apostila de circuitos logicos2004

Sistemas de numeração O sistema numérico com o qual estamos acostumados a trabalhar e pensar é o sistema decimal. Neste sistema os números são formados por algarismos correspondentes as unidades, dezenas, centenas, milhares,etc.... É um sistema baseado na analogia de contagem com os dedos da mão, ou seja dez. A raiz ou base desse sistema é dez e seus algarismos são:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

O método ao qual estamos acostumados usa um sistema de numeração posicional. Isso significa que a posição ocupada por cada algarismo em um número altera seu valor de uma potência de 10 (na base 10) para cada casa à esquerda(parte inteira) e à direita(parte fracionária). Para representar uma número maior que 9 utilizamos os mesmos algarismos que são combinados ocupando posições diferentes no número que são representados pelas potências de 10. O número decimal 234, por exemplo, é obtido pela soma apresentada a seguir: 234=200+30+4 ou 234=2 x 100 + 3 x 10 + 4 x 1 ou 234=2 x 102 + 3 x 101 + 4 x 100

Os números menores que 1 são representados através da notação em potências de dez, com as potências negativas. O número 0,52 por exemplo, é obtido pela soma apresentada a seguir: 0,52=0,5+0,02 ou 0,52=5x0,1+2x0,01 ou 0,52=5x10¯¹ +2x10¯ ² Generalizando, representamos uma quantidade N qualquer, numa dada base b, com um número tal como segue: Nb = an.bn + .... + a2.b2 + a1.b1 + a0.b0 + a-1.b-1 + a-2.b-2 + .... + a-n.b-n sendo que an.bn + .... + a2.b2 + a1.b1 + a0.b0 é a parte inteira e a-1.b-1 + a-2.b-2 + .... + a-n.b-n é a parte fracionária.

Circuitos Lógicos 1

Base de um Sistema de Numeração A base de um sistema é a quantidade de algarismos disponível na representação. A base 10 é usualmente empregada, embora não seja a única utilizada.

Os computadores utilizam a base 2 (sistema binário) e os profissionais de hardware e software por facilidade, usam em geral uma base que seja uma potência de 2, tal como 24 (base 16 ou sistema hexadecimal) ou eventualmente ainda 23 (base 8 ou sistema octal).

No estudo dos sistemas digitais trabalhar com o sistema decimal não é conveniente. Utilizando o sistema binário de numeração, podemos representar uma informação com apenas dois valores. Os valores 0 e 1 são utilizados para representar situações lógicas. O estado lógico 0 e o estado lógico 1 são utilizados no estudo de sistemas físicos que assumem dois estados de funcionamento, representando situações como:

aberto fechado sem tensão com tensão

desligado ligado Se 0 representa uma determinada situação, então 1 representa a situação complementar, porém estamos mais acostumados a trabalhar com lógica positiva,como por exemplo:

Nível lógico 0 Nível lógico 1 aberto fechado

sem tensão com tensão desligado ligado apagado aceso

Em eletrônica digital a representação dos níveis discretos de tensão se faz utilizando os algarismos do sistema binário de numeração.


Sistema binário de numeração No sistema binário somente dois algarismos são utilizados:

O e 1

Binário Decimal 000 0 001 1 010 2 011 3 100 4 101 5 110 6 111 7

Quando os símbolos 0 e 1 são usados para representar números binários, cada símbolo é chamado de dígito binário, ou simplesmente de bit. O número binário 1012 é chamado de número binário de três dígitos ou de número binário de três bits. As regras de formação de um número em binário são as mesmas que foram utilizadas para o sistema decimal, com exceção de que no sistema binário a base é igual a 2. O resultado da soma é igual ao equivalente no sistema decimal 101 = (1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20) 101 = (1 x 4) + (0 x 2) + (1 x 1) 101 = 4 + 0 + 1 = 510

