apostila de circuitos eletricos i.doc

7/25/2019 Apostila de Circuitos Eletricos I.doc

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Circuitos Elétricos I

1 – Teoremas de análise de circuitos

1.1 – Teorema da superposição

“A corrente que atravessa ou a tensão entre os terminais de um elemento de um circuito

linear é igual à soma algébrica das correntes ou das tensões produzidas independentemente por cada

uma das fontes.”

Praticamente, as fontes de tensão serão curto circuitadas e as fontes de corrente

transformadas em circuitos abertos, uma de cada vez, resultando na soma de cada uma das

influncias destas fontes na vari!vel que se dese"a calcular.

#$emplos%&' (tilizando o teorema da superposi)ão, determine a corrente no resistor de * + do circuito abai$o

e verifique que o teorema da superposi)ão não pode ser usado para calcular a potncia total

dissipada no circuito.

olu)ão% -onsiderando apenas o efeito da fonte de * /%

012 3 # 4 5 6 3 # 4 75 & 8 5 2' 3 * 4 7&2 8 *' 3 2 A.

-onsiderando o efeito da fonte de 9 A%

0112 3 5 & 0 4 75 & 8 5 2' 3 7&2 . 9' 4 7&2 8 *' 3 * A 02 3 012 8 0112 3 2 8 *

02 3 : A; P* 3 702'2 5 2 P* 3 7:'2. * P* 3 :< =; fazendo

P1* 3 7012'2.5 2 3 72'2. * 3 2< =; P11* 3 7*'2. * 3 2&* = P1* 8 P11* 3

3 2< 8 2&* 3 2<> = ? :< =.

2' (tilizando o teorema da superposi)ão, determine a corrente 02 que atravessa o resistor de &2 @

da figura abai$o.

olu)ão% Bevando em considera)ão apenas o efeito da fonte de

corrente de * mA%

012 3 5 & 0 4 75 & 8 5 2' 3 7* @' 7* m' 4 7* 8 &2' 3 2 mA.

&



Bevando em conta somente a fonte de tensão de 9 /%

0112 3 # 4 75 & 8 5 2' 3 9 4 7* @ 8 &2 @' 3 >,C mA.

02 3 012 8 0112 3 2,C mA.

1.2 – Teorema de Thevenin

Dualquer circuito de corrente contEnua linear de 2 terminais pode ser substituEdo por um

circuito equivalente constituEdo por uma fonte de tensão e um resistor em série. Por e$emplo%

5 6F 3 5 & 8 5 2 3 * 8 < 3 &> ;

#6F 3 &2 G < 3 : /.

#$emplos%

&' Heterminar o circuito equivalente de 6Ievenin para a parte sombreada do circuito abai$o.

olu)ão%

5 6F 3 < 8 2 3 * ;

#6F 3 /& 3 5 & . 0 3 < .&2 3 <: /

2' Hetermine o circuito equivalente 6Ievenin para a parte sombreada do circuito abai$o.

olu)ão%

#6F 3 5 &#& 4 75 & 8 5 2' 3 7*.:' 4 7* 8 <' 3

2

5 6F 3 5 &445 2 3 7*.<'47* 8 <' 3 2<4&>

5 6F 3 2,< ;



3 <: 4 &> #6F 3 <,: /.

1.3 – Teorema de Norton

Dualquer circuito de corrente contEnua linear de 2 terminais pode ser substituEdo por um

circuito equivalente formado por uma fonte de corrente e um resistor em paralelo.

#$emplos%

&' #ncontre o circuito equivalente de Jorton para a parte sombreada do circuito abai$o.

olu)ão%

5 J 3 5 &445 2 3 44* 5 J 3 2 ;

0 J 3 # 4 5 & 3 9 4

0 J 3 A.

2' #ncontre o circuito equivalente de Jorton para a parte do circuito à esquerda dos pontos a e b.

olu)ão%

5 J 3 5 &445 2 3 <44* 5 J 3 2,< . (tilizando o teorema da superposi)ão%

0 J 3 011 J G 01 J 3 : G &,KC

0 J 3 *,2C A.

01 J 3 #&45 & 3 K4< 3 &,KC A ; 011 J 3 0 3 : A ;



#$ercEcios%

&' #ncontre a corrente no resistor de 2 do circuito abai$o.

2' Hetermine o circuito equivalente da 6Ievenin para a parte sombreada do circuito abai$o.

' #ncontre o circuito equivalente Jorton para o circuito abai$o.

<' #ncontre a corrente que passa pelo resistor 5 utilizando os teoremas de solu)ão, isto é,

uperposi)ão, 6Ievenin e Jorton.

