apostila carta cep
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1 - Introdução
A seguir apresentamos alguns conceitos e definições importantes
para o melhor entendimento do conteúdo desse módulo.
Processo: é a combinação de máquinas, métodos, material e mão-
de-obra envolvidos na produção de um determinado produto ou
serviço.
Controle: é o conjunto de decisões que tem por objetivo a satisfação
de determinados padrões ou especificações por parte dos produtos
focados no cliente.
O CEP estabelece:
1. Informação permanente sobre o comportamento do processo;
2. Utilização da informação para detectar e caracterizar as causas
que geram instabilidade no processo;
3. Indicação de ações para corrigir e prevenir as causas de
instabilidade;
4. Informações para melhoria contínua do processo.
Sistema de controle do processo
Quatro elementos destes sistemas são importantes para as
discussões a seguir.
1. O Processo
Entendemos como processo a combinação de fornecedores,
produtores, pessoas, equipamentos, materiais de entrada, métodos e
meio ambiente que trabalham juntos para produzir o resultado
(produto), e os clientes correspondem aos elementos que utilizam o
resultado (ver Figura 1.1).
Figura 1.1: Sistema de controle do processo.
2. Informações sobre o desempenho
Muita informação sobre o real desempenho do processo pode ser
aprendida através de estudo do resultado (saída) do processo. A
informação mais útil sobre o desempenho de um processo vem,
entretanto, da compreensão do processo em si, e de sua variabilidade
interna. Características do processo (como temperaturas, tempo de
ciclos, taxas de alimentação, taxas de absenteísmo, rotatividade de
pessoas, atrasos, ou número de interrupções) deveriam ser o alvo
supremo de nossos reforços.
3. Ações sobre o processo
Uma ação sobre o processo é geralmente mais econômica quando
realizada para prevenir que as características importantes (do
processo ou do produto) variem muito em relação aos seus valores-
alvo. Tal ação pode consistir em:
Mudanças nas operações
o Treinamento para os operadores;
o Mudanças nos materiais que entram;
Mudanças nos elementos mais básicos do processo
o Equipamento;
o A comunicação entre as pessoas;
o O projeto do processo como um todo - que pode estar vulnerável à
mudanças de temperatura ou umidade.
Os efeitos das ações deveriam ser monitorados, para que uma análise
e ação posterior pudesse ser tomada, se necessária.
4. Ações sobre o resultado
Uma ação sobre o resultado é freqüentemente menos econômica
quando se restringe a detecção e correção do produto fora da
especificação, não indicando o fato gerador do problema no processo.
Infelizmente, se o resultado atual não atinge consistentemente os
requisitos exigidos pelo cliente, pode ser necessário classificar todos
os produtos e refugar ou retrabalhar quaisquer itens não-conformes.
Esta atitude deve ser mantida até que a ação corretiva necessária
sobre o processo tenha sido tomada e verificada, ou até que as
especificações do produto tenham sido alteradas.
Definições
Variabilidade: É o conjunto de diferenças nas variáveis (diâmetros,
pesos, densidades, etc.) ou atributos (cor, defeitos, etc.) presentes
universalmente nos produtos e serviços resultantes de qualquer
atividade. Podemos classificá-las em comuns ou aleatórias e especiais
ou assinaláveis.
Tabela 1.1: Definições de causas comuns e especiais.
Comuns Especiais
DefiniçãoEfeito acumulativo de causas não
controláveis, com pouca influência individualmente.
Falhas ocasionais que ocorrem durante o processo, com grande influência
individualmente
Exemplos
Vibrações,temperatura, umidade, falhas na sistemática do processo,
dentre outras.
Variações na matéria-prima, erros de operação, imprecisão no ajuste da
máquina, desgastes de ferramentas, dentre outras.
Variabilidade do processo: Um processo está sob controle
estatístico (estável) quando não existem causas especiais. O fato de
um processo estar sob controle estatístico não implica que o mesmo
está produzindo dentro de um nível de qualidade aceitável. O nível de
qualidade de um processo é estudado via uma técnica denominada
análise de capacidade/performance.
O objetivo é desenvolver uma estratégia de controle para o processo
que nos permite separar eventos relacionados à causas especiais de
eventos relacionados à causas comuns (falhas na sistemática do
processo). Desta forma, para um dado processo, um gráfico de
controle pode indicar a ocorrência de causas especiais de variação.
Figura 1.2: Processo previsível.
Figura 1.3: Processo não previsível.
Ações locais e ações gerenciais sobre o sistema
Há uma importante relação entre os dois tipos de variação que
acabamos de discutir e os tipos de ações necessárias para reduzí-las,
sendo:
Causa especial: requer uma ação local.
Causa comum: geralmente requer um ação sobre o sistema ou ação
gerencial.
Pode ser errado, por exemplo, tomar uma ação local (ex. ajuste de
uma máquina) quando uma ação gerencial sobre o sistema é
necessária (ex. seleção de fornecedores que entreguem materiais de
entrada compatíveis ao sistema). Entretanto, o trabalho em conjunto
entre gerência e aquelas pessoas ligadas diretamente à operação é
essencial para uma redução significativa das causas comuns de
variação do processo.
O ciclo de melhoria e o controle do processo
Figura 1.4: O ciclo de melhoria e o controle do processo.
1. Analisar o processo
Dentre as perguntas a serem respondidas a fim de alcançar um
melhor conhecimento do processo, estão:
O que o processo deveria estar fazendo?
o O que está sendo esperado de cada estágio do processo?
o Quais são as definições operacionais das saídas em potencial?
O que pode estar errado?
o O que pode variar neste processo?
o O que já sabemos a respeito da variabilidade deste processo?
o Que parâmetros são mais sensíveis à variação?
O que o processo está fazendo?
o Este processo está gerando refugo ou resultados que requeiram
retrabalhos?
o Este processo produz um resultado que esteja num estado de
controle estatístico?
o O processo é capaz?
o O processo é confiável?
Muitas técnicas discutidas de desenvolvimento de processos podem
ser aplicadas para garantir um melhor entendimento do processo.
Estas atividades incluem:
Reuniões em grupo
Consulta a pessoas que desenvolveram e operam o processo
Revisão da história do processo
Construção de uma planilha de FMEA
As cartas de controle desenvolvidas neste módulo são ferramentas
poderosas que devem ser usadas durante todos os ciclos de melhoria
do processo. Esses métodos estatísticos simples ajudam a distinguir
as causas comuns e as causas especiais de variação do processo.
Quando um estado de controle do processo é alcançado o nível atual
da capacidade do processo pode ser avaliado.
2. Manter o controle do processo
Uma vez adquirida uma compreensão melhor do processo, devemos
mantê-lo dentro de um nível apropriado de capacidade. Processos são
dinâmicos e podem mudar, logo o desempenho do processo deve ser
monitorado, para que medidas eficazes de prevenção contra
mudanças indesejáveis possam ser executadas.
A mudança desejável deve também ser entendida e
institucionalizada. Quando sinalizado que uma mudança no processo
ocorreu, medidas rápidas e eficientes devem ser tomadas para isolar
as causas e agir sobre elas.
3. Aperfeiçor o processo
A melhoria do processo através da redução de variação,
especificamente envolve a introdução (proposital) de mudanças
dentro do processo, e a avaliação dos efeitos causados. O objetivo é
uma melhor compreensão do processo, para que as causas comuns
de variação possam ser reduzidas posteriormente. A intenção desta
redução é a melhoria da qualidade ao menor custo.
Assim que novos parâmetros do processo tenham sido determinados,
o ciclo volta ao estágio de Analisar o Processo. Uma vez que
alterações foram introduzidas, a estabilidade do processo precisa ser
reconfirmada. O processo continua então a se mover em torno do
Ciclo de melhoria do processo
2 - Gráficos ou Cartas de Controle
Carta de controle é um tipo de gráfico utilizado para o
acompanhamento de um processo. Este gráfico determina
estatisticamente uma faixa denominada limites de controle, que é
limitada pela linha superior (limite superior de controle) e uma linha
inferior (limite inferior de controle), além de uma linha média. O
objetivo é verificar, por meio do gráfico, se o processo está sob
controle, isto é, isento de causas especiais.
Gráficos de Controle
Para distinguir as variações do processo que anteriormente
chamamos de comuns e especiais, e detectar as especiais, foi
desenvolvida uma ferramenta que, desde então, denominamos
Cartas ou Gráficos de Controle.
As funções destes gráficos são:
1. “Mostrar evidências de que um processo esteja operando em
estado de controle estatístico e dar sinais de presença de
causas especiais de variação para que medidas corretivas
apropriadas sejam aplicadas”.
2. “Manter o estado de controle estatístico estendendo a função
dos limites de controle como base de decisões”.
3. “Apresentar informações para que sejam tomadas ações
gerenciais de melhoria dos processos”.
Formas de aplicação
A forma mais usual dos gráficos de controle envolve registros
cronológicos regulares (dia-a-dia, hora-a-hora, etc) de uma ou mais
características (por exemplo, média, amplitude, proporção, etc)
calculadas em amostras obtidas de medições em fases apropriadas
do processo. Estes valores são dispostos, pela sua ordem, em um
gráfico que possui uma linha central e dois limites, denominados
“limites de controle” (ver Figura 2.1).
Os gráficos de controle fornecem assim uma regra de decisão muito
simples: pontos dispostos fora dos limites de controle indicam que o
processo está “fora de controle”. Se todos os pontos dispostos
estão dentro dos limites e dispostos de forma aleatória,
consideramos que “não existem evidências de que o processo esteja
fora de controle".
Podemos observar no primeiro gráfico que os dados estão dispostos
entre os limites do intervalo, exceto uma observação. Observe
também que há indícios de falta de aleatoriedade no gráfico (os
últimos 8 pontos estão abaixo da linha central), entretanto, o gráfico
da Amplitude apresenta um comportamento supostamente aleatório.
Figura 2.1: Modelo de gráficos de controle.
Benefícios dos gráficos de controle
Os gráficos de controle, ao distinguir as causas comuns das causas
especiais de variação e indicar se o problema é local ou merece
atenção gerencial, evita frustrações e o custo de erros no
direcionamento da solução de problemas.
Ao melhorar o processo os gráficos de controle produzem:
1. Um aumento na porcentagem de produtos capazes de
satisfazer aos requisitos do cliente.
2. Uma diminuição do retrabalho e sucata, diminuindo,
conseqüentemente, os custos de fabricação.
3. Aumenta a probabilidade geral de produtos aceitáveis.
4. Informações para melhoria do processo.
Para que possamos atingir os benefícios da aplicação do CEP, a
organização precisa se preparar:
Filosofia da gerência
As decisões da gerência da empresa podem afetar diretamente os
programas de CEP em:
1. Focar a organização da empresa na diminuição da variação;
2. Estabelecer um ambiente aberto que minimize as competições
internas e de suporte para o trabalho em equipe;
3. Dar suporte e favorecer os treinamentos necessários;
4. Aplicar o CEP para promover um melhor entendimento das
variações da engenharia de processo;
5. Aplicar o CEP para gerenciar os dados e usar a informação
obtida nas decisões do dia a dia.
Filosofia da engenharia
Como a engenharia usa a informação para poder planejar o
desenvolvimento que podem e irão ter influência no nível de variação
do produto final, apresentamos algumas maneiras de como a
engenharia pode mostrar o uso efetivo do CEP:
1. Focar a organização na redução da variação através do
planejamento do processo, ou seja, número de mudanças no
design, planejamento da manufatura e montagem;
2. Estabelecer um ambiente aberto que minimize a competição
interna e prevaleça o trabalho em equipe;
3. Dar suporte para que os funcionários envolvidos no processo
façam treinamentos adequados;
4. Aplicar o CEP para promover um melhor entendimento das
variações da engenharia de processo;
5. Exigir um melhor entendimento da variação e estabilidade em
relação aos dados que são usados no desenvolvimento do
projeto;
6. Favorecer as mudanças na engenharia do produto que foram
fruto das análises do CEP que podem ajudar na diminuição da
variação.
Manufatura
Como a manufatura desenvolve e opera máquinas e os sistemas de
transferência que
podem impactar o nível e o tipo de variação no produto final.
1. Focar a organização da manufatura na redução da variação, isto
é, controlar o número de diferentes processos, o impacto dos
processos multi ferramentais, ferramentas e máquinas de
manutenção, etc;
2. Estabelecer um ambiente de engenharia aberto que possa
minimizar a competição interna e dar suporte para o trabalho
de equipe;
3. Incentivar, manter e treinar os funcionários no uso do CEP;
4. Aplicar o CEP para entender a variação e estabilidade dos dados
que serão usados no desenvolvimento do processo;
5. Usar as análises do CEP para promover melhorias no processo;
6. Não passar a responsabilidade pelas cartas de controle para os
operadores até que o processo esteja sob controle. A
transferência de responsabilidade do processo só deve ocorrer
quando o processo estiver sob controle.
Controle da qualidade
O controle da qualidade é um componente crítico que provê suporte
para as melhorias sugeridas pelo uso do CEP.
1. Dar suporte ao treinamento para manutenção do CEP;
2. Focar as pessoas na aplicação do CEP;
3. Ajudar na identificação das causas de variação do processo;
4. Assegurar que o uso correto das informações provenientes do
programa de CEP estejam sendo corretamente utilizadas.
Produção
As pessoas envolvidas na produção estão diretamente relacionadas
ao processo e a efetividade da variação do processo. Elas devem:
1. Estar treinadas na aplicação do programa de CEP para resolver
problemas;
2. Ter entendimento da variação e estabilidade em relação aos
dados e as informações que estarão sendo usadas no programa
de CEP;
3. Estar alertas! A comunicação entre a equipe é importante
quando a situação muda;
4. Atualizar, manter e disponibilizar as cartas de controle com a
equipe responsável;
5. Aprender com as informações coletadas do processo.
A seguir, apresentamos os gráfico mais simples e utilizados nas
organizações.
Tipos de gráficos de controle
Existem dois tipos básicos de gráficos de Controle:
Gráficos por variáveis:
o Gráficos e R (média e amplitude)
o Gráficos e S (média e desvio padrão)
o Gráficos e R (mediana e desvio padrão)
o Gráficos para Valores Individuais (X) e Amplitude Móvel (MR)
Gráficos por atributos:
o Gráfico p (proporções não conforme)
o Gráfico np (unidades não conforme)
o Gráfico c (número de não conformidade por unidade)
o Gráfico u (taxa de não conformidade por unidade)
3 - Fase Preparatória e Elaboração dos Gráficos
Seja qual for o tipo do gráfico que se vai utilizar, é necessário que
executem uma série de etapas preparatórias para a sua aplicação:
1. Conscientização e treinamento das pessoas envolvidas no
processo.
2. Correta definição do processo (mapeamento do processo).
3. Análise para escolha das características de qualidade mais
significativas, com foco no cliente. A aplicação do gráfico de
Pareto pode ter grande utilidade nessa etapa.
4. Definição e análise do sistema de medição (unidades,
instrumentos, grau de precisão das medidas, método para
efetuar as medidas, etc).
5. Escolha da fase do processo onde serão efetuados os registros,
a fim de obter informações que permitam, no caso em que
causas especiais sejam detectadas, sua imediata e efetiva
correção para evitar os itens defeituosos.
Uma vez efetuada a fase preparatória, a elaboração dos gráficos deve
obedecer os seguintes passos:
1. Escolha do tipo de gráfico;
2. Coleta de dados;
3. Indicação do estado do processo e sua performance;
4. Determinação da capacidade do processo, depois de se ter
atingido o estado de controle;
5. Ações para melhoria do processo.
Os tópicos seguintes descrevem cada um dos itens acima.
Escolha do tipo do gráfico
Em princípio, o tipo gráfico a ser selecionado depende da
característica da qualidade a ser controlada. Sendo esta uma
característica contínua (peso, dimensão, concentração, etc) os
gráficos para valores individuais ou os e (ou e ) poderão ser
utilizados. Muitas vezes instrumentos passa/não passa são utilizados,
o que produz uma discretização das características contínuas,
permitindo assim a utilização de gráficos p (ou np).
Coleta de dados - subgrupos racionais
Para proceder a coleta de dados é necessário escolher o tamanho de
cada amostra e a freqüência de amostragem, também denominada
subgrupo racional, assim como a quantidade de subgrupos
racionais. Na amostragem é fundamental escolher as amostras que
representem subgrupos de itens que sejam os mais homogêneos
possíveis, visando exaltar diferenças entre grupos.
" É muito importante na aplicação dos gráficos de controle escolher
de forma cuidadosa os subgrupos racionais."
Algumas considerações a respeito do tamanho dos subgrupos para os
gráficos e ou e são:
1. Os subgrupos devem ter o menor tamanho possível de forma
que as suas médias não mascarem as mudanças.
2. Subgrupos de tamanho 4 ou 5 detectam mudanças no processo
mais rapidamente que subgrupos maiores.
3. Subgrupos de 4 ou 5 ítens são ótimos (ou quase) se as causas
especiais produzem mudanças de 2σ (2 sigma) ou mais no nível
geral do processo. Caso as mudanças sejam pequenas (1σ ou
menos) será necessário, para detectá-las, escolher subgrupos
maiores (de 15 ou 20 itens). Aplicação de ferramentas como
CUSUM propiciam uma análise de pequenas variações.
Muitas vezes, para que possamos determinar adequadamente os
subgrupos racionais, podemos utilizar o diagrama de causa e efeito
ou mesmo o FMEA de processo.
Escolha dos limites de controle
A escolha dos limites de controle é uma decisão a ser tomada com
base, essencialmente, em critérios econômicos. O uso dos limites 3σ
(3 sigma) está bastante generalizado, mas existem situações onde é
necessário aplicar outros critérios.
Cálculo da linha central e dos limites de controle
O cálculo dos limites de controle e da linha central será considerado
caso a caso, para cada tipo de gráfico e suas possíveis variantes.
Indicação do estado do processo
Quando os dados são registrados e comparados com os limites de
controle, pontos fora (dentro) destes limites indicarão que o processo
está "fora de controle" ("sob controle") estatístico. Depois que ações
(geralmente locais) foram tomadas, mais observações são coletadas
e, se necessário, os limites são recalculados para estudar a presença
de outras eventuais causas especiais de variação.
Determinação da capacidade do processo
Os limites de controle não são limites de especificação, mas
refletem a variabilidade natural do processo, funcionando somente
como indicadores de causas especiais de variação. Depois que as
causas especiais são eliminadas a capacidade do processo poderá ser
avaliada.
Na Figura 3.1 exemplificamos os limites de controle e a linha central
para o gráfico .
Figura 3.1: Limites de controle e linha central para o gráfico .
3.1 - Planejamento para implantação do CEP
Inicialmente defendemos que o CEP somente tem chances de ser
implantado adequadamente em um ambiente onde as barreiras e os
paradigmas sejam facilmente quebrados, onde haja compromisso
gerencial efetivo, a importância dos clientes reconhecida e outros
aspectos fundamentais a implantação de uma metodologia de
trabalho sejam também relevados. De forma geral, as etapas
propostas são:
Etapa 1: Obter compromisso da alta administração
Obter o compromisso efetivo da alta administração;
Formar um comitê de gerentes responsável pelo programa.
Responsável: Produção, Engenharia de Produto, Engenharia de
Processo, Qualidade.
Ferramentas: Apresentação de consultores externos e seminários
gerenciais.
Etapa 2: Formular uma política (diretrizes)
Indicar um “facilitador” e uma “equipe de melhoria”;
O comitê em conjunto com o facilitador deve estabelecer um plano
geral que contemple as principais diretrizes do programa de CEP:
1. objetivos gerais;
2. as responsabilidades gerenciais;
3. a estratégia de treinamento;
4. os recursos necessários para execução do programa;
5. as necessidades financeiras;
6. cronograma.
Responsável: Comitê
Ferramentas: Reuniões de trabalho.
Etapa 3: Estabelecer responsabilidades do facilitador e da equipe de
melhoria
A principal função do facilitador é estabelecer, desenvolver e
monitorar o programa de CEP;
Dependendo do tamanho da organização talvez seja necessário
indicar mais do que um facilitador.
Uma das principais responsabilidades do facilitador é de ser o
treinador, de fornecer suporte às áreas que se propõem a implantar
o CEP.
