CIRCUITOS ELTRICOS I

MTODOS DE ANLISE APLICADOS A CIRCUITOS DC

Prof. Dr. Rogrio Rocha Matarucco

Fevereiro/2012

FONTE DE CORRENTE

Uma fonte de corrente determina a corrente no ramo

onde est situada.

A intensidade e a polaridade da tenso entre os

terminais de uma fonte de corrente so uma funo do

circuito do qual ela faz parte.

Toda fonte de corrente possui uma resistncia interna

(fonte real).

RiIsIs

i i

i1

TRANSFORMAO DE FONTES

Uma transformao de fontes permite substituir uma

fonte de tenso em srie com um resistor por uma fonte

de corrente em paralelo com o mesmo resistor, ou vice-

versa.

RiIs

Ri

+

-

Vs

TRANSFORMAO DE FONTES

Observaes importantes:

RIsR

Rs

Is

+

-

Vs

RR

Rp

+

-

Vs

FONTES DE CORRENTE EM PARALELO

RIsR2Is2R1Is1

Para este sentido de IS deve-se considerar que IS1>IS2

FONTES DE CORRENTE EM SRIE

Fontes de corrente de diferentes intensidades no

podem ser ligadas em srie.

ANLISE DAS CORRENTES NOS RAMOS

o primeiro mtodo para analisar circuitos com duas ou

mais fontes.

Ramo: qualquer combinao de elementos em srie.

N: juno de dois ou mais ramos.

Mtodo:

1. Associe uma corrente distinta de sentido arbitrrio a

cada ramo do circuito.

2. Indique as polaridade para cada resistor, de acordo

com o sentido da corrente escolhido.

3. Aplique a lei de Kirchhoff para tenses a vrias

malhas do circuito

ANLISE DAS CORRENTES NOS RAMOS

4. Aplique a lei de Kirchhoff para correntes ao nmero

mnimo de ns que inclua todas as correntes nos

ramos do circuito (n1 equaes sero obtidas, onde

n o nmero de ns do circuito).

5. Resolva as equaes lineares simultneas resultantes

para as correntes de ramo escolhidas.

EXEMPLO

1. Associar correntes a cada ramo (3 ramos = 3 correntes)

R3

4ohm

R2

1ohmR12ohm

+

-

Vs2

6V

+

-

Vs1

2V

i1

i3

i2

2. Polaridade dos resistores

- +

- +

- +

3. Aplicar LKT para as duas malhas (adotado sentido horrio)

Malha 1 Malha 2

4. Aplicar LKC ao n A (2ns-1=1 equao)

5. Montar e resolver o sistema de equaes

Sinal negativo: a corrente real tem sentido oposto

A

MTODO DAS MALHAS

(ABORDAGEM GERAL)

baseado no mtodo das correntes nos ramos.

Mtodo:

1. Associe uma corrente no sentido horrio a cada

malha fechada independente do circuito (uma corrente

de malha coincide com uma corrente de ramo

somente quando ela a nica corrente que percorre

este ramo).

2. Indique as polaridades de cada resistor dentro de

cada malha, de acordo com o sentido da corrente

adotado. Ateno: um resistor percorrido por correntes

distintas em cada malha, ter polaridades distintas.

MTODO DAS MALHAS

3. Aplique a lei de Kirchhoff para tenses a todas as

malhas.

Se um resistor percorrido por duas ou mais

correntes, a corrente total igual soma algbrica

das correntes, sendo adotado o sentido positivo

daquela associada malha que est sendo aplicada a

lei de Kirchhoff.

4. Resolva as equaes lineares simultneas.

EXEMPLO

R3

4ohm

R2

1ohmR12ohm

+

-

Vs2

6V

+

-

Vs1

2V

i1 i2 - + -

+

- +

- +

Malha 1 Malha 2

Aplique o mtodo das correntes nos ramos para

determinar as corrente I1 e I2.

MTODO DAS MALHAS

(ABORDAGEM PADRONIZADA)

Por essa abordagem possvel se escrever as

equaes de malha de forma mais rpida e precisa.

Vamos utilizar o seguinte circuito como exemplo na

descrio deste mtodo:

R32

R26

R11

+

-

E210V

+

-

E15V

i1 i2

MTODO DAS MALHAS

(ABORDAGEM PADRONIZADA)

A coluna 1 composta por uma corrente de malha

multiplicada pela soma dos resistores atravs dos quais

esta corrente passa.

