apostila de circuitos

UNERJ – Centro Universitário de Jaraguá do Sul Departamento de Engenharia Elétrica

Circuitos Elétricos

Jaraguá do Sul

João Marcio Buttendorff 2

Sumário

1 INTRODUÇÃO 6 2 VARIÁVEIS ELÉTRICAS 6

2.1 Sistema Internacional de Unidades 6 2.2 Corrente 7 2.3 Tensão 7 2.4 Potência 7 2.5 Energia 7 2.6 Notação 8

3 CONCEITOS BÁSICOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 8 3.1 Definição: 8 3.2 Fonte de Tensão Independente 8 3.3 Fonte de Corrente Independente 8 3.4 Fontes Dependente de Tensão e Corrente 9 3.5 Elementos Ativos no Circuito 9 3.6 Elementos Passivos no Circuito 10

4 RESISTÊNCIA ELÉTRICA (LEI DE OHM) 10 4.1 Características dos Resistores 11

4.1.1 Tipos de Resistores 12 4.1.2 Código de Cores 12 4.1.3 Interpretação do Código de Cores 12 4.1.4 Casos Especiais de Código de Cores 13

4.2 Exercícios 14 5 LEIS DE KIRCHHOFF 14

5.1 Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK) 15 5.2 Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK) 15 5.3 Exercícios 17

6 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES E RESISTÊNCIA EQUIVALENTE 20 6.1 Associação em Série de Resistores 20 6.2 Associação em Paralelo de Resistores 21 6.3 Associação Mista de Resistores 22 6.4 Resistência Equivalente de Circuitos Contendo Fontes Independentes 23 6.5 Resistência Equivalente de Circuitos Contendo Fontes Dependentes e Independentes 24 6.6 Transformação Estrela-Triângulo 25

6.6.1 Conversão de Triângulo para Estrela 25 6.6.2 Conversão de Estrela para Triângulo 25

6.7 Exercícios 26 7 DIVISOR DE TENSÃO E CORRENTE 29

7.1 Divisor de Tensão 29 7.2 Divisor de Corrente 30 7.3 Exercícios 32

8 MÉTODO DE ANÁLISE DE MALHAS 34 8.1 Definição das Malhas e Sentidos de Percurso 34 8.2 Aplicação da LTK para as Malhas 34 8.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos 34 8.4 Solução do Sistema de Equações 35 8.5 Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos 35


8.6 Exemplo de Aplicação 35 8.6.1 Definição das Malhas e Sentidos de Percurso 36 8.6.2 Aplicação de LTK para as Malhas 36 8.6.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos 36 8.6.4 Solução do Sistema de Equações 37 8.6.5 Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos 37

8.7 Análise de Malhas com Fontes de Corrente 38 8.8 Exemplo de Aplicação 39 8.9 Exercícios 41

9 MÉTODO DE ANÁLISE NODAL 45 9.1 Seleção do Nó de Referência 45 9.2 Aplicação da LCK aos Nós 45 9.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos 45 9.4 Solução do Sistema de Equações 46 9.5 Obtenção das Correntes e Tensões de Ramos 46 9.6 Exemplo de Aplicação 46

9.6.1 Seleção do Nó de Referência 47 9.7 Aplicação da LCK aos Nós 47

9.7.1 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos 47 9.7.2 Solução do Sistema de Equações 47 9.7.3 Obtenção das Correntes e Tensões de Ramos 48

9.8 Análise Nodal com Fontes de Tensão 48 9.9 Exercícios 51

10 SUPERPOSIÇÃO 54 10.1 Exemplo de Aplicação 54 10.2 Exercícios 55

11 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN E NORTON 57 11.1 Introdução 57 11.2 Circuito Equivalente de Thévenin 57 11.3 Circuito Equivalente de Norton 58 11.4 Exemplo de Aplicação 59 11.5 Exercícios 60

12 Indutores e Capacitores 63 12.1 Indutor 63 12.2 Associação de Indutores 65 12.3 Capacitor 67 12.4 Associação de Capacitores 69 12.5 Exercícios 71

13 ANÁLISE DE CIRCUITOS SENOIDAIS 72 13.1 Fontes Senoidais 72 13.2 Exemplo de Aplicação 74 13.3 Exercícios 75

14 FASORES 76 14.1 O Conjugado de um Número Complexo 77 14.2 Soma de Números Complexos 78 14.3 Subtração de Números Complexos 78 14.4 Multiplicação de Números Complexos 78 14.5 Divisão de Números Complexos 79 14.6 Exercícios 79


15 RESPOSTAS DOS COMPONENTES PASSIVOS A FONTES SENOIDAIS 80 15.1 Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito Resistivo 80 15.2 Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito Puramente Indutivo 81 15.3 Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito Puramente Capacitivo 83 15.4 Impedância e Reatância 84 15.5 Exemplo de Aplicação 85 15.6 Exercícios 86

16 ASSOCIAÇÃO DE IMPEDÂNCIAS 87 16.1 Associação em Série de Impedâncias 87 16.2 Associação em Paralelo de Impedâncias 88 16.3 Transformação Estrela-Triângulo 89

16.3.1 Conversão de Triângulo para Estrela 89 16.3.2 Conversão de Estrela para Triângulo 89

16.4 Exemplo de Aplicação 90 16.5 Exercícios 92

17 MÉTODO DE ANÁLISE DE MALHAS NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA 95 17.1 Exemplo de Aplicação 95 17.2 Exercícios 96

18 MÉTODO DAS TENSÕES DE NÓ NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA 99 18.1 Exemplo de Aplicação 99 18.2 Exercícios 100

19 TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO 102 19.1 Exemplo de Aplicação 1 102 19.2 Exemplo de Aplicação 2 104 19.3 Exercícios 106

20 TRANSFORMAÇÃO DE FONTES 108 21 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN E NORTON NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA 108

21.1 Exemplo de Aplicação 109 21.2 Exercícios 110

22 RESSONÂNCIA 112 22.1 Ressonância Série 112 22.2 Ressonância Paralela 113 22.3 Exemplo de Aplicação 114 22.4 Exercícios 115

23 POTÊNCIAS E FATOR DE POTÊNCIA 117 23.1 Potência Instantânea 117 23.2 Potência Complexa e Triângulo das Potências 122 23.3 Correção do Fator de Potência 124 23.4 Exemplo de Aplicação 124 23.5 Exercícios 127

24 CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS 128 24.1 Tensões Trifásicas Equilibradas 129 24.2 Fonte de Tensão Trifásica 130 24.3 Análise do Circuito Ligado em Y-Y 131 24.4 Correntes de Linha em um Circuito Ligado em Triângulo (∆) 133 24.5 Potência em Carga Trifásica Equilibrada 134 24.6 Exemplo de Aplicação 135


24.7 Exercícios 136


1 INTRODUÇÃO

Esta apostila foi escrita, baseada na literatura atual, a fim de auxiliar nas aulas de circuitos elétricos, apresentando um resumo dos principais tópicos abordados nesta cadeira.

Dá-se especial ênfase às leis básicas, teoremas e técnicas clássicas. No próximo item são apresentados conceitos básicos indispensáveis para a

assimilação dos conhecimentos que posteriormente serão apresentados.

2 VARIÁVEIS ELÉTRICAS

2.1 Sistema Internacional de Unidades

O Sistema Internacional de Unidades, ou SI, é adotado pelas principais sociedades de engenharia e pela maioria dos engenheiros do mundo inteiro. Neste sistema existem seis unidades principais, das quais as unidades para todas as outras quantidades físicas podem ser derivadas. A tabela 2.1 apresenta as seis unidades, seus símbolos, e a quantidade física que elas representam.

Tabela 2.1 – Unidades Básicas no SI.

Grandeza Unidade Símbolo Comprimento metro m

Massa quilograma kg Tempo segundo s

Corrente Elétrica ampère A Temperatura kelvin k

Intensidade Luminosa candela cd

As unidades derivadas comumente utilizadas em teoria de circuitos elétricos são apresentadas na tabela 2.2.

Grandeza Unidade Símbolo Carga Elétrica coulomb C

Potencial Elétrico volt V Resistência ohm

Condutância siemens S Indutância henry H

Capacitância farad F Freqüência hetz Hz

Força newton N Energia, Trabalho joule J

Potência watt W Fluxo Magnético weber Wb

Densidade de Fluxo Magnético

tesla T


2.2 Corrente

A corrente em um componente do circuito é definida como a quantidade de carga elétrica que atravessa seus terminais por unidade de tempo. A unidade física utilizada é o ampère, simbolizado por A.

dqi

dt= (2.1)

i = ampère (A), q = coulomb (C), t = segundos (s). (O elétron possui carga de 191,602.10− C).

2.3 Tensão

A tensão (diferença de potencial) entre dois pontos de um circuito é definida como a variação do trabalho realizado por unidade de carga para movimentar esta carga entre estes dois pontos. A unidade utilizada é o volt, simbolizado por V.

dwv

dq= (2.2)

v = volt (V), w = energia (J), q = coulomb (C).

2.4 Potência

Potência é a variação da energia (liberada ou absorvida) em função da variação do tempo. Nos circuitos elétricos ela é definida pelo produto entre tensão e corrente em dois terminais. A unidade utilizada é o watt (ou joule/s), simbolizado por W.

. .dw dq dw

p v idq dt dt

= = = (2.3)

2.5 Energia

Energia é definida como a integral da potência ao longo do tempo. A unidade utilizada é o joule. Outra unidade bastante utilizada na prática é o watt-segundo (W.s) e demais unidades dela derivadas, tais como o kW.hora.

0 0

. . .t t

w p dt v i dt= = (2.4)


2.6 Notação

É comum em análise de circuitos distinguir-se entre quantidades constantes e variáveis com o tempo através da utilização de letras maiúsculas e minúsculas. Por exemplo, uma corrente constante no tempo, ou contínua, de dez ampères deverá ser escrita I=10A, enquanto uma corrente senoidal de mesma amplitude deverá ser escrita i=10A.

3 CONCEITOS BÁSICOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS

3.1 Definição: Um circuito elétrico pode ser definido como uma interligação dos seguintes componentes básicos:

– Fontes de tensão dependentes ou independentes; – Fontes de corrente dependentes ou independentes; – Resistores; – Capacitores; – Indutores.

3.2 Fonte de Tensão Independente

A fonte ideal de tensão é um elemento que mantém uma tensão especificada constante entre seus terminais para qualquer que seja a corrente que a atravesse. As fontes independentes podem ser do tipo contínua ou alternada.

Uma bateria pode ser considerada como um exemplo de fonte de tensão contínua. A tensão fornecida pela concessionária de energia elétrica, por outro lado, é um exemplo de fonte de tensão alternada.

V

Tensão Contínua

V

Tensão Alternada Fig. 3-1 - Fontes de Tensão.

3.3 Fonte de Corrente Independente

Uma fonte ideal de corrente é um elemento que é atravessado por uma corrente especificada, para qualquer que seja a tensão entre seus terminais. As fontes de corrente também podem ser do tipo contínuo ou alternado.


I

Corrente Alternada

I

Corrente Contínua

+ +

Fig. 3-2 - Fontes de Corrente.

3.4 Fontes Dependente de Tensão e Corrente

São aquelas que estabelecem uma tensão ou corrente em um circuito cujo valor depende do valor da tensão ou da corrente em outro ponto do circuito. Não é possível especificar o valor de uma fonte dependente a menos que se conheça o valor da tensão ou corrente da qual ela depende. Como exemplo de fontes dependentes podem-se citar unidades geradoras, pois a tensão induzida no enrolamento do estator é função da corrente no rotor e, o transistor, onde a corrente de coletor é proporcional à corrente de base.

+ I=b.IxV=a.Vx _

Fonte de CorrenteFonte de TensãoDependente Dependente

Fig. 3-3 - Fontes Dependentes.

3.5 Elementos Ativos no Circuito

São fontes de tensão e corrente capazes de fornecer energia elétrica para os demais componentes do circuito.

Em componentes ativos, deve-se definir se a potência está sendo fornecida ou absorvida pelo mesmo. Se a corrente estiver entrando no terminal positivo da fonte, diz-se que a fonte está absorvendo energia, resultando em uma potência negativa. Para o caso em que a corrente estiver saindo do terminal positivo, diz-se que a fonte está fornecendo potência, ou seja, a potência é positiva.

V

I

V

I

Fornecendo AbsorvendoPotência PotênciaP=V.I P=-(V.I)

Fig. 3-4 - Convenção para fontes.


3.6 Elementos Passivos no Circuito

São dispositivos capazes de absorver ou armazenar a energia elétrica fornecida pelos elementos ativos (fontes). Os resistores, indutores e capacitores são elementos passivos.

Em componentes passivos, a corrente entra pelo lado de maior potencial (positivo) e sai do mesmo pelo lado de menor potencial.

+ VC -

C

+ VL -

L

+ VR -

R

I

I

I

Fig. 3-5 - Convenção para elementos passivos.

4 RESISTÊNCIA ELÉTRICA (LEI DE OHM)

Resistência é a propriedade dos materiais de se opor à passagem de corrente elétrica, mais precisamente, ao movimento de cargas elétricas. O elemento ideal usado como modelo para este comportamento é o resistor. A Fig. 4-1 mostra o símbolo do resistor. A letra R indica a resistência do resistor.

R

Fig. 4-1 - Símbolo do resistor.

A Lei de Ohm é uma homenagem a Georg Simon Ohm, um físico alemão que a

formulou pela primeira vez no início do século XIX. A lei de Ohm é a relação algébrica entre tensão e corrente em um resistor e é medida em ohms no sistema internacional (SI). O símbolo de ohm é a letra grega Omega ( ) . A equação (4.1) descreve esta lei.

.V R I (4.1)

Onde: V = Tensão em volts (V); I = Corrente em ampères (A); R = Resistência em ohms ( ) . A potência dissipada por um resistor consiste em calcular o produto da tensão entre

os terminais do resistor pela corrente que o atravessa. A unidade da potência é watts (W).

.P V I (4.2)

Substituindo-se a equação (4.1) na (4.2) pode-se obter a equação da potência em função da corrente e da resistência e a potência em função da tensão e da resistência.


2.P I R (4.3)

2V

PR

(4.4)

O recíproco da resistência é chamando de condutância, representado pela letra G e medido em Siemens (S). Assim:

1G

R= (4.5)

Exemplos 2.1: Calcule nos circuitos da Fig. 4-2 os valores das tensões nos resistores e as potências

dissipadas nos mesmos.

8R 1A 20R1A

(A) (B) Fig. 4-2 – Exemplos.

Aplicando-se a Lei de Ohm aos circuitos, obtém-se:

.

8.1 8RA

RA

V R I

V V

.

20.1 20RB

RB

V R I

V V

(4.6)

.

8.1 8RA RA

RA

P V I

P W

.

20.1 20RB RB

RB

P V I

P W

(4.7)

4.1 Características dos Resistores

Em geral os fabricantes de resistores fornece três parâmetros que caracterizam os mesmos:

• Resistência ôhmica; • Percentual de tolerância; • Potência.

Resistência Ôhmica – O valor específico da resistência do componente é indicada numericamente ou por código de cores. Os resistores são fabricados em valores padronizados. Os valores comerciais no Brasil são múltiplos de dez de:

1 – 1,2 – 1,5 – 1,8 – 2,2 – 2,7 – 3,3 – 3,9 – 4,7 – 5,6 – 6,8 – 8,2. Percentual de Tolerância – Os resistores estão sujeitos a diferenças em seus

valores decorrentes aos processos de fabricação. Estas diferenças se situam em 5 faixas de percentual: ± 20%, ± 10%, ± 5%, ± 2%, ± 1% de tolerância.


Os três primeiros são considerados resistores comuns, enquanto os demais são chamados resistores de precisão. Deve-se notar que a tolerância pode ser tanto acima como abaixo do valor padrão do resistor. Potência – A dissipação de potência do resistor indica a capacidade de suportar calor sem se danificar e sem que o valor se altere. O calor é produzido pela potência desenvolvida no resistor e pela capacidade do mesmo de transferir essa potência para as redondezas.

4.1.1 Tipos de Resistores

Resistores de Filme de Carbono: Constituído por um corpo cilíndrico de cerâmica que serve como base para uma fina camada espiral de material resistivo (filme de carbono ou grafite em pó) que determina seu valor ôhmico. O corpo do resistor pronto recebe um revestimento que dá acabamento na fabricação e isola o filme de carbono da ação da umidade. As principais desvantagens dos resistores de carbono são o baixo percentual de precisão e a baixa dissipação de potência. Em geral apresentam tolerância de 5 e 10%, apesar de existir também 1 e 2%. Resistores de Carvão: São constituídos por um corpo de porcelana. No interior da porcelana são comprimidas partículas de carvão que definem a resistência do componente. Neste tipo de resistor os valores das resistências não são precisos. Resistores de Fio: Constituem-se de um corpo de porcelana que serva como base. Sobre o corpo é enrolado um fio especial (por exemplo, níquel – cromo) cujo comprimento e seção determinam o valor da resistência. Nos resistores de fio obtém-se maior precisão, e maior dissipação de potência. 4.1.2 Código de Cores O valor ôhmico dos resistores e sua tolerância podem ser impressos no corpo do componente através de anéis coloridos. A cor de cada anel e a sua posição com relação aos demais anéis, corretamente interpretada fornece dados sobre o valor do componente. A disposição em forma de anéis permite a leitura do valor em qualquer posição do componente.

4.1.3 Interpretação do Código de Cores

O código se compõe de três anéis usados para representar o valor ôhmico e um para representar o percentual de tolerância. Para uma correta leitura, os anéis devem ser lidos na seqüência correta, sendo que o primeiro é aquele que estiver mais próximo da extremidade. A Fig. 4-3 apresenta um resistor codificado por cores.

1 2 3 4

1 - Unidade;2 - Dezena;3 - Número de zeros;4 - Percentual de tolerância.º º º º

ºº

ºº

Fig. 4-3 - Resistor codificado por cores.


Cada cor representa um número, como segue:

Valor Tolerância Preto 0 Marrom 1%

Marrom 1 Vermelho 2% Vermelho 2 Dourado 5% Laranja 3 Prata 10% Amarelo 4 Sem a quarta faixa 20%

Verde 5 Azul 6

Violeta 7 Cinza 8

Branco 9 Tabela 1 – Código de cores.

O código é interpretado da seguinte forma:

• Os dois primeiros anéis são números; • O terceiro anel é o fator multiplicativo por dez, ou seja, “n” números de

zeros que virão após os dois primeiros números; • O quarto anel é a tolerância do valor da resistência.

Exemplo: 1º anel – amarelo = 4 2º anel – violeta = 7 3º anel – vermelho = 2 zeros (00) 4º anel – dourado = 5% de tolerância. Resistor de 4700 Ohms ± 5%, 4,7k Ohms ± 5% ou 4k7 Ohms ± 5%.

4.1.4 Casos Especiais de Código de Cores Resistores de 1 a 10 Ohms: Para representar resistores de 1 a 10 Ohms, o código estabelece o uso da cor dourada no terceiro anel. Esta cor no terceiro anel indica a existência de uma vírgula entre os dois primeiros números ou também pode ser considerado como um fator de multiplicação de 0,1. Exemplo: Marrom, cinza, dourado, dourado = 18 x 0,1 = 1,8 Ohms ± 5%. Resistores abaixo de 1 Ohm: Para representar resistores abaixo de 1 Ohm, o código determina o uso do prateado no terceiro anel. Esta cor no terceiro anel indica a existência de um zero antes dos dois primeiros números ou um fator de multiplicação de 0,01. Exemplo: Marrom, cinza, prata, dourado= 18 x 0,01 = 0,18 Ohms ± 5%. Resistores de cinco anéis: Em algumas aplicações são necessários resistores com valores mais precisos, que se situam entre os valores padronizados. Nestes resistores, os três primeiros anéis são dígitos significativos, o quarto anel representa o número de zeros (fator multiplicativo) e o quinto anel é a tolerância. Exemplo: Azul, cinza, vermelho, laranja, marrom = 682.000 Ohms ± 1%.


4.2 Exercícios 1-) Determine a corrente e a potência dissipada nos resistores.

12V 1k 40V 120R

(A) (B) Respostas: (A) I=12mA e P=144mW; (B) I=333,33mA e P=13,33W.

2-) Determine a tensão das fontes.

2AV 50R

10AV R P=200W

(A) (B) Respostas: (A) V=100V; (B) V=20V.

3-) Determine a tensão sobre os resistores e a potência dissipada pelos mesmo.

3A 100R 100mA 2,2k

(A) (B) Respostas: (A) V=300V e P=900W; (B) V=220V e P=22W.

5 LEIS DE KIRCHHOFF Os comportamentos dos circuitos elétricos são governados por duas leis básicas

chamadas Leis de Kirchhoff. Elas estabelecem relações entre as tensões e correntes entre os diversos elementos dos circuitos, servindo assim como base para o equacionamento matemático dos circuitos elétricos. Antes do enunciado das referidas Leis, torna-se, entretanto, necessário à introdução de algumas definições básicas:

– Nó: É um ponto de junção de dois ou mais componentes básicos de um circuito (ramos). Na Fig. 5-1 está representado um circuito simples composto de dois nós (nós 1 e 2);

– Ramo: É a representação de um único componente conectado entre dois nós, tal como um resistor ou uma fonte de tensão. Na Fig. 5-1, o componente dois (R2) conectado entre os nós 1 e 2 é um ramo do circuito.

– Malha: É qualquer percurso de um circuito que permita, partindo de um nó escolhido arbitrariamente, voltar ao ponto de partida sem passar mais de uma vez pelo mesmo nó.


R1 R21k

Vcc

1

2

I1 I2

I3

Fig. 5-1 - Circuito com dois nós.

5.1 Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK)

A lei das correntes de Kirchhoff estabelece que a soma das correntes que chegam a um nó é igual à soma das correntes que saem do mesmo nó. Considerando-se as correntes que chegam a um nó como positivas e as que saem como negativas, a Lei das Correntes de Kirchhoff estabelece que a soma algébrica das correntes incidindo em um nó deve ser nula.

Baseado no enunciado da LCK e considerando-se o circuito mostrado na Fig. 5-1, pode-se escrever a seguinte equação para o nó marcado como 1:

1 2 3 0I I I 1 2 3I I I (5.1)

5.2 Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK)

A lei das tensões de Kirchhoff estabelece que a soma algébrica das tensões em qualquer malha de um circuito é sempre nula.

+ VR1 -

Vcc R3+

R1 R2

+ VR2 -

VR2-

I

Fig. 5-2 - Circuito com uma malha.

Baseado no enunciado da LTK e considerando-se o circuito da Fig. 5-2, pode-se

escrever a seguinte equação:

1 2 3 0R R RVcc V V V 1 2 3R R RVcc V V V (5.2)

Exemplo 3.1: Use as lei de Kirchhoff e a lei de Ohm para determinar o valor da corrente I1 no circuito da Fig. 5-3.


R2=50R 6A120V

R1=10R

I1

Fig. 5-3 - Exemplo 3.1.

Antes de iniciar a resolução do circuito, deve-se associar uma corrente ao ramo formado pelo resistor R2. Como se têm duas correntes entrando no nó superior, formado por I1 e pela fonte de corrente (6A), será considerado que a corrente em R2 está saindo do nó. Também deve-se acrescentar tensões desconhecidas aos resistores. O circuito passa a ser o apresentado na Fig. 5-4.

6A120V

VR1

I1I2

VR2+

+ _

_

Nó 1

Nó 2 Fig. 5-4 - Circuito resultante.

Aplicando a LCK ao nó 1 e considerando que as correntes entrando no nó são positivas e as que saem são negativas, obtém-se:

1 26 0I I 1 26I I (5.3)

Aplicando a LTK a malha da esquerda e considerando o caminha percorrido no sentido horário, obtém-se:

1 2120 0R RV V 1 2 120R RV V (5.4)

Substituindo-se a lei de Ohm na equação (5.4).

1 1 2 2

1 2

. . 120

10. 50. 120

R I R I

I I

(5.5)

Substituindo-se a equação (5.3) na (5.5) e resolvendo-se as equações, obtém-se:

1

2

3

3

I A

I A

(5.6)

O resultado negativo de I1 representa que o sentido real da corrente é o contrário do sentido apresentado na Fig. 5-3. Outro detalhe importante neste exemplo consiste no fato que a corrente esta entrando no terminal positivo da fonte de tensão, o que resulta que a mesma está absorvendo potência ao invés de estar fornecendo potência para o circuito.


Exemplo 3.2: Calcule no circuito da Fig. 5-5 as tensões sobre os resistores, a corrente da malha e a potência fornecida pela fonte de tensão.

3R

+ VR1 -

2RVR3

7R

+ VR2 -

24V+

-I

Fig. 5-5 - Exemplo 3.2.

Aplicando-se a LTK ao circuito, obtém-se:

1 2 3

1 2 3

24 0

24R R R

R R R

V V V

V V V

(5.7)

Substituindo a Lei de Ohm na equação (5.7) e resolvendo-se a equação, obtém-se a corrente do mesmo.

1 2 3. . . 24

3. 7. 2. 242

R I R I R I

I I II A

(5.8)

Aplicando a Lei de Ohm para cada resistor do circuito, determina-se a tensão sobre os mesmos.