Principais características ou habilidades que o facilitador deve ter:
boa comunicação, habilidades em análises estatísticas práticas,
adequado relacionamento com o chão-de-fábrica, ter a confiança de
todos os níveis da organização e ser um entusiasta do CEP.
A Equipe de Melhoria deve ser composta por representantes de 5
áreas: engenharia, gerência, produção, manufatura, e controle da
qualidade.
A principal responsabilidade da Equipe de Melhoria é a de participar
das reuniões e sessões de brainstorming na busca e eliminação de
causas especiais de variação.
Responsável: Comitê
Ferramentas: Reuniões de trabalho.
Etapa 4: Definir uma estratégia de treinamento
Algumas questões ajudam a definir a estratégia:
1. Quantas pessoas necessitam ser treinadas?
2. Quais os tipos diferentes de cursos que necessitam ser
desenvolvidos?
3. Quem fará o treinamento?
4. Quantas pessoas serão treinadas?
5. Os treinamentos serão feitos fora ou dentro da empresa?
Responsável: Comitê e facilitador
Ferramentas: Reuniões de trabalho.
Etapa 5: Treinar gerentes e supervisores
Após definida a estratégia de treinamento é importante realizá-los
inicialmente com os gerentes e, em seguida com os supervisores.
É importante que o treinamento seja complementado com uma
atividade prática.
Responsável: Comitê
Ferramentas: Apresentação de consultores externos e seminários
gerenciais.
Etapa 6: Informar os operadores
Declarar aos operadores que o CEP será implantado.
É importante lembrar que esta atividade de comunicação ainda não
envolve treinamento.
Responsável: Diretor, gerente geral.
Ferramentas: Técnicas de apresentação, vídeos.
Etapa 7: Envolver fornecedores
Muito provavelmente as melhorias a serem obtidas com a
implantação do CEP dependem da participação dos fornecedores.
A melhoria dos processos pode, algumas vezes, depender
diretamente da melhoria da qualidade da matéria-prima.
Responsável: Comitê
Ferramentas: Seminários gerenciais, treinamento etc.
Etapa 8: Escolha das características da qualidade para a aplicação
do CEP.
Para fazer a escolha das características de qualidade que serão
avaliadas pelo CEP, sugerimos os seguintes pontos:
1. Análise das necessidades do cliente
2. Especificações e desenhos fornecidos pelo cliente
3. Regulações aplicadas (Legislações)
4. FMEA’s
5. Resultados de testes
6. Lições aprendidas do passado
Na utilização de FMEA’s sugerimos o seguinte critério:
D-FMEA detecta características de qualidade “potenciais” a serem
avaliadas quando:
1. S = 10 ou 9 (S = Severidade)
2. S = 8 e se Ocorrência é estritamente maior do que 1
P-FMEA transforma características de qualidade “potenciais” em
características “confirmadas” quando:
1. S = 10 ou 9
2. S = 8 e se Ocorrência é estritamente maior do que 4
Aplicar MSA às características escolhidas.
Responsável: Gerentes, técnicos e facilitador.
Ferramentas: FMEA, MSA, Gráfico de Pareto.
Etapa 9: Coletar dados ( FASE 1 do Modelo de Melhoria)
Escolher o tipo de gráfico a ser aplicado
Definir o subgrupo racional
Coletar os dados: envolver diferentes lotes de produção
Elaborar os primeiros gráficos: avaliar a estabilidade
Avaliar a capacidade/performance do processo
Sugestão de regras para a administração do CEP:
1. Criar lista de características que estão sendo monitoradas com
o CEP
2. Eliminar o CEP das características que tiverem Pp ≥ 2 e Ppk ≥
1,5.
3. Diminuir frequência de amostragem para as características que
tiverem Pp ≥ 1,5 e Ppk ≥ 1,33.
4. Manter (e até aumentar) frequência de amostragem para
características que não tiverem boa performance.
Responder as perguntas:
1. Pergunta 1: O sistema é estável? (sim ou não)
2. Pergunta 2: O sistema é capaz? (sim ou não)
As possíveis combinações são:
É estável? É capaz? Etapasim sim 12sim não 11não sim 12não não 10
Verificar as combinações e seguir a etapa (tomar um caminho).
Responsável: Facilitador, Técnicos e Equipe de Melhoria.
Ferramentas: Gráficos de controle, Cp, Cpk, Pp, Ppk.
Etapa 10: Detecção das causas especiais e ações sobre o processo.
Retirar os pontos fora de controle da fase de coleta de dados e
recalcular os limites de controle;
Elaborar a carta de CEP com os limites fixados;
Definir quais os sinais de falta de controle;
Definir o responsável pela carta de CEP em cada turno de produção;
Definir o diário de bordo apropriado do processo em análise;
Treinar os envolvidos na melhoria do processo;
Reiniciar a coleta de dados;
Estabilizar o processo com ações de melhoria;
Avaliar a capacidade do processo.
Vai para a Etapa 9.
Responsável: Manufatura, Facilitador, Técnicos e Equipe de Melhoria.
Ferramentas: Gráficos de controle, Cp, Cpk, Pp, Ppk.
Etapa 11: Melhoria de Processo
Manter o CEP para monitorar o processo;
Aplicação de técnicas dos Seis Sigmas para melhoria de processo:
1. Identificação das causas comuns de variação;
2. Redução de causas comuns de variação;
3. Aplicação de DOE.
Vai para a Etapa 9.
Responsável: Manufatura, Facilitador, Técnicos e Equipe de Melhoria.
Ferramentas: Gráficos de controle, Cp, Cpk, Pp, Ppk.
Etapa 12: Monitoramento do Processo
Elaborar o gráfico do farol
Avaliar a capacidade do processo.
Vá para a Etapa 9.
Responsável: Manufatura, Facilitador, Técnicos e Equipe de Melhoria.
Ferramentas: Gráficos de controle, Cp, Cpk, Pp, Ppk.
4 - Gráficos de Controle por Variáveis
Muitas características da qualidade podem ser expressas em termos
de valores numéricos. Por exemplo, o diâmetro de um anel pode ser
medido com um micrômetro e expresso em termos de milímetros. As
características da qualidade mensuráveis tais como peso, dimensão
ou volume são denominadas variáveis.
Quando analisamos uma característica da qualidade que é uma
variável, em geral, controlamos o valor médio da característica da
qualidade e sua variabilidade. O valor médio é controlado através do
gráfico da média denominado gráfico . Enquanto que a variabilidade
do processo pode ser acompanhada através do gráfico do desvio
padrão denominado gráfico ou o gráfico da amplitude denominado
gráfico .
4.1 - Gráficos Média e Amplitude
Quando lidamos com uma característica da qualidade que é uma
variável, necessitamos monitorar tanto a média da característica da
qualidade quanto a sua variabilidade. Para isto, supomos que a
característica da qualidade tem distribuição de probabilidade com
média μ e desvio padrão σ. Assim, para uma amostra aleatória X1,
X2, ... , Xn de tamanho n, temos que a média amostral é dada por:
Com isso, aplicando o Teorema Central do Limite para esta
amostra aleatória, quando o tamanho da amostra aumenta, a
distribuição amostral da média se aproxima de uma distribuição
Normal com média μ e desvio padrão , ou seja, se o tamanho
amostral é suficientemente grande, podemos assumir que a média
amostral tem uma distribuição Normal. Consequentemente, o
intervalo de confiança da média é dado por:
Na prática, geralmente não conhecemos μ e σ, contudo, estes
parâmetros são estimadas à partir de amostras preliminares tomadas
em subgrupos de pelo menos 20 a 25 amostras. Suponhamos que
temos disponível m amostras, com cada uma contendo n observações
sobre a característica da qualidade. Nas aplicações, o número de
observações n é pequeno e geralmente resultam à partir da
construção de subgrupos racionais, em que os custos de amostragem
e de inspecção associadas com as medições das variáveis são altas.
Para o gráfico da média , tomamos as médias de cada
amostra, temos que o melhor estimador de para o processo da
média é dada por:
que é a linha central do gráfico
Agora, necessitamos da estimativa do desvio padrão, para isto,
vamos estimar nesta seção pela amplitude Assim, para uma
amostra aleatória X1, X2, ... , Xn de tamanho n, temos que a amplitude
é dada por:
Agora, seja as amplitudes das m amostras, então a linha
central (LC) ou a média das amplitudes é dada por:
A seguir, vamos apresentar os principais tópicos para a construção do
gráfico e
Os gráficos e (média e amplitude) devem ser implementados
simultaneamente, pois as funções se complementam.
Objetivo: controlar a variabilidade do processo e detectar qualquer
mudança que aconteça.
Um processo pode sair de controle por alterações no seu nível ou na
sua dispersão. As mudanças no nível (média) e dispersão
(variabilidade) do processo podem ser consequências de causas
especiais, gerando defeitos.
Cálculo dos limites de controle
Para o desenvolvimento dos limites de controle, primeiramente
vamos definir a variável aleatória chamada Amplitude Relativa.
A principal propriedade de é que sua média é a constante que
depende do tamanho da amostra. Com isso, o estimador não viciado
do desvio padrão da distribuição Normal é dada por
consequentemente para temos que o estimador para o desvio
padrão é dada por:
Agora, temos as ferramentas necessárias para a construção dos
limites de controle para o gráfico e Logo, usando a equação
(4.1.1) e usando obtemos os limites de controle para o gráfico
da seguinte forma
e
Assumindo que a característica de qualidade é normalmente
distribuída, é calculada à partir da distribuição Amplitude Relativa
. Assim, o desvio padrão de é dado por (para mais detalhes
consulte o livro de Montgomery, D.C. (2001)), é uma constante
que depende do tamanho da amostra . Logo, para o desvio
padrão de é dada por:
Portanto, os limites de controle para o gráfico são dadas por:
e
Resumindo temos que,
Para as médias:
Limite Superior de Controle:
Linha Central:
Limite Inferior de Controle:
Para as amplitudes:
Limite Superior de controle:
Linha Central:
Limite Inferior de Controle:
Disposição dos pontos nos gráficos e
Tendo calculado as Linhas Centrais e os Limites Inferiores e
Superiores de Controle para os gráficos e , estamos em condições
de dispor os pontos que representam as médias amostrais (no gráfico
) e as amplitudes amostrais (no gráfico ), respectivamente.
Para facilitar a análise dos resultados é também recomendável
colocar os gráficos um abaixo do outro e marcar os pontos
correspondentes a uma mesma amostra na mesma reta vertical.
Fase I: Aplicação dos gráficos e
Na Fase I, quando amostras preliminares são usadas para construir os
gráficos e é de costume tratar os limites de controle obtidos como
limites de controle teste. Eles permitem determinar se o processo
estava sob controle quando as m amostras preliminares foram
selecionadas. Para determinar se o processo estava sob controle
quando amostras preliminares foram coletadas podemos plotar os
valores de e de cada amostra nos gráficos e analisar o resultado
obtido. Se todos os pontos plotados estão dentro dos limites e
nenhum comportamento sistemático é evidenciado, então concluimos
que o processo estava sob controle no passado e os limites de
controle teste são adequados para controlar a produção atual ou
futura. É altamente desejável ter de 20 a 25 amostras ou subgrupos
de tamanho n (tipicamente n está entre 3 e 5) para calcular os limites
de controle teste. Podemos, é claro, trabalhar com menos dados,
porém os limites de controle não são tão confiáveis.
Suponha que um ou mais valores de ou de estejam fora de
controle quando comparados com os limites de controle teste.
Claramente, se os limites de controle para a produção atual ou futura
são significativos eles devem ser baseados em dados de um processo
que está sob controle. Entretanto, quando a hipótese de controle
passada é rejeitada é necessário revisar os limites de controle teste.
Isso é feito examinando cada um dos pontos fora de controle,
procurando por uma causa assinalável. Se uma causa assinalável é
encontrada, o ponto é descartado e os limites de controle teste são
recalculados usando somente os pontos remanescentes. Então, esses
pontos remanescentes são reexaminados para controle. (Note que os
pontos que estavam sob controle inicialmente podem agora estar fora
de controle, pois os limites de controle teste são geralmente mais
severos do que os antigos.) Esse processo continua até que todos os
pontos estejam sob controle, pontos para os quais os limites de
controle teste são adotados para uso atual.
Em alguns casos, pode não ser possível encontrar uma causa
assinalável para um ponto que caia fora de controle. Dessa forma, há
dois caminhos a tomar. O primeiro deles é eliminar o ponto caso uma
causa assinalável tenha sido encontrada. Não há nenhuma
justificativa analítica para escolher essa ação, a não ser a de que os
pontos que estejam fora dos limites de controle foram extraídos da
distribuição de probabilidade de uma característica de um estado fora
de controle. A alternativa então é manter o ponto (ou pontos)
considerando os limites de controle teste como apropriados para o
controle atual. É claro, se o ponto realmente não representa uma
condição de fora de controle, os limites de controle resultantes serão
muito largos. No entanto, se existe um ou dois desses pontos isso não
distorcerá o gráfico de controle significamente. Se amostras futuras
ainda indicarem controle então os pontos inexplicados podem
provavelmente ser retirados seguramente.
Ocasionalmente, os valores amostrais iniciais de e são plotados
contra os limites de controle teste e muitos pontos cairão fora de
controle. Claramente, se retirarmos arbitrariamente pontos fora de
controle teremos uma situação insatisfatória, com poucos dados
remanescentes para recalcular limites de controle confiáveis.
Suspeitamos que esse tipo de abordagem ignoraria muita informação
útil nos dados. Porém, procurar por uma causa assinalável para cada
ponto fora de controle é improvável obter sucesso. Achamos que
quando muitas amostras iniciais caem fora de controle contra os
limites teste, é melhor concentrar sobre um padrão formado por
esses pontos. Tais padrões quase sempre existirão. Geralmente, a
causa assinalável associada com o padrão de pontos fora de controle
é fácil de identificar. A remoção desse problema geralmente resulta
em uma melhoria no processo (principal).
Revisão dos Limites de Controle e Linhas Centrais
O uso eficaz de um gráfico de controle requer revisão periódica dos
limites de controle e das linhas centrais. Alguns práticos estabelecem
períodos regulares para rever e fazer revisões dos limites dos gráficos
de controle tais como toda semana, todo mês ou a cada 25, 50 ou
100 amostras. Ao revisar limites de controle devemos lembrar que é
altamente desejável usar pelo menos 25 amostras ou subgrupos
(algumas autoridades recomendam de 200 a 300 observações
individuais) no cálculo dos limites de controle.
Algumas vezes o usuário substitui a linha central do gráfico pelo
valor alvo, digamos . Se o gráfico exibe controle pode ser útil
deslocar a média do processo para o valor desejado, particularmente
em processos onde a média pode ser mudada por um simples ajuste
de uma variável manipulável do processo. Se a média não é
facilmente influenciada por um simples ajuste do processo, então é
provável ser uma função desconhecida e complexa de várias
variáveis do processo e um valor alvo pode não ser útil, assim
como o uso daquele valor poderia resultar em muitos pontos fora dos
limites de controle. Nesses casos, não saberíamos necessariamente
se o ponto estava realmente associado à uma causa assinalável ou se
foi plotado fora dos limites por causa de uma má escolha para a linha
central.
Quando o gráfico está fora de controle, eliminamos os pontos fora
de controle e recalculamos um valor revisado de . Esse valor é
então usado para determinar novos limites e linha central do gráfico
e novos limites no gráfico . Temos assim limites mais severos
(apertados) em ambos os gráficos, tornando-os consistentes (com um
desvio padrão consistente) com o uso do revisado na relação .
Essa estimativa de poderia ser usada como base das análises
preliminares da capacidade do processo.
Exemplo 4.1.1: Para aplicação dos gráficos e consideremos
dados correspondentes ao comprimento de peças em subgrupos de
tamanho 5.
Tabela 4.1.1: Dados amostrais de comprimentos de peças.
X1 X2 X3 X4 X5 R
0,65 0,7 0,65 0,65 0,85 0,7 0,2
0,75 0,85 0,75 0,85 0,65 0,77 0,2
0,75 0,8 0,8 0,7 0,75 0,76 0,1
0,6 0,7 0,7 0,75 0,65 0,68 0,15
0,7 0,75 0,65 0,85 0,8 0,75 0,2
0,6 0,75 0,75 0,85 0,7 0,73 0,25
0,75 0,8 0,65 0,75 0,7 0,73 0,15
0,6 0,7 0,8 0,75 0,75 0,72 0,2
0,65 0,8 0,85 0,85 0,75 0,78 0,2
0,6 0,7 0,6 0,8 0,65 0,67 0,2
0,8 0,75 0,7 0,8 0,7 0,75 0,1
0,85 0,75 0,85 0,65 0,7 0,76 0,2
0,7 0,7 0,75 0,75 0,7 0,72 0,05
0,65 0,7 0,85 0,75 0,6 0,71 0,25
0,9 0,8 0,8 0,75 0,85 0,82 0,15
0,75 0,8 0,75 0,8 0,65 0,75 0,15
0,75 0,7 0,85 0,7 0,8 0,76 0,15
0,75 0,7 0,6 0,7 0,6 0,67 0,15
0,65 0,65 0,85 0,65 0,7 0,7 0,2
0,6 0,6 0,65 0,6 0,65 0,62 0,05
0,5 0,55 0,65 0,8 0,8 0,66 0,3
0,6 0,8 0,65 0,65 0,75 0,69 0,2
0,8 0,65 0,75 0,65 0,65 0,7 0,15
0,65 0,6 0,6 0,6 0,7 0,63 0,1
0,65 0,7 0,7 0,6 0,65 0,66 0,1
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Etapas para a coleta das amostras e análise dos dados:
1. Seleção da característica de qualidade do processo, focada no
cliente.
2. Registro das observações obtidas seguindo os critérios de
amostragem racional. No exemplo foram escolhidos 5 itens por
hora, durante m = 25 horas.
3. Cálculo da média amostral e da amplitude amostral , para
cada i = 1, 2, …, m. Os valores de e de acompanham os
valores em cada coluna.
4. Cálculo da média das médias amostrais e da média das
amplitudes amostrais, os quais são indicados, respectivamente,
por e .
Para os dados do nosso exemplo temos:
m = Número de amostras = 25
n = Tamanho das amostras = 5
Vamos agora calcular os limites de controle. No Apêndice se
encontram os valores tabelados das constantes necessárias para o
cálculo, assim para n = 5 temos, A2 = 0,577; D3 = 0 e D4 = 2,114.
Aplicando as fórmulas, obtemos:
Para a média:
Para a amplitude:
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse
exemplo.
Figura 4.1.1: Gráficos e .
O gráfico das amplitudes ( ) se encontra sob controle estatístico. No
entanto, o gráfico apresenta um ponto a mais de 3 desvios padrão
da linha central, indicando uma possível causa especial de variação.
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
Fase II: Operação dos gráficos e
Uma vez que limites de controle confiáveis são estabelecidos, usamos
o gráfico de controle para monitorar a produção futura. Esta é a
chamada Fase II do uso do gráfico de controle.
Observando a Figura 4.1.1 notamos que os gráficos de controle
indicam que o processo está sob controle, até o valor da amostra
15 ser plotado. Uma vez que esse ponto cai acima do limite superior
de controle, poderíamos suspeitar que uma causa assinalável tenha
ocorrido naquele instante ou antes. O padrão geral de pontos no
gráfico de cerca de 38 subgrupos subsequentes é um indicativo de
um deslocamento na média do processo.
Uma vez que o gráfico de controle é estabelecido e está sendo usado
no monitoramento online do processo, muitas vezes tentaríamos usar
as regras de sensibilidade (oito testes de não aleatoriedade ou as
regras da Western Electric) para acelerar a detecção de mudanças.
Entretanto, desencorajamos o uso rotineiro dessas regras de
sensibilidade para o monitoramento online de um processo estável
porque elas fazem aumentar fortemente a ocorrência de falsos
alarmes.
Ao examinarmos os dados de um gráfico de controle é algumas vezes
útil construir um gráfico de corridas (run chart) das observações
individuais de cada amostra. Esse gráfico é algumas vezes chamado
de tolerance chart ou tier diagram e pode revelar algum padrão
nos dados ou mesmo mostrar que um valor particular de ou foi
produzido por uma ou duas observações incomuns na amostra. Um
boxplot é geralmente uma maneira muito simples de construir o tier
diagram.
Objetivos e interpretação dos gráficos e
A função dos gráficos é a de identificar/detectar qualquer evidência
de que a média do processo e sua dispersão não estejam operando a
níveis estáveis.