<



Lbs.% Ls circuitos podem ter C elementos b!sicos% fonte de tensão, fonte de corrente, resistor,

capacitor e indutor. /amos definir os tipos de fontes de um circuito%

a' Monte ideal de tensão é um elemento que mantém uma tensão especificada entre os seus

terminais qualquer que se"a a corrente que a atravessa;

b' Monte ideal de corrente consiste de um elemento que é atravessado por uma corrente

especificada qualquer que se"a a tensão entre seus terminais;

c' Monte independente é aquela que estabelece uma tensão ou corrente em um circuito

independentemente dos valores de tensão ou corrente em outros pontos do circuito;

d' Monte dependente ou controlada é aquela que estabelece uma tensão ou corrente em um

circuito cu"o valor depende do valor da tensão ou da corrente em outro ponto do circuito.

ua representa)ão é a seguinte%

1. – !étodo das correntes de malha

• Associe uma corrente a cada malIa fecIada independente do circuito;

• 0ndique as polaridades de tensão de cada resistor dentro de cada malIa, de acordo com o

sentido da corrente escolIido para esta malIa;

• Aplique a Bei de NircIIoff para tensões a todas as malIas;

• 5esolva as equa)ões lineares simultOneas resultantes para obter as correntes de malIa.

#$emplos%

&' Dual deve ser o valor de 5 o no circuito abai$o se io 3 < A

olu)ão%

2' -alcule o valor de vo no circuito abai$o%

olu)ão%

' Para o circuito abai$o, calcule /o.

olu)ão%

C

8

G

vs 3 Q v$ ou vs 3 R i$ is 3 S v$ ou is 3 T i$

8

G < i

o8

G *< /

5 o

* +

io G < io G 5 o io 8 *< G * io 3 >

G &* G < 5 o G *< G 2< 3 >

< 5 o 3 2< 5 o 3 * +.

8

G C>> /

C +

iU

vo

2> + C iU

io

&

ValIa &%

C>> 3 C iU 8 2> io ; io 3 iU 8 C iU 3 * iU

C>> 3 C iU 8 72>'7* iU' 3 &2C iU

iU 3 < A io 3 2< A vo 3 2> io 3

3 72>'72<' vo 3 <:> /.

2 /a

& @+

2 @+/

a

8

G

&2 /

/o

8

G

io

8

G

8 G

& @+ G 2 /a 8 & @ io 8 &2 8 & @ io 8 2 @ io 3 >

G 2 /a 8 < @ io 3 G &2; /a 3 @ io

7G 2'7 @ io' 8 < @ io 3 G &2

G 2 @ io 3 G &2 io 3 * mA

/o 3 2 @ io 3 72 @'7* m' /o 3 &2 /.



<' Hetermine /o no circuito abai$o.

olu)ão%

C' #quacionar o circuito abai$o pelo método das malIas. #m seguida, escrever o sistema sob a

forma matricial e calcular as correntes das malIas utilizando a regra de Nramer.

1." – !étodo das tens#es de n$

• Hetermine o nWmero de nXs no circuito;

• #scolIa um nX de referncia e rotule cada nX restante com um valor de tensão;

• Aplique a Bei de NircIIoff para correntes a todos os nXs, e$ceto o de referncia;

• 5esolva as equa)ões resultantes para obter as tensões dos nXs.

#$emplos%

&' Para o circuito abai$o, calcule /o.

olu)ão% Pela Bei dos nXs%

*

8

G 2< /

2 +

+

G 8

/a

8

G & +

2 /a

/o

8

G io

G 2< 8 2 io G 2 /a 8 io 8 io 3 >

* io G 2 /a 3 2< io G /a 3 &2;

G /a G 2 /a 8 io 3 > /a 3 io

/a 3 io io G io 3 &2

2 io 3 &2 io 3 * A /o 3 io 3

3 7'7*' /o 3 &: /.

&2 A2 io

< +

io

&2 + * +

/o

2 io 8 &2 3 /o4&2 8

/o4* 8 /o4<; io 3 /o4*;

2 /o4* 8 &2 3 /o4&2 8

8 /o4* 8 /o4<

/o 7&4&2 8 &4* 8 &4< G &4' 3 &2 /o 724&2' 3 &2 2 /o 3 &<< /o 3 K2 /.

> /2 + < +

C + +

&> /

& +

8

G

8

G

8

G

* +

2> /



2' Hetermine o valor da tensão /o para o circuito abai$o.

olu)ão% -Iamando de v a tensão em cada ramo,

pela Bei dos nXs%

' (se o método das tensões de nX para determinar a potncia dissipada pelo resistor de C do

circuito abai$o.

olu)ão%

#$ercEcios

&' -alcule a corrente i e as tensões vc e vd do circuito abai$o, utilizando o método das tensões de

nX.

2' Hetermine, no circuito abai$o% i , v e id.

