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Controle estatístico do processo - Básico

Controle estatístico do processoBásico

DAEC - Divisão de Assistência às Empresas e à Comunidade

Núcleo de Desenvolvimento Gerencial e Qualidade

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Controle estatístico do processoBásico

DAEC - Divisão de Assistência às Empresas e à Comunidade


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Programa SENAI-SP de Gestão da Qualidade

Trabalho desenvolvido pela

Divisão de Assistência às Empresas e à Comunidade - DAEC


Coordenação: Clayton George João

Elaboração: Maria de Melo Ruiz e Sandra Maria Okumura Bulgarelli

Edição: Ademir Miguel Bronzatto

Assessoria técnica: Luiz Carlos Tricárico

Composição e Arte: Criarte - Comunicação Visual S/C Ltda.

S47c SENAI-SP. Controle estatístico do processo - Básico, por

BULGARELLI, Sandra Maria Okumura.

RUIZ, Maria de Melo.

São Paulo, 1995, 65 p.

1 - Controle estatístico da Qualidade - Básico. I.t. 658.562.012.7

CDU

IBICT/76

SENAI - Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial

Departamento Regional de São Paulo

Praça Alberto Lion, no 100 - Cambuci - São Paulo - SP

CEP 01515-000 - Telefone (011) 3273-5000

E-mail [email protected]

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Sumário

Introdução.................................................................................................................07

Conceitos Básicos.....................................................................................................09

Apresentação dos Dados..........................................................................................21

Controle do Processo................................................................................................35

Capacidade do Processo..........................................................................................83

Pré Controle – Gráfico do Farol................................................................................89

Implantação do CEP.................................................................................................95

Tabelas......................................................................................................................99

Simbologia utilizada................................................................................................103

Referencias Bibliográficas.......................................................................................105

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Introdução

O desenvolvimento e utilização das técnicas e métodos estatísticos para análise e

solução de problemas passaram a ganhar importância no campo industrial a partir da

segunda metade dos anos 20, quando o Dr. Walter A. Shewhart desenvolveu uma

teoria de controle estatístico baseada em gráficos de controle.

Shewhart apresentou sua teoria em uma série de palestra, e este material tornou-se

seu famoso livro Economic of Quality of Manufactured Product (1931). Seus gráficos

de controle foram utilizados em larga escala nos anos 40 como resultado dos esforços

de período de guerra.

Aqueles que os usaram conquistaram ganhos substanciais em qualidade e

produtividade. Assim o CEP surgiu como ferramenta para o eficiente, seguro e rápido

controle e aperfeiçoamento dos processos.

O controle estatístico do processo (CEP) tem por finalidade desenvolver e aplicar

métodos estatísticos como parte da estratégia de prevenção de defeitos, de melhoria

da qualidade dos produtos e serviços e da redução dos custos de fabricação.

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Sistema de controle de qualidade

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Conceitos básicos

Controle

Manter algo dentro de padrões ou fazer com que se comporte de forma adequada.

Portanto, controle é quando se mede o desempenho real, compara com o padrão e

age sobre a diferença.

Estatística

É a parte da matemática que permite tirar conclusões a partir de uma série de dados

observados.

Processo

É a combinação específica de máquinas e equipamentos, métodos, materiais, meio

ambiente e pessoas que trabalham simultaneamente para produzir um produto ou

serviço.

Portanto, controle estatístico do processo é um método preventivo de se comparar os

resultados do processo com padrões pré-estabelecidos, identificando estatisticamente

as variações significativas a fim de eliminá-las ou minimizá-las.

Variabilidade

Dois elementos nunca são exatamente iguais. A variação está sempre presente: entre

pessoas, na natureza, nos produtos, etc. Todos os processos de manufatura também

são afetados pela variação, que influenciam nos resultados finais.

Existem variações inerentes ao processo e variações cuja causa é acidental,

determinável.

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Variações aleatórias (causas comuns) são as variações inerentes ao processo; fazem

parte de sua natureza, podem ser controladas e seguem padrões normais de

comportamento. Essas variações não podem ser evitadas, apenas minimizadas.

Variações causais (causas especiais) são as variações de causa acidental,

determinável. Por exemplo: As falhas e enganos são normalmente identificadas e

eliminadas.

População

É o conjunto de indivíduos ou objetos existentes ou possíveis de existirem num

processo de fabricação, que apresentam pelo menos uma característica em comum.

Pode ser finito ou infinito.

Lote

É o conjunto de peças produzidas em um processo de fabricação durante um intervalo

de tempo, ou até mesmo uma produção programada independente do tempo.

Amostra

É um conjunto de elementos extraídos da população. O tamanho da amostra é a

quantidade de elementos existentes nela. A amostra é simbolizada por n.

Amostragem

É um conjunto de amostras retiradas da população. A quantidade de amostra retirada

da população é simbolizada por K.

Medidas

Para extrair informações sobre uma grande série de dados, são necessárias algumas

características que possibilitem representar os dados de forma relativa e resumida.

Estas características chamam-se medidas. Existem medidas de posição e de

dispersão.

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Medidas de posição

São chamadas medidas de tendência central, pois representam os valores em torno

dos quais tende a se concentrar a maior quantidade dos dados em estudo.

Algumas medidas de posição:

- Média da amostra, simbolizada por .

- Média da amostragem, simbolizada por .

- Mediana, simbolizada por . Colocando-se os valores em ordem crescente ou

decrescente, a mediana é o valor que ocupa a posição central.

Medidas de dispersão

Servem para verificar o quanto é representativa a medida de posição. É uma medida

do grau de concentração dos dados em torno da média.

Algumas medidas de dispersão:

- Amplitude, simbolizada por R.

R = Xmáx. - Xmin.

Observação: Apesar dessa medida de dispersão ser limitada, por considerar somente

os valores externos e não ser afetada pelos internos, a amplitude total é muito utilizada

na prática devido à facilidade de cálculo.

- Desvio – padrão da amostras – Mede a dispersão ou o grau de concentração dos

valores em torno da média, verificando os desvios e cada valor em relação a

média.

(Método preciso)

ou (Método aproximado)

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Exemplo

1. Cálculo da média da amostra de 9 elementos da Bateria Delco modelo DD90P12V

45A - Opala, cujos pesos em gramas estão relacionados abaixo:

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9

35 34 35 37 36 35 34 33 37

2. Cálculo da mediana da amostra = Valor central

No exemplo, temos a seqüência crescente dos 9 elementos:

33 34 34 35 35 35 36 37 37

4 elementos elemento central 4 elementos

= 35.

3. Cálculo da amplitude da amostra

R = Xmáx. - Xmín.

R = 37 - 33 = 4

4. Cálculo do desvio-padrão da amostra

Método preciso: Valor Desvio (Xi - ) (Desvio) ² (Xi - ) ²35 -0,1 0,0134 -1,1 1,2135 -0,1 0,0137 1,9 3,6136 0,9 0,8135 -0,1 0,0134 -1,1 1,2133 -2,1 4,4137 1,9 3,61

14,89

= 35,1.

Método aproximado

Para amostra com n ≤ 100 elementos

s = R/d2, onde d2 é fator tabelado (ver tabela da pág. 103).

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No exemplo:

Para n = 9 d2 = 2,97.

s = 4 / 2,97.

s = 1,35.

Faça os exercícios seguintes:

a) Determinar a média, mediana, amplitude e o desvio padrão pelos métodos preciso e

aproximado, dos dados abaixo.

10,3 20,2 1,47

10,4 20,7 1,32

10,7 20,9 1,44

10,1 20,5 1,65

10,8 20,7 1,54

10,5 20,7 1,53

10,0 20,4 1,34

10,6 21,0 1,10

10,4 20,2 1,10

10,9 20,7 1,68

b) Determinar a média da amostragem dos dados a seguir.

21,5 21,4 21,8 21,5 21,6

21,7 21,6 21,4 21,2 21,7

21,3 21,5 21,4 21,2 21,7

21,5 21,9 21,6 21,3 21,5

21,4 21,5 21,6 21,9 21,5

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Distribuição normal

É uma das mais importantes distribuições de probabilidade, aplicada a inúmeros

fenômenos e utilizada na prática como resultado de processos sob controle estatístico

(que apresenta somente variações do tipo aleatório). Conhecendo suas propriedades

pode-se fazer estimativas bastante boas sobre muitos fenômenos e também acerca

dos processos produtivos que particularmente interessam.

X tem uma distribuição normal se :

onde µ é a média da distribuição e σ é o desvio-padrão da distribuição.

O gráfico de uma variável normal tem a forma de um sino e é simétrico em relação à

média (µ). Fixando a média (µ), verifica-se que o achatamento está diretamente ligado

ao desvio-padrão (σ).

Zonas de probabilidade

A área sob a curva normal costuma ser dividida em zonas de probabilidades, onde

cada uma tem a mesma base de um desvio padrão.

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A figura abaixo mostra áreas representativas sob a curva de distribuição normal.

Distribuição normal padronizada

Para o cálculo das áreas sob a curva normal surgem alguns problemas, que exigem

grandes cálculos matemáticos. Esses problemas são solucionados por meio de uma

mudança de variável, obtendo-se assim a distribuição normal padronizada ou reduzida,

com média.

µ = 0 e σ2 = 1.

Notação: X ~ N (µ . σ2 ).

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A distribuição normal pode ser transformada na distribuição normal padrão com µ=0 e

σ2=1 usando-se a seguinte transformação:

A média da variável Z é 0 (zero) e o desvio-padrão é 1.

Notação: Z ~ N (0,1).

A tabela da curva normal

Neste material utiliza-se a tabela da faixa central, a mais comumente usada (Tabela 4,

pág.104). Essa tabela fornece a área sob a curva normal padrão entre z = 0 e qualquer

valor positivo de z. Devido à simetria em torno de z = 0, pode-se obter a área de

quaisquer valores de z (positivo ou negativo).