Se um ou mais pontos estão fora dos limites de controle (seja no
gráfico ou ) ou outro padrão de não aleatoriedade, existe um sinal
de alerta (ou indicador) de que o processo não está sob controle
estatístico.
Um dos objetivos da aplicação dos gráficos de controle é testar se um
processo, não conhecido, está sob controle estatístico ou não e, caso
o processo seja diagnosticado "fora de controle", orientar as ações
para levar o processo ao estado de controle. Para atingir tais
objetivos se procede da seguinte maneira:
1. Dispostos todos os pontos correspondentes às médias
amostrais e às amplitudes amostrais nos respectivos gráficos e
não existindo nenhum padrão de não aleatoriedade, o processo
é considerado "sob controle".
2. Se algum ponto fora dos limites de controle ou qualquer outro
padrão de não aleatoriedade é encontrado, consideramos que
causas especiais de variação estão presentes. Estas causas
deverão ser procuradas e corrigidas. Depois de corrigidas as
causas que determinam o padrão de não aleatoriedade, novos
limites e novas linhas centrais são calculadas, eliminando para
este cálculo os elementos da amostra que determinam o
padrão de não aleatoriedade. Este processo deverá ser
repetido, interativamente, até que nenhum padrão de não
aleatoriedade seja encontrado. Neste momento consideramos
que o processo atingiu o estado de controle. Com o processo
em estado de controle podemos aplicar os gráficos como
instrumento para monitorar o processo e realizar melhorias
contínuas.
Definindo Sinais "fora de controle"
A presença de um ou mais pontos além dos limites de controle é a
primeira evidência de uma causa especial de variação no processo.
Um ponto fora dos limites de controle em muitos casos significa que
um ou mais dos pontos seguintes ocorreram:
O limite de controle ou o ponto no gráfico pode ter sido calculado
errado ou plotado de maneira duvidosa;
O sistema de medição foi alterado, isto é, um avaliador diferente ou
instrumento;
O sistema de medição não discrimina de maneira apropriada.
Existem muitos critérios para identificar causas especiais. Os mais
usados serão discutidos a seguir. A decisão de qual critério usar
depende do processo que está sendo estudado/controlado. Em geral,
começamos de forma simples, apenas avaliamos pontos fora das
linhas de controle. Conforme ganhamos experiência sobre o processo
podemos aumentar os critérios para determinar mais causas
especiais de variação
Nota 1: Com exceção feita ao primeiro critério, os números
associados com os critérios não estabelecem uma ordem de uso. A
determinação de qual critério usar depende das características do
processo e das causas especiais e prioridades com o processo.
Nota 2: Devemos ter cuidado ao se aplicar muitos critérios, exceto
naqueles em que fez sentido o uso de determinado critério.
Portanto, concluiremos que um processo está fora de controle se um
ou mais dos critérios listados abaixo forem encontrados nos gráficos
de controle. Os critérios são:
1 ponto mais do que 3 desvios padrão a partir da linha central;
7 pontos consecutivos no mesmo lado da linha central;
6 pontos consecutivos, todos aumentando ou diminuindo;
14 pontos consecutivos, alternando acima e abaixo;
2 de 3 pontos consecutivos maior que 2 desvios padrão a partir da
linha central (mesmo lado);
4 de 5 pontos consecutivos maior que 1 desvio padrão a partir da
linha central (mesmo lado);
15 pontos consecutivos dentro de 1 desvio padrão da linha central
(qualquer lado);
8 pontos consecutivos maior que 1 desvio padrão a partir da linha
central (qualquer lado).
A seguir serão ilustrados alguns exemplos dos testes.
Figura 4.1.2: Exemplo de 1 ponto mais do que 3 desvios padrão da
linha central.
Figura 4.1.3: Exemplo de 7 pontos em sequência a partir da linha
central.
Figura 4.1.4: Exemplo de 14 pontos em sequência alternando-se ao
longo da linha central.
Figura 4.1.5: Exemplo de 2 de 3 pontos consecutivos, do mesmo lado
da LC, maiores que 2 desvios
padrão.
Figura 4.1.6: Exemplo de 7 pontos, em linha, crescentes.
A Função Característica de Operação
A habilidade dos gráficos e de detectar deslocamentos na
qualidade do processo é descrita por suas curvas características de
operação (CCO). A seguir apresentamos as CCO para gráficos usados
para monitorar a fase II de um processo.
Considere a CCO para um gráfico com o desvio padrão conhecido
e constante. Se a média desloca-se do valor sob controle, digamos
para outro valor a probabilidade de não detectar esse
deslocamento na primeira amostra subsequente ou risco é dada por
Uma vez que e os limites superior e inferior de controle
são
podemos reescrever a equação 4.1.1 como
em que denota a função distribuição acumulada normal padrão.
Com isso, temos
Para ilustrar a equação 4.1.2 vamos supor um gráfico com L = 3 (os
limites usuais três sigma) e tamanho de amostra n=5. Queremos
determinar a probabilidade de detectar um deslocamento para
na primeira amostra seguinte ao deslocamento. Então,
desde que L=3, k=2 e n=5 temos
Este é o risco ou a probabilidade de não detectar o deslocamento.
Dessa forma, a probabilidade que esse deslocamento seja detectado
na primeira amostra subsequente é dada por
Para construir a CCO para o gráfico devemos plotar o risco contra
a magnitude do deslocamento que queremos detectar, expresso em
unidades (k) do desvio padrão, para vários tamanhos de amostra n.
Essas probabilidades podem ser calculadas diretamente da
equação 4.1.2.
Exemplo 4.1.2: Consideremos L=3, n variando de 2 a 10 e
diferentes valores para k obtemos as CCO apresentadas na Figura
4.1.7.
Figura 4.1.7: CCO para o gráfico com limites 3-sigma.
Tabela 4.1.2: Valores de para diferentes valores de k e n.
A Figura 4.1.7 indica que para tamanhos de amostras típicos de
quatro, cinco e seis o gráfico não é particularmente eficiente em
detectar um deslocamento pequeno (da ordem de ou menos) na
primeira amostra após deslocamento. Por exemplo, se o
deslocamento é de e n=5, então da Figura 4.1.7 temos que
aproximadamente. Assim, a probabilidade de que o
deslocamento seja detectado na primeira amostra é
Entretanto, a probabilidade de que o deslocamento seja detectado na
segunda amostra é enquanto que a
probabilidade de que ele seja detectado na terceira amostra é
. Assim, a probabilidade de que o
deslocamento seja detectado na -ésima amostra subsequente é
simplesmente ( ) vezes a probabilidade de não se detectar o
deslocamento em cada uma das amostras iniciais, ou
Em geral, o número esperado de amostras tomadas antes que o
deslocamento seja detectado é simplesmente o average run length
(comprimento médio das corridas) ou
Portanto, no nosso exemplo temos
Em outras palavras, o número esperado de amostras tomadas para
detectar o deslocamento de com n=5 é 4.
A discussão acima fornece um argumento que dá suporte para o uso
de amostras de tamanhos pequenos para o gráfico . Muito embora
tamanhos pequenos de amostras sempre resultam em um risco
relativamente grande, uma vez que as amostras são coletadas e
testadas periodicamente existe uma boa chance de que o
deslocamento seja detectado razoavelmente rápido, talvez não na
primeira amostra seguinte ao deslocamento.
CCO para o gráfico com limites
Para construir a CCO para o gráfico utilizamos a distribuição da
amplitude relativa Suponhamos que o valor do desvio padrão
do processo original seja Então, a CCO descreve a probabilidade de
não detectar um deslocamento para um novo valor de digamos
na primeira amostra subsequente ao deslocamento. Contudo,
para determinarmos a chance de que tal deslocamento seja
apanhado pelo gráfico em uma única amostra, devemos calcular a
probabilidade de que uma amostra (por exemplo de cinco itens)
venha a ter uma amplitude menor ou igual ao LSC (limite superior de
controle). Assim, basta calcular
em que e uma constante tabelada no Apêndice.
A probabilidade de que seja menor ou igual ao LSC é a mesma de
que seja menor ou igual a ou seja,
Podemos notar que para as CCO apresentam probabilidades
muito próximas de 1 para uma vez que nesses casos não há
limite inferior. Dessa forma, a probabilidade de não detectar um
deslocamento é dada pela equação 4.1.3. Para o gráfico com
limites tem um limite inferior e então é calculado como
Portanto, com os cálculos apresentados acima obtemos as CCO's para
o gráfico para n variando de 2 a 10, como mostra a Figura 4.1.8.
Figura 4.1.8: CCO para o gráfico com limites 3-sigma.
Tabela 4.1.3: Valores de para diferentes valores de k e n.
Observando a Figura 4.1.8 podemos notar que o gráfico não é muito
eficiente para detectar deslocamentos do processo para tamanhos
pequenos de amostras. Por exemplo, se o desvio padrão do processo
dobra (isto é, ), que é um deslocamento razoavelmente
grande, então amostras de tamanho 5 têm somente cerca de 40% de
chance de detectar esse deslocamento em cada uma das amostras
subsequentes. Muitos engenheiros da qualidade dizem que o gráfico
é insensível para deslocamentos pequenos ou moderados para os
usuais subgrupos de tamanhos n=4, 5 ou 6. Se n > 10 ou 12, o
gráfico deveria ser usado ao invés do gráfico
As CCO's das Figuras 4.1.7 e 4.1.8 assumem que os gráficos e são
usados para monitorar processos online, isto é, monitorar processo na
fase II. É ocasionalmente útil estudar a performance estatística de um
gráfico usado para analisar dados do passado (fase I). Isto pode dar
alguma indicação de como o número de subgrupos preliminares
usados para estabelecer o gráfico de controle afeta a habilidade do
gráfico em detectar condições de fora de controle que pudesse existir
quando os dados foram coletados. É de tais estudos analíticos, assim
como da experiência prática que a recomendação para usar cerca de
20 a 25 subgrupos preliminares para estabelecer os gráficos e faz
sentido.
Average Run Length (ARL) para o gráfico
O Average Run Length é uma medida de equilíbrio do erro de Tipo I,
que representa o controle excessivo ou alarme falso ou então do erro
de Tipo II, que é o controle inadequado. É representado pelo número
de amostras esperada de subgrupos entre os sinais "fora de
controle". O Average Run Length pode ser expresso como
ou
para o ARL "sob controle", e
para o ARL "fora de controle".
Esses resultados são realmente intuitivos. Se as observações plotadas
no gráfico de controle são independentes, então o número de pontos
que devem ser plotados até o primeiro ponto exceder os limites de
controle é uma variável aleatória geométrica com parâmetro p. A
média dessa distribuição é simplesmente 1/p, que é o comprimento
médio das corridas (average run length).
Uma vez que é relativamente fácil desenvolver uma expressão geral
de para o gráfico detectar um deslocamento na média de
(equação 4.1.2), então não é difícil construir um conjunto de curvas
ARL para o gráfico A Figura 4.1.9 apresenta as curvas ARL para
amostras de tamanhos n=2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10 para o gráfico
sendo o ARL dado em termos do número esperado de amostras
tomadas para detectar o deslocamento. Para ilustrar o uso da Figura
4.1.9 suponha que queremos detectar um deslocamento de
usando uma amostra de tamanho n=3, então o número médio de
amostras requeridas será Note também que se quiséssemos
reduzir o para aproximadamente 1 deveríamos aumentar o
tamanho da amostra para n=16.
Figura 4.1.9: Average Run Length (amostras) para o gráfico com
limites 3-sigma quando a média do processo desloca-se em
Tabela 4.1.4: Valores de ARL para diferentes valores de k e n.
Os ARL's são objetos de algum criticismo como medidas de
performance para gráficos de controle. Notamos que a distribuição do
comprimento de corrida para um gráfico de controle de Shewhart é
geométrica e que ela pode ser uma distribuição muito assimétrica, tal
que a média (isto é, o ARL) pode não ser a melhor medida de um
típico comprimento de corrida. Há outra questão referente ao ARL
relacionada ao fato de que os cálculos para um gráfico de controle
específico são geralmente baseados em estimativas dos parâmetros
do processo. Isto resulta em inflação de ambos e Por
exemplo, suponha que a linha central do gráfico seja estimada
perfeitamente mas o desvio padrão do processo seja superestimado
em 10%. Isto resultaria em consideravelmente mais
afastado do valor "teórico" ou nominal de 370. Agora, com um
processo normalmente distribuído, de maneira análoga vamos
subestimar o desvio padrão do processo em 10%, o que resulta em
um um valor consideravelmente menor do que 370. A
média é então (268+517)/2=392,5 , sugerindo que erros ao estimar o
desvio padrão do processo resulta em ARL's superestimados.
Duas outras medidas de performance baseadas no ARL são algumas
vezes de interesse. Uma delas é o tempo médio até o sinal, dado pelo
número de períodos de tempo que ocorre até que um sinal seja
gerado no gráfico de controle. Se amostras são tomadas em
intervalos de tempo h (em horas), então o tempo médio até o sinal
ou ATS (average time to signal) é dado por
Pode também ser útil expressar o ARL em termos do número
esperado de unidades individuais amostradas - digamos I - ao invés
do número de amostras tomadas para detectar um deslocamento. Se
o tamanho da amostra é n, a relação entre I e ARL é dada por
A Figura 4.1.10 apresenta um conjunto de curvas que descrevem o
número esperado de unidades individuais (I) que devem ser
amostradas para o gráfico para detectar um deslocamento de
Note que para detectar um deslocamento de por exemplo, um
gráfico com n=16 requer que aproximadamente 16 unidades sejam
amostradas, sendo que se o tamanho da amostra fosse n=3 ,
somente cerca de 9 unidades seria requerida, em média.
Figura 4.1.10: Average Run Length (unidades individuais) para o
gráfico com limites 3-sigma quando a média do processo desloca-se
em
Tabela 4.1.5: Valores de I (unidades individuais) para diferentes
valores de k e n.
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
4.2 - Gráficos Média e Desvio Padrão
Como dito na seção anterior, na prática, geralmente não conhecemos
μ e σ, contudo, elas são estimadas à partir de amostras preliminares
tomadas em subgrupos de pelo menos 20 a 25 amostras.
Suponhamos que temos disponível m amostras, com cada uma
contendo n observações sobre a característica da qualidade. Nas
aplicações, o número de observações n é pequeno e geralmente
resultam à partir da construção de subgrupos racionais, em que os
custos de amostragem e de inspecção associadas com as medições
das variáveis são altas. Com isso, nestes casos a média e a
variância são estimadores não viciados para a média populacional
e variância populacional ou seja, e Porém, neste
tipo de situação, o desvio padrão é um estimador viciado para o
desvio padrão populacional (para mais detalhes consulte o livro de
Montgomery, D.C. (2001)). Assim, seu valor esperado é dado por:
Portanto, obtemos que o estimador não viciado para o desvio padrão
é dada por:
Para o gráfico da média , tomamos as médias de cada
amostra, e com isso temos que o melhor estimador de para o
processo da média é dada por:
que é a linha central do gráfico Suponhamos que m amostras
preliminares estão disponíveis, cada um de tamanho n, e seja o
desvio padrão da i-ésima amostra . Assim, a média dos m desvios
padrão é dada por:
com um estimador não viciado para o desvio padrão populacional
A seguir, vamos apresentar os principais tópicos para a construção do
gráfico e
A única diferença na aplicação do gráfico e (média e desvio
padrão), ao invés do e é no cálculo da estimativa de .
Estimamos de forma direta, ou seja, através do cálculo do desvio
padrão amostral.
O gráfico e é utilizado quando o tamanho da amostra é grande
(> 10 ou 12). Além disso, o tamanho da amostra ou subgrupo pode
ser variável.
Do ponto de vista prático, a aplicação deste gráfico pode ser inviável
para dados que não são coletados de forma eletrônica, pois o
operador deve calcular os desvios padrão para cada ponto.
Cálculo dos limites de controle
Para a construção dos limites de controle para o gráfico e usamos
o fato de ser o estimador de Assim, os limites de controle para o
gráfico da média são dadas por:
e
Para a construção dos limites de controle para o gráfico
necessitamos do teorema de Cochran. Assim, como consequência
direta deste teorema, obtemos que Logo, a variância de é
dada por:
Com isso, temos que
Portanto, obtemos os limites de controle da seguinte forma:
e
Resumindo temos que:
Para as médias:
Limite superior de controle:
Linha Central:
Limite inferior de controle:
Para os desvios padrão:
Limite superior de controle:
Linha Central:
Limite inferior de controle:
Disposição dos pontos nos gráficos e
Tendo calculado as Linhas Centrais e os Limites Inferiores e
Superiores de Controle para os gráficos e , estamos em condições
de dispor os pontos que representam as médias amostrais (no gráfico
) e os desvios padrão amostrais (no gráfico ), respectivamente.
Para facilitar a análise dos resultados é recomendável colocar ambos
os gráficos um abaixo do outro, e marcar os pontos correspondentes
a uma mesma amostra na mesma reta vertical .
Exemplo 4.2.1: Considere um processo de usinagem de um pino
onde o diâmetro é medido em subgrupos de 10 peças ao longo do
tempo, conforme a Tabela 4.2.1. Vamos construir os gráficos e .
Tabela 4.2.1: Conjunto de dados do diâmetro de pinos.
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 S
9,8323
10,4735
9,5178
10,8361
9,9201
9,6272
10,0284
9,6664
9,3373
10,9362
10,01753
0,553166
9,0219
10,6217
10,6176
11,4604
8,9944
10,1264
10,3556
9,6835
9,9313
10,5404
10,13532
0,761932
10,7431
10,9621
9,4968
10,178,9321
9,6742
10,2471
9,7774
10,0575
10,5816
10,06419
0,616213
10,0543
11,0115
10,4363
11,4068
10,1321
11,3897
9,9963
9,8184
10,4614
10,4651
10,51719
0,570729
9,6915
11,2257
9,8063
10,7478
10,1048
11,1482
10,1624
9,9117
9,9081
10,6442
10,33507
0,563567
9,9209
10,0309
10,5285
10,9878
9,8168
10,1317
10,0633
11,1288
11,2937
9,7451
10,36475
0,57731
9,6343
11,0474
9,8212
11,1468
9,11510,7762
9,7394
10,0534
9,7941
11,6617
10,27895
0,820561
10,2035
10,4941
11,2188
10,515
9,41510,7148
9,5438
10,1777
9,1048
10,4412
10,18287
0,648993
10,6667
10,7832
10,2442
11,6138
10,0163
10,0467
8,9035
10,9109
9,52311,1139
10,38222
0,800261
10,4892
10,6291
10,6905
11,387
10,1746
9,5808
9,6638
11,0216
9,8581
10,6037
10,40984
0,587221
10,6649
11,1688
11,0198
9,8607
9,5741
10,2868
10,139
10,0186
10,6223
11,6381
10,49931
0,643637
10,5682
10,5393
10,1765
10,1989
10,7510,0564
10,9785
10,5446
9,1627
10,2037
10,31788
0,498468
10,8432
9,1263
9,9808
11,2966
9,38511,5448
10,6659
9,9193
10,417
10,9449
10,41238
0,798373
9,6101
9,810,4167
10,4374
9,5798
10,3382
9,9084
10,0147
9,7589,9967
9,9860,3185
29
10,1325
10,8271
10,507
10,4371
10,8779
10,8975
8,9913
10,1882
10,5538
10,3392
10,37516
0,557092
10,3702
11,2328
9,7624
10,4681
9,9547
9,7824
9,7726
10,6453
9,8423
10,868
10,26988
0,527034
9,5008
9,5963
10,349
12,0111
10,1694
10,877
9,8602
9,7677
9,8443
11,1214
10,30972
0,800857
9,8528
10,0426
10,0269
10,7828
10,1054
9,9032
10,2323
10,7983
9,6603
10,9406
10,23452
0,447069
10,4005
10,7238
11,0019
10,4417
10,2053
10,0774
9,7682
9,7861
10,2386
10,310,29435
0,38171
9,7635
11,202
9,5674
10,1705
9,7851
10,3353
10,2331
10,3768
10,8271
10,4101
10,26709
0,495623
10,3412
10,1655
10,0494
11,4595
10,4515
10,326
10,8081
9,8483
9,7066
9,7909
10,2947
0,529558
10,2931
9,9962
9,7957
10,759
10,9442
10,3623
9,7833
9,00611,1923
10,1037
10,22358
0,640656
10,2808
10,8858
10,2942
10,912
10,8164
9,8223
9,8758
9,1255
9,7107
9,8788
10,16023
0,587055
9,8984
11,0424
10,3988
11,0127
9,2655
10,2082
9,8238
9,8925
10,3074
9,9735
10,18232
0,544646
9,4126
11,9882
9,3897
10,9499
10,1394
9,7375
10,0704
9,9912
9,9054
10,9421
10,25264
0,811333
10,2554
9,6405
10,6678
10,6074
9,7188
11,1229
9,6877
10,8275
8,97611,1306
10,26346
0,727579
9,76311,4587
10,5735
10,3049
10,5277
11,0722
9,8399
9,6746
9,7708
10,1013
10,30866
0,60328
10,939
10,3562
10,7339
11,1043
10,0477
10,531
11,0688
9,80210,2629
10,2776
10,51234
0,441427
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
1. A seleção da característica de qualidade do processo é focada
no cliente.