K

< io

@

@

@

8

Y

/o

&> mA

io

v

< io 3 &>m 8 v4*@ 8 v4@; io 3 v4@

< v4 @ G v4* @ G v4 @ 3 &> m

: v G v G 2v 3 *> C v 3 *>

v 3 &2 / /o 3 v42 3 &242

/o 3 * /.2 > / 2> + : io

&> +

v&

v2

2 +

io

C +2 +

8

G

8

G

Para o nX &% 7v& G 2>'42 8 v&42> 8 7v& G v2'4C 3 > &> v& G 2>> 8 v& 8 < v& G < v2 3 > &C

v& G < v2 3 2>>. Para o nX 2% 7v& G v2'4C 3 v24&> 8 7v2 G : io'42

7v2 G v&'4C 8 v24&> 8 7v2 G : io'42 3 > 2 v2 G 2 v& 8 v2 8 C v2 G <> io 3 >

: v2 G 2 v& G <> io 3 > < v2 G v& G 2> io 3 > < v2 G v& G 2>7v& G v2'4C 3 > < v2

G v& G v& 8 < v2 3 > G C v& 8 : v2 3 >; resolvendo o sistema% v2 3 &> / e v& 3 &* /;

io 3 &* G &> 4C 3 & 2 A PC + 3 * & 2 PC + 3 K 2 =.

7&4&C' vc

< + * +

a b

8

G

&,C /

8

G

vd

2 +

8 vc G

&> +

&2 /

& +

8

G

i

&> /

& +

8

G

8 G

2 +

i 42

2 + 8

< /

G

+8

v

G

i

id



' Hetermine vo para o circuito abai$o e verifique se a potncia fornecida ao circuito é igual à

potncia consumida.

<' -alcule, para o circuito abai$o% i2 , i& e io.

C' abendoYse que vo 3 2C> m/, determine% v&, vg e vo4vg.

*' Para o circuito abai$o, determine vg e demonstre que Pf 3 Pr .

:

&> / 8

G * +

is

+ is

8

G

2 +

8

vo

G

2< / 8

G &> +

i2

C +>,: vg

2 +

8

vg

G

2> +

i&

io

vg 8

G <> +

&> +

&>> +2> i&

8v

&

G

2C + &2,C +C> i2

8v

o

G

C> +

i&

i2

&2,* /

C> @+

8

G

&,C @ +

8 vg G

&> /

2C> +i b

8

G

9 i b>,* /

8 G



K' Jo circuito abai$o, para io 3 C A, calcule% &' /s; 2' A potncia recebida pela fonte de tensão

independente; ' A potncia fornecida pela fonte de corrente independente; <' A potncia

fornecida pela fonte de corrente dependente e C' A potncia total dissipada nos 2 resistores.

:' L circuito abai$o é uma configura)ão freqZentemente encontrada no pro"eto e an!lise de

circuitos transistorizados. uponIa que os valores de T, 5 &, 5 2, 5 e, /cc e /o se"am conIecidos. A'

Heduza, primeiramente, uma fXrmula para calcular ib a partir dos valores conIecidos; b'

Heduza, a partir do valor de ib e dos valores conIecidos, as equa)ões para a obten)ão das

demais correntes 7ic, ie, i& e i2' e das tensões /c, / b e /e.

2 – Capacitores

2.1 – IntroduçãoLs capacitores são formados por 2 condutores elétricos 7placas' separados por um material

isolante 7dielétrico'. 0sto significa que as cargas elétricas não podem atravessar o capacitor. Duando

9

/s

G

8

C +

* io

&> +

C A

io

5 2

/cc

ie

5 e

5 &

8

/ b

G

5 c

T i b

i&

i2

ic

/c

8

/e

G

8 G

/o

i b



uma tensão é aplicada aos seus terminais, as cargas do dielétrico são deslocadas em rela)ão à sua

posi)ão de equilEbrio. Duando a tensão varia com o tempo, esta posi)ão também varia, dando

origem à cIamada corrente de deslocamento, que é proporcional à ta$a de varia)ão da tensão

aplicada.

( ) ( )

( ) ( ) ( )>

t

t -c

-

c tvdi

-

&tvou

dt

tdv-ti

>

+ττ== ∫

2.2 – %ssociação de capacitores

n2&eq

n2&eq

-...---%Paralelo;-

&...

-

&

-

&

-

&%érie +++=+++=

2.3 – &ormas de onda no capacitor

#$emplos%

&' e"a um capacitor de & [M no qual é aplicada uma tensão de * cos 2>>>t /. -alcule a

corrente no capacitor.

olu)ão% ( ) ( ) ( ) ( ) .mAt2>>>sen&2tit2>>>sen&2>>>&>dttdv-ti c

*c −=∴−== −

2' A forma de onda abai$o corresponde a corrente em um capacitor de & M. #sboce a forma de

onda da tensão neste capacitor, sabendo que ele est! descarregado em t 3 >.

olu)ão%

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) %a&t4 p;at>da>vda

&&tv

%a

&t>4 p;>v>d>

&

&tv

>i%>t4 p;vdi-

&tv

t

>

t

>

t

t

>=+τ=+τ=

<<=∴+τ=⇒

⇒=<∞−+ττ=

∫ ∫

∫

∫

∞−

∞−

( ) ( ) &&d>a&vd>

&

&tv

t

a&

t

a&

=+τ=+τ= ∫ ∫ .

