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Lógica Aplicada à Computação – Sistemas de Informação Prof. Me. Luiz Henrique Morais da Silva1 – UNIFEB Prof. Me. Willians Luiz Bueno de Souza2 – UNIFEB

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AUTORES:

Luiz Henrique M. da Silva1

Graduado em matemá,ca e habilitado em Física pelo UNIFEB.

Especialista em Educação Matemá/ca pela Faculdade São Luís.

Mestre em Matemá*ca pela Unesp (S.J.R.P.) – IBILCE – PROFMAT (SBM)

/CAPES. Programa de Matemá-ca em rede

Nacional -‐ Área: Ensino de Matemá1ca.

Willians Luiz Bueno de Souza2

Graduado em Física pelo UNIFEB. Especialista em Didá/ca e Metodologia

do Ensino Superior – ACEB. Mestre em Agronomia pela Unesp (Jabo&cabal) – FCAV – CAPES 6.

Doutorando em Agronomia pela Unesp (Jabo&cabal) – FCAV – CAPES 6.

Fevereiro 2014

UNIFEB Barretos/ SP

Ementa 1. Álgebra de Boole;

2. Mapas de Karnaugh;

3. Portas Lógicas;

4. Circuitos Combinacionais;

5. Circuitos Aritméticos e Sequenciais;

6. Lógica Proposicional e de Predicados;

7. Tabelas – Verdade.

Bibliografias (Sugestão de Estudo):

Básicas:

SOUZA, João N. Lógica para Ciência da Computação. Rio de Janeiro: Campus, 2008.

GERSTING, Judith L. Fundamentos

Matemáticos para a ciência da computação – Um tratamento moderno de Matemática discreta. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC Livros Técnicos, 2004.

EDGAR, A F. Iniciação á lógica

matemática. São Paulo, Nobel, 1998. Complementares: CIRINO, Hélio F.F.; ARANTES, Fernando

A. Lógica Matemática Lógica Digital. Campinas: Papirus, 1984.

IEZZI, G. MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar. São Paulo: Atual, 2001. v.1.


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SUMÁRIO

...................................................... 5 1. INTRODUÇÃO À LÓGICA

1.1 Introdução Histórica ............................................................. 5

1.2 Método axiomático ............................................................... 6

1.3 Lógica Classica e Lógica Simbólica .......................................... 6

1.4 Lógica Formal ...................................................................... 7

1.5 Dedução e Indução ............................................................... 8

1.6 Princípios da Lógica (Clássica) ................................................ 9

1.6.1 Princípio de Identidade ....................................................... 9

1.6.2 Princípio da Não Contradição ............................................... 9

1.6.3 Princípio do “Terceiro Excluido” ............................................ 9

1.7 Princípios da Lógica Não - Clássica .......................................... 9

1.7.1. Lógicas Modais ............................................................... 10

1.7.2 Lógicas Plurivalentes ........................................................ 10

1.7.3 Lógicas Fracas ................................................................. 10

1.8 Outras aplicações ............................................................... 10

Atividade 1 – Exercícios de Raciocínio lógico .............................. 11

....................................................... 13 2. LÓGICA MATEMÁTICA

................................................ 13 (CÁLCULO PROPOSICIONAL)

2.1 Terminologias da Lógica Matemática ..................................... 13

2.1.1 Proposições simples ......................................................... 13

2.1.2 Sentenças moleculares ..................................................... 14

2.1.3 Proposições compostas ..................................................... 14

2.1.4 Negação (não) ................................................................ 14

2.1.5 Conjunção ...................................................................... 15

2.1.6 Disjunção ....................................................................... 15

2.1.7 Condicional (então, se) ..................................................... 16

2.1.8 Bicondicional (se, e somente se,) ....................................... 17

Atividade 2 – Exercícios de Cálculo Proposicional ........................ 17

Atividade 3 – Construção de Tabela verdade .............................. 18

Atividade 4 – Cálculo com tabelas verdade ................................ 20


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3. TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO, INFERÊNCIA E

.............................................................................. 23 EQUIVALÊNCIA

Atividade 5 – Tautologia, Contradição, Inf. e Equivalência. .......... 24

............................................ 26 4. ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES

Atividade 6 – Álgebra das proposições ...................................... 27

......................... 28 5. ÁLGEBRA DOS CONJUNTOS – SILOGISMO

5.1 Introdução ........................................................................ 28

5.2 Quantificadores .................................................................. 28

5.2.1 Negação dos Quantificadores ............................................. 28

5.3 Proposições categóricas ....................................................... 29

5.4 Diagrama de Venn .............................................................. 30

Atividade 7 – Exercícios de Quantificadores e Silogismo .............. 33

............................................................... 35 6. LÓGICA DIGITAL

6.1 Introdução ........................................................................ 35

6.2 Sistemas de Numeração ...................................................... 36

6.2.1 Sistema Decimal .............................................................. 37

6.2.2 Sistema Binário ............................................................... 37

6.2.3.Mudança de Base ............................................................. 37

Atividade 8 – Mudança de Base ................................................ 38

6.2.4 Leitura complementar ...................................................... 39

6.3 Operações Binárias ............................................................. 41

Atividade 9 – Adição e subtração Binária ................................... 43

.............................................................. 44 7. PORTAS LÓGICAS

7.1 Funções Lógicas ................................................................. 44

7.1.1 Função lógica AND ........................................................... 44

7.1.2 Função lógica OR ............................................................. 45

7.1.3 Função lógica NO ............................................................. 46

7.1.4 Função lógica NAND ......................................................... 47

7.1.5 Função lógica NOR ........................................................... 48

7.2 Simbologia – Portas lógicas ................................................. 49

7.2.1 Portas lógica AND ............................................................ 49

7.2.2 Portas lógica NAND .......................................................... 49


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7.2.3 Portas lógica OR .............................................................. 50

7.2.4 Portas lógica NOR ............................................................ 50

7.2.5 Portas lógica No (Inversor) ............................................... 50

................................................ 51 8. ÁLGEBRA DOS CIRCUITOS

Atividade 10 – Álgebra dos circuitos ......................................... 53

...... 55 9. SIMPLIFICAÇÃO DE CIRCUITOS(ÁLGEBRA DE BOOLE)

9.1 Introdução ........................................................................ 55

9.2 Propriedades: .................................................................... 55

Atividade 11 – Simplificação de Circuitos .................................. 57

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICAS ............................................. 58


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1. INTRODUÇÃO À LÓGICA

Definição 1: A lógica se dedica ao estudo dos conceitos de prova e

verdade.

Um dos objetvos da lógica é determinar se a argumentação utilizada

por alguém para se chegar a uma certa conclusão é válida ou não. A lógica

tem sido utilizada em todas as áreas das ciencies: exatas, humanas e

biologicas. É de uso comum por parte de matemáticos, engenheiros,

cientistas da computação, advogados, biólogos, historiadores, filósofos,

etc...

1.1 Introdução Histórica

Usualmente, se estabelece um marco para a origem da lógica com os

gregos, cerca de 500 anos de Cristo, devido ao extenso registro sobre o

ssunto deixado pelos mesmo. Podemos citar por exemplo Platão, que

nasceu em Atenas (427 – 347 a. C.) e xercecu influencia profunda na

história da matemática, estabeleceu uma nítida diferença na Grécia antiga,

entre a aritmética (como teoria dos números) e a logistica (técnica de

computação).

Acreditava-se que a lógistica era necessária a comerciantes e

guerreiros, para que pudessem obter melhores lucros ou dispor de suas

tropas. Por outro lado a aritmética era relegada ao filósofo, pois segundo

Platão, este deveria “subir acima do mar das mudanças e captar o

verdadeiro ser”. A aritmética para ele tinnha um efeito muto grande de

elevar a mente, compelindo-a a raciocinar sobre o número abstrato.

Outro grande filósofo e contemporâneo de Platão que se destacou no

estudo da lógica foi Aristóteles, nascido em Stagira (384 – 322 a.C.), foi

discípulo de Platão em Atenas durante vinte anos e exerceu grande

influencia nas leis básicas da lógica, tendo em sua homenagem a Lógica

Aristotélica.

Por mais de mil anos, de 400 d.C. até 1.600 d.C., poucas

contribuições forma acrescentadas a lógica neste período, assim como

aconteceu com quase toda a ciencia. No século XIX, foram feitas

contribuições relevantes a lógica, destacando George Boole (1815 – 1864),

Augusus de Morgan (1806 – 1871), George Cantor (1845 – 1918),


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Gottob Frege (1848 – 1925) e David Hilbert (1862 – 1943). Estas

contribuições pertitiram a apresentação da lógica proposicional de modo

axiomático, a lógica passando a se cosntruir como uma teoria formal.

O sucesso destas novas formulações para a lógica, teve repercussões

em outras áreas da matemática. No fim do século XIX e início do século XX,

houve um movimento sem precedentes para a formalizar ainda mais as

teorias matemáticas, como por exemplo, a geometria e a teoria dos

números. Os matemáticos queriam ter certeza que suas teorias estavam

estrututadas em bases sólidas.

