apostila de matemática - recriartlem.icmc.usp.br/img/producoes/2_apostiladematem... · 2019. 6....

apostilade matemática

recriart

Projeto: Educação matemática para empreendimentos

econômicos solidários: produção de materiais didáticos e de

divulgação sobre intervenções pedagógicas.

Apoio: Pro-reitoria de Cultura e Extensão Universitária da

Universidade de São Paulo e Santander (2o edital: fomento às

iniciativas de cultura e extensão)

Elaboradores: Edinei De Oliveira Filho (participante do projeto);

Bruna Camila Gargarella (participante do projeto);

Renata C. G. Meneghetti (Coordenadora-proponente do projeto).

Capítulo 1 - Sistema de numeração decimal.....................................................................3

Capítulo 2 - Como fazer somas e aprender a usar a calculadora....................................10

Capítulo 3 - Subtrações, aprendendo a dar o troco.........................................................18

Capítulo 4 - Multiplicação: como somar parcelas iguais de forma mais fácil...................24

Capítulo 5 - Divisão..........................................................................................................28

Capítulo 6 - Medidas de comprimento: como medir o comprimento dos produtos..........33

Capítulo 7 - Razões e Proporções...................................................................................39

SUMÁRIO

APRESENTAÇÃO

Essa apostila de Matemática foi desenvolvida para utilização do Empreendimento

econômico solidário RECRIART, com base em conhecimentos que podem ser utilizados

pelo grupo em seu cotidiano de trabalho, auxiliando nas suas tarefas.

Este material traz os conteúdos de forma bem simples e direta, desenvolvidos a

partir de situações-problema contextualizadas para que o leitor possa compreender os

conteúdos de forma fácil e saiba utilizá-los na execução de suas atividades diárias de

a revisão dos conceitos quando necessário.

Esperamos que essa apostila possa servir como base para a solução de proble-

mas matemáticos no contexto do empreendimento RECRIART e como inspiração para

outras situações similares.

3

CAPÍTULO 1Sistema de numeração decimal

Você já percebeu como os números aparecem o tempo todo na nossa vida? Com

o auxílio deles obtemos informações sobre as mais diversas situações? Alguns exemplos:

Fonte: http://www.logosrastreamento.com.br/estradas-e-

-rodovias-ganham-novos-limites-de-velocidade/

Fonte: http://turmasnormalmedio.pbworks.com/w/pa-

ge/60372699/A%20import%C3%A2ncia%20do%20n%-

C3%BAmero%20no%20dia-a-dia

Fonte: https://www.matematicaefacil.com.br/2017/06/intro-

ducao-numeros-decimais-sistema-monetario.html

4

Acima conseguimos notar algumas situações onde os números são utilizados em

nosso dia a dia.

PROBLEMA 1: Você consegue imaginar outras situações do cotidiano em que são

utilizados os números?

Resolução: os números aparecem em diversas situações do nosso dia a dia,

como por exemplo, na placa de um carro, na medida da capacidade de uma garrafa

Observação 1: Os números são utilizados para indicar quantidades, expressar

uma medida, ser um código ou ainda indicar uma ordem.

Agora, vamos pensar: Você utiliza os dedos das mãos para realizar contagem?

Se a sua resposta foi SIM, não se preocupe, pois, esse fato é completamente normal.

O fato de termos 10 dedos nas mãos pode ter sido o responsável pela criação do sistema

de numeração decimal. A contagem de qualquer quantidade de elementos é feita por

argumentos de dez em dez.

PROBLEMA 2: Para você, os números 12, 3 e 21 são diferentes? Por quê?

Dica: Faça a contagem de doze elementos, de três elementos e de vinte e um elementos,

essas quantidades são iguais?

Resolução: Vamos separar os números por meio da contagem de bolinhas.

Número 3:

Número 12:

Número 21:

5

Como notamos as quantidades de bolinhas utilizadas para representar os núme-

ros 12, 21 e 3 são diferentes. Assim, podemos concluir que esses números são diferen-

tes. Então, outra questão pode surgir: o que torna os números 12 e 21 diferentes se

os algarismos utilizados para formá-los são os mesmos?

Se a sua resposta para essa pergunta for a POSIÇÃO, você está correto! Utiliza-

mos os mesmos algarismos, porém em posições diferentes, e assim, formamos números

diferentes.

Observação 2: O sistema de numeração que usamos atualmente é decimal e

posicional, ou seja, utilizamos 10 algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) que a partir de

No nosso sistema de numeração, também conhecido como Indo-Arábico, cada

grupo de 10 unidades corresponde a 1 dezena. E cada grupo de 10 dezenas corresponde

a 1 centena. Em resumo:

1 dezena = 10 unidades.

1 centena = 10 dezenas = 100 unidades.

1 unidade de milhar = 10 centenas = 100 dezenas = 1000 unidades

PROBLEMA 3: Os produtos fabricados pelo RECRIART serão vendidos em uma feira.

Para serem levados para tal feira, os produtos deverão ser colocados em caixas. Em

cada caixa, cabe no máximo dez produtos. Encontre quantos grupos de dez é possível

formar com 35 produtos.