' (ma corrente constante de &> mA est! carregando um capacitor de < [M. abendoYse que o

capacitor est! inicialmente descarregado, calcule a tensão neste capacitor apXs 2> ms.

<' (m capacitor de &[M tem uma tensão de &> sen 2>>>t /. AcIe a corrente que passa neste

capacitor.

C' Por um capacitor de >, [M passa uma corrente de &2 e G <>>>t mA. AcIe a tensão v7t' no

capacitor, para t \ >, se v7>' 3 G &> /.

*' (m capacitor de >,< [M possui uma forma de onda de tensão mostrada abai$o. AcIe a

corrente para t 3 G <, G &, 2, C e 9 ms.

&>

i 7t'

a

&4a t

v7t'

&

&4a t

vc7t' 7/'

&>

Y2

YC

Y&> < : &> t 7ms'



K' (m capacitor inicialmente descarregado de >,2 [M é submetido a um pulso de corrente de

forma triangular, descrito pelas seguintes equa)ões% i7t' 3 > p4 t ] >; i7t' 3 C>>>t A p4 > ^ t ]

2> [s; i7t' 3 >,2 G C>>>t A p4 2> [s ^ t ] <> [s; i7t' 3 > p4 t \ <> [s.

a' Hetermine as e$pressões da tensão, potncia e energia do capacitor para os < intervalos

definidos acima;

b' Por que continua a e$istir uma tensão finita entre os terminais do capacitor mesmo quando a

corrente volta a zero

3 – Indutores

3.1 – Introdução

L comportamento dos indutores se baseia em fen_menos associados a campos magnéticos,

campos estes produzidos por corrente elétrica. Duando uma corrente elétrica varia com o tempo, o

campo magnético produzido por esta corrente também varia e então, um campo magnético variante

com o tempo induz uma tensão num condutor imerso neste campo. A tensão induzida est!

relacionada à corrente por um parOmetro denominado de indutOncia 7B'.

( ) ( )

( ) ( ) ( )>B

t

t BBB

B tidvB

&tiou

dt

tdiBtv

>

+ττ== ∫

3.2 – %ssociação de indutores

n2&eq

n2&eqB

&...B

&

B

&

B

&%Paralelo;B...BBB%érie +++=+++=

3.3 – &ormas de onda no indutor

#$emplos%

&' Hetermine, para o circuito abai$o, as correntes i7t' e i*7t'.

olu)ão%

( ) ( ) ( )

∫

∫

∴+ττ=

=∞−+ττ=

=+=+

+=+=

∞−

t

>

t

eq

eq

>d&>>cos*<

&

idvB

&ti

;F<22*

.*244*2B

( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

[ ] ( ) .mAt&>>senCti&>>sen&>>&C,>d&>>cos

*

>id&>>cos*

&ti/t&>>costvt&>>cost&>>cos*

&>>.t&>>cos&>.>t&>>cos*dt

t&>>sen&>.&Cd2t&>>cos*tvtv

tv>tvtvtv;mAt&>>sen&Cti&>>sen&>>

&

<

*ti

*t>

t

>

*

t

>**

2

**2

t

>

=∴τ

=ττ=

=+ττ=⇒=∴−=

=−=−=−=

=∴=++−=∴τ

=∴

∫

∫

−−

&&

2 F

8

Y

* cos &>> t /

i*7t'

* F

i7t'

F



2' A forma de onda da corrente em um indutor de &> mF é a da figura que se segue. Hetermine

a correspondente forma de onda de tensão.

olu)ão%

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ./>tvdt

>d&>.&>tvmA>ti%ms<t4 p;m/&>>tv

dt

&>.<>t&>d&>.&>tvA&>.<>t&>ti

%ms<tms24 p;m/&>>tv&>.&>>dt

t&>d&>.&>tv

At&>t&>.2

&>.2>ti%ms2t>4 p;/>tvmA>ti%>t4 p

=∴=⇒=>−=∴

∴+−=⇒+−=

<<=∴==

⇒==<<=⇒=<

−

−−−

−−

−

−

' -alcular a tensão em um indutor, de indutOncia B, percorrido por uma corrente dada pela

e$pressão% i7t' 3 0m sen `t.

olu)ão%

( ) ( )

( ) .tcos0mBtvdt

tsen0mdBtv ωω=∴

ω=

Lbs.% a' A freqZncia angular 7`' é a mesma logo, a freqZncia também ser! a mesma; b' A

amplitude da tensão é proporcional à freqZncia angular; c' 6ensão e corrente estão defasadas.

<' A corrente em um indutor de 2 mF é i7t' 3 2 cos KK t. Hetermine a tensão que se

desenvolve no indutor.