1.2 Método axiomático

A obra de Euclides de Alexandria, que viveu por volta de 300 a.C.,

sobre geometria (Os Elementos) fundou as bases para o que hoje se

conhece como método axiomático para elaboração de teorias matemáticas:

a partir de alguns conceitos primitivos (como ponto, reta, plano, ângulos,

etc...) e de alguns axiomas (proposições não demostradas sobre conceitos

primitivos), vão se estabelecendo definições, teoremas (proposições sobre

as definições), Lemas e Corolários (consequencia imedita de um teorema ou

lema), em grau de dificuldade crescentes. E assim, se estabelece um

método axiomático de cosntrução do saber matemático.

1.3 Lógica Classica e Lógica Simbólica

À partir de tabalhos de Geoorge Boole, em meados do século XIX,

formam sendo utilizados cada vez mais símbolos de origem matemática

para expressar os enunciados e raciocínios da lógica. A Lógica apresentada

dessa forma é chamada de Lógica Matemática ou Simbólica, enquanto que a

Lógica baseada em linguagem natural é chamada Lógica Clássica.

A medida que a Lógica Simbólica desemvolve sua própria linguagem

técnica, vem se tornando um instrumento cada vez mais poderozo para a

análise e a dedução de argumentos. A utilização de uma simbologia

matemática ajuda expor, com maior clareza, as estruturas lógicas das

proposições e dos argumentos, que podem não ser suficientemente claras

se expressas em linguagem natural.

Uma outra vantagem da utilização de uma linguamgem simbólica é a

possibilidade de utiização de recursos computacionais no tratamento de


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enunciados e argumentos; os computadores digitais se msotram bastante

adequados à manipulação de símbolos, enquanto apresentam extrema

dificuldade no tratamento de linguagem natural.

1.4 Lógica Formal

Embora Existem muitas definições para o campo da lógica, essas

definições não diferem essencialmente umas das outras: há um certo

consenso ente os autores de que a lógica tem, por ojeto de estudo, as leis

gerias do pensamento, e as formas de aplicar essas leis corretamente na

investigação da verdade. Cabe, pois , à Lógica, a formulção de leis gerais de

encadeamentos de conceitos e juizos que levarão à descoberta de novas

verdades.

Essa nova forma de encadeamente é chamada, em Lógica de

argumento, enquanto as afirmações envovidas são chamadas proposições ;

um argumento é, pois, um conjunto de proposições tal que se afirme que

uma delas é derivada das demais; usualmente, a proposição derivada é

chamada de conclusão, e as demais premissas. Em um argmento válido, as

premissas são consderadas provas evidentes da verdade da conclusão.

É preciso ficar claro que a Lógica se preocupa com o relacionamento

entre as premissas e a conclusão , com a estrutura e a forma de raciocínio,

e não com seu conteúdo, isto é, com as proposições tomadas

individualmente.

A validade do argumento esta diretamente ligada à forma pela qual

ele se apresenta, como pode ser mostrado pelos exemplos:

I.

Se eu ganhar na Loteria, serei rico;

Eu ganhei na Loteria;

Logo, não sou rico.

Como a conclusão “sou rico” é uma decorrência lógica das duas

premissas, esse argumento é considerado válido.

II.

Se eu ganhar na Loteria, serei rico;

Não ganhei na Loteria.;

Logo, não sou rico.


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Embora estes argumentos sejam semelhantes ao anterior, tem outra

forma, a conclusão não se segue logicamente das premissas, e , portanto,

não é um argumento válido.

1.5 Dedução e Indução

A Lógica dispõe de duas ferramentas principais que podem ser

utilizadas pelo pensamento na busca de novos conhecimentos: a dedução e

a indução, que dão origem a dois tipos de argumentos, dedutivos e

indutivos.

Definição 2: Os argumentos indutivos pretendem que suas premissas

forneçam uma prova conclusiva da veracidade da conclusão.

Um argumento dedutivo é válido quando suas premissas, se

verdadeiras, fornecem provas convincentes para sua conclusão, isto é,

quando for impossível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão

falsa. Caso contrário, o argumento dedutivo é dito inválido.

Os argumentos dedutivos partem de regras gerais para estabelecer a

veracidade de acontecimentos particulares.

Definição 3: Os argumentos indutivos não pretendem que suas premissas

forneçam provas cabais da veracidade da conclusão, mas apenas que

forneçam indicações dessa veracidade.

Os argumentos indutivos partem do particular para o geral, isto é, a

partir de observações particulares, procura-se estabelecer regras gerais,

que, no caso das ciências naturais, devem ser provadas por outros meios.

Exemplo: (Argumento indutivo)

Joguei uma pedra no lago, e a pedra afundou;

Joguei outra pedra no lago e ela também afundou;

Joguei novamente outra pedra no lago, e também está afundou;

Logo, se eu jogar outra pedra no lago, ela vai afundar.

Os termos “válidos” e “inválidos” não se aplicam aos argumentos

indutivos; eles costumam ser avaliados de acordo com a maior ou menor

possibilidade com que suas conclusões sejam estabelecidas.


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1.6 Princípios da Lógica (Clássica)

A lógica formal se baseia em três princípios fundamentais que

permitem todo o seu desenvolvimento posterior, e que dão validade a todos

os atos do pensamento e do raciocínio.

ü Princípio de Identidade;

ü Princípio do “Terceiro Excluido”;

ü Princípio da não contradição.

1.6.1 Princípio de Identidade

Definição 4: Todo objeto é idêntico a si próprio.

Isso não é apenas um simples jogo de palavras; na verdade, é

possível defender a noção oposta, de que a realidade é fluida, de que nada

permanece igual a si próprio, e que qualquer raciocínio sobre objetos é uma

ficção.

1.6.2 Princípio da Não Contradição

Definição 5: Uma sentença não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo

tempo.

Um objeto não pode, simultaneamente, ser e não ser. Ou seja, não é

possivel afirmar e negar o mesmo predicado para o mesmo obeto ao

mesmo tempo; ou ainda, de duas afirmações contraditórias, uma é

necessariamente falsa.

1.6.3 Princípio do “Terceiro Excluido”

Definição 6: Uma sentença ou é verdadeira ou falsa.

Todo objeto é ou não é, ou seja, uma dada afirmaçõa é

necessariamente verdadeira ou falsa, não existindo uma terceira opçação.

1.7 Princípios da Lógica Não - Clássica

Sobre os príncipios apresentados anteriormente repousa todo o

arcabouço da Lógica Clássic. A negação de um ou mais desses princípios dá

origem a outras lógicas, chamadas genéricamente de Lógicas Não -

Clássicas. Cujas principais vertentes são:


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1.7.1. Lógicas Modais

Definição 7: São as lógicas que incluem os conceitos de possibilidade e de

necessidade.

Nesse tipo de lógica o verbo pode ser modificado por um advérbio de

modo como nos enunciados “Talvez chova amanhã” e “ certamente Joao

saiu”.

1.7.2 Lógicas Plurivalentes

Definição 8: As lógicas plurivalentes são lógicas nas quais o conceito de

veracidade deixa de ser binário (verdadeiro ou falso) para assumir outros

valores.

Como por exemplo as lógicas trivalentes, nas quais as proposições

podem ser verdadeiras, falsas e neutras, ou nas lógicas nebulosas, em que

existem gradações de veracidade e nas quais uma proposição pode ser mais

verdadeira que outra e nas lógicas probabilísticas, nas quais existe uma

probabilidade de que uma proposição possa ser verdadeira.

1.7.3 Lógicas Fracas

Definição 9: São lógicas que não aceitam o princípio do terceiro excluído, e

para o qual, a dupla negação não equivale à afirmação.

Nos últimos anos a lógica não clássica tem sofrido enorme

desenvolvimento em virtude, principalmente, de novas aplicações, algumas

das quais na área computacional, como a lógica nebulosa.

1.8 Outras aplicações

A lógica é aplicada em diversas áreas onde as variáveis são

bivalentes.

Lógica e Aritmética na base 2 (Binária): Na base dois, os dígitos

possíveis são 0 ou 1. A soma de dois bits (dígitos binários) pode ser

formulada através de duas expressões lógicas. Isto permite que as

operações da aritmética possam ser realizadas através de circuitos digitais.

Lógica e Circuitos Digitais: por exemplo, na eletrônica, um interruptor

tem dois estados possíveis: ligado ou desligado. A álgebra dos interruptores

(circuitos digitais) pode ser formulada através da lógica, assim expressões

lógicas podem ser representadas por circuitos.


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1

Lógica e Inteligência Artificial: o método dedutivo é um dos

fundamentos dos sistemas especialistas, sistemas inteligentes dotados de

uma base de conhecimento e de um método dedutivo que permite tirar

conclusões a partir de alguns dados. Sistemas deste tipo tem sido utilizados

em diversas áreas como por exemplo, no auxílio a diagnósticos médicos, e

na agricultura.

