1

ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO

MECÂNICA APLICADA II ASSUNTO: Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos Relações Evolventais Relações de Torque e Velocidade Condições Anti-interferência Prof. João Galdino de Alencar Filho

Agosto – 1988 (1ª Edição) REVISÃO 1 – Agosto de 1995.

2

ÍNDICE 1.0 – Lei fundamental da transmissão de movimento ...................................................03

1.1 – Conclusões ..................................................................................................05

Exemplo 1 ...................................................................................................06

Exemplo 2 ...................................................................................................06

2.0 – Engrenagens ........................................................................................................07

2.1 – Perfil evolvental de engrenagens.................................................................07

2.2 – Função envolvente .....................................................................................08

2.3 – Relações angulares na curva evolvental .....................................................09

2.4 – Espessura do dente evolvental....................................................................09

2.5 – Relações de proporcionamento das engrenagens ......................................10

2.6 – Relações de velocidades angulares ............................................................13

2.7 – Relações entre momentos torsores (torque)................................................14

2.8 – Condições de engrenamento (não-interferência).........................................16

2.9 – Cálculo do comprimento do segmento de ação...........................................17

2.10 – Número médio de dentes em contato..........................................................18

2.11 – Engrenagens fresadas: número mínimo de dentes como condição de não-

interferência .................................................................................................19

2.12 – Engrenagens geradas: número mínimo de dentes como condição de anti-

interferência - carretas iguais......................................................................20

2.13 – Engrenagens geradas: dada uma engrenagem motriz z, calcular o

máximo número de dentes z2 da engrenagem movida, para que não haja

interferência .................................................................................................21

3

1.0 – LEI FUNDAMENTAL DA TRANSMISSÃO DE MOVIMENTO

Há uma relação fundamental comum aos cames, às engrenagens, aos mecanismos

articulados: é a igualdade matemática que, também, define o que é ROLAMENTO, e o que é

ESCORREGAMENTO - e a estreita fronteira que os separa.

Vamos denominá-la

“relação fundamental

da transmissão do

movimento”. Para

deduzi-la (vide figura

1), temos que

estabelecer o seguinte:

- dois elementos de

máquinas, articulados

em O1 (motriz) e O2

(movido);

- w1 (dado) é a velocidade angular do elemento motriz, no sentido horário;

- os perfis dos dois elementos são tais que os mesmos tocam-se apenas em um ponto, para

cada par de posições relativas que assumem.

Assim, conhecidos: O1O2, w1, O1P e O2P, determinaremos w2 para qualquer posição (P)

relativa dos elementos O1 e O2.

v1 é calculável, pois são dados w1 e O1P; este vetor representa a velocidade de P em relação

a O1 . Logo, v1 está definida.

Vamos decompor v1 em dois vetores componentes; recorremos a dois eixos ortogonais (x’x e

y’y) passando pelo ponto P de contato.

(1)

Não nos esqueçamos que esta notação vetorial é simbólica.

•••• ve1, componente segundo x’x, mede o ESCORREGAMENTO (ou DESLIZAMENTO) do

ponto P em relação a O1.

w1

w2 = ?

O2 O1 (motriz)

x’

x

y’

y

A k

B

P

v2

v1

vn

vE2

vE1

nevvv += 11

FIGURA 1

4

∴

∴

•••• vn é a velocidade de CONDUÇÃO do ponto P, e tem a direção da perpendicular comum

no ponto de contato.

Traçando o raio vetor de posição do ponto P, a partir do centro O2, teremos definidos a

direção e o sentido de v2, que é a velocidade de P em relação ao eixo do elemento movido.

O módulo de v2 é determinado pelo módulo de vn, que é comum a v1 e v2.

Assim, analogamente a v1, ve2 é a velocidade de escorregamento de P em relação a O2. E,

desta forma, podemos concluir que a velocidade final (em deslizamento) de P, em relação ao

referencial (base de apoio de O1 e O2) é:

(soma vetorial) (2)

Como se trata de movimento relativo,

no caso da figura 1 o MÓDULO da

velocidade de escorregamento será a

SOMA dos módulos das componentes.

No caso da figura 2, como as

componentes têm o mesmo sentido, o

módulo da velocidade resultante será a

DIFERENÇA dos módulos das

componentes.

Voltando à figura 1: ; .

(3)

Examinemos duas relações de semelhança de triângulos. A 1ª é:

. Logo,

A 2ª relação é:

.