C' -onsidere o gr!fico da corrente aplicada a um indutor de C F, mostrado abai$o. #sboce a

correspondente forma de onda da tensão.

&2

i7t'7mA'

2>

&>

2 < t7ms'

v7t'7m/'

&>>

Y&>>

2 < t7ms'

&>

i7t'7A'

Y&>

& 2 < C t7s'



*' Para o circuito abai$o, determine v&, v2 e v.

K' Para o circuito e a forma de onda v7t' abai$o, determine i7t'.

:' L pulso de tensão aplicado ao indutor de &>> mF do circuito abai$o é nulo para t ^ >, sendo

dado pela e$pressão v7t' 3 2> t eY&>t para t \ >. Hetermine o gr!fico da corrente no indutor.

9' Jo circuito abai$o, a corrente através do indutor é igual a zero para Y ^ t ^ > e para t \ >,

i7t' 3 & G eY2t A. Hetermine, para t \ >% a' vB7t'; b' v5 7t'; c' v7t'; d' a potncia absorvida pelo

indutor; e' a potncia absorvida pelo resistor; f' a potncia fornecida pela fonte e g' a energia

B7t'.

&>' Para o circuito abai$o, e$citado pela forma de onda de corrente apresentada, determine as

formas de onda da tensão no indutor, da potncia absorvida pelo indutor e da energia

armazenada no indutor.

Circuitos 'C e '(%

&

>,2 F

8

Y /

8 v2 Y

C F

>,: F

C +

8 v&

Y

& +

+

Y >,: A

2,C F

< + 9 +

8

v

Y

i7t'

8

v7t'

Y F

v7t'7/'

2

Y&

& 2 t7s'

i7t'

8

vs7t'

Y

& F

8 v5 7t'

Y

2 + 8

vB7t'

Y

i7t' 8

vB7t'

Y

2 F

& 2

i7t'7A'

t7s'

&



0ntrodu)ão%

-omo sabemos, os indutores e os capacitores são elementos capazes de armazenar energia.

endo assim, um circuito 5B ou um circuito 5-, tem a presen)a de uma fonte, mas, carregados

previamente, produzem correntes e tensões que correspondem à 5esposta Jatural do circuito.

A coloca)ão de uma fonte e$terna no circuito 7de tensão ou de corrente contEnua' produzir! a

cIamada 5esposta a um Hegrau ou 5esposta Mor)ada das correntes e tensões do circuito. Jeste

caso, o circuito dever! ser reduzido a uma das quatro configura)ões abai$o, a fim de se obter um

circuito de primeira ordem.

-ircuito 5B%

-ircuito 5-%

5esposta Jatural de um circuito 5-%

upondo que a cIave permaneceu na posi)ão a por um longo tempo, o circuito 7&' atingiu

seu regime estacion!rio, isto é, a corrente no capacitor é zero e a tensão em seus terminais é )* . #mt 3 >, a cIave ir! para a posi)ão +, produzindo o circuito 72'.

7&' 72'

&<

0oB

eq5

eq

8

/o

Y

-eq

5 eq

iB7t' 8

vB7t'

YB

eq

5 6I

/6I

5 6I

iB7t' 8

vB7t'

YB

eq

5 6I

/6I

8Y

i-7t' 8

v-7t'

Y

-eq

5 6I

/6I

8Y

i-7t' 8

v-7t'

Y

-eq

5 6I

/6I

5 6I

-5

a b

/>

5 &

8

G

t 3 >

- 5 />

v7t'8

G

i7t'

8

Y



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) .2

&&>

222

;.

;;tan

;>%>4;

ln&&

&>>>

2

>

2

>>2

>

>

22

>

>

22

>

>

22

>>

>>

>&

>

&>&

ln

J CV W CV

eeCV

e RC

R

V dt e

R

V

dt t pW W e R

V t pe

R

V eV t pt it vt p

Ae R

V t i

R

t vt iV eV t vtempodetecons

RC comoeV t vk ek V vt pek t v

eek RC

t t vdt

RC t v

t dvdt

RC t v

t dv

t v RC dt

t dv

RC

t v

dt

t dv

R

t v

dt

t dvC t it i

R

t t

R R

t

R

t g

t

R R

t t

RC

t

RC RC

t

k RC

t

t v

RC

=∴−−=−−=

−==

==∞=∴=∴=

=⇒==⇒⇒⇒==⇒=====∴

∴=∴+−=∴−=∴−=∴

∴−=∴=+∴=+∴=+

∞−

∞−∞ −

∞−−−

−−

−−−

+−

∫

∫

∫ ∫

τ τ

τ τ τ

τ τ

τ

Lbs.% Duando o instante a ser analisado iniciarYse em um tempo t* , então a fXrmula para tensão

ser!%

( )( )

>5-

tt

> tt4 pe/tv>

≥=−

−

#$emplos%

&' -alcule a tensão v para t \ > no circuito em regime estacion!rio abai$o.