Atividade 1 – Exercícios de Raciocínio lógico

Antes de iniciarmos o estudo sistemático da Lógica, vamos exercitar

nosso raciocínio, e “apelemos” ao velho e bom sendo para resolver os

seguintes problemas:

1) Para quais sentenças abaixo é possível atribuir um valor verdadeiro (V)

ou falso (F)?

a) Existe vida em outro planeta.

b) Vá estudar.

c) Ele é Honesto.

d) Agora não está chovendo.

e) Vamos ao cinema?

2) Para as sentenças a seguir atribua verdadeiro (V) ou falso (F).

a) Se eu não tenho carro, a afirmação “meu carro não é azul” é verdadeira

ou falsa. ( )

b) Existe um ditado popular que afirma que “toda regra tem exceção”.

Considere que essa frase é, por sua vez, também uma regra, podemos

garantir que é verdadeira ou falsa? ( )

3) Tenho 9 perolas idênticas, mas sei que uma delas é falsa, e é mais leve

que as outras; como posso identificar a pérola falsa, com apenas duas

pesagens em uma balança de dois pratos?

4) Tenho 10 grupos com 10 moedas cada um; todas as moedas pesam 10

gramas cada uma, exceto as de um grupo, no qual as moedas pesam 9

gramas cada uma; como posso identificar o grupo de moedas mais leves,

com apenas uma pesagem em um balança de um prato?

5) O estudo das Lógica não Clássicas é motivado por sistemas para os quais

podem ser importantes atribuir mais do que dois valores. Um exemplo

clássico é o da máquina de lavar roupas. A maioria das máquinas atuais

tem usualmente dois estados: Vazio ou cheio, conforme a máquina está


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sendo usada ou não. Se for necessário lavar alguma roupa, deve-se encher

a máquina de água, independentemente da quantidade de roupa a ser

lavada. Este certamente, não é um sistema inteligente. Seria mais

adequado uma máquina que ajusta-se o volume água para a quantidade de

roupa a ser lavada. Elabore outros exemplos do cotidiano para os quais

seria conveniente considerar outros estados, além de cheio/ Vazio,

Sim/Não, Ligado e Desligado, etc...


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3

2. LÓGICA MATEMÁTICA (CÁLCULO PROPOSICIONAL)

Na lógica matemática, serão trabalhados apenas as sentenças

declarativas, as quais, podemos atribuir o valor de verdadeira ou falsa. Em

outras palavras, não serão proposições as sentenças: interrogativas,

exclamativas, ordenativas, imperativas, suplicativas, etc...

2.1 Terminologias da Lógica Matemática

Definição 10: Chama-se sentença, algo que se possa classificar em

verdadeiro ou falso.

Exemplos:

1) 2 + 2 = 4.

2) Ele é muito simpático.

3) 22 < 4.

Definição 11: Define-se uma sentença aberta algo que se possa classificar

em verdadeiro ou falso de imediato, mas com algumas observações a mais,

podemos passa –lá para uma sentença.

Exemplos:

1) A expressão x + 2 = 4 , não pode ser classificada em verdadeiro ou

falso, mas se atribuímos um valor a x a temos uma sentença, 2 + 2 = 4,

3 + 2 = 4.

2) A expressão x < 4, também é uma sentença aberta, pois não podemos

atribuir o valor verdade ou falso. Mas se atribuímos um conjunto verdade a

esta sentença aberta, como por exemplo:

Tomando como conjunto universo os números naturais,

U = IN = (0,1,2,3,4,5,....), como o conjunto da sentença aberta é um

subconjunto de U, que a transforma em uma sentença verdadeira,

V = {0,1,2,3,4), onde V é o conjunto verdade da sentença.

2.1.1 Proposições simples

Definição 12: De um modo geral, uma proposição simples (ou sentença) é

uma declaração que exprime um pensamento com sentido completo (ideia).

Exemplo: A Lua é um satélite natural da Terra.


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4

Observação 1: Em geral as proposições simples são constituídas por um

sujeito, um verbo e seus complementos

2.1.2 Sentenças moleculares

Definição 13: Se p e q são duas sentenças, diremos que:

ppeqpqpqpqpp ↔→∨∨∧−,,,,~

são sentença moleculares.

Os sinais ↔→∨∨∧¬−

e,,,, são chamados conectivos.

A tabela abaixo resume a aplicação dos conectivos:

Tabela 1: Conectivos.

Operação Conectivo Símbolo Negação não ¬ou ~

Conjunção e ∧ Disjunção ou ∨ (Inclusiva),

−∨ (Exclusiva)

Condicional se, então → Bicondicional se, e somente se, ↔

2.1.3 Proposições compostas

Definição 14: As proposições compostas são obtidas combinando

proposições simples através dos conectivos.

Exemplo: João é magro e José é alto.

2.1.4 Negação (não)

Definição 15: O conectivo ~ ou ¬ do cálculo proposicional equivale

exatamente a uma negação na linguagem usual.

Exemplo: Sejam as sentenças.

p: Eliane é alta.

~p: Eliane não é alta.

Observe que a segunda sentença ~p é a negão da primeira sentença

p. Caso a primeira sentença seja verdadeira, a segunda será

necessariamente falsa, e vice – versa, pelo princípio do terceiro excluído.

Observação 2: A negação da negão corresponde a sentença original.

Exemplo: Voltemos ao exemplo anterior:

p: Eliane é alta.

¬ p: Eliane não é alta.


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5

Se a primeira sentença é falsa, então: ~(~p) = p, ou seja, negar a

segunda que é verdadeira equivale a voltar a dizer que a primeira é falsa.

2.1.5 Conjunção

Definição 16: O conectivo ∧ do cálculo proposicional corresponde ao

conectivo e da linguagem usual.

Exemplo: Dadas as sentenças:

p: Antônio é loiro.

q: Maria é morena.

A sentença molecular: Antônio é loiro e Maria é morena.

Pode ser simbolizada por: p∧q

Observação 3: Há, uma pequena diferença entre o∧ e o conectivo e usado

na linguagem usual. Consideremos, por exemplo a sentença:

p: Antônio estudou.

q: Antônio passou no vestibular.

A sentença composta: “Antônio estudou e passou no vestibular”, traz

embutido um caráter temporal: em primeiro ligar Antônio estudou e depois

passou no vestibular. Se escrevêssemos: “Antônio passou no vestibular e

estudou” certamente o significado não seria o mesmo.

Em matemática não há esse caráter temporal associado ao conectivo

∧ . Consideramos a sentença p∧q equivalente a sentença q∧p.

2.1.6 Disjunção

Definição 17: A conjunção ou, também chamada de disjunção em

linguagem matemática, na linguagem usual pode ter dois significados

diferentes: exclusivo −∨ e inclusivo ∨ .

Exemplos:

1. O significa exclusivo aparece na seguinte frase:

“Depois de prestar o vestibular, José será aprovado ou reprovado”

Em sentença matemática temos: p −∨ q.

p:José será aprovado.

q:José será reprovado.

Perceba que a ocorrência de uma possibilidade exclui a outra, isto é,

as duas possibilidades não podem ocorrer simultaneamente.


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2. O significado inclusivo aparece na seguinte frase:

“O cheque será pago se contiver a assinatura de José ou Maria.

Em sentença matemática temos: p∨ q.

p: Assinatura de José.

q: Assinatura de Maria.

Perceba que nesta frase esta subtendido que: se o cheque contiver

apenas a assinatura de José, ele será pago; se o cheque contiver apenas a

assinatura de Maria também será pago; e caso contenha a assinatura dos

dois, também será pago, isto é, admite a ocorrência simultânea das duas

possibilidades.

2.1.7 Condicional (então, se)

Definição 18: O conectivo matemático → , equivale a uma implicação,

condição em linguagem usual.

Exemplo: Consideremos as sentenças moleculares:

“Se João estuda então João passa no vestibular”.

Que pode ser reescrita como:

“João estuda → João passa no vestibular”.

Sendo assim, uma sentença do tipo p→q é chamada condicional ou

implicação

p: João estuda.

q: João passa no vestibular.

A sentença p é chamada de antecedente e a sentença q é chamada

de consequente.

Existem vários modos de ser a sentença p→q.

Quadro 1: Conectivos escritos.

§ Se p então q;

§ p implica q;

§ q se p;

§ p semente se q;

§ p é condição suficiente para q,

§ q é condição necessária para p.


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7

2.1.8 Bicondicional (se, e somente se,)

Definição 19: O conectivo matemático ↔ , equivale a uma bi implicação,

em linguagem usual, ou seja, uma condição que seja necessária e suficiente

ao mesmo tempo.

A sentença p↔q é chamada de Bicondicional (ou bi implicação) e

representa a conjunção p→q e q→p.

Exemplo: Consideremos a sentença molecular,

“João passa no vestibular se, e somente se, João estuda”.

Que pode ser reescrita como: “João passa no vestibular ↔ João estuda”.

Sendo: p: João passa no vestibular e q: João estuda.

Em linguagem matemática temos, p↔q.