2. Registro das observações obtidas segue os critérios de
amostragem racional. No exemplo foram escolhidos 10 itens
por dia durante m = 28 dias.
3. Cálculo da média amostral e do desvio padrão , para cada i
= 1, 2, …, m das m amostras escolhidas. Os valores de e de
estão dispostos nas duas últimas colunas da tabela.
4. Cálculo da média das médias amostrais e da média dos desvios
padrão amostrais, os quais são indicados, respectivamente, por
e .
Para os nossos dados temos:
Número de amostras: m = 28
Tamanho das amostras: n = 10
Vamos agora calcular os limites de controle. No Apêndice podemos
encontrar os valores tabelados das constantes necessárias para o
cálculo, assim para n = 10 temos, A3 = 0,975; B3 = 0,284; B4 =
1,716.
Aplicando as fórmulas, obtemos:
Para a média:
Para o desvio padrão:
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse
exemplo.
Figura 4.2.1: Gráficos e .
Podemos notar nos gráficos que todos os pontos estão dispostos
dentro dos limites de controle e além disso, apresentam
aleatoriedade o que indica que o processo está sob controle. Porém,
no gráfico de podemos verificar um período de variação aleatória
seguido de um período com pouca variação aleatória, o que indica por
exemplo, que algo relacionado a máquina pode ter ocorrido neste
período.
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
A Função Característica de Operação
Como já vimos no estudo das curvas características de operação na
seção anterior - Gráficos Média e Amplitude, o gráfico é
relativamente insensível diante de deslocamentos pequenos ou
moderados para tamanhos de amostra pequenos. Dessa forma, em
muitas situações práticas em que há necessidade de um controle
mais severo da variabilidade do processo, tamanhos de amostras
moderadamente grandes são necessários e então nesses casos o
gráfico deve ser usado.
As CCO's para o gráfico são as mesmas apresentadas na Seção
anterior (Função Característica de Operação). Portanto, basta
calcular as CCO's para o gráfico em que a probabilidade de não
detectar um deslocamento para um novo valor de é dada por
em que e uma constante tabelada no
Apêndice.
Entretanto,
E ainda,
sendo : distribuição qui-quadrado com (n-1) graus de liberdade.
Logo,
Podemos notar que para o gráfico é unilateral, ou seja, sem
limite inferior de controle. Dessa forma, a probabilidade de não
detectar um deslocamento é dada pela equação (1). Para o
gráfico tem limite inferior e superior e com isso, é calculado como
Na Figura 4.2.2 apresentamos as CCO's para o gráfico para n
variando de 2 a 10 e diferentes valores de k.
Figura 4.2.2: CCO para o gráfico com limites 3-sigma.
Tabela 4.2.2: Valores de para diferentes valores de k e n.
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
4.3 - Gráficos para Valores Individuais e Amplitudes Móveis
Há muitas situações onde o tamanho amostral usado para o controle
do processo é n = 1. Assim, por exemplo, na fabricação de aço,
celulose e outros elementos químicos, o controle do processo é
realizado retirando-se amostras de uma unidade para se medir por
exemplo PH, viscosidade etc.
Como não é possível estimar a variabilidade através da amplitude ou
do desvio padrão de cada amostra (eles não estão definidos para
amostras de tamanho 1), usamos como estimativa da variabilidade a
amplitude móvel de duas (ou mais) observações sucessivas.
Cálculo dos limites de controle para os gráficos I-MR
Para o Cálculo dos Limites de Controle usaremos as seguintes
fórmulas:
Para os valores individuais (I):
Para as amplitudes móveis (MR):
em que
= Média das Amplitudes Móveis =
para i = 1, 2, ..., m
Exemplo 4.3.1: Vamos construir os gráficos I-MR utilizando os
dados da Tabela 4.3.1.
Tabela 4.3.1: Dados de viscosidade
Lote Viscosidade Amplitude Móvel
1 33,75 -
2 33,05 0,7
3 34 0,95
4 33,81 0,19
5 33,46 0,35
6 34,02 0,56
7 33,68 0,34
8 33,27 0,41
9 33,49 0,22
10 33,2 0,29
11 33,62 0,42
12 33 0,62
13 33,12 0,12
14 34,84 1,72
15 33,79 1,05
16 33,85 0,06
17 34,05 0,2
18 34,02 0,03
19 33,89 0,13
20 34,12 0,23
21 34,1 0,02
22 33,99 0,11
23 34,11 0,12
= 33,75 = 0,40
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Antes de construirmos os gráficos I-MR é importante realizamos um
teste de normalidade para os dados, com isso não corremos o risco
de encontrar resultados distorcidos.
Como o p-valor associado a estatística de Anderson-Darling é maior
do que 0,05, dizemos que os dados seguem distribuição normal.
Dessa forma, podemos construir os gráficos I-MR para os dados do
nosso exemplo.
OBS.: Caso os dados não sejam normais podemos utilizar a
transformação de Box-Cox com o objetivo de encontrar
normalidade. Se, mesmo transformados os dados não forem normais
então uma opção é tirar a média móvel de cada duas observações e
trabalhar com esses novos dados, pois a normalidade nesse caso é
importante.
Utilizando o Apêndice obtemos os valores tabelados das constantes
necessárias para o cálculo, assim para n = 2 temos, d2=1,128; D3 =
0; D4 = 3,267 e com o valor da constante d2 obtemos E2 = 3/d2 =
2,6596.
Aplicando as fórmulas obtemos:
Para os valores individuais (I):
Para as amplitudes móveis (MR):
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse
exemplo.
Figura 4.3.1: Gráficos I-MR.
Podemos observar em ambos os gráficos que existe um ponto fora
dos limites de controle. Notamos também que estes pontos
desencadearam uma sequência nos valores médios observados em
seguida, indicando a presença de uma causa especial de variação.
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
Exemplo 4.3.2: Neste exemplo vamos realizar um estudo de CEP
usando as cartas de controle I-MR para dados referentes a gramatura
de papéis.
Tabela 4.3.2: Dados de gramatura de papéis.
Lote Gramatura (g/m2) Amplitude Móvel
1 88,20 -
2 88,90 0,70
3 90,50 1,60
4 90,30 0,20
5 90,00 0,30
6 90,20 0,20
7 91,20 1,00
8 91,00 0,20
9 91,50 0,50
10 91,40 0,10
11 91,30 0,10
12 90,20 1,10
13 91,40 1,20
14 89,90 1,50
15 90,20 0,30
16 90,10 0,10
17 90,80 0,70
18 91,40 0,60
19 91,30 0,10
20 89,00 2,30
21 90,70 1,70
22 89,50 1,20
23 91,20 1,70
24 90,50 0,70
25 90,60 0,10
= 90,45 = 0,75833
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Vamos verificar a normalidade dos dados através do teste abaixo.
Como o p-valor associado a estatística de Anderson-Darling é maior
do que 0,05, podemos dizer que os dados seguem distribuição
normal.
Dessa forma, podemos construir os gráficos I-MR para os dados do
nosso exemplo.
Inicialmente calculamos os valores para e .
Utilizando o Apêndice temos, para n = 2, d2 = 1,128; E2 = 3/d2 =
2,6595; D3 = 0; D4 = 3,267.
Aplicando as fórmulas obtemos:
Para os valores individuais (I):
Para as amplitudes móveis (MR):
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse
exemplo.
Figura 4.3.2: Gráficos I-MR.
Verificamos no gráfico de amplitude móvel que todos os valores estão
dentro dos limites de controle e apresentam um corportamento
aleatório, indicando controle do processo estatístico. Porém, no
gráfico de valores individuais a primeira observação se encontra fora
do limite inferior de controle, sendo que os pontos subsequentes
apresentam variação aleatória, o que pode indicar a presença de uma
causa especial de variação no processo.
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
4.4 - Gráficos de Valores Individuais com variação entre e dentro
dos subgrupos
Os gráficos de valores individuais com variação entre e dentro dos
subgrupos são utilizados nos casos em que medimos a mesma
característica da peça ou produto em diversos pontos. Neste caso,
tomamos uma peça ou produto, a cada unidade de tempo (exemplo,
a cada uma hora), e medimos uma característica da qualidade
(exemplo, diâmetro) em diversos pontos. Assim, aplicamos:
Um gráfico para valores individuais (média das medições de cada
peça é tratada como um valor individual);
Um gráfico para amplitudes móveis (variação entre as médias);
Um gráfico R ou S (variação dentro de cada peça).
Quando coletamos dados em subgrupos, erros aleatórios podem não
ser a única fonte de variação. Por exemplo, se coletamos 5 peças a
cada hora a única variabilidade dentro do subgrupo é devida ao erro
aleatório. Ao longo do tempo, o processo pode mudar ou variar tal
que a próxima amostra de 5 cinco peças pode ser diferente da
amostra anterior. Sob estas condições, a variação total do processo é
devido ao erro aleatório e à variação entre as amostras. A variação
dentro de cada amostra também pode contribuir para a variação total
do processo.
Suponha que amostramos uma peça a cada hora e medimos 5
regiões desta mesma peça. Enquanto as peças podem variar hora a
hora, as medidas tomadas nas 5 regiões podem também ser
consistentemente diferentes em todas as peças. Esta variação devido
à região não é explicada, o desvio-padrão amostral dentro não difere
muito da estimativa do erro aleatório, mas na realidade a estimativa
do erro aleatório é o efeito da região. Este resultado em um desvio-
padrão que é muito grande causa limites de controle que são muito
"largos" com a maioria dos pontos do gráfico de controle próximos à
linha central.
Exemplo 4.4.1: Consideremos uma placa que compõe uma
determinada embreagem. É importante verificar o balanceamento
dessa placa. Através de uma máquina balanceadora determinamos
um ponto de acumulação "excessivo" de massa. A partir desse ponto
tomamos 3 pontos no sentido anti-horário e 4 pontos no sentido
horário (conforme Figura 4.4.2), totalizando 8 pontos. A medição da
espessura QD é feita no ponto a 0° e a espessura QND é feita no
ponto a 180° do primeiro. O segundo ponto é tomado a partir do
primeiro a 80° no sentido horário, no qual é medida a espessura QD e
a espessura QND correspondente é feita no ponto a 180° deste.
Analogamente medimos a 90° e 270°, assim como a 160° e 340°. Isto
é realizado para cada uma das 25 peças selecionadas. Nesse caso
analisamos a diferença entre as espessuras QD e QND, conforme
mostra a Tabela 4.4.1.
Figura 4.4.1: Exemplo das medições em cada peça.
Figura 4.4.2: Medições da peça.
A seguir temos os dados de cada peça amostrada e os respectivos
cálculos para os gráficos de controle.
Tabela 4.4.1: Dados de cada peça amostrada.
Peças QND QD Ângulo QND Ângulo QD QND-QD
1 2,316 1,882 180 0 -0,434
1 2,687 1,99 260 80 -0,697
1 2,429 1,427 270 90 -1,002
1 2,201 2,048 340 160 -0,153
2 1,87 1,906 180 0 0,036
2 1,959 2,072 260 80 0,113
2 2,168 2,097 270 90 -0,071
2 2,432 2,457 340 160 0,025
3 1,543 1,605 180 0 0,062
3 1,086 1,554 260 80 0,468
3 1,246 1,677 270 90 0,431
3 1,344 1,661 340 160 0,317
25 1,356 1,685 260 80 0,329
25 1,374 2,756 270 90 1,382
25 1,388 2,612 340 160 1,224
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Na tabela abaixo temos calculado para cada amostra sua respectiva
média, amplitude móvel, desvio padrão e amplitude amostral.
Amostras Médias Amplitudes Móveis Desvio padrão Amplitudes Amostrais
1 -0,5715 - 0,362918 0,849
2 0,02575 0,59725 0,075451 0,184
3 0,3195 0,29375 0,183300 0,406
4 0,08575 0,23375 0,166752 0,39
5 -0,53825 0,624 0,333951 0,705
6 -0,43425 0,104 0,312888 0,766
7 -0,401 0,03325 0,256792 0,512
8 0,14125 0,54225 0,359694 0,821
9 0,5555 0,41425 0,170087 0,407
10 0,295 0,2605 0,324166 0,653
11 0,07625 0,21875 0,063484 0,135
12 0,05575 0,0205 0,106747 0,223
13 -0,29 0,34575 0,262268 0,589
14 -0,34875 0,05875 0,383962 0,895
15 0,60525 0,954 0,215803 0,482
16 0,5055 0,09975 0,191660 0,448
17 0,6235 0,118 0,120229 0,287
18 0,02475 0,59875 0,011442 0,027
19 -0,1245 0,14925 0,416743 0,901
20 -0,43675 0,31225 0,185922 0,426
21 0,08225 0,519 0,269447 0,604
22 0,11325 0,031 0,272834 0,575
23 -0,284 0,39725 0,270475 0,638
24 0,8155 1,0995 0,307342 0,648
25 0,804 0,0115 0,580126 1,101
Em nosso exemplo temos:
m: número de amostras = 25
n: tamanho das amostras = 4
Assim, utilizando as fórmulas acima obtemos
Cálculo dos limites de controle para os gráficos I-MR-R e I-MR-S (Between-Within)
Há muitas situações onde o tamanho amostral usado para o controle
do processo é n > 1. Assim, estimamos a variabilidade através da
amplitude ou do desvio padrão do subgrupo de cada amostra,
usamos como estimativa da variabilidade a amplitude móvel de duas
(ou mais) médias de observações (amostras) sucessivas.
1. Gráfico de amplitudes móveis: (variação entre as médias
das peças)
Os limites de controle são calculados a seguir:
Utilizando o Apêndice temos D3 = 0 e D4 = 3,267 (para n = 2:
quantidade de valores para o cálculo das amplitudes móveis).
2. Gráfico para valores médios inviduais:
Os limites são dados por:
em que e utilizando o Apêndice temos d2 = 1,128 (para n =
2: quantidade de valores para o cálculo das amplitudes móveis).
3. Gráfico do desvio padrão:
Usaremos inicialmente os desvios padrão amostrais como Medida de
Dispersão. Dessa forma, os limites de controle são dados por:
Utilizando o Apêndice temos B3 = 0 e B4 = 2,266 (para n = 4:
tamanho das amostras).
4. Gráfico da amplitude: (variação dentro de cada peça)
Usaremos as amplitudes amostrais como Medida de Dispersão.
Aplicando as fórmulas obtemos:
Utilizando o Apêndice temos D3 = 0 e D4 = 2,282 (para n = 4:
tamanho das amostras).
Estimativas do desvio padrão: dentro dos subgrupos, entre os subgrupos e total
1. Para os gráficos I-MR-R.
Cálculo do desvio padrão dentro de cada subgrupo
O desvio padrão de cada subgrupo é dado por
em que d2 = 2,059 (para n = 4).
Estimativa do desvio padrão de curto prazo
Usado para estimar o desvio padrão em gráficos de amplitudes
móveis
em que d2 = 1,128 (para n = 2).
Cálculo do desvio padrão entre os subgrupos
O desvio padrão entre os subgrupos é dado por:
em que n = tamanho de cada subgrupo.
Cálculo do desvio padrão entre/dentro de cada subgrupo
2. Para os gráficos I-MR-S.
Cálculo do desvio padrão dentro de cada subgrupo
O desvio padrão de cada subgrupo é dado por:
em que c4 = 0,9213 (para n = 4).
Estimativa do desvio padrão de curto prazo
Usado para estimar o desvio padrão em gráficos de amplitudes
móveis.
em que d2 = 1,128 (para n = 2).
Cálculo do desvio padrão entre os subgrupos
O desvio padrão entre os subgrupos é dado por:
em que n = tamanho de cada subgrupo.
Cálculo do desvio padrão entre/dentro de cada subgrupo
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse
exemplo.
1. Comparativo dos gráficos de Valores Individuais, Amplitudes
Móveis e Amplitudes (I-MR-R).
Figura 4.4.3: Gráficos I-MR-R.
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
2. Comparativo dos gráficos de Valores Individuais, Amplitudes
Móveis e Desvio Padrão (I-MR-S).
Figura 4.4.4: Gráficos I-MR-S.
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
5 - Gráficos de Controle por Atributo
Muitas características da qualidade não podem ser expressas em
termos de valores numéricos. Por exemplo, dizer se uma peça é ou
não defeituosa. Características deste tipo são denominadas atributos.
5.1 - Gráfico p - proporção ou fração de defeituosos
5.2 - Gráfico np - número de defeituosos
5.3 - Gráfico c - número de defeitos por amostra
5.4 - Gráfico u - taxa de defeitos por unidade
5.1 - Gráfico p - proporção ou fração de defeituosos
A fração de defeituosos p se define como o número de itens
defeituosos (não conformes) na amostra dividido pelo número de
itens da amostra. O valor amostral de p registra-se como uma fração
do tamanho do subgrupo.
A fração de defeituosos p poderá estar referida a amostras de
tamanhos fixos n coletadas regularmente, ou também poderá se
referir ao 100% da produção num determinado intervalo de tempo
(por exemplo, uma hora, um dia, etc.). Isso significa que os subgrupos
podem, em princípio, ter tamanho variável. Como consequência da
variabilidade do tamanho amostral os limites de controle também
terão amplitude variável.
A caracterização de um item como defeituoso ou não defeituoso
poderá depender da observação de uma ou de várias características
de qualidade. Neste caso o item poderá ter vários tipos de defeitos, e,
em muitas circunstâncias será relevante a classificação dos defeitos
por importância diferenciada, sugerindo a utilização de gráficos por
demérito.
Assim, podemos construir os gráficos para proporção das seguintes
formas
1. Tamanho amostral constante;
2. Tamanho amostral variável;
3. Com a média amostral ( );
4. Com a média dos defeituosas ( ).
A construção dos gráficos p só é possível se as seguintes condições
forem satisfeitas:
1. Tamanho amostral constante
A Linha Central e os Limites de Controle são determinados, na forma:
2. Tamanho amostral variável
Os limites de controle são (para a i-ésima amostra):
em que ni = tamanho da i-ésima amostra.
3. Com a média amostral ( )
Definimos
em que ni = tamanho da i-ésima amostra e m é o número de
amostras.
Os limites de controle são:
4. Com a média dos defeituosos ( )
Definimos
onde pi = proporção de defeituosos na i-ésima amostra e m é o
número de amostras.
Assim, os limites de controle (de amplitude 3σ ) e linha média são:
Exemplo 5.1.1: Uma fábrica de suco de laranja apresentou os
seguintes dados quanto ao número de latas amassadas (defeituosas),
(ver Tabela 5.1.1). Nesse exemplo temos tamanho da amostra n =
50.
Tabela 5.1.1: Latas amassadas na fábrica de suco de laranja
Amostras Número de Defeituosos (Di) Fração de Defeituosos (pi)
1 12 0,24
2 15 0,30
3 8 0,16
4 10 0,20
5 4 0,08
6 7 0,14
7 16 0,32
8 9 0,18
9 14 0,28
10 10 0,20
11 5 0,10
12 6 0,12
13 17 0,34
14 12 0,24
15 22 0,44
16 8 0,16
17 10 0,20
18 5 0,10
19 13 0,26
20 11 0,22
21 20 0,40
22 18 0,36
23 24 0,48
24 15 0,30
25 9 0,18
26 12 0,24
27 7 0,14
28 13 0,26
29 9 0,18
30 6 0,12
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Notação: Aqui consideraremos ni como sendo o tamanho de cada
amostra e m o número de amostras. Para este exemplo temos ni = 50
para todo i (tamanhos iguais) e m = 30.