( )

( ) ( ) ./e*tve*tv

;s&>&>.&>.&>>5-

;e/tv%olu)ão

t&>>>

:

5-

t

>

&>

t

−

−−

−

=∴=

==

=

−−

2' A cIave do circuito abai$o ficou na posi)ão , por um longo tempo antes de ser deslocada em

t 3 > para a posi)ão -. Hetermine, para t \ >, vc7t', v>7t' e i>7t' e a energia total dissipada no

resistor de *> @.

&C

v7t'

/>

t

>,>& QM&>> @

t 3 >8

v

Y

* /

/

&@

8

G

>,C QM2<> @

&>> /

&> @

8

G

$2 @

8

v-7t'

Y

i>7t'

8

v>7t'

Y*> @



( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) .m2,&=eeC>

&&>.*>dt&>.e*>dtt p=

;m=e*>t p&>.e.e*>ti.tvt p;mAeti@ *>

e*>

@ *>

tvti;/e*>tve&>>.*,>tv

@ <:@ 2

@ <:tv

;/e&>>tve&>>e/tv;ms<>C,>.@ :>5-;/&>>/

;@ :>@ 2@ <:5 @ 2@ *>@ 2<>

@ *>.@ 2<>@ 2@ *>44@ 2<>5 %olu)ão

@ *>

>

>

tC>

> @ *>@ *>

tC>

@ *>

t2Ct2C

>>@ *>

t2C

>

t2C

>

>

t2C

>

t2C

->

t2C

-&>.<>

t

5-

t

>->

eqeq

=∴−

−===

=∴===∴

∴===∴=

+

=

=∴===µ==

Ω=+=∴++

=+=

∞−−∞ −−∞

−−−−−

−−−

−−−

∫ ∫

−

5esposta for)ada em um circuito 5-%

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) .Ae0tie5-

&50-

dt

e5050d

-dt

tdv-ti

;/e&50tv&ee50tv&e5--0tv.e

dte-

0tv.ede

-

0

dt

tv.ed

eet

-

0tv

5-

&

dt

tdv

dt

tdv-

5

tv0titi0%>t4 p

5-

t

>-5-

t

>

5-

t

>>

--

5-

t

>-5-

t

5-

t

>-5-

t

>-

5-

t

t

>

5-

t

>-

5-

t

5-

t

>

-5-

t

5-

t

5-

dt

>-

--->-5 >

−−

−

−−

=∴

−−=

−

==

−=∴

−=∴

−=∴

∴=

∴=

⇒=∫ =µ⇒

⇒=+∴+=∴+=>

∫ ∫

olu)ão geral de um circuito 5-%

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ./e50/50tv

e5050e/tve&50e/tvvvtv

5-

t

>>>-

5-

t

>>5-

t

>-5-

t

>5-

t

>-f n-

−

−−−−

−+=∴

∴−+=∴

−+=∴+=

P4 /> \ 50>% P4 /> ^ 50>%

#$emplos%

&' AcIe v7t' para t \ > se v7>Y' 3 * /.

&*

vc7t'

/>

50>

t

vc7t'

50>

/>

t

t 3 >

i-7t'

- v-7t'5

i5

0>

8

v7t'

Y2 QM

&> @t 3 >

&> /



( ) ( )

( ) ( ) ( ) ./e<&>tve&>*&>tv

;ms2>&>.2.&>.&>5-;/&>50

;e50/50tv%olu)ão

tC>tC>

*

>

5-

t

>>>

−−

−

−

−=∴−+=

===

−+=

2' A cIave do circuito abai$o foi mantida por um longo tempo na posi)ão 1. #m t 3 >, a

cIave é colocada na posi)ão 2. Hetermine v>7t' e i>7t' p4 t \ >.

( )

( ) ( )

;mAC,&0@ <>

*>

5

/0

;@ <>5 @ 2>>

@ &*>.@ <>@ :@ &*>44@ <>@ :5 ;/*>/KC

@ 2>>

@ &*>

KC@ <>@ &*>

@ &*>/;/>/<>

@ :>

@ *><>

@ 2>@ *>

@ *>/%>t4 p%olu)ão

J

J

ab J

J Jab

ab>>

−=∴−==

Ω=∴+=+=−=∴−=

=−+

==∴=+

=<

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) .mAe2C,2ti

e&>>9>.&>.2C,>tidt

tdv-ti;/e9>*>tv

e*>>*>tvemC,&@ <>>mC,&@ <>tv

t&>>>

t&>>*

>>

>

t&>>

>

t&>>>

2C,>.@ <>

t

>

−

−−−

−µ−

−=∴

∴−=∴=+−=∴

∴++−=∴−−+−=

5esposta natural de um circuito 5B%

&K

vc7t'7/'

>

Y 2K

Y *>

&> C>t7ms'

>,2C QM*> @

& 2

<> /

2> @

8

G

t 3 >

&*> @ KC /8

v>7t'

Y

: @

G

8

<> @

i>7t'

a

b

> /8

G

>,2C QM

<> @ &,C mA



upondo que a cIave permaneceu fecIada por um longo tempo, o circuito abai$o atingiu seu

regime estacion!rio, isto é, o indutor se comporta como um curto circuito. A tensão entre seus

terminais é zero e as correntes um 5 > e 5 são nulas.