Atividade 2 – Exercícios de Cálculo Proposicional

1) Considere as proposições p:“Está quente”; q:”Está frio” e

r:“Esta nevando”, traduza da linguagem matemática (simbólica) para a

linguagem natural.

a) p¬ b) q¬ c) r¬ d) qp ∨ e) rq→ f)

rqp →∧¬ )(

2) Sejam as proposições simples: p: “Thales é honesto”, e q: “Thales é

trabalhador”, passe da linguagem normal para a linguagem matemática

(simbólica)

a) Thales é honesto e trabalhador.

b) Thales é honesto, mas não é trabalhador.

c) Thales não é honesto nem trabalhador.

d) Thales é honesto ou trabalhador.

e) Thales não é honesto ou não é trabalhador.

3) Suponha que P representa a proposição Hoje choveu, Q representa a

proposição José foi a praia e R represente a proposição Maria foi ao

comércio, com vase nessas informações analise em verdadeiro (V) ou

Falso (F) as proposição a seguir:


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A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José

não foi à praia pode ser corretamente representada por ( )QRP ¬∧¬→¬

Atividade 3 – Construção de Tabela verdade

Sejam p e q duas proposições.

I. Negação )(¬

Já se sabe que a negação de uma sentença p é dada por ~p, sendo

assim complete a tabela verdade abaixo:

p p¬

II. Conjunção )(∧

A sentença molecular qp ∧ só é considerada verdadeira se tanto p

como q forem verdadeiras. Basta que uma delas seja falsa para que a

sentença toda seja considerada falsa. Podemos resumir isto na tabela

verdade:

p q qp ∧

III. Disjunção inclusiva )(∨

A sentença molecular qp ∨ é considerada verdadeira se pelo menos

umas das proposições é verdadeira. Podemos resumir este fato na tabela

verdade:

p q qp ∨

IV. Disjunção exclusiva −∨

A sentença molecular qp−∨ é considerada verdadeira se apenas uma

das sentenças é verdadeira, caso contrário será falsa. Podemos resumir

este fato na tabela verdade:


19 | P á g i n a

9

p q qp−∨

V. Condicional )(→

Quando dizemos que qp→ é verdadeira, estamos querendo

transmitir a ideia de que se p for verdadeira, q será obrigatoriamente

verdadeira. Não estamos nos responsabilizando pelo caso em que p é falsa.

Assim, a tabela verdade de qp→ é dado por:

p q qp→

VI. Bi condicional )(↔

Quando dizemos que ⇔↔p é verdadeira, estamos dizendo que tanto

qp→ a recíproca pq→ são verdadeiras. Desse modo a tabela verdade de

qp↔ é:

p q qp↔ V V V F F V F F


20 | P á g i n a

0

Atividade 4 – Cálculo com tabelas verdade

Uma sentença molecular pode ter mais de um conectivo e, nesse

caso, há algumas convenções, quando necessário ao emprego de

parênteses. Os exercícios abaixo são uma extensão de tabelas verdade

envolvendo sentença moleculares com vários conectivos.

1) Calcule o valor verdade de:

c) )()( qpqp ¬∧¬∨∧

p q qp ∧ p¬ q¬ qp ¬∧¬

)()( qpqp ¬∧¬∧∧

V V V F F V F F

d) ( )qpqp ¬∧¬↔∨

p q qp ∨ q¬ ( )qp ¬∧ ( )qp ¬∧¬ ( )qpqp ¬∧¬↔∨ V V V F F V F F

e) ( )pqrp ¬∧∨¬→ )(

p q r p¬

r¬

rp ¬→ pq ¬∧ ( )pqrp ¬∧∨¬→ )(


21 | P á g i n a

1

2) As tabelas verdade de valorações das proposições qp ∨ e pq ¬→ são

iguais?

3) As sentenças S1, S2, S3 a seguir são notícias acerca da bacia de Campos

_ RJ, extraídas e adaptadas da revista comemorativa dos 50 anos da

Petrobras.

S1: Foi descoberto óleo no campo de Garoupa, em 1974.

S2: Foi batido o recorde mundial em perfuração horizontal, em

profundidade de 905 m, no campo de Marlim, 1995.

S3: Foi iniciada a produção em Moréia e foi iniciado o Programa de

desenvolvimento Tecnológico em Águas Profundas (Procap), em 1986.

Quanto as informações das sentenças acima, jugue o item subsequente em

verdadeiro ou falso: A negação da união de S1 e S2 pode ser expressa por:

Se não foi descoberto óleo no campo de Garoupa, em 1974, então não foi

batido o recorde mundial em produção horizontal, em profundidade de 905

m, no campo de Marlim, em 1995.


22 | P á g i n a

2

Existem duas terminologias muito importante em lógica a respeito de

uma proposição p. São elas:

i) Proposição Reciproca

Definição 20: Dado a proposição qp→ (que será conhecida como

proposição direta, ou apenas direta), a proposição recíproca (ou apenas a

recíproca) desta proposição direta é dada por .pq→

Exemplo: Eliane estudou, então ela passou no concurso.

Sejam, as proposições:

p: Eliane estudou

q: passou no concurso

Simbolicamente qp→ .

A recíproca da sentença anterior é dada por: Eliane passou no

concurso, pois ela estudou.

q: passou no concurso.

p: estudou

Simbolicamente .pq→

ii) Proposição Contra - positiva

Definição 21: Dado a proposição direta qp→ , a proposição contra –

positiva (ou somente a contra - positiva) é dada por .pq ¬→¬

Exemplo: Eliane estudou, então ela passou no concurso.

Sejam, as proposições:

p: Eliane estudou.

q: passou no concurso.

Simbolicamente qp→ .

A contra - positiva da sentença anterior é dada por: Eliane não

estudou, então ela não passou no concurso.

p¬ :Eliane não estudou e q¬ : não passou no vestibular. Simbolicamente

.pq ¬→¬

4) Dada a proposição composta: Se Artur estudar, então irá passar de ano.

Sendo p: “Artur estuda” e q “passou de ano”

a) Escreva a recíproca em linguagem normal.

b) Escreva a recíproca em linguagem simbólica.

c) Escreva a contra - positiva em linguagem normal.

d) Escreva a contra – positiva em linguagem simbólica.


23 | P á g i n a

3

3. TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO, INFERÊNCIA E EQUIVALÊNCIA

Definição 22 (Tautologia): Sentenças moleculares que são sempre

verdadeiras, independentemente do valor de verdade das sentenças que a

constituem, são chamadas Tautologias. Ou em outras palavras:

Toda proposição composta que encerra na última coluna de sua

tabela verdade apenas o valor lógico V independe dos valores lógicos das

proposições que a compõe, chama-se Tautologia.

Exemplo: A tabela verdade a seguir é uma Tautologia.

Tabela 2: Tautologia.

p q qp ∧ pqp →∧ )( V V V V V F F V F V F V F F F V

Definição 23 (Contradição): Sentenças moleculares que são sempre

falsas, independentemente do valor de verdade das sentenças que a

constituem, são chamadas Contradição. Ou em outras palavras:

Toda proposição composta que encerra na última coluna de sua

tabela verdade apenas o valor lógico F independe dos valores lógicos das

proposições que a compõe, chama-se Contradição.

Exemplo: A tabela verdade a seguir representa uma Contradição.

Tabela 3: Contradição.

p q qp ∧ p¬ q¬ qp ¬∧¬ )()( qpqp ¬∧¬∧∧ V V V F F F F V F F F V F F F V F V F F F F F F V V V F

Observação 4: Toda proposição composta que não é uma tautologia e nem

uma contradição é denominada indeterminada.

Definição 24 (Inferência Lógica): Uma inferência lógica ou

simplesmente inferência é uma tautologia da forma qp→ ; a proposição p é

chamada antecedente e q, consequente da implicação.

È possível mostrar que as regras de inferência tem as seguintes

propriedades


24 | P á g i n a

4

Propriedade 1: Reflexiva pp→

Propriedade 2: Transitiva se qp→ e rq→ , então rp→

Exemplo: A tabela verdade abaixo representa uma inferência conhecida

como Modus Ponens.

Tabela 4: Inferência.

p q qp→ ppp ∧→ )( qppp →∧→ )( V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V

Definição 25 (Equivalência): Um proposição p e q se equivalem se e

quando a Bicondicional qp↔ é verdadeira (tautologia).

Exemplo: A tabela verdade a seguir é uma Equivalência.

Tabela 5: Equivalência.

p q q¬ qp→ )( qp→¬ )( qp ¬∧ ))(())(( qpqp ¬∧↔→¬ V V F V F F V V F V F V V V F V F V F F V F F V V F F V

Atividade 5 – Tautologia, Contradição, Inf. e Equivalência.

