(anÁlise de circuitos elÉtricos: mÉtodos das malhas)

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA

CAMPUS ITAJAÍ

DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETROELETRÔNICA

[email protected]

Prof. Wilson Valente Junior, EE. Dr.

3ª Fase (80 horas)

Circuitos Elétricos I (ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS:

MÉTODOS DAS MALHAS)


CAMPUS ITAJAÍ


[email protected]

Introdução aos Métodos de Análise

• Hayt (Pag. 77)

2


CAMPUS ITAJAÍ


[email protected]

Leis de Kirchhoff.

• Seus trabalhos são sintetizados pelo

enunciado de duas leis, denominadas

leis de Kirchhoff em sua homenagem:

– Lei das Correntes: A soma algébrica das

correntes que entram em um nó é igual a

soma das correntes que dele saem.

– Lei das Tensões: A soma algébrica das

tensões em um circuito fechado é

sempre igual a zero;

LKT LKC


CAMPUS ITAJAÍ


[email protected]

Introdução aos Métodos de Análise

• Os métodos de análise de circuitos baseiam-se nas Leis de Kirchhoff, e são sistemáticos para minimizar os problemas mencionados anteriormente. Dentre esses, destacam-se: – Método dos Laços Fundamentais (LKT);

– Método das Malhas (LKT);

– Método dos Cortes Fundamentais (LKC);

– Método dos Nós (LKC);

• Todos estes métodos são baseados na resolução de um sistema de equações lineares simultâneas que evitam a resolução sucessiva da Lei de Ohm.

• A Lei de Ohm fica escrita sob a forma de um sistema equações lineares, ou como um sistema matricial; – Desta formar ela pode ser resolvida utilizando as diversas técnicas de

resolução como o método da substituição ou o método de Cramer

4


CAMPUS ITAJAÍ


[email protected]

Introdução aos Métodos de Análise • A escolha entre qual o método mais promissor para análise de

determinado circuito é baseada na teoria de grafos e algumas

considerações que serão vistas no decorrer do curso.

Matriz dos Laços

Fundamentais

Ramos x Ramos

de Ligação

𝑙 = 4

Matriz das Malhas

Ramos x Malhas

𝑙 = 𝑚 = 4

Matriz Incidência

Ramos x Nós

𝑛𝑡 = 6

Matriz dos Cortes

Fundamentais

Ramos x Ramos

de Árvore

𝑛 = 𝑛𝑡 − 1 = 5

Fonte: UFPA (vgmacedo)


CAMPUS ITAJAÍ


[email protected]

Métodos de Análise de Circuitos

• Um corte é uma linha de separação no grafo do circuito,

traçada de tal modo a gerar dois subgrafos desconexos.

• Um corte fundamental é um corte formado por 1 e

somente 1 ramo de árvore e 1 ou mais ramos de ligação

• LKC → A soma algébrica das correntes que entram em um nó é igual a soma das correntes que dele saem.

6

Método dos Cortes Fundamentais

CF1

CF2

Árvore


CAMPUS ITAJAÍ


[email protected]


• É um caso particular do método dos cortes fundamentais

• Escreve-se em termos de potenciais (tensões) nodais, os quais são tomados como desconhecidos para um conjunto de equações lineares simultâneas.

• LKC → A soma algébrica das correntes que entram em um nó é igual a soma das correntes que dele saem.

7

Método dos Nós

Nó A

Nó B

Nó C


CAMPUS ITAJAÍ


[email protected]


• Em um circuito elétrico há “np” nós principais, um deles é

escolhido como nó de referência, e a ele é atribuído

arbitrariamente um potencial zero Volt.

• Aos demais nós são atribuídos diferentes potenciais

simbólicos (tensões nodais são as variáveis do circuito).

8

Método dos Nós

Nó A

Nó B

𝑛 = 𝑛𝑝 − 1

Análise da ordem “n”

a partir de “np”

Nós Totais (nt):

A,B, e C

Nós Principais(np):

A e B

Nó C


CAMPUS ITAJAÍ


[email protected]


Procedimento:

• 1. Selecione o nó principal que será o nó de referência, e

atribua a cada um dos nós restantes seus potenciais

próprios em relação ao nó de referência;

• 2. Atribua as correntes em todos os ramos do circuito (a

escolha da direção é arbitrária);

• 3. Aplique a LKC escrevendo uma equação de corrente para

cada um dos nós principais (exceto para o nó de referência);

• 4. Expresse as correntes nos ramos em termos de

potenciais dos nós (I = V/R);

• 5. Resolva as equações lineares simultâneas e obtenha as

correntes de malhas.