No caso da conversão de números fracionários em binário basta usar o método do exemplo abaixo: 0.011 = (0 x 2-1) + (1 x 2-2) + (1 x 2-3) ou 0.011 = (0 x .5) + (1 x 0.25) + (1 x .125) ou 0.011 = 0 + 0.25 + 1.125 = 0.37510


Sistema hexadecimal e octal O sistema de números octais tem a base igual a 8, o que indica o uso de oito algarismos,sendo todos equivalentes aos do sistema decimal. Os algarismos usados neste sistema, são:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

O sistema de números hexadecimal usa a base 16, o que indica o uso de dezesseis símbolos, sendo os mesmos símbolos usados no sistema decimal mais as seis primeiras letras do alfabeto. Os algarismos utilizados no sistema hexadecimal são:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

As seis primeiras letras do alfabeto, utilizadas no sistema hexadecimal como números representam as seguintes quantidades:

A=10 B=11 C=12 D=13 E=14 F=15

Representação em Octal e Hexadecimal O sistema de números hexadecimais é muito usado em projetos de hardware e software, já que estes representam grupos de dígitos binários, facilitando a representação de códigos binários. É usual representar quantidades usando sistemas em potências do binário, para reduzir o número de algarismos da representação. No sistema octal (base 8), três bits são representados por apenas um algarismo octal (de 0 a 7). No sistema hexadecimal (base 16), quatro bits são representados por apenas um algarismo hexadecimal (de 0 a F). A tabela a seguir mostra uma comparação entre números decimais, binários,octais e hexadecimais.


A tabela a seguir mostra uma comparação entre números decimais, binários,octais e hexadecimais.

decimal binário octal hexadecimal 0 0 0 0 1 1 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F

Conversões entre Bases Conversões entre as bases 2, 8 e 16 Conversão binário-octal Como 23 = 8, separando os bits de um número binário em grupos de três bits (começando sempre da direita para a esquerda para a parte inteira) e convertendo cada grupo de três bits para seu equivalente em octal, teremos a representação do número em octal. exemplo 101010012 = (x) 8 separando em grupos de 3 bits 101010012 = 010 101 001 Sabemos que 0102 = 28 ; 1012 = 58 ; 0012 = 18 e portanto, 101010012 = 2518


Conversão octal-binário A conversão inversa se faz convertendo cada dígito octal por um grupo de três dígitos binários. exemplo 17658=(x) 2 1 7 6 5

001 111 110 101 Portanto, 17658=0011111101012

Conversão binário-hexadecimal Como 24=16, basta separarmos em grupos de 4 bits (começando sempre da direita para a esquerda para a parte inteira) e converter cada grupo para seu equivalente em hexadecimal. exemplo 110101011012 = (x) 16 separando em grupos de 4 bits 110101011012 = 0110 1010 1101 Cada grupo de 4 bits é então substituído pelo equivalente hexadecimal, então: 1102 = 616; 10102 = A16 ;11012 = D16 Portanto, 110101011012 = 6AD16. Conversão hexadecimal-binário A conversão inversa se faz convertendo cada dígito hexadecimal por grupos de dígitos de quatro dígitos binários. exemplo 3F516 = (x) 2

3 F 5 0011 1111 0101 Portanto, 3F516 = 11111101012


Conversão de Números em uma base b qualquer para a base 10 Para se determinar o equivalente decimal de um número escrito numa base b usamos:

Nb = an.bn + .... + a2.b2 + a1.b1 + a0.b0 + a-1.b-1 + a-2.b-2 + .... + a-n.b-n

Exemplos: 1011012 =4510 1011012 = 1x25 + 0x24 + 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 = 4510 4F516 = 126910 4x162 + 15x161 + 5x160 = 126910 Conversão de Números da Base 10 para uma Base b qualquer Parte inteira O número decimal deverá ser dividido sucessivas vezes pela base, sendo que o resto de cada divisão será igual a um algarismo do novo número. O exemplo mostra a conversão do número 3010 para a base 2:


Parte fracionária O processo para a parte fracionária consiste de uma série de multiplicações sucessivas do número fracionário a ser convertido pela base. A parte inteira do resultado da primeira multiplicação será o valor da primeira casa fracionária e a parte fracionária será de novo multiplicada pela base e assim por diante, até o resultado ser igual a zero ou até encontrarmos o número de casas decimais desejado. Por exemplo, vamos converter 0,6510 para a base 2, com 5 e com 10 algarismos fracionários:

Aproximação com 5 dígitos Aproximação com 10 dígitos

0,65x2=1,3 0,3 x2=0,6 0,6 x2=1,2 0,2 x2=0,4 0,4 x2=0,8

0,8 x2=1,6 0,6 x2=1,2 0,2 x2=0,4 0,4 x2=0,8 0,8 x2=1,6

Número equivalente 0,65=0,10100

Número equivalente 0,65=0,1010011001

Conversão de Números entre duas Bases quaisquer Para converter números de uma base b para uma outra base bx qualquer , o processo prático utilizado é converter da base b dada para a base 10 e depois da base 10 para a base bx pedida. Exercícios de sistemas de numeração 1a. Converta os números decimais dos itens a seguir para o sistema. binário. a) (217) 10 b) (195,25) 10 c) (100) 10 d) (22,75) 10

2a. Converta os números dos itens a seguir para o sistema indicado. a) (4C0A) 16 (X) 2 = b) (1011100101) 2 (X) 16= c) (1011100101) 2 (X) 8= d) (702) 8 (X) 2=


e) (F00A) 16 (X) 2 = f) (10111101) 2 (X) 16= g) (1000000101) 2 (X) 8= h) (132) 8 (X) 2=

3a. Converta os números dos itens a seguir para o sistema decimal. a) (1000100101,11) 2 b) (256) 8 c) (AE01) 16 d) (1000100101) 2 e) (256) 8 f) (ABC) 16

4a. Elabore um sistema numérico de base 4 e apresente os 20 primeiros números equivalentes ao sistema decimal . Os algarismos do sistema de base 4 são:

Equivalentes ao sistema decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Converta os números dos itens a seguir para o sistema de base 4. a) (205) 10 b) (ADF) 16


Funções e portas lógicas Por volta de 1850, o matemático inglês George Boole propôs

através da publicação do trabalho intitulado “An investigation of the laws of thought”, numa notação numérica e algébrica, aquilo que até aquele momento somente era tratado de modo discursivo: a lógica. Somente em 1938, essa álgebra passou a ser utilizada na análise de circuitos com relês, na área de telefonia por Claude Shannon.

A álgebra de Boole é caracterizada por uma estrutura muito simples, que consiste em atribuir o valor 1 a uma proposição verdadeira e o valor 0, a uma proposição falsa.

Aplicando-se esse conceito a um circuito elétrico por exemplo, pode-se associar:

Nível lógico 0 Nível lógico 1

aberto fechado sem tensão com tensão desligado ligado apagado aceso

Quando ocorre uma associação desse tipo, com a tensão ou corrente associada ao valor 1, maior que a associada ao valor zero, dizemos que a lógica é positiva. Em caso contrário, temos lógica negativa. Variáveis e funções booleanas

Qualquer sistema digital é definido por uma série de variáveis e funções booleanas, que correspondem as suas saídas e entradas. Essas variáveis são indicadas utilizando-se letras do alfabeto (A,B,C.....) e admitem somente os dois valores binários 0 e 1.

As variáveis que correspondem às saídas do sistema são uma conseqüência ou função das entradas.

Funções booleanas E,OU e NÃO

Todas as complexas operações de um sistema digital acabam sendo combinações de simples operações aritméticas e lógicas básicas, como soma, complementação, comparação, movimentação de bits. Estas


operações são fisicamente realizadas por circuitos eletrônicos, chamados circuitos lógicos, constituídos de portas lógicas e outros dispositivos. As três funções básicas conhecidas como E(AND),OR(OU) e NÃO(NOT) serão apresentadas a seguir através da análise de um circuito elétrico bastante simples.