1) Através de uma tabela verdade adequada, verifique as proposições

compostas abaixo são: tautologia, contradição ou indeterminadas.

a) )()( qpqp ∨→∧

p q qp ∧ qp∨ )()( qpqp ∨→∧ V V V F F V F F

b) )()( qpqp ∧∧∨¬

p q qp∨ )( qp∨¬ qp ∧ )()( qpqp ∧∧∨¬ V V V F F V F F


25 | P á g i n a

5

c) )( qpp ∧∨¬

p q p¬ qp∨ )( qpp ∨∧¬ V V V F F V F F

2) Prova que a tabela verdade abaixo é uma equivalência.

p q qp ∧ )( qp ∧¬ p¬ q¬ qp ¬∨¬ )()( qpqp ¬∨¬↔∧¬ V V V F F V F F

3) Prove que a tabela verdade abaixo é uma inferência.

p q r qp→

rq→

rp→ )()( rqqp →∧→

)())()(( rprqqp →→→∧→

V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F


26 | P á g i n a

6

4. ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES

As proposições a seguir são logicamente equivalentes, para

comprovar este fato, basta utilizar as tabelas verdade. Portanto, as provas

destas proposições serão omitidas, cabendo ao leitor se achar necessário

faze-las.

Proposição 1: Propriedade idempotente

ppp ⇔∧ )(

ppp ⇔∨ )(

Proposição 2: Propriedade associativa

)()( rqprqp ∧∧⇔∧∧

)()( rqprqp ∨∨⇔∨∨

Proposição 3: Propriedade comutativa

pqqp ∧⇔∧

pqqp ∨⇔∨

Proposição 4: Propriedade Distributiva

)()()( rpqprqp ∧∨∧⇔∨∧

)()()( rpqprqp ∨∧∨⇔∧∨

Proposição 5: Propriedade da Absorção

pqpp ⇔∨∧ )(

pqpp ⇔∧∨ )(

Proposição 6: Propriedade da dupla negação

pp ⇔¬¬ )(

Proposição 7: Propriedade da contradição

pqqp ¬→¬⇔→

Proposição 8: Leis de Morgan

qpqp ¬∨¬⇔∧¬ )(

qpqp ¬∧¬⇔∨¬ )(

Observação 5:

1. Utilizando a dupla negação, observe que:

qpqp ∧⇔¬∨¬¬ )(


27 | P á g i n a

7

qpqp ∨⇔¬∧¬¬ )(

A verificação (prova) destes fatos é simples, basta fazer as

respectivas negações nas leis de Morgan.

2. Chamando as Tautologias de v e as contradições de f, podemos escrever:

pvp ⇔∧ ffp ⇔∧ fpp ⇔¬∧

vvp ⇔∨ pfp ⇔∨

vpp ⇔¬∨

Neste caso “v” é o elemento neutro e “f” é o elemento absorvente da

conjunção; “v” é o elemento absorvente e “f” é o elemento neutro da

disjunção.

Exemplos: Simplifique as seguintes proposições, utilizado as propriedades

da álgebra das proposições:

a) )( qp ¬∨¬

Primeiramente temos: )( qp ¬¬∧¬

Daí: qp ∧¬

Fazendo um cadeia lógica, temos:

qpqpqp ∧¬⇔¬¬∧¬⇔¬∨¬ )()(

b) qpqpqp ¬∨⇔¬∨¬¬⇔∧¬¬ )()(

Atividade 6 – Álgebra das proposições

Simplificar as proposições abaixo, utilizando as propriedades da

álgebra das proposições.

a) )( qp ¬∨¬¬

b) )( qp ¬∧¬

c) )( qp ∨¬¬

d) )( qp ¬∧¬¬

e) pqp ¬∧∨ )(


28 | P á g i n a

8

5. ÁLGEBRA DOS CONJUNTOS – SILOGISMO

5.1 Introdução

Aristóteles (384, 322 a.C. definiu o silogismo como sendo um série de

palavras em que sendo admitidas certas coisas, delas resultará

necessariamente alguma outra, pela simples razão de se terem admito

aquelas.

Definição 26: O silogismo, de um modo geral, consta de duas proposições

denominas premissas, das quais se tira uma terceira que é chamada de

conclusão.

Observação 6: A conclusão pode ser uma proposição verdadeira, sem que o

silogismo seja válido; as premissas podem ser falsas (uma ou as duas) e o

silogismo válido. Quando o silogismo não é válido, dizemos que é uma

falácia.

5.2 Quantificadores

Os chamados quantificadores são obtidos em frases como:

§ Para todo x, .... (Simbolicamente ....x∀ )

§ Há um x tal que... (simbolicamente ,...x∃ )

O primeiro ( ....x∀ ) é chamado de quantificador universal e o segundo ( ,...x∃ )

de quantificador existencial.

Observação 7: As sentenças que se iniciam por quantificadores são

chamadas sentenças gerais.

5.2.1 Negação dos Quantificadores

Sejam Px e Qx sentenças abertas na variável x, teremos:

I. A Negação de ))(( Pxx∀ é ( ) )( Pxx ¬∃ , ou seja:

( )PxxequivalePxx ¬∃∀¬ )())((

II. A Negação de ( ) )(Pxx∃ é ))(( Pxx ¬∀ , ou seja:

( )PxxequivalePxx ¬∀∃¬ )())((

III. ( )QxPxxequivaleQxPxx ¬∧∃⇒∀¬ )())((


29 | P á g i n a

9

Exemplos:

1) Existem sábios. (Px – x é sábio)

Simbologia: “existe um x tal que x é sábio” - ( ) )(Pxx∃

2) Todos são Sábios. (Px – x é sábio)

Simbologia: “ para todo x, x é sábio” - ))(( Pxx∀

3) Não existem marcianos. (Px – x é marciano)

Simbologia: “ Não existe x tal que x seja um marciano” - ( ) )(Pxx∃¬ ou

“Para todo x, x não é marciano” - ))(( Pxx ¬∀

4) Nem todos são sábios. (Px – x é sábio)

Simbologia: “para nem todo x, x é sábio” - ))(( Pxx∀¬ ou

“ existe um x tal que x não é sábio” - ( ) )( Pxx ¬∃

5) Algumas senhoras estão presentes. (Px – x é uma senhora; Qx – x esta

presente)

Simbologia: “existe um x tal que x é uma senhora e x está presente” -

( ) )( QxPxx ∧∃

6) Os morcegos são mamíferos. (Px – x é morcego; Qx – x é um mamífero)

Simbologia: “para todo x, se x é um morcego, então x é um mamífero” -

))(( qxPxx →∀

7) Existe um mamífero que voa. (Px – x é mamífero; Qx – x voa)

Simbologia: “ Existe um x tal que x é mamífero e x voa” - ( ) )( QxPxx ∧∃

5.3 Proposições categóricas

Definição 27: As proposições categóricas são afirmações sobre conjuntos

(classes ou categorias) de elementos, afirmando ou negando que uma

classe esteja contida na outra, no todo ou em parte.


30 | P á g i n a

0

5.4 Diagrama de Venn

As Proposições categórica podem ser representadas graficamente,

através de um esquema conhecido por diagrama de Venn. John Venn,

matemático inglês, em 1876, conseguiu discutir o silogismo através de

diagramas, seguindo as seguintes regras:

i. Utiliza-se um diagrama único da forma

Figura 1 – Diagrama de vem 1.

ii. Faz-se hachuras em um região vazia


iii. coloca-se o sinal + (mais) se a região não é vazia.


A partir daí, podemos definir alguns silogismos dados por diagramas

de Venn:

I. Todo A é B. (simbolicamente ( )BxAxx ⇒∀ )(


31 | P á g i n a

1

Figura 4 – Diagrama de todo A é B.

II. Todo B é A. (simbolicamente ( )AxBxx ⇒∀ )(

Figura 5– Diagrama de todo B é A.

III. Nenhum A é B (simbolicamente ( )BxAxx ¬⇒∀ )( ou Nenhum B é A

(simbolicamente ( )AxBxx ¬⇒∀ )(

Figura 6– Diagrama de nenhum A é B ou Nenhum B é A.

IV. Algum A é B. (simbolicamente ( )BxAxx ∧∃ )( ou algum B é A.

(simbolicamente ( )AxBxx ∧∃ )(

Figura 7– Diagrama de algum A é B ou algum B é A.

V. Algum A não é B. (simbolicamente ( )BxAxx ¬∧∃ )(

Figura 8– Diagrama de algum A não é B.


32 | P á g i n a

2

VI. Algum B não é A. (simbolicamente ( )AxBxx ¬∧∃ )(

Figura 8– Diagrama de algum B não é A.

Exemplo: Nenhum filósofo é rico.

Alguns matemáticos são filósofos.

Alguns matemáticos não são ricos.

Resolução:

Sejam:

F – Conjunto de filósofos.

M – conjunto de matemáticos.

R – ricos.

Analisando a primeira premissa: Nenhum filósofo é rico. Temos o

seguinte diagrama. (Nenhum F é R)

Figura 9– Diagrama de nenhum F é R.

Analisando a segunda premissa: Alguns matemáticos são filósofos.

Temos o seguinte diagrama. (Algum M é F)

Figura 10– Diagrama de Algum M é F.


