 31,9999 34,2671 17 24,7690 27,5871 30,1910 33,4087 35,7184 18 25,9894 28,8693 31,5264 34,8052 37,1564 19 27,2036 30,1435 32,8523 36,1908 38,5821 20 28,4120 31,4104 34,1696 37,5663 39,9969 21 29,6151 32,6706 35,4789 38,9322 41,4009 22 30,8133 33,9245 36,7807 40,2894 42,7957 23 32,0069 35,1725 38,0756 41,6383 44,1814 24 33,1962 36,4150 39,3641 42,9798 45,5584 25 34,3816 37,6525 40,6465 44,3140 46,9280 26 35,5632 38,8851 41,9231 45,6416 48,2898 27 36,7412 40,1133 43,1945 46,9628 49,6450 28 37,9159 41,3372 44,4608 48,2782 50,9936 29 39,0875 42,5569 45,7223 49,5878 52,3355 30 40,2560 43,7730 46,9792 50,8922 53,6719 40 51,8050 55,7585 59,3417 63,6908 66,7660 50 63,1671 67,5048 71,4202 76,1538 79,4898 60 74,3970 79,0820 83,2977 88,3794 91,9518 70 85,5270 90,5313 95,0231 100,4251 104,2148 80 96,5782 101,8795 106,6285 112,3288 116,3209 90 107,5650 113,1452 118,1359 124,1162 128,2987

100 118,4980 124,3421 129,5613 135,8069 140,1697 150 172,5812 179,5806 185,8004 193,2075 198,3599 200 226,0210 233,9942 241,0578 249,4452 255,2638

1.000 1.057,7240 1.074,6794 1.089,5307 1.106,9690 1.118,9475





Tabela 3. Distribuição F de Snedecor α = 5% Colunas: Graus de Liberdade Numerador Linhas: Graus de Liberdade Denominador

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 20 1 4052 4999 5404 5624 5764 5859 5928 5981 6022 6056 6083 6107 6157 6209 2 98,50 99,00 99,16 99,25 99,30 99,33 99,36 99,38 99,39 99,40 99,41 99,42 99,43 99,45 3 34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,34 27,23 27,13 27,05 26,87 26,69 4 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,55 14,45 14,37 14,20 14,02 5 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16 10,05 9,96 9,89 9,72 9,55 6 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7,79 7,72 7,56 7,40 7 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 6,54 6,47 6,31 6,16 8 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 5,73 5,67 5,52 5,36 9 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 5,18 5,11 4,96 4,81

10 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85 4,77 4,71 4,56 4,41 11 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 4,46 4,40 4,25 4,10 12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 4,22 4,16 4,01 3,86 13 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 4,02 3,96 3,82 3,66 14 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94 3,86 3,80 3,66 3,51 15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 3,73 3,67 3,52 3,37 16 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69 3,62 3,55 3,41 3,26 17 8,40 6,11 5,19 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59 3,52 3,46 3,31 3,16 18 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 3,51 3,43 3,37 3,23 3,08 19 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52 3,43 3,36 3,30 3,15 3,00 20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 3,29 3,23 3,09 2,94 21 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,64 3,51 3,40 3,31 3,24 3,17 3,03 2,88 22 7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 3,26 3,18 3,12 2,98 2,83 23 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,54 3,41 3,30 3,21 3,14 3,07 2,93 2,78 24 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26 3,17 3,09 3,03 2,89 2,74 25 7,77 5,57 4,68 4,18 3,85 3,63 3,46 3,32 3,22 3,13 3,06 2,99 2,85 2,70 26 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,42 3,29 3,18 3,09 3,02 2,96 2,81 2,66 27 7,68 5,49 4,60 4,11 3,78 3,56 3,39 3,26 3,15 3,06 2,99 2,93 2,78 2,63 28 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,23 3,12 3,03 2,96 2,90 2,75 2,60 29 7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,33 3,20 3,09 3,00 2,93 2,87 2,73 2,57 30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98 2,91 2,84 2,70 2,55 40 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 2,80 2,73 2,66 2,52 2,37 50 7,17 5,06 4,20 3,72 3,41 3,19 3,02 2,89 2,78 2,70 2,63 2,56 2,42 2,27 60 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 2,63 2,56 2,50 2,35 2,20 70 7,01 4,92 4,07 3,60 3,29 3,07 2,91 2,78 2,67 2,59 2,51 2,45 2,31 2,15 80 6,96 4,88 4,04 3,56 3,26 3,04 2,87 2,74 2,64 2,55 2,48 2,42 2,27 2,12 90 6,93 4,85 4,01 3,53 3,23 3,01 2,84 2,72 2,61 2,52 2,45 2,39 2,24 2,09 100 6,90 4,82 3,98 3,51 3,21 2,99 2,82 2,69 2,59 2,50 2,43 2,37 2,22 2,07 500 6,69 4,65 3,82 3,36 3,05 2,84 2,68 2,55 2,44 2,36 2,28 2,22 2,07 1,92