A coluna 2 o produto dos resistores comuns a uma

corrente de malha pela outra corrente. Em cada

equao esta coluna subtrada da coluna 1.

A coluna 3 a soma algbrica das fontes de tenso

atravs das quais passa a corrente de malha que nos

interessa. Um sinal positivo associado fonte se a

corrente passa do terminal negativo para o positivo.

MTODO

1. Suponha uma corrente de malha para cada malha,

todas no mesmo sentido.

2. O nmero de equaes necessrias igual ao

nmero de malhas. A coluna 1 de cada equao

formada pela soma das resistncias pelos quais a

corrente de malha de interesse passa, multiplicada por

essa corrente.

3. Cada termo da coluna 2 (sempre subtrados) o

produto da resistncia em comum pela outra corrente

de malha que passa pelo mesmo elemento.

MTODO

4. A coluna direita da igualdade a soma algbrica

das tenses das fontes de tenso atravs das quais

passa a corrente de malha de interesse. So

associados sinais positivos quando a corrente passa

do terminal negativo para o positivo e sinais negativos

quando a corrente passa do terminal positivo para o

negativo.

5. Resolva as equaes simultneas.

EXEMPLO

2

4

+

-

2V

3

1

1

+

-

4V

+

-

2V

i1 i2 i3

Aplique o mtodo das malhas para calcular vo.

Calcule as corrente de coletor, base e emissor do

transistor, utilizando o mtodo das malhas

RE0.51k

RB270k

RC2,2k

+ Vcc20V

+ Vcc20V

+

8V

-

Obtenha tenses e correntes e cada resistor do

circuito, utilizando o mtodo das malhas

+

V35V

R722k

R61,2k

R34,7k

R81,1k

R16,8k

R22,7k

R58,2k

R42,2k

+ V29V

+

V16V

MTODO DOS NS

(ABORDAGEM GERAL)

baseado na aplicao da lei de Kirchhoff para as

correntes.

Se um n do circuito for escolhido como referncia

(terra) os demais iro ter um potencial fixo em relao a

esta referncia.

Para um circuito com n ns, iro existir n-1 ns com

potencial fixo em relao ao terra.

Aplica-se a lei de Kirchhoff para cada um destes ns

com potencial fixo.

MTODO DOS NS

Mtodo:

1. Determine o nmero de ns do circuito.

2. Escolha um n de referncia e rotule cada n restante

com um valor de tenso.

3. Marque as correntes desconhecidas que entram ou

saem de cada um dos ns (exceto o de referncia).

4. Aplique a lei de Kirchhoff para correntes a todos os

ns, exceto o de referncia. Suponha que as

correntes desconhecidas saem do n.

5. Resolva as equaes para obter as tenses dos ns.

N 1 N 2

N DE REFERNCIA

v1 v2

O circuito possui 3 ns sendo um de referncia

Cada um dos 2 ns restantes so rotulados com suas

respectivas tenses

Correntes desconhecidas

i1 i2

i3

LKC ao n 1 1 + 3 4 = 0 12+1 212

4 = 0

1

21 +

1

121

1

122 = 4

1

2+

1

121

1

122 = 4 ()

LKC ao n 2 2 + 2 3 = 0 26+ 2

1 212

= 0

112

+26+212

= 2 1

121 +

1

6+

1

122 = 2 ()

1

2+

1

121

1

122 = 4 ()

1

121 +

1

6+

1

122 = 2 ()

1

2+

1

121

1

122 = 4

1

121 +

1

6+

1

122 = 2

1

2+

1

12

1

12

1

12

1

6+

1

12

12

=42

=

3

2 5 8

4

1

4

V1 V2 V3

Aplique anlise nodal e determine

as tenses dos ns

MTODO DOS NS

(ABORDAGEM PADRONIZADA)

1. Escolha um n de referncia e associe um valor de

tenso aos n-1 ns restantes.

2. O nmero de equaes necessrias igual ao nmero

de tenses definidas no passo 1. A coluna 1 de cada

equao formada pela soma das condutncias

ligadas ao n de interesse, multiplicada pela tenso

associada ao n.

3. Cada termo da coluna 2 (com sinal negativo) o

produto da condutncia em comum pela outra tenso

de n associada mesma condutncia.

MTODO DOS NS

(ABORDAGEM PADRONIZADA)

4. A coluna da direita da igualdade a soma algbrica

das fontes de corrente ligadas ao n de interesse.