Resolução: Vamos imaginar que os 35 produtos podem ser representados pelas

6

Como podemos notar, será possível formar três grupos de dez produtos e sobra-

rão 5 produtos. Assim, será possível encher três caixas, e uma caixa terá 5 produtos.

Usando o que aprendemos, o número 35 é formado por:

35 unidades = 3 dezenas e 5 unidades.

35 pode ser composto da seguinte maneira:

30+5

Unidades, dezenas e centenas são chamados ordens dos números. São eles

que dão sentido à posição.

Na imagem abaixo, temos uma representação de um ábaco, trata-se de um antigo

instrumento de cálculo que é composto por uma base em que estão apoiados alguns pa-

litos. Cada palito corresponde a uma ordem do sistema de numeração decimal.

7

Cada argola no pino das unidades vale 1, cada argola no pino das dezenas vale 10

e cada argola no pino das centenas vale 100. Nesta representação, toda vez que o pino

das unidades acumular 10 argolas elas deverão ser retiradas e representadas apenas

como 1 argola no pino das dezenas, se o pino das dezenas acumular 10 argolas retira-

se as 10 e se insere uma argola no pino das centenas, e assim por diante. No ábaco

representado acima, o pino das unidades possui três argolas e o pino das dezenas possui

duas argolas, representando o número 23.

PROBLEMA 4 Represente no Ábaco o número 32.

Resolução: O número 32 é composto por três grupos de 10 e mais duas unidades.

Matematicamente podemos escrever:

32 = 30 + 2.

32 = 3 dezenas + 2 unidades

A foto abaixo mostra os grupos de 10 que podem ser montados com as 32 unidades.

Fonte: https://www.nossoclubinho.com.br/abaco-virtual/

Fonte: dos autores

8

da dezena, indicam o valor 30 acrescidas das 2 unidades que sobraram da decomposição

do número 32, indicadas na coluna das unidades.

PROBLEMA 5: Imagine que o RECRIART produziu 50 cadernos, 25 marcadores de

páginas e 67 porta-lápis. Como poderíamos representar esses valores no Ábaco?

Resolução:

números. Ou seja, quantos grupos de dez conseguiremos formar para cada um desses

valores.

50 cadernos = 5 dezenas, ou seja, 5 grupos de 10 unidades.

25 marcadores de página = 2 dezenas e 5 unidades, ou seja, 2 grupos de 10 unidades e

2 unidades restantes.

67 porta lápis = 6 dezenas e 7 unidades, ou seja, 6 grupos de 10 unidades e 7 unidades

restantes.

Lembrando que, cada argola no pino das dezenas representa dez unidades, esses

números podem ser representados da seguinte maneira utilizando-se o ábaco:


9

O número 25:

O número 67:

O que aprendemos nesse capítulo:

• Os números que utilizamos no nosso dia são chamados Indo-Arábicos.

• Eles possuem um sistema de representação posicional (unidades, dezenas,

centenas,...).

• Os números têm uma base decimal, ou seja, são compostos utilizando 10 algarismos

(0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

O número 50:

10

CAPÍTULo 2Como fazer somas e aprender a usar a calculadora

PROBLEMA 1: Suponha que, em uma venda de produtos do RECRIART, você tenha

vendido uma agenda de R$ 30,00, um caderno de R$25,00 e um marcador de página de

R$ 5,00. Qual foi o valor total da venda?

Resolução: Sabemos que, para o cálculo de um valor total de venda, é necessário

somar o valor de todos os itens que foram vendidos. E como fazer para somá-los?

Para somar dois números decimais, devemos colocar vírgula embaixo de vírgula e

parcela embaixo de parcela como feito abaixo:

Os números com vírgula são chamados de números racionais em sua forma deci-

mal, ou apenas números decimais.

Começamos a somar da direita para a esquerda. Na segunda casa decimal (o

segundo número após a vírgula é chamado de centésimo) faz-se 0+0 = 0 e coloca-se 0

na casa dos centésimos.

Na primeira casa decimal (o primeiro número após a vírgula é chamado de décimo) faz-

-se 0+0 = 0 e coloca-se 0 na primeira casa decimal da soma.

Na casa das unidades faz-se 0+5 = 5 e coloca-se 5 na casa das unidades da soma.

Na casa das dezenas faz-se 3+2 = 5 e coloca-se 5 na casa das dezenas da soma.

referente ao marcador de página.

30,00 Parcela: agenda

25,00 Parcela: caderno

55,00 Soma

+

11

Observe que nessa adição, a parcela 55,00 é o resultado da soma da adição an-

terior: Observe o procedimento dessa soma utilizando o ábaco:

Começamos operando pelas unidades:



+

+

12



Como já tínhamos 5 dezenas do número 55, e conseguimos mais uma dezena da

soma 5+5 unidades, obtemos:

+ =

13

Utilizando-se o procedimento usual da soma, temos:

Observação: Como o marcador de página custa R$ 5,00, inserimos o 0 na casa

Na casa dos centésimos, fazemos: 0+0 = 0 e colocamos 0 na casa dos centésimos

(representando a soma).

