Download - 84916746 Metodo Das Malhas e Dos Nos Aplicados a Circuitos DC Aula1 Circuitos Eletricos 1
-
CIRCUITOS ELTRICOS I
MTODOS DE ANLISE APLICADOS A CIRCUITOS DC
Prof. Dr. Rogrio Rocha Matarucco
Fevereiro/2012
-
FONTE DE CORRENTE
Uma fonte de corrente determina a corrente no ramo
onde est situada.
A intensidade e a polaridade da tenso entre os
terminais de uma fonte de corrente so uma funo do
circuito do qual ela faz parte.
Toda fonte de corrente possui uma resistncia interna
(fonte real).
RiIsIs
i i
i1
-
TRANSFORMAO DE FONTES
Uma transformao de fontes permite substituir uma
fonte de tenso em srie com um resistor por uma fonte
de corrente em paralelo com o mesmo resistor, ou vice-
versa.
RiIs
Ri
+
-
Vs
-
TRANSFORMAO DE FONTES
Observaes importantes:
RIsR
Rs
Is
+
-
Vs
RR
Rp
+
-
Vs
-
FONTES DE CORRENTE EM PARALELO
RIsR2Is2R1Is1
Para este sentido de IS deve-se considerar que IS1>IS2
-
FONTES DE CORRENTE EM SRIE
Fontes de corrente de diferentes intensidades no
podem ser ligadas em srie.
-
ANLISE DAS CORRENTES NOS RAMOS
o primeiro mtodo para analisar circuitos com duas ou
mais fontes.
Ramo: qualquer combinao de elementos em srie.
N: juno de dois ou mais ramos.
Mtodo:
1. Associe uma corrente distinta de sentido arbitrrio a
cada ramo do circuito.
2. Indique as polaridade para cada resistor, de acordo
com o sentido da corrente escolhido.
3. Aplique a lei de Kirchhoff para tenses a vrias
malhas do circuito
-
ANLISE DAS CORRENTES NOS RAMOS
4. Aplique a lei de Kirchhoff para correntes ao nmero
mnimo de ns que inclua todas as correntes nos
ramos do circuito (n1 equaes sero obtidas, onde
n o nmero de ns do circuito).
5. Resolva as equaes lineares simultneas resultantes
para as correntes de ramo escolhidas.
-
EXEMPLO
1. Associar correntes a cada ramo (3 ramos = 3 correntes)
R3
4ohm
R2
1ohmR12ohm
+
-
Vs2
6V
+
-
Vs1
2V
i1
i3
i2
2. Polaridade dos resistores
- +
- +
- +
3. Aplicar LKT para as duas malhas (adotado sentido horrio)
Malha 1 Malha 2
4. Aplicar LKC ao n A (2ns-1=1 equao)
5. Montar e resolver o sistema de equaes
Sinal negativo: a corrente real tem sentido oposto
A
-
MTODO DAS MALHAS
(ABORDAGEM GERAL)
baseado no mtodo das correntes nos ramos.
Mtodo:
1. Associe uma corrente no sentido horrio a cada
malha fechada independente do circuito (uma corrente
de malha coincide com uma corrente de ramo
somente quando ela a nica corrente que percorre
este ramo).
2. Indique as polaridades de cada resistor dentro de
cada malha, de acordo com o sentido da corrente
adotado. Ateno: um resistor percorrido por correntes
distintas em cada malha, ter polaridades distintas.
-
MTODO DAS MALHAS
3. Aplique a lei de Kirchhoff para tenses a todas as
malhas.
Se um resistor percorrido por duas ou mais
correntes, a corrente total igual soma algbrica
das correntes, sendo adotado o sentido positivo
daquela associada malha que est sendo aplicada a
lei de Kirchhoff.
4. Resolva as equaes lineares simultneas.
-
EXEMPLO
R3
4ohm
R2
1ohmR12ohm
+
-
Vs2
6V
+
-
Vs1
2V
i1 i2 - + -
+
- +
- +
Malha 1 Malha 2
-
Aplique o mtodo das correntes nos ramos para
determinar as corrente I1 e I2.
-
MTODO DAS MALHAS
(ABORDAGEM PADRONIZADA)
Por essa abordagem possvel se escrever as
equaes de malha de forma mais rpida e precisa.
Vamos utilizar o seguinte circuito como exemplo na
descrio deste mtodo:
R32
R26
R11
+
-
E210V
+
-
E15V
i1 i2
-
MTODO DAS MALHAS
(ABORDAGEM PADRONIZADA)
A coluna 1 composta por uma corrente de malha
multiplicada pela soma dos resistores atravs dos quais
esta corrente passa.