Exemplo de cálculo de área sob a curva.

Seja X uma variável onde X ~ N (1,60; 0,302). Acharemos a probabilidade de termos

elementos entre 1,35 e 1,92.

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Resolução

X ~ N (1,60; 0,302). Reduzir para Z ~ N (0,1).

µ = 1,60.

σ2 = 0,302 X = = 0,55.

Zabaixo na tabela = 0,1736.

Zacima na tabela = 0,2190.

Observação

Verificando a tabela 4, nota-se que só apresenta valores positivos para z. Como a

curva é simétrica em relação à média, procura-se o valor de z em módulo.

A probabilidade de termos elementos no intervalo de 1,35 a 1,92 é 0,1735 + 0,2190 = 0,3926 39,26%.

Exercícios

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1. Sabendo-se que a espessura de um disco de freio segue uma distribuição normal,

com

µ = 15mm e σ = 0,07mm, determinar:

a) A probabilidade de ocorrência de discos com espessura entre 14,90mm e

15,15mm.

b) A probabilidade de ocorrência de discos com espessura entre 15,05mm e

15,20mm.

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c) A probabilidade de ocorrência de discos com espessura abaixo de 14,80mm e

acima de 15,25mm.

2. Calcule as áreas de probabilidade sob a curva normal.

a) Sendo X = 35 σ = 2.

Calcular a probabilidade de X > 39,5.

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b) Sendo X = 35 σ = 5.

Calcular a probabilidade de X > 37.

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Apresentação dos dados

1 – Coleta de dados

Uma informação sobre o processo pode ser obtida agrupando-se os dados

convenientemente. Deve-se considerar o propósito da coleta de dados, já que os

mesmos formarão a base para ações e decisões em uma empresa.

A forma de dados a serem analisados é uma consideração muito importante,

lembrando que todos os dados necessitam de uma revisão cuidadosa.

Não se pode esquecer, que os dados devem refletir a realidade dos fatos, pois a partir

deles é que serão tomadas as ações. Para isso deve-se determinar:

- escolha do tamanho da amostra;

- freqüência da retirada de amostras;

- quantidade de subgrupos.

Os subgrupos devem ser formados por amostras não inferior a 4.

As amostras de tamanho 5 são bastante convenientes tanto quando se utiliza a

mediana como a média.

Observações

1. A freqüência com que as amostras são tomadas deve ser suficiente para que

mudanças ocorridas no processo sejam percebidas o mais rapidamente possível. A

princípio, no estudo inicial de um processo, os subgrupos são tomados mais

freqüentemente, para que possibilitem detectar a presença ou não de causas

especiais de variação, em curtos intervalos de tempo. Uma vez que o processo

esteja estabilizado, a freqüência pode ser reduzida.

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2. Dois aspectos merecem ser considerados para se estabelecer a quantidade

adequada de subgrupos numa carta de controle.

Primeiro, a quantidade deve ser tal que todas as possíveis fontes de variação

tenham possibilidades de mostrar os seus efeitos. Por exemplo, deve-se considerar

a troca de operador, a substituição de ferramentas, a mudança de partida de

matéria prima ou qualquer outra fonte capaz de provocar uma substancial alteração

no processo.

3. Do ponto de vista estatístico, é recomendável trabalhar com o mínimo de 125

valores individuais, divididos em 25 ou mais subgrupos, para proporcionar uma

interpretação confiável acerca da estabilidade do processo, sua centralização e

dispersão.

2 – Histograma

A organização dos dados denomina-se série estatística.

Sua apresentação pode ser feita por meio de tabelas, gráficos e distribuição de

freqüência.

A forma mais utilizada é a distribuição de freqüência ou histograma.

2.1 – Definição

Histograma é um gráfico de colunas que representa a distribuição de freqüência.

2.2 – Finalidades

Identificar tipo de distribuição estatística e anormalidades no processo; comparar os

resultados com especificações ou padrões; obter de forma clara conclusões

necessárias para ações e decisões no processo.

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Exemplo

2.3 – Construção de histograma

Dada a amostragem ao lado 337 334 338 332 333 328 334 331 333 334

329 336 330 331 333 334 334 336 339 334

335 336 330 332 333 335 335 334 332 338

332 337 334 338 336 337 336 331 333 330

335 333 338 337 344 332 336 332 329 335

338 339 334 332 330 339 336 340 332 333

329 341 327 336 341 337 336 337 333 336

331 333 335 334 335 334 331 336 337 335

340 335 337 332 335 336 338 335 331 334

335 336 339 331 331 330 335 333 335 331

2.3.1 – Passos para a construção de histograma

1o Passo

Calcular a amplitude da amostra, simbolizada por R.

R = Xmáx. - Xmín.

No exemplo: R = 344 – 327

R = 17

2o Passo

Determinar o número de classes (K). Não há fórmula exata para o cálculo, então serão

apresentadas três soluções:

a) K e K = 5 para n = 25;

b) Fórmula de Struges K = 1 + 3,22 log N;

c) Uso de uma tabela

K

30 a 50 5 a 7

51 a 100 6 a 10

101 a 250 7 a 12

Para o exemplo, que contém 100 elementos, utilizam-se de 6 a 10 classes.

Escolhe-se entre 6 e 10, por exemplo 7.

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3o Passo

Calcular a amplitude das classes, simbolizada por h.

No exemplo: com R = 17 e K = 7 tem-se h = 2,4.

Observação

A amplitude das classes deverá ter a mesma quantidade de casas decimais dos dados

originais, sem acréscimo de novas casas decimais.

No exemplo todos os valores dos dados coletados são inteiros. A amplitude calculada

das classes (h), tem uma casa decimal, (2,4). Logo, deve-se arredondar o resultado.

Neste caso o h = 2.

4o Passo

Determinar os limites das classes.

Existem várias maneiras de expressar os limites de classes, a forma que será utilizada

neste material é 327 329, que compreende o intervalo entre 327 e 329,

excluindo o 329.

5o Passo

Tabular os dados.

Distribuição de freqüência:

Classes Intervalo de classes Tabulação Freqüência Ponto médio (Pi)

1 327 329 02 328

2 329 331 08 330

3 331 333 18 332

4 333 335 22 334

5 335 337 27 336

6 337 339 14 338

7 339 341 06 340

8 341 343 02 342

9 343 345 01 344

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6o Passo

Construir o histograma.

Histograma é uma representação gráfica de uma distribuição de freqüência, por meio

de retângulos justapostos.

7o passo

Determinar o polígono de freqüência.

Ligue os pontos médios superiores das colunas por segmentos de reta.

Interpretação de histogramas

Exemplo 1

Após a medição das peças liberadas por uma empresa de componentes eletrônicos,

obteve-se o histograma abaixo:

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Nota-se um histograma truncado.

Provavelmente houve inspeção de 100%, sendo que as peças com determinados

valores foram retiradas.

Exemplo 2

O histograma foi obtido a partir de dados coletados sobre o índice de viscosidade de

um óleo automotivo.

Nota-se grande variação nas alturas das colunas.

Exemplo 3

O histograma abaixo mostra as características de carga de micro relês. Tendo-se

observado a média muito próxima ao limite superior de especificação e dispersão

muito grande, analisaram-se esses problemas através de gráficos de controle e

métodos estatísticos, conseguindo-se uma redução no números de defeitos, devido à

característica de carga dos micro relês.

Isso mostra como o histograma pode ajudar na solução de problemas e melhoria da

capacidade do processo.

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Exemplo 4

Nota-se:

- dois picos;

- uma coluna isolada;

- amplitude grande.

Se tivéssemos mais dados a respeito, provavelmente concluiríamos que existiram:

a) dois ou mais tipos de matéria prima;

b) duas ou mais máquinas fora do controle estatístico;

c) dois ou mais operadores;

d) a barra isolada estaria indicando o uso de aparelhos de medição inadequados ou

descalibrados.

Após estudos e melhoramentos, o histograma apresentou-se dentro de uma curva

normal, conforme mostrado no mesmo gráfico em linhas pontilhadas.

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Exemplo 5

Uma filial fabrica painéis com chapas fornecidas pela matriz. Testes de dureza foram

efetuados nos painéis fabricados e os resultados estão no histograma a seguir.

Nota-se:

- dois picos;

- grande amplitude.

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Exemplo 6

O histograma a seguir foi obtido a partir de dados coletados do comprimento de uma

peça que estava sendo produzida em 6 tornos automáticos.

Desmembramento em relação à máquina

Nos histogramas de todas as máquinas nota-se uma amplitude muito grande. No

desmembramento por máquina verifica-se que as máquinas 1, 4 e 5 são as que mais

contribuem para o aumento da amplitude, com peças fora da especificação.

Comentário - Quando a distribuição de freqüência não se apresentar normal, deve-se:

- verificar se houve problemas nos meios de medição;

- verificar se houve problemas na coleta de dados;

- identificar as causas prováveis.

Todas estas verificações devem ser feitas antes de dar prosseguimento aos cálculos

dos parâmetros estatísticos.

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Exemplo 7

Comparação entre vários histogramas.

Mudanças na média ( ) e no desvio padrão (σ X).

a) Nota-se desvio padrão constante.

Mudança irregular na média.

b) Nota-se desvio padrão constante.

Tendência crescente na média.

c) Nota-se média constante.

Acréscimo no desvio padrão.

d) Nota-se média irregular. Desvio

padrão irregular.

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Exercício

Com base na coleta de dados abaixo, construa o histograma e faça a análise.