1000 6,66 4,63 3,80 3,34 3,04 2,82 2,66 2,53 2,43 2,34 2,27 2,20 2,06 1,90





TABELA 4 - Distribuição t de Student W. S. GOSSET – t de Studen

Duas caudas 0,20 0,10 0,05 0,02 0,010 0,0010 Uma cauda 0,10 0,05 0,03 0,01 0,005 0,0005

1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,656 636,578 2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,600 3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,924 4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610 5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,869 6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959 7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,408 8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041 9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781 10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587 11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437 12 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318 13 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221 14 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140 15 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073 16 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015 17 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965 18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922 19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883 20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850 21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819 22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792 23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,768 24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745 25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725 26 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707 27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,689 28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674 29 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,660 30 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646 31 1,309 1,696 2,040 2,453 2,744 3,633 32 1,309 1,694 2,037 2,449 2,738 3,622 33 1,308 1,692 2,035 2,445 2,733 3,611 34 1,307 1,691 2,032 2,441 2,728 3,601 35 1,306 1,690 2,030 2,438 2,724 3,591 36 1,306 1,688 2,028 2,434 2,719 3,582 37 1,305 1,687 2,026 2,431 2,715 3,574 38 1,304 1,686 2,024 2,429 2,712 3,566 39 1,304 1,685 2,023 2,426 2,708 3,558 40 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,551 41 1,303 1,683 2,020 2,421 2,701 3,544 42 1,302 1,682 2,018 2,418 2,698 3,538 43 1,302 1,681 2,017 2,416 2,695 3,532 44 1,301 1,680 2,015 2,414 2,692 3,526 45 1,301 1,679 2,014 2,412 2,690 3,520 46 1,300 1,679 2,013 2,410 2,687 3,515 47 1,300 1,678 2,012 2,408 2,685 3,510 48 1,299 1,677 2,011 2,407 2,682 3,505 49 1,299 1,677 2,010 2,405 2,680 3,500 50 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 3,496