1 1

2 2

3 3

. 3.2 6

. 7.2 14

. 2.2 4

R

R

R

V R I V

V R I V

V R I V

(5.9)

A potência da fonte é obtida pelo produto da tensão fornecida pela mesma e pela corrente que circula por ela.

. 24.2 48P V I W (5.10)

5.3 Exercícios 1-) Calcule as grandezas desconhecidas indicadas nos circuitos abaixo.

20V V=?

1V 6V

20A2A 10A I=?

1V 2V

I

Respostas: I=8A e V=10V.


2-) Calcule a corrente e as quedas de tensão através de R1 e R2.

10R

20V

20R

50V40V

R1R2

Respostas: I=1A; VR1=10V e VR2=20V.

3-) Use a lei de Ohm e a lei de Kirchhoff para determinar o valor de R no circuito abaixo.

8R

R

120V 24R200V+

_

Resposta: 4R

4-) Calcule a corrente, as tensões nos resistores e a potência fornecida pela fonte.

VR3 2R

+ VR1 -

3R

+ VR2 -

7R

24V+

_

Respostas: I=2A, VR1=6V, VR2=14V, VR3=4V e P=48W.

5-) Para o circuito abaixo, calcule:

a) As correntes da fonte e no resistor de 80 ; b) A tensão no resistor de 90 ; c) Verifique que a potência fornecida pela fonte é igual à potência dissipada nos

resistores.

I 90R

30R

1,6A80RI

Respostas: a) I=4A, I1=2,4A; b) V=144V; c) Ptot=768W.

6-) Dado o circuito, determine:

a) O valor de Ia; b) O valor de Ib; c) O valor de Vo; d) As potências dissipadas nos resistores; e) A potência fornecida pela fonte.


80R

4R

20R50V Vo+

_

IbIa

Respostas: a) Ia=2A; b) Ib=0,5A; c) Vo=40V;

d) P4R=25W, P20R=80W e P80R=20W; e) P=125W.

7-) A corrente I0 no circuito é 4A. a) Determine a corrente I1; b) Determine as potências dissipadas nos resistores;

8R

5R

25R

70R

10R

180V

I0

I1

Respostas: a) I1=2A; b) P25R=400W, P5R=320W, P70R=280W, P10R=360W e P8R=800W.

8-) Determine no circuito abaixo a corrente I1 e a tensão V.

6k

54k+ V -

5V

1,8k1V

8VI1 30.I1

Respostas: I1=25uA e V=-2V.

9-) A corrente I1 no circuito abaixo é de 2A. Calcule:

a) A tensão Vs; b) A potência recebida pela fonte de tensão independente; c) A potência fornecida pela fonte de corrente independente; d) A potência fornecida pela fonte de corrente dependente; e) A potência total dissipada pelos dois resistores.

30R

2.I1

10R

Vs5A I1

Respostas: a-) Vs=70V; b-) P=210W; c-) P=300W; d-) P=40W; e-) P=130W.


6 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES E RESISTÊNCIA EQUIVALENTE

A análise e projeto de circuitos requerem em muitos casos a determinação da

resistência equivalente a partir de dois terminais quaisquer do circuito. Além disso, pode-se numa série de casos práticos solucionar o circuito a partir da associação dos resistores que compõem determinadas partes do circuito. Esta técnica é denominada de redução dos circuitos e será brevemente apresentada aqui, junto com as técnicas básicas de determinação da resistência equivalente.

6.1 Associação em Série de Resistores

Neste caso, todos os resistores são percorridos pela mesma corrente, sendo que o terminal final do primeiro é conectado ao início do segundo e assim por diante, conforme mostra a Fig. 6-1. O resistor equivalente é o resistor que quando conectado aos terminais da fonte possui as mesmas características elétricas que a associação série dos resistores 1 a n, sendo n o número total de resistores em série. Portanto, para a fonte conectada aos resistores, a corrente no resistor equivalente será a mesma da associação série dos n resistores.

R1 R2 R3 Rn

V

+ VR1 - + VR2 - + VR3 - + VRn -

I

Fig. 6-1 - Circuito série.

A Lei das tensões de Kirchhoff estabelece que a soma das tensões em um circuito

fechado é igual a zero. Deduz-se daí que a soma das quedas de tensões em todo o circuito da Fig. 6-1 é igual a tensão da fonte V.

1 2 3 ...R R R RnV V V V V (6.1)

Substituindo-se as quedas de tensões nos resistores pela Lei de Ohm, Obtém-se:

1 2 3. . . ... . nV I R I R I R I R (6.2)

1 2 3.( ... )nV I R R R R (6.3)

A resistência vista pela fonte de alimentação é a resistência equivalente (Req) do circuito. Desta forma, tem-se:

. eqV I R (6.4)


Substituindo-se a equação (6.4) na (6.3) e dividindo-se ambos os lados da equação por I, determina-se a equação da resistência equivalente do circuito.

e 1 2 3R ...q nR R R R (6.5)

A Fig. 6-2 apresenta o circuito equivalente da Fig. 6-1.

ReqVI

Fig. 6-2 - Circuito equivalente.

6.2 Associação em Paralelo de Resistores

Na Fig. 6-3 é mostrado um circuito paralelo na qual todos os resistores estão conectados em paralelo. Desta maneira, cada um dos resistores está conectado diretamente a fonte de tensão e, portanto a tensão sobre cada resistor é igual à tensão da fonte. Por outro lado, a corrente através de cada resistor é determinada pelo valor de cada um deles.

R2

R1

Rn

V

R3

I1

I2

I3

In

I

Fig. 6-3 - Circuito paralelo.

A Lei das correntes de Kirchhoff estabelece que a soma das correntes que entram

em um nó é igual à soma das correntes que saem do nó. Assim:

1 2 3 ... nI I I I I (6.6)

A corrente que circula pela fonte de alimentação é a corrente total (I) do circuito. Desta forma, tem-se:

eq

VI

R (6.7)

Substituindo-se cada termo da equação (6.6) pela Lei de Ohm e substituindo-se a corrente total pela equação (6.7), obtém-se:


e 1 2 3

...R q n

V V V V VR R R R

(6.8)

Dividindo-se ambos os lados da equação (6.8) por V, obtém-se:

1 2 3

1 1 1 1 1...

R R R R Req n

(6.9)

1 2 3

1R

1 1 1 1...

R R R R

eq

n

(6.10)

Esta equação é usada para determinar o valor da resistência equivalente dos resistores conectados em paralelo. Deduz-se desta equação que o valor total da resistência é menor que o menor valor das resistências individuais. Para o caso particular de dois resistores em paralelo, pode-se utilizar a equação (6.11) para determinar a resistência equivalente.

1 2

1 2

.eq

R RR

R R

(6.11)

6.3 Associação Mista de Resistores

No caso de haver partes do circuito que estão conectadas em série e partes que estão conectadas em paralelo deve-se aplicar sucessivamente as equações (6.5), (6.10) e (6.11) até que se obtenha a resistência equivalente nos terminais desejados. O exemplo a seguir ilustra este procedimento.

Considere o circuito da Fig. 6-4 onde se deseja calcular a resistência equivalente a partir dos terminais a-b.

RB

RA

R1

R3

R1

R2

R1 R3

RD

R5

R2

R2

RC

R4

R1

a

a

aa

a

b

b

b

b

(A) (B)

(C) (D)

(E)

b

Fig. 6-4 - Associação mista de resistores.


Pela Fig. 6-4, os resistores R4 e R5 estão em série, podendo-se determinar a resistência equivalente RA pela equação (6.5) (vide figura A).

4 5AR R R (6.12)

O circuito possuirá agora a forma mostrado na Fig. 6-4(B), onde observa-se que os resistores RA e R3 estão conectados em paralelo, podendo ser associados utilizando-se a equação (6.11), resultando na resistência RB:

3

3

.AB

A

R RR

R R

(6.13)

Após esta operação o circuito assumirá a forma mostrada na figura (C). Os resistores RB e R2 estão agora em série e a resistência equivalente RC correspondente a estes dois é dada pela equação (6.5):

2C BR R R (6.14)

O circuito assume agora a forma mostrada na figura (D), onde os resistores RC e R1 estão em paralelo e podem ser associados pela equação (6.11), resultando na resistência equivalente do circuito a partir dos terminais a-b, a qual é denominado de RD.

1

1

.CD

C

R RR

R R

(6.15)

Deve-se salientar que a resistência equivalente está sempre relacionada a dois terminais específicos do circuito. Existe para cada par de terminais um valor de resistência equivalente diferente. Não existe, portanto, o conceito da resistência equivalente do circuito ou resistência total do circuito, mas sim uma resistência equivalente a partir de dois terminais do circuito.

6.4 Resistência Equivalente de Circuitos Contendo Fontes Independentes

Nos casos anteriores, a resistência equivalente foi determinada para um circuito (ou

parte dele) onde não existiam fontes de corrente ou tensão. Mesmo quando houver fontes independentes, pode-se determinar a resistência equivalente a partir de um par de terminais.

Neste caso a resistência equivalente será determinada anulando-se todas as fontes independentes do circuito. Para isso, as fontes de tensão serão substituídas por terminais em curto-circuito e as fontes de corrente por terminais em circuito aberto. Por exemplo, a resistência equivalente para o circuito mostrado na Fig. 6-5(A), será obtido a partir do circuito mostrado na Fig. 6-5(B), onde as fontes foram anuladas.


R3

R1

R2

R1 I

R2

Vcc

R3a

b

(A) (B)

a

b Fig. 6-5 - Resistência equivalente contendo fontes.

6.5 Resistência Equivalente de Circuitos Contendo Fontes Dependentes e Independentes

Neste caso deve-se, como no caso anterior anular as fontes independentes e,

contudo, manter as fontes dependentes no circuito, uma vez que estas dependem de tensões e correntes do circuito. Deve-se calcular a resistência equivalente aplicando-se uma fonte de tensão aos terminais onde a resistência equivalente deve ser calculada e em seguida determinar a corrente da mesma. A resistência equivalente será a relação entre a tensão aplicada e a corrente. A fonte aplicada poderá ter um valor qualquer, devendo-se optar por um valor que simplifique o calculo (1V, por exemplo). O exemplo a seguir ilustra este procedimento.

Considere o circuito apresentado na Fig. 6-6 para o qual deseja-se determinar a resistência equivalente a partir dos terminais a-b. O circuito original é mostrado na Fig. 6-6(A) e o circuito utilizado para o cálculo da resistência equivalente é mostrado na Fig. 6-6(B). Neste caso foi aplicado aos terminais a-b uma tensão de 1V.

12V

3R

4R

2Ra

b

+_5.Vx

+ Vx -

1V

2R 3R

5.Vx4R

+ Vx -

+_

a

b

(A) (B)

I

Fig. 6-6 - Circuito exemplo.

Aplicando-se a Leis das Tensões de Kirchhoff, obtém-se:

1 5. 00,1667Vx Vx

Vx V

− + + ==

(6.16)

Aplicando-se a LCK no nó formado pela fonte de tensão e pelos resistores de 2 e 4, obtém:

2 4

1 0,16670,3333

4 2

I I I

I A

Ω Ω= +

= + = (6.17)

Assim, a resistência equivalente é obtida por:


13

0,3333eqV

RI

= = = Ω (6.18)

6.6 Transformação Estrela-Triângulo

Existem muitos casos práticos em que a resistência equivalente necessita ser determinada e não é possível utilizar as regras de associação série nem as de associação em paralelo. Nestes casos pode-se simplificar o problema utilizando as regras de conversão estrela-triângulo. A conexão de resistores em estrela é mostrado na Fig. 6-7(a), ao passo que a conexão em triângulo é mostrado na Fig. 6-7(b). A conexão em estrela também é denominada de conexão Y ou ainda conexão T. Por outro lado, a conexão triângulo também é denominada de conexão delta ou ainda conexão .

R1

R3 Rb

R2

Ra

Rc1 1

2 2

3 3

4 4(a) (b)

Fig. 6-7 - Equivalência entre a conexão (a) estrela e (b) triângulo.

6.6.1 Conversão de Triângulo para Estrela

Quando o circuito original está na conexão triângulo, pode-se converter o circuito para estrela utilizando-se as seguintes relações:

1.b c

a b c

R RR

R R R=

+ + (6.19)

2.a c

a b c

R RR

R R R=

+ + (6.20)

3.a b

a b c

R RR

R R R=

+ + (6.21)

A regra para a conversão triângulo-estrela é, portanto: cada resistor do circuito em estrela é o produto dos resistores dos dois ramos adjacentes do triângulo dividido pela soma dos três resistores do triângulo. 6.6.2 Conversão de Estrela para Triângulo

Quando o circuito original está na conexão estrela, pode-se converter o circuito para triângulo utilizando-se as seguintes relações:


1 2 2 3 3 1

1

. . .a

R R R R R RR

R+ += (6.22)

1 2 2 3 3 1

2

. . .b

R R R R R RR

R+ += (6.23)

1 2 2 3 3 1

3

. . .c

R R R R R RR

R+ += (6.24)

A regra para a conversão estrela-triângulo é, portanto: cada resistor do circuito em triângulo é o produto dos resistores da estrela dois a dois dividido pelo resistor oposto da estrela.

6.7 Exercícios 1-) Calcule a tensão sobre cada resistor dos circuitos abaixo.

110V R2 10R

R3

7R

115V

1RR1

5R

2R

3R 4R

(a) (b) Respostas: (a) V1=25V; V2=50V e V3=35V

(b) V1=11,5V; V2=23V; V3=34,5V e V4=46V.

2-) Um circuito paralelo é formado por uma cafeteira elétrica (15), um torrador de pão (15) e uma panela de frituras (12) ligados às tomadas de 120V de uma cozinha. Que corrente fluirá em cada ramo do circuito e qual é a corrente total consumida por todos os eletrodomésticos? Respostas: ICaf=8A; ITor=8A; IPan=10A e Itot=26A. 3-) Determine a resistência equivalente para o circuito abaixo:

a) Como está desenhado; b) Com o resistor de 5 substituído por um curto-circuito; c) Com o resistor de 5 substituído por um circuito aberto.

4R

9R

4R

10R

3R 5R

2R 1R

4R

Respostas: a) 10eqR ; b) 9,933eqR e c) 10,2eqR .


4-) Determine a resistência equivalente para os dois circuitos abaixo.

20k12R

2R

30k 30k15k

7k

24k24R

6R

Respostas: (A) 16eqR ; (B) 6eqR k .

5-) Determine a resistência equivalente do circuito abaixo.

8R

10R

20R

5R

15R

Resposta: Req=12,162.

6-) Determine para os três circuitos abaixo:

a) A resistência equivalente; b) As potências fornecidas pelas fontes.

48R

18R

20V 6R

10R

15R

6R

15R20R

48R

20R 6R

10R

60R

18R 14R4R

16R

12R

15R

8R

10R

15R

18R

144V

10R

8R

30R6A

(A)

(B)

(C)

Respostas: (A) 10eqR e P=40W; (B) 27eqR e P=768W;

(C) 24eqR e P=864W.

7-) Determine Vo e Vg no circuito abaixo.


25A

30R

25R

60R

12R

30R Vo

50R

Vg+

_ +

_

Respostas: Vo=300V e Vg=1050V.

8-) Calcule a tensão Vx no circuito.

60k

15k1k

30V

5k

- Vx +

Resposta: Vx=1V.

9-) A corrente no resistor de 9 do circuito abaixo é 1A, como mostra a figura.

a) Calcule Vg; b) Calcule a potência dissipada no resistor de 20 .

25R

20R

10R

Vg

5R

32R 2R

4R

40R

3R 1R

9R

1A

Respostas: a) Vg=144V; b) P=28,8W.

10-) Calcule a potência dissipada pelo resistor de 3k do circuito abaixo.

5k

3k

25k

750R

15k

5k

192V

Resposta: P=300mW.


11-) Obtenha a resistência equivalente do circuito abaixo e utilize-a para encontrar a corrente I.

20R

30R

10R

120V5R

12,5R

15R

I

Respostas: Req=9,632 e I=12,458A.

7 DIVISOR DE TENSÃO E CORRENTE A solução de circuitos, ou partes dele, pode ser simplificada por meio da aplicação de técnicas conhecidas como divisor de tensão e divisor de corrente. As regras de aplicação dos divisores são obtidas a partir das regras de associação série e paralela de resistores vistas anteriormente, as quais por sua vez derivam diretamente das Leis de Kirchhoff.

7.1 Divisor de Tensão

A regra do divisor de tensão se aplica a componentes (resistores) conectados em série, como no caso do circuito mostrado na Fig. 7-1(A), e destina-se a determinar a tensão sobre cada componente individual. A resistência equivalente vista pela fonte V é mostrada na figura (B), sendo dada pela relação:

e 1 2 3 4R ...q nR R R R R (7.1)

R3

Req

Rn

+VR1-

R1 R4R2

+VR2- +VR3- +VR4- +VRn-

+VReq-

+

_

V

+

_V

(A)

(B)I

I

Fig. 7-1 - Divisão de tensão entre resistores em série.

Em um circuito em série a corrente em todos os componentes é a mesma, sendo dada pela equação:

1 2 3 4( ... )eq n

V VI

R R R R R R

(7.2)


Desta forma, a tensão sobre cada resistor será dada pelas seguintes equações:

11 1

1 2 3 4

..

( ... )Rn

R VV R I

R R R R R

(7.3)

22 2

1 2 3 4

..

( ... )Rn

R VV R I

R R R R R

(7.4)

33 3

1 2 3 4

..

( ... )Rn

R VV R I

R R R R R

(7.5)

...

1 2 3 4

..

( ... )n

Rn nn

R VV R I

R R R R R

(7.6)

As equações anteriores permitem determinar diretamente a tensão sobre cada resistor a partir da tensão aplicada à associação. A regra é: a tensão sobre cada componente é a tensão aplicada aos terminais de entrada multiplicada pela resistência e dividida pela soma das resistências dos componentes. Ao aplicar-se a regra é fundamental observar que as polaridades das tensões e sentidos das correntes sobre os componentes são conforme mostra a Fig. 7-1.

7.2 Divisor de Corrente

Analogamente ao caso de resistências em série, a regra do divisor de corrente se aplica a componentes (resistores) conectados em paralelo, como no caso do circuito mostrado na Fig. 7-2, e destina-se a determinar a corrente que circula por cada componente individual. A resistência equivalente é mostrada na figura (B), sendo dada pela relação:

1 2 3 4

1R

1 1 1 1 1...

R R R R

eq

nR

(7.7)

R3

Req

RnR1 R4R2

I I1 I2 I3 I4 In+

_

V

I+

_

V

(A)

(B) Fig. 7-2 - Divisão de corrente entre resistores em paralelo.


A tensão em todos os componentes é mesma, sendo então determinada pela equação (7.8):

e

1 2 3 4

1.R .

1 1 1 1 1...

q

n

V I I

R R R R R

(7.8)

Desta forma, a corrente em cada um dos resistores será dada pelas seguintes equações:

11 1

1 2 3 4

1.

1 1 1 1 1...

n

V II

R RR R R R R

(7.9)

22 2

1 2 3 4

1.

1 1 1 1 1...

n

V II

R RR R R R R

(7.10)

33 3

1 2 3 4

1.

1 1 1 1 1...

n

V II

R RR R R R R

(7.11)

44 4

1 2 3 4

1.

1 1 1 1 1...

n

V II

R RR R R R R

(7.12)

...

1 2 3 4

1.

1 1 1 1 1...

nn n

n

V II

R RR R R R R

(7.13)

As equações anteriores permitem, assim, determinar a corrente em cada resistor a partir da corrente total. A regra geral pode ser expressa da seguinte forma: a corrente em cada componente é a corrente de entrada multiplicada pela resistência equivalente e dividida pela resistência na qual deseja-se obter a corrente. Ao aplicar-se a regra é fundamental observar que as polaridades das tensão e sentidos das corrente sobre os componentes são conforme apresentado na Fig. 7-2. Para o caso particular de apenas dois resistores conectados em paralelo, podem-se obter as seguintes expressões:

21

1 2

.R

I IR R

(7.14)

12

1 2

.R

I IR R

(7.15)


7.3 Exercícios 1-) Calcule através do método do divisor de tensão a queda de tensão através de cada resistor.

R2 6k

10V

R1 2k

Respostas: VR1=2,5V e VR2=7,5V.

2-) Calcule as correntes I1 e I2 utilizando divisor de corrente.

3k 6k

I1 I2It=18mA

Respostas: I1=12mA e I2=6mA.

3-) Determine no circuito abaixo:

a) O valor de Vo na ausência de carga. b) Calcule Vo quando 150LR k . c) Qual é a potência dissipada no resistor de 25k se os terminais da carga forem

acidentalmente curto circuitados? d) Qual a potência máxima dissipada no resistor de 75k ?

Vo75k RL

200V

25k

+

_

Respostas: a) Vo=150V; b) Vo=133,33V; c) P=1,6W e d) P=300mW.

4-) Determine a potência dissipada no resistor de 6 do circuito abaixo.

6R4R16R

1,6R

10A

Resposta: P=61,44W.


5-) No circuito divisor de tensão da figura abaixo, o valor de Vo sem carga é 6V. Quando a resistência de carga RL é inserida ao circuito, a tensão cai para 4V. Determine o valor de R2 RL.

RLR2

40R

18V Vo

+

_

Respostas: 2 20R e 26,67LR .

6-) Calcule no circuito divisor de tensão abaixo: a) A tensão de saída Vo sem carga; b) As potências dissipadas em R1 e R2;

R2 3,3k

4,7k

160V

R1

Vo

Respostas: a) Vo=66V e b) PR1=1,88W e PR2=1,32W.

7-) Muitas vezes é necessário dispor de mais de uma tensão na saída de um circuito divisor de tensão. Assim, por exemplo, as memórias de muitos computadores pessoais exigem tensões -12V, 6V e +12V, todas em relação a um terminal comum de referência. Escolha os valores de R1, R2 e R3 no circuito abaixo para que as seguintes especificações de projeto sejam atendidas:

a) A potência total fornecida ao circuito divisor de tensão pela fonte de 24V deve ser de 36W quando o circuito não está carregado.

b) As três tensões, todas medidas em relação ao terminal comum de referência, devem ser V1=12V, V2=6V e V3=-12V.

R2

R1

24V

R3

V3

V1

V2

Comum

Respostas: 1 4R , 2 4R e 3 8R .


8-) Calcule a corrente no resistor de 6,25 , no circuito divisor de corrente apresentado abaixo.

6,25R1142mA 20R0,25R 1R 10R2,5R

Resposta: I=32mA.

8 MÉTODO DE ANÁLISE DE MALHAS

A análise de malhas envolve sempre os cinco passos descritos a seguir.

8.1 Definição das Malhas e Sentidos de Percurso

Inicialmente devem ser determinadas quantas malhas contém o circuito. Para um circuito contendo b ramos (componentes) e n nós existirão sempre (b-n+1) malhas, as quais permitirão escrever um número de equações independentes também igual a (b-n+1). Uma vez identificadas às malhas, deve-se numerá-las e designá-las como I1, I2, I3...Ib-n+1. Além disso, deve-se escolher um sentido de percurso para cada malha. A escolha do sentido não interfere com as equações que serão obtidas, mas é importante na determinação das correntes e tensões de ramo. Também nesta etapa serão definidas polaridades para as tensões nos ramos, as quais definem as correntes de ramo que serão consideradas positivas.

8.2 Aplicação da LTK para as Malhas

Após a definição das malhas, deve-se percorrê-las de acordo com o sentido atribuído para cada uma delas, retornando-se ao ponto de partida após a malha ter sido percorrida. Pode-se adotar a seguinte convenção quanto às diferenças de potencial: quedas de potencial ao longo deste percurso serão consideradas positivas, ao passo que elevações de potencial serão consideradas negativas. Como resultado desta etapa haverá (b-n+1) equações que representam os somatórios das tensões sobre os componentes que compõem cada malha, de acordo com a convenção adotada.

8.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos

Considerando que as equações da etapa anterior foram escritas em função das tensões dos ramos e as incógnitas são correntes de malha, devem-se utilizar as relações de tensão-corrente (Lei de Ohm) para substituir as tensões dos ramos por relações envolvendo as correntes de malha. Como resultado desta etapa, obtém-se (b-n+1) equações envolvendo as correntes de malha. Deve-se observar que existe uma relação tensão corrente para cada ramo (componente), existindo, portanto b relações deste tipo.


8.4 Solução do Sistema de Equações

Após a obtenção das equações de malha, deve-se utilizar algum método de solução de sistemas lineares para determinar as (b-n+1) incógnitas.

8.5 Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos

Depois de solucionado o sistema de equações e obtido as correntes das malhas, pode-se obter todas as correntes e tensões de ramo do circuito a partir das correntes de malha. Por exemplo, a corrente de ramo IK, percorrido por um lado pela corrente de malha Ix e por outro pela corrente de malha IY do circuito conforme mostra a Fig. 8-1, pode ser obtida pela seguinte equação:

k x yI I I (8.1)

Fig. 8-1 - Tensão e corrente de ramo.