Diâmetro da ponta de eixo-valor especificado 17,453 + 0,005

- 0,006

Amostras X1 X2 X3 X4 X5

1 17,448 17,450 17,449 17,452 17,450

2 17,449 17,453 17,451 17,452 17,452

3 17,451 17,448 17,450 17,451 17,452

4 17,452 17,453 17,454 17,455 17,453

5 17,451 17,456 17,455 17,452 17,451

6 17,451 17,451 17,452 17,450 17,452

7 17,450 17,450 17,455 17,450 17,453

8 17,452 17,453 17,452 17,454 17,457

9 17,450 17,451 17,445 17,452 17,451

10 17,453 17,452 17,450 17,450 17,450

11 17,448 17,450 17,449 17,452 17,450

12 17,449 17,453 17,451 17,452 17,452

13 17,451 17,448 17,450 17,451 17,452

14 17,452 17,453 17,454 17,455 17,453

15 17,451 17,446 17,455 17,447 17,451

16 17,451 17,451 17,452 17,450 17,452

17 17,450 17,450 17,455 17,450 17,453

18 17,452 17,458 17,452 17,454 17,451

19 17,450 17,451 17,450 17,452 17,451

20 17,458 17,452 17,450 17,459 17,450

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Folha de controle para histogramas

X máximo =________________________LSE =___________________________

X mínimo =_________________________LIE =____________________________

Amplitude =________________________Tolerância =______________________

N = _________________ K =____________________ h =____________________

Classes Intervalo de

classes

Tabulação Freqüência Ponto médio

(Pi)

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Construção do histograma

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Controle do processo

Introdução

Os métodos vistos até agora utilizam dados de um período passado, que são

expressos de forma estática. Entretanto, é necessário obter informações sobre o

comportamento do processo em período específico de tempo de uma forma dinâmica,

com projeções futuras.

Quaisquer mudanças no material, no trabalhador, na máquina, enfim, no processo,

devem ser detectadas rapidamente para que as ações corretivas sejam tomadas. Isso

é conseguido através dos gráficos de controle.

1 – Gráfico de controle

Gráfico de controle é uma ferramenta para se alcançar o estado de controle estatístico.

Por exemplo, o histograma abaixo foi construído a partir da coleta de dados feita em 15

dias, num total de 75 valores.

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Neste histograma não se pode verificar o que acontece com o processo no transcorrer

do tempo (diariamente). Para tanto, é necessário construir um outro tipo de gráfico.

Usando os mesmos dados do histograma, calculou-se a média dos 5 valores diários (

) e a amplitude da amostra (R). O eixo horizontal mostra os dias e o eixo vertical

mostra a amplitude e a média.

Observa-se neste gráfico que existe uma tendência crescente da média, fato este, não

observável no histograma.

1.1 – Tipos de gráficos de controle

Há duas classes principais de gráficos de controle:

a) controle de variáveis – utilizado no estudo de características que podem ser

medidas. Podem ser quatro tipos:

- s (média e desvio padrão).

- R (média e amplitude).

- R (mediana e amplitude).

X - Rm (valores individuais e amplitudes móveis).

b) controle de atributos – são aqueles que se baseiam na verificação da presença ou

ausência de um atributo; podem ser de dois tipos:

-Controle de defeituosos

- fração defeituoso (p).

- quantidade de defeituosos (np ou pn).

-Controle de defeitos

-Total de defeitos na amostra (c).

- média de defeitos por unidade na amostra (u).

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1.3 – Finalidade dos gráficos de controle

a) conhecimento do processo: quando se deseja saber se o processo apresenta ou

não variações do tipo causal;

b) controle do processo: quando se deseja manter o processo sob controle estatístico,

isto é, apresentando apenas variações do tipo aleatório, ao longo do tempo.

c) análise da capabilidade do processo.

1.4 – Vantagens dos gráficos de controle

Estando o processo sob controle estatístico, seu desempenho pode ser ainda

melhorado, reduzindo-se sua variação. Os efeitos, mesmo decorrentes de pequenas

modificações, são notadas nos gráficos. As melhorias no processo possibilitam:

- aumentar a porcentagem de produtos que atendem às especificações (melhoria da

qualidade);

- diminuir o refugo e retrabalho (melhoria do custo unitário);

- aumentar, ao longo do processo, a quantidade de peças aceitáveis (melhoria da

capacidade de produzir);

- fornecer uma linguagem comum entre a linha de produção, manutenção, controle

de produção, engenharia de processo, controle de qualidade e ainda entre

fornecedores e compradores;

- separar variações causais das inerentes ao processo.

1.5 – Princípios dos gráficos de controle

Os gráficos de controle são baseados na distribuição normal.

A linha central dos gráficos de controle é a média da distribuição; os limites superior e

inferior de controle são estabelecidos a partir da média + 3 desvios padrão da

distribuição.

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1.5.1 – Gráfico de controle – distribuição normal

Quando se deseja conhecer um processo produtivo para saber se os produtos por ele

fabricados atendem ou não as especificações de projeto, é necessário saber como as

características observadas nos produtos fabricados se distribuem em relação às

tolerâncias estabelecidas.

É certo que dois produtos fabricados nunca serão exatamente iguais, porém é preciso

saber quão uniformes tais produtos sairão para poder prever se as exigências serão

satisfeitas.

O conhecimento das variações que a característica observada apresenta e do quanto

ela ocupa do intervalo estabelecido para a tolerância só é possível se for conhecida

sua distribuição populacional. Para determinar os parâmetros populacionais é

necessário conhecer como toda a população se distribui, o que se torna impraticável.

Por isso determinam-se parâmetros utilizando métodos estatísticos baseados na coleta

da amostra retiradas da população em processo.

Gráfico de controle das médias e amplitudes ( - R)

Imagine que exista uma grande quantidade de observações de uma população.

Tomando-se a média de 2 observações e plotando os valores em uma distribuição de

probabilidades, obtém-se uma nova curva, porém mais fechada que a distribuição dos

valores individuais. Repetindo o procedimento para a média de 3, 4, 5 ou mais

observações, a curva vai tornando-se mais e mais fechada, quando comparada com a

curva dos valores individuais.

Esse comportamento é uma regra geral: quanto maior o tamanho da amostra, mais

rapidamente a distribuição das médias tende para a normal.

SENAI


Amostras de tamanho n = 5 Distribuições

Se o é o desvio da curva do processo, o desvio padrão da curva das médias é dado

por:

A distribuição das médias de amostras tem uma dispersão menor que a distribuição

dos valores individuais. Então,

Dessa forma, ao estabelecer os limites de controle para as médias de amostras

( + 3 ), determina-se um intervalo de confiança de 99,73% para a média da

população. Enquanto as médias das amostras ( ) estiverem dentro do intervalo de 6

, alternadamente para cima e para baixo da média das médias amostrais ( ), isso

significa que:

- desde que não apresente tendências, o processo está sob controle estatístico,

sujeito apenas às variações aleatórias inerentes ao processo.

- a média da distribuição populacional não apresenta alterações, ou seja, permanece

constante em µ = .

Se, por outro lado, pontos começarem a cair fora dos limites de controle ou

apresentarem tendência a sair de controle, significa que:

- processo está sofrendo variações não aleatórias, ou seja, variações causais, que

precisam ser determinadas e corrigidas para que o processo volte à situação de

controle estatístico;

- a distribuição populacional está se alterando, havendo deslocamento da média

µ = . Podem existir produtos fora das especificações.

O mesmo pode-se dizer das amplitudes. Quando o gráfico das amplitudes se

apresenta sob controle estatístico, ou seja, R variando dentro do intervalo de 6 ,

significa que a variação da distribuição populacional σ permanece constante. Se, por

outro lado, pontos R começarem a cair fora do limite do controle, tem-se uma mudança

no parâmetro σ da distribuição populacional, podendo novamente gerar produtos fora

da especificação.

SENAI


Assim, durante todo o processo, o gráfico de controle indica prontamente qualquer

mudança que pode afetar a distribuição populacional. Porém, cabe lembrar que nunca

se pode comparar diretamente os limites da especificação, já que o primeiro é

calculado com base nas médias, enquanto o segundo representa a exigência sobre

todos os produtos individualmente.

Uma segunda boa razão para trabalharmos com distribuição de médias amostrais é

derivada também do Teorema do limite central, que garante:

Qualquer que seja a distribuição dos indivíduos (distribuição da população), a

distribuição das médias de amostras desses indivíduos será sempre normal (condição:

amostras com n >= 4 unidades).

Dessa forma, pode-se utilizar gráficos de controle também para distribuições não

normais, (como as que regem os atributos, binomiais, de Poisson, etc.), fazendo-se as

devidas aproximações e trabalhando com amostras de tamanho suficiente para

garantir a aderência.

Aproximação da distribuição binomial para a distribuição normal

A distribuição binomial é o modelo matemático que descreve a distribuição de

probabilidades, quando se controla a fração defeituosa de um processo.

É possível constatar que, se o tamanho da amostra for grande o suficiente, a

distribuição binomial pode ser aproximada para a normal sem comprometimento dos

resultados.

Isso traz vantagens práticas significativas, pois simplifica o procedimento dos cálculos,

uma vez que se pode utilizar a tabela da normal reduzida, onde:

se X ~ B (x, n, p), então é aproximadamente (0,1)

Isso pode ser feito considerando-se a média e o desvio padrão da binomial como se

fossem a média e o desvio padrão da normal, ou seja:

n =

SENAI


para tamanhos de amostras suficientemente grandes.

Exemplo de situação

O estudo prévio da produção de peças defeituosas oriundas de um certo equipamento

revelou 0,20 (ou 20%) de itens fora da especificação.

Imagine que sejam retiradas amostras aleatórias de tamanho 10 em intervalos de

tempos regulares e que sejam avaliados os itens defeituosos em cada uma delas.

Aparentemente poder-se-ia obter 2 itens defeituosos em cada amostra. No entanto,

não é isso que ocorre. Pode-se encontrar amostras com 0, 1, 2, 3, 4... etc. e, até com

10 itens defeituosos. Os resultados, porém não surgem com a mesma freqüência

relativa. A probabilidade de ocorrência de cada caso é dada na Tabela seguinte.

No de defeituosos Probabilidade

0 0,1074

1 0,2684

2 0,3020

3 0,2013

4 0,0881

5 0,0264

6 0,0055

7 0,0008

8 0,0001

9 0,0000

10 0,0000

Probabilidade de ocorrência de itens defeituosos em amostra de tamanho 10.