2

2

1

1

2

1

v

PO

PO

v

w

w×=

POwv 111 ×= POwv 222 ×=

21 eeEvvv +=

APOvPvE 111 ≈

PO

v

AO

vn

1

1

1

=AO

POvvn

1

11 ×= (4)

222 PBOvPvE≈

PO

v

BO

vn

2

2

2

=

BO

POvvn

2

22 ×= (5)

w1

w2

O2

x’

x

y’

y

P

v2

v1

vn

vE2

vE1

O1 FIGURA 2

5

∴

∴

Substituindo (4) e (5) em (3), virá:

; (7). Substituindo (7) em (6), teremos:

(8) LEI FUNDAMENTAL DA TRANSMISSÃO DE MOVIMENTO.

1.1 – CONCLUSÕES

1- As velocidades angulares são inversamente proporcionais às respectivas distâncias de

seus centros (O1O2) até o ponto K.

2- Se o ponto K coincidir com o centro do elemento motriz O1, a velocidade angular do

elemento movido será nula.

3- Se o ponto de contato P entre os elementos motriz e movido, cair sobre a linha de centros

(O1O2), não haverá velocidade de escorregamento. Neste caso, haverá ROLAMENTO PURO

durante a transmissão de movimento.

A 3ª conclusão é particularmente importante, para o estudo das engrenagens; quando se

estudar a LINHA DE PRESSÃO (ou reta de pressão), ver-se-á que apenas no ponto de

tangência das circunferências primitivas há rolamento puro – e, em todos os demais, haverá

rolamento com deslizamento.

A 4ª conclusão é que, se o ponto K for fixo (caso da figura 3, transmissão por correias),

a relação passa a ser constante:

; e,

por semelhança de triângulos,

AO

BO

PO

BO

vAO

POv

PO

PO

w

w

n

n

1

2

2

2

1

1

1

2

2

1 1=××××=

AO

BO

w

w

1

2

2

1 = (6)

BKOAKO 21 ≈KO

KO

AO

BO

1

2

1

2 =

KO

KO

w

w

1

2

2

1 =

2

1

w

w

KO

KO

w

w

1

2

2

1 =

1

1

2

2

R

KO

R

KO=

KO

KO

w

w

1

2

2

1 = (9)

K

O1 O2

R2 R1 w1

w2

(Transmissão por correia)

FIGURA 3

6

∴ ∴

O2 O1 C

K

P

w2

w1

90º

60º

Já no caso de sistemas articulados, como

o da figura 4, o ponto K terá a sua

localização determinada instante a

instante, pela intersecção do

prolongamento da biela A1A2, com o

prolongamento da linha de centros O1O2.

EXEMPLO – 1

Na figura 5, o elemento motriz é o disco

de raio R, que gira em torno de O1,

excêntrico em relação ao eixo

geométrico C. O seguidor, ou elemento

movido, tem a superfície de contato em

formato retilíneo, Na posição

representada ao lado; K coincide com

O1, o que torna O1K=0, donde w2=0,

para qualquer módulo ou sentido de w1.

EXEMPLO – 2

(Problema 1 da Fonte Bibliográfica 1)

O mecanismo da figura 5 esta na

posição indicada na figura 6. São

dados: w1=20 rad/s; R=25mm;

O1C=12,5mm; O1O2=75mm;

Qual o valor de w2?

Solução:

O2 O1

x

P

R C

90º

KO

KO

w 1

2

2

20=

5,12

5,127520

2

+=

w

sradw /86,22 ≅

A2

A1

O1 O2 K

w1

w2

FIGURA 4

FIGURA 5

FIGURA 6

7

2.0 – ENGRENAGENS

2.1 – PERFIL EVOLVENTAL DAS ENGRENAGENS

O nosso objetivo, aqui, não é ensinar a desenhar engrenagens; todavia, necessitamos

conhecer o traçado da curva EVOLVENTE DE CÍRCULO, para que possamos aplicar as

suas propriedades aos cálculos construtivos das engrenagens.

Por definição, evolvente de círculo é a trajetória

descrita por um ponto de uma reta, que rola sem

escorregar, tangencialmente à circunferência do

círculo.

Seja o círculo da figura 7, dividido em um número

qualquer de partes iguais; por simplificação, só

dividimos o 1º Quadrante (seis partes iguais, de

um total de vinte e quatro). Seja “0” (zero) a

origem do traçado; será “0”, portanto, o local de

onde a reta começará a ROLAR SEM ESCORREGAR

por sobre o perímetro da circunferência.