Na equação (8.1), foi considerada como positiva a corrente de malha que circula no mesmo sentido que a corrente do ramo, ao passo que foi considerada negativa a que circula em sentido contrário. Deve-se também atentar que a equação pode ser obtida aplicando-se a LCK a qualquer um dos nós do ramo k. Considerando-se os sentidos associados, a tensão no ramo k será dada como:

. ( ).k k k x y kV I R I I R (8.2)

Rk – Resistência do ramo k (ohms, )

8.6 Exemplo de Aplicação

O método exposto será ilustrado por meio de um exemplo simples ilustrado na Fig. 8-2, onde todas as etapas citadas serão realizadas passo a passo.


8.6.1 Definição das Malhas e Sentidos de Percurso

Para o circuito da Fig. 8-2, existem n=4 nós e b=5 componentes. Desta forma, o número de malhas fechadas é (5-4+1)=2. Os sentidos adotados para os percursos das malhas serão todos no sentido horário, conforme mostra a Fig. 8-2, podendo no entanto ser escolhido um outro sentido. Na figura também são mostrados os sentidos considerados positivos para as quedas de tensão (polaridade das tensões) para os componentes.

R1+ R2

R4R3

+

++

- -

--V

I1 I2Malha 1 Malha 2

Fig. 8-2 - Circuito de exemplo.

8.6.2 Aplicação de LTK para as Malhas

De acordo com convenção adotada, as equações para as malhas 1 e 2 são dadas pelas seguintes equações:

1 3 1 30R R R RV V V V V V (8.3)

3 2 4 0R R RV V V (8.4)

8.6.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos

As relações tensão corrente para os ramos do circuito são estabelecidas baseadas nas equações (8.1) e (8.2) da forma que segue:

1 1RI I (8.5)

2 2RI I (8.6)

3 1 2RI I I (8.7)

4 2RI I (8.8)

1 1 1 1 1. .R RV I R I R (8.9)

2 2 2 2 2. .R RV I R I R (8.10)

3 3 3 1 2 3. ( ).R RV I R I I R (8.11)

4 4 4 2 4. .R RV I R I R (8.12)


Inserindo-se as relações tensão-corrente nas equações de malha, obtêm-se as equações em termos das correntes de malha. Equação da malha 1:

1 3

1 1 1 2 3

1 1 3 2 3

. ( ).

.( ) .

R RV V V

I R I I R V

I R R I R V

(8.13)

Equação da malha 2:

3 2 4

1 2 3 2 2 2 4

1 3 2 2 3 4

0

( ). . . 0

. .( ) 0

R R RV V V

I I R I R I R

I R I R R R

(8.14)

8.6.4 Solução do Sistema de Equações

Para a obtenção da solução serão considerados os seguintes valores:

20V V 1 2R 2 4R (8.15)

3 6R 4 3R

Desta forma, o sistema de equações terá a seguinte forma:

1 2

1 2

8. 6. 20

6. 13. 0

I I

I I

(8.16)

Solucionando-se o sistema, obtém-se:

1

2

3,824

1,765

I A

I A

8.6.5 Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos

A partir das correntes de malha podem-se obter as correntes e tensões em todos os ramos:

1 1 3,824RI I A (8.17)

2 2 1,765RI I A (8.18)

3 1 2 3,824 1,765 2,059RI I I A (8.19)

4 2 1,765RI I A (8.20)

1 1 1. 3,824.2 7,684RV I R V (8.21)


2 2 2. 1,765.4 7,06RV I R V (8.22)

3 1 2 3( ). (3,824 1,765).6 12,354RV I I R V (8.23)

4 2 4. 1,765.3 5, 295RV I R V (8.24)

Uma vez conhecidas as correntes e tensões nos ramos pode-se também determinar as potências em cada um dos componentes bem como a potência total dissipada no circuito.

8.7 Análise de Malhas com Fontes de Corrente

A análise de malhas, sendo um método geral de análise, pode também ser empregada quando o circuito contiver fontes de corrente, sejam elas dependentes ou independentes. As fontes de corrente impõem uma determinada corrente num ramo, não sendo, contudo possível determinar à tensão da mesma antes de solucionar o circuito. Na realidade a presença de uma fonte de corrente não altera praticamente nada no método de análise descrito anteriormente. Estas características devem ser consideradas quando do estabelecimento das equações do circuito.

Considerando que a fonte de corrente está inserida entre as malhas x e y conforme a Fig. 8-3, observa-se que a tensão da fonte aparecerá nas equações de ambas as malhas que possuem a fonte de corrente em comum. Como não há uma relação entre a corrente da fonte e a sua tensão pode-se manter a tensão Vk da fonte como uma incógnita a ser determinada. Por outro lado, devido à presença da fonte, as correntes das malhas x e y estão relacionadas pela seguinte relação:

x yI I I (8.25)

Fig. 8-3 - Fonte de corrente entre duas malhas.

Desta forma, foi acrescentada uma incógnita ao sistema de equações, mas também foi acrescentada uma equação, sendo ainda possível solucionar o circuito.


Também se pode eliminar a tensão da fonte do sistema de equações isolando-se a tensão Vk na equação da malha x, por exemplo, e substituindo-a na equação da malha y. Desta forma, elimina-se a equação de uma das malhas do sistema. Caso a fonte de corrente estiver inserida num caminho por onde apenas uma malha passa, significa que a corrente da malha está determinada pela própria corrente da fonte. Neste caso pode-se desconsiderar a equação desta malha e estabelecer o seguinte valor para a corrente da malha, conforme mostra a Fig. 8-4:

xI I (8.26)

Fig. 8-4 - Fonte de corrente em uma única malha.

8.8 Exemplo de Aplicação O exemplo mostrado na Fig. 8-5 ilustra o procedimento.

R2=10

V=20V R4=4

R3=2

R1=6+

I=6AVf

+

+

+

+

- -

-

-

-I1 I2Malha 1 Malha 2

Fig. 8-5 - Análise de malha com fonte de corrente.

Para este circuito, as equações das malhas são as seguintes: Malha 1:

1 3 1 30R R f R R fV V V V V V V V (8.27)

Malha 2:

2 3 4 0R R R fV V V V (8.28)

As relações tensão corrente no circuito são as seguintes:


1 1RI I (8.29)

2 2RI I (8.30)

3 1 2RI I I (8.31)

4 2RI I (8.32)

1 1 1 1 1. .R RV I R I R (8.33)

2 2 2 2 2. .R RV I R I R (8.34)

3 3 3 1 2 3. ( ).R RV I R I I R (8.35)

4 4 4 2 4. .R RV I R I R (8.36)

A equação adicional considerando a fonte de corrente é:

2 1I I I (8.37)

Substituindo-se as equações (8.29) a (8.36) obtém-se finalmente as equações do circuito. Deve-se notar que a tensão da fonte de corrente aparece como uma incógnita a mais, havendo também uma equação a mais (equação (8.37)). Malha 1:

1 3

1 1 1 2 3

1 1 3 2 3

. ( ).

.( ) .

R R f

f

f

V V V V

I R I I R V V

I R R I R V V

(8.38)

Malha 2:

2 3 4

2 2 1 2 3 2 4

1 3 2 2 3 4

0

. ( ). . 0

. .( ) 0

R R R f

f

f

V V V V

I R I I R I R V

I R I R R R V

(8.39)

As equações (8.37), (8.38) e (8.39) são portanto as equações básicas do circuito, sendo as incógnitas I1, I2 e Vf. Substituindo os valores nas equações, obtém-se:

1 2

1 2

1 2

6

8. 2. 20

2. 16. 0f

f

I I

I I V

I I V

(8.40)

Resolvendo-se o sistema acima, obtém-se finalmente a solução:

1

2

3,2

2,8

51,2f

I A

I A

V V

(8.41)


8.9 Exercícios 1-) Determine as correntes no circuito abaixo utilizando o método das correntes de malha.

25V

1R4R

3R

5R

1R

6RI3I1 I2

Respostas: I1=3A; I2=1A e I3=2A.

2-) Calcule a corrente em cada resistor, utilizando o método da corrente de malha.

10V

4R

10V

2R

2R

I1I3

I2

Respostas: I1=2A; I2=-1A e I3=3A.

3-) Calcule as correntes I1 e I2 e a corrente através da fonte de 20V, usando o método da corrente de malha.

20V 4R22V

1R

I1 I2

Respostas: I1=2A; I2=5A e I20V=-3A.

4-) Use o método das correntes de malha para determinar:

a) As potências associadas às fontes de tensão. b) A tensão Vo entre os terminais do resistor de 8 .

8R Vo40V 6R

2R 4R

20V

6R

+

_

Respostas: a) P40=224W e P20=16W; b) Vo=28,8V.

5-) Calcule as correntes nas malhas do circuito abaixo.


5A

2R

6R

10R

4R

100V

3R

50V

Respostas: I1=1,75A, I2=6,75A e I3=1,25A.

6-) Use o método das correntes de malha para determinar a potência dissipada no resistor de 2 do circuito a seguir.

2R

3R

16A

8R

6R

5R30V

4R

Resposta: P=72W.

7-) Use o método das correntes de malha para determinar a potência dissipada no resistor de 1 no circuito abaixo.

2R

2R

6V

1R

2R

2A

10V

Resposta: P=36W.

8-) Determine pelo método das correntes de malha:

a) As correntes de ramo Ia, Ib e Ic. b) Repita o item (a) se a polaridade da fonte de 64V for invertida.

45R 64VIa

4R

1,5R2R

40V

3R

IbIc

Respostas: a) Ia=9,8A, Ib=-0,2A e Ic=-10A; b) Ia=-1,72A, Ib=1,08A, Ic=2,8A.

9-) Use o método das correntes de malha para determinar:

a) A potência fornecida pela fonte de corrente de 30A.


b) A potência total fornecida ao circuito pelas fontes.

4R

0,8R

424V

30A

600V

5,6R

16R

3,2R

Respostas: a) P=-312W; b) 17,296kW.

10-) Use o método das correntes de malha para determinar a potência total fornecida pelas fontes ao circuito.

12R

4R 2R

6R

12V70V

10R

110V

3R

Resposta: P=1,14kW.

11-) Use o método das correntes de malha para determinar a potência dissipada nos resistores do circuito abaixo.

18V

6R

9R

2R

3R

15V3A

Respostas: P3R=1,08W, P2R=0,72W, P9R=51,84W e P6R=34,56W.

12-) O circuito da figura abaixo é um a versão em corrente contínua de um sistema de três fios para distribuição de energia elétrica. Os resistores Ra, Rb e Rc representam as resistências dos três condutores que ligam as três cargas R1, R2 e R3 à fonte de alimentação 125/250V. Os resistores R1 e R2 representam cargas ligadas aos circuitos de 125V e R3 representa uma carga ligada ao circuito de 250V.

a) Determine V1, V2 e V3. b) Calcule a potência dissipada em R1, R2 e R3. c) Que porcentagem da potência total fornecida pelas fontes é dissipada nas cargas? d) O ramo Rb representa o condutor neutro do circuito de distribuição. Qual seria a

conseqüência desagradável de uma ruptura do condutor neutro? (Sugestão: Calcule


V1 e V2 e observe se as cargas ligadas a este circuito teriam uma tensão de trabalho de 125V).

125V

R2=19,4R

Ra=0,2R

R1=9,4R

R3=21,2R

Rc=0,2R

125V

Rb=0,4R

V1

V2

V3

+

+

+

_

_

_

Respostas: a) V1=117,758V, V2=123,9V, V3=241,658V; b) PR1=1,475kW,

PR2=791,3W, PR3=2,755kW; c-) 96,3%; e) V1=79V, V2=163V.

13-) Determine Vo e Io no circuito abaixo.

1R

3R

2R

2R 16V

Io

2.Io

Vo

Respostas: Vo=33,78V e Io=10,67A.

14-) Aplique a análise de malhas para encontrar Vo no circuito abaixo.

8R2R

1R

5A

Vo

20V4R

40V

Resposta: Vo=20V.

15-) Utilize a análise da malhas para obter Io no circuito abaixo.


2R 4R

6V

1R12V

3A5R

Io

Resposta: Io=-1,733A.

9 MÉTODO DE ANÁLISE NODAL A análise nodal envolve sempre os cinco passos descritos a seguir:

9.1 Seleção do Nó de Referência

Inicialmente deve ser selecionado um nó qualquer do circuito como nó de referência, em relação ao qual todas as tensões serão medidas. O potencial deste nó será assumido como zero, motivo pelo qual ele muitas vezes também é denominado de nó de terra. Em seguida os demais nós são numerados de 1 a (n-1), sendo n o número total de nós do circuito incluindo o nó de referência. As demais tensões dos nós serão designadas como V1, V2, V3....Vn-1.

9.2 Aplicação da LCK aos Nós

Após a escolha do nó de referência e numeração dos nós restantes, deve-se aplicar a Lei de Kirchhoff para os (n-1) nós. A LCK não necessita ser aplicada para o nó de referência, uma vez que resultará numa equação a mais do que o necessário. Deve-se adotar uma convenção de sinal de acordo com o sentido das correntes em relação aos nós. Geralmente, considera-se que correntes que entram no nó são consideradas positivas, enquanto que correntes que saem são consideradas negativas. Como resultado desta etapa haverá (n-1) equações que representam os somatórios das correntes que incidem e saem dos (n-1) nós.

9.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos

Uma vez que as equações da etapa anterior foram escritas em função das correntes de nós e as incógnitas são tensões de nó, deve-se utilizar as relações de tensão-corrente para substituir as correntes de nós por relações envolvendo as tensões de nó. Como resultado desta etapa, obtém-se (n-1) equações envolvendo as tensões de nó. Deve-se atentar que existe uma relação tensão-corrente para cada ramo, existindo, portanto b relações deste tipo.


9.4 Solução do Sistema de Equações

Após a obtenção das equações de nó, deve-se utilizar algum método de solução e determinar as (n-1) incógnitas. Caso o circuito seja composto apenas de resistores, obtém-se um sistema de (n-1) equações algébricas onde os coeficientes são obtidos a partir das resistências do circuito.

9.5 Obtenção das Correntes e Tensões de Ramos

Deve-se observar para o fato que, após solucionado o sistema de equações, pode-se obter todas as correntes e tensões de ramo do circuito a partir das tensões de nó. Por exemplo, a tensão do ramo k, conectado entre os nós x e y do circuito conforme a Fig. 9-1, pode ser obtida pela seguinte equação:

k xy x yV V V V (9.1)

Ik

VyVx Rk

+ _

Fig. 9-1 - Tensão e corrente de ramo.

Considerando-se os sentidos associados, a corrente no ramo k que circula do nó x para o nó y será dada como:

x yk

k

V VI

R

(9.2)

Rk – Resistência do ramo k (ohms)


O método exposto será ilustrado por meio de um exemplo simples ilustrado na Fig. 9-2, onde todas as etapas citadas serão realizadas.

Ia R3

Ib

R1

R2+

+

+

__

_I2

I1 I3

0

1 2

V1 V2



9.6.1 Seleção do Nó de Referência

Para o circuito mostrado na Fig. 9-2 existem 3 nós, sendo que o nó inferior será escolhido como nó de referência (terra). As tensões nos outros dois nós serão denominados V1 e V2. As correntes nos resistores R1, R2 e R3 serão denominadas I1, I2 e I3.

9.7 Aplicação da LCK aos Nós

Aplicando-se a LCK para os nós 1 e 2 e considerando-se como positivas as correntes que entram no nós, obtém-se:

Nó 1:

1 2 1 20a b a bI I I I I I I I (9.3)

Nó 2:

2 32 3 0b bI I I I I I (9.4)

9.7.1 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos

Considerando os sentidos das tensões e correntes associados aos resistores (Ramos) do circuito, obtém-se:

1 11

1 1

0V VI

R R

(9.5)

1 22

2

V VI

R

(9.6)

2 23

3 3

0V VI

R R

(9.7)

Substituindo-se as equações (9.5), (9.6) e (9.7) nas equações (9.3) e (9.4), obtém-se o seguinte sistema de equações em termos das resistências e fontes de corrente:

1 1 2 21

1 2 1 2 2

1 1.a b a b

V V V VI I V I I

R R R R R

(9.8)

1 2 2 1

2 3 2 2 3

1 12.b b

V V V VI V I

R R R R R

(9.9)

9.7.2 Solução do Sistema de Equações

A solução do sistema será realizada considerando os seguintes valores numéricos:


5aI A 3bI A

1 2R 2 4R 3 8R Com os valores dos resistores e das fontes de corrente, o sistema de equações

assumirá a seguinte forma:

1 2

1 2

0,75. 0, 25. 2

0, 25. 0,375. 3

V V

V V

(9.10)

Solucionando-se o sistema, obtém-se:

1

2

6,857

12,571

V V

V V

9.7.3 Obtenção das Correntes e Tensões de Ramos

A partir das tensões dos nós V1 e V2 obtém-se por meio das equações (9.5) a (9.7) as correntes de ramo:

11

1

6,8573,429

2V

I AR

(9.11)

1 22

2

6,857 12,5711,429

4V V

I AR

(9.12)

23

3

12,5711,571

8V

I AR

(9.13)

As tensões sobre os ramos serão dadas pelas seguintes equações:

1 1 0 6,857RV V V (9.14)

2 1 2 6,857 12,571 5,714RV V V V (9.15)

3 2 0 12,571RV V V (9.16)

O sinal negativo da tensão VR2 que aparece na solução significa que a tensão que efetivamente existe sobre este componente possui polaridade contrária ao sentido assumido como positivo. Da mesma forma, a corrente negativa significa que o sentido que efetivamente existe é contrário aquele considerado positivo. Com a determinação de todos as tensões e correntes do circuito, pode-se também determinar a potência dissipada em cada um dos resistores e nas fontes de corrente.

9.8 Análise Nodal com Fontes de Tensão

A análise nodal, sendo um método geral de análise, pode também ser empregada quando o circuito contiver fontes de tensão sejam elas dependentes ou independentes. As


fontes de tensão impõem uma determinada diferença de potencial entre dois nós, não sendo possível determinar a corrente da mesma antes de solucionar o circuito. Estas características devem ser consideradas quando do estabelecimento das equações do circuito. Existem diversas formas de considerar o efeito das fontes de tensão, sendo que uma delas é descrita a seguir.

Considerando que a fonte de tensão está conectada entre os terminais x e y conforme a Fig. 9-3, observa-se que a corrente da fonte aparecerá nas equações de ambos os nós do circuito onde a fonte está conectada. Como não há uma relação entre a corrente da fonte e a sua tensão, pode-se manter a corrente Ik como uma incógnita a ser determinada. Por outro lado, as tensões dos nós x e y estão relacionados da seguinte forma.

x yV V V (9.17)

Ik

V+ _

Ik

Vx Vyx y

Fig. 9-3 - Fonte de tensão entre dois nós.

Desta forma, foi acrescentada uma incógnita ao sistema de equações (Ik), mas também foi acrescentada uma equação (9.17), sendo ainda possível solucionar o circuito. Caso a fonte de tensão estiver conectada entre o nó x e o nó de terra, significa que a tensão do nó está imposta, podendo-se neste caso desconsiderar a equação deste nó e estabelecer o seguinte valor para a tensão do nó:

xV V (9.18)

O exemplo mostrado na Fig. 9-4 ilustra este procedimento.

V=2V

IfIa

V1

I2R2 Ib7A

I3

R3=10R

R12R2A 4R

I1

V2

+ +

+

+

_

_

__

2

0

1

Fig. 9-4 - Análise nodal com fonte de tensão.

As equações dos nós para este circuito são: Nó 1:

1 3 1 30a f f aI I I I I I I I (9.19)

Nó 2:


3 2 2 30f b f bI I I I I I I I (9.20)

As relações tensão corrente são:

1 11

1 1

0V VI

R R

(9.21)

2 22

2 2

0V VI

R R

(9.22)

1 23

3

V VI

R

(9.23)

A equação adicional considerando a fonte de tensão é:

1 2V V V (9.24)

Substituindo-se as relações (9.21) a (9.23) obtém-se finalmente as equações do circuito. Deve-se observar que a corrente da fonte de tensão aparece como uma incógnita a mais, havendo também uma equação a mais (equação (9.24)).

1 3

1 1 2

1 3

21

1 3 3

1 1.

f a

f a

f a

I I I I

V V VI I

R R

VV I I

R R R

(9.25)

2 3

2 1 2

2 3

12

3 2 3

1 1.

f b

f b

f b

I I I I

V V VI I

R R

VV I I

R R R

(9.26)

Substituindo-se os valores nas equações, obtém-se o seguinte sistema:

1 2

1 2

1 2

0,6. 0,1. 2

0,1. 0,35. 7

2

f

f

V V I

V V I

V V

(9.27)

Resolvendo-se o sistema, obtém-se as incógnitas desconhecidas:

1

2

6

8

4,8f

V V

V V

I A


9.9 Exercícios 1-) Calcule as correntes e as tensões nos resistores utilizando a análise nodal.

R2

3R

R1

12R

84V 21V

R3

6R

Respostas: V1=60V; V2=24V; V3=3V; I1=5A; I2=4A e I3=1A.

2-) Obtenha as tensões nodais do circuito abaixo.

4A2R

6R

7R1A

1 2

Respostas: V1=-2V e V2=-14V.

3-) Determine pelo método das tensões de nó:

a) V1, V2 e I1. b) A potência fornecida pela fonte de 15A. c) A potência fornecida pela fonte de 5A.

5R

5A15R60R15A 2RV1+ +

_ _V2

I1

Respostas: a) V1=60V, V2=10V, I1=10A; b) P=900W; c) P=-50W.

4-) Use o método das tensões de nó para determinar o valor de V no circuito abaixo.

1R 30V

4R

V 12R4,5A

6R 2R

+

_

Resposta: V=15V.

5-) Determine pelo método das tensões de nó a tensão V1 e a potência fornecida pela fonte de 60V no circuito abaixo.


4A 30R80R20R

10R60V

V1+

_

Respostas: V1=20V e P=180W.

6-) Determine pelo método das tensões de nó:

a) As correntes nos ramos. b) A potência total consumida no circuito.

18R

48R 20RIa

10R

70V

8R

128V IbIc

IdIe

Respostas: a) Ia=4A, Ib=2A, Ic=2A, Id=3A, Ie=-1A; b) P=582W.

7-) Use o método das tensões de nó para determinar V1 e V2 no circuito abaixo.

3,2A

25R

V1 375R125R2,4A 250R

+

_V2+

_

Respostas: V1=25V e V2=90V.

8-) Use o método das tensões de nó para determinar Vo no circuito.

200R

20R

Vo

6A50R

40R

800R

75V

+_

Resposta: Vo=40V.

9-) Use o método das tensões de nó para determinar V1 e V2 no circuito abaixo.

V2 3A

4R

5R144V 10R V1

80R

++

_ _

Respostas: V1=100V e V2=20V.

10-) Use o método das tensões de nó para determinar a potência dissipada no circuito abaixo.


25R

50R

4A

31,25R30V 1A50R

15R

Resposta: P=306W.

11-) Encontre Io no circuito abaixo.

8R

1R

2R

4A

4R

Io

2.Io

Resposta: Io=-4A.

12-) Determine V1 e V2 no circuito abaixo.

4R

8R

1R

3A

2R

12V

+ Vo -

+

_5.Vo

V1 V2

Respostas: V1=-10,91V e V2=-100,36V.

13-) Utilize a análise nodal para encontrar Vo no circuito abaixo.

5R

2R

3V

3R

1R

++

__

Vo 4.Vo

Resposta: Vo=1,11V.


10 SUPERPOSIÇÃO O princípio da superposição estabelece que quando um circuito contiver mais de

uma fonte independente, a resposta do circuito pode ser obtida da resposta individual do circuito a cada uma das fontes atuando de forma isolada. Desta forma, pode-se determinar a resposta individual do circuito considerando-se as fontes uma a uma e, ao final, somar algebricamente as respostas individuais. A utilização do princípio da superposição pode, em muitos casos reduzir a complexidade do circuito e facilitar a solução. Para a resolução de circuitos utilizando o princípio da superposição deve-se levar em consideração os seguintes passos:

1. Desligar todas as fontes independentes do circuito, exceto uma. Fontes de tensão são substituídas por curtos-circuitos e fontes de corrente por circuitos abertos. Fontes dependentes não devem ser alteradas.

2. Repetir o passo 1 até que todas as fontes independentes foram consideradas. 3. Determinar a resposta total somando-se as respostas individuais de cada

fonte. As tensões e correntes de cada ramo serão a soma das tensões e correntes individuais obtidas. Deve-se observar o sentido das correntes e tensões nas respostas individuais.


Considere o circuito da Fig. 10-1, onde existe duas fontes independentes. Deseja-se calcular a corrente Ia e a potência dissipada no resistor de 4.

30R

15V10A

10R

20R 4R

5R

Ia


Inicialmente será considerado apenas o efeito da fonte de corrente, sendo a de tensão substituída por um curto-circuito. O circuito equivalente é apresentado na Fig. 10-2.

30R

10A

10R

20R 4R

5R

Ia'

Fig. 10-2 - Circuito equivalente para a fonte de corrente.

