ANHANGUERA EDUCACIONAL

PROF. DCIO COLANERI

Engenharia Mecnica - 6. srie

MECNICA APLICADA

So Paulo - SP 2011

NDICE

PREFCIO 1.1.1. 1.2. 1.3. 1.3.1. 1.3.2. 1.3.3. 1.3.4.

2

CONCEITOS FUNDAMENTAISMQUINAS PARES CINEMTICOS MECANISMOS CLASSIFICAO INVERSES DE UM MECANISMO GRAU DE MOBILIDADE DOS MECANISMOS LEI DE GRASHOF 3 4 6 6 7 9 12

2.2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.

POSIO E DESLOCAMENTOMOVIMENTO DE UMA PARTCULA MOVIMENTO DE UM CORPO RGIDO DESLOCAMENTO DE UMA PARTCULA DESLOCAMENTO DE UM CORPO RGIDO DESLOCAMENTO RELATIVO POSIO 16 17 18 19 21 22

3.3.1. 3.2.

CINEMTICA DOS MECANISMOSA TRANSMISSO DE MOVIMENTO NOS MECANISMOS OS NGULOS DE PRESSO E TRANSMISSO 27 32

4.4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

ANLISE CINEMTICA DOS MECANISMOSINTRODUO VELOCIDADE VELOCIDADE ANGULAR VELOCIDADE DE UM CORPO RGIDO POLGONOS DE VELOCIDADE 34 34 35 35 37

5.5.1. 5.2. 5.3. 5.3.1. 5.3.2. 5.3.3. 5.3.4. 5.3.5.

CAMOSCLASSIFICAO DOS CAMOS E SEGUIDORES GEOMETRIA DO CAMO RADIAL DIAGRAMAS DE DESLOCAMENTO MOVIMENTO UNIFORME MOVIMENTO UNIFORME MODIFICADO MOVIMENTO HARMNICO SIMPLES MOVIMENTO PARABLICO MOVIMENTO CICLOIDAL 41 42 44 44 44 45 45 46

2

1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS1.1. MQUINAS

Estabelecida as necessidades do projeto de uma mquina, nas primeiras etapas do projeto so determinadas as suas funes e caractersticas principais. A seguir, so elaboradas vrias solues fsicas que, em princpio, satisfazem as exigncias do projeto. A anlise de cada uma destas sugestes permitir a seleo da melhor delas que ser, a seguir, projetada com detalhes. Analisemos, como exemplo, uma mquina de costura, j existente, e vejamos quais teriam sido as funes e caractersticas que levaram construo do produto final. Finalidades bsicas: tranar, com perfeio, linhas em tecidos. Funes principais: A rotao na entrada do mecanismo dever: a) mover a agulha num movimento retilneo alternado. b) tranar as linhas de dois carretis. c) mover o pescador num movimento circular alternado. d) mover o espaador num movimento circular. Observa-se, nas funes acima, uma caracterstica comum: a existncia do movimento. atravs de movimentos bem determinados, de cada uma de suas peas, que a mquina de costura pode exercer as suas funes. O movimento, evidentemente, uma caracterstica comum a todas as mquinas e a ele est associado o conceito de mecanismo. Mecanismo um conjunto de peas rgidas ligadas entre si de tal forma que os movimentos relativos entre elas sejam determinados. H, em todo mecanismo, uma pea motora que recebe movimento externo e uma pea movida, acionada diretamente pela pea motora ou atravs de peas intermedirias. Voltando mquina de costura, o mecanismo tem como pea motora uma polia e como pea movida uma agulha. O movimento dado polia de rotao num nico sentido, enquanto que o movimento da agulha retilneo alternado, aps a passagem por vrias peas intermedirias. Como se v, houve uma grande modificao do movimento de entrada, resultando no movimento de sada. Esta uma funo tpica dos mecanismos, isto , modificar movimentos. Pode-se, portanto, concluir que todas as mquinas e motores so compostos de um ou mais mecanismos. Convenciona-se chamar um mecanismo de mquina quando a potncia a ela fornecida bem maior que aquela necessria apenas para mov-lo. Um motor tambm um mecanismo, no qual, por meios trmicos, eletromagnticos ou outros, gera-se potncia. De uma forma geral, o projeto de qualquer mquina consta das seguintes etapas: 1. Escolher os vrios tipos de mecanismos que podem exercer as funes especificadas. Esta uma tarefa que depende principalmente da experincia e criatividade do projetista e faz parte do estudo de viabilidade do projeto. 2. Projetar cinematicamente os mecanismos. Este trabalho feito para se determinar as dimenses geomtricas das peas que compem o mecanismo, atravs de imposies de caractersticas cinemticas como deslocamentos, velocidades e aceleraes. 3. Estudar as foras atuantes. Conhecida a geometria do mecanismo e os esforos externos, deve-se determinar as foras e os momentos atuantes em todas as peas do mecanismo.

4

4. Dimensionamento das peas. Conhecidos os esforos solicitantes deve-se, a seguir, fazer o dimensionamento das peas e de suas respectivas fixaes. O dimensionamento consiste na determinao dos materiais e dimenses das peas de modo a satisfazerem as exigncias de desgaste, deformao e ruptura. 5. Anlise dinmica. Agora que as peas do mecanismo so fisicamente conhecidas, deve-se determinar os esforos dinmicos, devido s aceleraes e s inrcias das peas, ainda consideradas corpos rgidos. O estudo das vibraes e rudos da mquina ser feito a seguir, levando-se em conta a elasticidade de todo o mecanismo. Este estudo feito como aperfeioamento da mquina, utilizando a maior parte das vezes, mtodos experimentais de ensaios em laboratrios com prottipos. Tanto os esforos de inrcia como as vibraes medidas podem exigir o redimensionamento do mecanismo. 1.2. PARES CINEMTICOS F. Reuleaux foi o primeiro a expressar claramente o conceito de que o movimento de um mecanismo essencialmente controlado pela forma com que as suas vrias peas mveis esto ligadas entre si. A conexo entre as peas foi por ele denominada par cinemtico. 1. Definio - Par cinemtico qualquer forma de conexo entre duas peas que permita movimento relativo entre elas. Evidentemente, a combinao das formas das reas de contato que definir o movimento relativo entre os dois corpos. 2. Classificao - Os pares cinemticos so classificados por dois critrios: a) pela maneira com que o contato entre as peas mantida: a1) pares fechados: a forma dos elementos impede a separao das peas. a2) pares abertos: necessria alguma fora externa para manter o contato. b) pela natureza das regies em contato: b1) pares inferiores: o contato entre os elementos se d sobre superfcies. b2) pares superiores: o contato se d sobre pontos ou linhas.

par fechado inferior (a) (fig. 1)

par aberto superior (b)

3. Invertibilidade dos pares - O movimento relativo de duas peas ligadas entre si por um par cinemtico, pode ser estudado considerando-se uma das peas fixas. Movendo-se a outra pea, a trajetria descrita por qualquer de seus pontos depender do tipo de movimento relativo que o par cinemtico permite entre as duas peas. Um par invertvel quando as trajetrias dos pontos da pea 2 em relao pea 1 coincide com as trajetrias dos pontos da pea 1 quando esta se move em relao pea 2. Na figura 1a, o par mostrado invertvel, j que as trajetrias descritas por um ponto de uma pea em relao a um ponto da outra pea coincidem. Por outro lado, o par da5

figura 1b no invertvel: a trajetria descrita por um ponto da pea arredondada, em relao pea plana uma ciclide e, invertendo-se o par, a trajetria uma evolvente. claro que estamos admitindo a hiptese de rolamento puro entre as duas peas, sem escorregamento. Pode-se afirmar, de maneira geral, que os pares inferiores so invertveis e que os superiores no o so. 4. Graus de liberdade e pares cinemticos - Chama-se grau de liberdade de um corpo ao nmero de coordenadas necessrias para definir sua posio no espao. Um corpo livre no espao tem 6 graus de liberdade, j que so necessrias 6 coordenadas (x, y, z, , , ) para definir a sua posio em relao a um referencial fixo. Quando um corpo ligado a outro por um par cinemtico, o nmero de coordenadas necessrias para descrever o seu movimento depender das caractersticas do par e ser denominado grau de liberdade do par. Vejamos, a seguir, alguns exemplos de graus de liberdade que permitem os pares inferiores existentes: 1 GL 1 GL x

(a)

(b)

2 GL

1 GL

x

x (c) (d) 3 GL y x y 3 GL z x

(e)

(fig.2)

(f)