Tracemos, pelos pontos (1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., n) de divisão do círculo, retas tangentes à

circunferência. A partir da tangente que passar por “1”, marquemos o comprimento 1-A=0-1.

Ao fazer o desenvolvimento (ou retificação) do arco 0-1, e, em seguida, ao marcá-lo em 1-A,

estamos determinando o 1º segmento (0-A) da trajetória procurada.

1 – A = 0 – 1

2 – B = 0 – 2

E assim, sucessivamente: 3 – C = 0 – 3 (10)

4 – D = 0 – 4

..................., teremos traçado, geometricamente, o perfil básico

da curva característica dos dentes evolventais de uma engrenagem. O odontógrafo, que é um

método prático para o traçado dos dentes, não nos serve.

0 1 2 3

4

5

6

A

B

C D E F

FIGURA 7

8

L

M

B

A

O

O1

B1

A1

1

2

Rbase

αA

αB

CIRCUNF. RAIO RB

CIRCUNF. RAIO RA

CIRCUNF. DE BASE

CONCLUSÕES

(a) cada um dos segmentos de reta traçados (1-A, 2-B, 3-C, etc) é perpendicular à curva

evolvente, nos respectivos pontos (A, B, C, etc).

(b) Reciprocamente, se, por qualquer ponto da curva evolvente, traçarmos uma tangente à

circunferência, o segmento de reta assim obtido será, também, normal à curva, no

ponto em questão. E o comprimento deste segmento corresponderá ao desenvolvimento

do arco de circunferência correspondente.

2.2 – FUNÇÃO EVOLVENTE

Na geometria das engrenagens, chama-se “círculo de base” aquele que serve de referencial

ao traçado da curva evolvental. Vamos, em primeiro lugar, definir a função matemática

EVOLVENTE DE CÍRCULO.

Escrevamos a identidade angular:

O O1 A = O O1 1 - αA (11)

Temos: tg αA = 1 – A Rbase

De acordo com a expressão (10) da pág 7:

O O1 1 = O – 1 = 1 – A Rbase Rbase

Logo, O O1 1 = tg αA .

Substituindo em (11), virá:

O O1 A = tg αA - αA (12)

A função (tg αA - αA) é denominada

FUNÇÃO EVOLVENTE, e é representada pela simbologia: EV . α = EVOLVENTE ALFA

Portanto, O O1 A = EV . α , onde: EV . α = tg α – α (13)

FIGURA 8

9

2.3 – RELAÇÕES ANGULARES NA CURVA EVOLVENTAL

Vimos, da expressão (13) da página anterior, que a função “evolvente alfa” mede como que o

ângulo central (O O1 A) do deslocamento do ponto descrevente da trajetória evolvental.

Vejamos agora uma outra relação muito útil, que permite relacionar os ângulos evolventais e

seus respectivos raios. Da figura 8, temos:

Rbase = RA . cos αA

Rbase = RB . cos αB

Igualando os valores do raio da circunferência de base, teremos:

RA . cos αA = RB . cos αB RB = RA . cos αA (14) cos αB

Esta relação se revelará particularmente útil mais adiante pois, quando se define um

engrenamento, esta definição é dada, PARA CADA ENGRENAGEM, pelo seu raio de

circunferência primitiva pelo ângulo de pressão do engrenamento (que é o MESMO para as

duas engrenagens que formam o par). Assim sendo, para qualquer engrenagem, RA e αA são

conhecidos; portanto, dado outro ângulo qualquer αB, pode-se calcular RB, seu raio

correspondente.

Aqui, entra uma diferenciação, muito sutil, entre ÂNGULO DE PRESSÃO DO PONTO

(αA, αB) e o ângulo de pressão DO ENGRENAMENTO. Ângulo de pressão do ponto é aquele

definido pela figura 8 da página 8: é o ângulo formado pelo raio vetor do ponto (RA, por

exemplo), com o raio de base que passa pelo ponto de tangência correspondente (1–O1).

Assim, A O1 1 = αA é o ângulo de pressão do ponto “A”.

Já se o ângulo de pressão do engrenamento (que será bem definido na seção 2.5, figura 10),

é definido como o ângulo de pressão COMUM aos dentes que se tocam no ponto de

tangência das circunferências primitivas.