Tabela 5. Dígitos aleatórios 03991 10461 93716 16894 98953 73231 39528 72484 82474 25593 38555 95554 32886 59780 09958 18065 81616 18711 53342 44276 17546 73704 92052 46215 15917 06253 07586 16120 82641 22820 32643 52861 95819 06831 19640 99413 90767 04235 13574 17200 69572 68777 39510 35905 85244 35159 40188 28193 29593 88627 24122 66591 27699 06494 03152 19121 34414 82157 86887 55087 61196 30231 92692 61773 22109 78508 63439 75363 44989 16822 30532 21704 10274 12202 94205 20380 67049 09070 93399 45547 03788 97599 75867 20717 82037 10268 79495 04146 52162 90286 48228 63379 85783 47619 87481 37220 91704 30552 04737 21031 88618 19161 41290 67312 74857 15957 48545 35247 18619 13674 71299 23853 05870 01119 92784 26340 75122 11724 74627 73707 27954 58909 82444 99005 04921 73701 92904 13141 32392 19763 80863 00514 20247 81759 45197 25332 69902 63742 78464 22501 33564 60780 48460 85558 15191 18782 94972 11598 62095 36787 90899 75754 60833 25983 01291 41349 19152 00023 12302 80783 78038 70267 43529 06318 38384 74761 36024 00867 76378 41605 55986 66485 88722 56736 66164 49431 94458 74284 05041 49807 87539 08823 94813 31900 54155 83436 54158 34243 46978 35482 16818 60311 74457 90561 72848 11834 75051 93029 47665 64382 34677 58300 74910 64345 19325 81540 60365 94653 35075 33949 45305 07521 61318 31855 14413 70951 83799 42402 56623 34442 59747 67277 76503 34513 39663 77544 32960 07405 36409 83232 16520 69676 11654 99893 02181 68161 19322 53845 57620 52606 68652 27376 92852 55866 88448 03584 11220 94747 07399 37408 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------





TABELA 6 - DISTRIBUIÇÃO LOG-NORMAL e gráfico DISTRIBUIÇÃO LOG-NORMAL

Média 2,6 da distribuição normal Y=ln(X) Distribuição Log-normal

Desvio P. 0,8 da distribuição normal Y=ln(X) E[X] 18,54 Step 1 Var(X) 308,19 X P(X) Desvio P. 17,56 0 0,0000 1 0,002536 2 0,014558 3 0,028568 4 0,039442 5 0,046337 6 0,049891 7 0,050999 8 0,050442 9 0,048813 10 0,046538 11 0,043911

12 0,041129 13 0,038323 14 0,035577 15 0,032943 Média=2,6 Desvio Padrão=0,8 16 0,03045 E[X]=18,54 e Desvio P.=17,56 17 0,028114 18 0,025938 19 0,023923 20 0,022063 21 0,02035 22 0,018775 23 0,01733 24 0,016004 25 0,014789 26 0,013674 27 0,012652 28 0,011715 29 0,010856 30 0,010067 31 0,009343 32 0,008677 33 0,008065 34 0,007502 35 0,006984 36 0,006506 37 0,006066 38 0,005659 39 0,005284 40 0,004937





TABELA 7 – GRÁFICO DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL DISTRIBUIÇÃO NORMAL Função densidade de probabilidade Média 40 40 40 D.Padrão 8 10 15 Média 44000 40 40 D.Padrão 810 15 0 0,0000 0,0000 0,0008 2,5 0,0000 0,0000 0,0012 5 0,0000 0,0001 0,0017 7,5 0,0000 0,0002 0,0025 10 0,0000 0,0004 0,0036 12,5 0,0001 0,0009 0,0050 15 0,0004 0,0018 0,0066 17,5 0,0010 0,0032 0,0086 20 0,0022 0,0054 0,0109 22,5 0,0046 0,0086 0,0135 25 0,0086 0,0130 0,0161 27,5 0,0147 0,0183 0,0188 30 0,0228 0,0242 0,0213

32,5 0,0321 0,0301 0,0235 35 0,0410 0,0352 0,0252 37,5 0,0475 0,0387 0,0262 40 0,0499 0,0399 0,0266 42,5 0,0475 0,0387 0,0262 45 0,0410 0,0352 0,0252 47,5 0,0321 0,0301 0,0235 50 0,0228 0,0242 0,0213 52,5 0,0147 0,0183 0,0188 55 0,0086 0,0130 0,0161 57,5 0,0046 0,0086 0,0135 60 0,0022 0,0054 0,0109 62,5 0,0010 0,0032 0,0086 65 0,0004 0,0018 0,0066 67,5 0,0001 0,0009 0,0050 70 0,0000 0,0004 0,0036 72,5 0,0000 0,0002 0,0025 75 0,0000 0,0001 0,0017 77,5 0,0000 0,0000 0,0012 80 0,0000 0,0000 0,0008





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