Função lógica E(AND)

No circuito a lâmpada acende quando a chave A e a chave B estiverem fechadas.

Tabela de combinações ou tabela verdade

Uma tabela de combinações ou tabela verdade é um quadro onde todas as situações possíveis são analisadas. O número de combinações possíveis é igual a onde é igual ao número de entradas(variáveis de entrada) do sistema analisado.

n2 n

Considerando o circuito analisado, suponha as seguintes situações possíveis, associadas aos valores binários 0 e 1.

Chave aberta = 0 lâmpada apagada = 0 Chave fechada = 1 lâmpada acesa = 1


A tabela verdade do circuito elétrico mostrado, fica apresentada da seguinte maneira:

Chave A Chave B lâmpada aberta aberta apagada aberta fechada apagada

fechada aberta apagada fechada fechada acesa

A tabela verdade montada com valores binários representa genericamente a função E associada às situações possíveis do sistema em estudo.

A B S 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Dizemos que a função E(AND) realiza a operação de

multiplicação lógica das variáveis de entrada. A expressão algébrica para a função, considerando duas variáveis A e B é escrita como: S=(A.B). O operador lógico representado pelo símbolo (.) deve ser lido como (e).

Porta lógica E

A porta lógica é o sistema físico que realiza a operação dada pela função lógica, sendo representada por um bloco. A seguir podemos ver o símbolo utilizado para a representação da porta lógica E e sua expressão algébrica.

função lógica porta lógica expressão algébrica

E(AND)

BAS .=


Função OU(OR)

No circuito apresentado abaixo, a lâmpada acende quando a chave A ou a chave B ou ambas estiverem fechadas.

A tabela verdade para o circuito da porta lógica OU é mostrada a seguir:

A B S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Dizemos que a função OU(OR) realiza a operação de adição lógica das variáveis de entrada. A expressão algébrica para a função, considerando duas variáveis A e B é escrita como: S=(A+B). O operador lógico representado pelo símbolo (+) deve ser lido como (ou).


OU(OR)

BAS +=

Função NOT(NÃO)

No circuito apresentado a abaixo a lâmpada acende somente quando a chave A estiver desligada.


A tabela verdade para o circuito da porta lógica OU é mostrada a seguir:

A S 0 1 1 0

Dizemos que a função NÃO(NOT) realiza a operação de inversão ou complementação lógica da variável de entrada. A expressão algébrica para a função, considerando a variável A é escrita como: =S A . O operador lógico representado pelo símbolo ( ) deve ser lido como (NÃO),ou simplesmente complemento.

função lógica porta lógica expressão algébrica Não (NOT)

AS =

Baseado na álgebra de Boole as portas lógicas executam funções

básicas que podem ser combinadas. A seguir são mostradas outras portas lógicas obtidas pela combinação das portas lógicas básicas.


Não E(NAND)

( )BAS .=

A função NÃO E(NAND) corresponde ao complemento da

função E, cuja tabela verdade é apresentada a seguir:


A B S 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

A função lógica NÃO E é também obtida através do circuito equivalente apresentado a seguir:

função lógica porta lógica expressão algébrica Não OU(NOR)

( )BAS +=

A função NÃO E(NAND) corresponde ao complemento da função E, cuja tabela verdade é apresentada a seguir:

A B S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

A função lógica NÃO OU é também obtida através do circuito equivalente apresentado a seguir:

Observação: As funções e portas lógicas E,OU,NÃO-OU e NÃO-E são generalizadas para n entradas.