6

Evidentemente, um par cinemtico dever ter no mnimo 1 GL, pois zero GL significa a impossibilidade de movimento relativo entre as peas. Por outro lado, o nmero mximo de graus de liberdade permissvel ser 5, j que com 6, existir a possibilidade de separao das peas, deixando de existir o par cinemtico. 1.3. MECANISMOS Podemos agora, com maior propriedade, falar sobre mecanismos. Mecanismo um conjunto de peas ligadas entre si por pares cinemticos. O movimento relativo entre as peas ser ditado pelo tipo de par cinemtico que as une. Todo mecanismo constitudo por pelo menos uma pea fixa, normalmente designada por 1, rigidamente ligada estrutura da mquina, uma pea motora que recebe movimento externo, normalmente designada por 2, e, finalmente a pea movida 3, cujo movimento ser utilizado para alguma finalidade. As figuras abaixo mostram dois mecanismos comuns com trs peas. 3 2 3 1 2 1 (a) (fig. 3) (b)

1. CLASSIFICAO O par de engrenagens um exemplo importante de uma grande srie de mecanismos nos quais as velocidades das peas so constantes. O fato das velocidades angulares 1 e 2, embora diferentes, terem relao de transmisso constante, torna bastante simples o projeto cinemtico do mecanismo, tornando desnecessria a anlise dinmica do mesmo. Isto no impede, porm, que a flexibilidade das peas e erros de manufatura possam originar vibraes e rudos acima dos previstos para o mecanismo. O camo e o seguidor constituem um exemplo tpico de mecanismo em que as velocidades so variveis. O movimento do seguidor, que corresponde a uma rotao constante 2, do camo, um movimento de translao alternativa em que a velocidade tem sentido positivo no avano e negativo no retorno. Durante o ciclo do movimento, que corresponde a uma rotao completa do camo, o seguidor, inicialmente em repouso, acelerado positivamente e, a seguir, negativamente, para que a velocidade seja nula no fim do curso. Nesta posio, o seguidor pode ficar em repouso durante um certo tempo, mas ser acelerado negativamente iniciando o retorno, sendo, a seguir, acelerado positivamente, de modo que a sua velocidade negativa caia a zero na posio inicial. evidente que o projeto cinemtico deste tipo de mecanismo sensivelmente mais complexo devido variao contnua de suas grandezas durante o ciclo do movimento. O controle cuidadoso dos valores das aceleraes mximas necessrio para limitar os esforos de inrcia. A variao das aceleraes tambm estudada a fim de se evitar choques que podem ocasionar a separao do par camo-seguidor, alm de avarias no sistema todo. tambm muito mais provvel, neste tipo de mecanismo, a existncia de vibraes e rudos excitados pela variao dos esforos sobre as peas.

7

Alm da relao de transmisso constante ou varivel, outra caracterstica que permite classificar os mecanismos o tipo de trajetria descrita por qualquer dos pontos das peas que o compe. Mecanismos planos - Um mecanismo ser considerado plano se a trajetria de todos os seus pontos estiverem contidos em planos paralelos. o caso dos mecanismos das figuras 3a e 3b. Mecanismos espaciais - Um mecanismo ser denominado espacial sempre que houver um ou mais pontos cuja trajetria no esteja contida em planos paralelos ou no mesmo plano. Um exemplo deste tipo de mecanismo um parafuso com porca fixa em que os pontos do parafuso descrevem trajetrias helicoidais. Mecanismos plano-espaciais - Uma categoria especial de mecanismo em que todas as trajetrias so planas, mas contidas em planos no paralelos denominada de mecanismos plano-espaciais. o caso mostrado na figura 4.

(fig. 4)

2. INVERSES DE UM MECANISMO Vimos anteriormente que em qualquer mecanismo h sempre uma pea fixa. Denomina-se inverso de um mecanismo ao novo mecanismo obtido invertendo-se a pea fixa. Um mecanismo de n peas tem, portanto, n inverses, cada uma delas obtida pela fixao de uma de suas peas. Um fato importante a observar que os movimentos absolutos das peas dos mecanismos se alteram com as inverses, mas os movimentos relativos permanecem inalterados. A figura 5 mostra o caso simples de um par de engrenagens designadas por 2 e 3, ligadas pea 1. trajetria de O3 trajetria de O2 3 2O22 3 1

O3

O22

1

O33

O22

1

O33

(fig. 5) A primeira situao mostra o caso simples de engrenagens com os eixos fixos e as outras duas, situaes em que o eixo de uma das engrenagens gira em torno do eixo da outra, mostrando o fundamento dos chamados redutores planetrios. Em qualquer das trs situaes, se o referencial for a mesma pea, o movimento observado ser absolutamente o mesmo.8

Um outro importante exemplo de inverso o mecanismo biela-manivela. Este mecanismo pode ser considerado como resultado de um mecanismo de quatro barras (fig. 6), na qual a barra 4 feita com comprimento infinito, sendo substitudo por uma pea corredia.

3 2 4(fig. 6)

1

1A figura 7 mostra, esquematicamente, o mecanismo biela-manivela que pode ser utilizado em motores de combusto interna, compressores, prensas excntricas, serras alternativas e em uma infinidade de outras mquinas.

2 1

3 4 1(fig. 7)

Uma inverso importante do mecanismo biela-manivela a que se obtm fixando a biela 3, conforme a figura 8. Este mecanismo comumente usado nas plainas limadoras, sendo, na figura, a pea 6 a portadora da ferramenta. Uma caracterstica muito conveniente deste mecanismo a do retorno rpido. O movimento de avano de O21 at O22 lento, pois nessa fase que se realiza o desbaste do material e o movimento de retorno de O22 para O21 rpido, reduzindo-se o tempo morto das mquinas.

6 5 3 2 1

O21

1

O22

1 4

(fig. 8)

9

Outra inverso do mecanismo biela-manivela, usada em mquinas-ferramenta a mostrada na figura 9, obtida fixando-se a manivela. A biela 3 torna-se a pea motora e aqui, tambm, a relao avano/retorno da ferramenta 6 pode ser imposta pelo projeto geomtrico do mecanismo.

3

4 2

1

1(fig. 9)

6 1

5

3. GRAU DE MOBILIDADE DOS MECANISMOS Chamaremos de grau de mobilidade ao nmero de movimentos de entrada independentes que o mecanismo tem. A grande maioria dos mecanismos tem um movimento de entrada e um de sada, tem, portanto, grau de mobilidade 1 (um). A determinao do grau de mobilidade (GM) de um mecanismo pode ser feita, em alguns casos, por simples inspeo. Para mecanismos mais complexos conveniente a aplicao de critrios que, partindo do nmero de peas do mecanismo, permitem calcular o grau de mobilidade pela subtrao do nmero de vnculos introduzidos pelos vrios pares cinemticos que o compe. Mecanismos planos - Critrio de Grbler Um plano que se move paralelamente em relao a outro tem 3 graus de liberdade. Um conjunto de n corpos no ligados entre si, em movimento plano, ter 3 GLs cada um. Um mecanismo plano de n peas, das quais uma fixa, tem, portanto, 3 (n - 1) graus de liberdade, descontando-se, ainda, aqueles eliminados por vnculos introduzidos pelos pares cinemticos. Quando uma pea unida a outra por meio de um par inferior, seus graus de liberdade so reduzidos de dois. Mas, se as peas forem unidas por um par superior, perde-se apenas um grau de liberdade. Desta forma, sendo n1 e n2 os nmeros de pares com 1 GL e 2 GL, respectivamente, o grau de mobilidade de um mecanismo plano de n peas ser dado por: GM = 3 (n - 1) - 2n1 - n2 onde n = nmero de peas n1 = nmero de pares inferiores ou de pares com 1 GL n2 = nmero de pares superiores ou de pares com 2 GL

Se a soluo da equao for zero, o movimento impossvel e o mecanismo forma uma estrutura; em particular, uma estrutura estaticamente determinada. Se a soluo for -1, h um membro redundante e a cadeia uma estrutura estaticamente indeterminada. Exemplos10

3 1 2

1. O mecanismo mostrado ao lado tem GM = 1, pois: nmero de peas n = 3, assim discriminados: estrutura - 1 camo -2 seguidor - 3 pares cinemticos com 1 GL, n1 = 2: pares 1 - 2 e 1 - 3 pares cinemticos com 2 GL, n2 = 1: par 2 - 3 Portanto, GM = 3 (3 - 1) - 2 x 2 - 1 GM = 1

(fig. 10)

3 2 1 1(fig. 11)

2. Neste outro mecanismo, o mobilidade tambm 1 (um).

grau

de

4

H 4 pares (1-2, 2-3, 3-4 e 4-1) com grau de liberdade GL = 1. Portanto, GM = 3 (4 - 1) - 2 x 4 GM = 1

A equao acima deve ser empregada com cuidado. Um par superior de contato de rolamento, por exemplo, destroi dois graus de liberdade no lugar de um. Isto pode ser resolvido eliminando-se as peas cinematicamente redundantes.3 1 3 1

4 2 1 1 2

(a)

(fig. 12)

(b)

Na figura 12a, aplicando-se o critrio de Grbler considerando-se o rolete, obtm-se GM = 2, embora o mecanismo tenha grau de mobilidade 1. A eliminao do rolete, figura 12b, tornando-o parte integrante da haste, no altera o movimento do seguidor, mas d o valor correto do grau de mobilidade. J, na figura 13a, se o par 2-3 for corretamente considerado como par inferior, o grau de mobilidade resulta em zero, o que no verdade. Devemos, portanto, transformar todos os pares inferiores em superiores, desde que este procedimento no modifique o movimento do mecanismo, como mostrado na figura 13b.