A coluna 2 o produto dos resistores comuns a uma
corrente de malha pela outra corrente. Em cada
equao esta coluna subtrada da coluna 1.
A coluna 3 a soma algbrica das fontes de tenso
atravs das quais passa a corrente de malha que nos
interessa. Um sinal positivo associado fonte se a
corrente passa do terminal negativo para o positivo.
-
MTODO
1. Suponha uma corrente de malha para cada malha,
todas no mesmo sentido.
2. O nmero de equaes necessrias igual ao
nmero de malhas. A coluna 1 de cada equao
formada pela soma das resistncias pelos quais a
corrente de malha de interesse passa, multiplicada por
essa corrente.
3. Cada termo da coluna 2 (sempre subtrados) o
produto da resistncia em comum pela outra corrente
de malha que passa pelo mesmo elemento.
-
MTODO
4. A coluna direita da igualdade a soma algbrica
das tenses das fontes de tenso atravs das quais
passa a corrente de malha de interesse. So
associados sinais positivos quando a corrente passa
do terminal negativo para o positivo e sinais negativos
quando a corrente passa do terminal positivo para o
negativo.
5. Resolva as equaes simultneas.
-
EXEMPLO
2
4
+
-
2V
3
1
1
+
-
4V
+
-
2V
i1 i2 i3
-
Aplique o mtodo das malhas para calcular vo.
-
Calcule as corrente de coletor, base e emissor do
transistor, utilizando o mtodo das malhas
RE0.51k
RB270k
RC2,2k
+ Vcc20V
+ Vcc20V
+
8V
-
-
Obtenha tenses e correntes e cada resistor do
circuito, utilizando o mtodo das malhas
+
V35V
R722k
R61,2k
R34,7k
R81,1k
R16,8k
R22,7k
R58,2k
R42,2k
+ V29V
+
V16V
-
MTODO DOS NS
(ABORDAGEM GERAL)
baseado na aplicao da lei de Kirchhoff para as
correntes.
Se um n do circuito for escolhido como referncia
(terra) os demais iro ter um potencial fixo em relao a
esta referncia.
Para um circuito com n ns, iro existir n-1 ns com
potencial fixo em relao ao terra.
Aplica-se a lei de Kirchhoff para cada um destes ns
com potencial fixo.
-
MTODO DOS NS
Mtodo:
1. Determine o nmero de ns do circuito.
2. Escolha um n de referncia e rotule cada n restante
com um valor de tenso.
3. Marque as correntes desconhecidas que entram ou
saem de cada um dos ns (exceto o de referncia).
4. Aplique a lei de Kirchhoff para correntes a todos os
ns, exceto o de referncia. Suponha que as
correntes desconhecidas saem do n.
5. Resolva as equaes para obter as tenses dos ns.
-
N 1 N 2
N DE REFERNCIA
v1 v2
O circuito possui 3 ns sendo um de referncia
Cada um dos 2 ns restantes so rotulados com suas
respectivas tenses
Correntes desconhecidas
i1 i2
i3
LKC ao n 1 1 + 3 4 = 0 12+1 212
4 = 0
1
21 +
1
121
1
122 = 4
1
2+
1
121
1
122 = 4 ()
LKC ao n 2 2 + 2 3 = 0 26+ 2
1 212
= 0
112
+26+212
= 2 1
121 +
1
6+
1
122 = 2 ()
-
1
2+
1
121
1
122 = 4 ()
1
121 +
1
6+
1
122 = 2 ()
1
2+
1
121
1
122 = 4
1
121 +
1
6+
1
122 = 2
1
2+
1
12
1
12
1
12
1
6+
1
12
12
=42
=
-
3
2 5 8
4
1
4
V1 V2 V3
Aplique anlise nodal e determine
as tenses dos ns
-
MTODO DOS NS
(ABORDAGEM PADRONIZADA)
1. Escolha um n de referncia e associe um valor de
tenso aos n-1 ns restantes.
2. O nmero de equaes necessrias igual ao nmero
de tenses definidas no passo 1. A coluna 1 de cada
equao formada pela soma das condutncias
ligadas ao n de interesse, multiplicada pela tenso
associada ao n.
3. Cada termo da coluna 2 (com sinal negativo) o
produto da condutncia em comum pela outra tenso
de n associada mesma condutncia.
-
MTODO DOS NS
(ABORDAGEM PADRONIZADA)
4. A coluna da direita da igualdade a soma algbrica
das fontes de corrente ligadas ao n de interesse.