33 | P á g i n a

3

Analisando a conclusão: Alguns matemáticos não são ricos. Temos o

seguinte diagrama. (Algum M não é R)

Figura 10– Diagrama de Algum M não é F.

Agora fazendo as intersecções, temos:

Figura 11– Diagrama de conclusão.

O silogismo é verdadeiro, pois existem alguns matemáticos que não

são ricos.

Atividade 7 – Exercícios de Quantificadores e Silogismo

1) Aplicando a linguagem simbólica, aplique os quantificadores.

a) Todo livro deve ser lido.

b) Somente os médicos podem cobrar por tratamento clínico.

c) Ninguém, senão os corajosos, merece medalha.

d) Os cavalheiros não são sempre ricos.

2) Em cada item a seguir, verifique se o silogismo é verdadeiro ou falso,

use a álgebra dos conjuntos na análise:

I. Todos os professores são bravos.

Todos os Professores são carecas.

Todos os carecas são professores.


34 | P á g i n a

4

II. Todos os alunos são impacientes.

Alguns alunos são Heróis.

Alguns heróis são pacientes.

III. Nenhuma Criança é má.

Todas as borboletas são más.

Nenhuma borboleta é criança.

IV. Todos os contos são tristes.

Nenhum verso é um conto.

Nenhum verso é triste.

V. Todo desempregado é faminto.

Algum professor é faminto.

Algum desempregado é professor.


35 | P á g i n a

5

6. LÓGICA DIGITAL

6.1 Introdução

Na lógica matemática tomamos conhecimento sobre o “pensamento

lógico” e vimos a sua aplicação, através das expressões lógicas com um

simbologia própria. Notamos também que o valor lógico Verdadeiro (V) ou

Falso (F) de uma proposição composta dependerá dos conectivos que ligam

as proposições simples.

A lógica digital é idêntica à lógica matemática, o que irá diferir será a

simbologia e as características das proposições empregadas. A linguagem

da “lógica digital” entre outras coisas é empregada para operacionalizar

máquinas elétricas, onde os impulso elétricos representarão os “valores

lógicos”.

Enquanto na lógica matemática, representamos as proposições com

os valores lógicos verdadeiro (V) ou falso (F).

Na lógica digital, teremos:

Estado lógico 1

(L1)

Definição 28: O significado físico do “Estado lógico 1” é um circuito elétrico

onde a chave s1 está fechada, portanto em condição de circulação de

corrente elétrica, o que acarreta o acendimento da lâmpada.

Figura 12– Lâmpada acesa.

Estado lógico 0

(L2)


36 | P á g i n a

6

Definição 29: O significado físico do “Estado lógico 0” é um circuito

elétrico onde a chave s2 está aberta, portanto impedindo a circulação de

corrente elétrica, o que acarreta o não acendimento da lâmpada.

Figura 13– Lâmpada apagada.

Ao se observar estes dois tipos de circuitos simples, pensou-se num

sistema de numeração que pudesse representar este dois estados lógicos. O

chamado sistema binário, que possui apenas os algarismos 0 (zero) e 1

(um).

A grande importância deste sistema de numeração está no fato de

que as máquinas eletrônicas trabalham com o estado de condução de

corrente elétrica (estado lógico 1) e não condução de corrente elétrica

(estado lógico 0).

6.2 Sistemas de Numeração

Definição 30 (numeração): Numeração é o processo pela qual utilizamos

o mínimo de símbolos e palavras para representar os números.

O sistemas de numeração vieram através da necessidade que o

homem teve para contar. Existem muitos sistemas de numeração utilizados

no decorrer do tempo, entre eles, sistema binário, decimal, hexadecimal,

etc...

Os sistemas de numeração mais utilizados atualmente são o decimal

e o binário, o primeiro pela sua analogia aos dedos das mãos e o segundo

pela necessidade de dois estados lógicos por máquinas eletrônicas.

Teorema 1: Dados dois números INba ∈, , com b > 1, existem números

naturais c0, c1, c2, ..., cn menores que b, univocamente determinados, tais

que nn bcbcbcbcca ....... 3

32

210 +++++= .

Prova: A prova deste teorema será omitida, mas a mesma pode ser

encontrada no livro Elemento de Aritmética de Abramo Hefez, 2ª. Edição,

Rio de Janeiro, SBM, 2011; páginas 44 e 45


37 | P á g i n a

7

6.2.1 Sistema Decimal

Definição 31: É um sistema de numeração composto pelos algarismos:

1,2,3,4,5,6,7,8,9, acrescido do símbolo “0” zero que representa a ausência

de algarismo.

Observação 8: O sistema decimal é um sistema de numeração posicional,

ou seja, a ordem de “colocação” dos algarismos representa um determinado

valor dependendo da posição que ele ocupar.

Exemplos: Aplicação do teorema1 na base dez (sistema decimal).

1) 7 = 7.100 2) 12 = 1.101 + 2.100 3) 103 = 1.102 + 0.101 + 3.100

6.2.2 Sistema Binário

Definição 32: É um sistema de numeração composto por dois dígitos 0,1.

Observação 9: O sistema Binário não é um sistema de numeração

posicional.

Exemplos: Aplicação do teorema 1 na base 2 (sistema binário).

1) (1 0)2 = 1.21 + 0.20 = 2 + 0 = 2

2) (1 1 0)2= 1.22 + 1.21 + 0.20 = 4 + 2 + 0 = 6

3) (1 0 1 1)2 = 1.23 + 0.22 + 1.21 + 1.20 = 8 + 0 + 2 + 1= 11

6.2.3.Mudança de Base

Veremos agora como efetuar uma mudança de base, de decimal para

binário, e de binário para decimal.

Observação 10: Embora o objetivo do curso seja explorar apenas estas

duas bases (Binária e Decimal), não quer dizer que não existam outras

bases, inclusive os processos a serem apresentados se estendem a outras

bases.

I. Mudança de base de Decimal para Binário.

Para efetuarmos a mudança de base de um número Decimal para

Binário, iremos utilizar o algoritmo da divisão Euclidiana, consecutivamente,

como mostrado no exemplo:


38 | P á g i n a

8

Ou seja: 27 = (1 1 0 1 1)2

II. Mudança de base de binário para Decimal.

Para efetuarmos a mudança de base de um número Binário para

Decimal, basta utilizarmos o teorema 1, como no exemplo:

(1 1 0 1 1)2 = 1.24 + 1.23 + 0.22 + 1.21 + 1.20 = 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 27

Tabela 6: Sistema Binário.

Sistema Decimal Binário 0 0 1 1 2 1 0 3 1 1 4 1 0 0 5 1 0 1 6 1 1 0 7 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1 10 1 0 1 0 ! !

Atividade 8 – Mudança de Base

1) Transforme os números decimais em binários.

a) 47 b) 21 c) 47 d) 197 e) 943

2) Transforme os números binários em decimais.

a) (1 0 1 0 1)2

b) (1 0 1 0 1 1 0)2

c) (1 0 1 0 1 1 1 0)2

d) (1 1 0 0 1 0 0 0 0)2

e) (1 0 1 1 0 0 1 0 1 1)2


39 | P á g i n a

9

6.2.4 Leitura complementar

III. Mudança de base de binário fracionário para Decimal fracionário.

Vamos considerar o número binário fracionário (101,1101)2 e

façamos a sua transformação em um número fracionário decimal.

4 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0 + 0,625 = 7,8125

Tabela 7: Potência negativa na base 2.

12− 0,5 22− 0,25 32− 0,125 42− 0,0625 52− 0,03125 62− 0,0 15625 72− 0,0078125 82− 0,00390625 92− 0,001953125 102− 0,0009765625

III. Mudança de base de Decimal fracionário para binário fracionário.

Vamos considerar o número decimal fracionário 4,375 e façamos a

sua transformação em um número Binário fracionário.

1º passo: Transformar a parte inteira do decimal para binário, utilizando o

algoritmo da divisão euclidiana consecutivamente.

4 = (1 0 0)2

2º Passo: Transformar a parte fracionária decimal em fracionária binária,

para isto vamos multiplicar a parte decimal por 2 e os algarismos que forem

aparecendo à esquerda da vírgula, formarão a parte fracionária do número

binário. Sempre que conseguirmos o número 1(um) a esquerda da virgula e


40 | P á g i n a

0

a parte fracionária não for nula, desprezamos a parte inteira e reiniciamos o

processo com parte fracionária. Quando a parte fracionária for nula,

paramos o processo.

