apostila 3 e 4
TRANSCRIPT
1
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
é toda sequência de termos, em que cada termo a partir do 2º é igual ao anterior adicionado de uma constante I) Definição:
chamada de razão.
nn aaaaa ,,,,, 1321 onde
razãor
termosdenúmeron
termoúltimogeraltermoa
termoprimeiroa
n /
1
II) Notação:
para achar a razão basta subtrair um termo posterior pelo seu anterior: III) Razão:
12312 nn aaaaaar
IV) Classificação de uma PA:
Crescente: r > 0 Ex: PA(2, 5, 8, 11, 14, 17) Constante: r = 0 Ex: PA(5, 5, 5, 5, 5, 5) Decrescente: r< 0 Ex: PA(23, 19, 15, 11, 7...)
V) Fórmulas:
Termo geral( na ): rnaan )1(1
SOMA DOS TERMOS )( nS : naa
S nn
2
1
VI) Propriedade Fundamental: VII) PA genérica de três termos:
PA(a, b, c) ),,( qxxrxPA
cabouca
b
22
PA(5, 15, 25) 2
25515
Testes se Vestibular
1. Numa P.A., cujo 20 termo é igual a 5 e o 6
0 termo é igual a 13
o 200 termo é igual a:
a) 13
b) 40
c) 41
d) 42
e) nda.
2. Complete os termos da sequência:
a) 18, 28 e 40 b) 19, 32 e 44 c) 22, 36 e 46 d) 23, 29 e 43 e) 23, 28 e 48
3. (ENEM 2010) Ronaldo é um garoto que adora brincar com os números. Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência conforme mostrada no esquema a seguir.
Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas.
2
A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9ª linha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo?
a) 9
b) 45
c) 64
d) 81
e) 285
4. (ULBRA) Para que x -2, x, 2x - 3 sejam três termos consecutivos de uma progressão aritmética, o valor de x deve ser:
a) -5 b) 0 c) 5/2 d) 2 e) 5
5. (UPF-2012-VERÃO) Num laboratório está sendo realizado um estudo sobre a evolução de uma população de vírus. A seguinte sequência de figuras representa os três primeiros minutos da reprodução do vírus (representado por um triângulo).
Supondo que se mantém constante o ritmo de desenvolvimento da população de vírus, qual o número de vírus após uma hora?
a) 140 b) 180 c) 178 d) 240
6. (UNIFRA 2012) A soma de todos os números pares até 300 é
a) 20.000
b) 20.650
c) 21.502
d) 22.500
e) 22.650
7. A soma dos 9 primeiros termos da sequência (1,2,4,8,...) é
igual a:
a) 63 b) 127 c) 128 d) 255 e) 511
8. (UFRGS) Se a é um número real não nulo e diferente de 1, então o produto : a-103 .a-101 .a-99 ...a99 .a101 . Vale
a) a-103
b) a102
c) 102.a-²
d) -103 .a-²
e) -102 .a-²
9. (UFRGS) Com o objetivo de realizar uma excursão, cada aluno de uma turma de 30 alunos, concordou em economizar R$ 10,00 na primeira semana e, em cada semana seguinte, R$ 2,00 a mais que na semana anterior. No final de 15 semanas, a turma economizou:
a) R$ 11.100,00
b) R$ 10.800,00
c) R$ 7.500,00
d) R$ 6.300,00
e) R$ 4.500,00
10. (FATEC-2003) Um auditório foi construído de acordo com o esquema abaixo:
A plateia tem 18 filas de assentos e cada fila tem 4 lugares a mais que a anterior. Se forem convidadas 800 pessoas para assistir a um evento e todas comparecerem,
a) ficarão vagos 140 lugares.
b) ficarão vagos 64 lugares.
c) faltarão 44 lugares.
d) faltarão 120 lugares.
e) não sobrarão nem faltarão lugares.
11. (UNITAU) A soma dos números ímpares de 1 a 51 é: a) 676 b) 663 c) 1326 d) 1352 e) 446
12. (UFRGS) Em uma progressão aritmética em que o primeiro termo é 23 e a razão -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é:
A) 8° B) 7° C) 6° D) 5° E) 4°
13. (F.F. Recife) Se os ângulos internos de um triângulo estão em P.A. e o menor deles é a metade do maior, então o maior mede, em graus:
a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 e) 80
14. (UFRGS 04) Considere a disposição de números abaixo. 1
2 3
3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 . . . . . . .
. . . . . . . . O primeiro elemento da quadragésima linha é a) 777 b) 778 c) 779 d) 780 e) 781
15. (UFRGS-08) Sobre uma superfície plana são dispostos palitos formando figuras, como mostrado abaixo.
Contando os palitos de cada uma dessas figuras e denotando por na o número de palitos da n-ésima figura, encontra-se a1 = 3, a2= 9, a3 = 18, ... Então, a100 é igual a a) 15150 b) 15300 c) 15430 d)15480 e) 15510
16. (UFRGS 04) Considere o enunciado abaixo, que descreve etapas de uma construção.
Na primeira etapa, toma-se um quadrado de lado 1. Na segunda, justapõe-se um novo quadrado de lado 1 adjacente a cada lado do quadrado inicial. Em cada nova etapa, justapõem-se novos quadrados de lado 1 ao longo de todo o bordo da figura obtida na etapa anterior, como está representado a seguir.
Seguindo esse padrão de construção, pode-se afirmar que o número de quadrados de lado 1 na vigésima etapa é a) 758. b) 759. c) 760. d) 761. e) 762.
17. (UFRGS 00) Os números inteiros de 1 a 600 são escritos na disposição abaixo.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ... ... ... ... ... ... A escrita se repete, na mesma disposição, a cada vez que se atinge o valor de 600. O número escrito na 5
a coluna da 143
a linha
é:
(A) 243
(B) 245
(C) 248
(D) 257
(E) 258
18. (UFRGS) Cada um dos quadrados da figura abaixo tem 1 cm de lado.
Se a curva poligonal em destaque na figura continuar evoluindo no
mesmo padão, a partir da origem O, qual será seu comprimento
quando tiver 20 lados?
a) 20 cm
b) 100 cm
c) 200 cm
d) 210 cm
e) 420 cm
19. (UEL 2011) Pontes de treliças são formadas por estruturas de barras, geralmente em forma triangular, com o objetivo de melhor suportar cargas concentradas.
Nas figuras a seguir, há uma sequência com 1, 2 e 3 setores triangulares com as respectivas quantidades de barras de mesmo comprimento.
Observando nas figuras que o número de barras é função do número de setores triangulares, qual é o número N de barras para n setores triangulares?
a) N = 3 + 2n - 1
para n ≥ 1
b) N = 3n para n ≥ 1
c) N = 3n2 + 2n para n ≥ 1
d) N = 3 + 2(n2 - 1) para n ≥1
e) N = 1 + 2n para n ≥ 1
20. (UNIMEP) O valor de x na igualdade abaixo é: 3
x = 3 . 3
1 . 3
2 . 3
3 . ...... . 30
50
a) 50 b) 150 c) 2550 d) 2550 e) 1275
4
21. (PUC) A soma dos 80 primeiros números ímpares é a) 3240 b) 6400 c) 6360 d) 3200 e) 6320
22. (OBM) Joãozinho brinca de formar quadrados com palitos de
fósforo como na figura a seguir.