Na casa dos décimos, fazemos: 0+0 = 0, e colocamos 0 na casa dos décimos

(representando a soma). Quando fazemos 5+5 na casa das unidades o resultado é 10

unidades, então fazemos uma troca de 10 unidades por 1 dezena. Colocamos o número

0 na casa das unidades (representando a soma) e adicionamos uma dezena ao resultado

Na casa das dezenas, somamos 5+0 = 5. Como trocamos as 10 unidades por 1

Portanto, a soma dos três itens vendidos (agenda, caderno e marcador) é R$60,00.

Agora, vamos pensar: Será que, se invertêssemos a ordem com que aparecem

as parcelas na soma, obteríamos o mesmo resultado? Por exemplo, se da soma do valor

do caderno mais valor do marcador adicionássemos o valor da agenda obteríamos R$

60,00 da mesma forma?

A resposta é sim, então não importa a ordem da soma das parcelas em uma operação de

adição, o resultado sempre será o mesmo. No problema anterior bastaria somar os três

valores em qualquer ordem para obter o resultado.

55,00 Parcela: caderno + agenda

05,00 Parcela: marcador

60,00 Soma

+

1

14

PROBLEMA 2: Para a produção de uma agenda do RECRIART são utilizados cola, pa-

para as páginas e espiral. O custo aproximado de cada material utilizado na produção da

agenda está representado na tabela abaixo:

MATERIAL CUSTO APROXIMADO EM REAIS

Cola 0,20

Papel Panamá 5,50

10,80

Corante 2,50

Espiral 5,80

Qual é o custo total para a produção de uma agenda?

Resolução: Como vimos no problema 1, para saber o total devemos somar o

valor de todos os itens. Anteriormente vimos que podemos somar na ordem que for mais

conveniente.

00,20 Parcela: cola

05,00 Parcela: papel panamá

10,80

02,50 Parcela: corante

05,80 Parcela: espiral

24,30 Soma

+

1 2

15

Na casa dos centésimos, todos os valores das parcelas são 0.

Então, somando 0+0+0+0+0 = 0, coloca-se 0 na casa dos centésimos (representando a

soma).

Na casa dos décimos a soma 2+0+8+5+8 = 23, mas um décimo equivale a dez

unidades, logo podemos trocar 23 décimos por 2 unidades e 3 décimos. Então escrevemos

o 3 na casa dos décimos (representando a soma) e adicionamos ao resultado 2 unidades.

Na casa das unidades a soma 0+5+0+2+5 = 12, que é composto por uma dezena

com quatro unidades.

Na casa das dezenas a soma 0+0+0+1+0+0 = 1 dezena. Como já tínhamos 1

Desta forma, obtivemos 0 centésimos, 3 décimos, 4 unidades e 2 dezenas.

Portanto, o valor total do custo dos materiais é R$ 24,30.

Como utilizar a calculadora?

Podemos utilizar também uma calculadora para fazer as contas. Mas como utilizá-la?

Quando desejamos somar dois números racionais na forma decimal, seguimos os passos

abaixo:

Exemplo: 0,20 + 5,50 = 5,70:

Primeiro inserimos o 0,20 apertando o “0”, depois o”.” e o “2” e o “0”.

16

Em seguida apertamos a tecla mais “+”.

Depois a tecla “5”, na sequência a tecla”.”, tecla “5” novamente e tecla “0”, nessa ordem.

17

Por último teclamos o sinal de igual.


números.

18

CAPÍTULo 3Subtrações, aprendendo a dar o troco

PROBLEMA 1: Na feira o RECRIART vendeu os seguintes itens:

Suponha que o comprador pagou com uma nota de R$ 100,00. Qual valor de troco

deve ser dado a esse comprador?

Resolução: Inicialmente precisamos saber o valor total da compra. Como fazer

isso? No capítulo 2, vimos que para calcular o total de uma venda precisamos somar o

valor de todos os itens:

QUANTIDADE PRODUTO VALOR UNITÁRIO EM REAIS

2 Bloquinho de anotação 5,00

2 Cadernos 25,00

1 Agenda 30,00

05,00 Parcela: bloquinho

05,00 Parcela: bloquinho

25,00 Parcela: cardeno

25,00 Parcela: caderno

30,00 Parcela: agenda

90,00 Soma

+

Observação 1:

soma, pois foi o número de itens comprados de cada um desses produtos.

Observação 2: na casa das unidades a soma 5+5+5+5+0+0 = 20. Como o número

no resultado.

2

19

Percebemos que o valor total da venda é R$ 90,00. Assim, como foi dada para o pagamento

uma nota de R$ 100,00, o troco deve ser calculado da seguinte forma:

Troco = Valor dado - Total da Venda.

100,00

90,00

10,00

-

Para subtrairmos números decimais devemos escrevê-los de tal forma que cada

vírgula esteja embaixo de vírgula, e os algarismos devem respeitar o sistema posicional,

ou seja, casa decimal embaixo de casa decimal, unidade embaixo de unidade, dezena

embaixo de dezena e assim por diante.