Uma fonte de corrente recebe sinal positivo se fornece

corrente ao n, e o sinal negativo se extrai corrente do

n.

5. Resolva as equaes simultneas.

EXEMPLO

3

46I23A

I12A

N 1 N 2

V1 V2

2

1

155

1020V1 V2 V3

Aplique anlise nodal e determine

as tenses dos ns

MTODO DAS MALHAS CONDIES

ESPECIAIS

Definimos malha como qualquer percurso em um

circuito eltrico que comea em um n e termina no

mesmo vindo pelo outro lado.

Podemos definir malha simples como uma malha que

no contm nenhuma outra malha no seu interior.

Definimos ainda circuito planar como aquele que pode

ser desenhado em um plano sem que dois fios de

ligao (ou bipolos) se cruzem.

CIRCUITO PLANAR E NO PLANAR

Planar

No Planar

MTODO DAS MALHAS CONDIES

ESPECIAIS

Em circuitos planares as malhas simples parecem

janelas:

+

-

M1 M2

M3

M4

O mtodo das malhas s se aplica a circuitos

planares

MTODO DAS MALHAS COM FONTES DE

CORRENTE

At o momento o mtodo das malhas foi aplicado

apenas a circuitos com fontes de tenso. Vamos

considerar agora o circuito a seguir, onde aparece uma

fonte de corrente independente.

Se a fonte de corrente influencia apenas uma das

correntes de malha, escrevemos a equao que

relaciona essa corrente de malha corrente da fonte de

corrente e escrevemos as equaes da LKT para as

outras malhas.

MTODO DAS MALHAS COM FONTES DE

CORRENTE

i1 i2 Is

+

-

Vs R2

R3 R1

2 = ()

1 + 2 1 22 = (II)

LKT na malha 1:

Da malha 2:

(I) EM (ii):

1 = 21 + 2

MTODO DAS MALHAS COM FONTES DE

CORRENTE

Considerando agora o circuito onde a fonte de corrente

comum duas malhas.

Neste caso utiliza-se o conceito de supermalha.

A supermalha uma malha criada a partir de duas

malhas que possuem uma fonte de corrente em comum.

Considere inicialmente uma corrente de malha para

cada malha, incluindo as fontes de corrente como se

fossem resistores ou fontes de tenso. Em seguida,

remova mentalmente as fontes de corrente,

substituindo-as por um circuito aberto e aplique LKT a

todos os caminhos restantes do circuito.

+

-

9V

20mA100

250

100

i1 i2 Supermalha

2

+

-

10V

+

-

12V8

6

5

i1 i2

i3

MTODO DAS MALHAS COM FONTES DE

CORRENTE - RESUMO

CASO MTODO

1. A fonte de corrente pertence a apenas uma malha n

Faa a corrente de malha in igual corrente da fonte de corrente, levando em conta o sentido, e aplique LKT s outras malhas

2. A fonte de corrente comum a duas malhas

Crie uma supermalha que inclua as duas malhas e aplique LKT supermalha. Alm disso, escreva uma equao que relacione as duas correntes de malha corrente da fonte de corrente

FONTES DEPENDENTES (CONTROLADAS

OU VINCULADAS)

Fonte Dependente

Fornece tenso ou corrente ao circuito cujo valor depende do valo da tenso ou corrente em outro ponto do circuito.

Fonte de corrente controlada por

corrente

Fonte de tenso controlada por

tenso

Fonte de tenso controlada por

corrente

Fonte de corrente controlada por

tenso

is=aix vs=avx is=avx vs=aix

+

-

+

-

MTODO DAS MALHAS COM FONTES DE

TENSO DEPENDENTES

Trate cada fonte dependente como uma fonte

independente quando aplicar a LKT a cada malha.

Depois de escrever a equao, substitua a grandeza

controlada pela sua expresso, de forma que as nicas

incgnitas sejam as correntes de malha escolhidas.

i1

i3

i2 3

Vx

+

-

Vx4

+-12V

+

-

10V

205

10

+

-

3Vx

MTODO DAS MALHAS COM FONTES DE

CORRENTE DEPENDENTES

O mtodo idntico ao usado para fontes de corrente

independentes, exceto pelo fato de que agora as fontes

dependentes tem que ser definidas em termos das

correntes de malha escolhidas.