Uma fonte de corrente recebe sinal positivo se fornece
corrente ao n, e o sinal negativo se extrai corrente do
n.
5. Resolva as equaes simultneas.
-
EXEMPLO
3
46I23A
I12A
N 1 N 2
V1 V2
-
2
1
155
1020V1 V2 V3
Aplique anlise nodal e determine
as tenses dos ns
-
MTODO DAS MALHAS CONDIES
ESPECIAIS
Definimos malha como qualquer percurso em um
circuito eltrico que comea em um n e termina no
mesmo vindo pelo outro lado.
Podemos definir malha simples como uma malha que
no contm nenhuma outra malha no seu interior.
Definimos ainda circuito planar como aquele que pode
ser desenhado em um plano sem que dois fios de
ligao (ou bipolos) se cruzem.
-
CIRCUITO PLANAR E NO PLANAR
Planar
No Planar
-
MTODO DAS MALHAS CONDIES
ESPECIAIS
Em circuitos planares as malhas simples parecem
janelas:
+
-
M1 M2
M3
M4
O mtodo das malhas s se aplica a circuitos
planares
-
MTODO DAS MALHAS COM FONTES DE
CORRENTE
At o momento o mtodo das malhas foi aplicado
apenas a circuitos com fontes de tenso. Vamos
considerar agora o circuito a seguir, onde aparece uma
fonte de corrente independente.
Se a fonte de corrente influencia apenas uma das
correntes de malha, escrevemos a equao que
relaciona essa corrente de malha corrente da fonte de
corrente e escrevemos as equaes da LKT para as
outras malhas.
-
MTODO DAS MALHAS COM FONTES DE
CORRENTE
i1 i2 Is
+
-
Vs R2
R3 R1
2 = ()
1 + 2 1 22 = (II)
LKT na malha 1:
Da malha 2:
(I) EM (ii):
1 = 21 + 2
-
MTODO DAS MALHAS COM FONTES DE
CORRENTE
Considerando agora o circuito onde a fonte de corrente
comum duas malhas.
Neste caso utiliza-se o conceito de supermalha.
A supermalha uma malha criada a partir de duas
malhas que possuem uma fonte de corrente em comum.
Considere inicialmente uma corrente de malha para
cada malha, incluindo as fontes de corrente como se
fossem resistores ou fontes de tenso. Em seguida,
remova mentalmente as fontes de corrente,
substituindo-as por um circuito aberto e aplique LKT a
todos os caminhos restantes do circuito.
-
+
-
9V
20mA100
250
100
i1 i2 Supermalha
-
2
+
-
10V
+
-
12V8
6
5
i1 i2
i3
-
MTODO DAS MALHAS COM FONTES DE
CORRENTE - RESUMO
CASO MTODO
1. A fonte de corrente pertence a apenas uma malha n
Faa a corrente de malha in igual corrente da fonte de corrente, levando em conta o sentido, e aplique LKT s outras malhas
2. A fonte de corrente comum a duas malhas
Crie uma supermalha que inclua as duas malhas e aplique LKT supermalha. Alm disso, escreva uma equao que relacione as duas correntes de malha corrente da fonte de corrente
-
FONTES DEPENDENTES (CONTROLADAS
OU VINCULADAS)
Fonte Dependente
Fornece tenso ou corrente ao circuito cujo valor depende do valo da tenso ou corrente em outro ponto do circuito.
Fonte de corrente controlada por
corrente
Fonte de tenso controlada por
tenso
Fonte de tenso controlada por
corrente
Fonte de corrente controlada por
tenso
is=aix vs=avx is=avx vs=aix
+
-
+
-
-
MTODO DAS MALHAS COM FONTES DE
TENSO DEPENDENTES
Trate cada fonte dependente como uma fonte
independente quando aplicar a LKT a cada malha.
Depois de escrever a equao, substitua a grandeza
controlada pela sua expresso, de forma que as nicas
incgnitas sejam as correntes de malha escolhidas.
-
i1
i3
i2 3
Vx
+
-
Vx4
+-12V
+
-
10V
205
10
+
-
3Vx
-
MTODO DAS MALHAS COM FONTES DE
CORRENTE DEPENDENTES
O mtodo idntico ao usado para fontes de corrente
independentes, exceto pelo fato de que agora as fontes
dependentes tem que ser definidas em termos das
correntes de malha escolhidas.