2.4 – ESPESSURA DO DENTE EVOLVENTAL

Se conhecemos a espessura do dente de uma engrenagem, em um ponto dado (melhor

diríamos, sobre uma circunferência conhecida), será útil conhecer outro valor da espessura,

sobre uma circunferência qualquer. Isto permitirá, por exemplo, calcular engrenagens cujos

dentes terminem em ponta (espessura zero).

10

> <

Rext

Rprim

Rint

Rbase

ADENDO

DEDENDO

Q

M’

N’

N

M

O

α 90º

Voltando à figura 8 da página 8:

O O1 M = O O1 A + A O1 M = EV . αA + A A1 / 2 , de acordo com (13). RA

Também: O O1 M = O O1 B + B O1 M = EV . αB + B B1 / 2 RB

Igualando os dois valores de O O1 M, virá:

BB1 = 2.RB AA1 + EV.αΑ - EV.αB (15) 2.RA

2.5 – RELAÇÕES DE PROPORCIONAMENTO DAS ENGRENAGENS

Embora só possamos “ver” duas

circunferências (externa e interna), uma

engrenagem tem mais duas

circunferências: a primitiva e a de base.

Circunferência primitiva, nominal

ou de cálculo, é aquela que serve

de referencial a todos os cálculos

cinemáticos e dinâmicos da

engrenagem – quando se fala em

“diâmetro” para fins de cálculo, é

este o mencionado, o da

circunferência primitiva. Já a

circunferência de base é aquela, a

partir da qual é gerada a curva

evolvental. Na figura 9, Rint > Rbase;

porém é possível que:

Rint Rbase (16) , tudo vai depender, principalmente, do ângulo de pressão do

engrenamento, que será definido na figura 10.

Voltando a figura 9: OQ = OM‘ . cos α

Rbase = Rprimitivo x cos α (17)

FIGURA 9

11

O2 α

α

Q2 90º

Rbase 2

w2

w1

O1

α

90º Rbase 1

Q1

P

RETA DE PRESSÃO

EXTERNA 2

PRIMITIVA 2

INTERNA 2

EXTERNA 1 PRIMITIVA 1

INTERNA 1

Considerando que, do ponto M’, tirou-se a

tangente QM’ à circunferência de base, o

ângulo α = QOM’ é o ângulo de

pressão do ponto M’. E, como M’

pertence à circunferência primitiva, é mais

que um ângulo de pressão comum: é o

ângulo de pressão DO

ENGRENAMENTO.

Vejamos a figura 10:

O ponto “P”, onde as circunferências

primitivas se tangenciam (e onde

representamos, com evidente distorção

de proporções, a tangência dos perfis dos

dentes), determina a existência de

ângulos de pressão IGUAIS para as duas engrenagens. O ângulo de pressão COMUM às

duas engrenagens, que é o mesmo ângulo de pressão de um ponto do perfil situado sobre a

circunferência primitiva, denomina-se ÂNGULO DE PRESSÃO DO ENGRENAMENTO (“α”).

Voltando à figura 9: chama-se PASSO (MN = M’N’), a distância (medida sobre a

circunferência primitiva) entre dois perfis consecutivos, de mesmo sentido de curvatura.

Representa-se o passo pela letra “p”. (17 - A)

O número de dentes de uma engrenagem, é representado pela letra “Z”.

Olhando para a figura 9 da página 10, vemos que há tantos passos quanto são os dentes de

uma engrenagem; logo, o desenvolvimento da circunferência primitiva é:

p x z = π x Dp (18)

Dividindo ambos os membros por “π”:

Dp = p x z (19) π O quociente p é denominado “módulo” do engrenamento, e é representado pela letra “m”. π m = p (20). Daí, Dp = m . z (21) π

FIGURA 10

12

O módulo é a base do sistema métrico de engrenagens. O sistema americano de

engrenagens (AGMA – American Gear Manufacturers Association) usa o PASSO

DIAMETRAL, ou Diametral Pitch, que é o inverso do módulo.

Voltando à expressão 18:

z = π x Dp , onde DP = π = passo diametral (22) p p Donde concluímos:

Z = DP x Dp (23) ou DP = z (24) Dp

Daí, definir-se o passo diametral como sendo o “número de dentes por unidade de diâmetro

primitivo”.

Comparando (20) com (22), concluímos que: m = 25,4 (25) , DP onde 25,4 é o fator de conversão de polegadas para milímetros.

Embora haja (25), na prática não há correspondência entre a série de valores do módulo, e

a série do passo diametral.