23. A quantidade de palitos necessária para fazer 100 quadrados
é:
A) 296 B) 293 C) 297 D) 301
E) 28
24. (UFSC) – Numa P.A. de n termos, a soma do primeiro com o
de ordem n é 120. A soma do sexto termo com o de ordem n-
5 é :
a) 120 b) 60n c) 90 d)[120(n+1)]/n e) 120n
25. (ENEM 2007) O gráfico abaixo, obtido a partir de dados do
Ministério do Meio Ambiente, mostra o crescimento do
número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de
extinção.
Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de crescimento
mostrada no gráfico, o número de espécies ameaçadas de extinção
em 2011 será igual a:
A) 465. B) 493. C) 498. D) 538. E) 699.
26. (UCPEL 2011) A soma dos n primeiros termos de uma P.A. é dada por n(n + 4) para qualquer valor de n. Então, o 1° termo e a razão dessa progressão aritmética são
a) a1 = 5 e r = 3
b) a1 = 12 e r = 2
c) a1 = 5 e r = 2
d) a1 = 21 e r = 12
e) a1 = 13 e r = -2
27. (UFRGS-02) Se n é um natural ímpar, o número de
elementos da seqüência
1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,...,n,...n
n vezes que são pares é
a) 4
1 - 2n b)
2
1 - 2n c)
4
) 1 n (n
d) 2
) 1 n (n e)
4
2) 1 n (
28. (FURG 05) Qual é a razão de uma progressão aritmética,
cujo primeiro termo é igual a 1, para que a soma dos seus 10
primeiros termos seja igual a 10 vezes a sua razão?
a) 1/3 b) 2/7 c) – 2/7
d) – 2/9 e) 1,3
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
é toda sequência de termos, em que cada termo a partir do 2º é igual ao anterior multiplicado por uma constante I) Definição:
chamada de razão.
nn aaaaa ,,,,, 1321 onde
razãoq
termosdenúmeron
termoúltimogeraltermoa
termoprimeiroa
n /
1
II) Notação:
para achar a razão basta dividir um termo posterior pelo seu anterior: III) Razão:
12
3
1
2
n
n
a
a
a
a
a
aq
IV) Classificação de uma PG:
Crescente: q > 1 Ex: PG(3, 6, 12, 24, 48...)
5
Constante: q = 1 Ex: PG(8, 8, 8, 8, 8, 8)
Decrescente: 0< q < 1 Ex: )9
4,
3
4,4,12,36(PG
Alternada: q < 0 Ex: PG(2, -6, 18, -54, 162)
V) Fórmulas:
Termo geral )( na : 1
1
n
n qaa
Soma dos termos:
PG FINITA: 1
)1(1
q
qaS
n
n
PG INFINITA: 1||0,1
1
aS
6
VI) Propriedade Fundamental: VII) PG genérica de três termos:
PG(a, b, c) ).,,( qxxq
xPG
caboucab .. 2
PG(5, 10, 20) 20.5102
Testes se Vestibular
r 1. (ENEM 2008) Fractal (do latim fractus, fração,
quebrado) — objeto que pode ser dividido em partes que possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e o comportamento dos fractais — objetos geométricos formados por repetições de padrões similares.
O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes passos: 1. comece com um triângulo equilátero (figura 1); 2. construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias; 3. posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2; 4. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3).
De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da sequência apresentada acima é:
2. Considere esta sequência de figuras.
Na figura 1, há 1 triângulo. Na figura 2, o número de triângulos menores é 4. Na figura 3, o número de triângulos menores é 16 e assim por diante. Prosseguindo essa construção de figuras, teremos quantos triângulos menores na na 20° figura?
a)
b)
c)
d)
e)
3. (UFRGS) Um produto custa inicialmente R$ 1000 e tem seu preço reajustado mensalmente com uma taxa de 30%. Ao fim de 12 meses o preço do produto será, em reais,
A)
B)
C)
D)
E)
4. (UFRGS 2011) Três números formam uma progressão geométrica de razão 3. Subtraindo 8 unidades do terceiro número, obteremos uma progressão aritmética cuja soma dos termos é:
a) 16 b) 18 c) 22
7
d) 24 e) 26
5. (PUC) Numa PG ilimitada de razão 1/3, o limite da soma de seus termos é 3. O primeiro termo dessa progressão é
a) 2/9 b) 2/3 c) 1 d) 2 e) 9/2
6. (FURG 07) O dono de uma loja precisa com urgência de vendedores para trabalhar de segunda a sábado nas duas últimas semanas que antecedem o Natal. Aparecem três candidatos. Ele oferece R$1,00 pelo primeiro dia de trabalho e, para os dias seguintes, o dobro do que eles recebem no dia anterior. Dois candidatos consideram humilhante a proposta e recusam-na. O candidato que conhece matemática aceita a proposta. Então, ele receberá, pelos doze dias de trabalho, a importância de:
A) R$ 240,00. B) R$ 4095,00. C) R$ 3400,00. D) R$ 5095,00. E) R$ 1095,00.
7. (PUC) Se a sequência (4x, 2x+1, x-1) é uma progressão geométrica, então o valor de x é:
a) -1/8 b) -8 c) -1 d) 8 e) 1/8
8. (PUC 2011-INVERNO) Dado um quadrado, constrói-se a partir dele um novo quadrado, cujos vértices são os pontos médios dos lados do quadrado precedente.
A figura abaixo ilustra a aplicação desse processo em quatro fases sucessivas a partir de um quadrado inicial ABCD.
A razão entre a área sombreada do quadrado da fase 4 e do quadrado ABCD é:
a) 1/4
b) 1/5
c) 1/8
d) 1/16
e) 1/32
9. (FFFCMPA 06) A unidade do som é o bel. Na prática, costuma-se o decibel, que corresponde a um décimo do bel. As sonoridades, medidas em bel, constituem uma escala de progressão aritmética, mas a intensidade do som cresce segundo uma progressão geométrica. Quando o som, na escala bel, cresce uma unidade, a intensidade do som (em watts por metro quadrado) aumenta 10 vezes. A sonoridade, medida em decibéis, de uma determinada banda de rock é de 90 decibéis, ao passo que a da conversação normal corresponde a 60 decibéis. Assim sendo, pergunta-se: quantas vezes a intensidade do som em watts por metro quadrado, da banda de rock é maior do que a intensidade do som de uma conversação normal?
a) 3 vezes b) 10 vezes c) 30vezes d) 1.000 vezes e) Mais de 1.000 vezes
10. (UEL) A sequência (2x + 5, x +1, x/2, ...), com x
IR, é uma progressão geométrica de termos positivos. O décimo terceiro termo dessa sequência é
a) 2 b) 3
-10
c) 3 d) 3
10
e) 312
11. (PEIES-UFSM) Na figura, o lado do primeiro quadrado é 1 e cada quadrado, a partir do segundo, tem lado igual à metade do lado do seu antecessor. Supondo que essa sequência continue indefinidamente, a soma das áreas dos infinitos quadrados é igual a
a) 5/4.
b) 4/3.
c) 2.
d) 5/2.
e) 3.