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

( )

( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

5

B%tempodetetancons

;e&B02

&t=ee

B5 2

&50de50

d pt=;=e50t p;/e50tvt5itv

;Ae0tie>itie>i

ti

eetB

5

>i

ti

ln

>tB

5 >ilntiln$

B

5 lnd$

B

5 d

dtB

5

ti

tditi

B

5

dt

tdi>ti

B

5

dt

tdi>t5i

dt

tdiB%>t4 p

tB

5 2

2

>

>t

B

5 2

2

>

t

>

B

5 2

2

>

t

> 5

tB

5 2

2

>5

tB

5

>

tB

5

>

tB

5 t

B

5 t

B

5

>i

tiln

t

>

ti

>i

t

>

ti

>i

=τ

−=∴

−

−=τ=

=ττ===∴=

=∴=∴=∴=∴−=∴

∴−−=−∴−=τ∴−=ττ

∴

∴−=∴−=∴=+∴=+>

−−τ−

−−

−−−−

∫

∫

∫ ∫

#$emplos%

&' Para o circuito abai$o, determine i7t' e v7t' em regime estacion!rio.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ./e&>>tve&>>e2>>e2C>

dt

e2d&>tiC>

dt

tdi&>tv

;Ae2tiA2>i0;s&,>&>>

&>

5

B;&>>5

&C>KC

&C>.KCC>

&C>44KCC>5 %>t4 p;A2C>&>>>i>i%>t4 p%olu)ão

t&>t&>t&>t&>t&>

t&>

>

eq

eq

eq

−−−−−

−+

+−

−=∴+−=+=+=

=⇒=====τΩ=∴+

+=

=+=>===<

2' A cIave do circuito abai$o ficou fecIada por um longo tempo antes de ser aberta em t 3 >.

Hetermine, para t \ >% a' iB7t'; b' i>7t' e c' v>7t'. Dual é a energia dissipada no resistor de &>

&:

t 3 >

0> 5

>

B 5

i7t'

8v7t'

Y

t 3 >

&>> /&C>

&> F

C>

i7t'

KC 8

v7t'

Y

2> A>,&

t 3 >

iB7t'

2 F

2

&>

i>7t'

<>

8

v>7t'

Y



) ( ( ( )

( ) ( ) ) ( ) ( )

( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( )

( )

( ) ( ) .2C*t=ee2C*e&>

&2C*>

dte2C*>t==e2C*>&>

e&*>

&>

tvt p

;/e&*>tve<<>ti<>tvc;Ae<tie2>C

&

ti<>&>

&>ti b;Ae2>tiA2>>i0;s2,>

&>

2

5

B

;&><>44&>25 %>t4 p;A2>>i>i%>t4 pa%olu)ão

&>

>

>

t&>

>

t&>

&>

t&>

2tC2

>&>

tC

>

tC

>>

tC

>

tC

B>

tC

B>

eq

eqBB

=∴−−=

−=

==⇒=−

==

−=∴−==−=∴−=

=+

−==⇒=====τ

Ω=+=>==<

Ω

∞−∞

−

∞ −Ω

−−

Ω

−−−−

−+

+−

∫

5esposta for)ada de um circuito 5B%

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )( )

.geralolu)ão

Ae5

/0

5

/tie

5

/0

5

/ti

tB

5

5

/0

5

/ti

ln

B

5

5

/lnd

B

5

5

/

ddt

B

5

5

/ti

tdi

5

/ti

B

5

dt

tdi

B

/ti

B

5

dt

tdi

dt

tdiBt5i/

tB

5

>

>

s>

st

B

5

s

>

s

s

>

s

t

>

ti

0

st

>

ti

0ss

sss

⇒

⇒

−+=∴=

−

−∴−=

−

−∴

τ−=

−∴τ−=

−∴−=

−∴

∴

−−=∴+−=∴+=

−−

∫ ∫

) ( )

) ( ) ( ) .A5

/*2&,>ie

5

/

5

/i%t4 p b

;e5

/

5

/tizeroé0,zeroéindutor doinicialenergiaaDuandoa%.Lbs

s&ss

tB

5

ss>

≅τ∴−=ττ=

−=⇒

−

−

&9

5

/s

t 3 >

i7t'

B8

v7t'

Y

i7t'

/s45

>,*2& /s45

C t

v7t'

/s

>,*K /s

C t



#$emplo%

A cIave do circuito abai$o foi mantida na posi)ão a por um longo tempo. #m t 3 >, a cIave

é deslocada da posi)ão a para a +. #sta cIave é do tipo que faz a liga)ão com + antes de abrir em a

para que a corrente no indutor não se"a interrompida.

a) Hetermine a e$pressão de i7t' para t \ >;

b) Dual é a tensão entre os terminais do indutor logo depois que a cIave é colocada na posi)ão

+

c) #sta tensão inicial faz sentido em termos de comportamento do circuito

d) Duantos ms depois que a cIave é colocada na posi)ão + a tensão entre os terminais do

indutor atinge 2< /

e) Plote i7t' e v7t' em fun)ão de t.