Verificação para grandes amostras:
Gráfico p
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse
exemplo.
Figura 5.1.1: Gráfico p.
Verificamos, no gráfico de proporção para refugo, que os pontos 15 e
23 encontram-se fora do limite superior de controle indicando a
existência de causas especiais de variação. Após a análise destes
pontos eles foram retirados da amostras e novos limites de controle
foram calculados.
Com isso, os limites de controle são
Para efetuar o download dos dados sem os pontos 15 e 23 clique
aqui.
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action e o gráfico
sem os pontos 15 e 23, com os limites de controle revisados.
Figura 5.1.2: Gráfico p, com os limites revisados.
Podemos notar que, apesar da retirada dos pontos fora dos limites de
controle e o cálculo dos limites de controle revisados, ainda existe um
ponto fora dos novos limites indicando a presença de causa especial
de variação. Após a tomada de uma ação para a correção dessa
causa especial, novos dados foram coletados e um novo gráfico foi
gerado. Estes novos dados são mostrados na tabela a seguir.
Tabela 5.1.2: Dados adicionais
Amostras Defeituosos Fração de Defeituosos (pi)
31 9 0,18
32 6 0,12
33 12 0,24
34 5 0,1
35 6 0,12
36 4 0,08
37 5 0,1
38 3 0,06
39 7 0,14
40 6 0,12
41 2 0,04
42 4 0,08
43 3 0,06
44 6 0,12
45 5 0,1
46 4 0,08
47 8 0,16
48 5 0,1
49 6 0,12
50 7 0,14
51 5 0,1
52 6 0,12
53 3 0,06
54 4 0,08
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Assim, os limites de controle para os novos dados são
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action.
Figura 5.1.3: Gráfico p, com dados adicionados.
Podemos verificar no gráfico da Figura 5.1.3 que, após a ação sobre a
causa especial de variação seguida da coleta de novos dados o
processo encontra-se sob controle estatístico.
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
Exemplo 5.1.2: Temos a seguir dados sobre defeitos de inclusão de
areia de moldes de eixo-comando.
Tabela 5.1.3: Defeitos de inclusão de areia
Amostras Total Fundido (ni) Defeitos de inclusão (Di)
1 1536 33
2 1536 49
3 1536 31
4 1536 52
5 1536 30
6 1536 26
7 1520 51
8 1488 25
9 1344 41
10 944 18
11 1152 22
12 1152 13
13 1683 13
14 1700 25
15 1700 62
16 1870 15
17 1140 30
18 1152 26
19 1140 4
20 1128 23
21 1152 10
22 1128 6
23 1152 21
24 1152 21
25 1152 7
26 1152 22
27 1152 23
28 1140 16
29 1140 15
30 1128 18
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Notação: Aqui consideraremos ni como sendo o tamanho de cada
amostra e n o número de amostras. Para este exemplo, ni assume
valores diferentes para cada amostra e n = 30.
Gráfico p
Calculamos agora o Limite Superior e o Limite Inferior para a primeira
amostra (Amostra 1) em que ni = 1536.
O mesmo procedimento deve ser feito para todas as outras amostras.
A seguir apresentamos os resultados obtidos pelo Software Action
para todas essas amostras.
Figura 5.1.4: Gráfico p.
Podemos verificar no gráfico da Figura 5.1.4 a existência de vários
pontos fora do limite de controle indicando que o processo não está
sob controle estatístico.
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
5.2 - Gráfico np - número de defeituosos
O número de defeituosos np se define como o número de itens
defeituosos (não conformes) na amostra.
O número de defeituosos np pode estar referido à amostras de
tamanhos fixos n coletadas regularmente ou então a 100% da
produção num determinado intervalo de tempo, como por exemplo,
uma hora, um dia, etc. Isso significa que os subgrupos podem, em
princípio ter tamanho variável. Como consequência da variabilidade
do tamanho amostral os limites de controle também terão amplitude
variável.
A construção dos gráficos np também tem por base a distribuição
binomial, e este gráfico de controle só pode ser construído quando
lidamos com amostras de tamanhos iguais.
Os Limites de Controle são obtidos diretamente da carta p e estão
descritos a seguir:
Exemplo 5.2.1: Ilustraremos a aplicação da carta np com os dados
do Exemplo 5.1.1.
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse
exemplo.
Figura 5.2.1: Gráfico np.
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
5.3 - Gráfico c - número de defeitos por amostra
Dependendo do tipo de produto é mais natural considerar o número
de defeitos por unidade amostral e não o número de itens
defeituosos. Cada unidade pode consistir de vários itens, isto é, ela
pode ser definida como sendo um subgrupo de itens. O essencial é
que nas diferentes unidades amostrais exista a mesma chance de
ocorrerem defeitos.
O gráfico c é empregado considerando o número de defeitos por
subgrupos, quando todos estes subgrupos forem do mesmo tamanho,
isto é, tiverem o mesmo número de itens.
Duas situações onde o gráfico c é tipicamente aplicável:
1. Quando os defeitos estão distribuídos num fluxo mais ou menos
contínuo de algum produto onde poder-se-ia definir o número
médio de defeitos;
2. Quando defeitos de diferentes tipos e origens podem ser
encontrados na unidade amostral.
Os limites de controle são:
em que , sendo que são o número de
defeitos em cada um dos k subgrupos.
Exemplo 5.3.1: A Tabela 5.3.1 apresenta o número de não-
conformidades observadas em 26 amostras sucessivas de 100
circuitos impressos. Note que por comodidade limitou-se em 100 o
número de não-comformidades possíveis, desta forma temos 26
amostras com 516 não-comformidades.
Tabela 5.3.1: Dados dos circuitos impressos.
Amostra Não conformidades Fração de defeituosos
1 21 0,21
2 24 0,24
3 16 0,16
4 12 0,12
5 15 0,15
6 5 0,05
7 28 0,28
8 20 0,2
9 31 0,31
10 25 0,25
11 20 0,2
12 24 0,24
13 16 0,16
14 19 0,19
15 10 0,1
16 17 0,17
17 13 0,13
18 22 0,22
19 18 0,18
20 39 0,39
21 30 0,3
22 24 0,24
23 16 0,16
24 19 0,19
25 17 0,17
26 15 0,15
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Desta forma os limites de controle são dados pela seguinte forma
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse
exemplo.
Figura 5.3.1: Carta de controle.
Após avaliar a carta de controle (Figura 5.3.1), o engenheiro
responsável pelo controle de qualidade do setor constatou que
existem dois pontos fora de controle. Então foi verificado que a
máquina estava descalibrada, foi então proposto que fossem
removidas do conjunto de dados as observações 6 e 20 e revisados os
limites de controle.
Para efetuar o donwload dos dados sem as observações 6 e 20 clique
aqui.
Desta forma temos os limites de controle:
Logo, a carta de controle com os limites de controle ajustados é dada
na Figura 5.3.2.
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action.
Figura 5.3.2: Carta de controle com os limites ajustados.
Retirando as observações 6 e 20 podemos observar que os dados
encontram-se dentro dos limites de controle.
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
5.4 - Gráfico u - taxa de defeitos por unidade
Frequentemente o número de unidades que compõem os subgrupos é
variável. Nesses casos estamos interessados em controlar a taxa de
defeitos por unidade e, o gráfico a ser utilizado será o Gráfico u.
O valor da variável u num subgrupo que contenha ni unidades
amostrais onde sejam encontrados c defeitos, é dado por
Para os gráficos u os limites de controle são:
em que sendo que representam os
números de defeitos e representam os tamanhos dos k
subgrupos.
Apresentaremos no Exemplo 5.4.1 o procedimento de como calcular e
interpretar um caso onde as amostras têm tamanhos diferentes.
Exemplo 5.4.1: Em uma empresa textil as roupas tingidas são
inspecionadas para a ocorrência de defeitos por 50 metros
quadrados. Os dados dos 10 lotes de inspeção estão na Tabela 5.4.1.
Usaremos estes dados para ajustar uma carta de controle para as
não-conformidades por unidades.
Tabela 5.4.1: Dados da inspeção.
LoteQtde metros quadrados
Não-conformidades
(c)
Unidades inspecionadas (n)
Não-conformidades
por unidade (u=c/n)
1 500 14 10 1,4002 400 12 8 1,5003 650 20 13 1,5384 500 11 10 1,1005 475 7 9,5 0,7376 500 10 10 1,0007 600 21 12 1,7508 525 16 10,5 1,5249 600 19 12 1,583
10 625 23 12,5 1,840TOTAL 153 107,5
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Notamos que equivale a razão entre o total de não-conformidades
em relação ao número total de inspeções por unidade. Os limites de
controle serão calculados individualmente em relação ao tamanho da
amostra (ver Tabela 5.4.2).
Os limites de controle para a amostra 1 (Lote 1), considerando
tamanho da amostra ni = 10, são dados por
O cálculo dos limites de controle é análogo para as outras amostras.
Tabela 5.4.2: Limites de controle calculados para cada amostra.
Lote i ni LSC LIC
1 10 2,550486621 0,289513379
2 8 2,683922466 0,156077534
3 13 2,411502357 0,428497643
4 10 2,550486621 0,289513379
5 9,5 2,5798548 0,2601452
6 10 2,550486621 0,289513379
7 12 2,451988372 0,388011628
8 10,5 2,523241976 0,316758024
9 12 2,451988372 0,388011628
10 12,5 2,431137973 0,408862027
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse
exemplo.
Figura 5.4.1: Carta de controle para o exemplo.
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
Exemplo 5.4.2: Consideremos na tabela a seguir o número de não-
conformidades observadas em 26 amostras sucessivas de 100
circuitos impressos. Note que por comodidade limitou-se em 100 o
número de não-comformidades possíveis, desta forma temos 26
amostras com 516 não-comformidades.
Tabela 5.4.3: Dados dos circuitos impressos.
Amostra Não-conformidades
1 21
2 24
3 16
4 12
5 15
6 5
7 28
8 20
9 31
10 25
11 20
12 24
13 16
14 19
15 10
16 17
17 13
18 22
19 18
20 39
21 30
22 24
23 16
24 19
25 17
26 15
TOTAL 516
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Podemos notar que equivale a razão entre o total de não-
conformidades em relação ao número total de inspeções por unidade.
Neste exemplo as 26 amostras têm tamanhos constantes e iguais a
100, ou seja, ni = 100 para todo i.
Com isso, os limites de controle são dados por
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse
exemplo.
Podemos observar que foram detectados dois pontos a mais de 3
desvios padrão da linha central, indicando uma possível causa
especial de variação.
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
6 - Cartas de Controle para Pequenos Lotes
Para evitar custos desnecessários os fabricantes estão produzindo
quantidades menores de modo mais frequente.
Para atingir as eficiências dos processos para pequenos lotes é
essencial que os métodos de CEP possam verificar se o processo está
verdadeiramente sob controle estatístico, ou seja, se ele é previsível
e se
pode detectar variações devido as causas especiais durante esses
pequenos "lotes".
Wheeler (1991) descreve quatro requisitos para um "Estado Ideal" da
operação do processo que é essencial para a concorrência nessa
área:
1. O processo deve ser estável ao longo do tempo.
2. O processo deve ser operado de forma estável e consistente.
3. A meta do processo deve ser definida e mantida no nível
adequado.
4. Os limites naturais do proceso devem estar dentro dos limites
da especificação.
É possível criar cartas de controle efetivas mesmo com quantidades
pequenas de dados. As cartas orientadas para pequenos lotes
permitem que uma única carta seja usada para o controle de vários
produtos. Existem inúmeras variações sobre esse tema. Entre as
cartas para pequenos lotes mais descritivas, estão: a carta nominal
(DNOM) e a carta padronizada e R.
6.1 - Carta Nominal - DNOM
Quando há uma variação comum e constante entre os produtos
podemos usar o DNOM. Essa abordagem se baseia na utilização de
apenas uma carta para o controle dos produtos. Isso porque, os
processos de produção para pequenos lotes de diferentes produtos
podem se caracterizar facilmente em uma única carta pela marcação,
na carta, das diferenças existentes entre a medição do produto e seu
valor alvo.
Sua idéia consiste em codificar os dados obtidos, como desvios, a
partir de um ponto de referência comum: a medida nominal N da
especificação. A base para esse procedimento reside em que, sendo X
a variável gerada na operação e N a sua respectiva medida nominal,
uma constante, então esta codificação de dados somente afeta a
média mas não a amplitude, nem a variância e nem o desvio-padrão.
Admitindo-se que o processo em estudo esteja sob o controle
estatístico e que os diferentes tipos de produtos produzidos tenham
iguais variâncias, se forem empregados os gráficos da média e da
amplitude ( e R), os limites de controle para o gráfico da amplitude,
segundo o CEP convencional, são:
e como a codificação de dados anteriores não afeta a dispersão das
medidas, temos
No gráfico da média, como já visto anteriormente, os limites de
controle do CEP convencional são
ou
Subtraindo-se N de todos os termos da desigualdade anterior temos
e, fazendo-se
segue que
ou ainda,
resultando em
Assim, à medida que as amostras forem sendo coletadas, suas
medidas individuais serão codificadas, conforme (equação 6.1.1), e os
valores de e R serão marcados nos seus respectivos gráficos de
controle.
As seguintes etapas devem ser executadas para a correta utilização
desta técnica em gráficos de controle da média e da amplitude ( e
R):
1. Determinar a medida nominal N do tipo do produto em
produção, a partir da sua especificação de engenharia;
2. Coletar amostras de tamanho n (n > 1) constante;
3. Calcular a média e a amplitude R das amostras;
4. Codificar as médias subtraindo de cada uma delas a medida
nominal N (equação 6.1.2);
5. Repetir as etapas de 1 a 5, segundo a frequência de coleta de
amostras pré-estabelecida, enquanto o mesmo produto estiver
sendo produzido;
6. Quando o equipamento for ajustado para a produção de outro
tipo de produto a única mudança no procedimento será a
determinação da nova medida nominal. Os valores da média
codificada e da amplitude R do novo produto continuam sendo
marcados no mesmo gráfico;
7. Quando houver um número máximo e suficente de amostras
calcular os limites de controle por meio das fórmulas
convencionais, porém empregando as médias codificadas.
Exemplo 6.1.1: Na usinagem bruta de diâmetros externos (eixos)
em torno mecânico foram retiradas 25 amostras, cada uma
constituída de 3 peças, obtendo-se os valores da Tabela 6.1.1.
Tabela 6.1.1: Diâmetros externos (eixos) em torno mecânico.
Amostra N Peça P1 P2 P3 R
1 220 1 219,7838 220,0287 220,0922 219,9682 0,308384 -0,0318
2 220 1 219,9046 220,1229 220,2368 220,0881 0,332242 0,088082
3 220 1 219,8345 220,0862 219,9268 219,9492 0,251692 -0,05079
4 220 1 219,7302 220,001 220,0357 219,9223 0,305502 -0,07769
5 220 1 220,1644 220,3151 219,9806 220,1534 0,33448 0,153371
6 260 2 259,8635 260,1847 259,867 259,9718 0,321234 -0,02825
7 260 2 259,7917 259,9042 259,908 259,868 0,116253 -0,13203
8 260 2 259,8264 259,8535 259,6465 259,7755 0,20696 -0,22452
9 260 2 259,6421 260,0869 259,9488 259,8926 0,444791 -0,10744
10 260 2 259,8945 260,0154 260,3685 260,0928 0,474033 0,092769
11 320 3 319,7366 319,5236 319,7053 319,6552 0,213026 -0,34481
12 320 3 319,8834 319,415 319,8163 319,7049 0,468446 -0,29508
13 320 3 320,2431 320,1935 319,9893 320,142 0,253778 0,141982
14 320 3 319,9805 320,0828 320,0418 320,035 0,102364 0,035019
15 320 3 320,4944 320,4552 320,0477 320,3324 0,446676 0,332414
16 240 4 239,8076 239,7787 240,2064 239,9309 0,427712 -0,06909
17 240 4 240,1663 240,1888 240,2023 240,1858 0,036012 0,185776
18 240 4 240,1662 240,1382 240,1141 240,1395 0,052086 0,139503
19 240 4 240,017 239,9212 240,0397 239,9926 0,118577 -0,00737
20 240 4 240,2081 240,0484 239,9119 240,0562 0,296133 0,056153
21 300 5 300,0479 300,1325 299,9955 300,0587 0,137019 0,058656
22 300 5 300,2815 299,9451 300,0365 300,0877 0,336475 0,087714
23 300 5 299,7173 300,383 300,4608 300,187 0,743451 0,187028
24 300 5 300,0009 300,0487 300,0038 300,0178 0,047797 0,017781
25 300 5 299,5822 300,4351 299,7919 299,9364 0,852914 -0,06362
Total 7,628039 0,143761
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Serão empregados os gráficos da média codificada e da amplitude R,
portanto:
Utilizando o Apêndice temos, para n = 3 (tamanho de cada
amostra), D4 = 2,574; D3 = 0 e A2 = 1,023.
Dessa forma, os limites de controle para o gráfico da amplitude R são
dados por:
Os limites de controle para a média codificada ou seja, os limites de
controle para o gráfico são dados por:
A segui temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse
exemplo.
A Figura 6.1.1 apresenta estes gráficos de controle, com os pontos
marcados. Percebe-se que há causas especiais atuando em algumas
amostras, com relação à média codificada.
Figura 6.1.1: Gráficos e amplitude.
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
6.2 - Carta Padronizada Xbar e R
A abordagem DNOM assume uma variação comum e constante entre
os produtos controlados por uma única carta. Quando existem
diferenças substanciais nas variações desses produtos, o uso do
desvio do alvo do processo torna-se problemático. Nesses casos os
dados podem ser padronizados para compensar as diferentes médias
do produto e a variabilidade. Essa classe de carta às vezes é
chamada de carta Z ou Zed.
No caso da utilização dos gráficos de controle da média e da
amplitude ( e ), admitindo-se que o processo está sobe controle e
são conhecidas sua média e sua dispersão tem-se, para a amplitude,
segundo o CEP convencional:
ou
Como o termo é uma estimativa do desvio-padrão populacional σ, a
expressão anterior pode ser reescrita na forma
e, padronizando a expressão anterior, obtemos que
Para o gráfico de controle da média, tem-se
em que é a média ponderada das médias amostrais por tipo de
peça, usando como pesos os seus respectivos tamanhos de amostras
e como o tamanho da amostra pode ser variável, então
em que i é o número de diferentes peças e j é o número de peças
analisadas em cada amostra. Padronizando-se a expressão anterior
temos
As etapas para a aplicação da metodologia, em gráficos de médias e
da amplitude ( e ), são as seguintes:
1. Traçar nos gráficos os limites de controle para as médias e para
as amplitudes padornozadas: -3 e 3, em ambos os casos;
2. Determinar as estimativas da média e do desvio-padrão
populacionais, e a serem empregadas na padronização das
medidas do produto em produção;
3. Coletar amostras de tamanho qualquer (n > 1), de acordo com
a frequência pré-estabelecida;
4. Calcular a média e amplitude dos valores;
5. Para cada amostra, padronizar a sua média (equação 6.2.2) e a
sua amplitude (equação 6.2.1);
6. Marcar os pontos nos respectivos gráficos de controle;
7. Quando um novo tipo de produto entrar em produção, devem-
se obter novas estimativas para a média e o desvio-padrão
populacionais.
Exemplo 6.2.1: Consideremos os mesmos valores da tabela do
Exemplo 6.1.1. Admitimos e como sendo as estimativas para a
média e para o desvio-padrão populacionais, respectivamente.
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Para o tipo de peça 1 temos:
em que d2 = 1,693 (para n = 3), tabelado no Apêndice.
Para os outros tipos de peça o cálculo é análogo e os valores
encontram-se na tabela abaixo.
Tabela 6.2.1: Médias e desvios-padrão por tipo de peça.
Tipo de Peça (p)
1 220,016 0,306 0,181
2 259,92 0,312 0,185
3 319,974 0,297 0,175
4 240,061 0,186 0,11
5 300,057 0,423 0,25
Vamos obter agora os valores codificados:
Tipo de peça 1
Média padronizada:
Amostra 1
Amostra 2
Amostra 3
Amostra 4
Amostra 5
Amplitude padronizada:
Amostra 1
Amostra 2
Amostra 3
Amostra 4
Amostra 5
Para os outros tipos de peça e outras amostras o cálculo é análogo.