12. (UFRGS) O primeiro termo de uma PG em que a3=1 e a5=9 é
a) 1/27 b) 1/9 c) 1/3 d) 1 e) 0
13. (FAPA-03/1) Os números (a, b, c) formam, nessa ordem, uma progressão geométrica cujo produto é 216.
8
Sabendo-se que essa PG tem razão 2, a soma dos seus termos vale:
a) 18 b) 21 c) 26 d) 31 e) 36
14. (UFRGS 07) Numa progressão aritmética de razão ½, o primeiro termo, o sétimo termo e o décimo nono termo formam, nesta ordem, uma progressão geométrica cuja soma dos termos é
a) 17 b) 18 c)19 d) 20 e) 21
15. (UFRGS) A solução da equação
1593
xx
x , é:
a) 1
b) 3
c) 8
d) 10
e) 1/8
16. (PUC) Se x é um número real positivo menor que 1 e se vale a igualdade 1 + x + x
2 + x
3 + ...
+ xn + .... = 3/2 , então o valor de x é:
a) 0,1 b) 2/3 c) 3/10 d) 3 e) 1/3
17. (UFRGS – 2012) Na figura abaixo, ABCD é um
quadrado e os triângulos sombreados são
triângulos semelhantes tais que as alturas
correspondentes formam uma progressão
geométrica de razão ½.
Se o perímetro do triângulo ABC é 1, a soma dos
perímetros dos quatro triângulos sombreados é
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
18. (FFFCMPA 06) A cada hora que passa, uma droga Z é eliminada pelo organismo a uma
razão de
5
2 da quantidade presente.
Considerando y a quantidade de droga restante no organismo x horas após a ingestão de 100 mg da droga, pode-se afirmar que
a)
x
y
5
3100 b)
xy .
5
3100
c)
x
y
5
2100 d)
xy .
5
2100
e) xy .5
2.100100
19. (UFRGS 2006) Considere os segmentos
representados na figura abaixo
Seguindo o mesmo padrão de construção, a soma dos
comprimentos dos segmentos da quinta linha é
a) 8/81
b) 8/27
c) 16/81
d) 16/27
e) 32/81
9
Equações Exponenciais
Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita aparece nos expoentes. Veja alguns exemplos:
4X = 32
X
3
1= 81
25X + 1
= X5 2
2x = 2
X + 12
1. Resolução de equações exponenciais simples
Vamos primeiramente resolver equações exponenciais que podem ser transformadas
numa igualdade de potências de mesma base.
Para resolve-las, usamos o fato de que a função exponencial é injetiva, ou seja, para a
> 0 e a ≠ 1, temos:
ax1
= ax2
x1 = x2
Exemplos:
1º) Vamos resolver as equações:
a) 3x – 1
= 81
b) 432
2 xx
= 1
c) 0,75x =
16
9
a) 3x – 1
= 81
Vamos transformar a equação dada numa
igualdade de potências de mesma base:
3x – 1
= 81 3x – 1
= 34
Igualando os expoentes, temos:
x – 1 = 4 (equação do 1º grau em x) x = 5
Verificação: x = 5 3X – 1
= 35 – 1
= 34 = 81
Logo, S = {5}
b) 432
2 xx = 1
Como 1 = 20, podemos escrever
432
2 xx
= 20.
x² - 3x – 4 = 0 (equação do 2º grau em x)
= 25; x’ = 4 e x” = -1
Logo, S = {-1, 4}
c) 0,75X =
16
9
x
100
75,0 =
16
9
x
4
3 =
2
2
4
3
x
4
3 =
2
4
3
x =
2
Logo, S = {2}
2º) Vamos calcular x e y no sistemas de
equações
9
19.3
15
yx
yx
5x + y
= 1 5x + y
= 50 x + y = 0
3X . 9
y =
9
1 3
X . 3
2y = 3
-2 3
X + 2y = 3
-2
x + 2y = -2
Os valores de x e y serão obtidos resolvendo-se
o sistema:
22
0
yx
yx
x = 2 e y = -2
Logo, S = {(2, -2)}.
10
Resolução de equações exponenciais usando artifícios de cálculo Algumas equações exigem artifícios de cálculo para serem solucionadas. Observe isso no exemplo a
seguir.
Vamos resolver as seguintes equações:
1. 3 . 4
X + 1 = 96
2. 2X + 2
+ 2X – 1
= 18
3. 22x
– 9 . 2
X + 8 = 0
1. 3 . 4
X + 1 = 96 4
x +1 =
3
96 4
x +1 =
32
(22x
)x +1
= 25 2
2x +2 = 2
5 2x + 2 = 5
2x = 5 – 2 2x = 3 x = 2
3
Logo, S = {2
3}.
2. b) 1ª maneira
2x +2
+ 2x -1
= 18 2X . 2² + 2
X . 2
-1 = 18
2X (2² + 2
-1) = 18 2
X . 2
9 = 18 2
X =
9
36
2X = 4 2
X = 2² x = 2
Logo, S = {2}
2ª maneira
2x +2
+ 2x -1
= 18 2X . 2² + 2
X . 2
-1 = 18
(propriedade am + n
= am .
an)
Fazendo 2X = y, temos:
y . 4 + y
. 2
1 = 18 4y +
2
y = 18
8y + y = 36 9y = 36 y = 4
2X = y e y = 4 2
X = 4 2
X = 2² x = 2
Logo, S = {2}
3. 22x
– 9 . 2
X + 8 = 0 (2
x)² - 9(2
x) + 8
= 0 (propriedade 2mn
= (2m)n)
Fazendo 2X = y, temos:
y² + 9y + 8 = 0 (equação do 2º grau em y)
= 49
y’ = 8 e y” = 1
Como 2X = y, temos:
02212
32282
0
3
x
x
xx
xx
Logo, S = {0, 3}
Testes _____________________________________________________________________________
1. Resolver as seguintes equações exponenciais:
a) 2
x + 1 = 1024
b) 32x + 2
= 81 c) 5
x + 5 = 1
d) 2x = 0,25
2. O valor de 15
30
63
21 é
11
a)
15
3
1
b)
157
c)
2
3
1
d)
153
3. Qual alternativa é igual a a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
4. Qual alternativa é igual
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
5. Qual alternativa é igual a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
6. (U.F.CEARÁ) O conjunto solução da
equação 5 2x-1
= 25 3x-2
, no universo U = R
é: a) 3/4 b) 4/3 c) 1 d) 0
e) 7. (CESGRANRIO) O número de raízes reais
de
13 572 2
xxé:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) maior que 3 8. (CESGRANRIO) Se 8
x = 32, então x é igual
a:
4)
5
2)
5
3)
3
5)
2
5)
e
d
c
b
a
9. (MACK) Se 10)1,0( 5 x, então x vale
10)
6)
4)
0)
5)
e
d
c
b
a
10. (UFRGS) O valor de x que verifica a
equação xx 927 1 é
a) 0,4 b) 0,8333 c) 1,2 d) 2,5 e) inexistente
11. Se 1833 12 xx , então o valor de x2 é:
a) 2 b) 1 c) 3 d) 8 e) 0
12. (UFAC 04) Se 3x
= 2 para algum x real, o
valor de 23
X
é:
a) 2 b) 3 c) 2
d) 2
2 e)
2
3
13. Determine o conjunto solução de cada equação abaixo:
a) 2
x + 1 + 2
x – 1 = 40
b) 5x – 1
+ 5x – 2
= 6 c) 10
2x – 11.10
x + 10 = 0
d) 22x
– 6.2x + 8 = 0
14. (UERGS 06) Observando-se a igualdade
73 1 x, conclui-se que
13 x é
a) 27 b) 42
12
c) 63 d) 76 e) 81
15. (UFSE) Dado que 6463 x, o valor de
x6 é:
a) 6 b) 4
c)
d)
e) 6
1
16. (UFRGS) O cobalto-60 é uma substância
radioativa cuja meia-vida é de aproximadamente 5 anos, isto é, a cada 5 anos a quantidade em gramas da substância se reduz à metade do que se tinha anteriormente.