Quando subtraímos, na casa dos centésimos, 0 - 0, obtemos zero. Da mesma

forma acontece na casa dos décimos e na casa das unidades.

Já na casa das dezenas, devemos retirar 9 de 0. Porém isso não é possível,

então trocamos 1 centena do número 100 por 10 dezenas. Assim, 10 dezenas menos 9

dezenas é igual a 1 dezena. Como trocamos 1 centena por 10 dezenas, não sobraram

mais centenas para o cálculo.

Portanto, o troco deverá ser R$ 10,00.

Como fazer esta operação utilizando o ábaco?

Fazer a subtração “100 menos 90” quer dizer que temos uma centena e precisamos

retirar 9 dezenas dela. Pela imagem que segue podemos ver que não existe nenhuma

argola na casa das dezenas no número 100. Mas, 1 centena equivale a 10 dezenas,

uma dezena.

0 10

20


- =

=-

Mas como saber se o troco está correto?

Podemos utilizar a relação:

Troco + Valor Total da Venda = Valor Dado pelo cliente

21

O troco calculado foi R$ 10,00, o Valor total de venda foi R$90,00.

Então: Troco + Valor total da venda = 10,00 + 90,00 = 100,00

O valor dado foi R$ 100,00, logo a relação funciona no caso acima.

PROBLEMA 2: Para a produção de uma agenda do RECRIART são utilizados cola, papel panamá,

papel reciclado na capa, corante para o tingimento do papel no processo de reciclagem, folha de

agenda está representado na tabela abaixo:

a) Qual o valor total da compra do RECRIART para fazer a agenda?

b) Supondo que foi pago R$ 50,00, qual foi o troco?

MATERIAL CUSTO APROXIMADO EM REAIS

Cola 0,20

Papel Panamá 5,50

10,80

Corante 2,50

Espiral 5,80

22

Resolução:

a) Primeiro calculemos a soma do total de compra

00,20 Parcela: cola

05,00 Parcela: papel panamá

10,80

02,50 Parcela: corante

05,80 Parcela: espiral

24,30 Soma

+

Observação 1:

o número 3 na primeira casa decimal da soma e adicionamos 2 unidades no resultado.

Observação 2: Na casa das unidades a soma é 14, ou seja, 1 dezena e 4 unidades,

então colocamos 4 na casa das unidades da soma e adicionamos 1 dezena.

Portanto, o valor total da compra dos materiais para o RECRIART é R$ 24,30.

b) Para calcular o troco devemos subtrair do valor pago o valor total da compra.

Primeiro faz-se 0 menos 0 na segunda casa dos centésimos resultando em 0.

50,00

24,30

0

-

Na sequência, deve-se retirar 3 de 0 na casa dos décimos, porém não é possível

retirar 3 de 0.

Quando ocorre esse tipo de situação devemos fazer uma troca, temos que 10

décimos equivalem a 1 unidade e 10 unidades equivalem a 1 dezena.

Então, devemos trocar 1 unidade por 10 décimos, porém o número 50,00 não

possui nenhuma unidade e, teremos que recorrer às dezenas.

Trocamos 1 dezena por 10 unidades e 1 dessas unidades por 10 décimos, restando

apenas 9 unidades.

1 2

1049

23

Portanto, o valor do troco é R$ 25,70.

Vamos ver se está certo?

Valor total de compra = R$ 24, 30. Troco = R$ 25,70.

Valor total de compra mais troco = 24,30 + 25,70 = 50,00

Como R$ 50,00 é o valor dado, temos que o troco está correto.

Assim, representaremos o número 50,00 como 4 dezenas, 9 unidades e 10

décimos. Subtraindo 3 décimos de 10 décimos, temos 7 décimos. Subtraindo 4 unidades

de 9 unidades temos 5 unidades e subtraindo 2 dezenas de 4 dezenas temos 2 dezenas.


posicional

a casa da esquerda.

50,00

24,30

25,70

-

1049

24

CAPÍTULo 4Multiplicação: como somar parcelas iguais de forma mais fácil

PROBLEMA 1: Se o RECRIART produz 10 crachás em um dia, considerando que são

produzidos o mesmo número de crachás por dia, quantos crachás fará em 8 dias?

Resolução: Como são produzidos 10 crachás em um dia, em dois dias são 10 +

10, e assim por diante, portanto em 8 dias teremos:

10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 80 crachás.

Mas fazer uma soma com parcelas iguais é o que chamamos de multiplicação.

Assim, 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 8 x 10 = 80

Chamamos o 8 e o 10 de fatores da multiplicação e 80 de produto.

Como fazer esta conta de maneira mais rápida?

Faz-se 8 x 0 = 0 e coloca-se o resultado na casa das unidades. Depois 8 x 1 = 8 e

coloca-se o resultado na casa das dezenas.

Então a multiplicação é uma sucessiva soma de mesma parcela. Um número

multiplicado por 1, é sempre ele mesmo e um número multiplicado por 0 é sempre 0.

Como multiplicar com vírgula? Esse número com vírgula, é o que chamamos

em matemática de número racional, em sua forma decimal.