1 3 2 1

1

1 2 1

1 3

(a)

(fig. 13)

(b)

11

Outra medida a ser tomada na aplicao do critrio de Grbler a eliminao dos pares cinematicamente redundantes, como veremos no exemplo a seguir.

5 3 2 1 1 4 6

(fig. 14) Na figura 14, temos dois casos de pares redundantes: um formado pelas peas 3, 4 e 5 e o outro pelas peas 1, 4 e 6. Em cada caso, um dos trs pares deve ser eliminado, resultando em dois graus de mobilidade.

Exerccios Determinar o grau de mobilidade dos mecanismos abaixo. 1) 2)

3)

4)

5)

6)

12

7)

8)

9)

10)

4) LEI DE GRASHOF Os mecanismos planos de quatro barras so classificados em dois grupos. A classe 1 inclui todas as cadeias em que uma pea, a mais curta, pode descrever uma revoluo completa em relao s outras trs. Qualquer mecanismo de quatro barras no qual nenhuma pea pode descrever uma revoluo completa em relao s outras trs chamada de cadeia de classe 2. A lei de Grashof fornece um excelente meio para classificar os mecanismos de quatro barras. A lei de Grashof diz que a soma dos comprimentos da pea menor e da maior de um mecanismo plano de quatro barras no pode ser maior do que a soma das duas peas restantes se houver rotao relativa contnua entre duas peas. Dividindo o mecanismo em dois pares tais que os membros de um sejam opostos aos membros do outro. Em outras palavras, os membros de um par no podem ser adjacentes entre si. Seja o par de maior comprimento total chamado de par maior e designemos seus membros por a e b, tal que a > b. Chamemos o outro de par menor e designemos seus membros por c e d, tal que c > d. Ento, a notao pode ser resumida pelas seguintes desigualdades: a+b>c+d a>b c>d onde a oposto a b, e c oposto a d. Com essa notao, a lei de Grashof escrita a-bc-d que define um mecanismo de classe 1. Dessa forma, a desigualdade a-b>c-d define um mecanismo de classe 2. Chama-se a ateno para o fato de que nada na lei de Grashof especifica qualquer detalhe do elemento fixo na cadeia. Estamos livres para fixar qualquer uma das13

quatro peas. Quando o fazemos, verificamos que fixando-se peas diferentes pode-se criar uma variedade de mecanismos. Esses mecanismos so chamados inversos da cadeia. Uma das inverses mais teis da cadeia de classe 1 o mecanismo de manivela e balancim mostrado na figura 16. Observe que duas inverses so obtidas, dependendo de quando a pea a ou a pea b fixa. A pea d, naturalmente, a manivela e a pea c o balancim.

a d b(a)

c d(fig. 16)

a b(b)

c

O mecanismo de pea de arrasto, tambm chamado de mecanismo de manivela dupla, obtido pela fixao da pea mais curta (fig. 17). Com essa inverso, a pea b usualmente o acionador. Como ambas as peas a e b giram completamente em relao a d, elas so descritas como manivelas. Observe, tambm, que a pea c executa uma revoluo completa durante uma rotao da manivela b.

a d b c

(fig. 17)

Pela fixao da pea c, a pea oposta mais curta, obtemos o mecanismo de balancim duplo (fig. 18). Observe na figura 18b, que os balancins tambm podem estar14

cruzados. Teoricamente isto significa que a pea d pode completar uma rotao durante a operao do mecanismo.

a d b

c d

a b

c

(a)

(b)

(fig. 18) Duas verses do mecanismo de balancim duplo obtido de uma cadeia de classe 1. Todas as inverses das cadeias de classe 2 constituem mecanismos de balancim duplo. H vrios casos especiais que aparecem devido existncia das desigualdades. O mecanismo de Watt da figura 19 tem c = d; desta forma, a - b > c - d e, consequentemente, um mecanismo de classe 2. O ponto de traado P gera uma linha reta aproximada num trecho de sua trajetria.

b d

P a

c

(fig. 19) Mecanismo de Watt.

O mecanismo de paralelogramo da figura 20 tem a = b e c = d; assim, ele constitui um caso limite entre as classes 1 e 2. Observe que as manivelas c e d podem girar num crculo completo. Entretanto, para a fase em que todas as peas esto sobre uma mesma linha reta, existem pontos de mudana e, ao se passar por essa fase, o mecanismo pode ficar cruzado. a

c b

d

(fig. 20) Mecanismo de paralelogramo

O mecanismo issceles da fig. 21 tambm um caso limite porque a - b = c - d.15

a

d(fig. 21) Mecanismo issceles

b c

O ponto de traado P, do mecanismo de Roberts da figura 22, gera aproximadamente uma linha reta. Esta uma cadeia de classe 1. As linhas tracejadas da figura indicam que o mecanismo definido pela formao de trs tringulos issceles congruentes. Assim d = c/2.

d a b

(fig. 22) Mecanismo de Roberts

c

P

Exerccios 1) Os comprimentos das peas de um mecanismo plano de quatro barras so 1, 2, 3 e 4 cm. Monte-as em todas as combinaes possveis e classifique cada uma por meio da lei de Grashof. Ache as quatro inverses de cada mecanismo e descreva-as pelo nome, por exemplo, mecanismo de pea de arrasto. 2) O mesmo que o exerccio anterior, exceto que os comprimentos das peas so 1, 3, 5 e 5.

2. POSIO E DESLOCAMENTO2.1. MOVIMENTO DE UMA PARTCULA

16

O movimento de uma partcula pode ser definido pelas relaes x = x(t) y = y(t) z = z(t)

onde x, y e z so as coordenadas do ponto, correspondentes ao tempo t. Se x(t), y(t) e z(t) forem especificadas, pode-se achar a posio em qualquer instante t. Este o caso geral do movimento de uma partcula no espao, e est ilustrado na figura 20. Exemplo Descrever o movimento de um ponto cuja posio em relao ao tempo dada pelas equaes: x = a cos 2t, Soluo: tabela abaixo. y = a sen 2t, z = bt.

A substituio dos valores de t, de 0 a 2, fornece x, y e z, conforme mostra a

t 0 1/4 1/2 3/4 1 5/4 3/2 7/4 2

x a 0 -a 0 a 0 -a 0 a

y 0 a 0 -a 0 a 0 -a 0

z 0 b/4 b/2 3b/4 b 5b/4 3b/2 7b/4 2b

y

a

a x b

b

(fig. 23)

zComo mostra a figura 23, o ponto se move com movimento helicoidal de raio a, em torno do eixo positivo dos z. Observa-se que, se z = z(t) = 0, o ponto mvel permanece no plano xy, e o movimento um crculo com centro na origem. No pargrafo anterior, usamos as palavras partcula e ponto como se fossem sinnimos. Quando se usa a palavra ponto, tem-se presente alguma coisa cujas dimenses so nulas, isto , algo que no tenha comprimento, largura e espessura. Quando se usa a palavra partcula, quer-se dizer alguma coisa cujas dimenses no so importantes, isto , um corpo de certo tamanho e, consequentemente, com determinadas dimenses; no entanto, ignoramos este fato porque as dimenses no tero efeito sobre o resultado da anlise que se est por iniciar.17