Solucionando-se o circuito obtém-se a corrente Ia’=2,703A. Esta corrente é considerada positiva, pois coincide com o sentido arbitrado como positivo.


Considerando-se agora o efeito causado pela fonte de tensão, obtém-se o circuito apresentado na Fig. 10-3.

30R

15V

10R

20R 4R

5R

Ia''

Fig. 10-3 - Circuito equivalente para a fonte de tensão.

Resolvendo-se o circuito, obtém-se uma corrente Ia’’=-1,014A. A corrente tem um valor negativo pelo fato de que neste caso a fonte de tensão impõe uma corrente que circula no sentido contrário ao assumido como positivo. Desta forma, pelo princípio da superposição, a corrente total que circula no resistor será:

' ''

2,703 1,014 1,689a a a

a

I I I

I A

= += − =

(10.1)

A potência dissipada no resistor será:

2

2

.

4.(1,689) 11,41

aP R I

P W

=

= = (10.2)

10.2 Exercícios 1-) Use o teorema da superposição para encontrar V no circuito abaixo.

3A4R6V

8R

V

+

_

Resposta: V=10V.

2-) Determine a tensão Vo usando o teorema da superposição.

3R

2R

5R

20V8AVo

+

_

Resposta: Vo=12V.


3-) Determine o valor da corrente I, usando o princípio da superposição.

8R

4A

16V

6R

2R

12V

I

Resposta: I=0,75A.

4-) Determine a corrente I do circuito apresentado abaixo.

24V

3R

4R

12V

4R

3A

8R

I

Resposta: I=2A.

5-) Dado o circuito abaixo, utilize a superposição para determinar Io.

3R

5R

2R

10R

4R

12V 2A

4A

Io

Resposta: Io=0,1111A.

6-) Utilize a superposição para obter a tensão Vx no circuito abaixo.

Vx

2A

20R

10V 4R 0,1.Vx

Resposta: Vx=12,5V.

7-) Determine Ix no circuito abaixo pelo método da superposição.


4R

2R

1R

2A10V

Ix 5.Ix

Resposta: Ix=-0,1176A.

8-) Determine Io no circuito abaixo.

5R

1R4A

20V

2R

4R

3R

5.Io

+ |

Io

Resposta: Io=-0,4706A.

11 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN E NORTON

11.1 Introdução

Em muitos casos práticos existe a necessidade de determinar a tensão, corrente e potência em apenas um ramo (componente) do circuito. Assim, não existe a necessidade de determinação das tensões e correntes em todos os ramos do circuito. Neste contexto, os teoremas de Thévenin e Norton permitem que seja determinado um circuito equivalente simples a partir de dois terminais, o qual pode substituir uma rede complexa e simplificar a resolução.

11.2 Circuito Equivalente de Thévenin

A idéia do circuito equivalente de Thévenin está ilustrada na Fig. 11-1. A figura (A) representa qualquer circuito constituído por fontes e resistores; as letras a e b indicam os terminais na qual se tem interesse em obter a tensão, corrente ou potência. O circuito equivalente de Thévenin aparece na figura (B). Como se pode ver na figura, o circuito equivalente de Thévenin é constituído por uma fonte independente de tensão, VTh, e um


resistor, RTh, que substituem todas as fontes e resistores do circuito. Esta combinação em série de VTh e RTh é equivalente ao circuito original no sentido de que, se ligarmos a mesma carga aos terminais a e b dos circuitos, ela será submetida à mesma tensão e será atravessada pela mesma corrente. Esta equivalência existe para todos os valores possíveis de resistência da carga.

VTh

RTha a

b b

CircuitoResistivoContendoFontes

(A) (B) Fig. 11-1 - (A) Circuito genérico; (B) Circuito equivalente de Thévenin.

Para se obter a tensão de Thévenin em um ponto do circuito, basta calcular a tensão nos terminais a e b quando estes estão em aberto.

Th abV V (11.1)

A resistência equivalente de Thévenin (RTh) é a resistência equivalente do circuito obtida a partir dos terminais a e b, com todas as fontes independentes consideradas nulas. Para isto, substituem-se as fontes de tensão por um curto-circuito e as fontes de corrente por circuitos abertos.

11.3 Circuito Equivalente de Norton

O circuito equivalente de Norton é constituído por uma fonte independente de corrente em paralelo com uma resistência, conforme mostrado na Fig. 11-2. O valor da corrente da fonte é a corrente que circula do terminal a para b quando estes são curto-circuitados (Corrente de Norton, IN). A resistência de Norton (RN) é aquela obtida dos terminais a e b quando todas as fontes são anuladas. Como a resistência a partir de dois terminais só possui um valor, a resistência de Thévenin e Norton são, portanto, idênticas, bastando que esta seja determinada para um dos circuitos equivalentes (RTh=RN).

IN

a

RN

a

b b

Circuito

Resistivo

Contendo

Fontes

(A) (B) Fig. 11-2 - (A) Circuito genérico; (B) Circuito equivalente de Norton.

Uma alternativa para obter o circuito equivalente de Thévenin ou Norton, é utilizando-se técnicas de transformação de fontes. Uma transformação de fonte permite substituir uma fonte de tensão em série com um resistor por uma fonte de corrente em paralelo com o mesmo resistor, ou vice-versa.


A equações (11.2) e (11.3) apresentam as relações para obter a corrente de Norton ou a tensão de Thévenin quando utiliza-se destas técnicas.

ThN

Th

VI

R (11.2)

.Th N NV I R (11.3)


O exemplo mostrado na Fig. 11-3 ilustra este procedimento.

4R

V13A

5R

20R25V Vab

+ +

_ _

a

b Fig. 11-3 - Circuito de exemplo.

Para determinar o circuito equivalente de Thévenin do circuito da Fig. 11-3, calcula-se primeiramente a tensão de circuito aberto entre os terminais a e b. Observe que, quando não há nenhuma carga ligada aos terminais a e b, a corrente no resistor de 4 é zero, e portanto a tensão de circuito aberto, Vab, é igual à tensão entre os terminais da fonte de corrente de 3A, V1. Para obter o valor de V1, basta resolver uma única equação de nó. Escolhendo-se o nó inferior como nó de referência e adotando-se os sentidos das correntes conforme a Fig. 11-4, obtém-se:

4R

V13A

5R

20R25V Vab

+ +

_ _

a

b

I1I2

Fig. 11-4 - Sentido das correntes.

1 2

1 1

3

253

5 20

I I

V V

(11.4)

Resolvendo-se a equação, obtém-se:

1 32abV V V


Conforme apresentado anteriormente, a resistência de Thévenin é a resistência vista pelos terminais a e b com as fontes anuladas. Anulando-se as fontes, obtém-se o circuito equivalente da Fig. 11-5.

4R

RTh

5R

20R

a

b Fig. 11-5 - Resistência equivalente.

Resolvendo-se o circuito equivalente pelo método das associações de resistores, obtém-se:

8ThR

Através da obtenção da resistência e tensão de Thévenin, pode-se montar o circuito equivalente.

RTh=8R

VTh=32V

Fig. 11-6 - Circuito equivalente de Thévenin.

Aplicando a transformação de fontes, determina-se o circuito equivalente de Norton.

328

4

ThN

Th

N

VI

R

I A

IN=4A RN=8R

Fig. 11-7 - Circuito equivalente de Norton.

11.5 Exercícios 1-) Determine o circuito equivalente de Thévenin e Norton do ponto de vista dos terminais a e b do circuito abaixo.


10V 6R

4Ra

b Respostas: VTh=6V; IN=2,5A e RTh=RN=2,4.

2-) Determine o equivalente de Thévenin de Norton do circuito abaixo.

12V

5R

2R

3Ra

b Respostas: VTh=2,4V; IN=1,5A e RTh=RN=1,6.

3-) Determine o circuito equivalente de Thévenin de Norton do circuito abaixo.

12V

5R

2R

3R

2R

a

b Respostas: VTh=1,33V; IN=1,5A e RTh=RN=0,89.

4-) Determine o circuito equivalente de Thévenin do circuito abaixo do ponto de vista dos terminais a e b.

8R

20R

5R

12R

72V

a

b Respostas: VTh=64,8V e 6ThR .

5-) Determine o circuito equivalente de Norton do circuito abaixo.

10R

8R 12R

2R

15A

a

b Respostas: IN=6A e 7,5NR .


6-) Determine o circuito equivalente de Norton e thévenin do circuito abaixo em relação aos terminais a e b.

20R

40R

1,5A

25R

5R

30V 60R

a

b Respostas: VTh=45V, IN=1,5A e 30ThR .

7-) Determine o circuito equivalente de Thévenin e Norton do circuito abaixo.

2R

8A

12R

12V 6R

a

b Respostas: VTh=52V, IN-=8,67A e 6ThR .

8-) Obtenha o circuito equivalente de Thévenin para o circuito à esquerda dos terminais a-b. Determine, então, a corrente através do resistor RL, para RL=6, 16 e 36.

1R4R

32V 2A RL12R

a

b Respostas: IL=3A, IL=1,5A e IL=0,75A.

9-) Determine o circuito equivalente de Norton.

5R

12V

8R

2A

4R

8Ra

b Resposta: IN=1A e RN=4.


10-) Determine o circuito equivalente de Norton para o circuito apresentado abaixo.

2R

2.Vx

6R 10A

+ |

Vx

+

_

a

b Resposta: IN=10A e RN=1.

11-) Determine o equivalente de Thévenin para o circuito apresentado abaixo.

4R

2R

5A 6R

2R

2.Vx

+

Vx_

+|

a

b Resposta: VTh=20V e RTh=6.

12 Indutores e Capacitores

Indutores e capacitores são elementos passivos que armazenam energia em circuitos elétricos. Os indutores armazenam energia em forma de campo magnético, enquanto os capacitores armazenam no campo elétrico.

12.1 Indutor

O indutor é um componente passivo que se opõe a variações da corrente elétrica. Ele é composto basicamente por um enrolamento de fio condutor em torno de um núcleo, conforme apresentado na Fig. 12-1.

Espiras

Núcleo

Fig. 12-1 - Indutor.

O comportamento dos indutores se baseia em fenômenos associados a campos

magnéticos. O campo magnético criado em torno de um fio condutor tem a forma de anéis concêntricos com o condutor. A direção do campo (das linhas de força) pode ser


determinada pela “regra da mão direita”. Esta regra estabelece que quando se toma com a mão direita um cabo condutor de corrente de tal forma que o polegar indique o sentido da corrente, os dedos restantes indicaram o sentido circular do campo magnético produzido.

I

VSentido do campo

Magnético

Fig. 12-2 - Campo criado pela corrente I.

Estes campos magnéticos são produzidos por cargas elétricas em movimento, ou

seja, por corrente elétrica. Quando uma corrente elétrica varia com o tempo, o campo magnético produzido por esta corrente também irá variar. Um campo magnético variável induz uma tensão em um condutor imerso no campo. A tensão induzida está relacionada a corrente por um parâmetro chamado Indutância.

A indutância é simbolizada pela letra L, medida em Henry (H). A Fig. 12-3 mostra o símbolo de um indutor. A tensão entre os terminais de um indutor é proporcional à taxa de variação da corrente que o atravessa e é dado pela equação (12.1):

( )( ) .L

di tv t L

dt= (12.1)

Onde: vL = Tensão em volts (V); L = Indutância em Henry (H); i = Corrente em ampères (A); t = Tempo em segundos (s).

L

VL+ _

I Fig. 12-3 - Símbolo do indutor.

Duas observações importantes podem ser feitas a respeito da equação (12.1). Em

primeiro lugar, quando a corrente é constante, a tensão entre os terminais de um indutor ideal é nula; em outras palavras, o indutor se comporta como um curto circuito para corrente contínua. Em segundo lugar, a corrente que atravessa o indutor não pode variar instantaneamente, ou seja, não pode sofrer uma variação finita em um tempo infinitesimal. De acordo com a equação (12.1), esta variação faria aparecer uma tensão infinita entre os terminais do indutor, o que é obviamente impossível. Assim, por exemplo, quando alguém abre um interruptor em um circuito indutivo, a corrente inicialmente contínua passa de um dos contatos do interruptor para o outro através do ar, este fenômeno é chamado de centelhamento. O centelhamento impede que a corrente diminua instantaneamente para


zero. Ligar e desligar circuitos indutivos constitui um sério problema na engenharia, já que o centelhamento e os picos de tensão associados podem danificar os equipamentos.

Isolando-se a corrente na equação (12.1), obtém-se a equação que determina o comportamento da corrente nos indutores.

0

1( ) . ( ). (0)

t

L L Lt

i t v t dt iL

= + (12.2)

12.2 Associação de Indutores

Assim como as combinações de resistores em série e em paralelo podem ser reduzidas a um único resistor equivalente, combinações de indutores em série e em paralelo podem também ser reduzidas a um único indutor equivalente. A Fig. 12-4 mostra indutores em série.

L1

+ VL1 -

V

I

L2 LnL3

+ VL2 - + VL3 - + VLn -

Fig. 12-4 - Indutores em série.

Como a corrente é a mesma em todos os indutores e a Lei de Kirchhoff das tensões

estabelece que a soma das tensões em um circuito fechado é igual a zero, obtém-se:

1 2 3 ...L L L LnV V V V V= + + + + (12.3)

Substituindo-se as quedas de tensões nos indutores representados pela equação (12.1) na equação (12.3), obtém-se:

1 2 3. . . ... .n

di di di diV L L L L

dt dt dt dt= + + + + (12.4)

( )1 2 3 ... .n

diV L L L L

dt= + + + + (12.5)

Por outro lado, para o indutor equivalente existe a seguinte relação:

.eq

diV L

dt= (12.6)

Substituindo-se a equação (12.6) na (12.5) e dividindo-se ambos os lados da equação por di dt , determina-se a equação da indutância equivalente para indutores ligados em série.


1 2 3 ...eq nL L L L L= + + + + (12.7)

A Fig. 12-5 apresenta o circuito equivalente da Fig. 12-4.

LeqV

I

Fig. 12-5 - Circuito equivalente.

Quando dois ou mais indutores são ligados em paralelo, conforme apresentado na Fig. 12-6, todos estarão submetidos a mesma tensão, porém a corrente total do circuito será a soma das correntes individuais que atravessa cada indutor.

LnL1 L3V

I

L2

I1 I2 I3 In

Fig. 12-6 - Indutores em paralelo.

Aplicando-se a Lei de Kirchhoff das correntes, obtém-se:

1 2 3 ... nI I I I I= + + + + (12.8)

Substituindo-se a equação (12.2) na equação (12.8), obtém-se:

0 0

0 0

1 21 2

33

1 1. ( ). (0) . ( ). (0)

1 1. ( ). (0) ... . ( ). (0)

t t

L L L Lt t

t t

L L L Lnnt t

I v t dt i v t dt iL L

v t dt i v t dt iL L

= + + + +

+ + + +

(12.9)

0

1 2 31 2 3

1 1 1 1... . ( ). (0) (0) (0) ... (0)

t

L L L L Lnn t

I v t dt i i i iL L L L

= + + + + + + + + +

(12.10)

A corrente total em função da indutância equivalente e definida por:

0

1. ( ). (0)

t

L Leqeq t

I v t dt iL

= + (12.11)

Substituindo a equação (12.11) na (12.10), obtém-se a indutância equivalente da associação paralela de n indutores.


1 2 3

1 1 1 1 1...

eq nL L L L L= + + + + (12.12)

1 2 3

11 1 1 1

...eq

n

L

L L L L

=+ + + +

(12.13)

A corrente inicial equivalente será dada pela soma de todas as correntes iniciais.

1 2 3(0) (0) (0) (0) ... (0) 0Leq L L L Lni i i i i= + + + + = (12.14)

Para o caso particular de dois indutores em paralelo, pode-se utilizar a equação (12.15) para determinar a indutância equivalente.

1 2

1 2

.eq

L LL

L L=

+ (12.15)

12.3 Capacitor

Os capacitores são elementos passivos que tem a propriedade em um circuito elétrico de se opor a qualquer variação da tensão.

Os capacitores são constituídos por duas placas metálicas, separadas por uma camada isolante. O isolante pode ser o ar ou qualquer outro material com características adequadas. A Fig. 12-7 apresenta o aspecto construtivo de um capacitor.

dA

A

Fig. 12-7 - Construção básica do capacitor.

A capacitância de um capacitor é determinada por três fatores:

• Superfície das placas (Área); • Distância entre as placas; • Constante dielétrica ε , que é uma característica do tipo de isolação utilizada

entre as placas. A capacitância em função dos três fatores mencionados é dada pela equação

(12.16).

.A

Cd

ε= (12.16)

Onde: A = Área, em metros (m); d = Distância, em metros (m); C = Capacitância, em Farads (F).


Quando uma tensão é aplicada aos terminais de um capacitor, as cargas elétricas que existem no dielétrico não podem se mover de uma placa para outra, já que o dielétrico é um material isolante, mas são deslocadas em relação á sua posição de equilíbrio. Quando a tensão varia com o tempo, a posição das cargas também varia com o tempo, dando origem à chamada corrente de deslocamento. A corrente de deslocamento é proporcional à taxa de variação da tensão entre os terminais do capacitor e é determinado pela equação (12.17).

( )( ) .C

dv ti t C

dt= (12.17)

Onde: v = Tensão em volts (V); C = Capacitância em Farads (F); IC = Corrente em ampères (A); t = Tempo em segundos (s). Duas observações importantes podem ser feitas a respeito da equação (12.17). Em primeiro lugar, quando a tensão é constante, a corrente em um capacitor é nula; em outras palavras, o capacitor se comporta como um circuito aberto para corrente contínua. Em segundo lugar, a tensão entre os terminais de um capacitor não pode variar instantaneamente, ou seja, não pode sofrer uma variação finita em um tempo infinitesimal. De acordo com a equação, esta variação faria aparecer uma corrente infinita no capacitor, o que é obviamente impossível.

Isolando-se a tensão na equação (12.17), obtém-se a equação que determina o comportamento da tensão nos capacitores.

0

1( ) . ( ). (0)

t

C C Ct

v t i t dt vC

= + (12.18)

A Fig. 12-8 apresenta a simbologia comumente usada para representar os capacitores.

Eletrolítico

Comum

+

Comum

Variável

Eletrolítico

Fig. 12-8 – Simbologia.

Abaixo estão relacionados alguns tipos de capacitores.

Capacitor de cerâmica: Consiste de um tubo ou disco de cerâmica de constante dielétrica na faixa de 10 a 10.000. Uma fina camada de prata é aplicada a cada lado do dielétrico. Este tipo de capacitor é caracterizado por baixas perdas, pequeno tamanho e uma conhecida característica de variação de capacitância com a temperatura.

Capacitor de papel: Consiste de folhas de alumínio e papel kraft (normalmente impregnado com graxa ou resina) enroladas e moldadas formando uma peça compacta. Os capacitores de papel são disponíveis na faixa de 0,0005µF a aproximadamente 2µF.


Capacitor de filme plástico: É bastante similar ao capacitor de papel, na sua forma construtiva. Dielétricos de filme plástico, com poliéster ou polipropileno, separam folhas metálicas usadas como placas. O capacitor é enrolado e encapsulado em plástico ou metal.

Capacitor de mica: Consiste de um conjunto de placas dielétricas de mica alternadas por folhas metálicas condutoras. O conjunto é então encapsulado em um molde de resina fenólica.

Capacitor de vidro: É caracterizado por camadas alternadas de folhas de alumínio e tiras de vidros, agrupadas até que seja obtida a estrutura do capacitor desejado. A construção é então fundida em um bloco monolítico com a mesma composição do vidro usado como dielétrico.

Capacitor eletrolítico: Consiste de duas placas separadas por um eletrólito e um dielétrico. Este tipo de capacitor possui altos valores de capacitância, na faixa de aproximadamente 1µF até milhares de µF. As correntes de fuga são geralmente maiores do que aos demais tipos de capacitores.

Os capacitores variáveis geralmente utilizam o ar como dielétrico e possuem um conjunto de placas móveis que se encaixam num conjunto de placas fixas. Outro tipo de capacitor variável é o trimmer ou padder, formado por duas ou mais placas separadas por um dielétrico de mica. Um parafuso é montado de forma que ao apertá-lo, as placas são comprimidas contra o dielétrico reduzindo sua espessura e, conseqüentemente, aumentando a capacitância.

12.4 Associação de Capacitores

Para os capacitores, também é possível obter um circuito equivalente para n capacitores associados em série, em paralelo ou mistos.

A Fig. 12-9 apresenta a associação em série de capacitores ligados a uma fonte de tensão.

+ VC3 -

C3

+ VCn -

CnC1

+ VC1 -

V

+ VC2 -

C2

I

Fig. 12-9 - Circuito série.

A Lei das tensões de Kirchhoff estabelece que a soma das tensões em um circuito

fechado é igual a zero.

1 2 3 .....C C C CnV V V V V= + + + + (12.19)

Substituindo a equação (12.18) na (12.19), obtém-se:

0 0

0 0

1 21 2

33

1 1. ( ). (0) . ( ). (0)

1 1. ( ). (0) ... . ( ). (0)

t t

C C C Ct t

t t

C C C Cnnt t

V i t dt v i t dt vC C

i t dt v i t dt vC C

= + + + +

+ + + +

(12.20)


0

1 2 31 2 3

1 1 1 1... . ( ). (0) (0) (0) ... (0)

t

C C C C Cnn t

V i t dt v v v vC C C C

= + + + + + + + + +

(12.21)

O capacitor equivalente é definido por:

0

1. ( ). (0)

t

C Ceqeq t

V i t dt vC

= + (12.22)

Substituindo-se a equação (12.22) na (12.21) obtém-se a equação que determina a capacitância equivalente para a associação em série de n capacitores.

1 2 3

1 1 1 1 1.....

eq nC C C C C= + + + + (12.23)

1 2 3

11 1 1 1

...eq

n

C

C C C C

=+ + + +

(12.24)

A tensão inicial equivalente será dada pela soma de todas as tensões iniciais.

1 2 3(0) (0) (0) (0) ... (0)Ceq C C C Cnv v v v v= + + + + (12.25)

Para o caso particular de dois capacitores, pode-se determinar a capacitância equivalente através da equação (12.26).

1 2

1 2

.eq

C CC

C C=

+ (12.26)

Na Fig. 12-10 é mostrado um circuito paralelo na qual todos os capacitores estão conectados aos mesmos nós. Desta maneira, a tensão sobre cada capacitor é igual à tensão da fonte.

V C2 C3 CnC1

I I1 I2 I3 In

Fig. 12-10 - Circuito paralelo.

Em um circuito paralelo, a corrente total da fonte de alimentação é igual à soma das correntes individuais.

1 2 3 ... nI I I I I= + + + + (12.27)

Substituindo a equação (12.17) na (12.27) e dividindo-se ambos os lados da equação por dv dt , obtém-se a equação que determina a capacitor equivalente para o caso de capacitores conectados em paralelo.


1 2 3 ....eq nC C C C C= + + + + (12.28)

12.5 Exercícios 1-) Determine o circuito equivalente do circuito abaixo do ponto de vista dos terminais a e b.

44H

21H

1,2H

10H 25H12H

4Ha

b

15H

Resposta: Leq=8,64H.

2-) Determine o circuito equivalente.

14mH

12mH

80mH

24mH 15,8mH

6mH

5mH

60mH10mH

Resposta: Leq=20mH.

3-) Calcule a indutância equivalente co circuito abaixo.

100mH20mH

20mH

40mH

40mH50mH 30mH

Resposta: Leq=25mH.

4-) Determine o circuito equivalente do circuito capacitivo apresentado abaixo.

1,6uF

12uF

8uF

6uF5uF

4uF16uF

Resposta: Ceq=6uF.


5-) Determine o circuito equivalente.

32nF

12,8nF

18nF

5,6nF

40nF

8nF

8nF

Resposta: Ceq=5nF.

6-) Calcule a capacitância equivalente vista nos terminais do circuito abaixo.

20uF 120uF

70uF

60uF

50uF

Resposta: Ceq=40uF.

13 ANÁLISE DE CIRCUITOS SENOIDAIS

Até agora, limitamos nossas discussões a circuitos com fontes de tensão ou de corrente contínua. Neste item, será estudada a resposta em regime permanente de circuitos alimentados por fontes de tensão ou de corrente que variam com o tempo. Em particular, a fontes nas quais o valor da tensão ou da corrente varia senoidalmente. As fontes senoidais e seus efeitos nos circuitos constituem uma importante área de estudo, devido à geração, transmissão, distribuição e consumo de energia elétrica serem feitas na forma de tensões e correntes senoidais.

13.1 Fontes Senoidais

Uma fonte de tensão senoidal (independente ou dependente) produz uma tensão que varia senoidalmente com o tempo. Uma fonte de corrente senoidal (independente ou dependente) produz uma corrente que varia senoidalmente com o tempo. Para iniciar os estudos dos circuitos senoidais, utilizaremos uma fonte de tensão, mas as observações também se aplicam a fontes de corrente.