Ainda na figura 9: ADENDO = Rext – Rprim (26) (a) No sistema métrico, geralmente o adendo é feito igual ao módulo.

DEDENDO = Rprim – Rint (27) (d) No sistema métrico, geralmente o dedendo é feito igual a 7/6 do módulo.

a = m (28)

d = 7 . m (29) 6 Logo, Dext = Dprim + 2m (30)

Dint = Dprim – 2 x 7 . m (31) 6 Chama-se “VÃO” ao espaço entre dentes, medido na circunferência primitiva:

N’M = M’N = vão (espaço) = 21 x p (32) 40

Já a espessura do dente é: NN’ = espessura = 19 x p (33) 40

13

1

2 3

4 5

6

n1

n6

2.6 – RELAÇÕES DE VELOCIDADES ANGULARES

À página 5, fórmula (9), vimos que, para um par de polias de

transmissão, ,onde (w1, w2) são as velocidades

angulares em radianos por segundo; e (R1, R2) são os raios

primitivos.

Sabemos que: w = 2 π . n , onde n = R.P.M. 60

E, da expressão (21), Dp = 2 . R = m . z R = m . z 2

Substituindo esse valores em (9): (34)

Essa igualdade, que estabelece a relação entre velocidades

angulares e números de dentes de um par de engrenagens,

servirá de base à analise de um TREM DE

ENGRENAGENS, como o da figura 11.

Seja n1 a RPM de entrada (no sentido indicado) do trem de engrenagens; sabendo que, em

um par de engrenagens, os SENTIDOS de rotação são contrários em cada carreta,

determina-se facilmente o sentido da RPM de saída (n6).

Para saber-se o valor algébrico de n6, teremos que aplicar (34) aos sucessivos pares de

engrenagens – 1 com 2, sendo 1 motriz (pinhão) e 2 movida (coroa); 3 com 4, sendo 3

pinhão e 4 coroa; e 5 com 6, sendo 5 pinhão e 6 coroa.

n2 = n1 x z1 ; n2 = n3 (mesmo eixo) z2

n4 = n3 x z3 = n1 x z1 x z3 ; n4 = n5 z4 z2 z4

n6 = n5 x z5 = n1 x z1 x z3 x z5 z6 z2 z4 z6

Observar que esta é uma relação de REDUÇÃO de velocidade, pois todas as coroas (z2, z4,

z6) são maiores que os pinhões (z1, z3, z5).

Generalizando, para “n” engrenagens:

nn = n1 x z1 x z3 x z5 x ... x zn-1 (35) z2 z4 z6 zn

Se: z2 > z1, z4 > z3, z6 > z5, ..., zn > zn-1, a velocidade de saída será menor que a de entrada,

e teremos um trem REDUTOR de velocidade.

1

2

2

1

R

R

w

w=

FIGURA 11

1

2

2

1

z

z

n

n=

∴

14

2.7 – RELAÇÕES ENTRE MOMENTOS TORSORES (TORQUES)

Reportemo-nos à figura 10 da página 11: chama-se

“RETA DE PRESSÃO” ou “SEGMENTO DE AÇÃO”, a

direção determinada pelo ângulo de pressão do

engrenamento.

Agora, examinemos a figura 12: como calcular M2,

momento da engrenagem conduzida, dado o momento

motriz M1?

Na figura 12, vemos que Fn é a força normal (ação e

reação) que atua entre as engrenagens motriz e

movida. Na figura 12-B, Fn é AÇÃO, que gera o

momento M2 (conduzido); na figura 12-A, Fn é reação

ao momento motriz M1.

Dada a figura 12-A: Mmotriz – Mresistente = 0

Mresistente = FT x R1 , (36)

Onde FT = Fn . cos α

FR = Fn . sen α

A componente radial (FR) do esforço normal não

contribui com o momento torsor; apenas atua

radialmente sobre o eixo da engrenagem. Aliás,

também FT atua radialmente sobre o eixo da

engrenagem (transposta para o eixo, mais um

momento torsor).

Logo, como Mmotriz = M1 , então: M1 = FT x R1 FT = M1 (37) R1

Observem que não estamos considerando os momentos de atrito nos eixos das

engrenagens, para o cálculo dos momentos resistentes correspondentes.

∴

FN

FN

M2 = ?