Representação gráfica da distribuição binomial para n = 10 e = 0,2.

SENAI


Distribuição binomial para diversos valores de e n.

SENAI


A distribuição possui uma cauda alongada para a direita quando a proporção

defeituosa da população é menor que 0,5. Quando esta proporção for maior que 0,5 a

cauda se alongará para a esquerda. Quando, finalmente, a proporção for 0,5 a

distribuição será simétrica.

Aproximação da distribuição de Poisson para a distribuição normal

Considere a situação em que o interesse maior seja controlar o número de defeitos

que ocorrem nos produtos. É diferente da situação anterior, quando considerou-se a

quantidade de produtos defeituosos. É mais conveniente, nesses casos, considerar

amostras de tamanho constante para permitir sempre a mesma possibilidade de

ocorrência de defeitos. As amostras podem ser de qualquer espécie, desde um simples

item, como uma roda de automóvel, até um conjunto de rodas. Pode ser também uma

unidade de comprimento, área, volume ou tempo. O importante é que, uma vez

definido o tamanho da amostra, esta permaneça constante.

Exemplo de situação

O estudo prévio do número de defeitos incidentes em rolos de tecidos para assentos

de automóvel revelou uma média de 7 defeitos por rolo. Se inspecionarmos amostras

constituídas de 1 rolo de tecido sempre do mesmo comprimento, em intervalos de

tempo regulares, qual a probabilidade de encontrarmos rolo com 0, 1, 2, 3, 4, ...,

defeitos?

Aparentemente espera-se obter 7 defeitos em cada rolo inspecionado. No entanto, não

ocorre isso. A probabilidade de ocorrência de defeitos é caracterizada por um

comportamento que pode ser descrito pelo modelo de distribuição de Poisson.

A tabela a seguir fornece a probabilidade de ocorrência de defeitos em um rolo de

tecido de tamanho constante.

No de defeitos Probabilidade

0 0,0009

1 0,0064

2 0,0223

3 0,0521

4 0,0912

SENAI


5 0,1277

6 0,1490

7 0,1490

8 0,1304

9 0,1014

10 0,0710

11 0,0452

12 0,0264

13 0,0142

14 0,0070

15 0,0033

16 0,0014

17 0,0006

18 0,0000

Distribuição de Poisson – Representação gráfica

Outros exemplos para diversos valores de e n

a) Média de defeitos = 2

Tamanho da amostra n = 5

SENAI


b) Média de defeitos = 4


c) Média de defeitos = 6


d) Média de defeitos = 10


SENAI


É importante observar que, com o crescimento da média de defeitos, a distribuição

tende a uma simetria em torno dos valores de maior freqüência. Portanto, a

distribuição de Poisson pode ser aproximada para a distribuição normal, sem

comprometimento dos resultados, desde que se faça uma escolha conveniente do

tamanho da amostra.

A tabela da normal reduzida pode ser utilizada, bastando para isso considerar e

como sendo, respectivamente, a média ( ) e o desvio padrão ( σ ) da curva normal.

Existem critérios que indicam o grau de aproximação das distribuições Binomial e

Poisson da curva normal. Esses critérios podem servir de orientação para a escolha

conveniente do tamanho das amostras e, desse modo, permitir a utilização da

aproximação, com nível de confiabilidade adequado.

A tabela seguinte fornece esses critérios.

Critério Binomial Poisson

Fraco 5Média de ocorrência

5

Médio 10Média de ocorrência

10

Forte 15Média de ocorrência

15

Gráficos de controle por variáveis

Os gráficos de controle por variáveis são utilizados no estudo de características

contínuas ou mensuráveis. Exemplo: (peso, dimensão, concentração, etc.).

Construção do gráfico das médias e das amplitudes ( - R)

SENAI


1. Coletar dados de acordo com as técnicas já descritas. Calcular as médias e .

2. Calcular as amplitudes R e .

3. Calcular os limites de controle LC, LSC e LIC.

Para o gráfico

LC = LSC = + A2 .

LIC = - A2 . onde A2 é um fator tabelado.

Para o gráfico

LC = LSCR = D4 .

LICR = D3 . onde D3 e D4 são fatores tabelados.

5. Construir o gráfico, colocando os limites de controle, os pontos médios e suas

respectivas amplitudes.

6. Marcar no gráfico todos os pontos e R de cada subgrupo.

Exemplo de aplicação

A tabela abaixo registra os diâmetros de eixos que foram fabricados por um torno,

valores estes tomados de uma amostragem composta de 25 amostras de cinco peças

cada.

1. Coleta de dados em subgrupos e cálculos de , , R e .

Sub-

Dia Hora grupo nº X1 X2 X3 X4 X5 R

1o 6:00 1 14.0 12.6 13.2 13.1 12.1 13.00 1.9

10:00 2 13.2 13.3 12.7 13.4 12.1 12.94 1.3

14:00 3 13.5 12.8 13.0 12.8 12.4 12.90 1.1

18:00 4 13.9 12.4 13.3 13.1 13.2 13.18 1.5

22:00 5 13.0 13.0 12.1 12.2 13.3 12.72 1.2

2o 6:00 6 13.7 12.0 12.5 12.4 12.4 12.60 1.7

10:00 7 13.9 12.1 12.7 13.4 13.0 13.02 1.8

14:00 8 13.4 13.6 13.0 12.4 13.5 13.18 1.2

18:00 9 14.4 12.4 12.2 12.4 12.5 12.78 2.2

22:00 10 13.3 12.4 12.6 12.9 12.8 12.80 0.9

SENAI


3o 6:00 11 13.3 12.8 13.0 13.0 13.1 13.04 0.5

10:00 12 13.6 12.5 13.3 13.5 12.8 13.14 1.1

14:00 13 13.4 13.3 12.0 13.0 13.1 12.96 1.4

18:00 14 13.9 13.1 13.5 12.6 12.8 13.18 1.3

22:00 15 14.2 12.7 12.9 12.9 12.5 13.04 1.7

4o 6:00 16 13.6 12.6 12.4 12.5 12.2 12.66 1.4

10:00 17 14.0 13.2 12.4 13.0 13.0 13.12 1.6

14:00 18 13.1 12.9 13.5 12.3 12.8 12.92 1.2

18:00 19 14.6 13.7 13.4 12.2 12.5 13.28 2.4

22:00 20 13.9 13.0 13.0 13.2 12.6 13.14 1.3

5o 6:00 21 13.3 12.7 12.6 12.8 12.7 12.82 0.7

10:00 22 13.9 12.4 12.7 12.4 12.8 12.84 1.5

14:00 23 13.2 12.3 12.6 13.1 12.7 12.78 0.9

18:00 24 13.2 12.8 12.8 12.3 12.6 12.74 0.9

22:00 25 13.3 12.8 12.0 12.3 12.2 12.72 1.1

2. Cálculo dos limites de controle.

Para o gráfico

LC = =12.94

LSC = + A2 .

LSC = 12.94 + 0.577 . 1,35

LSC = 13,7

LIC = - A2 .

LIC = 12.94 - 0,577 . 1,35

LIC = 12,2

Para o gráfico R

LC = = 1,35

LSC = D4 .

LSC = 2,115 . 1,35

LSC = 2,9

SENAI


LIC = D3 .

LIC = __

Observações

Os valores A2 ,D3 e D4 são encontrados na tabela 1, pág. 177: Valores para cálculo dos

limites de controle da carta , R.

Existindo pontos fora dos limites de controle, conclui-se que existem variações causais

nesses pontos. Neste caso, temos que consultar o diário de bordo e aplicar técnicas de

solução de problemas.

Quando o gráfico apresenta todos os pontos dentro dos limites de controle, sem

apresentar sinais de instabilidade, pode-se utilizar esses limites de controle como

representativos do processo.

Exercício no 1 – Tráfego operações – Frota de carga

A folha de controle seguinte mostra os dados referentes ao tempo gasto por ciclo de

viagem que compreende o itinerário de ida e volta - São Caetano do Sul a São José

dos Campos.

SENAI


Com base nessas informações, construa o gráfico de controle ( - R) e faça uma

análise do fluxo de viagens e carga dos caminhões.

Sabe-se que o tempo mínimo de viagem pré-estabelecido é 6,5 horas; o maior tempo

de viagem tolerado é de 7,5 horas, embora se espere que o ciclo seja completado em

7,0 horas.

Leva-se em consideração o carregamento e o descarregamento do caminhão, a

liberação da documentação, amarração e cobertura da carga (quando houver) e

abastecimento.

Tráfego operações - Frota de carga

Coleta de dados referente a fevereiro de 1995

Dia X1 X2 X3 X4 X5 R X máx. X mín.

01 7,40 6,83 6,42 5,00 5,58 6,25 2,40 7,40 5,00

02 7,50 6,95 7,67 6,63 5,58 6,87 2,09 7,67 5,58

03 6,70 6,67 7,67 5,92 5,17 6,43 2,50 7,67 5,17

04 7,92 6,42 6,03 6,25 4,67 6,26 3,25 7,92 4,67

05 7,00 6,25 6,60 4,17 5,92 5,99 2,83 7,00 4,17

06 7,08 8,92 6,75 5,50 6,25 6,90 3,42 8,92 5,50

07 8,75 7,00 7,00 5,42 8,00 7,23 3,33 8,75 5,42

08 6,57 5,95 7,40 5,50 5,83 6,25 1,90 7,40 5,50

09 7,17 7,00 6,17 5,50 5,42 6,25 1,75 7,17 5,42

10 7,77 7,92 6,50 6,17 5,75 6,82 2,17 7,92 5,75

SENAI


11 7,75 6,92 7,17 5,83 5,08 6,55 2,67 7,75 5,08

12 6,92 7,12 7,50 7,33 6,33 7,04 1,17 7,50 6,33

13 7,67 6,92 7,25 5,92 6,25 6,80 1,17 7,67 5,92

14 8,67 7,42 6,30 6,33 5,17 6,78 3,50 8,67 5,17

15 6,58 9,92 7,00 6,17 6,08 7,15 3,84 9,92 6,08

16 8,17 8,08 6,50 4,92 5,00 6,53 3,25 8,17 4,92

17 7,42 6,23 8,08 6,13 5,50 6,67 2,58 8,08 5,50

18 9,25 7,38 7,03 5,75 4,43 6,77 4,82 9,25 4,43

19 7,58 6,08 6,78 7,43 5,92 6,76 1,66 7,58 5,92

20 8,33 6,40 6,87 6,08 5,58 6,65 2,75 8,33 5,58

SENAI


SENAI


Exercício No 2

A coleta de dados que segue foi obtida junto ao equipamento de teste de pressão da

bomba de óleo dos motores família II - Monza.