PROBLEMA 2: Sabendo que um metro do papel panamá custa R$5,50, e o RECRIART

utilizará 6 metros. Quanto custará essa compra de papel panamá?

1 0 fator

X 8 fator

8 0 produto

25

5,50

x 6

33,00

3

Por que o valor foi igual a 33 reais?

3 unidades e 0 décimos. Assim, colocamos no produto 0 décimos e adicionamos ao

resultado 3 unidades.

e 3 unidades.

Mas e se os dois números no produto tiverem mais de 1 algarismo?

Vamos discutir sobre isso no problema que segue.

PROBLEMA 3: Sabe-se que uma cópia no xerox do RECRIART custa R$0,25. Suponha

que alguém pediu 15 cópias. Qual o valor das 15 cópias?

Resolução: Podemos perceber que novamente é uma soma sucessiva de 0,25

(15 vezes). Portanto uma multiplicação de 0,25 x 15.

Observe que multiplicar 0,25 por 15 é o mesmo que multiplicar 0,25 por 5, depois

multiplicar 0,25 por 10 e somar os resultados, pois, igualmente, estaríamos somando

0,25 quinze vezes.

Primeiro multiplicaremos 0,25 por 5 unidades.

Resolução: Conseguimos perceber que esse problema se trata de uma adição

em que é necessário somar seis parcelas iguais, ou seja, se trata de uma multiplicação,

uma soma de R$5,50 seis vezes. Já sabemos multiplicar quando o número não tem

vírgulas. Quando o número está na sua forma decimal, ou seja, quando ele possuiu

vírgula a multiplicação se dá da mesma maneira.

26

Para tal, iniciamos multiplicando os números que estão na casa dos centésimos: 5

x 5 = 25 centésimos, o que equivale a 2 décimos e 5 centésimos.

Depois, multiplicamos a casa dos décimos: 2 x 5 = 10 décimos, que somados

a 2 décimos e o resultado é 12 décimos, que podem ser escritos como 1 unidade e 2

décimos.

Depois, multiplicamos a casa das unidades: 0 x 5 = 0 unidades, que somadas a 1

unidade resulta em 1 unidade.

Obtemos, portanto, 1 unidade, 2 décimos e 5 centésimos.

Logo, 0,25 x 5 = 1,25

Agora multiplicaremos 0,25 por 1 dezena.

Primeiro, fazemos a multiplicação dos centésimos: 5 x 10 = 50 centésimos, que

podem ser trocados por 5 décimos.

Depois, fazemos a multiplicação na casa dos décimos: 2 x 10 = 20 décimos, que

podem ser trocados por 2 unidades.

Como resultado obtemos 2 unidades e 5 décimos.

Portanto, a multiplicação 0,25 x 10 = 2,5

Agora, fazendo a soma: 1,25 + 2,5 = 3,75, donde podemos concluir que 0,25 x 15

= 3,75.

Observação: Quando multiplicamos um número por outro, não importa se mudar

mos a ordem, o resultado é o mesmo. Por exemplo:

0,25

x 15

1,25

0,2 5+

3,75

0,25

x 15

1, 2 5

1 2

1 2

27


28

CAPÍTULo 5Divisão

PROBLEMA 1: Se o RECRIART fez em uma dia 8 cadernos, e resolveu dá-los de

brinde a 4 trabalhadores, quantos cadernos foi dado para cada um dos trabalhadores?

Resolução: Observe que a pessoa vermelha ganhou dois cadernos e o mesmo

aconteceu com a azul, verde e amarela. Assim os oito cadernos foram divididos em 4

pessoas. Resultando dois cadernos para cada uma sem restar nenhum caderno. O que

não restou nem sobrou nenhum caderno, quando ocorre isso, chamamos a divisão de

divisão exata.

Podemos representar isso da seguinte forma:

Neste caso, número 8 é o dividendo e o número 4 é o divisor. A divisão é realizada

da seguinte maneira:

Calcula-se quantos 4 cabem no número 8. Percebemos que nesse caso, são 2

pois 2 x 4 = 8. E inserimos o número 2 no quociente:

29

PROBLEMA 2: Em uma encomenda o RECRIART precisa fazer 20 cadernos. Sabendo

que conseguem fazer 2 por dia, quantos dias demorarão para fazer os 20 cadernos?

Resolução:

Podemos perceber que precisamos dividir o número de cadernos feitos por dia. São

20 cadernos e o RECRIART produz dois por dia. Então dividindo 20 por dois podemos

descobrir o número de dias.

Depois, fazemos quociente x divisor e subtraímos esse valor do dividendo:

Neste caso, obtivemos o valor 0.

Divisor x Quociente + Resto = Dividendo.

Neste caso:

4 x 2 + 0 = 8

30

Primeiro, dividimos duas dezenas por 2 o que resulta em 1 dezena (2 ÷ 2 =1 ).

Inserimos uma dezena no quociente.

Em seguida, multiplicamos a dezena do quociente pelo divisor e subtraímos esse

resultado da dezena do dividendo:

Sobraram 0 dezenas e 0 unidades para dividirmos por 2. E zero unidades dividido

por dois é igual a zero (0 ÷ 2 = 0). Assim, inserimos 0 na casa das unidades no quociente.