O2

M1

(dado)

O1

α

FT

FN

M1

(motriz)

O1

α

FR

R1

FIGURA 12

FIGURA 12-A

FIGURA 12-B

FN

M2

(movida)

O2

α

FT

FR

R2

15

1

2 3

4 5

6

M1

M6

M45

M23

Na figura 12-B, temos:

M2 = FT x R2 (38) Trazendo (37) para (38) , virá:

M2 = M1 x R2 (39). R1

Substituindo, aqui também, os raios primitivos por:

R = m . z , virá - M2 = M1 x Z2 (40) 2 Z1

Comparando com (34), vemos que a relação entre momentos torsores (de entrada e de

saída), face aos números de dentes do pinhão e da coroa é inversa daquela existente entre

velocidades angulares. Ou seja, quando a velocidade angular cai, em um engrenamento, o

momento torsor cresce na razão inversa.

Desta forma, generalizando (40) para “n” engrenagens, teremos (vide figura 11):

Mn = M1 x z2 x z4 x z6 x ... x zn (41) z1 z3 z5 zn-1

Se: z2 > z1, z4 > z3, z6 > z5, ..., zn > zn-1, o

momento torsor de saída será maior que o de

entrada, e teremos um trem MULTIPLICADOR

de torque.

FIGURA 13

16

2.8 – CONDIÇÕES DE ENGRENAMENTO (NÃO - INTERFERÊNCIA)

Antes de calcular o comprimento

AB, sobre a reta de pressão e em

cuja extensão dá-se o contato

entre dentes das engrenagens

motriz e movida, vamos definir

“ângulo de aproximação” (β) e

“ângulo de afastamento” ( ).

O cruzamento da circunferência

externa da movida com a reta de

pressão determina o ponto “A”,

início de contato: o local onde o

flanco da engrenagem motriz

começa a impulsionar o topo da

engrenagem movida. Fazendo

passar, por “A”, os perfis das

respectivas engrenagens;

verificando os pontos onde os mesmos cortam suas correspondentes circunferências

primitivas (A1 e A2), para, finalmente ligá-los a seus centros O1 e O2 – eis a seqüência de

operações gráficas para a determinação dos ângulos de aproximação (β1 e β2) das

engrenagens motriz e movida.

De idêntica forma procede-se, após a determinação do ponto “B”, fim do contato (interseção

da circunferência externa da motriz, com a reta de pressão): desenha-se os perfis dos

dentes que passam por B; determina-se B1 e B2 e, ligando-os ao centro, determina-se os

ângulos de afastamento 1 e 2.

Ainda na figura 14: o raio da circunferência de base da motriz, Rbase1, determina o ponto

“Q1”, o chamado LIMITE DE INTERFERÊNCIA SUPERIOR (superior, por ser mais próximo

do centro da engrenagem motriz). Para que não haja interferência am A (ou seja, para que o

topo do dente da movida não desgaste o flanco do dente da motriz), a condição é:

PQ1 PA (42)

γ

γ γ

≥

FIGURA 14

O1 (motriz)

Sentido de giro

Rbase1 β1

1 γ

90º

Q1 A1

A

A2 D

P

β2 2 γ

Q2

90º

Rbase2

O2 (movida)

Sentido de giro

B B2

C

B1

CIR

CU

NF

. D

E B

AS

E-1

EX

TE

RN

A-1

PR

IMIT

IVA

-1

INT

ER

NA

-1

EX

TE

RN

A-2

PR

IMIT

IVA

-2

INT

ER

NA

-2

CIR

CU

NF

. D

E B

AS

E-2

17

Analogamente, sendo Q2 o “pé” da perpendicular baixada do centro da movida à reta de

pressão (O2Q2 é o raio da circunferência de base da movida), a condição para que o topo do

dente da engrenagem motriz não provoque erosão no flanco do dente da engrenagem

movida, é: PQ2 PB (43)

Portanto, as expressões (42) e (43) são as condições para que, independentemente do

processo de fabricação das engrenagens, garanta-se o engrenamento entre elas. Embora

PQ1 e PQ2 sejam calculáveis analiticamente, PA e PB somente são calculáveis

graficamente, assim como os ângulos de aproximação e afastamento.