As especificações referentes ao ensaio são:

Especificações: 70 a 90psi a 3.200rpm.

Construa o gráfico - R de controle e faça a análise do processo.

Teste da bomba de óleo conjunto

Verificar a pressão de abertura da válvula

Hora Amostra X1 X2 X3 X4 X5 X mín, X máx, R

15:00 01 74,0 72,0 74,0 78,0 70,0 70,0 78,0 73,6 8,0

16:00 02 74,0 70,0 74,0 76,0 72,0 70,0 76,0 73,2 6,0

17:00 03 80,0 76,0 72,0 74,0 74,0 72,0 80,0 75,2 8,0

18:00 04 74,0 70,0 76,0 72,0 72,0 70,0 76,0 72,8 6,0

19:00 05 76,0 74,0 70,0 78,0 74,0 70,0 78,0 74,4 8,0

20:00 06 70,0 80,0 78,0 72,0 78,0 70,0 80,0 75,6 10,0

21:00 07 76,0 76,0 76,0 74,0 80,0 74,0 80,0 76,4 6,0

23:00 08 74,0 76,0 74,0 78,0 74,0 74,0 78,0 75,2 4,0

24:00 09 76,0 78,0 74,0 74,0 76,0 74,0 78,0 75,6 4,0

01:00 10 72,0 76,0 76,0 74,0 76,0 72,0 76,0 74,8 4,0

02:00 11 74,0 82,0 78,0 76,0 70,0 70,0 82,0 76,0 12,0

06:00 12 73,0 72,0 72,0 80,0 80,0 72,0 80,0 75,4 8,0

07:00 13 76,0 78,0 76,0 76,0 76,0 76,0 78,0 76,4 2,0

08:00 14 74,0 80,0 80,0 78,0 76,0 74,0 80,0 77,6 6,0

09:00 15 72,0 78,0 80,0 78,0 76,0 72,0 80,0 76,8 8,0

10:00 16 80,0 80,0 76,0 78,0 76,0 76,0 80,0 78,0 4,0

11:00 17 72,0 78,0 74,0 72,0 80,0 72,0 80,0 75,2 8,0

13:00 18 74,0 76,0 74,0 70,0 72,0 70,0 76,0 73,2 6,0

14:00 19 78,0 74,0 74,0 76,0 72,0 72,0 78,0 74,8 6,0

15:00 20 78,0 76,0 74,0 72,0 76,0 72,0 78,0 75,2 6,0

1505,4 130,0

= 75,3 = 6,5.

SENAI


SENAI


Gráfico para valores individuais e amplitudes móveis (X- Rm)

Existem casos em que o controle do processo deve ser realizado por leituras

individuais. Isto ocorre quando as medições são dispendiosas, como nos ensaios

destrutivos, ou quando o resultado num ponto, apresenta-se homogêneo, como por

exemplo: viscosidade, PH, temperatura, etc.

Embora seu uso seja indicado, deve-se considerar que:

- a sensibilidade a alterações do processo é menor do que na carta - R.

- como as amostras são constituídas de um único valor individual, os valores de X e

Rm podem ter grande variação, mesmo com o processo estável.

Construção do gráfico de controle para valores individuais (X, Rm)

Os limites são calculados conforme as fórmulas:

Gráfico X

Gráfico Rm

LC = m

LSCR = D4. m

LICR= D3. m

LICR = -

Usualmente, a amplitude móvel é calculada pela diferença entre cada par de valores

sucessivos. Exemplo: Diferença entre a primeira e a segunda leitura, segunda e

terceira, etc. Nesse caso utiliza-se n=2 para os fatores d2 e D4.

Os valores para as constantes utilizadas na carta (X - Rm), encontram-se na tabela 3,

pág. 103.

SENAI


Exemplo

Coleta de dados:

- óleo para motor

viscosidade mínima: 320 SSU à 38ºC.

Amostras X R m

1 330 -

2 340 10

3 330 10

4 360 30

5 350 10

6 325 25

7 345 20

8 350 5

9 320 30

10 315 5

11 325 10

12 345 20

13 330 15

14 335 5

15 330 5

16 320 10

17 320 0

18 340 20

19 325 15

20 345 20

21 350 5

22 320 30

23 320 0

24 330 10

25 335 5

SENAI


LSCx = + E2 . m LICx = - E2 . m

LC = 333,4 LICx = 333,4 - 2,660 . 13

LSCx = 333,4 + 2,660 . 13 LICx = 298,8

LSCx = 368

LSCR = D4 . m LICR = D3. m

LSCR= 3,267 . 13 LICR = 0.

LSCR= 42,4

SENAI


Gráfico da mediana e da amplitude ( , R)

Shewhart estudou as medianas e as médias das amostras como estimadores de µ.

Concluiu que a média é um estimador mais sensível que as medianas. Porém, devido

à facilidade nos cálculos a mediana é bastante utilizada.

Construção

Cálculo dos limites de controle dos gráficos das medianas e amplitudes ( - R).Os limites de controle são pré-estabelecidos, devendo-se utilizar, no mínimo, 125

dados.

Gráfico

LC =

LSCx = + Ã2 m

LICx = - Ã2 m

Gráfico R

LSCR = D4

LICR = D3

onde = média das medianas;

= média das amplitudes;

Ã2, D3 e D4 são constantes tabeladas em função do tamanho da amostra.

Observações

1. as amostras devem ser sempre ímpares para que a mediana possa ser determinada

diretamente. Para isso, basta ordenar os elementos e tomar o valor central.

2. usualmente, recomenda-se que as amostras contenham cinco elementos (n = 5).

Tabela

Tamanho da amostra Ã2 D3 D4

3 1,19 - 2,5755 0,69 - 2,1157 0,51 0,076 1,929 0,41 0,18 1,816

SENAI


Exemplo

Para os dados constantes da folha de controle abaixo, levantar o gráfico ( - R).

Folha de controle _______________________________________

Nome da peça ___________________________ No ____________

Máquina no 5 __________________________________________

Insp. _________________________________________________

Amostra X1 X2 X3 X4 X5 R

9:00 7 3 3 5 8 5

10:00 5 4 8 8 7 4

11:00 10 3 3 4 4 7

13:00 3 4 7 8 9 6

14:00 3 8 2 5 10 8

15:00 4 7 1 4 1 6

9:00 4 1 6 7 1 6

10:00 5 4 8 7 8 4

11:00 4 5 5 2 1 4

13:00 2 3 5 8 8 6

14:00 7 9 5 4 11 6

15:00 13 2 1 5 11 12

9:00 6 5 7 5 13 8

10:00 7 3 7 3 5 4

11:00 8 5 2 5 9 7

13:00 8 5 4 6 8 4

14:00 8 10 5 5 6 5

15:00 9 6 4 7 9 5

9:00 3 4 7 5 9 6

10:00 1 4 6 1 7 6

11:00 1 8 5 9 5 8

13:00 3 3 5 7 8 5

9:00 1 1 4 6 7 6

10:00 8 8 5 3 2 6

11:00 9 8 2 1 1 8

SENAI


SENAI


Gráficos de controle ( , s)

As cartas e s também são utilizadas em pares. O desvio padrão da amostra (s) é

melhor indicador da variabilidade do processo, principalmente quando empregado para

amostras de tamanho maior

As cartas s são utilizadas para substituir as cartas R quando se dispõe de recursos

computacionais adequados e operadores treinados no uso desses recursos. Também é

adequada quando o tamanho da amostra é grande.

As instruções para as cartas e s são semelhantes às das cartas e R.

O cálculo de cada um dos desvios padrão das amostras (s) é feito empregando a

seguinte fórmula:

Nota: n - 1 para amostras com tamanho 30.

Onde Xi, e n representam os valores individuais da amostra, a média desta amostra

e o tamanho da mesma, respectivamente.

Cálculo dos limites de controle para a carta de médias e dos desvios padrão

(LSC , LIC , LSCs, LICs).

LSC = Limite superior de controle da média.

LIC = Limite inferior de controle da média.

LSCs = Limite superior de controle do desvio padrão.

LICs = Limite inferior de controle do desvio padrão.

LSC = + A3 .

LIC = - A3 .

LSCs = B4 .

LICs = B3 .

Onde é a média dos desvios padrão das amostras e B4, B3, e A3 são fatores que

dependem do tamanho da amostra, conforme indicado na tabela 2, pág. 102 .

SENAI


Capacidade do processo

A capacidade do processo nas cartas e s é calculada e interpretada de forma

semelhante àquela utilizada na carta e R, com exceção da estimativa do desvio

padrão do processo ( ) que é determinado como se segue:

Onde é a média dos desvios padrão das amostras (para períodos com o processo

sob controle) e c4 é um fator que depende do tamanho da amostra, conforme tabela 2,

pág. 102.

Gráficos de controle por atributos

Nos casos em que não é possível realizar medições das características que se deseja

controlar, recorre-se aos gráficos de controle por atributos, cuja distribuição representa

variáveis aleatórias discretas.