O tempo necessário para que uma certa
quantidade de cobalto-60 se reduza a 25% da
quantidade inicial é
a) 20 anos. b) 10 anos. c) 7,5 anos. d) 5,0 anos. e) 2,5 anos.
17. (F.C.CHAGAS) Considere as soluções reais
de .13.3.3 1272
xxA diferença entre a
maior e a menor dessas raízes é a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 18. (FATEC) O valor de x, tal que
42,0 10.1010 x, é
a) 0,05 b) –0,05 c) 0,5 d) – 0,5 e) 0,005 19. (UERGS 03) A solução da equação
12
1.16 x
é
a) 4
1
b) 2
1
c) 0
d) 8
1
e) 4
1
20. (FAPA 02/2) A solução da equação
x204,0 = 5( )1 x
é um número real
x tal que
a) 1 < x < 2
b) 2 < x < 3
c) 0 < x < 1
d) -1 < x < 0
e)
12
1 x
21. Dada a equação 2
3x–2 . 8
x+1 = 4
x–1, podemos
afirmar que sua solução é um número: a) natural. b) maior que 1. c) de módulo maior do que 1. d) par. e) de módulo menor que 1.
22. ( UFPR ) Se 322 xx, então o valor
de xx 88 é:
a) 12 b) 18 c) 21 d) 24 e) 27
23. ( PUC - SP ) Se xy 10 é um número
entre 1000 e 100 000, então x está entre: a) -1 e 0 b) 2 e 3 c) 3 e 5 d) 5 e 10 e) 10 e 100 24. (UFSM) A solução da equação exponencial
20)15(5 xx:
a) pertence ao intervalo [3,( .
b) pertence ao intervalo ),4] .
c) pertence ao intervalo [2,0] .
d) é um número par. e) é um número irracional.
2
1
4
1
13
Função Exponencial
____________________________________________________________________________
Consideremos a seguinte situação:
Em uma cultura de bactérias, a população
dobra a cada hora. Se há 1000 bactérias
no início da experiência, calcule quantas
bactérias existirão depois de: a) 3 horas;
b) 10 horas; c) x horas.
a) Observe que:
Depois de 1 hora, teremos 2000
bactérias (2 . 1000).
Depois de 2 horas, teremos 4000
bactérias (4 . 1000 ou 2²
. 1000).
Então, depois de 3 horas, teremos
8000 bactérias (8 . 1000 ou 2³
.
1000).
b) Depois de 10 horas, teremos 2¹0 .
1000
ou 1024000 bactérias.
c) Depois de x horas, teremos 2x . 1000.
De modo geral, o modelo matemático
usado para resolver situações como essa é
dado pela função de tipo exponencial f(x) =
b . a
x, que estudaremos neste capítulo.
No caso das bactérias acima, o modelo
matemático é dado pela função de tipo
exponencial
f(x) = b . 2
x, em que b representa a
população de bactérias existentes no início
da experiência e x é o tempo decorrido.
Vamos agora estudar a função exponencial
definida por f(x) = aX.
Definição: Dado um número real a (a > 0 e
a ≠ 1), denomina-se função exponencial
de base a a uma função f de R em *
R
definida por f(x) = aX ou y = a
X.
Exemplos:
f(x) = 3X
y = 5X
f(x) =
X
2
1
f(x) = (0,4)X
f(x) = X2
f(x) = 10X
Observação: As restrições a > 0 e a ≠ 1
dadas na definição são necessárias, pois:
Para a = 0 e x negativo, não
existiria aX (não teríamos uma
função definida em R).
Para a < 0 e x = 2
1, por exemplo,
não haveria aX (não teríamos uma
função em R).
Para a = 1 e x qualquer número
real, aX = 1 (função constante).
14
1. Gráfico da função exponencial
Vamos analisar os gráficos de duas funções exponenciais, a primeira com a >1 e a segunda
com 0 < a < 1.
f(x) = 2X ou
f(x) =
x
2
1 ou y =
x
2
1
Observe os gráficos da função linear, quadrática e exponencial crescentes.
Pela observação das tabelas e dos gráficos podemos concluir que, para uma função
exponencial:
O gráfico é uma figura chamada curva exponencial, que passa por (0, 1);
O gráfico não toca o eixo x e não tem pontos nos quadrantes III e IV;
Para a > 1 a função é crescente (x1 > x2 aX1
> ax2
);
Para 0 < a < 1, a função é decrescente (x1 > x2 ax1
< ax2
);
A função exponencial é sobrejetiva: Im(f) = CD(f), ou seja, para todo número real b > 0
existe algum x tal que aX = b (todo número real positivo é uma potência de a);
A função exponencial é injetiva (x1 ≠ x2 aX1
≠ aX2
ou aX1
= aX2
x1 = x2), pois ou
ela é crescente (a > 1) ou é decrescente (0 < a < 1);
A função exponencial é bijetiva, logo, admite função inversa;
A função exponencial é ilimitada superiormente.
Observação: As ideias desenvolvidas no estudo da função exponencial f(x) = aX podem ser
aplicadas em outras funções em que a variável aparece no expoente, com:
15
f(x) = 2 . 3
X f(x) = 5
X – 2 f(x) = 5
X -2
Por exemplo, seja f a função de R em R definida por f(x) = 4X + 1. Vamos:
Calcular f(-2), f(-1), f(0), f(1) e f
2
3;
Construir o gráfico de f e determinar D(f) e Im(f).
f(-2) = 4-2
+ 1 = 16
1 + 1 =
16
17 = 1,0625
f(-1) = 4-1
+ 1 = 4
1 + 1 =
4
5 = 1,25
f(0) = 40 + 1 = 1 + 1 = 2
f(1) = 4¹ + 1 = 4 + 1 = 5
f
2
3= 2
3
4 + 1 = 64 + 1 = 8 + 1 = 9
x y
-2 16
17 = 1,0625
-1 4
5 = 1,25
0 2
1 5
2
3
9
Testes _____________________________________________________________________________
25. (UFRGS) Uma população de bactérias triplica a cada hora. Em quanto tempo a população se torna 100 vezes maior?