Multiplicamos as unidades do quociente pelo divisor e subtraímos o resultado do

dividendo:

Divisor x quociente + resto = 2 x 10 + 0 = 20

Como o dividendo é igual a 20, a divisão está correta.

Portanto, chegamos à conclusão que o RECRIART precisa de 10 dias para produzir

20 cadernos.

31

PROBLEMA 3: Em um dia de venda, o RECRIART vendeu R$ 360,65 em mercadorias.

Sabendo que o empreendimento tem 12 trabalhadores, qual valor cada um receberá se

a quantia arrecada com as vendas for dividida igualmente entre todos?

Resolução: Dividiremos 360,65 por 12 para encontrar o valor em reais que cada

um receberá. Utilizemos a calculadora para isso:

Primeiro, vamos inserir no visor da calculadora o valor 360,65

Depois, o símbolo “/” que indica a divisão:

32

Depois, inserir o número 12 e = :

360,65 ÷ 12 = 30,0541. Como o valor é em reais e a moeda brasileira é arredondada na

segunda casa decimal, cada um receberá R$ 30,05.

O que aprendemos nesse capítulo?

• Divisão de números decimais.

• Aprendemos o que é dividendo, divisor, quociente e resto, e que sempre vale a

propriedade:

• Divisor x quociente + resto = Dividendo

• Utilizamos a calculadora para facilitar os cálculos.

• Aprendemos quando utilizar a divisão.

33

CAPÍTULo 6Medidas de comprimento: como medir o comprimento dos produtos

PROBLEMA 1: Escolha dois membros do RECRIART e tente medir o comprimento de

uma porta ou de uma mesa através dos palmos das mãos destas duas pessoas. O que

vocês observam? As duas pessoas obtiveram as mesmas medidas (em palmos) ou não?

Por quê?

Resolução: Vocês perceberam que as medidas dos dois participantes são

diferentes? Quaisquer pessoas que vocês escolherem, as medidas nunca serão

exatamente iguais, e isso ocorre porque as pessoas possuem palmos de mãos diferentes.

PROBLEMA 2: Quais instrumentos você conhece que utilizamos para realizar medidas

de comprimento? Qual a unidade padrão de medida de comprimento usada nesses

instrumentos?

Resolução: Hoje, a unidade padrão usada para medir comprimento é o metro.

Veja abaixo alguns instrumentos usados atualmente para medir comprimentos:

34

Régua

Fita métrica

Trena

Fonte: https://br.depositphotos.com/124505536/stock-illustration-cartoon-ruler-tool-school-graphic.html

Acessado em: 01/05/2018



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O metro (m) é uma unidade padrão para medir comprimentos. Dividindo o metro

em 100 partes iguais, obtemos uma unidade chamada centímetro (cm).

UM METRO CORRESPONDE A CEM CENTÍMETROS

1m = 100 cm

MEIO METRO

CORRESPONDE A CINQUENTA CENTÍMETROS

Quando dividimos o metro em duas partes iguais, ou seja, quando dividimos o

metro ao meio, chamamos esse comprimento de meio metro. Dividindo o metro em 1000

partes iguais, obtemos uma unidade chamada milímetro (mm).

UM METRO CORRESPONDE A MIL MILÍMETROS

1 m = 1000 mm

Diferença entre comprimento, largura e altura

Comprimento, largura e altura são ferramentas para calcular as dimensões de um

objeto. Largura e comprimento correspondem as dimensões (tamanhos) horizontais de

um objeto, enquanto que altura corresponde a dimensão (tamanho) vertical desse objeto.

Exemplo:

Fonte: https://www.diferenca.com/comprimento-largura-e-altura/

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PROBLEMA 3: O RECRIART recebeu um rolo de papel de 25 metros de comprimento.

Você precisa usar 10 metros para produzir cadernos e 5 metros para produzir agendas.

Quantos metros sobrarão após o uso?

Resolução: Vamos primeiramente somar os gastos que teremos. Assim, basta

fazer:

Agora podemos descontar nossos gastos do total de metros do rolo.

Dessa maneira, sobrarão 10 metros do rolo.

1 0

5

1 5

2 5

1 5

1 0

+

-

PROBLEMA 4: Qual o comprimento e a largura dos cadernos e agendas produzidas pelo

RECRIART? Realize essas medições com o auxílio de uma régua. Qual a unidade de

medida utilizada? (Metros, centímetros ou milímetros).

Resolução: -

zar as medições. Para isso:

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Fonte: http://www.numiecosol.ufscar.br/empreendimentos

Fonte: http://slideplayer.com.br/slide/9011192/

Compartilhe suas medições com os colegas. Todas essas medições serão fornecidas em

centímetros.

PROBLEMA 5: Imagine que o RECRIART possui um molde de um enfeite de 10 centí-

metros. Imagine que a capa de um caderno meça 30 centímetros. Quantos pedaços de

10 centímetros são necessários para formar 30 centímetros?