Ix

Ix2+

-

10V

20

60

80

40i2

i3

i1

31 2 23 = 0 ()

1001 + 1002 1203 = 0 ()

i1

i3 i2

i4

Vx3

+

-

24V

+

-

36V

5

10

6

12

12

+

Vx

-

MTODO DOS NS COM FONTES DE

TENSO ENTRE UM N E O TERRA

At o momento o mtodo dos ns foi aplicado apenas a

circuitos com fontes de corrente. Vamos considerar

agora o circuito a seguir, onde aparece uma fonte de

tenso independente.

importante observar que neste caso a fonte de tenso

est conectada entre o terra e outro n qualquer do

circuito.

R3

R2

R1 Is+

-

Vs

R3

R2

R1 Is+

-

Vs

N A N B VA VB

= ()

LKC ao n B: =3

+ 2

2

+1

2+

1

3 = ()

=

2

+1

2+

1

3 =

2mA

+

-

6V12mA

1k

2k

Va Vb

i1

i2

+

-

30V

4A

5

6

4

2

Va Vb Fonte de tenso com resistncia interna entre n qualquer e terra

i2 i4

i1 i3

MTODO DOS NS COM FONTES DE

TENSO ENTRE DOIS NS COMUNS

Considerando que o circuito a ser analisado possua

uma fonte de tenso entre dois ns comuns, pode-se

usar a tcnica do supern.

Um supern formado por dois ns ligados por uma

fonte de tenso independente ou dependente.

Aps associar uma tenso de n a cada n

independente do circuito, considerando cada fonte de

tenso como se fosse um resistor ou fonte de corrente.

A seguir, substitua mentalmente cada fontes de tenso

por curto-circuito e aplique LKC aos ns estabelecidos

anteriormente.

Relacione os ns s fontes de tenso do circuito e

resolva as equaes resultantes.

LKC ao n supern: 6 + 3 = 1 + 2 + 3 + 4 1 + 2 = 2

11

+22

= 2 1

41 +

1

22 = 2 ()

Do supern: 1 2 = 1 2 = 12 ()

1

4

1

21 1

12

=212

= 10,67 1,33

+-

10V

4mA12mA

2k

3k1k

Va Vb

i2 i1

MTODO DOS NS COM FONTES DE

TENSO

CASO MTODO

1. A fonte de tenso liga um n q qualquer ao n de referncia

Faa a tenso de n vq igual tenso da fonte de tenso, levando em conta a polaridade, e aplique LKC aos outros ns

2. A fonte de tenso liga dois ns comuns, a e b

Crie um supern que inclua os dois ns e aplique LKC ao supern. Alm disso, escreva uma equao que relacione as duas tenses de n tenso da fonte de tenso.

MTODO DOS NS COM FONTE DE

CORRENTE DEPENDENTE

Trate cada fonte de corrente dependente como uma

independente quando aplicar LKC em cada n, mas,

depois, de escrever a equao substitua a grandeza

controlada pela sua expresso, de forma que as nicas

incgnitas sejam as tenses nodais escolhidas.

Va Vb

Ix4

5A 8AIx 41

2

MTODO DOS NS COM FONTE DE

TENSO DEPENDENTE

O mtodo igual ao usado para fontes de tenso

independentes, exceto que agora as fontes dependentes

tm que ser definidas em termos das tenses nodais

escolhidas para assegurar que as equaes finais

tenham somente tenses nodais como incgnitas.

+-

Vx23A5A 12

1

Va Vb

+

Vx

- i2 i1

EXERCCIOS

Verifique se a fonte de corrente est fornecendo ou

consumindo potncia. Calcule essa potncia. Utilize

anlise nodal.

EXERCCIO

Analise o circuito pelo mtodo das malhas.

EXERCCIO

a

Analise o circuito pelo mtodo dos ns e obtenha o valor

da tenso V

EXERCCIO

Analise o circuito pelo mtodo das malhas e calcule a

tenso da fonte dependente.

EXERCCIOS Analise o circuito pelo mtodo dos ns determinando a

tenso de todos os ns.

Referncias

BOYLESTAD, R. L. Introduo anlise de circuitos.

8 ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2001.

NILSSON, J. W.; RIEDEL, S. A. Circuitos eltricos. 5.

ed. Rio de Janeiro: LTC editora, 1999.

BURIAN Jr., Y; LIRA, A. C. C. Circuitos eltricos. So

Paulo: Pearson Education Brasil, 2006.

EDMINISTER, J. A. Circuitos eltricos. 2. ed. So

Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1985.

SVOBODA, J. A.; DORF, R. Introduo aos circuitos

eltricos. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.