2.9 – CÁLCULO DO COMPRIMENTO DO SEGMENTO DE AÇÃO (AB)

Da figura 14, temos: AB = BQ1 + AQ2 – Q1Q2 (44)

BQ1 = O1B2 – O1Q1

2 = R2ext1 – R2base1 (45)

AQ2 = O2A2 – O2Q2

2 = R2ext2 – R2base2 (46)

PQ1 = O1P . sen α = Rprim1 . sen α Q1Q2 = O1O2 . sen α (47)

PQ2 = O2P . sen α = Rprim2 . sen α Levando 45, 46 e 47 a (44),

teremos: AB = R2ext1 – R2base1 + R2

ext2 – R2base2 - O1O2 . sen α (48)

≥

18

2.10 – NÚMERO MÉDIO DE DENTES EM CONTATO

Temos bem presente o conceito de PASSO de um engrenamento (é o mesmo para as duas

engrenagens em contato), da expressão (17-A) da página 9.

Introduzamos, aqui, o conceito de “PASSO NA CIRCUNFERÊNCIA DE BASE” ou,

simplesmente, PASSO DE BASE: é um passo medido sobre a circunferência de base.

Na figura 14, se os dois perfis da engrenagem movida representados, referirem-se a dois

dentes consecutivos (adjacentes), CD será o passo de base: pbase = CD (49)

Vamos provar que AB = CD (50)

Se considerarmos “D” c Omo a ORIGEM do perfil do dente, como a reta de pressão, por

definição, é normal ao perfil “D” no ponto “A” e, ao mesmo tempo, ao perfil “C” no ponto “B”,

então pela definição de evolvente:

AQ2 = DQ2 . Como CQ2 = BQ2 , então conclui-se que – AB = CD

Mais do que uma igualdade: a expressão (50) permite que escrevamos –

Zmédio = AB (51) pbase

onde Zmédio é o número médio de pares de dentes em contato.

No caso da hipótese do 3º parágrafo desta página, (Zmédio = 1) significaria que um único par

de dentes iniciaria o contato em “A”, e somente quando atingisse “B”, é que um outro par de

dentes entraria em contato, em “A”. Isto ocasionaria uma transmissão de movimento

ruidosa, por situar-se NO LIMIAR da descontinuidade.

Como conseqüência imediata da figura 14,

e das expressões (49) e (50), a figura 15

mostra-nos qual é o passo de base na

cremalheira (arestas paralelas – distância

entre elas.

pbase

FIGURA 15

Na hipótese do 3º

parágrafo, acima.

19

2.11 – ENGRENAGENS FRESADAS: NÚMERO MÍNIMO DE DENTES COMO CONDIÇÃO

ANTI-INTERFERÊNCIA

Estudemos o engrenamento de um pinhão

cilíndrico, com uma cremalheira (figura 16).

Recordando a figura 14 (pg. 16): sendo

OQ = Rbase, ao mesmo tempo “Q” é o limite

de interferência superior. Fazendo a

circunferência externa da engrenagem

movida (no caso, a cremalheira) passar

pelo limite de interferência “Q”, o início do

contato também será “Q”.

Conseqüentemente, o adendo será QM.

No triângulo OQP: sen α = PQ (52) OP

No triângulo OQP: sen α = PQ (53) OP

Multiplicando (52) por (53) : sen2 α = PQ x QM = QM (54) OP PQ OP Mas: OP = Rprimitivo = m.Z , e QM = m . Levando em (54): 2

sen2 α = m = 2 Zmínimo = 2 (55) m . Z / 2 Z sen2 α

Ora, se ao invés da cremalheira, tivéssemos outra engrenagem cilíndrica QUALQUER, seu

número de dentes seria finito e, portanto, embora com o mesmo adendo QM, o ponto “A”

(início de contato) seria tal que: PQ > AP , o que asseguraria a condição de não-

interferência entre o pinhão e a nova engrenagem, substituta da cremalheira.

Se o pinhão for a ferramenta de fresar (ou simplesmente “fresa”), devemos olhar (55) para

escolher a MENOR ENGRENAGEM que mandaremos usinar por perfilamento.

Por exemplo:

α = 14º 30’ sen α = 0,250380 Zmin = 31,9 32 dentes.

α = 20º sen α = 0,342020 Zmin = 17,1 17 dentes.

α = 25º sen α = 0,422618 Zmin = 11,2 11 dentes.