Resolução: Para essa resolução, basta realizar a soma: 10 + 10 + 10 = 30

Assim, são necessários 3 moldes de 10 centímetros para formarmos 30 centímetros.

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PROBLEMA 6: Seguindo o problema anterior, quantos moldes de 10 centímetros conse-

guimos formar com um rolo de papel de 100 centímetros?

Resolução: Para essa resolução, basta realizar a soma:

10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10+ 10 + 10 + 10 = 100

Ou então podemos realizar a multiplicação, visto que somar dez vezes o dez é equivalen-

te a fazer 10 multiplicado por 10:

10 x 10 = 100

PROBLEMA 7: Assim, como já estudamos, 100 centímetros equivale a qual outra unida-

de padrão de comprimento?

Resolução: assim, como já estudamos, 1 metro equivale a 100 centímetros. Logo

medir 100 centímetros é o mesmo que medir 1 metro.

O que aprendemos neste capítulo?

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CAPÍTULo 7Razões e Proporções

Primeiro precisamos saber o que é uma razão.

ATIVIDADE 1:

que metade da folha está pintada e a outra metade não.

PROBLEMA 1: Qual a fração representa a parte pintada da folha?

Resolução: Temos uma parte pintada entre as duas partes que compõem a folha

e, assim, a fração que representa a parte pintada da folha é 1/2 (uma parte pintada de

duas partes no total).

PROBLEMA 2:

dobrarmos a folha ao meio e pintarmos metade e depois dobrarmos ao meio novamente.

Quantas partes teremos? E qual a nova fração da parte pintada da folha?

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Resolução: Como a folha foi dobrada ao meio duas vezes, temos que agora ela

possui quatro partes. E temos duas partes pintadas, pois a primeira parte pintada foi

dividida ao meio. Dessa forma a fração que representa a parte pintada é 2/4, ou seja,

duas partes pintadas em um total de quatro partes.

Observação 1:

Observação 2:

PROBLEMA 3: Em dia de venda na feira do RECRIART foram levados 10 cadernos

para serem vendidos, porém apenas 4 foram vendidos. Qual a fração que representa a

quantidade de cadernos vendidos?

Resolução: Se o total de cadernos é igual a 10 e foram vendidos 4 deles, então a

fração de cadernos vendidos é 4/10 e utilizando a calculadora obtemos que 4/10 = 0,4.

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PROBLEMA 4: Se uma placa de papel Paraná possui 1m de comprimento e um porta-

retrato feito pelo RECRIART possui 20 cm de comprimento, qual a quantidade de porta-

retratos que cabem na placa? Um porta-retrato representa qual fração em relação ao

metro?

Resolução: Primeiro precisamos saber quantas porta-retratos cabem ao longo

de um metro de papel Paraná. Vimos no capítulo anterior que 1 metro equivale a 100

centímetros. Então 1m = 100 cm. Todos os porta-retratos possuem 20 cm de compri-

mento. Precisamos saber então, quantos porta-retratos cabem em 100 cm. Basta reali-

zarmos uma operação de divisão: 100 ÷ 20 = 5. Assim, cabem 5 porta-retratos em uma

placa de papel Paraná e cada porta-retrato representa 1/5 da placa.

Observação:

que é o comprimento total da placa de papel Paraná.

Agora vamos falar de razões que sejam proporcionais. Voltaremos aos

problemas 1 e 2.

Quando dobramos a folha ao meio temos uma parte pintada e uma parte não

pintada. E se continuarmos dobrando ao meio o que obteremos são razões de partes

pintadas para o total de partes, como na tabela abaixo:

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Parte da folha pintada Total de partes

1 2

2 4

4 8

8 16

Percebemos que a razão que representa a parte pintada é sempre igual a 0,5, em todos

os casos abaixo. Isso quer dizer que as frações ½, 2/4, 4/8 e 8/16 são equivalentes e

todas igual a 0,5.

Sempre mantemos a razão ½

Assim:

1

2

Parte Pintada

Total das partes

2

4

4

8= = = =...

Sempre que aumentamos as partes de divisões da folha (ou seja, o total de partes)

aumentamos também a quantidade de partes pintadas.

Isso quer dizer que as partes pintadas e as divisões da folha são proporcionais.

PROBLEMA 5: Em dois dias de trabalho o RECRIART produz 12 cadernos.

a) Qual a Razão de cadernos produzida pelo RECRIART por dia, se todos os dias

são produzidos o mesmo número de cadernos?

b) Se a quantidade de cadernos produzida por dia for mantida, quantos cadernos

serão produzidos em 5 dias?

Resolução:

são feitos 12 cadernos. Podemos representar da seguinte forma:

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12

2

Cadernos

2 dias: 12 cadernos

Se aumentarmos o número de produção por dia, aumentados o número de

cadernos feitos. Se diminuirmos o número de dias de produção, diminuímos o número de

cadernos feitos. A razão que representa o número de cadernos feitos por dia é

Se pensarmos na razão como uma divisão entre dois números, temos que

12/2 = 6.

Assim conseguimos saber que o RECRIART faz 6 Cadernos em 1 dia.