De acordo com a ANSI/IEEE std 91-1984 e IEC Publication 617-12 os símbolos para as portas lógicas estão apresentados na tabela abaixo:

Função lógica Símbolo da porta lógica Expressão algébrica

E(AND) A

BS&

BAS .=

OU(OR)

A

BS≥1

BAS +=

NÃO(NOT) A S1

AS =

NÃO E(NAND)

A

BS&

( )BAS .=

NÃO OU(NOR)

A

BS≥1

( )BAS +=

OU EXCLUSIVO(XOR)

A

BS=1

BAS ⊕=

COINCIDÊNCIA(XNOR)

BAS ⊕=


Circuitos lógicos combinatórios

Todo circuito lógico combinatório, por mais complexo que seja é o resultado da interligação de blocos que executam funções booleanas. Na figura a seguir é mostrado um circuito lógico e a expressão lógica que executa.

Podemos fazer a análise desse circuito escrevendo expressões

parciais na saída de cada porta lógica, como se mostra no exemplo:

Então,substituindo-se os termos na expressão se obtém:

Portanto,

Montando uma tabela da verdade para o circuito, podemos conhecer o resultado em todos os pontos.


A B C D 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0

Circuitos lógicos obtidos de expressões booleanas

Podemos obter um circuito lógico a partir de uma expressão booleana qualquer. O procedimento para resolução do problema consiste em se identificar as portas lógicas a partir da funções básicas que aparecem na expressão e desenhá-las com as respectivas ligações a partir das variáveis de entrada. Deve-se respeitar a hierarquia das operações para que o circuito lógico realize fielmente a expressão desejada.

Como exemplo, vamos obter o circuito lógico que gera a função lógica dada a seguir:

Primeiro identificamos na expressão as operações prioritárias:

Depois utilizamos os blocos lógicos que já conhecemos que

realizam essas operações:


Em seguida, completamos o circuito,respeitando sempre a

hierarquia das operações.

Por fim, o circuito lógico completo pode ser desenhado

interligando as partes anteriores.


Expressões lógicas obtidas de uma tabela verdade

Formas canônicas

A partir de uma tabela verdade podemos obter à expressão que representa o comportamento do circuito, e em seguida construir o circuito, usando as portas lógicas já estudadas. O processo básico de obtenção da expressão lógica é chamado forma canônica, que consiste na representação das condições de entrada assumindo os valores binários 0 ou 1. São portanto, duas as formas canônicas: uma representa as condições que produzem saída igual a 1 (soma de produtos), a outra representa as condições que produzirão saída 0 (produto de somas).

Soma de produtos

É obtida a partir da tabela verdade da seguinte maneira: a) um termo para cada linha da tabela verdade (que

representa uma combinação de valores de entrada) em que a saída é 1. b) cada um desses termos é formado pelo produto (função AND) das variáveis de entrada, sendo que: escreva a variável como0=X X

X

escreva a variável como c) a função booleana será encontrada, unindo-se os termos obtidos por uma função OR. exemplo:

1=X

A B C S Soma de Produtos 0 0 0 0 0 0 1 1 CBA .. 0 1 0 1 CBA .. 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 CBA .. 1 1 1 0

CBACBACBAS ..... ++=


Produto de somas

É obtida a partir da tabela verdade da seguinte maneira: a) um termo para cada linha da tabela verdade (que representa uma combinação de valores de entrada) em que a saída é 0, b) cada um desses termos é formado pela soma lógica (função OR) das variáveis de entrada, sendo que: escreva a variável como 0=X X escreva a variável como 1=X X c) a função booleana será encontrada, unindo-se os termos obtidos (ou maxitermos) por uma função AND

exemplo:

A B C S Produto de Somas 0 0 0 0 CBA ++ 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 CBA ++ 1 0 0 0 CBA ++ 1 0 1 0 CBA ++ 1 1 0 1 1 1 1 0 CBA ++

)).().().().(( CBACBACBACBACBAS ++++++++++=

As duas formas canônicas podem ser obtidas da mesma tabela , resultando em expressões lógicas diferentes, porém equivalentes.