9

Método dos Nós COPIAR NO CADERNO


CAMPUS ITAJAÍ


[email protected]


Procedimento: (Observações)

• Para existir corrente é necessário uma diferença de

potencial (tensão) entre os terminais de um resistor;

• Por convenção atribui-se que a corrente vai do sentido

positivo para o negativo, o que indica que a corrente flui

do potencial mais alto para um potencial mais baixo.

(analogia a lei da gravidade).

10

Método dos Nós COPIAR NO CADERNO

Sentido da Corrente:

+ - + -


CAMPUS ITAJAÍ



Método dos Nós

• Exemplo 1: Para o circuito abaixo calcule a corrente I3 e a

potência dissipada nos resistores R1, R2, R3 e pela Fonte

de Tensão. Dados: R1 = 22 Ω, R2= 80 Ω e R3 = 120 Ω.

Nó A

Nó B

Terra

IR1 IR3

IR2

Determinando VA é possível encontrar

qualquer corrente do sistema.

Nó B: Referência (Terra)

200 0 0

1 2 3

A A AV V V

R R R

1 2 3R R RI I I LCK no Nó A:


CAMPUS ITAJAÍ



Método dos Nós




Nó A

Nó B

Terra

IR1 IR3

IR2

Nó B: Referência (Terra)

200

22 80 120

A A AV V V

200

22 80 120 22

A A AV V V

137,14AV V

1 2 3R R RI I I LCK no Nó A:


CAMPUS ITAJAÍ



Método dos Nós




Nó A

Nó B

Terra

IR1 IR3

IR2

137,14AV V

1

200 200 137,14

1 22

AR

VI

R

1 2,86RI A

2

137,141,71

2 80

AR

VI A

R

3

137,141,14

3 120

AR

VI A

R


CAMPUS ITAJAÍ


• Exemplo 2: Para o circuito abaixo aplique o Método dos

Nós para encontrar as correntes correntes nos resistores

IR1, IR2 e IR3.


Método dos Nós

𝑙 = 𝑏 − 𝑛𝑡 + 1

𝑏 = 5; 𝑛𝑡 = 4 n' = 1 < l = 2

𝑛′ = 𝑛𝑝 − 1

R1

R2

R3

Nó A

Nó B


CAMPUS ITAJAÍ


• Exemplo 3: Analise o circuito de amplificação abaixo e

encontre a tensão de saída Vout em função de Vin e dos

resistores R1e R2.


Método dos Nós

Nó X

IR1

IR2

IA

Dados:

• A tensão no nó X é

igual a Vin (Vx = Vin);

• A corrente IA que entra

no Ampop é nula

(IA = 0);

AMPOP

•Se R2 = 2 kΩ qual deve ser o valor de Rf para que o

ganho do amplificador (Vout/Vin) seja de 10 vezes?


CAMPUS ITAJAÍ


Método dos Nós


• O procedimento

para resolução de

circuitos com fontes

dependentes pode

requerer um passo

adicional, além das

“Np - 1” equações

de nós.

• Ver passo 5 (Hayt)

16 [email protected]


CAMPUS ITAJAÍ


• Exemplo 4.2 (Hayt): Circuitos sem fontes dependentes

• Determine as tensões nodais do circuito da figura abaixo.