(A) Entre 0 e 5 horas. (B) Entre 5 e 10 horas. (C) Entre 10 e 20 horas. (D) Entre 20 e 30 horas. (E) Entre 30 e 40 horas.
26. Dadas f(x) = 1
2
x
e as proposições:
I) f(x) é crescente II) f(x) é decrescente III) f(3) = 8
IV) ( 0,1 ) f(x)
Podemos afirmar que:
16
a) todas as proposições são verdadeiras b) somente II é falsa c) todas são falsas d) II e III são falsas e) somente III e IV são verdadeiras 27. (UFRGS) As substâncias radioativas têm a
tendência natural a se desintegrarem. Considerando um caso em que a massa inicial da substância seja 54 g, e t dias depois sua massa seja, aproximadamente, 54 x 0,835
t g, pergunta-se: em um dia, que
porcentagem da massa desta substância se desintegra?
a) 83,5% b) 67,5% c) 16,5% d) 8,35% e) 6,75% 28. (UFRGS) O cobalto-60 é uma substância
radioativa cuja meia-vida é de aproximadamente 5 anos, isto é, a cada 5 anos a quantidade em gramas da substância se reduz à metade do que se tinha anteriormente.
O tempo necessário para que certa quantidade
de cobalto-60 se reduza a 25% da quantidade
inicial é
a) 20 anos. b) 10 anos. c) 7,5 anos. d) 5,0 anos. e) 2,5 anos.
29. (Enem) João deseja comprar um carro cujo preço à vista, com todos os descontos possíveis, é de R$ 21.000,00, e esse valor não será reajustado nos próximos meses.
Ele tem R$ 20.000,00, que podem ser aplicados
a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês,
e escolhe deixar todo o seu dinheiro aplicado
até que o montante atinja o valor do carro.
Para ter o carro, João deverá esperar:
(A) dois meses, e terá a quantia exata. (B) três meses, e terá a quantia exata. (C) três meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, R$ 225,00. (D) quatro meses, e terá a quantia exata. (E) quatro meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, R$ 430,00.
30. (Enem 2007) A duração do efeito de alguns fármacos está relacionada à sua meia-vida,
tempo necessário para que a quantidade original do fármaco no organismo se reduza à metade. A cada intervalo de tempo correspondente a uma meia-vida, a quantidade de fármaco existente no organismo no final do intervalo é
igual a 50% da quantidade no início desse intervalo.
O gráfico acima representa, de forma genérica,
o que com a quantidade de fármaco no
organismo humano ao longo do tempo.
A meia-vida do antibiótico amoxicilina é de 1
hora. Assim, se uma dose desse antibiótico for
injetada às 12 h em um paciente, o percentual
dessa dose que restará em seu organismo às
13 h 30 min será aproximadamente de:
A) 10%. B) 15%. C) 25%. D) 35%. E) 50%.
31. (UFRGS) A função representada no gráfico é definida por f(x) = a . b
x. Então,
y
x
a) a < 0 e b > 1 b) a < 0 e 0 < b < 1 c) a < 0 e b = 1 d) a > 0 e b > 1 e) a > 0 e 0 < b < 1
32. (FURG 00) O gráfico que melhor representa
a função tal que xaxf )( ,
para o respectivo intervalo de a, é:
17
33. (FURG 04) Quanto aos gráficos de
13 xy e
1
9
1
x
y , é correto afirmar
que os mesmos: A) se interceptam no ponto (a,b), onde a + b = 2
. B) não se interceptam. C) se interceptam no ponto (a,b), onde a - b = 2 . D) se interceptam no ponto (a,b), onde a + b = 1. E) se interceptam no ponto (a,b), onde a + b = 0
34. (UFRGS) Seja a função f : (0,+∞)
representada pelo gráfico y x Dentre os gráficos abaixo, o que melhor representa a inversa da função f é A
35. (UFRGS 05) Para pagar uma dívida de x reais no seu cartão de crédito, uma pessoa, após um mês, passará a fazer pagamentos mensais de 20% sobre o saldo devedor. Antes de cada pagamento, serão lançados juros de 10% sobre o saldo devedor. Efetuados 12 pagamentos, a dívida, em reais, será
a) zero.
b) .12
x
c) .88,012
x
d) .92,012
x
e) .1,112
x
36. (UFRGS-2008) Uma sequência de pontos foi tomada sobre o gráfico da função exponencial de base a, como indica a figura abaixo.
Considerando-se que as abscissas dos pontos da sequência estão em progressão aritmética crescente, suas ordenadas estão em progressão a) aritmética de razão a
b) aritmética de razão
c) geométrica de razão
d) geométrica de razão
e) geométrica de razão
18
37. (UFMG) Observe a figura. Nessa figura, está representado o gráfico de
xkaxf )( , sendo k e a constantes
positivas. O valor de f(2) é:
a) 8
3
b) 2
1
c) 4
3
d) 1
38. (UFRN) No plano cartesiano abaixo, estão representados o gráfico da função
xxf 2)( , os números a, b , c e suas
imagens.
Observando-se a figura, pode-se concluir que,
em função de a, os valores b e c são
respectivamente:
a) aea
42
b) 21 aea
c) 4
2a
ea d) 21 aea
39. (Cefet PR) Uma rampa para manobras de skate é representada pelo esquema:
Se a parte curva pudesse ser associada a uma
função, essa curva seria:
a)
32
1)(
x
xh
b) 2
5
2
1)(
1
x
xh
c)
2
2
1)(
x
xh
d)
22
1)(
1
x
xh
e)
12
1)(
1
x
xh
40. (UFRGS – 2012) Considere a função f tal
f(x) = k +
, com k > 0.
Assinale a alternativa correspondente ao gráfico
que pode representar a função f.
19
Inequações exponenciais
Desigualdades como as seguintes são chamadas inequações exponenciais:
3x -1
27 25x < 5 8
x -1
x16
1
Para resolve-las devemos nos lembrar de que a função exponencial f(x) = ax é crescente para a > 1 e
decrescente para 0 < a < 1, ou seja:
ax1
< ax2
x1 < x2 (para a > 1)
ax1
< ax2
x1 > x2 (para 0 < a < 1)
Exemplos:
1º) Vejamos como se resolvem as seguintes
inequações:
a) 2x + 7
< 32
b)
1
2
1x
4x +3
a) 2x + 7
< 32 2x +7
< 25 x + 7 < 5
x < - 2
Logo, S = {x R I x < -2}
b)
1
2
1x
4x +3
(2-1
)x +1
(2²)x +3
20
2-x – 1
22x + 6
-x -1 2x + 6
-3x 7 x 3
7
Logo, S = {x R I x 3
7 }
2º) Vamos resolver uma inequação e um
sistema de inequações exponenciais:
a)
xx
2
3
1>
2
3
1
a = 3
10 < a < 1
xx
2
3
1>
2
3
1
x² -x < 2
x² - x - 2 < 0
= 9 > 0
X’ = 2 e x” = -1
Logo, S = { x R I -1 < x < 2}
b) 9
1 < 9
x -1 3
X
A solução procurada é a solução do sistema
xx
x
39
9
19
1
1
Resolvendo cada inequação separadamente:
9x -1
> 9
1 9
x -1 > 9
-1 x – 1 > - 1
x > 0
9x -1
3x 3
2x – 2 3
x 2x – 2 x x
2
A intersecção das duas soluções é a solução do
sistema S = { x R I 0 < x 2}.