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse
exemplo.
Figura 6.2.1: Gráficos da média padronizada e amplitude padronizada.
Observação: Em alguns processos para pequenos lotes, o volume
total da produção pode ser pequeno demais para que a formação de
subgrupos seja utilizada efetivamente. Nesses casos as medições da
formação de grupos podem funcionar ao contrário do conceito de
controle do processo e podem reduzir a carta de controle a uma
função de relatório de dados. Mas quando a formação de subgrupos é
possível, as medições podem ser padronizadas para acomodar esse
caso.
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
Cartas de controle para atributos padronizados
As amostras dos dados para atributos, incluindo aquelas de tamanho
variável, podem ser padronizadas para que vários tipos de peças
sejam marcadas em uma única carta. A estatística tem a forma:
Por exemplo, uma estatística u suficiente para a taxa de defeitos
deve ser padronizada como:
Este método também se aplica às cartas np, p, c e u.
7 - Gráficos de Controle Multivariados
Um gráfico de controle multivariado mostra como as variáveis
conjuntamente influenciam o processo. São utilizados quando há
correlação nas variáveis em estudo.
Uma desvantagem deste tipo de gráfico refere-se a uma dificuldade
maior quanto à sua interpretação, uma vez que os pontos fora de
controle não revelam especificamente qual ou quais variáveis, ou a
combinação delas, causam o problema.
Então, para analisar dados multivariados um procedimento que pode
ser utilizado é verificar a correlação entre eles e então trabalhar
apenas com aquelas variáveis que são correlacionadas. Com isso,
podemos plotar em um gráfico de controle os valores da
estatística T2 de Hotelling e da variância generalizada para essas
variáveis. Esse procedimento é definido adiante.
A seguir vamos discutir a construção dos gráficos de controle
multivariados.
Para a construção desses gráficos vamos considerar dois casos: um
caso em que temos observações individuais (não se tem réplicas) e
outro caso em que temos réplicas para cada observação.
7.1 - Gráficos de controle multivariados para observações
individuais
A seguir vamos apresentar a construção dos gráficos de controle
multivariados para observações individuais, ou seja, para as
observações que não possuem réplicas.
Para introduzir e ilustrar esse conceito vamos considerar dados
dispostos de maneira geral como na Tabela 7.1.1.
Tabela 7.1.1: Entrada de dados
Variáveis
Amostra
1
2
3
m
Média
Desvio padrão amostral
Gráfico de controle T2 de Hotelling
Para o cálculo da estatística T2 de Hotelling devemos seguir os passos
abaixo.
1. Calcular a média para cada variável
2. Calcular as variâncias e covariâncias amostrais
3. Calcular a estatística T2 para cada amostra
em que
p é o número de variáveis
m é o número de amostras
S é a matriz de covariância amostral
S-1 é a matriz inversa de covariância amostral
Assim, os limites de controle são dados por
em que
indicam os quantis correspondentes à distribuição Beta.
A linha central do gráfico de controle é definido utilizando-se a
mediana (isto é, o quantil de 50%) da distribuição Beta
correspondente, indicado por
Gráfico de controle para a variância generalizada
O procedimento utilizado para construir os gráficos de controle para a
variância generalizada é padronizar os dados utilizando o vetor de
médias e a matriz de covariâncias amostrais. A padronização é feita
da seguinte forma (Montgomery (2001)
Desta forma, teremos uma matriz conforme apresentado no quadro a
seguir
Variáveis
Amostra Desvio padrão amostral
1
2
3
m
Com os dados normalizados podemos construir um gráfico de
controle utilizando o mesmo procedimento usado na construção do
gráfico de controle usual do desvio padrão .
Dessa froma, os limites de controle são dados por
Limite superior de controle:
Linha Central:
Limite inferior de controle:
Exemplo 7.1.1: Temos um molde de areia onde peças de ferro são
moldadas. Neste caso, nossas variáveis de interesse são a
compactibilidade, o coeficiente de RCV1 e a plasticidade. Os dados
são apresentados na tabela a seguir.
Tabela 7.1.2: Variáveis de Areia sem réplicas.
corrida peçaQtde Prod
Qtde Refugo
Compactabilidade
RCV1 Plasticidade
E188 M20700300 6288 182 36,5 22,026 28,87
E189 M20900200 655 128 36,571 21,12 29,924
E190 M20701400 1290 33 36,167 21,182 29,368
E191 M20600400 3176 316 36,5 22,134 29,822
E192 M20900900 8052 129 37,4 21,93 28,774
E193 M20900900 4436 49 37,333 21,507 28,812
E194 M20701201 6424 245 37,167 23,132 29
E195 M20700300 6000 79 38 19,653 30,885
E196 M20900900 7986 183 38 19,653 30,885
E197 M20701500 9024 108 36,5 20,993 30,568
E198 M20700600 1680 41 38,25 20,733 28,84
E199 M20701301 4248 48 37,643 19,513 28,818
E200 M20900200 1190 32 37,667 20,613 29,035
E201 M20404400 2400 8 36,833 22,423 26,685
E202 M20701500 4752 126 37,333 20,29 28,527
E203 M20900900 3072 43 37,167 21,083 26,24
E204 M20701500 564 19 38 20,363 29,843
E205 M20701201 1192 28 37,667 21,147 29,273
E206 M20900200 1275 25 37,667 21,147 29,273
E207 M20600400 2056 537 36 22,89 27,753
E208 M20700300 7816 85 39 20,24 29,57
E209 M20900200 1040 44 36,333 19,9 27,89
E210 M20900900 1968 16 38 19,547 27,84
E211 M20701201 5016 52 36,333 19,9 27,633
E212 M20600400 1656 524 37,667 20,937 27,84
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Para construir os gráficos de controle multivariados precisamos
primeiramente saber quais variáveis são correlacionadas, com isso
podemos trabalhar apenas com aquelas variáveis que conjuntamente
influenciam o processo. Para obter a correlação entre as variáveis
podemos utilizar a ferramenta Matriz de Correlação disponibilizada
pelo Software Action.
Neste exemplo vamos considerar que as 3 variáveis estão
correlacionadas para mostrar os cálculos com detalhes.
Cuidado! A correlação deve sempre ser analisada no caso
multivariado para que os resultados não sejam mascarados.
A seguir apresentamos os passos para a construção dos gráficos de
controle multivariados (T2 e Variância generalizada).
As médias das variáveis Compactabilidade, RCV1 e Plasticidade são,
respectivamente, 37,267 ; 20,962 e 28,878. A matriz de covariâncias
(S) e a matriz inversa (S-1) são dadas por
Cálculo dos limites de controle para T2 de Hotelling
O cálculo de T2 para a primeira corrida ( E188 ) é dado por
Para as outras amostras (corridas E189 a E212) o procedimento é
análogo.
Os valores de T2 para todas as amostras estão dispostos no quadro
abaixo.
corrida T2
E188 1,52595
E189 2,21678
E190 2,91648
E191 2,99512
E192 1,33373
E193 0,4124
E194 5,42531
E195 3,82223
E196 3,82223
E197 4,18464
E198 1,93979
E199 2,09762
E200 0,28603
E201 4,73986
E202 0,64975
E203 5,34417
E204 1,29344
E205 0,56833
E206 0,56833
E207 4,47276
E208 5,32076
E209 5,28861
E210 3,68312
E211 5,68977
E212 1,40279
Os limites de controle com um nível de confiança de 3σ = 99,73% são
dados por
sendo
m = número de amostras = 25
p = número de variáveis correlacionadas = 3
Cálculo dos limites de controle para a variância generalizada
Vamos agora construir os limites de controle para a variância
generalizada. Primeiramente calculamos a média e variância, daí
procedemos a padronização de cada variável. Assim temos
Para Compactabilidade (X1)
Padronização:
Para RCV1 (X2)
Padronização:
Para Plasticidade (X3)
Padronização:
As variáveis padronizadas para todas as amostras são dadas na
Tabela 7.1.3.
Tabela 7.1.3: Variáveis padronizadas.
Compactabilidade RCV1 Plasticidade Desvios Padrão
-1,00746 1,027 -0,00746 1,01728
-0,91431 0,15231 0,89471 0,90934
-1,44433 0,21217 0,4188 1,02127
-1,00746 1,13127 0,8074 1,15273
0,17328 0,93432 -0,08964 0,53179
0,08538 0,52594 -0,05711 0,30396
-0,1324 2,09478 0,10381 1,22339
0,96044 -1,264 1,71728 1,54967
0,96044 -1,264 1,71728 1,54967
-1,00746 0,0297 1,44594 1,23157
1,28842 -0,22132 -0,03314 0,82272
0,49208 -1,39916 -0,05197 0,97363
0,52356 -0,33717 0,13377 0,43101
-0,57058 1,41028 -1,87772 1,65546
0,08538 -0,64901 -0,30106 0,36736
-0,1324 0,11659 -2,25862 1,3054
0,96044 -0,57853 0,82538 0,85222
0,52356 0,17838 0,33748 0,17277
0,52356 0,17838 0,33748 0,17277
-1,66342 1,86115 -0,96356 1,86598
2,27236 -0,69728 0,5917 1,48912
-1,22655 -1,02553 -0,8463 0,19023
0,96044 -1,36634 -0,88909 1,22898
-1,22655 -1,02553 -1,06628 0,10626
0,52356 -0,02437 -0,88909 0,71222
A última coluna da Tabela 7.1.3 é o desvio-padrão das variáveis
padronizadas em relação a X1, X2 e X3, ou seja,
Para a primeira linha, o valor 1,01728 é obtido através do cálculo de
S, dado por
Precisamos ainda calcular dado por
ou seja,
Assim a linha central do gráfico de controle é dado pela média dos
desvios padrão, ou seja, para este exemplo é a média da última
coluna da Tabela 7.1.3, obtendo assim o valor 0,913472. Com isso, o
gráfico da variância generalizada com observações individuais segue
o mesmo raciocínio do gráfico usual.
Aplicando as fórmulas e utilizando o Apêndice para obter os valores
de B3 = 0 e B4 = 2,266 (para n = 4) encontramos os limites de
controle, que são dados por
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse
exemplo.
Figura 7.1.1: Gráficos T2 de Hotelling e Variância Generalizada.
Observando a Figura 7.1.1 percebemos que nenhum ponto está fora
dos limites de controle e a variância permanece estável ao longo do
período observado.
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
Exemplo 7.1.2: A Tabela 7.1.4 apresenta dados da área industrial
referentes à espessura de engrenagens de câmbio automotivo. A
Figura 7.1.2 ilustra o formato da engrenagem.
Figura 7.1.2: Detalhe da engrenagem do câmbio.
Tabela 7.1.4: Dados referentes à espessura de engrenagens.
Posição1 Posição2 Posição3
98,208 98,209 21,996
98,209 98,220 22,002
98,206 98,204 21,999
98,206 98,206 21,998
98,204 98,214 21,998
98,209 98,203 21,983
98,202 98,212 21,981
98,196 98,221 21,980
98,215 98,201 21,986
98,194 98,227 21,993
98,200 98,210 21,981
98,206 98,207 21,983
98,212 98,200 22,004
98,211 98,200 22,009
98,212 98,199 22,008
98,191 98,166 22,008
98,206 98,205 22,009
98,192 98,207 21,982
98,203 98,202 21,993
98,195 98,206 21,990
98,207 98,204 21,999
98,188 98,199 21,989
98,219 98,222 21,997
98,196 98,205 21,998
98,220 98,227 22,001
98,193 98,213 21,985
98,194 98,217 21,988
98,200 98,200 21,983
98,199 98,199 21,980
98,199 98,197 21,985
98,199 98,198 21,984
98,196 98,206 21,982
98,203 98,207 21,984
98,201 98,206 21,986
98,197 98,161 21,989
98,192 98,205 21,984
98,208 98,172 22,011
98,175 98,195 21,983
98,176 98,196 21,983
98,172 98,195 21,983
98,197 98,201 21,999
98,195 98,211 21,993
98,196 98,206 21,993
98,201 98,219 21,989
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Primeiramente vamos verificar se as variáveis Posição1, Posição2 e
Posição3 são correlacionadas. Para obter a correlação entre elas
vamos utilizar a ferramenta Matriz de Correlação do Software
Action. Dessa forma, temos
Podemos ver que a correlação positiva (0,471) entre a Posição1 e a
Posição3 é significativa, comprovada pelo p-valor de 0,001 que é
menor do que o nível de significância adotado de 5%. Portanto,
podemos concluir que apenas as variáveis Posição1 e Posição3
influenciam conjuntamente no processo, com isso vamos construir os
gráficos de controle multivariados considerando apenas essas duas
variáveis.
A seguir apresentamos os passos para a construção dos gráficos de
controle multivariados (T2 de Hotelling e Variância generalizada).
As médias das variáveis Posição1 e Posição3 são, respectivamente,
98,2 e 21,992.
A matriz de covariâncias (S) e a matriz inversa (S-1) são dadas por
Cálculo dos limites de controle para T2 de Hotelling
O cálculo de T2 para a primeira linha do conjunto de dados,
considerando agora apenas as variáveis correlacionadas (Posição1 e
Posição3), é da seguinte forma
Para as outras linhas o procedimento para o cáculo da estatística T2 é
análogo.
Portanto, os limites de controle com um nível de confiança de 3σ =
99,73% são dados por
sendo
m = número de amostras = 44
p = número de variáveis correlacionadas = 2
Cálculo dos limites de controle para a variância generalizada
Vamos agora construir os limites de controle para a variância
generalizada. Primeiramente calculamos a média e variância, daí
procedemos a padronização de cada variável. Assim temos
Para Posição1 (X1)
Padronização para o primeiro valor da variável Posição1:
Para Posição3 (X2)
Padronização para o primeiro valor da variável Posição3:
O procedimento para a padronização dos outros valores das variáveis
Posição1 e Posição3 é análogo.
O desvio-padrão das variáveis padronizadas em relação a X1 e X2 é
dado por
Logo, para a primeira linha o valor de S é obtido da seguinte forma
Para as outras linhas do conjunto o cálculo é análogo.
Precisamos ainda calcular dado por
ou seja,
Assim a linha central do gráfico de controle é dado pela média dos
desvios padrão. Com isso, o gráfico da variância generalizada com
observações individuais segue o mesmo raciocínio do gráfico usual.
Aplicando as fórmulas e utilizando o Apêndice para obter os valores
de B3 = 0 e B4 = 2,568 (para n = 3) encontramos os limites de
controle, que são dados por
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse
exemplo.
Podemos notar que o processo não manteve-se estável ao longo do
período considerado.
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
7.2 - Gráficos de controle multivariados para observações com
réplicas
A seguir apresentamos a construção dos gráficos de controle
multivarados para observações com réplicas.
Para introduzir o conceito desses gráficos vamos considerar a entrada
de dados, de forma geral, conforme a Tabela 7.2.1. Podemos observar
agora que esses dados possuem réplicas.
Tabela 7.2.1: Entrada de dados.
Variáveis
Amostra
1
1
1
2
2
2
3
3
3
m
m
m
refere-se a k-ésima observação na j-ésima amostra da i-ésima
variável.
Aqui i = 1, ..., p ; j = 1, ..., m e k = 1, ..., n.
Para o cálculo da estatística T2 de Hotelling devemos seguir os passos
abaixo:
Calcular a média dentro de cada amostra para cada variável
Calcular o vetor de médias gerais por
Calcular o vetor de variâncias amostrais para cada amostra
Calcular as p(p - 1)/2 covariâncias amostrais, denotadas por para
cada amostra
Construir a matriz de covariância amostral S da seguinte forma
em que
Calcular a estatística T2 da seguinte forma
Limites de Controle para o gráfico de T2
Temos que a estatística para n
> 1 (ver Johnson (2002)).
Limite inferior de controle (Montgomery (2001)):
Linha Central (Montgomery (2001)):
Limite superior de controle (Montgomery (2001)):
em que n = tamanho de cada amostra, m = número de amostras e p
= quantidade de características.
Limites de Controle para a variância generalizada
determinante da matriz de covariância amostral, variância
generalizada (Johnson (2002)).
Limite inferior de controle (Montgomery (2001)):
Linha Central (Montgomery (2001)):
Limite superior de controle (Montgomery (2001)):
em que
sendo p = número de variáveis e n = número de observações em
cada grupo.
Exemplo 7.2.1: Um químico está interessado em verificar a relação
entre a quantidade de horas que determinados corpos-de-prova ficam
submetidos à uma estufa e a porcentagem (%) de umidade neles
contida. A estufa foi mantida a temperatura constante e tomamos
amostras de tamanho 5 para cada dia. Os dados estão dispostos na
Tabela 7.2.2.
Tabela 7.2.2: Dados do experimento.
Data da Medição
CPNúmero de horas
Umidade(%)
Data da Medição
CPNúmero de horas
Umidade(%)
1/1/2001 1 1 7 1/6/2001 1 3 5,8
2 2 6,5 2 3 5,6
3 4 6 3 2 4
4 6 7 4 2 4
5 4 7 5 5 5,8
1/2/2001 1 2 7 1/7/2001 1 4 5,2
2 2 7 2 6 6,4
3 4 6,2 3 2 4,5
4 1 6 4 3 1,5
5 1 5,2 5 3 5,6
1/3/2001 1 5 7 1/8/2001 1 6 6
2 2 5,4 2 3 5,8
3 5 7 3 7 7
4 3 7 4 4 4,5
5 2 1,4 5 3 5,2
1/4/2001 1 4 6 1/9/2001 1 5 5,6
2 4 6,2 2 4 4,5
3 4 3,5 3 2 4,5
4 2 4,5 4 1 6
5 2 3 5 3 2
1/5/2001 1 3 4,21/10/200
11 3 5,2
2 3 6,5 2 4 6
3 2 2,2 3 6 5,5
4 4 5,5 4 3 7
5 3 6 5 2 6,5
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Primeiramente precisamos verificar se as variáveis a serem
analisadas são correlacionadas. Para isso podemos utilizar a
ferramenta Matriz de Correlação do Software Action.
Neste exemplo consideraremos que existe correlação entre as
variáveis Número de horas e Umidade apenas para trabalhar com as
mesmas conjuntamente e exemplicar os cálculos com detalhes.
Cuidado! A correlação deve sempre ser analisada no caso
multivariado para que os resultados não sejam mascarados.
Para a primeira amostra (1/1/2001), temos:
Cálculo dos limites de controle para T2 de Hotelling
O cálculo da estatística T2 para a primeira amostra é dado por
Na tabela a seguir temos as médias e variâncias para o gráfico T2
calculadas para todas as amostras.
Tabela 7.2.3: Médias e Variâncias para o gráfico T2.
Amostra
1 3,4 6,7 3,8 0,2 0,025 4,58479
2 2 6,28 1,5 0,572 0,3 8,95074
3 3,4 5,56 2,3 5,888 2,52 0,0739
4 3,2 4,64 1,2 2,073 0,89 1,55585
5 3 4,88 0,5 2,977 0,825 0,69618
6 3 5,04 1,5 0,908 0,9 0,38176
7 3,6 4,64 2,3 3,553 1,495 2,43094
8 4,6 5,7 3,3 0,87 1,225 4,18667
9 3 4,52 2,5 2,427 -0,2 1,9421
10 3,6 6,04 2,3 0,533 -0,53 1,04202
soma 32,8 54 21,2 20,001 7,45 25,84495
média 3,28 5,4 2,12 2,0001 0,745 2,584495
Com isso, podemos construir os limites de controle do gráfico T2, com
um nível de confiança 3σ = 99,73%, dados a seguir.
Limite inferior de controle
Limite central
Limite superior de controle
Cálculo dos limites de controle para a variância generalizada
Vamos agora construir os limites de controle para a variância
generalizada, os quais são dados por
Como o valor obtido para o LIC foi negativo, tomamos como valor
mínimo o zero. Sendo assim, assumimos LIC = 0.
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse
exemplo.
Figura 7.2.1: Gráficos T2 e Variância generalizada.
Podemos notar pelos gráficos que o processo manteve-se estável ao
longo do período.