Se as posies sucessivas de um ponto mvel forem ligadas, obtm-se uma linha. Essa linha resultante no tem largura porque o ponto no tem dimenses. Entretanto, a linha tem comprimento porque o ponto ocupa posies sucessivas medida que o tempo passa. A linha que representa as posies sucessivas do ponto chamada de trajetria. No caso de se necessitar de trs coordenadas para descrever a trajetria de um ponto, diz-se que o mesmo se move no espao e que tem movimento espacial. Se a trajetria for descrita por apenas duas coordenadas, isto , se uma delas for sempre igual a zero ou constante, ento a trajetria pode estar contida em um simples plano, e o ponto dito com movimento plano. Algumas vezes a trajetria do ponto pode ser descrita por uma coordenada simples. Isto significa que duas das coordenadas de posio so sempre nulas ou constantes. Neste caso, o ponto se move em linha reta e seu movimento chamado de movimento retilneo, e paralelo ao eixo de coordenadas. Em cada um dos trs casos descritos, admite-se que o sistema de coordenadas seja escolhido de forma a se obter o menor nmero de coordenadas, necessrio para descrever o movimento do ponto. Assim, a descrio do movimento retilneo necessita de apenas uma coordenada. O ponto cuja trajetria uma curva plana necessita de duas coordenadas; e um ponto cuja trajetria uma curva no espao, algumas vezes chamada de curva reversa, necessita de trs coordenadas de posio. 2.2. MOVIMENTO DE UM CORPO RGIDO Quando as dimenses de um objeto se tornam importantes no estudo de seu movimento, necessrio considerar o objeto como um corpo que contm vrias partculas ou pontos. Por exemplo, no estudo de uma nave espacial ou satlite orbital, sob certas condies, podemos consider-lo como uma partcula mas, se existem placas coletoras de energia solar, o seu movimento de rotao em torno de um ponto de referncia passa a ser importante para direcionar as placas ao sol e da a necessidade de considerar o objeto como um corpo feito de vrias partculas. Na anlise cinemtica, costume estabelecer-se uma premissa bastante importante no estudo do movimento dos corpos. Devemos admitir que, quaisquer duas partculas em um corpo permanecem sempre mesma distncia, independentemente da magnitude das foras que possam atuar para mudar seu espaamento. Isto equivalente a dizer que o corpo incapaz de experimentar qualquer deformao, ou que ele absolutamente rgido. Translao. Se imaginarmos a torcedura e espiralagem de um corpo rgido no espao tridimensional, fcil de se ver que seu movimento pode ser bastante complexo. Para o presente, devemos restringir nosso estudo aos movimentos simples, ainda que muito importantes. Consideremos o mecanismo de biela e dupla manivela da figura 24. Este composto das manivelas 2 e 4, das conectoras 3 e 5 e da corredia 6. Todas essas peas podem ser tratadas como corpos rgidos. Se observarmos a corredia 6, veremos que durante a operao do mecanismo, todas as partculas de 6 tm exatamente o mesmo movimento. Isto se chama translao.

B 6 C 5 O4 4

3 O2 2

A

(fig. 24)

A translao de um corpo rgido ocorre quando cada partcula do corpo tem exatamente o mesmo movimento que qualquer outra partcula de que ele composto. Consideremos agora a conectora 3. Os pontos A e B sobre ela movem-se em crculos que tm os mesmos raios. medida que a conectora se move, ela obrigada a ocupar uma posio paralela anterior. Desta forma, todos os pontos tm exatamente o mesmo movimento circular, com raios iguais. Assim, a conectora 3 tambm se move em translao, porque todas as partculas tm exatamente o mesmo movimento. Isto nos possibilita definir duas espcies de translao: a retilnea e a curvilnea.18

Na translao de um corpo rgido, o movimento de uma partcula simples descreve o de todas as demais partculas do corpo. Isto significa que, na translao de um corpo, necessitamos apenas considerar o movimento de uma partcula daquele corpo. Rotao. Se existir uma linha reta num corpo mvel, tal que todas as partculas do mesmo, coincidentes com a linha, tm uma velocidade nula em relao a certa referncia, o corpo dito em rotao em torno desta referncia, e a linha reta o eixo de rotao. Quando um corpo rgido gira, um segmento de reta traado entre dois pontos arbitrrios do corpo no permanece paralelo a si mesmo. Por esta razo, devemos considerar as mudanas angulares na posio. Movimento plano. A conectora 5 tem um movimento que consiste em rotao e translao, e mais complexo. A trajetria de B um crculo, mas a de C uma linha reta. Cada partcula da barra entre os pontos mencionados descreve uma trajetria diferente durante seu movimento.

2.3. DESLOCAMENTO DE UMA PARTCULA Uma partcula mvel gera uma trajetria. O comprimento medido ao longo da trajetria, entre quaisquer duas posies da partcula, a distncia percorrida pela mesma nesse intervalo de tempo. A mudana lquida na localizao da partcula nesse intervalo de tempo chamada de deslocamento. Na figura 25a, uma partcula R est inicialmente localizada em R1 e depois em R2. O deslocamento de R nesse intervalo de tempo o segmento de linha dirigido de R1 para R2. uma quantidade vetorial porque tem magnitude e direo. importante observar que o deslocamento representa a mudana de posio, e ignora a maneira pela qual a mudana foi efetuada. Assim, no importa a forma pela qual a partcula vai de R1 a R2. Por exemplo, a figura 25b mostra que a partcula R pode ir de R1 para R2, seguindo um caminho bastante sinuoso. O deslocamento de R o vetor de R1 a R2, designado por R, independente da trajetria ou da distncia total percorrida.

y

R2

y

R2

yR1

R2

R RR2

R1 O

(a)

x

O

x (b)(fig. 25)

R1 R1

O

x

(c)

Consideremos Agora a expresso do deslocamento de uma partcula na forma quantitativa. A figura 25c ilustra o caso geral do movimento plano de uma partcula. R1 e R2 so duas posies de R, quando ele se move ao longo da trajetria. Esses pontos so completamente definidos pelas coordenadas retangulares R1(x1, y1) e R2(x2, y2), ou as coordenadas polares R1 (r1, 1) e R2 (r2, 2); ou os pontos podem ser definidos pelos vetores posio R1 e R2. Se os vetores-posio forem colocados na figura, a equao vetorial R2 = R1 + R ou R = R2 - R119

define o deslocamento .

2.4. DESLOCAMENTO DE UM CORPO RGIDO Quando um corpo rgido translada, o movimento de uma simples partcula descreve o movimento de qualquer outra que compe o corpo. Desta forma, o deslocamento de uma partcula, que se move em translao, tambm descreve a translao de um corpo rgido. Vimos anteriormente que na rotao de um corpo rgido, um segmento de reta construdo entre duas partculas separadas no corpo no permanece paralelo a si mesmo. O deslocamento foi definido como a mudana lquida na posio de alguma coisa, independentemente da trajetria percorrida. lgico que se deva estender essa definio para incluir o deslocamento angular. Como a medida de um ngulo requer a existncia de duas linhas, razovel definir-se deslocamento angular como a mudana angular lquida na posio de uma linha. Observa-se, de novo, que a definio nada diz a respeito do caminho percorrido pelo segmento, para ir de uma posio para outra. Assim, na figura 26, suponha que a linha PQ esteja inicialmente em P1Q1, com uma posio angular 1, em relao ao eixo x. Ento, num instante posterior, suponha a linha em P2Q2, fazendo um ngulo 2 com o eixo x. A linha se move com translao e rotao. Considerando apenas a rotao por hora, vemos que sua posio angular mudou de 1 para 2. Desta forma o deslocamento angular = 2 - 1

y

Q2

2

P2 Q1 P11

(fig. 26)

x

A magnitude desse deslocamento em radianos, e a direo positiva tomada no sentido anti-horrio, de acordo com a regra da mo direita. A figura 27 consiste noutra ilustrao do movimento de uma linha. Aqui o movimento foi separado nas componentes de translao e de rotao, pela construo da linha numa posio intermediria fictcia. A posio inicial P1Q1 e a final P2Q2. Como o deslocamento a mudana lquida de posio, independente da trajetria tomada, ele representado pela componente de translao P ou Q, e pela componente rotacional .

20

y

Q2 QObserve que o deslocamento total da linha pode tambm ser definido pelos dois vetores deslocamento P e Q.

Q2 Q Q1(fig. 27)

P2 P P1

xExemplo Um ponto P, move-se numa trajetria y = x2 - 4. Se ele parte de P1 onde x1 = 1, qual seu deslocamento quando passa pelo ponto P2(x2 = 3)? Qual o deslocamento angular do vetor-posio? Soluo A trajetria est mostrada na figura 28. Pela substituio de x1 e x2 na equao, as coordenadas y so achadas y1 = 12 - 4 = -3 y2 = 32 - 4 = 5

y P2 R2 R

Ento, os vetores-posio so R1 = i - 3j Ento, R2 = 3i + 5j

R = R2 - R1 = (3i + 5j) - (i - 3j) = 2i + 8j

Desta forma, o vetor deslocamento

R1 P1(fig. 28)

x

R = 8,24

75,97

onde o primeiro valor representa o mdulo do vetor e, o segundo, o argumento. Dos vetores R1 e R2 obtemos

1 = -71,55

2 = 59,05

Assim, o deslocamento angular do vetor-posio = 2 - 1 = 59,05 -(-71,55) = 130,60

2.5. DESLOCAMENTO RELATIVO Os vetores mostrados na figura 29a so os vetores posio. RA e RB descrevem as posies de A e B no sistema de coordenadas xy. RBA em vetor posio relativa; ele descreve a posio de B em relao a A, no mesmo sistema xy. Esses trs vetores esto relacionados pela equao RB = RA + RBA21

y

A RA

y RBA B RB x (a)(fig. 29)

RA RB x RBA (b)

Os vetores podem ser dispostos na forma poligonal ou polar. Na figura 29b, os mesmos trs vetores so mostrados na forma polar; evidente que RBA descreve a posio de B em relao a A, no mesmo sistema de referncia. Suponha agora que A e B iniciem deslocamentos simultneos RA e RB , num mesmo intervalo de tempo. Qual a relao entre esses deslocamentos? Se A e B so fixos no mesmo corpo rgido, ento o corpo pode transladar, girar ou pode ter um movimento que consiste de translao e rotao. Esses trs casos esto mostrados na figura 30. Por convenincia colocamos um sistema mvel xy no corpo, com origem em A. Para o caso da translao pura, o sistema xy move-se da posio 1 para a 2 (fig. 30a). O deslocamento de A e o de B so idnticos; desta forma RB = RA Alm disso, RB2A = RB1A, o deslocamento de B em relao a A igual a zero. A equao RB = RA + RBA se aplica, mas RBA = 0. Seja agora o sistema xy com movimento de rotao pura (fig. 30b). evidente que o ponto B tenha um deslocamento absoluto RB, devido a B ser fixo no sistema rotativo xy. Entretanto, o vetor posio relativa RBA tambm fixo no sistema xy; assim RB2A = RB1A

que significa ser de novo nulo o deslocamento de B em relao a A. Como podemos ento escrever o deslocamento de B?