Testes 1. ( FGV - SP ) Assinale a afirmação correta:
a) 3257,057,0
b) 8757,057,0
c) 34 )57,0()57,0(
d) 50,057,057,057,0
e) 157,02
2. (FGV - SP) A solução da inequação , é:
a) x 0
b) -5 x 0
c) x 0
d) x -5 ou x 0 e) nda
3. ( MACK - SP ) Assinale a única afirmação correta:
21
a) 0,21
2 > 0,21
3
b) 0,210,21
> 0,210,20
c) 0,21
7 < 0,21
8
d) 0,214 > 0,21
3
e) 0,21-2
< 1
4. ( FATEC - SP ) Seja f IR IR onde 2
1
2)( xf . O conjunto de valores de x para os
quais 8
1)( xf é:
a) (3, 8)
b) (- , 3
1 )
c) ( - , 3)
d) (3
1 , 0)
e) IR - { 0, 8 }
5. ( PUC - MG ) Se 14)( xxf e
xxg 4)( , a solução da inequação f(x) > g (2 - x) é:
a) x > 0 b) x > 0,5 c) x > 1 d) x > 1,5 e) x > 2
6. (UFRGS 2005) Considere as desigualdades abaixo.
(
)
Quais são verdadeiras? a) Apenas I b) Apenas II c) Apenas I e II d) Apenas I e III e) Apenas II e III
7. (UFRGS 04) Analisando os gráficos das funções reais de variável real definidas por 1
2
3)(
x
xf e xxg )( , representadas no mesmo sistema de coordenadas
cartesianas, verificamos que todas as raízes da equação )()( xgxf pertencem ao
intervalo a) [0, 3].
b)
4,
2
1.
c) [1, 5).
22
d)
6,
2
3.
e) (2, 6).
23
Logaritmos
_______________________________________________________________Definição
= x
A > 0, B > 0 e B ≠ 1
= x = a
Exercícios de Aula
1. Se e = 0, então o valor de x +
y é
a) 8 b) 9 c) 10 d) -1 e) 1/2
2. O valor de m na igualdade m = é
a) 0
b) 3,1416...
c) -1
d) 1
e)
3. Na expressão y = + -
- , o valor de y é
a) -1
b) -2
c) 2
d) 0
e) 1
4. Se = 2 então o valor de x é
igual a
a) 8
b) 1/8
c) 16
d) 1/16
e) 0
NO QUADRO:
(UFRGS – 2012) O número está entre
a) 0 e 1. b) 1 e 2. c) 2 e 3. d) 3 e 4. e) 4 e 5.
** Casos especiais
I. = 0
II. = 1
24
III. = n
Calcule x nos seguintes testes:
39. = x
a) 2 b) 5 c) 5/2 d) 2/5 e) 3 40. = 2 a)-1 b) 1 c)-3 d) 3 e) 0
41. = 0,5
a) 0 b) 6 c) 1/6 d) 1 e) -1 42. = 0,3 – x a) 3 b) 1 c) 0 d) 0,3 e) -1/3
43. √ = 1
a) √ b) 2 c) 1/2 d) -2 e) 1/4 44. = x – 1
a) √ b) 2 c) 1/2 d) -2 e) 1/4
45. = 5 a) 6 b) 1/6 c) -6 d) 1/6 e) 1/2
46. = x – 1 a) 6 b) 8 c) 12 d) 18 e) 24
Logaritmos decimais (base 10)
log 10 = log 0,001 = log 100 = log 0,01 = log 1000 = log 0,1 = log = log 1 =
** PROPRIEDADES
I. = +
25
II.
= - **Lembre-se:
III. = e. =
IV. √
=
.
Exemplos de aula
I. =
II. =
III. =
IV. √ = 47. Se = k, então vale
a) k – 2. b) k – 100.
c)
.
d) 1.
e)
.
48. Se = a, então vale
a) 1 – a. b) a – 1. c) 2a + 1. d) a + 3. e) a – 3.
49. Dados = m e = k, então vale
a) 3m + 2k. b) m – k. c) 2m + 3k. d) 6m + k. e) m³ + k².
50. (UFSM) Se - = 1/3, então a relação entre x e y é
a) x = 3y b) 2x – y = 0
c)
=
d) y = 8x e) x = 2y
51. Se = x e = y, então é
a) y + 3x b) y + 5x c) y – x + 3 d) y – 3x + 3 e) 3 (x + y)
52. Se a = , b = , c = , então + vale
a) a + b + c. b) a + 1 + c. c) 1 + b + c. d) a + b + 1. e) 0.
53. (FURG) Sendo = 3 + - - então 3N é igual a
a) 1.
b)
.
c) 80.
d)
.
e) 100.
54. (UFRGS) A soma
+
+
+ ... +
é igual a
a) - . b) -1. c) .
26
d) 1. e) 2.
55. (UFRGS) Na figura abaixo, a reta r é o gráfico da função real de variável real definida por y = ), onde a e b são números reais positivos.
O valor de
a) 0,1. b) 1. c) 10. d) 10². e) 10³.
__________________________________________________Mudança de Base
I. =
II. =
III. =
Exemplo de aula Mudar para a base 2. =
Exercícios de Aula
56. Sabendo que = a e = b podemos afirmar que
a) a.b.
b)
.
c) a - b .
d)
.
e) b - a. 57. Se = m e = n então o valor
de √ é
a)
.
b) m – 2n. c) 2m – n.
d)
.
e) n – 2m. 58. Se = m então é
a) 1 +
.
b) 1 –
.
27
c)
.
d) m – 1. e) m + 1.
59. (UFRGS) Dentre os gráficos abaixo, o
que pode representar a função f(x) =
é
________________________________Gráfico da função Logarítmica f : / f (x , b > 0, b ≠ 1
1° Caso: f(x) = , b > 1
28
2° Caso: f(x) = , 0 < b < 1
Exemplo de Aula Construa o gráfico das funções que seguem.
1. f(x) = 2. f(x) =
3. f(x)
4. f(x) =
Exercício Resolvido
(UFSM 2012) Suponha que um campo de futebol seja colocado em um sistema cartesiano ortogonal, conforme mostra a figura.
29
Para que o ponto A (log10 (x + 1) + 1, log10 (x2 + 35)) tenha abscissa e ordenada iguais, é necessário e
suficiente que
a) x > -1.
b) x = 5.
c) x < -1.
d) x = -5.
e) x > 5.