0, 375 = (0, 0 1 1)2

Logo,

4,375 = (1 0 0,0 0 1)2

Para aprimorar seus conhecimentos tente resolver os exercícios a

seguir:

1) Transforme os números binários fracionários para decimais fracionários.

a) (1 1 1,1 0 1)2

b) (1 1 0 1,1 1 0 1)2

c) (1 1 1 1,0 0 1)2

d) (1 0 1 0,1 1 0 1)2

e) (1 0 1 1,1 0 1 1)2

2) Transforme os números decimais fracionários em binários fracionários.

a) 4,38 b) 15,3 c) 8,375 d) 3,8 e) 0,125

Respostas:

1) a) 7, 625 b) 13, 8125 c) 15,125 d) 10,8125 e) 11, 6875

2) a) (1 0 0,0 1 1 0 0 0 0 1)2 b) (1 11 1,0 1 0 0 1 1 0 0 1...)2

c) (1 0 0 0,0 1 1)2 d) (1 1,1 1 0 0 1 1 0 0...)2 e) (0,0 0 1)2


41 | P á g i n a

1

6.3 Operações Binárias

As operações de adição e subtração de binários, serão de grande

importância, pois, auxiliarão no entendimento de circuitos lógicos

aritméticos que se comportarão como somadores e subtratores.

I. Adição Binária

Definição 33: A adição binária, se faz de forma análoga “a adição

decimal”. Enquanto na adição decimal 9 + 1, o resultado é sempre 0

(zero)e “vai 1 (um)”, obtendo-se o 10. Na adição binária, sempre que se

adiciona 1 + 1, o resultado é 0 (zero) e vai 1 ou seja 1 0. Como no sistema

binário temos apenas 2 dígitos, as regras da adição binária são as

seguintes:

0 + 0 = 1

0 + 1 = 1

1 + 0 =1

1 + 1 = 0 e vai 1 ou seja 1 + 1 = 1 0

1 + 1 + 1 = 1 e vai 1 ou seja 1 + 1 + 1 = 1 1

É fácil observar que enquanto no sistema decimal 1 + 1 = 2 e no

binário 1 + 1 = 1 0, logo 2 = (1 0)2

Exemplos:

1) sistema binário sistema decimal

0 1 1 1 7

+1 0 0 0 + 8 _______ ____

1 1 1 1 15

Logo, (1 1 1 1)2 = 15


1 1 0 0 12

+1 1 0 1 + 13 _______ ____

1 1 0 0 1 25

(1 1 1 1)2 = 15

Logo, (1 1 0 0 1)2 = 25


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2

II. Subtração binária

Definição 34: A subtração binária, é semelhante à subtração decimal, e

suas regras são:

0 – 0 = 0

1 – 1 = 0

1 – 0 = 1

0 – 1 = 1 e “empresta 1(um)”

Exemplos:


1 1 1 1 15

- 1 0 0 0 - 8 _______ ____

0 1 1 1 7

Logo, (1 1 1)2 = 7


1 0 0 → 0 - 1 = 1 e empresta 1 4

- 1 1 -3 _______ ___

1 1

1 0 0 → 0 - 1 = 1 e empresta 1

- 1 1 0 – 1 = 1 – 1 = 0 emprestado _______

0 1

1 0 0 → 0 - 1 = 1 e empresta 1

- 1 1 1 0 – 1 = 1 – 1 = 0 emprestado _______

0 0 1

Logo, (1 0 0 – 1 1)2 = (0 0 1)2 = 1


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3

Atividade 9 – Adição e subtração Binária

1) Efetue as adições binárias.

a) (1 1)2 + (1 0)2

b) (1 1 1)2 + (1 1 0 )2

c) (1 0 1 1)2 + (1 1 0 0 1)2

d) (1 1 1 0 0 0 1 1)2 + (1 0 1 1 0 1)2

e) (1 1 1 1 1 1)2 + (1 1 1 1 1)2

2) Efetue as subtrações binárias.

a) (1 1 1)2 - (1 0 o)2

b) (1 0 0 0)2 - (1 1 1 )2

c) (1 1 1 1 )2 - (1 1 0 0 )2

d) (1 0 0 1 0 )2 – (1 0 0 0 1)2

e) (1 1 0 0 0)2 – (1 1 1)2


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4

7. PORTAS LÓGICAS

7.1 Funções Lógicas

Podemos definir as funções lógicas, a partir de alguns circuitos

elementares, denominados AND, OR, NAND, NOR, NO.

Para exemplificar o funcionamento dos circuitos AND e OR, usaremos

o conceito básico visto anteriormente, ou seja, a condução ou não de

corrente elétrica.

7.1.1 Função lógica AND

Consideremos o seguinte circuito, onde as chaves (portas lógicas)

que representam os estados lógicos estão em série, isto é existe um e

somente um “caminho” para a corrente elétrica percorrer.

Figura 14– Circuito AND.

Temos quatro e apenas quatro posições possíveis para as chaves S1 e

S2, são elas:

i. S1 e S2 fechadas → Resultado: Lâmpada acesa.

ii. S1 fechada e S2 aberta → Resultado: Lâmpada apagada.

iii. S1 aberta e S2 fechada → Resultado: Lâmpada apagada.

iv. S1 e S2 abertas → Resultado: Lâmpada apagada

Assim, podemos construir uma tabela com estas quatro situações,

lembrado que o estado lógico” 1” (posição de conduzir) e o estado lógico

“0” (posição de bloqueio).

Para a lâmpada, teremos a mesma analogia:

I. Lâmpada acesa – “1” – há condução plena de corrente elétrica.

II. Lâmpada apagada – “0” – não há condução de corrente elétrica.


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5

Tabela 8: Função AND.

Portanto, podemos chegar à seguinte conclusão, o estado lógico “1”,

na lógica digital é equivalente a verdadeiro “V” na lógica matemática e o

estado lógico “0” na logica digital é equivalente a falso “F” na lógica

matemática

A função lógica que representa a situação é F = f(S1, S2), logo

F = S1∩S2.

7.1.2 Função lógica OR

Como o próprio nome diz, nesse circuito as chaves estão dispostas

em paralelo, a corrente elétrica tem opções de caminho a seguir.

O circuito que melhor representa a função lógica OR é:

Figura 15 – Circuito OR.

Aqui também temos quatro e apenas quatro posições possíveis para

as chaves S1 e S2, são elas:

i. S1 e S2 fechadas → Resultado: Lâmpada acesa.

ii. S1 fechada e S2 aberta → Resultado: Lâmpada acesa.

iii. S1 aberta e S2 fechada → Resultado: Lâmpada acesa.

iv. S1 e S2 abertas → Resultado: Lâmpada apagada.


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6

Assim, temos a seguinte tabela da função lógica OR e a sua relação

com a tabela verdade da disjunção na lógica matemática.

Tabela 9: Função OR.

7.1.3 Função lógica NO

A função No, nada mais é que um circuito inversor de estado lógico.

Sua função será demostrada a partir do seguinte circuito elétrico.

Figura 16 – Chave aberta e lâmpada acesa.

Quando S1 está desligada (Posição 0), a Lâmpada está acesa, pois o

circuito está fechado.

Figura 17 – Chave fechada e lâmpada apagada.


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7

Quando S1 está ligada (Posição 1), a Lâmpada está apagada, pois

cria-se um campo magnético que atrai a lâmina do circuito da lâmpada,

interrompendo-o.

Com este artifício, notamos que o resultado é oposto à nossa

convenção inicial, daí temos uma inversão do estado lógico.

Tabela 10: Função No.

7.1.4 Função lógica NAND

A função NAND é um inversor lógico da função AND.

O circuito a seguir mostra o inversor da função lógica AND.

Figura 18 – Circuito NAND.

Temos quatro posições possíveis para as chaves S1 e S2, são elas:

i. S1 e S2 fechadas → Resultado: Lâmpada apagada.

ii. S1 fechada e S2 aberta → Resultado: Lâmpada acesa.

iii. S1 aberta e S2 fechada → Resultado: Lâmpada acesa.

iv. S1 e S2 abertas → Resultado: Lâmpada acesa.

Observe que o resultado é exatamente o oposto do circuito AND.

Para representar este resultado, usaremos como conversão, uma

“barra” acima do símbolo que o determine, ou seja:

)(Re)(Re NANDsultANDsult =

Podemos construir uma tabela verdade para o circuito NAND, que

será a negação do resultado do circuito AND.


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8

Tabela 11: Função NAND.

S1 S2 )(Re ANDsult )(Re NANDsult 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1

Na lógica matemática temos:

Tabela 12: Lógica matemática 1.

p q qp ∧ ( )qp∧¬ V V V F V F F V F V F V F F F V

7.1.5 Função lógica NOR

A função NOR é um inversor lógico da função OR.

O circuito a seguir mostra o inversor da função lógica OR.

Figura 19 – Circuito NOR.

Temos quatro posições possíveis para as chaves S1 e S2, são elas:

i. S1 e S2 fechadas → Resultado: Lâmpada apagada.

ii. S1 fechada e S2 aberta → Resultado: Lâmpada apagada.

iii. S1 aberta e S2 fechada → Resultado: Lâmpada apagada.

iv. S1 e S2 abertas → Resultado: Lâmpada acesa.

Podemos construir uma tabela verdade para o circuito NOR, que será

a negação do resultado do circuito OR.


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9

Tabela 13: Função NOR.