Pode-se expressar uma função senoidal através da função seno ou da função co-seno. Embora as duas funções sejam equivalentes, não se pode usá-las ao mesmo tempo. A função que descreve o comportamento senoidal de uma fonte de tensão pode ser escrita como apresentada nas equações (13.1) e(13.2):

( ). .pv V sen tω φ= + (13.1)


( ).cos . 90pv V tω φ= + − (13.2)

Onde: Vp = Tensão máxima ou tensão de pico em volts (V); ω = Freqüência angular em radianos/segundos (rad/s); t = Tempo em segundos (s); φ = Ângulo de fase, ou ângulo que inicia a forma de onda. A Fig. 13-1 apresenta a forma de onda de uma fonte de tensão senoidal.

T

0

Vp

π 2.π 3.π 4.π

V

-Vp

ω .t

Fig. 13-1 – Tensão senoidal.

Observe que uma função senoidal se repete a intervalos regulares. As funções que apresentam esta propriedade são chamadas de periódicas. Um dos parâmetros de interesse é o tempo necessário para que a função senoidal complete um ciclo, ou seja, passe uma vez por todos o valores possíveis. Este tempo é chamado de período da função e é representado pela letra T (s=segundos). O inversor de T é o número de ciclos por segundo, ou freqüência, da função senoidal, cujo símbolo é a letra f (Hz=Hertz).

1f

T= (13.3)

Os coeficientes de t nas equações (13.1) e (13.2) são proporcionais a freqüência e representado pela equação (13.4).

2.2. . f

Tπω π= = (13.4)

Outra característica importante de uma função senoidal é o valor rms ou eficaz. O valor rms de uma função periódica é obtido substituindo-se a função que descreve o comportamento periódico na equação (13.5) e resolvendo-se a mesma.

21. ( ) .

f

o

t

rmst

V f t dtT

= (13.5)

Substituindo-se a equação (13.1) na equação(13.5), obtém-se:


( )( )

( )( )

( )

( ) ( )

2

2

0

2

0

2

0

1. . . .

1. . . 0 .

2. ...

2 4

2. 2.00.

2 4 2 4

2

f

o

t

rms pt

rms p

prms

prms

prms

V V sen t dtT

V V sen t dt

V sen ttV

V sen senV

VV

π

π

π

ω φ

ωπ

ωωπ

πππ

= +

= +

= −

= − − −

=

(13.6)

Desta forma, o valor rms de uma função senoidal depende apenas da amplitude da função (VP=valor de pico). O valor rms tem uma propriedade interessante: dados uma carga resistiva equivalente, R, e um período de tempo equivalente, T, uma fonte senoidal com um certo valor de tensão rms fornece a mesma energia à carga R que uma fonte de tensão contínua com o mesmo valor. Assim, por exemplo, uma fonte de tensão contínua de 100V fornece a mesma energia em T segundos a uma carga resistiva que uma fonte de tensão senoidal de 100Vrms.


A figura abaixo apresenta o sinal obtido na tela de um osciloscópio. Deseja-se através deste sinal obter o valor de pico da tensão, de pico-a-pico, rms, freqüência e a equação da tensão no domínio do tempo.

0V

20V

-10V

10V

-20V

2 4 6 8 t(ms)

V

O valor de pico é medido desde o eixo de simetria da onda até um de seus picos, desta forma tem-se: 20pV V= O valor de pico-a-pico expressa a amplitude da onda de um extremo a outro. 40ppV V= O valor rms da onda é obtido em função do valor de pico e da equação (13.6).

2014,14

2 2p

rms

VV V= = =


Para efetuar o cálculo da freqüência é necessário definir inicialmente o período da forma de onda. Analisando-se a figura, observa-se que a mesma termina um ciclo completo em um tempo T igual a 4ms, desta forma:

3

1 1250

4.10f Hz

T −= = =

A equação no domínio no tempo é definida pela equação (13.1). Substituindo-se os valores, obtém-se:

( ) ( )( ) ( )

. . . 2. . .

20. 2. .250. 0 20. 1570,8.p pv V sen t V sen f t

v sen t sen t

ω φ π φ

π

= + = +

= + =

Na equação acima o ângulo φ foi substituído por zero devido à forma de onda iniciar seu ciclo exatamente na passagem por zero.

13.3 Exercícios 1-) Uma corrente senoidal tem uma amplitude de 20A. A corrente passa por um ciclo completo em 1ms. O valor da corrente em t=0 é 10A. Determine:

a) Qual é a freqüência da corrente em hertz? b) Qual é a freqüência da corrente em radianos por segundo? c) Escreva uma equação para i(t) usando a função seno. Expresse φ em graus. d) Qual o valor eficaz da corrente? Respostas: a) 1kHz; b) 6,283krad/s; c) i(t)=20.sen.(6283.t+30°); d) Ief=14,14A.

2-) Uma tensão senoidal é dada pela expressão v(t)=300.sen.(120.π.t+30°). Determine: a) O período da tensão em milisegundos. b) A freqüência em hertz. c) O valor da tensão em t=2,778 ms. d) O valor eficaz da tensão. Respostas: a) 16,667 ms; b) 60 Hz; c) 300V; d) 212,132V.

3-) Um sinal senoidal apresenta a seguinte equação: v(t)=110.sen.(120.π.t). Determine: a) O valor de pico da senóide; b) A freqüência; c) O período; d) A tensão eficaz. Respostas: a) 110V; b) 60Hz; c) 16,67ms; d) 77,78V.

4-) Um sinal alternado senoidal apresenta uma tensão de pico de 156V e um período de 20ms. Determine:

a) A equação no domínio do tempo, sabendo que φ=0°; b) O valor da tensão instantânea, para t1=0, t2=1ms, t3=10ms. Respostas: a) v(t)=156.sen.(314,16.t); b) v(t1)=0V, v(t2)=48,20V e v(t3)=0V.

5-) Determine a amplitude, ângulo de fase, período e freqüência da senóide. v(t)=12.cos.(50.t+10°).

Respostas: Vp=12V; φ=10°; T=0,1257s e f=7,958Hz.


14 FASORES

Fasor é um número complexo que representa a amplitude e fase de uma senóide. Senóides são facilmente expressas em termos de fasores, os quais são muito mais

fáceis de serem trabalhados do que as funções seno e co-seno. Os fasores possibilitam uma análise simples de circuitos lineares excitados por

fontes senoidais. As soluções destes circuitos podem ser impossíveis de serem determinadas de outra maneira. A idéia de resolver circuitos CA usando fasores foi apresentada por Charles Steinmetz em 1893. Antes de definirmos completamente os fasores, aplicando-se à análise de circuitos, precisamos nos familiarizar totalmente com os números complexos.

Um número complexo Z pode ser escrito na forma retangular como:

.Z R j X= + (14.1)

Onde R e X são números reais, enquanto que 1j = − . O primeiro termo (R) do número complexo R+j.X denomina-se “parte real” e é representado sobre o eixo dos números reais. O segundo termo (j.X) é denominada “parte imaginária” e é representado em um eixo perpendicular ao primeiro, chamado eixo imaginário ou eixo dos números imaginários. Quando R=0 o número complexo se reduz a um número imaginário puro e de modo análogo quando X=0 o número complexo se reduz a um real puro. Dois números complexos R1+j.X1 e R2+j.X2 são iguais somente se R1=R2 e X1=X2.

Como se vê na Fig. 14-1 o eixo dos números reais é perpendicular ao eixo imaginário. Os eixos se intersectam em um ponto comum chamado zero. Todo número complexo pode ser representado por um ponto no plano complexo e todo ponto no plano complexo representa um número complexo. Ao multiplicar um vetor por j obtém-se o efeito de girar o vetor de 90° no sentido positivo (anti-horário).

j

Real

-j

Imaginário

Fig. 14-1 – Eixos do plano complexo.

A representação vetorial de um número complexo é por uma flecha e pela letra Z, cujo início está na origem das coordenadas e a extremidade no ponto que representa o número complexo no plano. Na Fig. 14-2 são mostradas as representações vetoriais dos números complexos R+j.X e R-j.X.

Z=R+j.Xj

-j -j

j

Z=R-j.X

φ φ

X

X

R

R

Fig. 14-2 – Representação vetorial de números complexos.


Na Fig. 14-2 pode-se observar que a parte real de um número complexo é a projeção do vetor Z sobre o eixo horizontal (real) e a projeção sobre o eixo vertical (imaginário) constitui a parte imaginária do mesmo. Conforme o teorema de Pitágoras, pode-se calcular a magnitude do vetor Z, fazendo:

2 2Z R X= + (14.2)

Onde: |Z| = Magnitude ou módulo de Z; R = Parte real do número complexo; X = Parte imaginária do número complexo. O sentido do vetor é definido através do ângulo de fase φ, que se mede em sentido anti-horário, tomando como referência o eixo horizontal. A equação matemática para o ângulo é dada por:

( ) Xtg

RX

arctgR

φ

φ

=

= (14.3)

Conhecendo-se o módulo de Z e o ângulo de fase, pode-se expressar o número complexo na forma polar, ou exponencial, como sendo:.

Z Z φ= (14.4)

.jZ Z e φ= (14.5)

Por outro lado, se conhecermos |Z| e φ, pode-se determinar R e X.

.cosR Z φ= (14.6)

.X Z senφ= (14.7)

Portanto, Z pode ser escrito como:

( ).. . cos .jZ R j X Z Z e Z j senφφ φ φ= + = = = + (14.8)

14.1 O Conjugado de um Número Complexo Dois números complexos são conjugados entre si se suas partes reais são iguais e as

partes imaginárias são da mesma grandeza, porém de sinais contrários. O conjugado, cujo símbolo é Z , de um número complexo .Z R j X= + será o número complexo

.Z R j X= − . Na Fig. 14-2 dá-se a representação vetorial de dois números complexos.

Pode-se observar nesta figura que o conjugado Z do número complexo Z é a imagem de Z com relação ao eixo real.


14.2 Soma de Números Complexos Somam-se números complexos somando as partes reais e imaginárias

separadamente. Por exemplo, dados os números complexos:

1 1 1

2 2 2

.

.

Z R j X

Z R j X

= += +

Sua soma será:

1 2 1 2 1 2( ) .( )Z Z R R j X X+ = + + + (14.9)

O módulo do vetor resultante da soma e seu ângulo de fase (forma polar) são dados pelas equações (14.10) e (14.11).

( ) ( )2 21 2 1 2Z R R X X= + + + (14.10)

1 2

1 2

X Xarctg

R Rφ

+= + (14.11)

14.3 Subtração de Números Complexos Subtrai-se um número complexo de outro, subtraindo as partes reais e imaginárias

separadamente. O resultado da subtração é dado pela equação (14.12).

( ) ( )1 2 1 2 1 2.Z Z R R j X X− = − + − (14.12)

14.4 Multiplicação de Números Complexos A multiplicação de números complexos é similar à multiplicação algébrica comum,

ou seja: 2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2. ( . ) ( . ) . . . . . . .Z Z R j X R j X R R j R X j R X j X X= + + + = + + + (14.13)

Como 1j = − e 2 1j = − , obtém-se:

( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 2 1. . . . . .Z Z R R X X j R X R X= − + + (14.14)

Uma alternativa é converter os números complexos para a forma polar. Após a conversão devem-se multiplicar os módulos e somar os ângulos. A equação (14.15) descreve este procedimento.

1 2 1 2 1 2. . .Z Z Z Z φ φ= + (14.15)


14.5 Divisão de Números Complexos Para dividir números complexos multiplica-se o numerador e o denominador pelo

conjugado do denominador. Quando se multiplica um número complexo por seu conjugado obtém um número real puro.

2 2. ( . ).( . )Z Z R j X R j X R X= + − = + (14.16)

Na equação (14.17) mostra-se a divisão de dois números complexos:

( ) ( )( ) ( )

1 1 2 21 1 1

2 2 2 2 2 2 2

. . ... . . .

R j X R j XZ R j XZ R j X R j X R j X

+ −+= =+ + −

(14.17)

Utilizando a regra de multiplicação de números complexos na equação (14.17), obtém-se:

( ) ( )( ) ( )

1 2 1 2 2 1 1 212 2

2 2 2

. . . . .R R X X j R X R XZZ R X

+ + −=

+ (14.18)

Uma alternativa é converter os números complexos para a forma polar. Após a conversão devem-se dividir os módulos e subtrair os ângulos. A equação (14.19) descreve este método.

111 2

2 2

ZZZ Z

φ φ= − (14.19)

14.6 Exercícios 1-) Determine os seguintes números complexos:

a-) 10 30 (3 4)(2 4).(3 5)

jj j

− ° + −+ −

b-) [ ](5 2).( 1 4) 5 60j j+ − + − °

c-) 10 5 3 40

10 303 4j

j+ + ° + °− +

Respostas: a-) 0,565 42,06− ° ; b-) –15,5+j13,67; c-) 8,29+j2,2.

2-) Transforme as seguintes senóides em fasores: a-) ( ) 4. (30. 50 )v t sen t= + ° b-) ( ) 5. (30. 10 )i t sen t= + ° c-) ( ) 15. (100. 50 )p t sen t= − ° d-) ( ) 10. (377. 20 ) 15. (377. 60 )v t sen t sen t= + ° + − ° e-) ( ) 311. (377. 5 ) 100. (377. 10 )i t sen t sen t= + ° − − ° f-) ( ) 4. 8. 3. (8. 10 )v t sen t sen t= + − ° g-) ( ) 40. (50. ) 30.cos(50. 45 )v t sen t t= + − °


Respostas: a-) 4 50V V= ° ; b-) ( ) 510i t A= ° ; c-) 15 50P W= − ° ; d-). 19,42 29,53V V= − ° ; e-) 215,9311,88I A= ° ; f-) 6,97 4,28V V= − ° ;

g-) 64,7819,11V V= ° 3-) Transforme as fasores abaixo para senóides. a-) 10 30V = − ° b-) .(5 12)I j j= − c-) 6015 ; 1V ω= ° = d-) 6 8; 40V j ω= + =

e-) 30,5 1,2; 10I j ω= − − = f-) 40 60V = − ° g-) 30 10 50 60V = − ° + °

Respostas: a-) ( ) 10. ( . 210 )v t sen tω= + ° ; b-) ( ) 13. ( . 22,62 )i t sen tω= + ° ;

c-) ( ) 60. ( 15 )v t sen t= + ° ; d-).10. (40. 53,13 )sen t + ° ; e-) 3( ) 1,3. (10 . 112,62 )i t sen t= − ° ; f-) ( ) 40. ( . 60 )v t sen tω= − ° ; g-) ( ) 38,36. ( . 96,8 )v t sen tω= + °

15 RESPOSTAS DOS COMPONENTES PASSIVOS A FONTES SENOIDAIS

Nesta seção será abordado o estudo do comportamento da tensão e da corrente em

circuitos contendo elementos passivos quando os mesmos estão submetidos a fontes de alimentações senoidais.

15.1 Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito Resistivo

O circuito resistivo da Fig. 15-1 é submetido a fonte de tensão senoidal

representada por:

( ). .pv V sen tω φ= + (15.1)

V RI

Fig. 15-1 – Circuito Resistivo.

De acordo com a lei de Ohm, se a tensão aplicada aos terminais do resistor varia senoidalmente no tempo, representado pela equação (15.1), a corrente que atravessa o resistor será dada por:


( ) ( ). .. .p

p

V sen tvi I sen t

R R

ω φω φ

+= = = + (15.2)

As equações (15.1) e (15.2) contêm uma importante informação – a de que um resistor não introduz nenhuma diferença de fase entre a corrente e a tensão. A Fig. 15-2 apresenta o comportamento da tensão e da corrente em um resistor. Dizemos que em um resistor a corrente e a tensão estão em fase, já que ambas atingem valores correspondentes de sua curva ao mesmo tempo (passam simultaneamente pelo pico, por exemplo).

-Vp

0

Vp

Ip

-Ip

Fig. 15-2 – Comportamento da tensão e da corrente em um resistor.

15.2 Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito Puramente Indutivo

Para determinar a relação entre a tensão aplicada aos terminais de um indutor e a corrente que atravessa o mesmo, conforme apresentado na Fig. 15-3, vamos supor que a corrente é senoidal e usar a equação da tensão no indutor ( ( ) . ( )Lv t L di t dt= ) para calcular a tensão correspondente. Supondo que a corrente é dada por:

( ) . ( . )L Pi t I sen tω φ= + (15.3)

V LI

Fig. 15-3 – Circuito indutivo.

Substituindo a equação (15.3) na equação da tensão no indutor, obtém-se:

( )( ) .

. ( . )( ) .

L

PL

di tv t L

dtdI sen t

v t Ldt

ω φ

=

+= (15.4)

Derivando em função do tempo, obtém-se:

( ) . . .cos( . ) . . . ( . 90 )oL P Pv t L I t L I sen tω ω φ ω ω φ= + = + + (15.5)

A equação (15.5) mostra que a tensão e a corrente estão defasadas de exatamente 90°. Na verdade, a tensão está adiantada de 90° em relação à corrente, ou, o que na prática


significa a mesma coisa, a corrente está atrasada de 90° em relação à tensão. A Fig. 15-4 ilustra este conceito de tensão adiantada em relação à corrente ou corrente atrasada em relação à tensão. Por exemplo, a tensão atinge o pico negativo exatamente 90° antes que a corrente atinja o pico negativo. A mesma observação pode ser feita em relação aos pontos em que as funções passam pelo zero no sentido crescente e em relação ao pico positivo.

-Vp

0

VpIp

-Ip

Fig. 15-4 – Comportamento da tensão e da corrente em um indutor.

Aplicando-se a lei de Ohm nas equações (15.3) e (15.5), obtém-se:

. . . ( . 90 ). ( . )

. . ( . 90 )( . )

oL P

LL P

o

L

V L I sen tZ

I I sen t

L sen tZ

sen t

ω ω φω φ

ω ω φω φ

+ += =+

+ +=+

(15.6)

Convertendo a equação (15.6) para a forma polar, temos:

. 90

1

. 90

o

L

oL

LZ

Z L

ω φφ

ω

+=

=

(15.7)

Ou:

. .LZ j Lω= (15.8)

Os termos . .j Lω na equação, representam a impedância do indutor no domínio da freqüência, medida em Ohms. Analisando a equação (15.8), pode-se observar que a impedância do indutor é diretamente proporcional à freqüência e a indutância. A Fig. 15-5 apresenta a variação da reatância com a freqüência.

f(Hz)

XL(Ω)

Fig. 15-5 – Variação da reatância com a freqüência.


15.3 Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito Puramente Capacitivo

Para determinar a relação entre a tensão aplicada aos terminais de um capacitor e a

corrente que atravessa o mesmo, conforme apresentado na Fig. 15-6, vamos supor que a tensão é senoidal e usar a equação da corrente no capacitor ( ( ) . ( )Ci t C dv t dt= ) para calcular a corrente correspondente. Supondo que a tensão é dada por:

( ) . ( . )C Pv t V sen tω φ= + (15.9)

V CI

Fig. 15-6 – Circuito capacitivo.

Substituindo a equação (15.9) na equação da corrente no capacitor, obtém-se:

( )( ) .

. ( . )( ) .

C

PC

dv ti t C

dtdV sen t

i t Cdt

ω φ

=

+= (15.10)

Derivando em função do tempo, obtém-se:

( ) . . .cos( . ) . . . ( . 90 )oC P Pi t C V t C V sen tω ω φ ω ω φ= + = + + (15.11)

A equação (15.11) mostra que a tensão entre os terminais de um capacitor está atrasada de exatamente 90° em relação à corrente que o atravessa. Outra forma de descrever a relação é dizer que a corrente está adiantada de 90° em relação à tensão. A Fig. 15-7 mostra o comportamento da tensão e da corrente em um capacitor.

-Vp

0

Vp

-Ip

Ip

Fig. 15-7 - Comportamento da tensão e da corrente em um capacitor.

Aplicando-se a lei de Ohm nas equações (15.9) e (15.11), obtém-se:

. ( . ). . . ( . 90 )

( . ). . ( . 90 )

C PC o

C P

C o

V V sen tZ

I C V sen t

sen tZ

C sen t

ω φω ω φ

ω φω ω φ

+= =+ +

+=+ +

(15.12)


Convertendo a equação (15.12) para a forma polar, temos:

1

. 90

1 90.

C o

C

ZC

ZC

φω φ

ω

=+

−=

(15.13)

Ou:

.C

jZ

Cω−= (15.14)

Os termos .j Cω− na equação, representam a impedância do capacitor no domínio da freqüência, medida em Ohms. Através da equação (15.14), pode-se observar que a impedância capacitiva é inversamente proporcional a freqüência e a capacitância. A Fig. 15-8 mostra a variação da impedância com a freqüência.

XC(Ω)

f(Hz) Fig. 15-8 – Variação da reatância em função da freqüência.

15.4 Impedância e Reatância

Concluímos esta discussão do comportamento dos elementos passivos no domínio da freqüência com uma observação importante. Quando comparamos as equações (15.2), (15.6) e (15.12), observamos que todas são da forma:

.V Z I= (15.15)

Onde Z representa a impedância do elemento. Explicitando Z na equação (15.15), vemos que a impedância é a razão entre a tensão fasorial de um elemento do circuito e a corrente que o atravessa. Assim, a impedância de um resistor é R, a impedância de um indutor é . .j Lω e a impedância de um capacitor é / .j Cω− . Nos três casos a impedância é medida em ohms. A impedância no domínio da freqüência é uma grandeza análoga à resistência, à indutância e à capacitância no domínio do tempo. A parte real da impedância é a resistência; a parte imaginária é chamada de reatância. Os valores de impedância e reatância de todos os elementos passivos são apresentados na tabela abaixo.


Elemento Impedância (Z) Reatância (X) Resistor R - Indutor . .j Lω .Lω

Capacitor (1 . )j Cω− 1 .Cω

Na Fig. 15-9 mostra-se um circuito que contém os três elementos passivos: resistor, indutor e capacitor. A impedância Z do circuito pode ser representada na forma retangular ou na forma polar. A impedância do circuito da Fig. 15-9 na forma retangular é dada por:

.

1. .

.

Z R j X

Z R j LC

ωω

= +

= + −

(15.16)

Na forma polar a impedância é definida por:

Z Z φ= (15.17)

Onde:

22 2 2 1

..

1. .

Z R X R LC

LX Carctg arctgR R

ωω

ω ωφ

= + = + −

− = =

(15.18)

V

LR C

I

+

j.ω .L -j/ω.C

Fig. 15-9 – Circuito de CA com R, L e C.

Para converter da forma polar para retangular basta aplicar a equação (15.19).

( ) ( ).cos . .Z Z j Z senθ θ= + (15.19)


De acordo com o circuito a seguir, calcule v(t):


v(t) C

i(t) C=200uFi(t)=7.sen.(754.t+15°)

Inicialmente pode-se calcular a impedância capacitiva.

6 6,631 6,632 90. 754.200.10C

j jZ j

Cω −

− −= = = − Ω = − °Ω

Convertendo a corrente para a forma polar, obtém-se: 7 15I A= °

Assim, a tensão da fonte é obtida por: . 6,631 90 .7 15

46,42 75CV Z I

V V

= = − ° °= − °

É importante observa que os cálculos foram efetuados levando-se em consideração a corrente de pico, o que resulta na tensão de pico. Caso deseja-se obter a tensão eficaz da fonte basta dividir o valor obtido por 2 . Assim:

32,822 75rmsV V= − °

Convertendo a tensão da fonte para o domínio do tempo, tem-se:

( ) 46, 417. (754. 75 )v t sen t V= − °

15.6 Exercícios 1-) A corrente no domínio do tempo no indutor abaixo é 10.sen(10000.t+30°)mA. Calcule:

a) A reatância indutiva; b) A impedância do indutor; c) A tensão fasorial (forma polar); d) A expressão da tensão no domínio do tempo.

20mH

I+ _

Respostas: a) 200Ω; b) j200Ω; c) 02 120 PV ; d) 2.sen(10000.t+120°)V.

2-) A tensão entre os terminais do capacitor abaixo é 30.sen(4000.t+25°)V. Calcule:

a) A reatância capacitiva; b) A impedância do capacitor; c) A corrente fasorial (forma polar); d) A expressão da corrente no domínio do tempo.

5uF

+I

_

Respostas: a) 50Ω; b) –j50Ω; c) 00,6115 PA ; d) 0,6.sen(4000.t+115°)A


3-) Sabe-se que a corrente em uma capacitância de C=30uF é i(t)=12.sen.(2000.t)A. Determine a tensão e construa o diagrama fasorial.

Resposta: v(t)=200.sen.(2000.t-90°)V 4-) De acordo com o circuito a seguir, calcule v(t).

v(t) L

i(t)L=0,01H

i(t)=5.cos.(2000.t)A

Resposta: v(t)=100.cos.(2000.t+90°) V

5-) Determine v(t) e i(t) no circuito abaixo:

5R

0,1F vv(t)=10.sen(4.t)

+

_

i

Respostas: i(t)=1,79.sen.(4.t+26,56°)A e v(t)=4,47.sen.(4.t-63,43°)V

16 ASSOCIAÇÃO DE IMPEDÂNCIAS

As regras para combinar impedâncias em série, em paralelo ou mista são as mesmas dos circuitos resistivos. A única diferença está no fato de que para combinar impedâncias é preciso manipular números complexos.