Resolução:
A abscissa e a ordenada do ponto A(log10(x + 1) + 1, log10(x2 + 35)) são iguais. Assim:
log10(x + 1) + 1 = log10(x2 + 35)
Podemos fazer 1 = log1010. Portanto:
log10(x + 1) + log1010 = log10(x2 + 35)
Aplicando a propriedade do logaritmo do produto, temos:
log10(x + 1).10 = log10(x2 + 35)
Simplificando os logaritmos, obtemos:
(x + 1).10 = x2 + 35 → x
2 - 10 x + 25 = 0
Resolvendo a equação, encontraremos as duas raízes iguais a 5.
Alternativa correta é a letra B.
Exercícios de casa___________________________________________________
60. (PUCRS) A representação
30
É da função dada por y=f(x) = . O valor de
é
a) 2. b) 10. c) 6. d) 8. e) 4.
61. (UFSM) Os projetos sociais que visam a melhorar a qualidade de vida da certa cidade são realizados segundo a previsão populacional para a época de implementação. Sabe-se que a população da cidade aumenta de acordo com a lei P (t) 2000. , onde t é o tempo em anos e P(t) é o total de habitantes em t anos. Para atender uma população de 160.000 habitantes, adotando log 2 = a, o projeto deverá estar pronto um total de anos igual a
a) 3a. b) 3a + 1. c) 3ª – 1. d) a + 1. e) a – 1.
62. (ESPM) O valor de x na equação + = 90 é
a) . b) . c) . d) . e) .
63. (FUVEST) Os números reais x e y são soluções do sistema
2 – (y – 1) = 1
(x + 4) –
y = 1 , então 7(√ -
x) vale a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.
64. Se + = 4, então x é igual a
a) 0 b) 1 c) 10 d) 20 e) 100
65. Se = k então vale
a) 2 . b) 2 – k c) k – 2 d) k . e)
66. Se ( ( √ x)) = 0 , então x é
igual a
a) 1
b) √
c) √ d) 3 e) 9
67. A soma das raízes da equação 2. - = 0 é
a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 e) 0
68. (PUC) O conjunto solução da equação
+ = é
31
a) { - √
,
√
}
b) { - √
√ ,
√
√ }
c) { √
√ }
d) {-1, 1} e) {1}
69.(UFPA) O par de valores (x, y) que satisfaz o sistema — = 2 + = 9
a) (1, -1) b) (4, 2) c) (2, 10) d) (0, 0) e) (10, 4)
70. O conjunto solução da equação x = 0 em é
a) { } b) {0} c) {1} d) {0, 1} e) {-1, 1}
71. Se
= + - 3 , o
valor de p é
a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6
72. (UFGO) Se = m então vale
a) 1 – m. b) m – 1. c) 1/m. d) m². e) m – 3.
73. (UFAM) Para a, b, c reais, positivos, e diferentes de 1 temos = c. Logo podemos afirmar que vale
a) c + 3.
b)
.
c) 3c.
d)
.
e) . 74. A solução da equação logarítmica = + co é
a) 1. b) 0. c) 3/4. d) 4/3. e) 2/5.
75. O produto das raízes da equação - = 0 vale
a) 5. b) 3. c) 1. d) 2. e) 27.
76. A soma das raízes da equação - + 2 = 0 vale
a) 3. b) 5. c) 1. d) 2. e) 6.
77. O conjunto solução da equação logarítmica 2 = + é
a) {3, 18}. b) {0, 18}. c) {4, 18}. d) {0}. e) {18}.
78. Dada a expressão P = + co o valor de P é
32
a) 0. b) 2. c) -1. d) 1. e) -2.
79. A solução da equação logarítmica + = 1 é
a) e³. b) e/3. c) 10/3. d) 3/10. e) 3e.
80. (UFRGS) A raiz da equação = 0 é
a) 0. b) 1. c) 9. d) 10. e) 11.
81. (FURG) Dada a equação (
)²
= (
) – 4 , em que x representa
um número real, é correto afirmar que essa equação
a) tem mais que duas soluções. b) tem uma única solução entre 1 < x
< 3. c) tem duas soluções. d) tem uma única solução entre 0 < x
< 1. e) não tem solução.
82. (UFRGS) Identifique os gráficos que correspondem a y = e y = | |, nesta ordem.
I.
II.
III.
IV.
V.
a) I e II. b) I e III. c) I e IV. d) II e III. e) V e VI.
83. Se f(x) = e g(x) = são funções reais com domínios D(f) = D(g) = { x є \ x > 0} então o gráfico que melhor representa essas funções é
33
84. ( UFRGS) A expressão gráfica da função y = , x > 0, é dada por
a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.
34
85. (UFRGS) Na figura abaixo está representado o gráfico da função f(x) .
A área da região sombreada é
a) 2. b) 2,2. c) 2,5. d) 2,8. e) 3.
86. O gráfico que melhor representa as funções reais f(x) = e g(x) = é
87. (UFRGS) Na figura abaixo, a área do retângulo sombreada é 1/2, e as curvas são gráficos das funções f(x) = e g(x) = , sendo a um número real positivo.
Então, o valor de f(2) – g(2)
a) – 2. b) 1/4.
35
c) 3/4. d) 1. e) 5/4.
88. (UFRGS) A tabela abaixo possibilita calcular aproximadamente o valor de
√
De acordo com os dados da tabela, esse valor aproximado é
a) 1,99.
b) 2,51. c) 3,16. d) 3,98. e) 5,01.
89. (UFRGS) Definido funções convenientes e traçado seus gráficos num mesmo sistema de coordenadas, verifica-se que o número de soluções da equação log (x + 1) = x² - 3x é
a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.
__________________________________________________ Inequações em Inequação de 1ª grau
I. Exemplo resolvido: 2x + 6 ≥ 0 Solução: 2x ≥ -6 x ≥ -3 Representação gráfica:
-∞ -3 +∞ Resposta: {x є | x ≥ -3} ou [ -3 ; +∞)
II. Exemplo resolvido: 8 -2x > 0 -2x > -8 **Atenção: (-1) (-2x) > -8 . (-1) 2x < -8 x < 4 (Ao multiplicar ambos os membros por -1 inverte-se sinal da desigualdade.) Representação gráfica:
-∞ 4 +∞
N log N
1,99 0,3
2,51 0,4
3,16 0,5
3,98 0,6
5,01 0,7
36
Resposta: {x є | x < 4} ou (-∞; 4) 1. Para que se verifique a desigualdade
≤ 0 o valor de x deve estar no intervalo
a) [-1; + ∞). b) (-1; + ∞). c) (-∞; - 1]. d) (-∞; - 1). e) (-∞; - 3).
2. (UFRGS) Se -1 < 2x + 3 < 1, então 2 – x está entre
a) 1 e 3. b) -1 e 0. c) 0 e 1. d) 1 e 2. e) 3 e 4.
Inequação de 2ª grau
I. Exemplo resolvido: x² - 6x + 8 < 0
Soluções: raízes: √
Resposta: (2; 4) ou , x є | 2 < x < 4}
II. Exemplo resolvido: -x² + 8x + 9 ≤ 0
Soluções: raízes: √
Resposta: (-∞; -1] *9; + ∞) ou * x є | x ≤ -1 ou x ≥ 9 -
37
Tarefas___________________________________________________
03. O intervalo real, que contém todas as soluções, da inequação (1 – x)(2 – x) ≤ 0, é
a) (-∞; -1) (2; + ∞). b) (-∞; -1] *2; + ∞). c) [1; 2] d) *1; + ∞). e) *2; + ∞).