-
Ix
Ix2+
-
10V
20
60
80
40i2
i3
i1
31 2 23 = 0 ()
1001 + 1002 1203 = 0 ()
-
i1
i3 i2
i4
Vx3
+
-
24V
+
-
36V
5
10
6
12
12
+
Vx
-
-
MTODO DOS NS COM FONTES DE
TENSO ENTRE UM N E O TERRA
At o momento o mtodo dos ns foi aplicado apenas a
circuitos com fontes de corrente. Vamos considerar
agora o circuito a seguir, onde aparece uma fonte de
tenso independente.
importante observar que neste caso a fonte de tenso
est conectada entre o terra e outro n qualquer do
circuito.
R3
R2
R1 Is+
-
Vs
-
R3
R2
R1 Is+
-
Vs
N A N B VA VB
= ()
LKC ao n B: =3
+ 2
2
+1
2+
1
3 = ()
=
2
+1
2+
1
3 =
-
2mA
+
-
6V12mA
1k
2k
Va Vb
i1
i2
-
+
-
30V
4A
5
6
4
2
Va Vb Fonte de tenso com resistncia interna entre n qualquer e terra
i2 i4
i1 i3
-
MTODO DOS NS COM FONTES DE
TENSO ENTRE DOIS NS COMUNS
Considerando que o circuito a ser analisado possua
uma fonte de tenso entre dois ns comuns, pode-se
usar a tcnica do supern.
Um supern formado por dois ns ligados por uma
fonte de tenso independente ou dependente.
Aps associar uma tenso de n a cada n
independente do circuito, considerando cada fonte de
tenso como se fosse um resistor ou fonte de corrente.
A seguir, substitua mentalmente cada fontes de tenso
por curto-circuito e aplique LKC aos ns estabelecidos
anteriormente.
Relacione os ns s fontes de tenso do circuito e
resolva as equaes resultantes.
-
LKC ao n supern: 6 + 3 = 1 + 2 + 3 + 4 1 + 2 = 2
11
+22
= 2 1
41 +
1
22 = 2 ()
Do supern: 1 2 = 1 2 = 12 ()
1
4
1
21 1
12
=212
= 10,67 1,33
-
+-
10V
4mA12mA
2k
3k1k
Va Vb
i2 i1
-
MTODO DOS NS COM FONTES DE
TENSO
CASO MTODO
1. A fonte de tenso liga um n q qualquer ao n de referncia
Faa a tenso de n vq igual tenso da fonte de tenso, levando em conta a polaridade, e aplique LKC aos outros ns
2. A fonte de tenso liga dois ns comuns, a e b
Crie um supern que inclua os dois ns e aplique LKC ao supern. Alm disso, escreva uma equao que relacione as duas tenses de n tenso da fonte de tenso.
-
MTODO DOS NS COM FONTE DE
CORRENTE DEPENDENTE
Trate cada fonte de corrente dependente como uma
independente quando aplicar LKC em cada n, mas,
depois, de escrever a equao substitua a grandeza
controlada pela sua expresso, de forma que as nicas
incgnitas sejam as tenses nodais escolhidas.
-
Va Vb
Ix4
5A 8AIx 41
2
-
MTODO DOS NS COM FONTE DE
TENSO DEPENDENTE
O mtodo igual ao usado para fontes de tenso
independentes, exceto que agora as fontes dependentes
tm que ser definidas em termos das tenses nodais
escolhidas para assegurar que as equaes finais
tenham somente tenses nodais como incgnitas.
-
+-
Vx23A5A 12
1
Va Vb
+
Vx
- i2 i1
-
EXERCCIOS
Verifique se a fonte de corrente est fornecendo ou
consumindo potncia. Calcule essa potncia. Utilize
anlise nodal.
-
EXERCCIO
Analise o circuito pelo mtodo das malhas.
-
EXERCCIO
a
Analise o circuito pelo mtodo dos ns e obtenha o valor
da tenso V
-
EXERCCIO
Analise o circuito pelo mtodo das malhas e calcule a
tenso da fonte dependente.
-
EXERCCIOS Analise o circuito pelo mtodo dos ns determinando a
tenso de todos os ns.
-
Referncias
BOYLESTAD, R. L. Introduo anlise de circuitos.
8 ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2001.
NILSSON, J. W.; RIEDEL, S. A. Circuitos eltricos. 5.
ed. Rio de Janeiro: LTC editora, 1999.
BURIAN Jr., Y; LIRA, A. C. C. Circuitos eltricos. So
Paulo: Pearson Education Brasil, 2006.
EDMINISTER, J. A. Circuitos eltricos. 2. ed. So
Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1985.
SVOBODA, J. A.; DORF, R. Introduo aos circuitos
eltricos. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.