16.1 Associação em Série de Impedâncias

Para combinar impedâncias em série, basta somar as impedâncias individuais. O circuito da Fig. 16-1 define o problema em termos gerais. As impedâncias Z1, Z2,..., Zn estão ligadas em série entre os terminais a e b. Quando duas ou mais impedâncias estão ligadas em série, são atravessadas pela mesma corrente fasorial I.

Z1a Z2 Zn

b

+

_

VabI

Fig. 16-1 – Impedâncias em série.

Aplicando-se a lei de Kirchhoff das tensões obtém-se:

1 2. . ... .ab nV Z I Z I Z I= + + + (16.1)


Assim, a impedância equivalente entre os terminais a e b será:

1 2 ...abeq ab n

VZ Z Z Z Z

I= = = + + + (16.2)

A Fig. 16-2 apresenta o circuito equivalente.

IZeq

a

b

+

_

Vab

Fig. 16-2 – Circuito equivalente.

16.2 Associação em Paralelo de Impedâncias

A Fig. 16-3 apresenta um circuito com várias impedâncias em paralelo no domínio da freqüência. Observe que a tensão é a mesma entre os terminais de todas as impedâncias. A equação da impedância equivalente é obtida aplicando-se a lei das correntes de Kirchhoff. Desta forma:

I

a

I1 I2 InZ1 Z2 Zn

b

V

+

_

Fig. 16-3 – Impedâncias em paralelo.

1 2 ... nI I I I= + + + (16.3)

Substituindo-se as correntes pela lei de Ohm para o domínio da freqüência, obtém-se:

1 2

...eq n

V V V VZ Z Z Z

= + + + (16.4)

Dividindo-se por V, obtêm-se:

1 2

1 1 1 1...

eq nZ Z Z Z= + + + (16.5)

1 2

11 1 1

...eq

n

Z

Z Z Z

=+ + +

(16.6)

Para o caso particular de duas impedâncias associadas em paralelo pode-se utilizar a equação (16.7):


1 2

1 2

.eq

Z ZZ

Z Z=

+ (16.7)

16.3 Transformação Estrela-Triângulo

A transformação estrela triângulo discutida anteriormente, quando estávamos estudando circuitos puramente resistivos, também se aplica a impedâncias. A Fig. 16-4 apresenta três impedâncias ligadas em estrela (a) e o circuito equivalente em triângulo (b).

Z1

Z3 Zb

Z2

Za

Zc1 1

2 2

3 3

4 4(a) (b)

Fig. 16-4 – Equivalência entre a conexão (a) estrela e (b) triângulo.

16.3.1 Conversão de Triângulo para Estrela

Quando o circuito original está na conexão triângulo, pode-se converter o circuito

para estrela utilizando-se as seguintes relações:

1.b c

a b c

Z ZZ

Z Z Z=

+ + (16.8)

2.a c

a b c

Z ZZ

Z Z Z=

+ + (16.9)

3.a b

a b c

Z ZZ

Z Z Z=

+ + (16.10)

A regra para a conversão triângulo-estrela é, portanto: cada impedância do circuito em estrela é o produto das impedâncias dos dois ramos adjacentes do triângulo dividido pela soma das três impedâncias do triângulo. 16.3.2 Conversão de Estrela para Triângulo

Quando o circuito original está na conexão estrela, pode-se converter o circuito

para triângulo utilizando-se as seguintes relações:

1 2 2 3 3 1

1

. . .a

Z Z Z Z Z ZZ

Z+ += (16.11)

1 2 2 3 3 1

2

. . .b

Z Z Z Z Z ZZ

Z+ += (16.12)


1 2 2 3 3 1

3

. . .c

Z Z Z Z Z ZZ

Z+ += (16.13)

A regra para a conversão estrela-triângulo é, portanto: cada impedância do circuito em triângulo é o produto das impedâncias da estrela duas a duas dividido pela impedância oposta da estrela.


A fonte de corrente senoidal da figura abaixo produz uma corrente iS=8.sen.(200.000.t)A

a) Determine o circuito equivalente no domínio da freqüência; b) Determine a tensão da fonte e as correntes i1, i2 e i3.

Iac 1uF10R

6R

40uH

I1 I2 I3

Inicialmente deve-se obter a transformada fasorial da fonte de corrente.

8 0Iac A= °

A freqüência da fonte de corrente é dada por:

200.0002. .

200.00031,831

2. 2.

rad s

f

f kHz

ωω π

ωπ π

==

= = =

(16.14)

As impedâncias individuais dos indutores e capacitores podem ser obtidas em função da freqüência ou da freqüência angular.

3 6

. . .2. . .

.200.10 .40.10

8

L

L

L

Z j L j f L

Z j

Z j

ω π−

= =

== Ω

(16.15)

3 6

1 1. .

. 2. . .1

.200.10 .1.10

5

C

C

C

Z j jC f C

Z j

Z j

ω π

−

= − = −

= −

= − Ω

(16.16)


A Fig. 16-5 apresenta o circuito equivalente no domínio da freqüência.

-j510R

6R

j8

8 A°0

Fig. 16-5 – Circuito equivalente no domínio da freqüência.

Observando-se o circuito equivalente da Fig. 16-5, verifica-se que para determinar a tensão entre os terminais da fonte de corrente é preciso conhecer a impedância equivalente das impedâncias em paralelo.Uma vez calculada a tensão fasorial V, pode-se obter as três correntes fasorias. A impedância série, formada pelo resistor e indutor é dada por:

6 8SZ j= + Ω

Para facilitar a resolução das impedâncias em paralelo, é preciso passar as mesmas para a forma polar, obtendo-se:

2 2 2 26 8

10

86

53,1310 53,13

S L

S

L

S

Z R X

Z

Xarctg arctg

R

Z

θ

θ

= + = +

=

= =

= °= °Ω

(16.17)

10 0RZ = °Ω

5 90CZ = − °Ω

A impedância equivalente é obtida aplicando-se a equação (16.6).

1 11 1 1 1 1 1

10 0 10 53,13 5 90

5 36,87

eq

R S C

eq

Z

Z Z Z

Z

= =+ + + +

° ° − °

= − °Ω

(16.18)

A tensão V é dada por:

. 5 36,87 .8 0

40 36,87eq SV Z I

V V

= = − ° °

= − ° (16.19)

Assim, as correntes são obtidas por:


1

40 36,874 36,87

10 0R

VI A

Z

− °= = = − °

° (16.20)

2

40 36,874 90

10 53,13S

VI A

Z

− °= = = − °

° (16.21)

3

40 36,878 53,13

5 90C

VI A

Z

− °= = = °

− ° (16.22)

As equações correspondentes no domínio do tempo são:

1

2

3

40. (200.000. 36,87 )4. (200.000. 36,87 )

4. (200.000. 90 )

8. (200.000. 53,13 )

v sen t V

i sen t A

i sen t A

i sen t A

= − °= − °= − °= + °

(16.23)

É importante observar que os resultados acima representam os valores de pico das tensões e correntes no circuito. Para obter os valores eficazes ou rms basta dividir os valores de pico por 2 , ou calcular o valor eficaz da fonte de corrente e efetuar todos os cálculos novamente.

16.5 Exercícios 1-) Determine a impedância equivalente e a corrente da fonte do circuito abaixo.

2,55mH

1,59uF

24R

2kHz30V

Respostas: Zeq=24-j18 e I=0,8+j0,6A.

2-) Determine no circuito abaixo:

a) A impedância total do circuito; b) A corrente total da fonte; c) As correntes nos respectivos componentes.

100mH30R120V

44uF60Hz

Respostas: a-) 27,55+j8,21; b-) 4-j1,192A e c-) IR=4A; IL=-j3,183A e IC=j1,99A.


3-) Um resistor de 20Ω é ligado em paralelo com um indutor de 5mH. Esta combinação em paralelo é ligada em série com um resistor de 5Ω e um capacitor de 25µF.

a) Calcule a impedância do circuito para uma freqüência de 318,31Hz; b) Repita o item (a) para uma freqüência de 8k rad/s.

Respostas: a) 9-j12Ω; b) 21+j3Ω.

4-) O circuito do exercício anterior é ligado aos terminais de uma fonte cuja tensão é v(t)=150.sen.4000.t V. Qual é a corrente de pico e eficaz no indutor de 5mH?

Respostas: 7,07 45pkI A= − ° e 5 45efI A= − ° .

5-) Três ramos, com impedâncias de 3+j4Ω, 16-j12Ω e –j4Ω, são ligados em paralelo. Determine a impedância equivalente. Se o circuito for ligado a uma fonte senoidal cuja corrente é i(t)=8.sen.(ω.t)A, qual será a amplitude da corrente no ramo puramente capacitivo?

Respostas: 5 36,87 4 3eqZ j= − ° = − Ω e I=10A. 6-) Determine a tensão Vo (domínio do tempo) no circuito abaixo para ig(t)=0,5.sen.2000.t V.

12,5uF

ig

120R 40R

60mH Vo+

_

Resposta: ( ) 30. 2. (2000. 45 )ov t sen t V= + ° .

7-) Determine a impedância de entrada do circuito abaixo para 10 /rad sω = .

2H

50R

20R2mF

4mF

Resposta: 32,38 73,76Z j= −

8-) Determine a impedância de entrada do circuito abaixo. Considere que o circuito opera com 50 /rad sω = .

8R

0,2H

10mF

3R

2mF

Zin

Resposta: 3,22 11,07Zin j= − Ω


9-) Determine a corrente I.

j4I

-j42R

12R 8R

-j3

j6

8R

50 0°

Resposta: 3,666 4, 204I A= − °

10-) Determine I no circuito abaixo.

-j2

-j3

10R

j58R

5R

j4

30 V°0

I

Resposta: 6,364 3,802I A= °

11-) Determine VS no circuito abaixo, para 2 0Io A= ° .

j2j42R 1R

-j2 -j1Vs

Io

Resposta: 8,485 45Vs V= − °

12-) Calcule v(t) no circuito abaixo.


50R

60.sen(200.t) V

50uF

0,1H

30R

v(t)

+

_

Resposta: v(t)=17,14.cos(200.t)V.

17 MÉTODO DE ANÁLISE DE MALHAS NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA

Pode-se também usar o método das correntes de malha para analisar circuitos no

domínio da freqüência. O método é idêntico ao utilizado na análise de circuitos puramente resistivos. Na seção 8, discutiu-se as técnicas básicas do método das correntes de malha; a extensão deste método aos circuitos no domínio da freqüência é ilustrada no exemplo a seguir.


Use o método das correntes de malha para determinar as tensões V1, V2 e V3 no circuito da Fig. 17-1.

V3

1R

+

j2R

V1

1R

_

+ +

_

+

12R

V2

-j16R

+

j3R

150 V0°

_

_

_

246,66 V108,43°I2I1

Fig. 17-1 – Circuito do exemplo.

Como o circuito apresenta duas malhas, devem-se escrever duas equações para as correntes das malhas. O sentido de referência escolhido para as correntes das malhas I1 e I2 é o sentido horário, como se pode ver na Fig. 17-1. Uma vez conhecidas as correntes I1 e I2, é fácil calcular as tensões desejadas. Somando-se as quedas de tensões ao longo da malha 1, obtém-se:

1 1 2(1 2). (12 16).( ) 150j I j I I+ + − − = (17.1)

Ou

1 2(13 14). ( 12 16). 150j I j I− + − + = (17.2)


Somando as tensões ao longo da malha 2, obtém-se:

2 1 2(12 16).( ) (1 3). 77,98 234,01j I I j I j− − + + = − (17.3)

Ou

1 2( 12 16). (13 13). 77,98 234,01j I j I j− + + − = − (17.4)

Desta foram:

1 2

1 2

(13 14). ( 12 16). 150

( 12 16). (13 13). 77,98 234,01

j I j I

j I j I j

− + − + =− + + − = −

(17.5)

Resolvendo-se o sistema de equações acima, tem-se:

1

2

26 52 58,14 116,56

24 58 62,77 112,48

I j A A

I j A A

= − − = − °

= − − = − ° (17.6)

Assim, as três tensões pedidas são:

1 1(1 2). 2,24 63, 43 .58,14 116,56 130, 23 53,13V j I V= + = ° − ° = − ° (17.7)

2 1 2

2

(12 16).( ) (12 16).( 26 52 24 58)

20 53,13 .6,324108, 43 126,48 55,3

V j I I j j j

V V

= − − = − − − + += − ° ° = °

(17.8)

3 2(1 3). 3,16 71,56 .62,77 112, 48 198,35 40,92V j I V= + = ° − ° = − ° (17.9)

17.2 Exercícios

1-) Determine ix(t) e vc(t) no circuito abaixo.

0,125F

10.cos(2.t-60°)V4H

3R

5.cos(2.t+10°)A

ix- vc +

Respostas: ix(t)=9,903.cos(2.t-129,17°)A e vc(t)=39,612.cos(2.t+140,83°)V.

2-) Determine i(t) e vc(t) usando a análise de malhas.

4R

+10.sen(2.t)V

2H

0,25F 6.sen(2.t)V

i(t)+

v(t)+

_

Respostas: i(t)=4,122.sen(2.t+14,032°)A e vc(t)=8,244.sen(2.t-75,968)V.


3-) Use o método das correntes de malha para determinar a corrente fasorial Ig no circuito abaixo.

-j3 5R

+

j3

j2

Ig

V5 -90°A5 0°

Resposta: 3 90gI A= − ° .

4-) Use o método das correntes de malha para determinar a equação de io(t) no circuito abaixo. v1(t)=60.sen.(40000.t+90°)V v2(t)=90.sen.(40000.t+180°)V

125uHV1

20R

+

1,25uF

+V2io(t)

Resposta: io(t)=9,49.sen.(40000.t+71,56°)

5-) Use o método das correntes de malha para determinar as tensões V1, V2 e V3 no circuito abaixo.

+

1R

-j16

j2

12R

+ V1 -

j3

150 V°0+

Ix 39.Ix _

+ V3 -

1R

V2

+

_

Respostas: 1 78 104V j V= − ; 2 72 104V j V= + e 3 150 130V j V= − .

6-) Use o método das correntes de malha para determinar a corrente fasorial I.

1R

-j5

2R

j2

3R

33,8 V°0

I

0,75.Vx

Vx

+

_

+

Resposta: 29,07 3,95I A= °


7-) Determine a corrente Io no circuito abaixo usando a análise de malhas.

j10

4R

-j2 Io

8R -j2

5 A°0

20 V90°+

Resposta: 6,12144,78oI A= °

8-) Utilize a análise de malhas para determinar a corrente Io no circuito.

+-j40

+

20Rj6080R

-j40

Io

100 V120° 60 V-30°

Resposta: 2,179 61, 44Io A= °

9-) Determine Io usando a análise de malha.

8R

6R

j4

Io

-j2

+

10 V30°

2 V0°

Resposta: 1,194 65, 45Io A= °

10-) Determine a corrente das malhas do circuito abaixo.

-j6

j1

j2

j4 3R

3R

2R

30 V20°

Respostas: 1 4,67 20,17I A= − ° e 2 1,79 37,35I A= ° .


18 MÉTODO DAS TENSÕES DE NÓ NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA

Na seção 9, apresentaram-se os conceitos básicos do método das tensões de nó. Os

mesmos conceitos podem ser usados para analisar circuitos senoidais no domínio da freqüência. O exemplo abaixo ilustra a solução de um circuito pelo método das tensões de nó.


Use o método das tensões de nó para determinar as correntes de ramo Ia, Ib e Ic no circuito da Fig. 18-1.

10R -j5

1R 5Rj2

10,6 A0° 82,36 V24,07°Ib

IcIa

V1 V2

Fig. 18-1 – Circuito do exemplo.

O circuito da Fig. 18-1 pode ser descrito em termos de duas tensões de nó. Como quatro ramos estão ligados ao nó inferior, ele é o mais indicado para ser escolhido como nó de referência. Somando as correntes no nó 1 (V1), tem-se:

1 1 2 10,610 1 2V V V

j−+ =

+ (18.1)

Ou

1 2(0,3 0, 4). ( 0,2 0, 4). 10,6j V j V− + − + = (18.2)

Somando-se as correntes no nó 2 (V2), obtém-se:

22 1 282,36 24,07

5 5 1 2

VV V Vj j

− ° −+ =− +

(18.3)

Ou

1 2( 0,2 0, 4). (0,4 0,2). 15,04 6,72j V j V j− + + − = + (18.4)

Desta forma:

1 2

1 2

(0,3 0, 4). ( 0,2 0,4). 10,6

( 0,2 0, 4). (0,4 0,2). 15,04 6,72

j V j V

j V j V j

− + − + =− + + − = +

(18.5)

Resolvendo-se o sistema de equações acima, obtém-se:


1

2

68, 4 16,8 70,43 13,8

68 26 72,8 20,92

V j V V

V j V V

= − = − °

= − = − ° (18.6)

Assim, as correntes de ramo são:

1 68, 4 16,86,84 1,68 7,04 13,8

10 10a

V jI j A A

−= = = − = − ° (18.7)

2 82,36 24,07 72,8 20,92 82,36 24,07

5 51,44 11,92 12 96,89

b

b

VI

I j A A

− ° − ° − °= =

= − − = − ° (18.8)

272,8 20,92

5, 2 13,6 14,56 69,085 5 90c

VI j A A

j

− °= = = + = °

− − ° (18.9)

18.2 Exercícios 1-) Determine io(t) no circuito abaixo utilizando análise nodal.

4.sen(10.t-45°)A20.sen(10.t-60°)V 1H

10R

0,02F

i(t)+ v(t) -

Respostas: i(t)=4,21.sen(10.t+175°)A e v(t)=28,16.sen(10.t+60,96°)V.

2-) Utilize o método das tensões nos nós para obter a corrente I no circuito abaixo.

-j2 +

2R4R5R

j2 V50 90°V50 0°

+I

Resposta: 12,38 17,75I A= − ° .

3-) Use o método das tensões de nó para determinar v(t) no circuito abaixo. As fontes senoidais são iS=10.sen(ω.t+90°)A e vS=100.sen(ω.t)V, onde ω=50k rad/s.

5R 9uFis 100uH vs+

v(t)

+

_

20R

Resposta: v(t)=31,62.sen(50000.t+18,43°)V.


4-) Use o método das tensões de nó para determinar a tensão fasorial entre os terminais do capacitor. Considere que a tensão é positiva no terminal do lado esquerdo do capacitor.

-j3 5R

+

j3

j2

Ig

V5 -90°A5 0°

Resposta: 17,5 59,02CV V= − °

5-) Use o método das tensões de nó para determinar Vo no circuito abaixo.

j40

+40R

60R

j20V100 0°

+

_

Vo

Resposta: 15,8118, 43oV V= °

6-) Use o método das tensões de nó para determinar vo(t) no circuito. v1(t)=10.sen.(5000.t+143,13°)V v2(t)=8.sen.(5000.t)V

6R

0,4mH 50uF

+

+

+

_vo(t)V1 V2

Resposta: vo(t)=11,98.sen.(5000.t+89,94°)V.

7-) Determine ix(t) no circuito abaixo usando a análise nodal.

1H10R

0,5H

+

20.cos(4.t) V 0,1F

Ix

2.Ix

Resposta: ( ) 7,59.cos(4. 108, 4 )xi t t A= + °

8-) Usando a análise nodal, determine v1 e v2 no circuito abaixo.


10.sen(2.t) A 2R

0,2F

2H 3.Vx

4R

+-

+

Vx_

v1 v2

Respostas: 1( ) 11,32. (2. 60 )v t sen t V= + ° e 2 ( ) 33. (2. 57,1 )v t sen t V= + ° .

9-) Determine V1 e V2 no circuito abaixo.

V1

-j3 j6

4R

+

12R

V2

A3 0°

V10 45°

Respostas: 1 25,78 70,48V V= − ° e 2 31,41 87,18V V= − °

10-) Utilize a análise nodal para determinar vo no circuito abaixo.

+30R Vo

10mH20R

20R

50uF

10.cos(1000.t) V

Io

4.Io

+

_

Resposta: ( ) 6,154.cos(1000. 70,26 )ov t t V= + °

19 TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO

Como os circuitos CA são lineares, o teorema da superposição pode ser aplicado da mesma maneira que aplica-se em circuitos CC. O teorema se torna importante se o circuito possuir fontes operando em freqüências diferentes. Neste caso, como as impedâncias dependem da freqüência, deve-se ter diferentes circuitos no domínio da freqüência para cada freqüência. A resposta total é obtida pela soma das respostas individuais no domínio do tempo.

19.1 Exemplo de Aplicação 1

Considere o circuito da Fig. 19-1, onde existem duas fontes independentes. Deseja-se obter a corrente (Io) fornecida pela fonte de tensão.


j10

4R

-j2 Io

8R -j2

5 A°0

20 V90°+

Fig. 19-1 – Circuito de exemplo.

Seja:

' ''o o oI I I= +

Na qual Io’ e Io’’ são devidos à fonte de tensão e corrente, respectivamente. Considere o circuito da Fig. 19-2 para determinar Io’.

j10

4R

-j2 Io'

8R -j2

20 V90°+

Fig. 19-2 – Circuito equivalente para fonte de tensão.

A combinação paralela das impedâncias 2j− e 8 10j+ e obtida por:

2.(8 10)

0, 25 2, 252 8 10

j jZ j

j j− += = − Ω− + +

(19.1)

Assim, a corrente Io’ será:

20 90 20 90

' 2,353 2,3534 2 (4 2) (0,25 2, 25)oI j A

j Z j j° °= = = − +

− + − + − (19.2)

Para determinar Io’’,considere o circuito da Fig. 19-3.

j10

4R

-j2 Io''

8R -j2

5 A°0 I3

I2

I1

Fig. 19-3 – Circuito equivalente para a fonte de corrente.


Aplicando-se a análise de malhas no circuito, obtém-se: Malha 1:

1 2 3(8 8). 2. 10. 0j I j I j I+ + − = (19.3)

Malha 2:

1 2 32. (4 4). 2. 0j I j I j I+ − + = (19.4)

Malha 3:

3 5I = (19.5)

Solucionando-se o sistema de equações, obtém-se:

1

2

3

2,647 2,941

2,647 1,176

5

I j A

I j A

I A

= += −=

Desta forma, a corrente Io’’, será obtida por:

2'' 2,647 1,176oI I j= − = − + (19.6)

A partir das equações (19.2) e (19.6), pode-se estabelecer a corrente Io como sendo:

' '' ( 2,353 2,353) ( 2,647 1,176)

5 3,529 6,12144,78o o o

o

I I I j j

I j A

= + = − + + − += − + = °

(19.7)

19.2 Exemplo de Aplicação 2

Determine vo no circuito da Fig. 19-4 usando o teorema da superposição.

10.sen(2.t) V 5V

2H 1R

0,1F+

4R

2.sen(5.t-90°)A

+ Vo -

Fig. 19-4 – Circuito de exemplo.

Como o circuito opera com três freqüências diferentes ( 0ω = para a fonte de alimentação CC), uma maneira de se obter a solução é a utilização da superposição, a qual separa o problema em problemas de freqüência única. Portanto seja:

1 2 3ov v v v= + + (19.8)

Na qual v1 é devido à fonte CC de 5V, v2 é devido à fonte de tensão de 10.sen(2.t) V e v3 é devido à fonte de corrente de 2.sen(5.t-90°) A


Para determinar v1, ajusta-se todas as fontes para zero, exceto a fonte de 5V. Lembre-se que, em regime permanente CC, o capacitor é um circuito aberto, enquanto que o indutor é um curto-circuito. Existe uma maneira alternativa de se abordar este fato. Como

0ω = , . . 0j Lω = e / .j Cω− = ∞ . O circuito equivalente é apresentado na Fig. 19-5.

1R

+ V1 -

4R

5V

Fig. 19-5 – Circuito equivalente para fonte CC.

Aplicando-se divisor de tensão.

15.1

11 4

v V−= = −+

(19.9)

Para determinar v2, ajusta-se para zero a fonte de tensão CC de 5V, elimina-se a fonte de corrente e converte-se o circuito para o domínio da freqüência. O circuito equivalente é mostrado na Fig. 19-6.

1R

+ V2 -

4R

-j5

+

j4

V10 0°

Fig. 19-6 – Circuito equivalente para fonte de tensão CA.

A impedância paralela é obtida por:

4.( 5)

2,439 1,9414 5

jZ j

j−= = − Ω−

(19.10)

Aplicando-se divisor de tensão, obtém-se:

21.10 0 10

2, 498 30,791 4 (1 4) (2,439 1,941)

V Aj Z j j

°= = = − °+ + + + −

(19.11)

Passando para o domínio do tempo.

2 ( ) 2,498. (2. 30,79 )v t sen t V= − ° (19.12)

Para obter v3, ajustamos as fontes de tensão para zero e transforma-se o restante do circuito para o domínio da freqüência. O circuito equivalente á apresentado na Fig. 19-7.


1R 4R

-j2

+ V3 -

j10 A2 -90°

I1

Fig. 19-7 – Circuito equivalente para a fonte de corrente.