04. (UFRGS) As soluções reais da desigualdade x² + 1 > 2x são os números x, tais que
a) X ≠ 0. b) X ≥ 1. c) X > 1. d) X ≠ 1. e) X < 1.
05.Dada a função real f(x) = √ , o intervalo que representa o domínio é
a) (-∞; 2+ *4; + ∞). b) [2; 4]. c) (2; 4]. d) [2; 4). e) (-∞; 2) (4; + ∞).
06. (UFRGS) Se p é um número real, a equação x² + x + 1 = p possui duas raízes reais distintas se, e somente se,
a) P >
.
b) P <
.
c) P >
.
d) P > 0.
e) P é um número real qualquer.
07. O gráfico cartesiano da função quadrática x² - 2x + K² = 0 não intercepta o eixo das abscissas quando
a) K > 0. b) K < - 1 e K > 0. c) K < 1. d) – 1 < K < 1. e) K < - 1 ou K > 1.
08. A solução, em , da inequação x² < 8, é
a) {-2√ , 2√ }.
b) [-2√ , 2√ .
c) (-2√ , 2√ ).
d) (-∞,2√ .
e) (-∞,2√
09. A função f(x)=
é positiva se, e
somente se, x pertence ao intervalo
a) (-1, 1). b) (-1, 1]. c) [-1, 1]. d) (-∞, - 1) (1, + ∞). e) (-∞, - 1] *1, + ∞).
10. (UFRGS) O domínio da função de
variável real definida por √ é o intervalo
a) (-∞, - 3). b) [- 1, - 1]. c) (- 3, 0). d) [- 3, 1]. e) *1, +∞+.
_________________________________________________Inequação Exponencial
38
I. Exemplo resolvido: ≥ 8 Soluções: ≥ x ≥ 2 Resposta: *2; + ∞)
II. Exemplo resolvido: ≥
Solução: ≥ x + 1 ≤ 4 x ≤ 3 Resposta: (-∞; 3+ _____________________________________________________________________________ 11. (UFRGS) A solução da inequação
> 1 é o conjunto
a) { x є / x > 1}.
b) { x є / x < 1}.
c) { x є / x > 0}.
d) { x є / x < 0}.
e) . 12. (UFRGS) As soluções reais das desigualdades > 1 e > 0 são, respectivamente, os valores de x, tais que
a) x > 0 e x > 1. b) x > 0 e x é qualquer número real. c) x > 1 e x > 1. d) x > 0 e x > 0. e) X > 1 e x é qualquer número real.
13. (UFRGS) O conjunto solução da
inequação > 1 é
a) Ø. b) (-1 , 1). c) (0 , + ∞). d) (-∞, 0). e) .
14. (UFRGS) Para valores reais de x, < se, e só se,
a) x < 0. b) 0 < x < 1. c) x < 1. d) x < -1. e) 2 < x < 3.
__________________________________________________Inequação Logarítmica
39
I. Exemplo resolvido: Soluções: x – 3 x – 3 8 x 11 e x – 3 > 0 x > 3 Resposta: 3 < x 11 Em (3; 11]
II. Exemplo resolvido:
Soluções: x + 4 x + 4 1 x –3 e x + 4 > 0 x > –4 Resposta: x – 3 Em [-3; + ∞) _____________________________________________________________________________ 15. (UFRGS) Os conjuntos de soluções reais das desigualdades > 0, > 0 e > x são, respectivamente,
a) Ø, (1, + ∞) e (-∞, 0). b) Ø, (0, + ∞) e (-∞, 0). c) Ø, (1, + ∞) e (0, + ∞). d) (0, + ∞), (1, + ∞) e (-∞, 0). e) (0, + ∞), (0, + ∞) e (-∞, 0).
16. (UFRGS) Os domínios das funções
f(x)= √
+ 2; g(x) =
e h(x) = , em R, são
respectivamente,
a) x ≤ 4 ; x > ½ ; 1 < x < 2. b) 0 < x ≤ 4; x > ½ ;x < 1 ou x > 2. c) 0 < x ≤ 4; x < ½ ; 1 < x < 2. d) x ≤ 4 ; x > ½ ; x < 1 ou x > 2. e) x ≤ 4 ; x > ½ ; 1 < x < 2.
17. Dada a função f(x) = o
intervalo de IR que satisfaz a condição f(x) ≥ 0 é
a) x ≥ 4. b) x < 4. c) 4 ≤ x < 5. d) x ≤ 4. e) x > 5.
18. A inequação logarítmica ≤ 3 tem como conjunto solução
a) { x є /-2√ ≤ x ≤ 2√ }.
b) [-2√ ; 2√ ] – {0}
c) { x є /x ≤ 8}.
d) { x є / x ≤ 2√ }.
e) [ 0; 2√ ].
40
Exercícios Complementares e Desafios 1. (UFRGS 2011) Aproximando log 2 por
0,301, verificamos que o número
1610 está entre
a) 109 e 1010.
b) 1010 e 1011.
c) 1011 e 1012.
d) 1012 e 1013.
e) 1013 e 1014.
2. (UFRGS 2009) Os pontos (5, 0) e (6,
1) pertencem ao gráfico da função
. Os valores de a
e b são, respectivamente:
a) 9 e -44
b) 9 e 11
c) 9 e -22
d) -9 e -44
e) -9 e 11
3. (UFRGS 2009) Após tomar dois
cálices de vinho, um motorista
verificou que o índice de álcool em
seu sangue era de 0,5g/L. Ele foi
informado de que esse índice
decresceria de acordo com a
seguinte igualdade:
(Onde k = índice constatado quando foi
feita a medida; t = tempo, medido em
horas, a partir do momento dessa medida.)
Sabendo-se que o limite do índice
permitido pela lei seca é de 0,2g/L, para
dirigir mantendo-se dentro da lei, o
motorista deverá esperar, pelo menos,
(Use 0,3 para .)
a) 50 min
b) 1 h
c) 1 h 20 min
d) 1 h 30 min
e) 2 h
4. (UFRGS 08) A solução da equação
50)01,0( x é
a) 2log1 b)
2log1
c) 2log1 d)
2log1
e) 2log2
5. (Fuvest SP) A curva da figura que segue representa o gráfico da
função xy 10log , para x > 0.
Assim sendo, a área da região
41
hachurada, formada pelos dois
retângulos, é:
a) 2log10 b) 3log10 c)
4log10
d) 5log10 e) 6log10
6. (UFRGS – 2012) A sequência
( ,)
forma uma progressão aritmética.
Sabendo-se que = 32, o
valor da expressão (
)³ é
a) 10. b) 15. c) 21. d) 26. e) 32.
7. (UFRGS- 2011) O quociente entre o
último e o primeiro termo de uma
sequência de números é 1.000. Os
logaritmos decimais dos termos dessa
sequência formam uma progressão
aritmética de razão ½.
Então, o número de termos da sequência é a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. e) 7.
42