22

y2 y1 yRA

RB A2

A2 B1 xRB

B2 x2

A resposta reside na descrio do movimento de B com relao ao sistema de coordenadas no-rotativas. Assim, se as posies de B1 e B2 se referem ambas ao sistema x1y1, ento RB = RB2A - RB1A = RBA A equao acima demonstra uma proposio fundamental: Quando A e B so fixos no mesmo corpo rgido, o deslocamento de B em relao a A, RBA, representa o deslocamento de B em um sistema de coordenadas norotativo cuja origem est em A. A figura 30c mostra o caso em que o sistema xy, contendo A e B, tem translao e rotao. O deslocamento de B composto de dois componentes: RA, o componente de translao, e RBA de rotao. Assim

A1

RB A1

x1

(a)translaoy2 y y1 RB A2

B2

x2RB

A1, A2

RB A1

B1 x1 x

(b)rotaoy3 y1 yRA

y2 RB

B3

x3 B2 x2

RB = RA + RBA

A1

B1 x1 x

(c)translao e rotao

(fig. 30)

Exerccios 1. Descrever a trajetria de um ponto que se move de acordo com as equaes x = at cos 2t, y = at sen 2t, z = 0. 2. Se o ponto A se move na trajetria do exerccio 1, determinar seu deslocamento entre t = 2 e t = 2,5. 3. Um ponto A se move ao longo da trajetria y = x + x - 16. Determinar o deslocamento entre as posies x1 = 2 e x2 = 4. Qual ser o deslocamento angular do vetor-posio?

23

4. A trajetria de um ponto definida pela equao y = 60 - x /3. Qual o deslocamento do ponto cujo movimento se inicia em x = 0 e termina em x = 3? 5. Um ponto se move de P a Q sobre a trajetria y = 2x - 28. Determinar a distncia entre P e Q e o sentido, se P est localizado em x = 4 e Q em x = -3. 6. A pea 2 da figura 31 move-se de acordo com a relao = t/4. Um bloco 3 desliza radialmente para fora sobre a pea, de acordo com a equao r = t + 2. Utilizando a equao para o movimento relativo, determinar o deslocamento do bloco entre as posies definidas por t = 0 e t = -2.

yr

2

3 O2(fig. 31)

x

7. Na figura 32, um ponto P move-se de A a B ao longo da pea 3, enquanto a pea 2 gira de = 30 para = 120. Determinar o deslocamento de P, usando a equao para o movimento relativo.y A 2 O2 O4 3 4 x B

O2A = 7,5 cm

(fig. 32)

2.6. POSIO Um dos primeiros problemas que aparecem na anlise dos mecanismos consiste na localizao dos vrios pontos de interesse. Se a anlise for efetuada por meios grficos, o problema trivial. Mas, no ser trivial se a soluo for obtida por mtodos analticos ou pelo computador. Mecanismo biela-manivela Para ilustrao, comecemos com o mecanismo biela-manivela mostrado na figura 33. Aqui a pea 2 uma manivela, obrigada a girar em torno de uma cavilha fixa em O2. A pea 3 a biela, e a pea 4 a corredia. O problema consiste em determinar as posies de A e B quando os comprimentos das barras r2 e r3 so dados, assim como a posio 2 da manivela, ou a localizao da corredia xB. O problema pode ser resolvido analtica ou vetorialmente.

24

y

3 Ar2

y r3 3 1 B 4 x O2

3 Ar2 2 2 1 3 r1 r3 B x

O2

2

2

(a)(fig. 33)

(b)

Se admitirmos que 2 dado, a soluo analtica iniciada escrevendo-se yA = r2 sen 2 xA = r2 cos 2

que define a posio do ponto A. Em seguida, observamos que r2 sen 2 = r3 sen 3 tal que sen 3 = r2 r3 sen 2 (1)

Da geometria da figura 30a, vemos que xB = r2 cos 2 - r3 cos 3 (2)

onde o sinal menos, no segundo termo, resulta de nossa escolha da origem para 3. Como, cos 3 = 1 - sen3 temos, da equao (1), cos 3 = 1 r3 r3 - r2 sen2 (3)

Das equaes (2) e (3) deduzimos a posio de B, como, xB = r2 cos 2 + r3 - r2 sen2 Exemplo Determinar a posio da corredia da figura 33b, com r2 = 60 mm, r3 = 180 mm e (4)

2 = 150.Soluo Colocando a informao dada na equao (4), temos xB = 60 cos 150 + 180 - 60 sen150 obvio que, com o sistema de referncia adotado, yB = 0. Mecanismo de quatro barras25

xB = 125,5

O mecanismo de quatro barras mostrado na figura 34, chamado de mecanismo de manivela e brao oscilante. A pea 2 que a manivela, pode girar num crculo completo, mas o brao oscilante, pea 4, pode apenas oscilar. Geralmente devemos seguir a prtica aceitvel de designao do suporte ou pea fixa para a pea 1. A pea 3 chamada de acoplador ou biela (conectora). Com o mecanismo de quatro barras, o problema de posio geralmente consiste em se achar as posies do acoplador e da pea de resposta ou oscilador, quando as dimenses de todas as peas so dadas, juntamente com a posio da manivela.

B y 3 A

2

3 2O2(fig. 34)

4 l

O4

4x

Para se obter a soluo analtica, designamos por l a distncia AO4, na figura 34, dividindo o quadriltero em dois tringulos. Para se obter os ngulos principais 3 e 4, fazse necessria a determinao dos ngulos auxiliares , e . Conhecidos os comprimentos das quatro barras que aqui designaremos por r1, r2, r3 e r4 e o ngulo de entrada 2, pela lei dos cossenos obtm-se l = r12 + r22 - 2 r1 r2 cos 2 Tambm, da lei dos cossenos, obtm-se o ngulo auxiliar . r22=

r12 + l2 - 2 r1 l cos

Isolando cos no primeiro membro, a equao fica, cos = r12 + l2 - r22 2 r1 l e, portanto, = arc cos r12 + l2 - r22 2 r1 l

Analogamente, para e , obtm-se

= arc cos

r42 + l2 - r32 2 r4 l

e

= arc cos

r32 + l2 - r42 2 r3 l

26

Observa-se facilmente na figura 34 que os ngulos principais so obtidos das relaes

3 = -

e

4 = 180 - -

Estas relaes so vlidas para 2 variando entre 0 e 180. Verifiquemos na figura 35 o que ocorre com as relaes dos ngulos principais fora deste intervalo.

B y

2O2

4O4 x(fig. 35)

A

3

l

Para 2 entre 180 e 360, os ngulos principais passam a ser determinados por

3 = +

e

4 = 180 + -

Exerccio O mecanismo de quatro barras, esquematizado sem escala na figura 36, apresenta os comprimentos r1 = 100 mm, r2 = 20 mm, r3 = 130 mm e r4 = 80 mm.

B y 3 A 2 4

2O2 1 O4 x

(fig. 36)

Determinar as posies dos pontos A e B para 2 = 0, 180, 90, 120 e 240.