A impedância paralela é obtida por:

14.( 2)

0,8 1,64 2

jZ j

j−= = − Ω−

(19.13)

Aplicando-se divisor de corrente, obtém-se:

1

1

1

10 10.2 90 .2 90

10 (1 ) 10 (1,8 1,6)

2,328 77,9

j jI

j Z j j

I A

= − ° = − °+ + + −

= − ° (19.14)

3 1.1 2,328 77,9V I V= = − ° (19.15)

Passando para o domínio do tempo:

3( ) 2,328. (5. 77,91 )v t sen t V= − ° (19.16)

Substituindo-se as equações (19.9), (19.12) e (19.16) na equação (19.8), tem-se o comportamento da tensão vo(t).

( ) 1 2,498. (2. 30,79 ) 2,328. (5. 77,91 )ov t sen t sen t V= − + − ° + − ° (19.17)

19.3 Exercícios 1-) Determine Io usando o teorema da superposição.

8R

6R

j4

Io

-j2

+

10 V30°

2 V0°

Resposta: 1,194 65, 45Io A= °


2-) Calcule vo no circuito abaixo usando o teorema da superposição.

+

8R

2.cos(10.t)A0,2F Vo 1H30.sen(5.t)V

+

_

Resposta: ( ) 4,631. (5. 81,12 ) 1,051.cos(10. 86,24 )ov t sen t t V= − ° + − °

3-) Usando o princípio da superposição, determine ix no circuito abaixo.

+

3R0,125F

10.cos(2.t-60°)V4H5.sen(2.t+10°)A

Ix

Resposta: ( ) 9,902.cos(2. 129,17 )xi t t A= − °

4-) Calcule vo(t) no circuito abaixo usando o teorema da superposição.

10V

2H6R

+4.sen(2.t)AVo0,0833F12.cos(3.t)V

+

_

Resposta: ( ) 10 21, 45. (2. 26,56 ) 10,73.cos(3. 26,56 )ov t sen t t V= + + ° + − °

5-) Determine io usando o teorema da superposição.

2.sen(4000.t)A

50.cos(2000.t)V

40mH

24V

20uF

60R

+100R80R

Io

Resposta: ( ) 0,1 0,217.cos(2000. 134,1 ) 1,178. (4000. 7,38 )oi t t sen t A= + + ° − + °


20 TRANSFORMAÇÃO DE FONTES

A transformação de fontes no domínio da freqüência significa transformar uma fonte de tensão em série com uma impedância em uma fonte de corrente em paralelo com uma impedância, ou vice-versa. Quando parte-se de um tipo de fonte para outra, deve-se ter em mente a seguinte relação:

. SS S S S

S

VV Z I I

Z= ⇔ = (20.1)

Vs Is

Zs

Zs

a a

b b Fig. 20-1 – Transformação de fontes.

21 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN E NORTON NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA

Os circuitos equivalentes de Thévenin e Norton apresentados na seção 11 são

técnicas analíticas que também podem ser aplicadas a circuitos no domínio da freqüência. Pode-se provar a validade destas técnicas usando os mesmos processos adotados da seção 11, com a única diferença que a impedância (Z) aparece no lugar da resistência (R). A Fig. 21-1 mostra a versão no domínio da freqüência de um circuito equivalente de Thévenin. Um circuito equivalente de Norton aparece na Fig. 21-2. As técnicas para determinar a tensão e a impedância de Thévenin são idênticas às usadas nos circuitos resistivos, exceto pelo fato de que no domínio da freqüência os cálculos envolvem a manipulação de números complexos. A mesma observação se aplica à corrente e à impedância de Norton.

VTh

ZTha a

b b

CircuitoLinear

Domínio

Freqüência

No

Da

+

_

Fig. 21-1 – Versão no domínio da freqüência

de um circuito equivalente de Thévenin.

IN

a

ZN

a

b b

CircuitoLinear

DomínioDa

No

Freqüência

Fig. 21-2 – Versão no domínio da freqüência de um circuito equivalente de Norton.



Determine o circuito equivalente de Thévenin e Norton do circuito da Fig. 21-3 em relação aos terminais a e b.

10R -j40

120R

253 V34,69°

+

+100 V0°

a

b Fig. 21-3 – Circuito do exemplo.

Para obter a impedância de Thévenin e Norton, deve-se substituir as fontes de tensão por um curto e abrir as fontes de corrente. Desta forma, o circuito passa ser:

10R -j40

120R

a

b

A impedância em série, formada pelo resistor e capacitor é dada por:

10 40SZ j= − Ω (21.1)

Fazendo-se o paralelo da impedância em série com o resistor de 120Ω, obtém-se a impedância de Thévenin e Norton.

(10 40).120

18,81 31,13(10 40) 120Th N

jZ Z j

j−= = = − Ω

− + (21.2)

Para determinar a tensão de Thévenin, que por sua vez é a tensão entre os terminais a e b, pode-se aplicar o método das correntes de malha (sentido horário). Assim:

(130 40). 100 0 253 34,69

180 126,881,32 109,77

136,01 17,1

j I

I A

− = ° − °

− °= = − °

− ° (21.3)

A tensão de Thévenin é a queda de tensão sobre a resistência de 120Ω mais a tensão da fonte.


120. 253 34,69 120.(1,32 109,77 ) 253 34,69

158,81 109,77 253 34,69 154,39 2,03Th

Th

V I

V V

= + ° = − ° + °

= − ° + ° = − ° (21.4)

A Fig. 21-4 apresenta o circuito equivalente de Thévenin.

VTh

ZTh a

b

+

_154,39 V-2,03°

18,81-j31,13

Fig. 21-4 – Circuito equivalente de Thévenin.

Aplicando-se a transformação de fontes, determina-se o circuito equivalente de Norton.

154,39 2,03

4, 24 56,8336,37 58,86

ThN

Th

VI A

R

− °= = = °

− ° (21.5)

A Fig. 21-5 apresenta o circuito equivalente de Norton.

INZN4,24 A56,83° 18,81-j31,13

a

b Fig. 21-5 – Circuito equivalente de Norton.

21.2 Exercícios

1-) Determine o circuito equivalente de Norton e Thévenin do ponto de vista dos terminais a e b.

15R

j30

25R -j50

a

b

16 A0°

Respostas: RTh=RN=50-j25Ω; 447,21 63,43ThV V= − ° ; 8 36,87NI A= − ° .

2-) Determine o circuito equivalente de Thévenin e Norton do ponto de vista dos terminais a e b do circuito.


j40

-j22

24R

a

b

+V75 0°

Respostas: RTh=RN=8,64+j11,52Ω; 60 36,87ThV V= − ° ; 4,167 90NI A= − ° .

3-) A fonte de tensão senoidal do circuito abaixo gera uma tensão de 247,49.cos.(1000.t+45°)V. Determine:

a) A tensão eficaz de Thévenin e a corrente eficaz de Norton; b) A impedância de Thévenin e Norton; c) Desenhe o circuito equivalente de Thévenin e Norton.

100R+

10uF

100mH

100mH

a

b

v(t)

Respostas: RTh=RN=100+j100Ω; 247, 49 0ThV V= ° ; 1,75 45NI A= − ° .

4-) Determine o circuito equivalente de Thévenin do circuito abaixo do ponto de vista dos terminais a e b.

-j10

j10 10R

+A2 45° _10.Ix20R

Ixa

b Resposta: 10 45ThV V= ° e 5 5ThZ j= − Ω .

5-) Determine o circuito equivalente de Norton do ponto de vista dos terminais a e b.

Ixa

2R j1

+

6.Ix_

10 -45°A

b Resposta: 10 45NI A= − ° e 1,6 3,2NZ j= + Ω .

6-) Obtenha o circuito equivalente de Thévenin nos terminais a e b do circuito abaixo.


j128R

a

4R

+

-j6

120 75° V b

Resposta: 37,95 220,31ThV V= ° e 6,48 2,64ThZ j= − Ω

22 RESSONÂNCIA

A ressonância é a condição em um circuito RLC na qual as reatâncias capacitiva e indutiva são iguais em módulo, resultando, portanto, em uma impedância puramente resistiva.

22.1 Ressonância Série

Considere o circuito RLC série mostrado na Fig. 22-1.

Vs

LR

CI

Fig. 22-1 – Circuito série ressonante.

A impedância de entrada do circuito no domínio da freqüência é dada por:

. ..j

Z R j LC

ωω

= + − (22.1)

Ou:

1

..

Z R j LC

ωω

= + −

(22.2)

A ressonância ocorre quando a parte imaginária da função é nula, ou seja:

1Im( ) . 0

.Z L

Cω

ω= − = (22.3)


O valor de ω que satisfaz esta condição é chamado de freqüência de ressonância

oω . Portanto, a condição de ressonância é obtida por:

1.

.

1/

.

oo

o

LC

rad sL C

ωω

ω

=

= (22.4)

Como:

2. .o ofω π= (22.5)

1

2. . .of HzL Cπ

= (22.6)

Observa-se na ressonância, que a impedância é puramente resistiva, portanto, Z R= . Em outras palavras, a combinação série LC opera como um curto-circuito e toda a tensão estará em R. Além disso, a tensão Vs e a corrente I estão em fase; logo, o fator de potência é unitário.

22.2 Ressonância Paralela

Considere o circuito RLC apresentado na Fig. 22-2.

CVs R L

Fig. 22-2 – Circuito ressonante paralelo.

A impedância de entrada no domínio da freqüência é obtida por:

11 1 .

. .

ZC

R j L jω

ω

=+ −

(22.7)

Ou:

1

1 1 1. .

.

ZC

R j Lω

ω

= + −

(22.8)

A ressonância ocorre quando a parte imaginária da equação (22.8) é nula. Assim:


1. 0

.C

Lω

ω− = (22.9)

O valor de ω que satisfaz esta condição é chamado de freqüência de ressonância

oω .

1.

.

1/

.

oo

o

CL

rad sL C

ωω

ω

=

= (22.10)

Como:

2. .o ofω π= (22.11)

1

2. . .of HzL Cπ

= (22.12)

Observa-se que, na ressonância, a combinação LC paralela funciona com um circuito aberto: logo, toda a corrente passa através de R.


Calcule a freqüência de ressonância no circuito abaixo.

0,2F

1H

10RVp.sen( t)

Fig. 22-3 – Circuito exemplo.

Passando o circuito para o domínio da freqüência, obtém-se:

10RVp.sen( t)

j

-j/0,2

Fig. 22-4 – Domínio da freqüência.

A impedância paralela formada pelo resistor e capacitor é definida por:


102p

jZ

jω−=

− (22.13)

A impedância equivalente do circuito é dada por:

( )22 10102 2eq

jjZ j

j j

ω ωω

ω ω

+ −= − =

− − (22.14)

Multiplicando-se a equação (22.14) pelo conjugado do denominador, obtém-se:

( )22 10 (2 ).

2 (2 )eq

j jZ

j j

ω ω ωω ω

+ − +=− +

(22.15)

( )3

2 2

4 1910

4 1 4 1eqZ j

ω ω

ω ω

−= +

+ + (22.16)

Na ressonância a parte imaginária é nula. Desta forma, igualando-se a parte imaginária a zero, determina-se a freqüência de ressonância.

( )3

2

3

4 190

4 1

4 19

19 / 4 2,179 /rad s

ω ω

ωω ω

ω

−=

+=

= =

(22.17)

22.4 Exercícios 1-) No circuito RLC paralelo abaixo, seja R=8k, L=0,2mH, C=8uF e Vs=10.sen(.t). Determine a freqüência de ressonância em Hertz e a potência dissipada no resistor na ressonância.

CR LVs

Respostas: 3,978of kHz= e 8,25P mW=

2-) No circuito RLC série abaixo, seja R=2, L=1mH, C=0,4uF e Vs=20.sen(.t). Determine a freqüência de ressonância em Hertz, a potência dissipada no resistor e a amplitude da corrente.


LVs

R C

Respostas: 7,957of kHz= , 100P W= e 10I A= .

3-) Determine a freqüência de ressonância do circuito abaixo.

10R0,1F

2R

2H

Is

Resposta: 2 /o rad sω = .

4-) Para o circuito abaixo, determine a freqüência para a qual v(t) e i(t) estarão em fase.

1H

1R

i(t)

v(t) 1H

1F

Resposta: 0,7861 /o rad sω =

5-) Para os circuitos abaixo, determine a freqüência de ressonância oω .

3uF

6R

0,4F2R

2k1H 20mH6uF

(a) (b) Respostas: a-) 1,581 /o rad sω = e b-) 5 /o krad sω = .


23 POTÊNCIAS E FATOR DE POTÊNCIA

Nosso esforço na análise de circuitos CA esteve, até agora, concentrado principalmente no cálculo da tensão e da corrente. Neste capítulo, a análise da potência é o aspecto que enfocaremos.

A análise da potência é da maior importância. A potência é a grandeza mais importante em concessionárias de energia, sistemas eletrônicos e sistemas de comunicação, pois esses sistemas trabalham com a transmissão de potência de um ponto a outro. Além disto, todo eletrodoméstico ou equipamento industrial – todo ventilador, motor, lâmpada, ferro de passar, TV, computador – é classificado em função da potência, indicando quanta potência o equipamento necessita. Exceder a potência indicada pode danificar permanentemente o equipamento. A forma mais comum de energia elétrica é a energia CA em 60 ou 50Hz. A escolha de CA em vez de CC permitiu a transmissão de potência em alta tensão, da unidade geradora até o consumidor.

23.1 Potência Instantânea

A potência instantânea p(t) entregue a qualquer dispositivo como função do tempo é dada pelo produto da tensão instantânea v(t) aplicada sobre o dispositivo e a corrente instantânea i(t) que o atravessa, como é apresentado na equação (23.1). Pela convenção de sinais adotados, uma potência positiva corresponde a uma transferência de energia da fonte para o circuito, e uma potência negativa significa que a fonte está drenando energia do circuito.

( ) ( ). ( )p t v t i t= (23.1)

Quando um circuito é puramente resistivo, conforme a Fig. 23-1, a tensão e a corrente estão em fase. Assim, a potência instantânea é dada por:

[ ]

[ ]

2

( ) . ( . ). . ( . )

( ) . . ( . )

.( ) . 1 cos(2. . )

2

P P

P P

P P

p t V sen t I sen t

p t V I sen t

V Ip t t

ω ω

ω

ω

=

=

= −

(23.2)

Rv(t)

i(t)

Fig. 23-1 – Circuito resistivo.

A Fig. 23-2 apresenta a potência instantânea em um circuito puramente resistivo.


0

1

2

v(t)

i(t)

Fig. 23-2 – Potência instantânea em um circuito resistivo.

Observando o gráfico da Fig. 23-2, pode-se observar que a potência nunca chega a se tornar negativa. Em outras palavras, é impossível armazenar energia em um circuito puramente resistivo; toda a energia elétrica cedida ao circuito é dissipada como energia térmica. No caso de um circuito puramente indutivo alimentado por uma fonte de tensão senoidal, como o apresentado na Fig. 23-3, a corrente resultante estará 90° atrasada em relação a tensão, ou seja, para uma tensão do tipo ( ) . ( . )Pv t V sen tω= , a corrente resultante será ( ) . ( . 90 )Pi t I sen tω= − ° .

v(t) L

i(t)

Fig. 23-3 – Circuito indutivo.

A potência instantânea neste tipo de circuito será dada por:

[ ]

[ ]

( ) . ( . ). . ( . 90 )

( ) . ( . ). . ( . ).cos(90 ) cos( . ). (90 )

( ) . ( . ). .cos( . )

( ) . . ( . . ) ( . . )

.( ) . (2. . )

2

L P P

L P P

L P P

L P P

P PL

p t V sen t I sen t

p t V sen t I sen t t sen

p t V sen t I t

p t V I sen t t sen t t

V Ip t sen t

ω ωω ω ω

ω ωω ω ω ω

ω

= − °= ° − °= −= − + + −

= −

(23.3)

Este resultado é apresentado graficamente na Fig. 23-4, onde nos intervalos em que tensão e corrente possuem a mesma polaridade, a potência é positiva, caracterizando transferência de potência da fonte para o circuito. Nos intervalos, em que tensão e corrente possuem polaridades diferentes, a potência é negativa, o que por sua vez caracteriza devolução de potência do circuito para a fonte.


0

P

0

v(t) i(t)

-P Fig. 23-4 – Potência instantânea em um circuito puramente indutivo.

Para o caso de um circuito puramente capacitivo alimentado por uma fonte de

tensão senoidal, como o apresentado na Fig. 23-5, a corrente estará 90° adiantada em relação à tensão, ou seja, para uma tensão do tipo ( ) . ( . )Pv t V sen tω= , a corrente resultante será ( ) . ( . 90 )Pi t I sen tω= + ° . A potência instantânea será:

[ ]

[ ]

( ) . ( . ). . ( . 90 )

( ) . ( . ). . ( . ).cos(90 ) cos( . ). (90 )

( ) . ( . ). .cos( . )

( ) . . ( . . ) ( . . )

.( ) . (2. . )

2

C P P

C P P

C P P

C P P

P PC

p t V sen t I sen t

p t V sen t I sen t t sen

p t V sen t I t

p t V I sen t t sen t t

V Ip t sen t

ω ωω ω ωω ω

ω ω ω ω

ω

= + °= ° + °== + + −

=

(23.4)

Cv(t)

i(t)

Fig. 23-5 – Circuito capacitivo.

Assim como nos circuitos puramente indutivo, nos circuitos capacitivos a potência média será zero, ou seja, não há dissipação de energia. A Fig. 23-6 mostra que a potência é alternadamente armazenada pelos elementos capacitivos e devolvida à fonte que alimenta o circuito, o que acontece com uma freqüência de 2.ω. Em outras palavras, quando a potência é positiva, a energia está sendo armazenada nos campos elétricos dos capacitores; quando a potência é negativa, os capacitores estão devolvendo esta energia.


0

P

0

v(t)

-P

i(t)

Fig. 23-6 - Potência instantânea em um circuito puramente capacitivo.

Sabe-se, no entanto, que circuitos puramente indutivos ou capacitivos são circuitos muito particulares, raramente encontrados. Assim sendo, um caso mais geral é aquele em que uma tensão do tipo ( ) . ( . )Pv t V sen tω= resulta em uma corrente ( ) . ( . )Pi t I sen tω φ= − , onde φ pode ser positivo ou negativo, correspondente à impedância indutiva ou capacitiva, respectivamente. Para o caso em que φ<0, ou seja, circuito indutivo têm-se:

( ) . ( . ). . ( . )

( ) . . ( . ). ( . )P P

P P

p t V sen t I sen t

p t V I sen t sen t

ω ω φω ω φ

= −= −

(23.5)

Aplicando-se a integral para calcular o valor médio da potência, obtém-se:

[ ]

0

0

0

2

0

2

1( )

1. . ( . ). ( . )

1. . ( . ). ( . ).cos( ) cos( . ). ( )

1. . ( . ).cos( ) ( . ).cos( . ). ( )

1. . ( . ).cos

T

med

T

med P P

T

med P P

T

med P P

med P P

P p t dtT

P V I sen t sen t dtT

P V I sen t sen t t sen dtT

P V I sen t sen t t sen dtT

P V I sen tT

ω ω φ

ω ω φ ω φ

ω φ ω ω φ

ω

=

= −

= −

= −

=

0

2

0 0

1( ) ( . ). ( )

2

. .cos( ) . . ( )( . ) ( . )

2.

1. . .cos( )

2

T

T TP P P P

med

med P P

sen t sen dt

V I V I senP sen t dt sen t dt

T T

P V I

φ ω φ

φ φω ω

φ

−

= −

=

(23.6)

Onde φ é definido como a diferença entre o ângulo da tensão e da corrente, ou seja:

v iφ φ φ= − (23.7)

A potência média também é chamada de potência ativa porque representa a parcela da potência que é dissipada, ou seja, convertida em outra forma de energia.


A potência média também pode ser obtida em função dos valores eficazes da tensão e da corrente, fazendo:

2P

ef

VV = (23.8)

2P

ef

II = (23.9)

Substituindo a equação (23.8) e a (23.9) na(23.6), obtém-se:

. .cos( )ef efP V I φ= (23.10)

O produto de Vef e Ief recebe o nome de potência aparente ou potência complexa, cujo símbolo é S, sendo medido em voltampères (VA). Quando trata-se de circuitos lineares, a fator pela qual a potência aparente deve ser multiplicada para obter a potência ativa é chamado fator de potência (FP), ou seja, o fator de potência é o termo que determina quanto da potência entregue à carga está sendo realmente utilizado.

. .cos( )

.ef ef

ef ef

V IPFP

S V I

φ= = (23.11)

cos( )FP φ= (23.12)

Neste ponto é importante lembrar que tal relação só é válida quando o circuito em estudo é linear. Quando estuda-se um circuito não linear, como por exemplo um retificador, cujas formas de onda da tensão e corrente típicas são mostradas na Fig. 23-7, deve-se levar em conta a taxa de distorção harmônica da corrente. Assim sendo, o fator de potência passa a ser dado por:

2

cos( )

1FP

TDH

φ=+

(23.13)

0

v(t)

i(t)

Fig. 23-7 – Tensão e corrente em um retificador de onda completa.

Quando trata-se do FP, o sinal de φ é um dado importante porque revela se o circuito tem característica indutiva ou capacitiva, pois quando a corrente está atrasada, φ>0. Seja como for, o módulo do fator de potência estará sempre compreendido entre 0<FP<1.


23.2 Potência Complexa e Triângulo das Potências

Considere uma carga CA sendo alimentada por uma fonte senoidal. Convertendo a tensão e a corrente para a forma fasorial, obtém-se:

ef v

ef i

V V

I I

φ

φ

=

= (23.14)

A potência complexa S absorvida pela carga é o produto da tensão pelo complexo conjugado da corrente, ou seja:

*. .

.

. .cos( ) . . . ( )

ef v ef i

ef ef v i

ef ef v i ef ef v i

S V I V I

S V I

S V I jV I sen

φ φ

φ φ

φ φ φ φ

= = −

= −

= − + −

(23.15)

Onde a parte real da equação representa a potência média P (W) e a parte imaginária representa a potência reativa Q (Var). Considere dois casos especiais da equação. Quando v iφ φ= , a tensão e a corrente estão em fase. Isto significa que o circuito é puramente resistivo, resultando apenas a potência média (ativa).

.ef efP V I= (23.16)

Quando 90v iφ φ− = ± ° , tem-se um circuito puramente reativo, ou seja, a potência ativa é zero, resultando apenas a potência reativa Q.

. .cos(90 ) 0

. . (90 ) .ef ef

ef ef ef ef

P V I

Q V I sen V I

= ° =

= ° = (23.17)

A potência complexa também pode ser expressa em termos da impedância da carga Z.

2*

2*

* *

. . .

.

ef

ef

ef ef ef

efef ef

VZ

I

S I I Z I Z

VV VS

Z Z

=

= =

= =

(23.18)

Como Z R jX= + , a equação se torna:

2.( )efS I R jX P jQ= + = + (23.19)

Onde P e Q são as partes reais e imaginárias da potência complexa, ou seja:


2

2

Re( ) .

Im( ) .

ef

ef

P S I R

Q S I X

= =

= = (23.20)

P é a potência média ou ativa e depende da resistência R da carga. Q depende da reatância X da carga, sendo chamada de potência reativa (ou de quadratura). A potência ativa P é a potência média, em watts, transmitida à carga. Esta é a única potência utilizada, sendo a potência que realmente é dissipada pela carga. A potência reativa Q é a medida da energia trocada entre a fonte e a parte reativa da carga. A unidade de Q é o volt-ampére reativo (VAR) para distingui-la da potência real, cuja unidade é o watt. Os elementos armazenadores de energia não dissipam nem fornecem potência, mas trocam energia com o resto do circuito. Da mesma maneira, a potência reativa é transferia da fonte para a carga e da carga para a fonte. É uma prática padrão representar S, P e Q na forma de um triângulo, chamando de triângulo das potências. O triângulo da potência representa quatro itens – a potência aparente/complexa, potência real, potência reativa e o ângulo do fator de potência. Dados dois destes itens, os outros dois podem ser facilmente obtidos do triângulo. Quando S está no primeiro quadrante, tem-se uma carga indutiva e um FP atrasado. Quando S está no quarto quadrante, a carga é capacitiva e o FP é adiantado.

jXL

R

R

-jXC

Z

ZS(VA)

S(VA)

Q(VAr)

Q(VAr)

P(W)

P(W)

φ

φ

(a)

(b) Fig. 23-8 – (a) Circuito indutivo e (b) Circuito capacitivo.

Para a análise de circuitos ligados em paralelo, como por exemplo várias cargas ligadas a um mesmo alimentador (Fig. 23-9), pode-se determinar a potência complexa total fornecida através das equações (23.21), (23.22) e (23.23).

Ief

I2 InZ1 Z2 Zn

b

Vef I1

Fig. 23-9 – Potências em cargas ligadas em paralelo.


1 2 ...T nP P P P= + + + (23.21)

1 2 ...T nQ Q Q Q= + + + (23.22)

2 2T T TS P Q= + (23.23)

Esses resultados, que também podem ser aplicados a circuitos ligados em série, significam que o triângulo de potência total pode ser obtido ligando-se os triângulos de potência de cada circuito independente de um vértice a outro.