S1 S2 )(Re ORsult )(Re NORsult 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1

Na lógica matemática temos:

Tabela 14: Lógica matemática 2.

p q qp ∨ ( )qp∨¬ V V V F V F V F F V V F F F F V

7.2 Simbologias – Portas lógicas

O modelo de circuito adotado para exemplificar as funções lógicas é

bastante funcional e serve para demostrar com clareza, o comportamento

num circuito. Porém, para que possamos fazer a análise e representação

das diversas funções em um circuito, ficaria extremamente extenso se

continuássemos com as mesmas representações anteriores. Afim de evitar

tal problema, adotaremos uma simbologia, a qual é muito utilizada na

lógica digital.

Sendo assim, representaremos as funções lógicas da seguinte forma:

7.2.1 Portas lógicas AND

Figura 20 – Função AND.

7.2.2 Portas lógicas NAND


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0

Figura 21 – Função NAND.

7.2.3 Portas lógicas OR

Figura 22 – Função OR.

7.2.4 Portas lógicas NOR

Figura 23 – Função NOR.

7.2.5 Portas lógicas No (Inversor)

Figura 24 – Função NOR.

Observação 11:

i. O inversor associado à entrada, inverte apenas o valor lógico dela,

ou seja:

Figura 25 – Inversor.

ii. Na apresentação das funções lógicas, utilizamos apenas duas

entradas porque na exposição através de circuitos elétricos,

apenas duas chaves foram usadas. Isto significa que podemos ter

“n” entradas para uma única saída (Resposta →Result).

iii. Podemos associar as diferentes funções lógicas, resultando em um

circuito extremamente complexo.


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1

8. ÁLGEBRA DOS CIRCUITOS

Definição 35: No circuito AND, executa-se o produto dos valores lógicos

aplicados em sua entrada.

Figura 26 – Resultado da função AND .

21 SSR ×=

Definição 36: No circuito OR, executa-se a adição dos valores lógicos

aplicados em sua entrada.

Figura 27 – Resultado da função OR .

21 SSR +=

Para que possamos entender deste já o processo da álgebra dos

circuitos, vejamos um exemplo de uma associação:

Figura 28 – Circuito composto 1.

Observe que as duas funções lógicas são AND então, teremos como

resultado o produto dos valores lógicos “injetados” no circuito. Sendo

assim, em A1, teremos R1 = S1 x S2. Em A2 = R1 x S3.

Considerando S1 = 0, S2 = 1 e S3 = 1, teremos:

0101211 =×=⇒×= RSSR e 0102312 =×=⇒×= RSRR

Portanto, o resultado final obtido pela combinação dos três valores

lógicos será: “0 “.


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2

Literalmente poderíamos escrever que o resultado final R2, seria

descrito pela seguinte expressão: 3212 )( SSSR ××= →Expressão final do

circuito.

Através deste exemplo, podemos obter uma tabela verdade que o

representa oito possibilidades das chaves S1, S2 e S3.

Tabela 15: Porta Lógica AND.

S1 S2 S3 R1 = S1 x S2 R2 = R1 x S3

1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0


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3

Atividade 10 – Álgebra dos circuitos

1) Dê a expressão final dos seguintes circuitos:


Figura 30 – Circuito composto3.




54 | P á g i n a

4

2) Tomando como base a construção de uma tabela verdade, repita o

procedimento do exemplo da teoria para os circuito b e d.

b)

S1 S2 S3 1S 2S 211 SSR ×= R = R1 +S3

1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0

d)

S1 S2 S3 R1 = S1 x S2 1R 312 SRR += 2R 32 SRR +=

3) Analise em verdadeiro (V) ou falso (F). Á saída do circuito abaixo está

associada a formula QP ¬∧

Figura 33 – circuito composto 6.


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5

9. SIMPLIFICAÇÃO DE CIRCUITOS (ÁLGEBRA DE BOOLE)

9.1 Introdução

Se observarmos os exercícios anteriores, podemos observar que à

medida que se acrescentam os “operadores “lógicos, mais complexo se

torna a montagem da tabela verdade. Para solucionar esse impasse,

utilizaremos uma estrutura matemática conhecida como “Álgebra de Boole”

(Álgebra booleana).

Definição 37: A álgebra booleana consiste basicamente de um conjunto R

de “n” elementos, s1, s2, s3, ..., sn-1, sn combinados por operações binárias

de adução e subtração.

Quando expressávamos as funções lógicas, podíamos verificar que os

circuitos (AND; OR) eram representados por uma função F = F(S1, S2) que

respectivamente assumiam: 21 SSF ∩= e 21 SSF ∪= .

9.2 Propriedades: I. Porta lógica AND

Figura 34 – Função AND, valor fixado.

Com o valor “0” (zero) fixado, podemos definir as seguintes

propriedades e postulados de maneira generalizada:

Quadro 2: Propriedades da Porta Lógica AND.

A1. S1 x 0 = 0

A2. S1 x 1 = S1

A3. S1 x S1 = S1

A4. S1 x S2 = S2 x S1

A5. 11 SS =

A6. 011 =× SS


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6

A7. S1 x S2 x S3 = S1 x (S2 x S3) = (S1 x S2) x S3

II. Porta lógica OR

Figura 35 – Função OR, valor fixado.

Com o valor “1” (um) fixado, podemos definir as seguintes

propriedades e postulados de maneira generalizada:

Quadro 3: Propriedades da Porta Lógica OR.

O1. S1 + 1 = 1

O2. S1 + 0 = S1

O3. S1 + S1 = S1

O4. 11 SS =

O5. 111 =+ SS

O6. S1 + S2 = S2 + S1

O7. S1 + S2 + S3 = S1 + (S2 + S3) = (S1 + S2) + S3

III. Miscelânea AND e OR.

Quadro 4: Miscelânea AND e OR.

M1. S1 x (S2 + S3) = S1 x S2 + S1 x S3

M2. S1 + (S2 x S3) = (S1 + S2) x (S1 + S3)

IV. Leis de Morgan.

Quadro 5: Leis de Morgan.

L1. …! 321321 SSSSSS ××=+++

L2. …! +++=××× 321321 SSSSSS

L3. 21211 SSSSS +=×+


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7

Exemplos: Simplifique as expressões booleanas.

a) 4321431 SSSSSSSy ×××+××=

Como S3 e S4 são fatores em comum, fazendo o fator comum em

evidência, temos: ).( 21143 SSSSSy ×+×=

Pela lei de Morgan L3, temos 21211 SSSSS +=×+

).( 2143 SSSSy +×=

Assim, a simplificação da expressão resulta em:

432431 SSSSSSy ××+××=

b) 321321321 SSSSSSSSSy ××+××+××=

Como S1 é fator em comum, fazendo o fator comum em evidência,

temos: ).( 3232321 SSSSSSSy ×+×+×=

Reagrupando, temos: ).( 3232321 SSSSSSSy ×+×+×=

Como S2 é fator em comum em parte das expressões entre

parênteses, fazendo o fator comum em evidência, temos:

]).(.[ 323321 SSSSSSy ×++=

Pelo postulado O5. 111 =+ SS , temos: ])1.(.[ 3221 SSSSy ×+=

Daí: ].[ 3221 SSSSy ×+=

Pela lei de Morgan L3, temos 21211 SSSSS +=×+ , daí: ].[ 321 SSSy +=

Assim, a simplificação da expressão resulta em: ]3121 SSSSy ×+×=

Atividade 11 – Simplificação de Circuitos

Simplifique as expressões booleanas aplicando as propriedades.

1) 321321 SSSSSSy ××+××=

2) 321321321321 SSSSSSSSSSSSy ××+××+××+××=

3) 4321432143214321 SSSSSSSSSSSSSSSSy ×××+×××+×××+×××=

4) 4321432143214321 SSSSSSSSSSSSSSSSy ×××+×××+×××+×××=


58 | P á g i n a

8

5) 4321432143214321

4321432143214321

SSSSSSSSSSSSSSSS

SSSSSSSSSSSSSSSSy

×××+×××+×××+×××+

+×××+×××+×××+×××=

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICAS

[1] Cyrino, Hélio Fernando F. e Arantes, Fernando Antônio, Lógica Matemática Lógica Digital. Campinas/S.P.: Ed. Papirus, 1984.

[2] ETAPA, Sistema de Ensino, Apostila de Matemática – Curso Pré – vestibular. São Paulo, 2013.

[3] Filho, José Bezerra de Menezes, Sistemas Digitais, Funções e Portas

Lógicas. Centro Federal de Educação tecnológica da Paraíba, Paraíba,

www.josematias.pt/Alunos/PortasLogicas2.ppt (Acesso em 17/12/2013 às

16:07 h)

[4] Hefez, Abramo, Elementos de Aritmética. Rio de Janeiro: SBM, 2ª. Ed., 2011.

[5] Mandim, Daniel, Raciocínio Lógico. Brasília, FDK editora, 2ª. Ed, 2009.

[6] Pinho, Antônio A., Introdução à Lógica Matemática (Apostila). Rio de Janeiro, Julho de 1999.

apostila de lógica aplicada a computação - unifebfeb.unifeb.edu.br/dmdocuments/apostila de logica...

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