3. CINEMTICA DOS MECANISMOS27

3.1. A TRANSMISSO DE MOVIMENTO NOS MECANISMOS 1. A RELAO DE VELOCIDADES ANGULARES Consideremos a transmisso de movimento de um corpo 2, motor, para um corpo 3, movido, ligados a uma estrutura 1, conforme a figura 37. Na posio mostrada, as peas esto em contato no ponto P, no qual admitem a tangente comum t. A fora F que a pea 2 exerce sobre a pea 3, desprezando o atrito, ter a direo da normal comum n que ser denominada reta de ao. No ponto P de contato, comum aos dois corpos, podemos considerar os vetores velocidade V2 = 2 x O2P e V3 = 3 x O3P (1)

com direes perpendiculares a O2P e O3P, respectivamente. A decomposio destes vetores na direo da normal e na direo da tangente mostra que: a) as componentes normais so iguais, j que no possvel a superposio ou a separao das peas. V2n = V3n b) as componentes tangenciais tm mdulos diferentes, indicando que h deslizamento entre as superfcies das peas.

n t P V2 V3 R2

3O3

2

R3

Q K 2 C K3

O2(fig. 37)

28

Vejamos como se pode determinar a relao de transmisso i entre as velocidades angulares 2 e 3. A relao de transmisso definida como a razo entre a rotao de entrada e a rotao de sada. Ento

i=

2 3

ou

i=

V2 O2P

x

O3P V3

(2)

Os tringulos retngulos PQR2 e O2K2P so semelhantes, assim como, tambm so semelhantes os tringulos PQR3 e O3K3P. Podemos, portanto, escrever V2 O2P = PQ O2K2 e V3 O3P = PQ O3K3 (3)

Substituindo (3) em (2) e efetuando as simplificaes, resulta em i= O3K3 O2K2 (4)

Na figura acima, verifica-se que os tringulos retngulos O2K2C e O3K3C tambm so semelhantes. Ento, a relao de transmisso pode ser escrita como i= Das relaes acima conclui-se que: a) a relao i entre as velocidades angulares instantneas 2 e 3, igual relao entre os segmentos O3K3 e O2K2 das perpendiculares baixadas dos centros de rotao linha de ao. b) esta relao tambm igual relao entre os segmentos O3C e O2C, em que fica dividida a linha de centros pelo ponto C de interseo da reta de ao. c) a relao de transmisso i ser constante durante o movimento do mecanismo somente se a reta de ao interceptar a linha de centros sempre no mesmo ponto C fixo. Convm notar que os sentidos de rotao de 2 e 3 sero opostos sempre que o ponto C for interno ao segmento O2O3. As concluses a que chegamos para o caso geral estudado aplicam-se a qualquer mecanismo. No caso, por exemplo, de transmisso por engrenagens (fig. 38), a reta de ao, ou seja, a reta que d a direo da fora que transmite o movimento, a tangente comum s circunferncias primitivas das engrenagens. A sua interseo com a linha de centros (ponto C) o prprio ponto de tangncia. Este ponto fica fixo durante o movimento das engrenagens o que significa que a relao de transmisso constante. Como C interno ao segmento O2O3, as engrenagens tm rotao em sentidos opostos. O3C O2C (5)

29

3 2O2 O3(fig. 38) A relao de transmisso i = O3C/O2C, neste caso dado pela razo entre os raios r3 e r2 ou, preferencialmente, pela razo entre os dimetros. d3 i= d2

reta de ao

Na transmisso por correias (fig. 39), a prpria correia define a direo da reta de ao e a sua interseo com a linha de centros se d externamente a O2O3, portanto, as polias tm mesmo sentido de rotao com relao de transmisso constante, porque o ponto C permanece fixo com o movimento das polias.

reta de ao

3

2C T2(fig. 39)

O2

O3

T3Como os tringulos retngulos O2T2C e O3T3C so semelhantes, a relao de transmisso dada pela razo entre O3C e O2C , pode ser dado pela razo entre O3T3 e O2T2 que so os raios das polias. A exemplo do caso de transmisso por engrenagens, a relao de transmisso dada, preferencialmente, pela razo entre os dimetros das polias. Num mecanismo de quatro barras (fig. 40), a reta de ao dada pela barra 3, j que atravs dela que a fora transmitida. Com o movimento do mecanismo, a posio de C flutua sobre a linha de centros, o que torna a relao de transmisso varivel, pois os comprimentos dos segmentos de reta O4C e O2C tambm variam.

reta de ao

3 4

reta de ao 3 O2 O4 C 2(fig. 40)

4

2 C O2 (a)

O4 (b)

Quando o ponto C externo a O2O4 (fig. 40a) as barras de entrada e de sada, respectivamente, barras 2 e 4, tm mesmo sentido de rotao, porm, quando o ponto C interno a O2O4 (fig. 40b), as barras tm sentidos opostos de rotao.

30

As mudanas de sentido de rotao ocorrem quando o ponto C coincide com O2 ou quando as barras 2 e 3 esto alinhadas conforme mostra a figura 41. Nesses instantes a velocidade da barra 4 nula.

quatro barras.

Analisemos, mais detalhadamente, o comportamento de um mecanismo de

3 4 2 O2 (a) O4(fig. 41)

3

4

2

O2 (b)

O4

Para se obter o ngulo de varredura da barra 4, basta, atravs de relaes geomtricas de tringulos, determinar os ngulos que a barra 4 faz com uma mesma referncia, por exemplo a barra 1, nas duas situaes da figura 41 e efetuar a diferena entre os mesmos. Observe, na figura 42, que os ngulos 2 nos dois instantes limites da trajetria da barra 4, no esto defasados de 180. Se a barra 2 tem rotao constante, os tempos de ida e volta da barra 4 so diferentes.

(fig. 42)

Se a barra 2 gira, por exemplo, no sentido horrio, o tempo que a barra 4 leva para se deslocar da esquerda para a direita maior que o tempo necessrio para o deslocamento contrrio. Observe, por outro lado, que impossvel se obter tempos iguais.

Para se determinar a velocidade da barra 4 em qualquer instante, alguns artifcios devem ser utilizados. A figura 43 mostra um mecanismo de quatro barras dividido em dois tringulos atravs de l.

B

3 A

C

2

3 2O2(fig. 43)

4 l

O4

4

31

Uma vez determinado o ngulo 3, conforme visto no captulo anterior, volta-se a ateno para o tringulo AO2C, destacado na figura 44.

A

3C(fig. 44)

2

O2

2

Conhecidos os ngulos 2 e 3, a determinao dos outros dois ngulos internos do tringulo, e , imediata. Como o segmento de reta O2A a barra 2 do mecanismo, cujo comprimento r2, da lei dos senos determina-se O2C. O2C sen = r2 sen 3

Para determinar O4C basta somar ou subtrair o comprimento da barra 1 O2C, dependendo da posio, respectivamente, externa ou interna do ponto C em relao a O2O4.

EXERCCIOS O mecanismo de quatro barras, esquematizado sem escala na figura 45, apresenta os comprimentos r1 = 100 mm, r2 = 20 mm, r3 = 130 mm e r4 = 80 mm.

B y 3 A 2 4

2O2 1 O4 x

(fig. 45)

1. Para 2 = 3 rad/s, determinar a velocidade tangencial do ponto B nos instantes em que 2 = 0 e 180. 2. Para n2 = 100 rpm, determinar a rotao da barra 4 nos instantes em que 2 = 90, 120 e 240. 3. Determinar o ngulo de varredura da barra 4.

32

3.2. OS NGULOS DE PRESSO E TRANSMISSO Consideremos a transmisso de movimento entre as peas 2 e 4 do mecanismos de barras articuladas da figura 46. A reta de ao tem a direo da barra 3 e, portanto, esta ser a direo das foras que agem nas articulaes A e B. As velocidades instantneas dos pontos A e B sero perpendiculares a O2A e O4B, respectivamente.

B B VA A A A A 2 1 3 B 4

B VB

C

(fig. 46)

O2

1

O4

O ngulo de presso definido como o ngulo entre a direo da fora que age sobre a pea e a direo da velocidade do ponto da aplicao da fora. A figura mostra os ngulos A e B , respectivamente, nos pontos A e B. Os ngulos de transmisso so os complementos dos ngulos de presso, conforme mostrado na figura. Estes ngulos tm importncia fundamental na eficincia da transmisso de movimento entre as peas do mecanismo. Sendo M2 e M4 os momentos de toro, respectivamente, motor e movido, aplicados aos eixos O2 e O4, tem-se, pela conservao da energia, na ausncia de atrito M22 = M44 A relao G entre os esforos movido e motor, denominado ganho do mecanismo , portanto, igual relao de transmisso i. G= M4 M2 =

2 4

= i =

O4C O2C

Pode-se facilmente relacionar o ganho do mecanismo com os ngulos de transmisso. Da figura 43, devido semelhana dos tringulos CO2A e CO4B, temos a relao O4C O4B = O2C O2A ou G= O4C O2C = O4B O2A = O4B sen B O2A sen A

Observando-se a relao acima verifica-se que quando

A = 0 (ou 180) com B 0 B = 0 (ou 180) com A 0

G= G=0

33

As situaes acima so denominadas pontos mortos do mecanismo e esto mostradas na figura 47. Na situao A = 0, o momento de toro M4, ser equilibrado por um momento M2 = 0, enquanto que quando B = 0, o momento M4 dever ser equilibrado por um momento M2 = .

B A = 0 A A VA B

B VB A VA A A

B = 0 B

B

VB

(fig. 47) Estas situaes encontram aplicaes em todos os mecanismos de travamento como, por exemplo, dispositivos de fixao de peas para usinagem, alicates de presso, fechos domsticos, etc. Por outro lado, evidente que se B = 0, a pea motora 2 no conseguir mover a pea movida 4 e, portanto, esta situao dever ser evitada nos mecanismos. Procura-se, sempre que possvel, manter o ngulo de transmisso na pea movida perto de 90 , ou seja, o ngulo de presso prximo de 0. Os limites aceitveis destes ngulos dependem das caractersticas da aplicao. No caso de transmisso direta de movimento (camos e seguidores) em que o ngulo de presso especificado, costuma-se, em geral, limit-lo ao mximo de 30 e, para os mecanismos articulados, o mximo ngulo de transmisso aceitvel da ordem de 30.