Método dos Nós

𝑏 = 8; 𝑛𝑡 = 4 n' = 3 < l = 5

LKC Nó 1: −3 + −8 = 𝐼4 + 𝐼3

−3 − 8 = 𝑣1 − 𝑣3

4+

𝑣1 − 𝑣2

3

LKC Nó 2: 𝐼3 = −3 + 𝐼1 + 𝐼7 𝑣1 − 𝑣2

3= −3 +

𝑣2 − 0

1+

𝑣2 − 𝑣3

7

LKC Nó 3: 𝐼4 + 𝐼7 + 𝐼5 = −25 𝑣1 − 𝑣3

4+

𝑣2 − 𝑣3

7+

0 − 𝑣3

5= −25


CAMPUS ITAJAÍ


• Exemplo 4.2 (Hayt): Circuitos sem fontes dependentes



Método dos Nós

𝑏 = 8; 𝑛𝑡 = 4 n' = 3 < l = 5 𝑣1 = 5,41𝑉 𝑣2 = 7,74𝑉 𝑣3 = 46,32𝐴

Solução:

Sistema

3X3

[R]-1[V]=[I] [G]·[V]=[I]


CAMPUS ITAJAÍ


• Exemplo 4.4 (Hayt): Com Fonte Controlada por Tensão



Método dos Nós

LKC Nó 1: 15 = 𝑖𝑎 + 𝑖1 LKC Nó 2: 3𝑣𝑥 + 𝑖𝑎 = 𝑖3

𝑣1 = 7,14𝑉 𝑣𝑥 = −4,2𝑉

𝑣1 − 𝑣𝑥 + 0,5𝑣1 = 15

3𝑣𝑥 + 𝑣1 − 𝑣𝑥 − 0,333𝑣1 = 0 Sistema

2x2

Solução:

Conclusão: Como a variável de controle é uma

tensão nodal ( 𝑣𝑥 ) não é necessário equação

adicional para analisar o circuito

𝑏 = 5; 𝑛𝑡 = 3 n' = 2 < l = 3

𝑖𝑎 15 =

𝑣1 − 𝑣𝑥

1+

𝑣1

2 3𝑣𝑥 +

𝑣1 − 𝑣𝑥

1=

𝑣𝑥

3

Definindo o Nó inferior como referência:


CAMPUS ITAJAÍ


• Exemplo 4.3 (Hayt): Com Fonte Controlada por Corrente



Método dos Nós

LKC Nó 1: 15 = 𝑖𝑎 + 𝑖1 LKC Nó 2: 3𝑖1 + 𝑖𝑎 = 𝑖𝑥


𝑣1 = −40𝑉 𝑣2 = −75𝑉

1 𝑣1 − 𝑣2 + 0,5𝑣1 = 15

3𝑖1 + 1(𝑣1 − 𝑣2) − 0,33𝑣2 = 0

Sistema

3x3

Solução:

Conclusão: Como a variável de controle é uma

corrente (𝑖1 ) foi necessário adicionar a equação de

vínculo para a fonte controlada

𝑏 = 5; 𝑛𝑡 = 3 n' = 2 < l = 3

V1

V2

𝑖𝑎 15 =

𝑣1 − 𝑣2

1+

𝑣1

2 3𝑖1 = −

𝑣1 − 𝑣2

1+

𝑣2

3

? 𝑓(𝑣1, 𝑣2, 𝑖1)

Eq. vínculo: 𝑖1 = 𝑣1/2

𝑖1 = −20𝐴


CAMPUS ITAJAÍ


• Exemplo Modificado 8.16 (Boylestad): Escreva as

equações e encontre as tensões nodais para os circuitos.


Método dos Nós

n' = 1 > l = 2

V1

LKC Nó 1: 𝑖14 = 𝑖2 + 𝑖7

Sistema

1x1

4 − 𝑣1

14=

𝑣1

2+

𝑣1 − 9

7

4 − 𝑣1 = 7𝑣1 + 2𝑣1 − 18

𝑣1 = 2, 2𝑉


Solução:

10𝑣1 = 22


CAMPUS ITAJAÍ


• Exemplo Modificado 8.17 (Boylestad): Escreva as

equações e encontre as tensões nodais para os circuitos.