- Gráficos de Pré-Controle
Os gráficos de controle e R, média e amplitude, servem
essencialmente para analisar a natureza da variabilidade nos
processos e para diagnosticar as causas que levam ao estado de
"Fora de Controle". Por sua vez, as técnicas chamadas de Pré-
Controle (P.C.) visam a detecção de alterações no nível ou na
dispersão do processo que levam a fabricação de produtos
defeituosos ou fora das especificações.
O Pré-Controle foi inicialmente concebido com o intuito de ser, ao
mesmo tempo, uma simplificação e melhoria das cartas CEP
clássicas.
Desenvolvido na década de 50, ele permite avaliar se as peças
produzidas estão dentro da especificação e dá um alarme quando há
uma tendência de produzir-se peças não-conformes. Ele nada tem a
ver com estabilidade do processo, porém tem uma certa relação com
a capacidade do processo, ou seja, mesmo que o processo seja
instável, mas esteja produzindo peças dentro da tolerância (conforme
as regras do Pré-Controle) nenhum alarme será dado. Caso o
processo não seja capaz, o Pré-Controle nada fará para mudar esta
situação.
Justificativa do gráfico de pré-controle
Consideremos a seguir um processo centrado cuja variável seja
(aproximadamente) normalmente distribuído e cujos limites naturais (
), coincidam com os limites de especificação da característica
de interesse.
Temos que:
em que é a média e é o desvio padrão de um amostra de
tamanho n.
Para um processo nestas condições verifica-se que:
Para implementar o P.C. devem ser estabelecidos limites de Pré-
Controle; estes limites serão equidistantes entre (média do
processo) e os limites de especificação, dividindo assim o intervalo de
tolerância em regiões, segundo indica a Figura 8.1.
Figura 8.1: Limites do gráfico de Pré-Controle.
Consideramos:
LIE = Limite inferior de especificação;
LIPC = Limite inferior de pré-controle;
LSPC = Limite superior de pré-controle;
LSE = Limite superior de especificação.
A região entre os limites de P.C. abrange metade do intervalo de
tolerância, e é chamado de área alvo ou nominal (target area). Na
Figura 8.2 esta área é representada pela região verde, que equivale
aproximadamente a 86% das observações.
Figura 8.2: Faixas do gráfico de Pré-Controle.
Pode-se observar também que nas condições de nossas hipóteses -
processo normal, centrado e de capacidade 1 - a probabilidade de
uma observação ter valores fora de uma das linhas de P.C. é de
aproximadamente 14%.
Como consequência, quando dois itens consecutivos ficam fora do
mesmo limite de P.C., o mais provável é que o processo tenha
mudado de nível. Neste caso é recomendável o reajuste do processo
a seu nível nominal.
Por outro lado, se um item cair fora dos limites de P.C. e o item
seguinte cair fora do outro limite é mais provável que tenha
acontecido uma mudança de dispersão no processo, causada talvez
pela introdução de algum fator indesejável. Nestas circunstâncias os
operadores do processo deverão tomar medidas para imediata
correção do mesmo.
Descreveremos a seguir os passos para o Pré-Controle clássico.
8.1 - Regras para operar com a técnica de Pré-Controle
1. Divida o intervalo de especificação em regiões como indicado na
Figura 8.1.1;
2. Comece o trabalho;
3. Sempre que uma peça cair fora dos limites de especificação (ficar
na região vermelha), conforme Figura 8.1.1, reajuste o processo;
Figura 8.1.1: Reestabeleça o processo.
4. Se uma peça cair dentro das especificações mas fora de um dos
limites de P.C. (região amarela), conforme Figura 8.1.2, verifique a
próxima peça;
Figura 8.1.2: Check o próximo item.
5. Se a peça seguinte ficou também fora do mesmo limite de P.C.
reajuste o processo, conforme Figura 8.1.3;
Figura 8.1.3: Reestabeleça o processo.
6. Se após o passo 4 (Figura 8.1.2) a peça seguinte está dentro dos
limites de P.C., continue com o trabalho e reajuste somente no caso
em que duas peças sucessivas estejam fora do mesmo limite de P.C;
Figura 8.1.4: Continue o processo.
7. Se duas peças sucessivas aparecerem de ambos os lados dos
limites de P.C. (em ambas as regiões amarelas), conforme a Figura
8.1.5, o processo deve ser imediatamente corrigido para diminuir sua
dispersão;
Figura 8.1.5: Reestabeleça o processo.
8. Se 5 valores sucessivos ficarem dentro dos limites de P.C. (região
verde),conforme mostra a Figura 8.1.6, passe a amostrar com a
frequência habitual (amostragem regular). Enquanto espera por 5
peças consecutivas na região verde, cada vez que uma peça sair fora
dessa região recomece a contagem;
Figura 8.1.6: Aumente o espaçamento entre os itens amostrados.
9. Quando o processo estiver sob amostragem regular não interfira
nele até que uma peça fique na região amarela. Neste caso observe a
próxima peça e proceda como na etapa 6 (Figura 8.1.4);
10. Após cada reajuste, 5 peças consecutivas devem ser observadas
apresentando valores dentro dos limites de P.C. antes de passar à
amostragem regular;
11. Se o operador registra 25 amostras sem ter tido necessidade de
reajustar o processo, ver Figura 8.1.7, a frequência de amostragem
regular pode ser diminuída permitindo que mais peças sejam
fabricadas entre cada amostra observada. Se ao contrário, o operador
deve reajustar o processo antes que 25 amostras sejam observadas,
ver Figuras 8.1.8, 8.1.9, 8.1.10, 8.1.11, e aumentar-se-á a frequência
de observação. Uma média de 25 amostras observadas entre
reajustes é um indicador de que a frequência de amostragem regular
é correta.
Figura 8.1.7: Processo sob controle - continue.
Figura 8.1.8: Reestabeleça o processo.
Figura 8.1.9: Reestabeleça o processo.
Figura 8.1.10: Reestabeleça o processo.
Figura 8.1.11: Reestabeleça o processo.
8.2 - Pré-Controle de 2 estágios
O Pré-Controle clássico refere-se à formulação original, já o Pré-
Controle de 2 estágios é uma modificação que melhora as
características operacionais do método por coletar uma amostra
adicional se a amostra inicial fornecer resultados ambíguos.
O Pré-Controle Modificado, por outro lado, representa um
distanciamento da filosofia adotada nos outros 2 tipos, ele tenta obter
um compromisso entre a filosofia das cartas de controle e a
simplicidade de aplicação do Pré-Controle.
Para ambas as versões o processo é aprovado na qualificação (set-up)
se são observadas 5 unidades consecutivas na zona verde.
A diferença substancial entre eles está no método de classificação de
grupo. A primeira versão baseia-se na tolerância de engenharia ou
limites de especificação, enquanto o Pré-Controle Modificado
classifica as unidades usando limites de controle como nas cartas de
controle.
Tem sido sugerido que os Pré-Controle Clássico e de 2 Estágios sejam
aplicáveis somente se a dispersão atual do processo (6 desvios-
padrão do processo) cobrir menos que 88% da faixa de tolerância.
Com limites de especificação a ± 1, esta condição corresponde à
restrição σ < 0,2933, ou seja,
σ < 0,1467 × Tolerância, ou ainda (6 × σ < 88% da Tolerância).
A diferença importante é o critério de decisão.
Para o Pré-Controle de 2 Estágios, amostrando-se 2 unidades, temos:
Se qualquer peça cair dentro da região vermelha, conforme Figura
8.2.1, parar e ajustar.
Figura 8.2.1: Reestabeleça o processo.
Se ambas as peças caírem dentro da região verde, conforme Figura
8.2.2, continuar a operação.
Figura 8.2.2: Processo sob controle - continue.
Se qualquer peça (ou ambas) estão na região amarela, continue a
amostrar mais 3 peças, até no máximo 5. Continuar a operação se a
amostra combinada contém 3 peças na região verde e parar quando
exitir 3 peças na região amarela, ou ainda, se observamos uma peça
na região vermelha, vide Figuras (8.2.3, 8.2.4, 8.2.5, 8.2.6, 8.2.7,
8.2.8, 8.2.9, 8.2.10).
Figura 8.2.3: Continue a amostrar mais 3 peças.
Figura 8.2.4: Continue a amostrar mais 3 peças.
Figura 8.2.5: Continue o processo.
Figura 8.2.6: Continue o processo.
Figura 8.2.7: Reestabeleça o processo.
Figura 8.2.8: Reestabeleça o processo.
Figura 8.2.9: Reestabeleça o processo.
Figura 8.2.10: Reestabeleça o processo.
8.3 - Observações importantes sobre os gráficos de Pré-Controle
Recomendável em processos com alta capacidade (por ex. Cpk >
1,67 - longo prazo) podendo também ser usado em processos com
boa capacidade (por ex. Cpk > 1,33 - longo prazo);
Aplicável em situações em que não se tem controle sobre a
característica medida (não é fácil tomar uma ação sobre o sistema)
ou em que não haja preocupação com a mesma (independentemente
do resultado obtido a qualidade do produto não é afetada);
Não recomendável em processos não capazes (por ex. Cpk < 1,33 -
longo prazo) pois poderá provocar "tampering" ou "over-control"
(reajuste excessivo do processo aumentando ainda mais a dispersão);
Não recomendável para processos instáveis, pois não identifica se a
causa de variação é comum ou especial, o que pode gerar ações
equivocadas, custos desnecessários e descrença.
Vantagens:
Bastante simples, treinamento quase desnecessário
Baixo custo operacional
Comparação direta com a tolerância especificada para o produto
Incorpora procedimento de verificação de set-up
Desvantagens:
Não indica condições de instabilidade do processo
Não separa causas comuns de causas especiais, podendo gerar ações
incorretas e custos decorrentes
Inadequado para estabilizar um processo
Se utilizado em processos não capazes pode piorar ainda mais o
desempenho dos mesmos
Processos estáveis porém incapazes
O procedimento de set-up de aprovação do gráfico de Pré-Controle
denomina um processo capaz se cada uma das 5 observações
consecutivas "caírem" na região verde. Dessa forma, para um dado
Cp podemos calcular a probabilidade que o processo é aceito como
capaz.
A Tabela 8.3.1 mostra a probabilidade de aceitarmos um processo
como capaz em função dos valores de Cp.
Tabela 8.3.1: Tabela de Cp’s
Cp
0,5 0,75 1 1,5 2 2,5
P(aceitar) 0,0489 0,221 0,4882 0,8836 0,9886 0,9928
P(rejeitar) 0,9511 0,779 0,5118 0,1164 0,0134 0,0072
Observamos na Tabela 8.3.1 que ao tomarmos 5 amostras
consecutivas, a probabilidade de classificarmos incorretamente um
processo com alta capacidade (Cp = 2,0) como sendo um processo de
baixa capacidade é menor que 1,34%. Entretanto, a probabilidade de
classificarmos processos com baixa capacidade como sendo bons é
muito grande, como é o caso de um processo com capacidade igual a
1, pois a probabilidade de aceitação de 48,82% é muito próxima à de
rejeição, que é igual a 51,18%.
A vantagem está na maior quantidade de informações sobre o status
do processo, portanto erros de decisão são menos prováveis.
O objetivo do Pré-Controle Modificado é detectar desvios de
estabilidade. Ele requer estimação dos parâmetros correntes do
processo para determinar os limites de controle.
Para o gráfico de Pré-Controle estar sob controle temos:
Todos os pontos entre as linhas de pré-controle (área verde),
conforme mostra a Figura 8.3.1.
Figura 8.3.1: Gráfico de pré-controle - sob controle.
Somente um ponto entre os limites de especificações e os limites de
pré-controle (área amarela), conforme mostra a Figura 8.3.2.
Figura 8.3.2: Gráfico de pré-controle - sob controle.
Para o gráfico de Pré-Controle estar fora de controle temos:
Qualquer ponto fora dos limites de especificação (área vermelha),
conforme mostra a Figura 8.3.3.
Figura 8.3.3: Gráfico de pré-controle - fora de controle.
Dois pontos consecutivos além das linhas de pré-controle:
o mesma área amarela
o áreas amarelas opostas
Veja a Figura 8.3.4.
Figura 8.3.4: Gráfico de pré-controle - fora de controle.
O Pré-Controle foi desenvolvido como uma alternativa às cartas de
controle para manufatura de pequenos lotes.
O Pré-Controle, como originalmente concebido, é orientado ao
produto (e não ao processo), ele qualifica o processo e mantém sua
saída dentro das especificações.
O paradigma do Pré-Controle pode ser modificado para limites do
processo ao invés de limites de especificação. Isto permite que as
virtudes da ferramenta sejam aplicadas a processos que tenham
inicialmente sido qualificados em um estado de controle estatístico.
Usar os valores de ± 3σ do processo como limites (passagem das
zonas amarelas para vermelhas) e então usar ± 1,5σ como limites de
alerta (passagem da zona verde para amarelas).
Usando amostra de tamanho igual a 5, as regras de decisão se
tornam:
Passo 1: inspecionar 2 peças
Se ambas estiverem no verde, continuar o processo
Se 1 ou ambas estiverem no vermelho, implementar plano de reação
e reiniciar passo 1
Se 1 ou ambas estiverem no amarelo, ir para o passo 2.
Passo 2: inspecionar mais 3 peças
Se qualquer delas estiver no vermelho, implementar plano de reação
e reiniciar passo 1
Se 3/5 estiverem no amarelo, implementar plano de reação e reiniciar
passo 1
Se 3/5 estiverem no verde, continuar.
Ao modificar o Pré-Controle para limites de processo sua grande
fraqueza é removida porém, suas virtudes permanecem. O Pré-
Controle Modificado é outra ferramenta estatística para nossa
consideração.
A Ford afirma no Q - 101 que há certos métodos estatísticos que são
contra-produtivos para a filosofia de melhoria contínua, incluindo o
Pré-Controle; estes métodos não são evidência de melhoria contínua.
9 - Exercícios
Exercício 9.1: Na usinagem de peças uma característica importante
é o comprimento das mesmas. A Tabela 9.1 apresenta as medições
na produção de 20 amostras com 3 peças. Analise a estabilidade do
processo.
Tabela 9.1: Medições do comprimento.
Lote Medições Média Amplitude
1 10,69 10,80 10,39 10,627 0,41
2 10,20 10,30 10,72 10,407 0,52
3 10,42 10,61 10,54 10,523 0,19
4 10,98 10,27 10,50 10,583 0,71
5 10,61 10,52 10,67 10,600 0,15
6 10,57 10,46 10,50 10,510 0,11
7 10,44 10,29 9,86 10,197 0,58
8 10,20 10,29 10,41 10,300 0,21
9 10,46 10,76 10,74 10,653 0,3
10 10,11 10,33 10,98 10,473 0,87
11 10,29 10,57 10,65 10,503 0,36
12 10,83 11,00 10,65 10,827 0,35
13 10,35 10,07 10,48 10,300 0,41
14 10,69 10,54 10,61 10,613 0,15
15 10,44 10,44 10,57 10,483 0,13
16 10,63 9,86 10,54 10,343 0,77
17 10,54 10,82 10,48 10,613 0,34
18 10,50 10,61 10,54 10,550 0,11
19 10,29 10,79 10,74 10,607 0,5
20 10,57 10,44 10,52 10,510 0,13
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Exercício 9.2: Realize um estudo de estabilidade de um processo
utilizando os dados de umidade apresentados na Tabela 9.2.
Tabela 9.2: Dados de Umidade.
Lote Umidade Amplitude Móvel
1 3,2 -
2 3,1 0,1
3 2,9 0,2
4 2,9 0
5 2,8 0,1
6 3 0,2
7 3 0
8 2,5 0,5
9 3,3 0,8
10 2,8 0,5
11 3,3 0,5
12 3 0,3
13 3,3 0,3
14 3,26 0,04
15 2,6 0,66
16 3,1 0,5
17 3,3 0,2
18 3,1 0,2
19 2,81 0,29
20 3,3 0,49
21 3,5 0,2
22 3,5 0
23 3,7 0,2
24 4,2 0,5
25 4 0,2
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Exercício 9.3: Os dados da Tabela 9.3 se referem a um processo de
usinagem de pinos, em que os diâmetros são medidos por
amostragem de 5 peças em 25 lotes. Analise a estabilidade do
processo.
Tabela 9.3: Medições do diâmetro de um pino.
Lote Medições MédiaDesvio padrão
1 2,08495 2,09203 1,01425 0,47627 1,75308 1,48412 0,714
2 2,44288 1,84913 1,02012 1,5103 0,5167 1,46782 0,7421
3 2,08819 0,34567 0,67246 2,14641 0,51528 1,1536 0,8875
4 1,42411 1,04348 1,15683 0,9108 1,23562 1,15417 0,1943
5 1,43307 0,22926 1,51612 0,82627 1,29935 1,06081 0,536
6 1,2113 0,63715 0,97815 2,30782 1,0003 1,22694 0,6383
7 2,14731 1,95837 0,95294 1,35384 0,73037 1,42857 0,6157
8 2,02444 1,60384 1,64667 1,66449 0,92746 1,57338 0,3985
9 1,4743 1,93916 1,06107 1,55396 0,8049 1,36668 0,4425
10 1,09096 2,09033 0,62161 1,45256 1,77208 1,40551 0,5742
11 1,90879 1,274 1,46827 1,36343 1,06161 1,41522 0,3139
12 0,81791 1,89952 1,24044 0,72729 1,44959 1,22695 0,4793
13 0,58784 1,57195 0,73316 1,05367 3,29273 1,44787 1,0983
14 2,12184 0,90374 0,59773 1,63101 0,82706 1,21628 0,6371
15 1,2819 0,89479 1,05394 1,25779 0,99451 1,09659 0,1683
16 0,82836 0,16347 2,12864 1,69732 0,90752 1,14506 0,7734
17 0,14026 1,0432 0,76948 1,72083 3,95445 1,52564 1,4715
18 2,19158 0,87777 0,955 1,50304 1,1604 1,33756 0,5352
19 0,93195 1,82231 1,2179 1,72608 1,45375 1,4304 0,3658
20 0,84523 2,79753 2,30041 0,47693 0,58081 1,40018 1,0718
21 1,84098 2,37729 1,89976 1,2079 3,2343 2,11205 0,7526
22 1,15648 2,5689 0,90064 3,7548 1,24616 1,9254 1,2107
23 2,21913 0,91997 2,15777 1,48548 0,25288 1,40704 0,8364
24 1,41393 0,71069 0,63707 1,71835 1,52855 1,20172 0,4946
25 1,5938 1,19839 0,88228 1,23019 0,41643 1,06422 0,4412
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Exercício 9.4: A seguir apresentamos os dados referentes ao
controle da distância entre dentes de uma engrenagem do câmbio. A
cada trinta peças produzidas a última peça foi levada ao laboratório
para ser medida em uma máquina de medição por coordenadas. As
especificações para esses dados são LSE = 98,25 e LIE = 98,15.
Avalie a capacidade/peformance do processo.
Tabela 9.4: Dados Mercedes-Benz.
Data Horário Peça nº Diâmetro Externo
3/10/2007 09:16:47 1 98,212
3/10/2007 11:50:33 30 98,23
3/10/2007 13:39:07 60 98,218
3/10/2007 13:42:14 90 98,215
3/10/2007 18:12:52 120 98,216
3/10/2007 19:29:54 150 98,22
3/10/2007 21:28:47 180 98,219
3/10/2007 22:26:35 210 98,216
4/10/2007 08:41:10 240 98,207
4/10/2007 08:50:53 270 98,208
4/10/2007 08:55:51 300 98,216
4/10/2007 13:23:37 330 98,215
4/10/2007 13:26:14 360 98,192
4/10/2007 22:49:48 390 98,193
5/10/2007 08:50:18 420 98,171
5/10/2007 08:57:52 450 98,186
5/10/2007 12:45:56 480 98,187
5/10/2007 13:13:10 510 98,197
5/10/2007 13:24:35 540 98,191
5/10/2007 18:23:46 570 98,198
5/10/2007 21:43:05 600 98,187
5/10/2007 21:46:40 630 98,199
5/10/2007 22:59:42 660 98,192
8/10/2007 07:18:23 690 98,207
8/10/2007 09:09:06 720 98,21
24/10/2007 06:50:06 1 98,209
24/10/2007 10:59:44 30 98,193
24/10/2007 12:50:13 60 98,204
24/10/2007 15:08:16 90 98,202
24/10/2007 18:13:40 120 98,222
24/10/2007 22:07:46 150 98,214
25/10/2007 07:24:32 180 98,204
25/10/2007 09:24:54 210 98,166
25/10/2007 12:26:39 240 98,168
25/10/2007 16:49:41 270 98,169
25/10/2007 19:38:17 300 98,175
25/10/2007 22:44:45 330 98,175
26/10/2007 08:51:41 360 98,191
26/10/2007 11:49:26 390 98,19
29/10/2007 06:14:28 420 98,181
29/10/2007 06:17:54 450 98,179
29/10/2007 08:39:19 480 98,187
29/10/2007 12:43:09 510 98,192
29/10/2007 17:11:26 540 98,208
29/10/2007 17:48:53 570 98,195
29/10/2007 20:48:24 600 98,196
30/10/2007 06:47:31 630 98,176
30/10/2007 09:30:37 660 98,186
30/10/2007 13:05:12 690 98,194
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Exercício 9.5: A seguir temos uma amostra de 25 dados referentes
a concentração (gr/l) de um determinado produto. Avalie a
estabilidade do processo.