)

( ) ( ) ( )

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ) ( ) ( )) ( )

.ms>:,C&t&>

C

ln

t

C

lnt&>

C

lneln

<>

2<ee<>2</2<tv4 pd

;/<>&*2<>v/&*:2v%imc;/<>>v>t4 p

;/e<>tve2>>2,>dt

e2>&2d2,>

dt

tdiBtv b

;>t4 pAe2>&2tie&2:&2tims&>>2

2>>

5

B

;A&22

2<i%éidefinalvalor o, b posi)ãona;A:0%a posi)ão Jaa

t&>t&>t&>

2

t&>t&>t&>

t&>&,>

t

>

=∴−

=∴

∴=−∴=∴=∴=⇒==+=⇒−=−==⇒=

=∴=−

==

>−=∴−−+=⇒===τ

==−=

−−−

+

Ω

++

−−−

−−

e'

Circuito '(C aralelo – 'esposta Natural

2>

2< /

2 b a

t 3 >

2>> mF

8

v7t'

Yi7t' &>

: A

v7t'7/'

<>

C>> t7ms'

i7t'7A'

&2

Y :

C&,>: C>> t7ms'



• FipXteses%

1)

2)

3)

2&



#$emplo% Para o circuito 5B- paralelo com 5 3 2>>, B 3 C>mF e - 3 >,2[M. Hetermine%

a' os valores de ;

b' tipo de resposta;

c' repetir a e b para 5 3 &2,C;d' o valor de 5 para se obter uma resposta criticamente amortecida.

olu)ão%

-omo 5esposta uperamortecida.

-omo 5esposta ubamortecida.

Para resposta criticamente amortecida%

-onsidera)ões sobre as formas de resposta natural do circuito 5B- paralelo%

&' 5esposta uperamortecida% quando , as raEzes são reais e distintas e a

resposta é denominada de superamortecida. #ntão, onde são

determinados partir de . Para t 3 >%

22



#$emplo% Para o circuito 5B- paralelo anterior com 5 3 2>>, B 3 C>mF e - 3 >,2[M, temos as

condi)ões iniciais de 3 &2/ e 3 >mA. Hetermine%

a' as correntes ;

b' o valor incial de ;

c' a e$pressão de ; e

d' esboce um gr!fico de para

olu)ão%

Pelos resultados do e$emplo anterior%

2



2' 5esposta -riticamente Amortecida% quando , as raEzes são reais e iguais e a

resposta é denominada de criticamente amortecida 7valor final atingido o mais rapidamente,

sem oscila)ão do sistema' Jesse caso, a resposta é da forma%

Para determinar empregaYse %

#$emplo% e"a o circuito 5B- paralelo abai$o onde . Hetermine%

a' L valor de 5 que resulta em uma resposta criticamente amortecida;

b' -alcule

c' Ma)a um gr!fico de em fun)ão de t para .

2<



olu)ão%

Para resposta criticamente amortecida%

p4 t 3 > 3\ ; p4 t 3\ ;

2C



' 5esposta ubamortecida% quando S2 ^ `>2, as raEzes são comple$as con"ugadas,

sendo a resposta denominada de subamortecida%

2*

& & & >



L.% &' As fun)ões trigonométricas mostram que a resposta é

oscilatXria, cu"a frequncia depende de ;

2' A amplitude dos senos e cossenos diminuem e$ponencialmente e o parOmetro

determina a velocidade desse amortecimento e, por isso, é denominado “coeficiente deamortecimento” ou “fator de amortecimento”;

' Ja ausncia de , . Duando 5 ? > 3\ ? > e ;

<' L comportamento oscilatXrio é devido a e$istncia de dois elementos armazenadores de energia

no circuito 7capacitor e indutor'.

#$emplo% Para o circuito do e$ercEcio anterior com 5 3 2> N%

a' -alcule as raEzes da equa)ão caracterEstica;

b' -alcule em t 3 ;

c' -alcule a tensão para t >; e

d' Ma)a um gr!fico de em fun)ão de t para o intervalo de tempo de > ] t ] &&ms.

olu)ão%

2K



5esposta do -ircuito 5B- Paralelo ao Hegrau

A diferen)a é que passamos a ter uma #HB de 2h ordem a coeficientes constantes, nãoYIomognea e

a incXgnita é a corrente e não a tensão.

2:

apostila de circuitos eletricos i.doc

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