Método dos Nós

n' = 2 > l = 3

V2 V1

LKC Nó 1: 𝑖1 = 𝑖1′ + 𝑖2

LKC Nó 2: 𝑖2 = 𝑖3 + 𝑖4

2 − 𝑣1

1=

(𝑣1−4) − 0

1+

𝑣1 − 𝑣2

2

𝑣1 − 𝑣2

2=

𝑣2

3+

(𝑣2 + 2) − 0

4

Definindo o Nó inferior como referência: 2 − 𝑣1 = 𝑣1 − 4 + 0,5𝑣1 − 0,5𝑣2

2 − 𝑣1

1=

(𝑣1−4) − 0

1+

𝑣1 − 𝑣2

2

−2,5𝑣1 + 0,5𝑣2 = −6

2𝑣1 − 2𝑣2 = 1,33𝑣2 + (𝑣2 + 2)

2𝑣1 − 4,33𝑣2 = 2

𝑣1 − 𝑣2

2=

𝑣2

3+

(𝑣2 + 2) − 0

4

Sistema

2x2

−2,5𝑣1 + 0,5𝑣2 = −6

2𝑣1 − 4,33𝑣2 = 2

𝑣1 = 2,54 𝑉

𝑣2 = 0,71 𝑉

𝑖1 = −0,54 𝑉

𝑖2 = 0,91 𝑉

𝑖3 = 0,68 𝑉


CAMPUS ITAJAÍ


• Exemplo 8.23 e 8.25 (Boylestad): Escreva as equações e

encontre as tensões nodais para os circuitos abaixo.


Método dos Nós

n' = 2 > l = 3 n' = 3 = l = 3


CAMPUS ITAJAÍ





Método dos Nós

n' = 2 > l = 3

2 +𝑣1

6+

𝑣1 − 𝑣2

3= 0


𝑣1 − 𝑣2

3+ 3 =

𝑣2

4

Sistema

2x2

3𝑣1 − 2𝑣2 = −12

4𝑣1 − 7𝑣2 = −36

𝑣1 = −0,92 𝑉

𝑣2 = 4,62 𝑉

LKC Nó 1: 𝐼1 + 𝐼𝑅1 + 𝐼𝑅3 = 0

LKC Nó 2: 𝐼𝑅3 + 𝐼2 = 𝐼𝑅2

4𝑣1 − 4𝑣2 − 3𝑣2 = −36 3𝑣1 − 2𝑣2 = −12


CAMPUS ITAJAÍ





Método dos Nós


𝑣1 = 3,67𝑉

𝑣2 = 7,16 𝑉

𝐼1 𝑅1

𝑅2 𝑅3

𝑅4

𝑅5 𝑣1

2+

𝑣1 − 𝑣2

2+

𝑣1 − 𝑣3

10= 0

LKC Nó 1: 𝐼𝑅1 + 𝐼𝑅2 + 𝐼𝑅5 = 0 1:

𝑣1 − 𝑣2

2+ 3 =

𝑣2 − 𝑣3

2

LKC Nó 2: 𝐼𝑅2 + 𝐼1 = 𝐼𝑅3 2:

LKC Nó 3: 𝐼𝑅5 + 𝐼𝑅3 = 𝐼𝑅4

𝑣1 − 𝑣3

10+

𝑣2 − 𝑣3

2=

𝑣3

4 3:

Sistema

3x3

1,1𝑣1 − 0,5𝑣2 − 0,1𝑣3 = 0

0,5𝑣1 − 𝑣2+ 0,5𝑣3= −3

0,1𝑣1 + 0,5𝑣2 − 0,85𝑣3 = 0

n' = 3 = l = 3

𝑣3 = 4,64 𝑉


CAMPUS ITAJAÍ


[G]·[V]=[I]

NNNNNN

N

N

i

i

i

v

v

v

GGG

GGG

GGG

2

1

2

1

21

22221

11211

Discussão Temática:

Métodos de Análise de Circuitos (Análise Nodal por Inspeção)


CAMPUS ITAJAÍ


Análise NODAL por Inspeção:

• Em circuitos com apenas fontes

independentes de corrente é

possível obter as equações

nodais por inspeção visual.

• É uma maneira direta e

extremamente rápida para a

construção da matriz de

resolução.

• Utiliza a matriz de condutância

[G], onde G = 1/R.


Método dos Nós

Sistema Matricial:

[G]·[V]=[I]


CAMPUS ITAJAÍ



• Exige que o circuito possua apenas

fontes independentes de corrente.

• Para fontes de tensão, pode-se

aplicar o teorema da transformação

de fontes (baseado na lei de ohm).