23.3 Correção do Fator de Potência

Como foi demonstrado, para circuitos lineares alimentados por fontes senoidais, o fator de potência é simplesmente definido como cos(φ), onde φ é o ângulo de defasagem entre tensão e corrente. Para uma carga puramente resistiva, tensão e corrente estão em fase, o que leva a um fator de potência unitário. Neste caso, a potência aparente e a ativa são iguais.

No entanto, este tipo de carga não costuma ser encontrado com grande freqüência, principalmente entre os grandes consumidores (indústrias), cujas cargas, em geral possuem características indutivas. Esta componente indutiva preponderante deve-se ao grande número de motores normalmente encontrado nas indústrias. Sabe-se também que quando a potência elétrica é fornecida a grandes consumidores, as companhias que fornecem a energia impõem limites aos valores de FP. Desta forma, torna-se uma prática usual, aplicar técnicas de correção do fator de potência.

Teoricamente, é possível fazer com que uma carga indutiva (ou capacitiva), seja “vista” pela rede como um resistor. Isto é obtido através da inserção, no circuito, de elementos cujos valores, combinados à freqüência da rede provenham uma impedância de entrada com ângulo de defasagem nula.


Uma carga elétrica é alimentada com 240 Vrms/60Hz. A carga consome uma potência ativa de 8 kW com um fator de potência atrasado de 0,8. Determine:

a) O ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente; b) A corrente eficaz; c) A impedância; d) A potência aparente; e) A potência reativa; f) A potência reativa capacitiva para obter fator de potência de 0,92; g) O valor da capacitância.

Solução: a-) Como o fator de potência é atrasado, sabe-se que a carga é indutiva e que portanto o sinal da potência reativa é positiva. O ângulo de defasagem entre a tensão e corrente no circuito pode ser obtido diretamente pela equação (23.12). Assim:


1

cos( )

cos (0,8) 36,87

FP φφ −

== = °

(23.24)

b-) A corrente eficaz pode ser obtida pela equação (23.10) que leva em consideração a tensão eficaz, a potência ativa e o ângulo de defasagem.

. .cos( )

8000.cos( ) 240.cos(36,87 )

41,67

ef ef

efef

ef

P V I

PI

V

I A

φ

φ

=

= =°

=

(23.25)

c-) A impedância da carga é obtida em função da tensão e corrente eficaz. Desta forma:

240

5,7641,67

ef

ef

VZ

I= = = Ω (23.26)

O ângulo φ que representa a defasagem entre a tensão e a corrente, também representa o ângulo do módulo da impedância. Assim:

5,76 36,87 4,608 3,456Z j= °Ω = + Ω (23.27)

d-) A potência aparente do circuito pode ser obtida em função da tensão e corrente eficaz ou através da equação (23.11).

80000,8

10

PFP

SP

SFP

S kVA

=

= =

=

(23.28)

e-) A potência reativa é determina por:

. . ( ) 240.41,67. (36,87 )

6ef efQ V I sen sen

Q kVAr

φ= = °

= (23.29)

f-) Para um fator de potência de 0,92 a potência aparente será:

80000,92

8,695

PFP

SP

SFP

S kVA

=

= =

=

(23.30)

A respectiva potência reativa é obtida através do teorema de Pitágoras (equação(23.23)).


2 2 2

2 2 2 20,92

0,92

8695 8000

3,406

S P Q

Q S P

Q kVAr

= +

= − = −=

(23.31)

Desta forma, a potência reativa capacitiva necessária para tornar o fator de potência 0,92 é obtida subtraindo-se a potência reativa inicial da potência reativa correspondente a 0,92.

0,92 6000 3406

2,594C

C

Q Q Q

Q kVAr

= − = −=

(23.32)

A Fig. 23-10 apresenta o triângulo das potências. Através deste, fica visível o valor necessário da potência reativa capacitiva.

S=10kVA

Q=3,4kVAr

P=8kW

φ

S=8,7kVA

Q=2,6kVAr

Q=6kVAr

Qc=2,6kVAr

Fig. 23-10 – Triângulo das potências.

g-) Para obter a capacitância necessária para obter fator de potência de 0,92, deve-se inicialmente determinar a reatância capacitiva.

2594

10,808240

CC

ef

QI A

V= = = (23.33)

A reatância é obtida por:

240

22, 20610,808

efC

C

VX

I= = = Ω (23.34)

Assim, a capacitância do capacitor é dada por:

12. . .

1 12. . . 2. .60.22,206

119, 45

C

C

Xf C

Cf X

C F

π

π πµ

=

= =

=

(23.35)


23.5 Exercícios

1-) Determine as potências aparente, ativa e reativa de uma rede constituída por uma resistência de 15Ω, uma indutância L de 0,2H e uma capacitância de 30uF ligadas em série e alimentadas por uma fonte de 220V/50Hz. Desenhe o triângulo das potências.

Respostas: S=1,056kVA; P=346W e Q=998VAr.

2-) Um motor de 10cv (potência no eixo) tem um rendimento de 85%, fator de potência de 0,8 e encontra-se ligado a uma rede de 220V/50Hz. Calcule a capacitância que é necessária colocar em paralelo para compensar o deslocamento entre a corrente a tensão. Considere: 1cv = 736W

eixoeletrica

PP

η=

Resposta: C=427uF.

3-) Aos terminais de uma impedância cujo valor é Z=3+j4Ω, aplica-se uma tensão V=20+j10Vrms. Calcule a potência aparente, ativa e reativa do circuito.

Respostas: S=100VA; P=60W e Q=80VAr.

4-) Calcule a potência ativa, reativa, aparente e o fator de potência para: ( ) 100. ( . 45 )( ) 4. ( . 15 )

v t sen t

i t sen t

ωω

= + °= − °

Respostas: P=100W; Q=173,21VAr; S=200VA e FP=0,5.

5-) Calcule a potência média absorvida por uma impedância 30 70Z j= − Ω quando 120 0V V= ° (valor de pico) é aplicada a ela.

Resposta: P=37,24W.

6-) Determine a potência fornecida por cada uma das fontes e a potência média absorvida por cada um dos elementos passivos do circuito abaixo.

j10

20R -j5

+4 0°A 60 30°V1

2

3

4

5

Respostas: P1=367,8W, P2=160W, P3=0W, P4=0W e P5=-207,8W.

7-) Determine o fator de potência do circuito visto pela fonte. Calcule a potência média transmitida pela fonte.

6R

-j2 4R+

30 0°Vrms

Respostas: FP=0,9734 e P=125W.


8-) Quando conectado a uma linha de alimentação de 120Vrms, 60Hz, uma carga absorve 4kW com um fator de potência de 0,8 atrasado. Determine o valor da capacitância, necessária para aumentar o FP para 0,95.

Resposta: C=310,5uF.

9-) Determine o valor da capacitância paralela necessária para corrigir uma carga de 140kVAr e FP 0,85 atrasado para um FP unitário. Considere que a carga é alimentada por uma tensão de linha de 110V (rms), 60Hz.

Resposta: C=30,69mF.

10-) Uma fonte de 120Vrms, 60Hz alimenta duas cargas conectadas em paralelo, como mostra a figura abaixo.

a) Determine o fator de potência da combinação paralela; b) Calcule o valor da capacitância conectada em paralelo que irá aumentar o fator de

potência para o unitário.

Carga 1 Carga 2

24kW 40kW

FP=0,8 FP=0,95

Atrasado Atrasado

Respostas: a-) FP=0,8992 e b-) C=5,74mF.

24 CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS

Mesmo sendo uma função matemática especial, a forma de onda senoidal corresponde a forma de excitação mais usada nos circuitos reais. Neste item, serão estudadas as fontes de tensões senoidais polifásicas, já que estas são responsáveis pela quase totalidades da potência gerada. Dentre os circuitos polifásicos existentes, o mais importante é, sem dúvida alguma, o circuito trifásico.

Este tipo de fonte possui três ou quatro terminais de conexão. Quando o sistema é equilibrado, a tensão entre esses terminais é igual em amplitude, porém defasadas em 120° entre si.

Quando uma fonte trifásica alimenta uma carga, também trifásica e equilibrada, a potência drenada de cada fase do gerador será igual. Quando uma das tensões fornece potência instantânea nula a outras duas tensões deveram apresentar uma amplitude correspondente exatamente a metade da amplitude máxima, devido a defasagem entre as tensões. Dessa forma, pode-se concluir que a potência fornecida a carga nunca será nula. Esta é uma importante característica para máquinas girantes, como, por exemplo, motores elétricos, que apresentam torque mais constante e, portanto, menor vibração.

Dentre outros benefícios, deve-se também lembrar que máquinas de geração trifásica são vantajosas em relação às monofásicas e a própria transmissão de energia na forma trifásica é muito mais econômica que na forma monofásica.

A utilização de circuitos com um número maior de fases está limitada quase que inteiramente à alimentação de retificadores de grande potência.


24.1 Tensões Trifásicas Equilibradas

Um conjunto de tensões trifásicas equilibradas é constituído por três tensões senoidais de mesma freqüência e amplitude, defasadas entre si de exatamente 120°. As três fases são quase sempre chamadas de A, B e C ou R, S e T; a fase A é tomada como fase de referência. As três tensões são conhecidas como tensão da fase A, tensão da fase B e tensão da fase C.

Só existem duas relações possíveis entre a fase da tensão A e as fases das tensões B e C. Uma das possibilidades é a de que a tensão da fase B esteja atrasada de 120° em relação à tensão da fase A, caso em que a tensão da fase C estará adiantada de 120° em relação à tensão da fase A. Esta relação entre as três fases é conhecida como seqüência de fases ABC ou seqüência de fases positiva. A outra possibilidade é de que a tensão da fase B esteja adiantada de 120° em relação à tensão da fase A, caso em que a tensão da fase C estará atrasada de 120° em relação à tensão da fase A. Esta relação entre as fases é conhecida como seqüência de fases ACB ou seqüência de fases negativa. Em notação fasorial, os dois conjuntos possíveis de tensões de fase equilibradas são:

0

120

120

AN ef

BN ef

CN ef

V V

V V

V V

= °

= − °

= °

(24.1)

e

0

120

120

AN ef

BN ef

CN ef

V V

V V

V V

= °

= °

= − °

(24.2)

Onde Vef representa a tensão eficaz da fonte. As equações (24.1) se aplicam à seqüência ABC ou positiva; as equações (24.2), à seqüência ACB ou negativa. A Fig. 24-1 mostra os diagramas fasoriais e as formas de onda das tensões representadas pelas equações (24.1). Na Fig. 24-1, a seqüência de fases corresponde à ordem dos índices quando a figura é percorrida no sentido horário. O fato de que um circuito trifásico pode ter duas seqüências de fases diferentes deve ser levado em consideração sempre que dois destes circuitos são ligados em paralelo; os circuitos só funcionarão corretamente se tiverem a mesma seqüência de fases.

A

A

B

BC

C

Va

Va

Vb

Vb

Vc

Vc

120°240°

Fig. 24-1 – Diagramas fasoriais e seqüência de fases.


Outra característica importante de um conjunto de tensões trifásicas equilibradas é que a soma das três tensões é zero. Assim, tanto para as tensões das equações (24.1) como para as das equações (24.2).

0A B CV V V+ + = (24.3)

Se a soma das tensões fasoriais é zero, a soma dos valores instantâneos das tensões também deve ser zero. Assim:

0a b cv v v+ + = (24.4)

24.2 Fonte de Tensão Trifásica

Uma fonte de tensão trifásica é um gerador com três enrolamentos separados distribuídos ao longo da periferia do estator. Cada enrolamento constitui uma das fases do gerador. O rotor do gerador é um eletroímã acionado com velocidade angular constante por uma máquina motriz, como uma turbina a gás ou a vapor. A rotação do eletroímã induz tensões senoidais nos três enrolamentos. Os enrolamentos são projetados de tal forma que as tensões senoidais neles induzidas tem a mesma amplitude e estão defasadas de 120°. A freqüência da tensão induzida pelo eletroímã rotativo é a mesma nos três enrolamentos, já que permanecem estacionários durante todo o processo. Na Fig. 24-2, onde apresenta-se um gerador simplificado, três bobinas estão igualmente distribuídas sobre o rotor do gerador, ou seja, estão deslocadas entre si em 120° mecânicos.

A

A’

B

B’

C

C’ImãNorte

Imã Sul

Fig. 24-2 – Gerador simplificado.

Existem duas formas de ligar os enrolamentos de um gerador trifásico. Estas

configurações, denominadas Y (estrela) ou ∆ (triângulo), são mostradas na Fig. 24-3, na qual os enrolamentos do gerador estão representados por fontes de tensão independentes. O terminal comum da ligação em Y é chamado de terminal neutro do gerador. O terminal neutro pode estar ou não disponível para conexões externas.


Neutro

VaVcVa

Vb

Vc

Vb

A

B

C

A

B

C

Ligação Estrela Ligação Triângulo Fig. 24-3 – Ligações de um gerador trifásico.

Como as fontes e cargas trifásicas podem ser ligadas em Y ou em ∆, os circuitos podem assumir quatro diferentes configurações:

Fonte Carga Y Y Y ∆ ∆ Y ∆ ∆

24.3 Análise do Circuito Ligado em Y-Y

A Fig. 24-4 mostra um circuito Y-Y no qual foi incluído um quarto condutor ligando o terminal neutro do gerador ao terminal neutro da carga. A presença deste quarto condutor só é possível na configuração Y-Y (encontrada em instalações industrias, residências e prediais).

Neutro

Van

Vbn Vcn

Za

ZbZc

Fig. 24-4 – Sistema trifásico Y-Y.

Este circuito equilibrado trifásico pode ser substituído por circuitos equivalentes por fase. Conforme apresentado na Fig. 24-5. A corrente no condutor da fase A é a tensão gerada pela fonte Van dividida pela impedância total da fase A (Za). Como as relações entre as tensões nas três fases são conhecidas, depois de resolver este circuito pode-se facilmente determinar as correntes e tensões nas outras duas fases.


ZaVan

Fig. 24-5 – Circuito equivalente por fase.

É importante observar que o circuito equivalente fornece o valor correto da corrente na linha das fases, mas não o valor correto da corrente no neutro. Em todas as situações nas quais o circuito equivalente para uma fase pode ser aplicada, as correntes de linha formam um conjunto equilibrado e a corrente no neutro, dada pela equação (24.5), é nula.

0A B CI I I+ + = (24.5)

Um outro parâmetro importante é a relação entre as tensões entre linhas (fase-fase) chamadas de tensões de linha e as tensões entre as linhas e o neutro (fase-neutro), chamadas de tensões de fase. Vamos determinar esta relação para os terminais da carga da Fig. 24-6, onde foram rotuladas como VAB, VBC e VCA; por convenção o primeiro índice é o nó em que a tensão é mais elevada.

Vbn

Van

Vcn

Vab+

+

+ +

+

_

_

Vbc

Zb

Za

Zc

Neutro

Fig. 24-6 - Tensões entre linhas e entre linha e neutro.

As tensões entre linha e neutro (tensões de fase) são VAN, VBN e VCN (equação (24.1)). Pode-se expressar as tensões entre linhas em termos das tensões entre linha e neutro usando a lei de Kirchhoff para tensões:

AB AN BN

BC BN CN

CA CN AN

V V V

V V V

V V V

= −= −= −

(24.6)

Substituindo-se a equação (24.1) na (24.6), obtém-se as tensões de linha para um sistema trifásico equilibrado.

0 120 3. 30

120 120 3. 90

120 0 3. 150

AB ef ef ef

BC ef ef ef

CA ef ef ef

V V V V

V V V V

V V V V

= ° − − ° = °

= − ° − ° = − °

= ° − ° = °

(24.7)


A equação (24.7) mostra que: 1. A amplitude das tensões de linha é igual a 3 vezes a amplitude das

tensões de fase; 2. As tensões de linha formam um conjunto equilibrado de tensões; 3. As tensões de linha estão adiantadas de 30° em relação às tensões de fase.

A Fig. 24-7 apresenta as tensões de linha e as tensões de fase de um sistema trifásico.

Vab

0

Vbc

Van Vbn Vcn

Vca

Fig. 24-7 – Tensões de linha e entre fase e neutro.

24.4 Correntes de Linha em um Circuito Ligado em Triângulo (∆∆∆∆)

Quando uma carga (ou fonte) é ligada em ∆, as correntes nos ramos do ∆ são as correntes de fase e as tensões entre os terminais dos ramos do ∆ são as tensões de fase. Como pode-se observar na Fig. 24-8, no caso da configuração em ∆ a tensão de fase é igual a tensão de linha.

Z1

A

Z2

Z3B

C

Ia

Ib

Ic

Iab Ica

Ibc

Fig. 24-8 – Carga equilibrada ligada em triângulo.

Para determinar a relação entre as correntes de fase (ramo) e as correntes de linha, consideraremos uma seqüência de fase positiva e chamaremos de Ief o módulo da corrente de fase. Nesse caso:

. 0

. 120

.120

AB ef

BC ef

CA ef

I I

I I

I I

= °

= − °

= °

(24.8)


Pode-se determinar as correntes de linha em termos das correntes de fase usando a lei de Kirchhoff para as correntes:

. 0 .120 3. . 30

. 120 . 0 3. . 150

.120 . 120 3. . 90

A AB CA ef ef ef

B BC AB ef ef ef

C CA BC ef ef ef

I I I I I I

I I I I I I

I I I I I I

= − = ° − ° = − °

= − = − ° − ° = − °

= − = ° − − ° = °

(24.9)

Comparando-se as equações, verifica-se que o módulo das correntes de linha é 3 vezes maior que o módulo das correntes de fase e que as correntes de linha estão atrasadas de 30° em relação às correntes de fase.

24.5 Potência em Carga Trifásica Equilibrada

Nos sistemas trifásicos a potência em cada fase da carga será Pf=Uf.If (onde f representa tensão e corrente de fase), como se fosse um sistema monofásico independente. A potência total será a soma das potências das três fases, ou seja:

3. 3. .f f fP P V I= = (24.10)

Lembrando que nos sistemas trifásicos ligados em estrela ou triângulo, temos as seguintes relações:

Ligação estrela: 3.L f

f

V V

I I

=

=

Ligação triângulo: 3.

L f

f

V V

I I

=

=

Assim, a potência total, para ambas as ligações, será:

3. .P V I= (24.11)

Esta equação vale para a carga formada por resistências, onde não há defasagem entre a tensão e a corrente. Para as cargas reativas, ou seja, onde existe defasagem, como no caso dos motores de indução, esta defasagem tem que ser levada em consideração e a equação passa a ser:

3. . .cos( )P V I φ= (24.12)

Onde V e I são, respectivamente, tensão e corrente eficazes de linha e cos(φ) é o ângulo entre a tensão e a corrente de fase. Os valores das potências reativa e aparente são obtidas diretamente pelas equações (24.13) e (24.14):

3. . . ( )Q V I sen φ= (24.13)

3. .S V I= (24.14)



Um motor elétrico trifásico de 100cv/380V e rendimento de 93% apresenta um fator de potência de 0,9. Deseja-se aumentar o fator de potência para 0,95. Calcule a potência reativa necessária para elevar o fator de potência.

A potência em W, que o motor fornece ao eixo é dado por:

100.736 73,6MP kW= =

A potência consumida pelo motor é obtida em função do rendimento do mesmo. Assim:

73600

79,1390,93

MPP kW

η= = =

A potência aparente e reativa que o motor necessita para operar com um fator de potência de 0,9 é obtida por:

0,9

0,9

cos( )

7913987,933

cos( ) 0,9

PS

PS kVA

φ

φ

=

= = =

2 2 20,9 0,9

2 2 2 20,9 0,9

0,9

87933 79139

38,33

S P Q

Q S P

Q kVAr

= +

= − = −

=

Para que o mesmo motor opere com fator de potência de 0,95, as respectivas potências aparentes e reativas devem ser:

0,95

0,95

cos( )

7913983,304

cos( ) 0,95

PS

PS kVA

φ

φ

=

= = =

2 2 20,95 0,95

2 2 2 20,95 0,95

0,95

83304 79139

26,012

S P Q

Q S P

Q kVAr

= +

= − = −

=

Assim, a reatância capacitiva necessária para corrigir o fator de potência do motor será dada por:

0,9 0,95 38330 26012

12,318

Q Q Q

Q kVAr

= − = −

=


24.7 Exercícios 1-) A tensão de linha nos terminais de uma carga trifásica equilibrada tipo é 110V. As impedâncias das três fases da carga são resistores de 3,667 em paralelo com indutores cuja reatância é 2,75. Qual é o módulo da corrente na linha que alimenta a carga?

Resposta: I=86,60A. 2-) Um gerador trifásico balanceado em com uma impedância de 0,4+j0,3 por fase é conectado a uma carga balanceada, conectada em , com uma impedância de 24+j19 por fase. A linha que une o gerador e a carga possui uma impedância de 0,6+j0,7 por fase. Considerando uma seqüência positiva para as tensões da fonte e que 120 30anV V= ° , determine:

a) As tensões de linha; b) As correntes de linha.

Respostas: a-) 207,85 60 V° , 207,85 60 V− ° e 207,85180 V° b-) 3,75 8,66 A− ° , 3,75 128,66 A− ° e 3,75111,34 A°

3-) Uma tensão de linha de uma fonte balanceada conectada em Y é 180 20abV V= − ° . Se a fonte está conectada a uma carga conectada em de 20 40°Ω , determine as correntes de fase e linha. Considere a seqüência abc.

Respostas: 9 60 A− ° , 9 180 A− ° , 9 60 A° , 9 60 A− ° , 15,59 90 A− ° , 15,59 210 A− ° e 15,59 30 A°

4-) Uma fonte balanceada, conectada em , com seqüência positiva, alimenta uma carga balanceada conectada em . Sendo a impedância por fase da carga 18+j12 e

22,5 35aI A= ° , determine IAB e VAB. Respostas: 13 65 A° e 281,2 98,69 V°

5-) Uma fonte de tensão trifásica de 100V (eficaz) alimenta uma carga equilibrada, mostrada na figura abaixo. Assume-se como referência a tensão VAB (ângulo zero). Determine:

a) A corrente fasorial IAB; b) A corrente de linha fasorial IA.

Iab

j3

4R

A

4R

B

C

j3

j34R

Ia

Respostas: a-) 20 36,9ABI A= − ° ; b-) 34,641 66,9AI A= − ° .


6-) A fonte de tensão trifásica da figura abaixo alimenta uma carga cujo modelo por fase é dado pela figura a direita. Determine:

a) A corrente de linha IL com relação à tensão de linha VAB (adote VAB como tensão de referência, ou seja, ângulo igual a zero);

b) A potência ativa e reativa fornecida para a carga.

N

2,236RA

j1N

B

C

IL

300Vef

3 fases

(linha)

Respostas: a-) 70,7 24,1LI A= − ° ; b-) 33,5P kW= e 15Q kVAr= .

7-) Uma carga balanceada conectada em estrela absorve uma potência total de 5kW com um fator de potência adiantado de 0,6 quando conectado a uma tensão de linha de 240V. Determine a impedância de cada fase e a potência complexa total da carga.

Respostas: Z=4,15-j5,53 e S=5000-j6667VA.

8-) Um motor trifásico pode ser modelado como uma carga em Y balanceada. O motor drena 5,6kW quando a tensão de linha é 220V e a corrente de linha é 18,2A. Determine o fator de potência do motor.

Resposta: FP=0,8075.

9-) Um motor elétrico trifásico de 250cv/220V e rendimento de 95,4% apresenta um fator de potência de 0,89. Deseja-se aumentar o fator de potência para 0,93. Calcule a corrente nominal do motor, a potência reativa necessária para elevar o fator de potência e desenhe o triângulo das potências.

Respostas: I=568,716A e Q=22,583kVAr. 10-) Duas cargas balanceadas são conectadas a uma linha de 240kV, 60Hz, como apresentado na figura. A carga 1 drena 30kW com um fator de potência de 0,6 atrasado, enquanto que a carga 2 drena 45kVAr com um fator de potência de 0,8 atrasado. Determine:

a) As potências ativa, reativa e aparente absorvida pelas cargas; b) A corrente total de linha; c) A quantidade de kVAr do banco capacitivo conectados em paralelo com a carga

para aumentar o fator de potência para 0,9 atrasado; d) A capacitância total dos capacitores.

Carga Carga

Balanceada 1 Balanceada 2

Respostas: a-) P=90kW; S=123,8kVA e Q=85kVAr; b-)


Referências Bibliográficas ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O., Fundamentos de Circuitos Elétricos, Bookman Companhia Editora., Porto Alegre, 2003. NILSSON, J. W.; RIEDEL, S. A., Circuitos Elétricos, 6ª Edição, Editora LTC, Rio de Janeiro, 2003 NAHVI, M.; EDMINISTER, J., Circuitos Elétricos, 2ª. Edição, Bookman Companhia Editora, Porto Alegre, 2005. GUSSOW, M., Eletricidade Básica, 2a Edição, Makron Books, São Paulo, 1996.

apostila de circuitos

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