Esses gráficos são utilizados quando:

- número de características a controlar em cada peça é elevado;

- a mensuração das características é anti-econômica diante do custo de cada peça;

- a verificação da qualidade é feita por simples inspeção visual.

Gráfico pn ou np de controle por atributos

O gráfico pn pode ser utilizado quando se deseja controlar a quantidade de elementos

discrepantes (ou defeituosos) em uma amostra de tamanho n constante.

SENAI


Passos para a construção do gráfico pn de controle

1o Passo

Coletar os dados e registrar o número de produtos defeituosos pn.

2o Passo

Achar a média de produtos defeituosos .

3o Passo

Calcular os limites de controle

LC = . n

4o Passo

Construir o gráfico colocando no mesmo os pontos que representam o número de

defeituosos (pn) de cada amostra.

Exemplo

SENAI


Mecanismo levantador de vidro, defeituoso.

Subgrupono

Subgrupotamanho no

Número dedefeituosos pn

1 100 1

2 100 6

3 100 5

4 100 5

5 100 4

6 100 3

7 100 2

8 100 2

9 100 4

10 100 6

11 100 2

12 100 1

13 100 3

14 100 1

15 100 4

16 100 5

17 100 4

18 100 1

19 100 6

20 100 15

21 100 12

22 100 6

23 100 3

24 100 4

25 100 3

26 100 3

27 100 2

28 100 5

29 100 7

30 100 4

Total 3000 129

Média 100 4,3

Da tabela temos:

SENAI


K = 30 n = 100 n 4,3 ou

LC = . n = 0,043 . 100 = 4,3

LSC = 4,3 + 3 = 10,39

LIC = 4,3 - 3 = 1,78 LIC = -

SENAI


Exercício

Construir o gráfico pn.

Inspeção equipamento Farmer.

Amostra pn n

01 10 50

02 08 50

03 12 50

04 14 50

05 06 50

06 08 50

07 06 50

08 08 50

09 12 50

10 08 50

11 10 50

12 09 50

13 13 50

14 08 50

15 11 50

16 12 50

17 11 50

18 09 50

19 13 50

20 07 50

SENAI


SENAI


Gráfico p de controle por atributos

O gráfico p deverá ser utilizado quando se deseja controlar a porcentagem ou

proporção defeituosa na amostra. As peças, de acordo com o critério estabelecido, são

classificadas em perfeitas ou defeituosas.

Admitindo-se que o processo seja mantido sob controle estatístico, a probabilidade de

se produzir uma peça defeituosa mantém-se constante. Conseqüentemente a

distribuição estatística dentro da qual o gráfico p e pn trabalha é a binomial.

Passos para a construção do gráficos de controle

1o Passo

Proceder à coleta de dados obtendo o número de dados suficientes, que indique o

número de peças inspecionadas (n) e o número de defeituosas (pn).

2o Passo

Calcular a fração defeituosa para cada sub-grupo, empregando a equação p = pn/n.

3o Passo

Achar a média da fração defeituosa.

ou

4o Passo

Calcular os limites de controle.

LC =

LSC =

L I C =

Observação

Estas fórmulas são utilizadas para amostras de tamanho constante ou com variação de

até 20%.

SENAI


5o Passo

Construir o gráfico desenhando os limites de controle e plotando, no gráfico, os pontos

que representam os valores médios das amostras.

Exemplo de aplicação - gráfico p

A fim de estabelecer o controle de atributos, foram extraídas K = 25 amostras de n = 50

peças cada uma. De acordo com o critério pré-fixado, as peças foram classificadas em

perfeitas ou defeituosas, assumindo os resultados conforme tabela.

Resultados de K = 25 amostras de tamanho n = 50 peças.

Amostra pnfração defeituosa

p = pn/n

1 1 0,02

2 2 0,04

3 3 0,06

4 3 0,06

5 5 0,10

6 4 0,08

7 4 0,08

8 1 0,02

9 2 0,04

10 2 0,04

11 4 0,08

12 4 0,08

13 4 0,08

14 5 0,10

15 4 0,08

16 4 0,08

17 5 0,10

18 1 0,02

19 5 0,10

20 2 0,04

21 0 0,00

22 5 0,10

23 3 0,06

24 3 0,06

25 4 0,08

Total 80

SENAI


Calculamos LSC e LIC.

LSC =

LSC =

LSC = 0,167

L I C =

LSC =

L I C = 0,064 - 0,103 = - 0,039 valor negativo.

Neste caso, temos:

LSC = 0,167.

LIC = -

O gráfico de controle será:

SENAI


Gráfico u

O gráfico u de controle é usado para controlar o número médio de defeitos que

aparecem por unidade. Ele é empregado nos casos em que a ocorrência de defeitos

não se mantém constante ao longo do processo. A distribuição estatística em que

trabalha o gráfico u é a distribuição de Poisson.

Passos para a construção do gráfico u de controle

1o Passo

Coletar os dados, registrando o número médio de defeitos por amostra.

u =

2o Passo

Calcular os limites de controle.

ou ainda

Limites de controle = u A ou u 3

onde:

A = é uma constante tabelada (ver tabela 3 da página 103).

3o Passo

Construir o gráfico, desenhando os limites de controle e plotando, os pontos que

representam os valores médios das amostras (u).

Observação

SENAI

(total das médias de defeitos da amostragem)


Quando a amostra for fixa, pode-se também projetar o próprio número de defeitos (c).

Nesse caso, estaremos trabalhando com o gráfico c de controle, cujos limites de

controle são:

LC = onde

Limites de controle =

Exemplo

Gráfico u de controle - linha de montagem - tapeçaria.

Amostra X1 X2 X3 X4 X5Total de

defeitos (c)

Média

defeitos

1 2 3 6 4 2 17 3,4

2 3 8 2 4 5 22 4,4

3 5 3 4 2 2 16 3,2

4 3 3 3 4 4 17 3,4

5 3 4 3 4 1 15 3,0

6 5 4 4 5 4 22 4,4

7 8 0 3 3 2 16 3,2

8 4 1 3 2 5 15 3,0

9 2 4 3 4 4 17 3,4

10 3 4 5 2 3 17 3,4

11 4 3 2 4 3 16 3,2

12 5 5 4 2 2 18 3,6

13 4 3 4 3 2 16 3,2

14 4 2 4 3 4 17 3,4

15 3 4 5 3 3 18 3,6

16 4 4 3 4 3 18 3,6

17 4 4 3 2 4 17 3,4

18 5 4 2 3 4 18 3,6

19 1 2 4 5 6 18 3,6

20 5 4 2 6 2 19 3,8

349 69,8

(c) (u)

ou

Limites de controle

SENAI


LC = = LC =

portanto,

LC = 3,49

ou

LC = = LC =

portanto,

LC = 3,49

LSC = + A

LSC = 3,49 + 1,342

LSC = 3,49 + 1,342 . 1,87

LSC = 3,49 + 2,51

LSC = 6,0

LIC = - A

LIC = 3,49 - 1,342

LIC = 3,49 -1,342 . 1,87

LIC = 3,49 - 2,51

LIC = 1,0

Gráfico u - Verificação de defeitos (tapeçaria)

Exercício

SENAI

(total das médias de defeitos da amostragem)


Para este exercício foram transcritos os dados dos defeitos reportados pelo inspetor de

uma máquina de injeção de plástico, não sendo os mesmos distinguidos pela

gravidade e sim pela freqüência.

Com base nestas informações construa o gráfico u de controle.

Amostra X1 X2 X3 X4 X5

Total de

defeitos (c)

Média de

defeitos u = c/n

01 3 4 3 4 1 15 3,0

02 1 1 2 1 1 6 1,2

03 2 3 4 2 0 11 2,2

04 1 3 1 1 2 8 1,6

05 3 4 3 2 1 13 2,6

06 5 2 3 3 3 16 3,2

07 1 3 4 2 3 13 2,6

08 2 2 4 4 1 13 2,6

09 2 6 4 4 1 17 3,4

10 3 2 2 1 1 9 1,8

11 2 5 3 3 1 14 2,8

12 6 2 2 3 1 14 2,8

13 4 2 2 1 1 10 2,0

14 2 2 5 5 2 16 3,2

15 3 1 1 2 1 8 1,6

16 3 3 4 1 2 13 2,6

17 1 3 5 2 3 14 2,8

18 2 2 4 1 1 10 2,0

19 1 1 3 4 4 13 2,6

20 1 6 3 3 1 14 2,8

c = 247 u = 49,4

SENAI


SENAI


1. Estabilidade

Se nenhuma causa especial de variação estiver agindo sobre um processo,

estatisticamente espera-se que ele possa ser representado por uma normal que

se mantém praticamente inalterada ao longo do tempo, sem flutuações

significativas na sua centralização ou dispersão. Neste caso, o processo é dito

estável; os pontos, nos gráficos de controle, distribuem-se segundo uma lógica

probabilística e nenhum sinal estatístico é percebido.

O processo sobre o qual age alguma causa especial é dito instável. Nesse

caso, problemas são percebidos através dos gráficos de controle, a partir de

sinais estatísticos evidentes. A seguir, algumas situações que indicam

instabilidade no processo.

Exemplos de situações:

Pontos fora dos limites de controle

Processo não sob controle

a) Pontos demasiadamente perto da

média do processo.

b) Pontos demasiadamente perto dos

limites de controle.

Observação

Qualquer outra não aleatoriedade.

SENAI


Tendências

a) Seqüência de 7 pontos

consecutivos crescentes.

b) Seqüência de 7 pontos

acima da média.

c) Seqüência de 7 pontos

consecutivos decrescentes.

d) Seqüência de 7 pontos

abaixo da média.

SENAI


2.

3.

d) Capabilidade do processo

Em todas as atividades os produtos devem satisfazer aos requerimentos de qualidade

estabelecidos pelos clientes. Para satisfazer esses requerimentos, há a necessidade

de que as características de qualidade atendam as especificações pré-estabelecidas.