Tabela 9.5: Dados de concentração (gr/l).
Amostra Concentração Amplitude
1 1,19704
2 1,27774 0,081
3 1,29062 0,013
4 1,2084 0,082
5 1,18415 0,024
6 1,2303 0,046
7 1,21312 0,017
8 1,23794 0,025
9 1,10243 0,136
10 1,13184 0,029
11 1,16285 0,031
12 1,20232 0,039
13 1,30562 0,103
14 1,24223 0,063
15 1,17811 0,064
16 1,15798 0,02
17 1,2363 0,078
18 1,26707 0,031
19 1,21276 0,054
20 1,17929 0,033
21 1,18989 0,011
22 1,24922 0,059
23 1,17928 0,07
24 1,22236 0,043
25 1,23954 0,017
Média 1,2119 0,0488
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Exercício 9.6: A Tabela 9.6 apresenta os dados, ao longo de 15 dias,
referentes ao número de pedidos de compras que foram preenchidos
de forma errada. Analise a estabilidade do processo.
Tabela 9.6: Pedidos de compra.
Dia Verificados Com Erros p
1 200 22 0,110
2 200 25 0,125
3 200 17 0,085
4 200 18 0,090
5 200 37 0,185
6 200 29 0,145
7 200 21 0,105
8 200 17 0,085
9 200 20 0,100
10 200 25 0,125
11 200 8 0,040
12 200 24 0,120
13 200 29 0,145
14 200 18 0,090
15 200 22 0,110
Total 3000 332
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Exercício 9.7: O departamento técnico de uma empresa deseja
estabelecer um gráfico de controle para a não-conformidade por
unidade no final da linha de produção. A Tabela 9.7 apresenta o
número de não-conformidades observados em 20 amostras de 5
peças. Analise a estabilidade do processo.
Tabela 9.7: Unidades não-conformes no final de uma linha de
produção.
Amostra tamanho da amostra nº de não-conformes média de não-conformes
1 5 10 2
2 5 12 2,4
3 5 8 1,6
4 5 14 2,8
5 5 10 2
6 5 16 3,2
7 5 11 2,2
8 5 7 1,4
9 5 10 2
10 5 15 3
11 5 9 1,8
12 5 5 1
13 5 7 1,4
14 5 11 2,2
15 5 12 2,4
16 5 6 1,2
17 5 8 1,6
18 5 10 2
19 5 7 1,4
20 5 5 1
total = 193 total = 38,6
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Exercício 9.8: Em um processo de fabricação de papel estamos
interessados em acompanhar o total de manchas por área de papel
produzido. Para isso coletamos os dados conforme a Tabela 9.8. Faça
uma análise da estabilidade do processo.
Tabela 9.8: Manchas por área de papel produzido.
Número do lote
Metragem do rolo
Largura do rolo
Área do rolo
Total de manchas
Manchas por área
131910 56,1 4,142 232 2 0,009
131938 53 4,143 220 0 0
131982 56,04 4,147 232 1 0,004
131988 56,09 4,145 232 4 0,017
132008 56,04 4,144 232 0 0
122033 56,014 4,145 232 3 0,013
132043 28,04 4,142 116 1 0,009
132064 56,04 4,143 232 11 0,047
132094 56,04 4,142 232 2 0,009
132119 56,16 4,143 233 11 0,047
132140 56,04 4,142 232 8 0,034
132166 56,16 4,147 233 6 0,026
132193 56,17 4,142 233 10 0,043
132218 56,17 4,142 233 3 0,013
132226 56,211 4,143 233 0 0
132266 56,04 4,145 232 0 0
132293 56,14 4,144 233 0 0
132314 56,11 4,143 232 6 0,026
132347 56,11 4,142 232 4 0,017
131373 55,03 4,146 228 3 0,013
132397 56,03 4,147 232 3 0,013
132430 56,11 4,143 232 5 0,022
132452 56,08 4,143 232 2 0,009
132482 55,13 4,143 228 7 0,031
132495 56,04 4,142 232 2 0,009
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Exercício 9.9: Medições do diâmetro do cilindro número 2, medições
feitas com súbito com relógio centesimal, pegando 5 peças a cada 20
produzidas. Analise a estabilidade do processo.
Tabela 9.9: Medições do diâmetro.
Data Hora Chapa Medições MédiaAmplitud
e
16/abr 19:25 11380 0,1 0,08 0,14 0,1 0,08 0,1 0,06
16/abr 22:30 11380 0,15 0,15 0,12 0,12 0,14 0,136 0,03
17/abr 02:00 13310 0,08 0,07 0,09 0,09 0,11 0,088 0,04
18/abr 02:00 13310 0,16 0,19 0,13 0,14 0,09 0,142 0,1
22/abr 08:45 985 0,13 0,12 0,12 0,11 0,14 0,124 0,03
22/abr 12:05 985 0,17 0,16 0,17 0,16 0,16 0,164 0,01
22/abr 13:35 985 0,19 0,17 0,18 0,18 0,17 0,178 0,02
22/abr 17:30 11380 0,12 0,14 0,14 0,13 0,13 0,132 0,02
22/abr 21:00 11380 0,14 0,14 0,12 0,12 0,16 0,136 0,04
23/abr 01:00 13310 0,13 0,12 0,1 0,15 0,14 0,128 0,05
23/abr 04:00 13310 0,17 0,14 0,16 0,1 0,05 0,124 0,12
23/abr 07:20 985 0,14 0,15 0,16 0,16 0,16 0,154 0,02
23/abr 09:45 985 0,16 0,15 0,16 0,16 0,18 0,162 0,03
23/abr 12:40 985 0,17 0,16 0,17 0,17 0,17 0,168 0,01
23/abr 17:30 11380 0,17 0,18 0,18 0,16 0,16 0,17 0,02
23/abr 19:20 11380 0,12 0,14 0,14 0,12 0,14 0,132 0,02
24/abr 01:00 13310 0,14 0,13 0,15 0,19 0,22 0,166 0,09
24/abr 04:00 13310 0,2 0,2 0,19 0,15 0,1 0,168 0,1
24/abr 07:10 985 0,18 0,17 0,18 0,16 0,17 0,172 0,02
24/abr 09:20 985 0,19 0,2 0,18 0,18 0,19 0,188 0,02
24/abr 12:20 985 0,21 0,22 0,22 0,23 0,23 0,222 0,02
24/abr 18:00 11380 0,2 0,22 0,22 0,2 0,18 0,204 0,04
24/abr 21:00 11380 0,18 0,18 0,22 0,2 0,2 0,196 0,04
25/abr 01:00 13310 0,16 0,19 0,2 0,2 0,22 0,194 0,06
25/abr 04:00 13310 0,19 0,17 0,16 0,1 0,08 0,14 0,11
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Exercício 9.10: Foram feitas medições do diâmetro de um cilindro
em duas posições (em cima e em baixo), medições feitas com súbito
com relogio centesimal, pegando 1 peça a cada 10 produzidas. Avalie
a estabilidade do processo.
Tabela 9.10: Medições do diâmetro.
Amostras Medições (em cima) Medições (em baixo)
1 0,15 0,09
2 0,16 0,15
3 0,09 0,08
4 0,16 0,18
5 0,14 0,12
6 0,18 0,16
7 0,19 0,15
8 0,13 0,14
9 0,14 0,12
10 0,11 0,12
11 0,17 0,11
12 0,13 0,15
13 0,16 0,15
14 0,16 0,16
15 0,17 0,19
16 0,12 0,14
17 0,14 0,16
18 0,2 0,2
19 0,18 0,17
20 0,17 0,21
21 0,21 0,22
22 0,2 0,2
23 0,15 0,18
24 0,16 0,13
25 0,19 0,16
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Exercício 9.11: Neste exemplo vamos considerar medições do
diâmetro do cilindro número 2, sendo essas medições feitas com
súbito com relógio centesimal pegando 5 peças a cada 20 produzidas.
Analisar a capacidade do processo.
Tabela 9.11: Medições do diâmetro - MWM International.
Data Hora Chapa Medições MédiaAmplitud
e
16/abr 19:25 11380 0,1 0,08 0,14 0,1 0,08 0,1 0,06
16/abr 22:30 11380 0,15 0,15 0,12 0,12 0,14 0,136 0,03
17/abr 02:00 13310 0,08 0,07 0,09 0,09 0,11 0,088 0,04
18/abr 02:00 13310 0,16 0,19 0,13 0,14 0,09 0,142 0,1
22/abr 08:45 985 0,13 0,12 0,12 0,11 0,14 0,124 0,03
22/abr 12:05 985 0,17 0,16 0,17 0,16 0,16 0,164 0,01
22/abr 13:35 985 0,19 0,17 0,18 0,18 0,17 0,178 0,02
22/abr 17:30 11380 0,12 0,14 0,14 0,13 0,13 0,132 0,02
22/abr 21:00 11380 0,14 0,14 0,12 0,12 0,16 0,136 0,04
23/abr 01:00 13310 0,13 0,12 0,1 0,15 0,14 0,128 0,05
23/abr 04:00 13310 0,17 0,14 0,16 0,1 0,05 0,124 0,12
23/abr 07:20 985 0,14 0,15 0,16 0,16 0,16 0,154 0,02
23/abr 09:45 985 0,16 0,15 0,16 0,16 0,18 0,162 0,03
23/abr 12:40 985 0,17 0,16 0,17 0,17 0,17 0,168 0,01
23/abr 17:30 11380 0,17 0,18 0,18 0,16 0,16 0,17 0,02
23/abr 19:20 11380 0,12 0,14 0,14 0,12 0,14 0,132 0,02
24/abr 01:00 13310 0,14 0,13 0,15 0,19 0,22 0,166 0,09
24/abr 04:00 13310 0,2 0,2 0,19 0,15 0,1 0,168 0,1
24/abr 07:10 985 0,18 0,17 0,18 0,16 0,17 0,172 0,02
24/abr 09:20 985 0,19 0,2 0,18 0,18 0,19 0,188 0,02
24/abr 12:20 985 0,21 0,22 0,22 0,23 0,23 0,222 0,02
24/abr 18:00 11380 0,2 0,22 0,22 0,2 0,18 0,204 0,04
24/abr 21:00 11380 0,18 0,18 0,22 0,2 0,2 0,196 0,04
25/abr 01:00 13310 0,16 0,19 0,2 0,2 0,22 0,194 0,06
25/abr 04:00 13310 0,19 0,17 0,16 0,1 0,08 0,14 0,11
= 0,15552 = 0,0448
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Exercício 9.12: Considere os dados referentes ao controle da
distância entre dentes de uma engrenagem do câmbio. A cada trinta
peças produzidas a última peça foi levada ao laboratório para ser
medida em uma máquina de medição por coordenadas. As
especificações para esses dados são LSE = 40,015 e LIE = 40. Avalie
a estabilidade do processo.
Tabela 9.12: Dados Mercedes-Benz.
Data Horário Peça nº Diâmetro Externo
08/01/07 12:48:53 1 40,005
08/01/07 12:55:01 30 40,005
08/01/07 16:15:56 60 40,005
08/01/07 17:12:58 90 40,012
08/01/07 20:04:07 120 40,010
08/01/07 21:42:30 150 40,010
08/01/07 21:48:03 180 40,006
08/01/07 21:52:32 210 40,011
09/01/07 06:16:34 240 40,011
09/01/07 07:53:56 270 40,007
09/01/07 07:57:40 300 40,010
09/01/07 11:50:21 330 40,005
09/01/07 11:54:18 360 40,005
09/01/07 12:04:26 390 40,009
22/01/07 22:43:06 1 40,012
23/01/07 10:15:08 30 40,008
23/01/07 10:18:26 60 40,008
23/01/07 10:27:06 90 40,005
23/01/07 12:23:36 120 40,008
23/01/07 14:52:46 150 40,007
23/01/07 15:17:29 180 40,014
23/01/07 16:35:09 210 40,011
23/01/07 18:08:59 240 40,014
23/01/07 18:13:11 240 40,011
23/01/07 21:22:24 300 40,013
23/01/07 21:24:55 330 40,013
24/01/07 07:55:50 360 40,007
24/01/07 10:47:56 390 40,014
24/01/07 15:41:05 420 40,015
24/01/07 17:06:58 450 40,015
24/01/07 17:10:54 480 40,013
24/01/07 19:48:54 510 40,011
24/01/07 19:54:12 540 40,010
24/01/07 21:47:01 570 40,011
24/01/07 21:54:39 600 40,007
25/01/07 07:11:10 630 40,013
25/01/07 08:04:26 660 40,012
25/01/07 11:22:54 690 40,011
25/01/07 11:39:31 720 40,006
25/01/07 11:47:32 750 40,008
25/01/07 16:21:19 780 40,015
25/01/07 18:06:51 810 40,011
26/01/07 07:54:10 840 40,012
26/01/07 08:05:50 870 40,008
26/01/07 10:43:18 900 40,012
26/01/07 13:38:40 930 40,010
26/01/07 17:11:21 960 40,009
26/01/07 17:14:05 990 40,010
26/01/07 17:20:08 1020 40,012
26/01/07 17:27:45 1050 40,012
26/01/07 21:08:30 1080 40,010
26/01/07 21:14:21 1110 40,011
29/01/07 06:47:32 1140 40,010
29/01/07 09:12:12 1170 40,010
29/01/07 09:15:57 1200 40,011
29/01/07 11:34:05 1230 40,009
29/01/07 11:46:26 1260 40,012
29/01/07 16:42:37 1290 40,011
29/01/07 16:45:52 1320 40,009
29/01/07 17:41:12 1350 40,009
29/01/07 19:48:37 1380 40,009
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Exercício 9.13: Consideremos os dados da tabela 9.13 referentes às
medições de uma peça enviada para análise. Os limites de
especificação para essa peça são: LSE = 720 e LIE = 480. Avaliar a
capacidade e performance do processo.
Tabela 9.13: Fixação das rodas do terceiro eixo lado direito -
Mercedes-Benz.
Subgrupo
Coleta de dados
X1 X2 X3 X4 X5
1 623,00 589,00 618,00 620,00 613,00
2 618,00 604,00 594,00 618,00 606,00
3 637,00 584,00 608,00 608,00 608,00
4 618,00 635,00 618,00 630,00 608,00
5 587,00 606,00 604,00 616,00 608,00
6 608,00 601,00 601,00 606,00 580,00
7 599,00 589,00 664,00 618,00 728,00
8 584,00 637,00 599,00 628,00 606,00
9 584,00 606,00 587,00 584,00 620,00
10 623,00 632,00 604,00 580,00 601,00
11 589,00 611,00 599,00 592,00 589,00
12 592,00 726,00 580,00 589,00 618,00
13 604,00 613,00 599,00 611,00 599,00
14 611,00 596,00 611,00 580,00 613,00
15 589,00 709,00 592,00 625,00 687,00
16 628,00 592,00 608,00 637,00 656,00
17 606,00 584,00 604,00 592,00 620,00
18 613,00 604,00 618,00 592,00 584,00
19 596,00 587,00 613,00 618,00 592,00
20 581,00 604,00 580,00 611,00 613,00
21 608,00 623,00 604,00 584,00 606,00
22 616,00 599,00 616,00 714,00 611,00
23 632,00 618,00 611,00 584,00 592,00
24 620,00 587,00 580,00 613,00 608,00
25 608,00 582,00 599,00 604,00 604,00
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10 - Apêndice
Nesse apêndice apresentamos as tabelas com os fatores utilizados
para o cálculo dos limites de controle.
Fatores para cálculos de linhas centrais e limites de controle 3σ
Gráfico de Médias
Número de Elementos na Amostra (n)Fatores para Limites de Controle
A1 A2 A3
2 2,121 1,880 2,659
3 1,732 1,023 1,954
4 1,5 0,729 1,628
5 1,342 0,577 1,427
6 1,225 0,483 1,287
7 1,134 0,419 1,182
8 1,061 0,373 1,099
9 1 0,337 1,032
10 0,949 0,308 0,975
11 0,905 0,285 0,927
12 0,866 0,266 0,886
13 0,832 0,249 0,850
14 0,802 0,235 0,817
15 0,775 0,223 0,789
Gráfico de Desvios Padrão
Número de Elementos na Amostra (n)
Fatores para Linha Central
Fatores para Limites de Controle
c4 1/c4 B3 B4 B5 B6
2 0,7979 1,2533 0 3,267 0 2,606
3 0,8862 1,1284 0 2,568 0 2,276
4 0,9213 1,0854 0 2,266 0 2,088
5 0,9400 1,0638 0 2,089 0 1,964
6 0,9515 1,0510 0,030 1,970 0,029 1,874
7 0,9594 1,0423 0,118 1,882 0,113 1,806
8 0,9650 1,0363 0,185 1,815 0,179 1,751
9 0,9693 1,0317 0,239 1,761 0,232 1,707
10 0,9727 1,0281 0,284 1,716 0,276 1,669
11 0,9754 1,0252 0,321 1,679 0,313 1,637
12 0,9776 1,0229 0,354 1,646 0,346 1,610
13 0,9794 1,0210 0,382 1,618 0,374 1,585
14 0,9810 1,0194 0,406 1,594 0,399 1,563
15 0,9823 1,0180 0,428 1,572 0,421 1,544
Gráfico de Amplitudes
Número de Elementos na Amostra (n)
Fatores para Linha Central
Fatores para Limites de Controle
d2 1/d2 d3 D1 D2 D3 D4
2 1,128 0,8865 0,853 0 3,686 0 3,267
3 1,693 0,5907 0,888 0 4,358 0 2,574
4 2,059 0,4857 0,880 0 4,698 0 2,282
5 2,326 0,4299 0,864 0 4,918 0 2,114
6 2,534 0,3946 0,848 0 5,078 0 2,004
7 2,704 0,3698 0,833 0,204 5,204 0,076 1,924
8 2,847 0,3512 0,820 0,388 5,306 0,136 1,864
9 2,970 0,3367 0,808 0,547 5,393 0,184 1,816
10 3,078 0,3249 0,797 0,687 5,469 0,223 1,777
11 3,173 0,3152 0,787 0,811 5,535 0,256 1,744
12 3,258 0,3069 0,778 0,922 5,594 0,283 1,717
13 3,336 0,2998 0,770 1,025 5,647 0,307 1,693
14 3,407 0,2935 0,763 1,118 5,696 0,328 1,672
15 3,472 0,2880 0,756 1,203 5,741 0,347 1,653
1 - Referências Bibliográficas
[1] Breyfogle, F. W. (1999 ) - Implementing Six Sigma: Smarter
Solution Using Statistical Methods, John Wiley and Sons, INC.
[2] Fundamentos do Controle Estatístico do Processo - Manual de
Referência, IQA.
[3] ISO 21747 - Statistical methods - Process performance and
capability statistics for measured quality characteristics, First Edition,
2006.
[4] Johnson, R. A. and Wichern, D. W. (2002) - Applied Multivariate
Statistical Analysis, Prentice Hall, New Jersey.
[5] Montgomery, D. C. (1985) - Introduction to Statistical Quality
Control, John Wiley and Sons, New York .
[6] Montgomery, D.C. (2001) - Introduction to Statistical Quality
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[7] Schmidt, S. R. and Launsby, R. G. (1997) - Understanding
Industrial Designed Experiments, Air Academic Press, Colorado
Springs, CO.
[8] QS 9000, Manual de CEP, Segunda edição.