CBACBACBAS ..... ++=

e

)).().().().(( CBACBACBACBACBAS ++++++++++=



Funções e portas lógicas OU Exclusivo (XOR) e Coincidência (XNOR)

A função ou exclusivo é aquela que apresenta a seguinte tabela verdade:

A B S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

A partir da tabela e usando soma de produtos, obtemos a função lógica:

BABAS ⋅+⋅= Essa função é denominada ou exclusivo e pode ser

representada, escrevendo-se a função utilizando o operador lógico . ⊕BAS ⊕=

A função lógica OU Exclusivo é gerada pela porta lógica que tem seu símbolo representado a seguir:

A função coincidência apresenta a seguinte tabela verdade:

A B S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

A partir da tabela e usando soma de produtos, obtemos a função lógica: BABAS ⋅+⋅=

Essa função é denominada coincidência (XNOR) e é o complemento da função Ou exclusivo

BAS ⊕= A função lógica Coincidência é gerada pela porta lógica que

tem seu símbolo representado a seguir:


Álgebra de BOOLE

Todo circuito lógico executa uma expressão booleana, e, por mais complexo que seja, é formado pela interligação de portas lógicas básicas que executam as funções lógicas.

Variáveis e funções booleanas

Qualquer sistema digital é definido por uma série de variáveis e

funções booleanas, que correspondem as suas saídas e entradas. Essas variáveis são indicadas utilizando-se letras do alfabeto (A,B,C.....) e admitem somente os dois valores binários 0 e 1. As variáveis que correspondem as saídas do sistema são uma conseqüência ou função das entradas.

Funções booleanas

A seguir, faremos um breve estudo da álgebra de Boole com o objetivo de fazer simplificações em expressões booleanas, isto é, reduzir o número de termos numa expressão algébrica, para que o circuito lógico obtido a partir dessa seja mais simples.

Postulados, regras e teoremas para a simplificação de expressões booleanas

Postulado da Inversão ou complementação

Se então 0=A 1=A Se então 1=A 0=A

Portanto: AA =

Postulado da Adição:

1

110

=+

=+=+=+

AA

AAAA

AA

Postulado a Multiplicação:

AAAAA

AAA

=⋅=⋅

=⋅=⋅

0

100

Propriedade Comutativa

Adição: Multiplicação: ABBA +=+ ABBA .. =Propriedade Associativa

Adição: Multiplicação: ( )()( CBACBA ++=++ )..().. CBACBA =

Propriedade Distributiva: CABACBA ..).( +=+

Propriedade Distributiva e absorção : CBACABA .)).(( +=++

Teoremas de De Morgan BABA ⋅=+ BABA +=⋅

Teorema da absorção ABAA =⋅+ BABAA +=⋅+ BABAA +=+ .

Utilizando os conceitos da Álgebra de Boole podemos

simplificar expressões. Lembrando que a cada circuito corresponde uma expressão, veremos que simplificação de expressões implicam simplificações de circuitos.

Para efetuarmos essas simplificações basta colocarmos em prática os postulados, identidades, teoremas e propriedades até aqui estudados. exemplo:

1 - evidenciamos o termo A:


2 - teorema de De Morgan

3 - Chamemos de Y, logo CB ⋅ CB.=Y ,teremos então: como ).( YYAS += , logo: 1.AS = portanto: ABACACBAS =++= .... Circuito Antes da Simplificação:

Circuito depois da simplificação:

Notamos que o circuito pode ser substituído por um fio.


Exercícios resolvidos de simplificação: 1)

2)

3)

4)


5)

6)

7)

8)


Universalidade das Portas NAND e NOR

AND COM NAND OU COM NOR

Qualquer expressão lógica pode ser implementada usando apenas portas NAND ou portas NOR. Isso porque podemos representar portas OR, AND ou NOT usando apenas portas NAND ou NOR. Inversor com NAND OU NOR

OR COM NAND OU NOR


apostila de circuitos logicos2004

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