Denomina-se capabilidade à capacidade que o processo tem de produzir produtos

cujos valores encontram-se dentro dos limites de tolerância especificados.

A capacidade do processo somente pode ser estabelecida quando nenhum fator

estranho contaminar o processo, ou seja, o mesmo apresenta apenas variações

aleatórias.

A análise da capacidade do processo tem por objetivo quantificar as causas comuns de

variabilidade e verificar a capacidade potencial do processo em atender a uma

determinada especificação, conforme critérios que constam da tabela abaixo.

Critério% de produtos dentro

da especificação

% de refugo e/ou

retrabalhoRelação

± 1 68,26 31,74 317:1000

± 2 95,44 4,56 45:1000

± 3 99,73 0,27 3:1000

± 4 99,994 0,006 6:100.000

± 5 99,99994 6,10-7 6:107

SENAI


Exemplo de uma empresa que adotou como critério de aceitação 3 :

Observação

O valor de pode ser estimado utilizando a informação fornecida pelos gráficos

de controle, lembrando que, um estimador é obtido a partir de pela relação:

onde d2 é uma constante tabelada (tabela pág. 103).

Para cumprir mais adequadamente a função de predizer quanto do produto

fabricado pelo processo vai satisfazer as especificações, foi criado o Índice de

Capacidade Potencial do Processo que relaciona a variabilidade natural do

processo (6 ) com a amplitude da Tolerância (LIE até LSE).

SENAI


Interpretando o Cp

Cp 1 processo potencialmente capaz.

Cp 1 processo incapaz.

A capacidade pode ser definida pela distância que a média do processo ( )

apresenta em relação dos limites especificados, obtidos em unidades de

desvio padrão (Z).

Para maior tolerância unilateral, calcula-se:

Para tolerâncias bilaterais, calcula-se:

Para avaliar a capacidade real de um processo em relação à média e limites

especificados, foi desenvolvido o Cpk (índice de capacidade).

Cpk = onde Zmin é o menor valor entre Zi e Zs .

Interpretando o Cpk

Cpk 1 processo capaz.

Cpk 1 processo incapaz.

Exemplo de cálculo do Cp e Cpk

Num processo produtivo sob controle estatístico, observou-se que:

= 15 = 2 LSE = 40 LIE = 10

Avalie o Cp e o Cpk.

SENAI


Como Cp 1 processo capaz.

Cpk 1 processo incapaz.

Para transformarmos esse processo incapaz em capaz, devemos deslocar a média do

processo ( ) para um valor maior mantendo a sua normalidade. Para estimarmos o

valor dessa média, calculamos da seguinte maneira:

LSE = + 3

LIE = - 3

= LIE + 3

= 10 + 3.2

= 16

A média do processo deverá ser no mínimo 16.

É interessante considerar, a respeito dos índices Cp e Cpk, os aspectos que seguem.

O índice Cp mede apenas a performance potencial do processo e não sua capacidade

real, porque relaciona a dispersão do processo aos limites de especificação. Além

disso, como a localização da média do processo não é considerada, é possível que

grande porcentagem de itens produzidos fiquem fora dos limites de especificação,

ainda que Cp > 1. Para que isso ocorra, basta que a média do processo se localize

suficientemente perto de um dos limites de especificação. Portanto, a interpretação da

capacidade do processo relacionada ao índice Cp só tem valor se a média estiver bem

centralizada no intervalo estabelecido pelos limites de especificação.

SENAI


Embora seja semelhante ao Cp, o índice Cpk tem a vantagem de usar a média do

processo. Portanto leva em conta sua centralização e pode ser considerado como uma

medida da performance do processo.

Cp e Cpk para algumas situações

a) Cp = 1

Cpk < 1

b) Cp > 1

Cpk < 1

SENAI


c) Cp > 1

Cpk > 1

As situações (a) e (b) mostram como é possível ocorrer a produção de itens fora da

especificação ainda que Cp > 1. O índice Cpk é coerente em todos os casos.

SENAI


4.

5.

e) Pré – controle ou gráfico do farol

O Pré-controle ou Gráfico de farol só pode ser utilizado em processos que

estejam sob controle estatístico, ou seja, só apresente variações aleatórias e

excelente capacidade em atender as especificações de projeto.

Quando um processo apresenta condições de utilizar a técnica do Pré-controle

ou Gráfico de farol, transferirmos para o operador responsabilidade de julgar a

qualidade do mesmo em relação aos padrões e especificações reduzindo os

custos de controle e permitindo ao operador acompanhar o seu próprio

trabalho. Chamamos essa atividade de auto-inspeção.

Para que os resultados da auto-inspeção sejam corretos, são necessários os

requisitos a seguir:

- aplicabilidade tecnológica do processo;

O processo precisa ser de natureza tal que permita a clara definição das

responsabilidades para a tomada de decisão. Geralmente os processos mais

simples são os mais indicados. Ex.: tornear, furar, etc..

- processo sob condições de autocontrole;

O processo deve conter os meios e condições para que o trabalhador possa:

- saber exatamente o que deve fazer e quais os resultados esperados;

- ajustar o processo quando houver divergências relevantes.

- treinamento do operador

SENAI


O operador deve ser capacitado tanto no controle do processo, como na tomada de decisões.

- confiança mútua entre a supervisão e o operador.- Tanto para a delegação ao operador da importante responsabilidade de decidir

sobre a qualidade do produto e do trabalho, como para assumir esta responsabilidade.

O objetivo do Gráfico do farol é detectar mudanças significativas no processo através

de um sistema rápido, econômico e que pode ser utilizado pelo próprio operador,

enriquecendo o conteúdo de seu trabalho.

Para aplicar o pré-controle, procede-se da seguinte maneira:

- ajuste da máquina (set-up).

Verifica-se todas as peças. A ajustagem estará correta quando cinco peças

seguidas estiverem na região verde do gráfico.

- produção.

Mede-se duas peças consecutivas e segue-se as instruções do Gráfico do farol.

Pré-controle ou Gráfico do farol

SENAI


Passos

1.

- Verifique dois produtos. Se ambos estiverem na região verde, continue normalmente a produção.

2.

- Se um ou dois produtos estiverem na região vermelha, avise o responsável para as providências corretivas e selecione o material existente. Quando os reajustes forem feitos, volte ao passo um.

3.

- Se um ou dois produtos estiverem na região amarela, verifique mais três produtos.

A. Se três ou mais produtos estiverem na região verde, continue normalmente a

produção.

B. Se três ou mais produtos estiverem na região amarela, avise o responsável para as

providências corretivas. Quando os ajustes forem feitos, volte ao passo um.

SENAI


C. Se qualquer produto estiver na região vermelha, avise o responsável para as

providências corretivas e selecione o material. Após os necessários ajustes, volte

ao passo 1.

Cálculo dos limites de controle para o Gráfico do farol.

1º Passo

Determinar a amplitude da tolerância, ou seja, LSE - LIE;

2º Passo

Dividir a amplitude de tolerância, ou seja, (LSE - LIE)/4.

3º Passo

Marcar os valores no gráfico, como segue, e seguir as instruções do Pré-controle.

Exemplo

Construir um gráfico de pré-controle para o processo de produção de eixos do

mecanismo de levantamento do vidro da janela.

Especificação (15,00 ± 0,10mm).

SENAI


1o Passo

Determina-se o campo da tolerância:

LSE - LIE = 15,10 - 14,90 = 0,20.

2o Passo

Calcula-se o valor de um quarto de tolerância.

1/4 tolerância = 0,20/4 = 0,05.

3o Passo

Coloca-se as linhas de controle no gráfico:

Região

vermelha

Pare

Diâm > 15,105

15,10

Região

amarela

Observe

V 15,005< diâ

15,055 15,05

Região

verde

Continue

V

V

V V V

V

V V V

V V

V V V

V

V V

V V

14,995< diâ

15,055

14,945< diâ

14,995

15,00

14,95

Região

amarela

Observe

V 14,895<diâ

14,945 14,90

Região

vermelha

Pare

V Diâm 14,895

9:00 11:00 13:00 15:00 9:00 11:00 13:00 15:00

Nota

Quando se deseja utilizar o Gráfico do farol dentro dos critérios expostos e, ao mesmo

tempo, se deseja controlar tendências, tais como: desgaste de ferramentas, etc., torna-

se necessário construir um gráfico tal que cada faixa corresponda, no máximo, a um

oitavo da tolerância especificada (cada região amarela é dividida em, no mínimo, duas

faixas e a região verde é dividida em, no mínimo, quatro faixas).

SENAI


SENAI


Implantação do CEP

Implantar o CEP não significa espalhar cartas de controle por toda a fábrica.

Esse equívoco pode custar o sucesso do projeto. Na verdade, a utilização das cartas

de controle somente deverá ter início depois que providências importantes forem

tomadas.

A implantação do CEP envolve três grandes fases. Se bem desenvolvidas, essas fases

tendem a garantir o sucesso do projeto. São elas:

- conscientização;

- treinamento;

- implantação.

A conscientização deve abranger todos os níveis hierárquicos, para que todos fiquem

comprometidos com o projeto. Comprometimento não significa apenas apoiar a

iniciativa, mas fazer parte dela, dedicando parcela do tempo para atuar no processo.

Deve ser desenvolvido um plano de treinamento, considerando que toda a população

precisa ser treinada, desde o operador até a direção maior da empresa. Cada qual,

certamente, recebendo a mensagem adequada em função do seu grau de atuação no

projeto. A nível de piso de fábrica é recomendável que seja treinado, de início, o

pessoal que fará uso imediato do sistema; isso evita especulações e receios

desnecessários.

SENAI


Finalmente, um plano de implantação precisa ser elaborado, para organizar

adequadamente o modo como o CEP será difundido e utilizado em toda a organização.