∴

≅

≅

≅

FIGURA 16

motriz O

α Q

M P

PINHÃO

α

CIRCUNF. BASE

CIRCUNF. PRIMITIVA

CREMALHEIRA

ADENDO

CIRCUNF. EXTERNA

CIRCUNF. PRIMITIVA

RETA DE PRESSÃO

20

O1

Rext

Rp α

CIRCUNF. EXTERNA -1

CIRCUNF. PRIMITIVA -1

O2

Rext Rp

α

CIRCUNF. EXTERNA -2

CIRCUNF. PRIMITIVA -2

Q1

Q2

B

A P

α

2.12 – ENGRENAGENS GERADAS: NÚMERO MÍNIMO DE DENTES COMO CONDIÇÃO

DE ANTI-INTERFERÊNCIA – CARRETAS IGUAIS

A condição de não-interferência

evolvental de duas engrenagens

iguais, é que o início e o fim do

contato coincidam

respectivamente com os limites

de interferência superior e inferior

(vide figura 17).

Cálculo do comprimento do

segmento de ação (AB):

Rext = Rp + m = m . Z + m = m (Z + 2) 2 2

Rbase = Rp . cos α = m . Z . cos α 2 O1O2 = 2 Rp = m . Z

Substituindo em (48), teremos:

AB = 2 m2 . (Z + 2)2 – m2 . Z2 . cos2 α - m . Z . sen α 4 4

AB = m . Z2 + 4Z + 4 – Z2 . cos2 α - m . Z . sen α (56)

Da figura 17: AP = BP = O1P . sen α = O2P . sen α ,

Donde – AB = 2 . Rp . sen α = m . Z . sen α (57)

Igualando (56) e (57):

m . Z2 + 4Z + 4 – Z2 . cos2 α = m . Z . sen α + m . Z . sen α

Elevando ao quadrado ambos os membros:

Z2 + 4Z + 4 – Z2 . cos2 α = 4 . Z2 . sen2 α

Z2 + 4Z + 4 – Z2 + Z2 . sen2 α = 4 . Z2 . sen2 α

3 . sen2 α . Z2 - 4Z – 4 = 0 (58)

FIGURA 17

cos2 α = 1 – sen2 α

21

Substituindo (sen α) por: 14º 30’ – 20º – 25º , sucessivamente na expressão (58), teremos:

sen 14º 30’ Zmin = 23

sen 20º Zmin = 13

sen 25º Zmin = 9

2.13 – ENGRENAGENS GERADAS: DADA UMA ENGRENAGEM MOTRIZ “Z1”,

CALCULAR O MÁXIMO NÚMERO DE DENTES “Z2” DA ENGRENAGEM MOVIDA, PARA

QUE NÃO HAJA INTERFERÊNCIA:

Da figura 18:

O2Q1 = Q1Q2 2+ O2Q2

2

Rext2 = Q1Q2 2 + R2

BASE2 (59)

Rext2 = Rp2 + m = m (Z2 + 2) 2

Rbase2 = Rp2 . cos α = m . Z2 . cos α 2

PQ1 = Rp1 . sen α = m . Z1 . sen α 2

PQ2 = Rp2 . sen α = m . Z2 . sen α 2

Q1Q2= PQ1 + PQ2 = m . sen α (Z1 + Z2) 2

Levando esses valores em (59):

m (Z2 + 2) = m2 . sen2 α (Z1 + Z2)2 + m2 . Z2

2 . cos2 α 2 4 4

Elevando os membros ao quadrado:

m2 (Z2 + 2)2 = m2 . sen2 α (Z12 + 2Z1.Z2 + Z2

2) + m2 . Z22 . cos2 α

4 4 4

Z22 + 4.Z2 + 4 = Z1

2 . sen2 α + 2.Z1.Z2 . sen2 α + Z22 . sen2 α + Z2

2 . cos2 α

Z22 - 2.Z1.Z2 . sen2 α + 4.Z2 = Z1

2 . sen2 α + Z22 - 4

Z2 . (4 - 2.Z1. sen2 α) = Z12 . sen2 α - 4

Z2 = Z12 . sen2 α – 4 (60)

4 - 2.Z1. sen2 α

O1 (motriz)

Rp1 α

O2 (movida)

Rext2 Rp2

α

Q1

Q2

A P

α

Rbase2

FIGURA 18

22

Exemplo: (para α = 20º) Z1 = 13 Z2 = 16 (máximo)

Z1 = 14 Z2 = 26 ( “ )

Z3 = 15 Z2 = 45 ( “ )

Z4 = 16 Z2 = 100 ( “ )

Z5 = 17 Z2 = 1.355 ( “ )

Vê-se claramente que a relação Z1 = 17 é inviável (tem valor apenas teórico). Z2 = 1.355

Já a relação 16 poderá ser utilizada, embora não seja usual uma redução de um único

par de engrenagens, dessa ordem de grandeza.

100