• Cada termo diagonal principal da

matriz de condutância é a soma

das condutâncias conectadas ao

nó indicado pelo índice de matriz


Método dos Nós

Sistema Matricial:

[G]·[V]=[I]


CAMPUS ITAJAÍ


NNNNNN

N

N

i

i

i

v

v

v

GGG

GGG

GGG

2

1

2

1

21

22221

11211

[G]·[V]=[I]


• Gkk: Soma das condutâncias conectadas ao nó k (diagonal principal)

• Gjk: Os termos fora da diagonal, Gjk são o negativo da soma de todas

as condutâncias diretamente conectadas entre os nós J e K com j ≠ k.

Vk: É a tensão desconhecida do nó K.

• Ik: A somatória das fontes de corrente independentes conectadas

diretamente ao nó K, considerando como positiva as correntes que

entram no nó.


Método dos Nós

Sistema Matricial:


CAMPUS ITAJAÍ


• Exemplo 8.23 (Boylestad): Escreva as equações e



Método dos Nós

n' = 2 > l = 3 3𝑣1 − 2𝑣2 = −12

4𝑣1 − 7𝑣2 = −36

𝑣2 = 4,62 𝑉

Resolução NODAL por Inspeção:

Nó 1:

Nó 2:

𝑣1 = −0,92 𝑉

Sistema

2x2


CAMPUS ITAJAÍ


• Exemplo 8.25 (Boylestad): Escreva as equações e



Método dos Nós


𝐼1

𝑣1

2+

𝑣1 − 𝑣2

2+

𝑣1 − 𝑣3

10= 0

LKC Nó 1: 𝐼𝑅1 + 𝐼𝑅2 + 𝐼𝑅5 = 0 1:

𝑣1 − 𝑣2

2+ 3 =

𝑣2 − 𝑣3

2

LKC Nó 2: 𝐼𝑅2 + 𝐼1 = 𝐼𝑅3 2:

LKC Nó 3: 𝐼𝑅5 + 𝐼𝑅3 = 𝐼𝑅4

𝑣1 − 𝑣3

10+

𝑣2 − 𝑣3

2=

𝑣3

4 3:

n' = 3 = l = 3


Nó 1:

Nó 2:

Nó 3:

Sistema

3x3

1,1𝑣1 − 0,5𝑣2 − 0,1𝑣3 = 0

−0,5𝑣1 +𝑣2 − 0,5𝑣3= 3

−0,1𝑣1 − 0,5𝑣2 + 0,85𝑣3 = 0

𝑣1 = 3,67𝑉

𝑣2 = 7,16 𝑉

𝑣3 = 4,64 𝑉

Sistema

3x3


CAMPUS ITAJAÍ


• Exemplo 3.8 (Sadiku): Por inspeção, encontre as tensões

nodais para o circuito da figura abaixo.


Método dos Nós

n = 4 < l = 7



CAMPUS ITAJAÍ


• Exemplo 3.8 (Sadiku): Por inspeção, encontre as tensões

nodais para o circuito da figura abaixo.


Método dos Nós

n = 4 < l = 7

[G]·[V]=[I]



CAMPUS ITAJAÍ


4ª Lista de Exercícios

• Resolver a 4ª Lista de Exercícios (Nível Básico);

Análise de Correntes

Método das Malhas

Método dos Nós

[email protected] 35


CAMPUS ITAJAÍ


[email protected]

Próxima Aula

• Métodos de Análise e Leis de Kirchhoff

– Método das Malhas

– Método dos Nós

36


CAMPUS ITAJAÍ


Referências

1. BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. 10ª

ed. São Paulo: Prentice Hall, 2004.

2. SADIKU, M. N. O.; ALEXANDER, C. K. Fundamentos de

circuitos elétricos. P. Alegre: Bookman, 2003.

3. NILSSON, J. W.; RIEDEL, S.A. Circuitos elétricos. 8ª ed.

São Paulo: Pearson, 2009.

4. HAYT, W.H, Análise de Circuitos Em Engenharia:

Mcgraw-Hill, 2014.

5. DORF, R.C.; SVOBODA, J.A. Introdução aos circuitos

elétricos, 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001.

(anÁlise de circuitos elÉtricos: mÉtodos das malhas)

Documents