Passos para um plano de implantação

1. Selecionar uma área para iniciar a implantação

É aconselhável começar numa área piloto. À medida que os resultados começarem

a aparecer, a empresa ganha confiança na metodologia, facilitando a implantação

em outras áreas. Para escolher a área piloto, deve-se considerar os seguintes

critérios:

- selecionar uma área que não apresente muitos problemas, para se observar

resultados o mais rapidamente possível;

- dar preferência a área que seja um gargalo, pois o objetivo é aumentar a

produtividade;

- procurar implantar o CEP num processo cujo produto tenha vida relativamente

longa.

2. Definir o processo

Definida a área, deve-se escolher o processo mais crítico em termos de CEP, isto é,

aquele que apresenta a maior variabilidade.

3. Normalizar o processo

Significa corrigir problemas que podem ser detectados sem o auxílio das cartas de

controle; por exemplo, aferir instrumentos de medição, treinar operadores que não

conheçam o trabalho, fazer manutenção nas máquinas, etc. Em outras palavras,

normalizar quer dizer resolver os velhos problemas já conhecidos do pessoal envolvido

com o processo. Essa atitude de aproximação da gerência ao local de trabalho,

buscando resolver os problemas, é um elemento de motivação importante para o

pessoal de operação.

4. Determinar a característica que será controlada

Por exemplo, diâmetro, comprimento, número de defeitos, etc.

5. Definir o tipo de carta de controle mais apropriado

SENAI


Cumpridas as etapas de implantação, é necessário adotar e seguir um esquema

operacional que garanta a utilização correta do sistema.

O esquema operacional é constituído fundamentalmente de três ações:

1. coleta dos dados e projeção na Carta de Controle;

2. análise da estabilidade;

3. análise da capabilidade.

A análise da estabilidade e da capabilidade devem ser acompanhadas de ações locais

e gerenciais e repetidas indefinidamente, de modo a se perseguir o aperfeiçoamento

contínuo do processo.

A seguir, esquema de implantação e operacionalização do CEP, na forma de

fluxograma.

Esquema de implantação do CEP

SENAI


Esquema operacional do CEP

SENAI


6.

SENAI


7.

f)Tabelas

Tabela 1 – Valores para cálculo dos limites de controle da carta , R

Carta das médias ( ) Carta de amplitudes (R)

Observaçõesna amostra

Fatores paralimites decontrole

Divisores para estimativa do desvio-padrão

Fatores para limites de controle

n A A2 d2 D3 D4

2 2.121 1.880 1.128 ----- 3.267

3 1.732 1.023 1.693 ----- 2.574

4 1.500 0.729 2.059 ----- 2.282

5 1.342 0.577 2.326 ----- 2.114

6 1.225 0.483 2.534 ----- 2.004

7 1.134 0.419 2.704 0.076 1.924

8 1.061 0.373 2.847 0.136 1.864

9 1.000 0.337 2.970 0.184 1.816

10 0.949 0.308 3.078 0.223 1.777

11 0.905 0.285 3.173 0.256 1.744

12 0.866 0.266 3.258 0.283 1.717

13 0.832 0.249 3.336 0.307 1.693

14 0.802 0.235 3.407 0.328 1.672

15 0.775 0.223 3.472 0.347 1.653

16 0.750 0.212 3.532 0.363 1.637

17 0.728 0.203 3.588 0.378 1.622

18 0,707 0.194 3.640 0.391 1.608

19 0.688 0.187 3.689 0.403 1.597

20 0.671 0.180 3.735 0.415 1.585

21 0.655 0.173 3.778 0.425 1.575

22 0.640 0.167 3.819 0.434 1.566

23 0.626 0.162 3.858 0.443 1.557

24 0.612 0.157 3.895 0.451 1.548

25 0.600 0.135 3.931 0.459 1.541

LSC = + A2 .

LIC = - A2 . LSC R = D4 LIC R = D3

SENAI


Tabela 2 – Valores para cálculo dos limites de controle da carta , s

Carta das médias ( ) Carta dos desvios-padrão (s)

Observações na amostra

Fatores para limites decontrole

Divisores para estimativa do desvio-padrão

Fatores para limitesde controle

n A3 C4 B3 B4

2 2.659 0.7979 ----- 3.267

3 1.954 0.8862 ----- 2.568

4 1.628 0.9213 ----- 2.266

5 1.427 0.9400 ----- 2.089

6 1.287 0.9515 0.030 1.970

7 1.182 0.9594 0.118 1.882

8 0.099 0.9650 0.185 1.815

9 1.032 0.9693 0.239 1.761

10 0.975 0.9727 0.284 1.746

11 0.927 0.9754 0.321 1.679

12 0.886 0.9776 0.354 1.646

13 0.850 0.9794 0.382 1.618

14 0.817 0.9810 0.406 1.594

15 0.789 0.9823 0.428 1.572

16 0.763 0.9835 0.448 1.552

17 0.739 0.9845 0.466 1.534

18 0.718 0.9854 0.482 1.518

19 0.698 0.9862 0.497 1.503

20 0.680 0.9869 0.510 1.490

21 0.663 0.9876 0.523 1.477

22 0.647 0.9882 0.534 1.466

23 0.633 0.9887 0.545 1.455

24 0.619 0.9892 0.555 1.445

25 0.606 0.9896 0.565 1.435

LSC , LIC = + A3 .

LSC R = B4

LIC R = B3

SENAI


Tabela 3 – Valores para cálculo dos limites de controle da carta de individuais

Carta de individuais (x) Carta de amplitudes (R)

Observações

na amostra

Fatores para

limites de

controle

Divisores para

estimativa do

desvio-padrão

Fatores para limites

de controle

n E2 d2 D3 D4

2 2.660 1.128 ------- 3.267

3 1.772 1.693 ------- 2.574

4 1.457 2.059 ------- 2.282

5 1.290 2.326 ------ 2.114

6 1.184 2.534 ------ 2.004

7 1.109 2.704 0.076 1.924

8 1.054 2.847 0.136 1.864

9 1.010 2.970 0.184 1.816

10 0.975 3.078 0.223 1.777

LSC X , LIC = ± E2

LSC R = D4

LIC R = D3

SENAI


Tabela 4 – Valores das áreas da distribuição normal

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

0.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359

0.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753

0.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141

0.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517

0.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879

0.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224

0.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2517 .2549

0.7 .2580 .2611 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852

0.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133

0.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389

1.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .3621

1.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .3830

1.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .4015

1.3 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .4177

1.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .4319

1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .4441

1.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .4545

1.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .4633

1.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .4706

1.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767

2.0 .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4803 .4808 .4812 .4817

2.1 .4821 .4826 .4830 .4834 .4838 .4842 .4846 .4850 .4854 .4857

2.2 .4861 .4864 .4868 .4871 .4875 .4878 .4881 .4884 .4887 .4890

2.3 .4893 .4896 .4898 .4901 .4904 .4906 .4909 .4911 .4913 4916

2.4 .4918 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929 .4931 .4932 .4934 .4936

2.5 .4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4948 .4949 .4951 .4952

2.6 .4953 .4955 .4956 .4957 .4959 .4960 .4961 .4962 .4963 .4964

2.7 .4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970 .4971 .4972 .4973 .4974

2.8 .4974 .4975 .4976 .4977 .4977 .4978 .4979 .4979 .4980 .4981

2.9 .4981 .4982 .4982 .4983 .4984 .4984 .4985 .4985 .4986 .4986

3.0 .4987 .4987 .4987 .4988 .4988 .4989 .4989 .4989 .4990 .4990

SENAI


Simbologia utilizada

u = Média de defeitos por unidade.

c = Número de defeitos na amostra.

= Média da amostragem (estimativa de µ).

? = Desvio padrão da média.

= Desvio padrão do processo (estimativa de µ).

? = Desvio padrão da amplitude.

A2 = Fator tabelado em função de n.

E2 = Fator tabelado em função de n.

= Média das medianas.

= Média dos desvios padrão das amostras.

A3,B3,B4 = Fatores tabelados em função de n.

n = Tamanho da amostra.

k = Quantidade (amostras ou classes).

= Média das observações numa amostra.

X = Média da amostragem.

= Mediana.

R = Amplitude.

s = Desvio padrão da amostra.

LIE = Limite inferior de especificação.

LSE = Limite superior de especificação.

= Média das amplitudes das amostras.

d2 = Fator de correção (depende de n).

= Desvio padrão populacional.

x = Valor individual.

SENAI


= Média da população.

2 = Variância populacional.

Z = Quantidade de desvio padrão entre X e .

h = Amplitude da classe.

N = Tamanho da amostragem.

p = Fração ou porcentagem defeituosa na amostra.

np = Número de defeituosos numa amostra.

n = Média de defeituosos numa amostra.

= Média de produtos defeituosos.

A = Constante tabelada

LN = Limites naturais do processo.

LNS = Limite natural superior.

LNI = Limite natural inferior.

LC = Linha central.

LSC = Limite superior de controle.

LIC = Limite inferior de controle.

Cp = Capacidade potencial do processo.

Cpk = Capacidade real do processo.

LIC = Limite inferior de controle do gráfico das médias.

LSC = Limite superior de controle do gráfico das médias.

LICR = Limite inferior de controle do gráfico das amplitudes.

LSCR = Limite superior de controle do gráfico das amplitudes.

LE = Limite de especificação.

SENAI


Referências bibliográficas

Charnet, Eugênia M.R. - Estatística Industrial. Departamento de Estatística, IMECC

UNICAMP. São Paulo, 1995.

Ducan, Acheson J. - Quality Control and Industrial Statistics. USA. Illinois, 1959.

Fonseca, Jairo Simon e Martins, Gilberto de Andrade - Curso de Estatística. 3ª Edição.

Editora Atlas, 1987.

Juran, J. e Gryna, F. - Quality Control - Handbook. Mc Graw Hill.

Palmer, Collin F. - Controle Total da Qualidade. Tradução Itiro Yida. Edgard Blucher,

1974.

SENAI

apostila cep (2).doc

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