E quantos cadernos faz em 5 dias? Como já sabemos que são feitos seis caderno

por dia, basta multiplicarmos o número de dias para saber quantos se fazem em 5 dias.

5 x 6 = 30.

Portanto são feitos 30 cadernos em cinco dias.

PROBLEMA 6: No processo de reciclagem de papel usa-se 300g de papel para 750 mL

de água. Se o peso de papel a ser reciclado é 1200 g, qual a quantidade de água será

utilizada, em mL?

Resolução: Sabemos que a proporção de papel para água é a seguinte: 300

gramas de papel: 750 mililitros de água (300 g : 750 mL ). A razão que representa essa

300

750= 0,4

44

Como a quantidade de água aumentou em quatro vezes, pois.

4 x 300 = 1200

Devemos apenas multiplicar 4 vezes a quantidade de água. Portanto, é necessário

fazer 750 x 4 = 3000 mL de água.

Como saber se a conta feita está correta? Basta ver se a razão está mantida.

1200 / 3000 = 0,4. Ou seja, 300/750 = 1200/3000. Logo, o cálculo da quantidade de água

necessária está correto.

PROBLEMA 7: Sabemos que o valor da mão de obra do RECRIART é R$8,00 para uma

hora trabalhada. Se um caderno demora 30 minutos para ser produzido, qual o valor da

mão de obra embutida nesse caderno?

Resolução: Sabemos que a proporção de valor de mão de obra por hora é a

seguinte:

1 hora: 8 reais

Como o caderno é produzido em 30 minutos, precisamos descobrir o valor que mantenha

Isso pode ser feito do seguinte modo:

1º multiplicamos em cruz os valores, os denominadores passam para o outro lado da

igualdade multiplicando os numeradores;

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Portanto, o valor da mão de obra da produção de um caderno é R$4,00.

2º deixamos o valor que queremos encontrar sozinho, passando o termo que o multipli-

ca para o outro lado da igualdade como denominador;

3º basta realizarmos a operação para encontrar o valor procurado;

Uma Razão Importante: a porcentagem

PROBLEMA 8: Sabemos que o custo de um caderno do RECRIART, levando em conta

o material utilizado e o valor de mão de obra é R$ 22,75. A esse valor é acrescido 10%

Resolução: Primeiro devemos entender o que quer dizer 10% (dez por cento) de

alguma coisa. 10 % nada mais é do que a razão 10/100. Sendo assim, 10% são 10 partes

100 partes iguais, 10% dessa folha corresponde a 10 partes das que existem.

Então vamos a resolução do nosso problema. Temos que o valor do custo do caderno é

R$ 22,75, e queremos saber quanto vale 10% de 22,75, basta então fazer a multiplicação.

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Então temos 0,1 x 22,75 = 2,275

Já sabemos então que 10% de 22,75 é 2,275. O enunciado do problema diz que o valor

de custo + 10 % do valor de custo = valor de venda. Portanto teremos que

Valor de Venda = 22,75 + 2,275 = 25, 025.

Porém, sabemos que o nosso sistema monetário tem apenas duas casas após a vírgula,

precisamos então arredondar o valor que obtivemos. Para isso:

1. Olhamos para a última casa após a vírgula, nesse caso é 5.

2. Se ela for maior ou igual a 5 a casa anterior a essa aumenta em uma unidade, se

for menor que 5 a casa anterior continua a mesma.

3. No nosso caso como a última casa é 5, a casa anterior aumenta em uma unidade.

4. Ficamos com 25,03.

5. Porém não existe a moeda R$ 0,03 (3 centavos), então devemos repetir o processo.

6. A última casa é 3, que é menor que 5, assim, mantemos a casa anterior como está.

7. Ficamos com 25,0 que é R$ 25,00.

Portanto, o valor de venda do caderno é R$ 25,00.

10

100

10

100

x 22,75

= 0,1Mas,

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PROBLEMA 9: Em um dia no Xerox do RECRIART, uma pessoa pediu para fazer cópia

de 500 páginas. Sabendo que cada página custa R$ 0,25.

a) Qual o valor total das cópias?

b) Se for dado 15% de desconto nas cópias. Por quanto sairia?

Resolução: No item a, aprendemos que para saber o valor total das cópias basta

multiplicar o valor de cada cópia pelo número de cópias total, portanto 0,25 x 500 = 125.

Assim o valor total é R$ 125,00

No item b, precisamos inicialmente encontrar o valor de 15% de 125.

15 % = 15/100 = 0,15

Assim, 15% de 125 é 0,15 x 125 = 18,75. Nesse problema temos um desconto de

15%, ou seja, temos que subtrair do valor original 15%. Dessa forma teremos:

Valor com desconto = 125,00 - 18,75 = 106,25

Logo, o valor das cópias com desconto é R$ 106,25.

O que aprendemos neste capítulo?

chamá-las de razões proporcionais. Aprendemos a calcular acréscimos e descontos

envolvendo porcentagem.

apostila de matemática - recriartlem.icmc.usp.br/img/producoes/2_apostiladematem... · 2019. 6....

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