4. ANLISE CINEMTICA DOS MECANISMOS34

4.1. INTRODUO A anlise cinemtica dos mecanismos, isto , a determinao das posies, velocidades e aceleraes de vrios de seus pontos, necessria para: a) verificao de projeto geomtrico de mecanismos pelas caractersticas obtidas. b) determinao dos esforos dinmicos resultantes do movimento do mecanismo. No caso de mecanismos de velocidade constante, como engrenagens, por exemplo, os deslocamentos variam linearmente com o tempo e as aceleraes so nulas. evidente que nesses casos, a anlise cinemtica bastante simples. Quando as velocidades so variveis, entretanto, todas as caractersticas cinemticas do mecanismo variam continuamente com o tempo, segundo leis quaisquer. H, nestes casos, portanto, necessidade de se efetuar a anlise cinemtica do mecanismo em todas as fases do movimento e, nestas, a anlise efetuada obtendo-se pontos para a construo dos grficos das caractersticas do mecanismo. H dois mtodos bsicos da anlise dos mecanismos, ambos utilizando equaes vetoriais. Mtodo analtico: As peas do mecanismo so substitudas por vetores que, convenientemente equacionadas, exprimem a geometria do mecanismo. A soluo destas equaes e de suas derivadas, utilizando a notao cartesiana, polar ou complexa, permite determinar as caractersticas cinemticas do mecanismo. Este mtodo tem a vantagem de fornecer valores com qualquer preciso desejada, mas tem o inconveniente de ser bastante trabalhoso. A programao em computadores digitais de equaes deduzidas, permite a aplicao deste mtodo de forma a se ter, para todo o ciclo do movimento, os valores das grandezas cinemticas. Mtodo grfico: Este mtodo consiste na soluo grfica de equaes vetoriais atravs da construo de polgonos vetoriais. A maior vantagem deste mtodo o fato de que a representao grfica dos vetores permite uma viso clara do movimento do mecanismo. Outro importante fator que a soluo obtida mais rapidamente do que pelos processos analticos. Nesta introduo anlise cinemtica, estudaremos apenas o mtodo grfico. 4.2. VELOCIDADE 4.2.1. DEFINIO DE VELOCIDADE Na figura 48 observado um ponto inicialmente em R1, e depois em R2. Durante esse intervalo de tempo o deslocamento do ponto r = r2 - r1 onde r1 e r2 so vetores-posio que definem a localizao do ponto no incio e no final do intervalo de tempo considerado. A velocidade mdia do ponto, durante o intervalo de tempo t, r/t. A velocidade instantnea (daqui por diante chamada apenas de velocidade) o limite dessa razo, e dada por v = lim r t = dr dt = r

t 0

y

R235

(fig. 48)

Poderamos observar, da figura 48, que os vetores-posio r1 e r2 dependem da localizao do sistema de coordenadas. Mas, o vetor deslocamento r e, consequentemente, a velocidade v so independentes da escolha do sistema de referncia.

4.3. VELOCIDADE ANGULAR Na figura 49, representamos um disco rgido girando em torno de um eixo O. Isto significa que todos os pontos no disco, tal como o ponto P, se movem numa trajetria circular em torno de O, no instante considerado.

P1 O

P2 V

V(fig. 49)

Se designarmos o deslocamento angular do ponto P por e o intervalo de tempo por t, a magnitude da velocidade angular

= lim

t 0

t

=

4.4. VELOCIDADE DE UM CORPO RGIDO Desejamos agora estudar a velocidade dos pontos de um corpo rgido que se move com translao e rotao. Se especificarmos, na figura 50, uma velocidade angular para o corpo, e tambm que o ponto A tenha um velocidade vA, ento o corpo tem um movimento combinado de translao e rotao.

36

y

B rBA

rB rA

A vA x(fig. 50)

A posio de qualquer outro ponto B no corpo definida pela equao, rB = rA + rBA Ento, a velocidade de B rB = rA + rBA mas rA = vA, que conhecido. Como rBA um vetor posio em um corpo rgido, seu comprimento no pode mudar; ento, rBA = x rBA Desta forma, temos vB = vA + x rBA onde vA a velocidade absoluta de A, e a parte de translao do movimento. Freqentemente devemos escrever a equao acima na forma vB = vA + vBA que se l, a velocidade de B igual velocidade de A, mais a de B em relao a A. Esta a chamada equao da velocidade relativa. importante observar que quando nos referimos velocidade de B em relao a A, estamos nos referindo velocidade de B num sistema de referncia que tenha A como origem. Conforme mostrado na figura 51, a direo da velocidade vBA de um ponto B qualquer em relao a um ponto A de um mesmo corpo rgido ser sempre perpendicular ao segmento que une os dois pontos.

y

B

VBA

A x

(fig. 51)

Outra importante observao a de que a velocidade angular independe da escolha do eixo de referncia. 4.5. POLGONOS DE VELOCIDADE37

O mtodo grfico que usa os polgonos de velocidade uma forma rpida de soluo dos problemas de cinemtica nos mecanismos planos. Como um exemplo deste processo, consideremos o disco da figura 52. Devemos dar ao ponto A uma velocidade vA e especificar um segundo ponto B no disco, cuja velocidade desejamos determinar.

vA

y A

O x B(fig. 52)

relativa

Para determinar a velocidade de B, escrevemos a equao da velocidade 1 2 1 vB = vA + vBA

Os nmeros acima da equao indicam o nmero de quantidades conhecidas. Sabemos que a direo de vB perpendicular a OB, mas no conhecemos sua magnitude. A magnitude e direo de vA so conhecidas. Como A e B so pontos do mesmo corpo rgido, eles no podem se aproximar ou se afastar. Desta forma a nica maneira de B se movimentar em relao a A ser na direo perpendicular a AB, a linha que os une. Assim, sabemos que a direo de vBA perpendicular a AB. A equao da velocidade relativa fornece todas as instrues para a construo do diagrama vetorial. Na seqncia apresentamos o roteiro para a determinao grfica de vB.

vA(a)

1. O diagrama se inicia pela construo de vA numa escala conveniente, com direo apropriada (fig. 53a). 2. vetor vBA deve ser adicionado a vA e dele s conhecemos a sua direo. Assim, na extremidade de vA traada a reta com direo perpendicular a AB (fig. 53a). 3. A soma dos dois vetores anteriores resulta em vB do qual, tambm, s conhecemos a direo. Da origem de traada a reta com direo perpendicular a OB (fig. 53a).

vBA vA(fig. 53)

vB

(b)

4. A interseo das linhas traadas fornece as magnitudes de vB e vBA, conforme mostra a figura 53b.

Observe que o polgono de velocidades semelhante ao tringulo OAB, j que cada vetor do polgono perpendicular a um dos lados do tringulo. Observe tambm que os vetores das velocidades absolutas tm a mesma origem.38

EXERCCIOS 1. Identifique no polgono traado as velocidades dos pontos A, B e C do disco da figura 54.

y

A vA

O

C x B(fig. 54)

2. Se o automvel A se dirige para o sul a 55 km/h, e o automvel B a 40 km/h, para 60 nordeste, qual a velocidade de B em relao a A? 3. Na figura 55, a roda 2 gira com 600 rpm e aciona a roda 3, sem escorregamento. Determinar a velocidade em metros por segundo, do ponto B sobre a roda 3, em relao ao ponto A da roda 2.20 cm

R 22,5 cm

O3

B

A O2n2(fig. 55) 4. Um mecanismo biela-manivela deslocado est ilustrado na figura 56, tendo a corredia como acionador. Determinar a velocidade do ponto C sobre a conectora e tambm as velocidades angulares das peas 2 e 3.39 R 10 cm

20

,5 12

A

15

O2

12,

5

B(dimenses em cm)

C

vB = 0,3 m/s

5

(fig. 56)

5. Determinar a velocidade do ponto B e as velocidades angulares das peas 3 e 4 da inverso do mecanismo de biela-manivela mostrado na figura 57.

40

A 30 22 = 60 rad/so

40 3 O2

4 O4 B(fig. 57)

12,5

7,5

5. CAMOS

41

Um camo um elemento mecnico de uma mquina que usado para acionar outro elemento, chamado seguidor, por meio de contato direto. Os mecanismos de camos so simples, de projeto fcil e ocupam um espao muito pequeno. Alm disso, os movimentos dos seguidores que tm quaisquer caractersticas desejadas no so de difcil obteno. Por tais razes, os mecanismos de camo so bastante usados nas mquinas modernas. 5.1. CLASSIFICAO DOS CAMOS E SEGUIDORES Os seguidores de camo so classificados de acordo com seu movimento, se translao ou oscilao, ou a trajetria de deslocamento, se radial ou deslocado em relao linha de centro do camo. A superfcie do seguidor que toca o camo tambm usada na classificao. Assim, podemos falar de seguidores de face plana, face esfrica ou face de rolamento, porque estas so as formas usuais das superfcies de contato. Os camos so classificados de acordo com sua forma. O camo de placa, tambm chamado de camo de disco ou radial, freqentemente de uso genrico. A figura 58 ilustra trs camos de placa diferentes: (a) camo radial e seguidor de translao de face plana deslocado; (b) camo radial e seguidor oscilante de face esfrica; (c) camo radial e seguidor de aresta de faca e translao.

deslocamentoface esfrica

(a)

(b) (fig. 58)

(c)

A figura 59a apresenta um camo de cunha e seguidor de rolete de translao, enquanto a figura 59b apresenta um camo cilndrico e seguidor de rolete oscilante.

(a)

(fig. 59)

(b)

A figura 60a apresenta um camo de face ou extremidade e seguidor de rolete de translao e, a figura 60b, um camo de forqueta e seguidor de rolete de translao.

42

(b) (fig. 60) Estes exemplos representam alguns dos vrios tipos e combinaes entre camos e seguidores. Em todos os casos, o seguidor deve ser vinculado ao camo. Isto pode ser feito por meio de uma mola, por gravidade ou por vnculo mecnico. Na figura 60b, o seguidor tem dois rolamentos numa distncia fixa que atuam como vnculo; o camo concordante em tal sistema freqentemente chamado de camo de dimetro constante. 5.2. GEOMETRIA DO CAMO RADIAL Examinemos agora o problema da determinao da forma exata de uma superfcie de camo necessria para desenvolver determinado movimento do seguidor. Como exemplo, foi escolhido um camo de placa simples para girar com velocidade angular constante, e um seguidor de translao radial com contato de rolamento. Nosso problema consiste em se determinar a forma do camo, numrica ou graficamente , tal que o seguidor se mova com especificado. Como desejamos determinar o perfil do camo, empregamos o princpio da inverso. A regra : Para se desenvolver a superfcie do camo, mantm-se este estacionrio e gira-se o seguidor no sentido oposto ao de rotao do camo. A figura 61 mostra uma aplicao dessa regra mas, em primeiro lugar, devemos observar a nomenclatura da figura. O crculo de base o menor crculo tangente superfcie do camo. O ponto de traado um ponto terico sobre o seguidor, ele corresponde ao ponto de um seguidor fictcio de aresta de faca e usado para gerar a curva primitiva. Para um seguidor de aresta de faca, a curva primitiva idntica superfcie do camo. O ngulo de presso, que o complemento do ngulo de transmisso para os mecanismos, o ngulo entre a direo do movimento do seguidor e uma normal curva primitiva. Se o ngulo de presso for muito grande, um seguidor de translao emperrar em seu mancal. O ngulo de presso varia durante um ciclo completo de movimento e atinge os valores mnimo e mximo, como veremos brevemente. Entretanto, sua existncia implica em que as foras entre o camo e o seguidor no tenham a direo de movimento do seguidor. O ponto primitivo indica a localizao do mximo ngulo de presso. O crculo primitivo um crculo cujo centro coincide com o do camo e passa pelo ponto primitivo. O crculo principal o menor crculo com centro coincidente com o camo, passando pela curva primitiva. Voltando nossa ateno para a construo do perfil do camo, usualmente comeamos com o traa do de um diagrama de deslocamento (fig. 61b). A abscissa representa uma rotao do camo e tem um comprimento igual circunferncia do crculo principal. A ordenada o percurso do seguidor. Esse diagrama identifica a elevao, que consiste no afastamento do seguidor do centro do camo; o repouso, ou perodo durante o qual o seguidor est parado; e o retorno que o movimento do seguidor no sentido do centro do camo. Os pontos de transio ou inflexo correspondem aos pontos primitivos no contorno do camo. Esses pontos identificam o mximo ngulo de presso. Ainda que estejam mostrados no ponto mdio do percurso do seguidor, eles no necessitam ocorrer neste ponto. Na construo do perfil do camo, dividimos ambos os diagramas de deslocamento e o crculo primitivo do camo em um nmero igual de segmentos. Podemos ento designar com nmeros as posies sobre os contornos desses segmentos e transferir,43

(a)

com compasso, as distncias do diagrama de deslocamento para o contorno do camo. A curva construda por esses pontos a curva primitiva e consiste na trajetria do ponto de traado. Se o seguidor for do tipo de rolamento, como no exemplo em causa, desenhamos simplesmente o rolamento em sua posio apropriada, em cada seo, e construmos a superfcie do camo como uma curva tangente a todas as posies do rolamento.seguidor de rolamento de translao circunferncia primitiva

ngulo de presso ponto primitivo

2mo do vimen seg uid to or

1 11 10

3crculo de base

9

4crculo principal

8curva primitiva

(a)

5rotao do camo

7 6

elevaodeslocamento do seguidor

repouso

retorno

repouso

(b)

pontos de inflexo 0 1 2 3 4 5 6(fig. 61)

7

8

9

10 11

0

5.3. DIAGRAMAS DE DESLOCAMENTO Durante uma rotao do camo, o seguidor executa uma srie de eventos que consiste em elevaes, repousos e retornos. H vrios movimentos possveis que podem ser usados para as elevaes e retornos. Nesta seo apresentaremos os mtodos grficos de44

construo do diagrama de deslocamento para as elevaes segundo algumas funes matemticas. 5.3.1. MOVIMENTO UNIFORME O diagrama de deslocamento para o movimento uniforme uma linha reta com inclinao constante e, desta forma, a velocidade do seguidor em seu movimento constante. Esse movimento raramente usado devido s rampas no incio e final da elevao, conforme mostrado na figura 62.

elevao do seguidor, d

0

1 2 3 4 5 ngulo do camo ou tempo t

6

(fig. 62)

Observe que, estando o seguidor em repouso, ao atingir o ponto 0 (zero), h uma mudana brusca na velocidade. Na prtica, essa mudana instantnea no existe.

5.3.2. MOVIMENTO UNIFORME MODIFICADO Suavizando as rampas do caso anterior, obtemos o movimento uniforme modificado, como mostra a figura 63.

elevao do seguidor, d

d0 1 2 3 4 5 ngulo do camo ou tempo t

d6(fig. 63)

Neste exemplo, foi feita a modificao por meio de um arco de crculo tangente ao repouso que antecede a elevao, mas pode-se usar qualquer modificao adequada.

5.3.3. MOVIMENTO HARMNICO SIMPLES O diagrama de deslocamento para o movimento harmnico simples est mostrado na figura 64. Divide-se igualmente uma semicircunferncia, de dimetro igual elevao d, no mesmo nmero de partes que o do eixo do tempo ou abscissa.45

elevao do seguidor, d

0

1 2 3 4 5 ngulo do camo ou tempo t

6

(fig. 64)

Algumas vezes a semicircunferncia desenhada como uma elipse, a fim de modificar o movimento. A elipse dividida da mesma forma. Se ela for construda com seu eixo maior paralelo abscissa, as velocidades do seguidor no incio e final so menores do que o movimento harmnico. 5.3.4. MOVIMENTO PARABLICO O movimento parablico, como veremos adiante, de acelerao constante. A figura 65 mostra a construo grfica. Usa-se um nmero par de divises do tempo, e, no mnimo, 6 divises. No desenvolvimento do grfico de um camo para fins de construo, devem ser empregadas vrias divises para se obter boa preciso. Mas, um nmero exagerado de divises dificultaria a leitura e, por esta razo, so empregadas aqui apenas as divises necessrias para definir a curva. Se forem usadas 6 divises, divide-se uma linha qualquer com um ngulo conveniente em relao ordenada em partes proporcionais a 1, 3, 5, 5, 3, 1. Une-se a extremidade da ltima diviso com a da ordenada. Desenha-se as linhas restantes por cada ponto paralelo a essa linha.

1 3

elevao do seguidor, d

5 5 3 1

0

1 2 3 4 5 ngulo do camo ou tempo t

6

(fig. 65)

5.3.5. MOVIMENTO CICLOIDAL O movimento cicloidal obtido pelo rolamento de um crculo de raio d/2, onde d a elevao (ou retorno) sobre a ordenada. A construo mostrada na figura 66 mais conveniente do que o rolamento, para fins grficos. Usa-se o ponto B como centro e traa-se um crculo de raio d/ 2. Divide-se esse crculo no mesmo nmero de partes que o eixo do tempo e projeta-se horizontalmente esses pontos at interceptarem o eixo das ordenadas. Em46

Referncia bibliogrfica: Apostila Mecnica Tcnica I; Dana Projetos; Prof. Dr. Mario Dana