Captulo 3: Caractersticas das aplicaes prticas de mquinas rotativas

3.1 Introduo

No captulo anterior, apresentaram-se os princpios bsicos de produo de campo e torque eletromagntico para os diferentes tipos de mquina rotativa. Alm disso, foram apresentados os parmetros e aspectos construtivos que influenciam a tenso gerada. Neste captulo, sero apresentados os aspectos que influenciam e so determinantes do desempenho dos tipos mais comuns de mquinas em suas aplicaes prticas usuais.

3.2 Mquinas sncronas polifsicas: Caractersticas bsicas

A armadura de uma mquina sncrona constituda usualmente de um enrolamento trifsico, percorrido por correntes trifsicas equilibradas, acondicionado no seu estator. A excitao de campo produzida por um enrolamento alimentado por corrente contnua, localizado no rotor. Os enrolamentos de campo e de armadura possuem o mesmo nmero de plos, de maneira que se produz um conjugado eletromagntico estvel. Dois tipos construtivos de rotores so comumente utilizados: os rotores cilndricos, tambm conhecidos como de plos lisos, ou de plos cilndricos e os rotores de plos salientes, que so assim construdos para melhor definir os caminhos de fluxo, bem como lhes dar forma espacial senoidal, atravs da modelagem das sapatas polares. A construo de plos salientes mais adequada s mquinas de baixa velocidade, como p. ex. os geradores hidreltricos e os motores sncronos. Duas razes de natureza prtica justificam essa caracterstica: em primeiro lugar, difcil acomodar muitas sapatas polares ao longo da superfcie do rotor; depois, a fora centrfuga exercida sobre as sapatas crescente com a velocidade, o que exige maiores cuidados para velocidades elevadas. A corrente contnua que alimenta o circuito de campo suprida usualmente por um gerador de c.c., conhecido como excitatriz. O eixo da excitatriz (armadura) solidrio ao rotor da mquina sncrona, de maneira que a tenso colhida do comutador levada ao circuito de campo da mquina sncrona atravs de anis coletores adicionais, contnuos e isolados entre si. Um outro esquema vivel, dependendo da potncia necessria, consiste da produo de tenso c.c. por meio de dispositivos retificadores, em substituio ao comutador tradicional. Um gerador sncrono pode ser utilizado isoladamente, fornecendo potncia a um conjunto de impedncias. Nesse caso, a potncia fornecida depender da tenso gerada, que por sua vez uma funo de fluxo resultante da corrente do rotor. O fator de potncia e a corrente de armadura variam, naturalmente, com a impedncia equivalente vista pelos terminais de armadura da mquina. A freqncia definida pela velocidade da fonte primria. Em uma aplicao mais freqente, o gerador sncrono fornece potncia, justamente com diversos outros similares, a um grande sistema de energia eltrica. Para funcionamento

em regime permanente, a freqncia da rede e a tenso terminal de um gerador especfico podem ser consideradas praticamente constantes (barramento infinito). A velocidade do campo girante, produzido pelas correntes trifsicas equilibradas do estator, definida pela freqncia do sistema, de acordo com:

fpi 2= ou

m

P

2=

srd

O campo produzido pelo rotor gira velocidade do rotor, que deve ento acompanhar o campo de estator, com a mesma velocidade, para que haja conjugado estvel. A relao entre a velocidade mecnica e a freqncia dada por:

rpmP

fn

120=

Portanto, a mquina gira em sincronismo com a freqncia da rede e esta a razo para sua denominao. Um gerador sncrono que deve ser conectado a um sistema de potncia precisa ento ter seu rotor acionado a uma velocidade n definida pela equao acima. J um motor sncrono ter sua velocidade definida pela freqncia da rede de alimentao, independentemente da carga que ir acionar. Devido inrcia do seu eixo, mesmo quando estiver em vazio (sem carga), o motor sncrono no possui conjugado de partida. O rotor precisa ser acionado a uma velocidade prxima da sncrona, quando ento o seu campo interage com o campo girante, produzindo conjugado estvel, dado pela equao:

rrer senFPT pi

2

22

=

Notar que o sinal negativo foi omitido na equao acima, mas deve-se ter em mente que o conjugado sempre age no sentido de alinhar os campos de rotor e de estator. Assim, para funcionamento como gerador, o campo do rotor caminha frente do campo do estator; para funcionamento como motor, o campo do rotor acompanha o campo do estator, que se situa a sua frente. Se uma mquina sncrona conectada a um grande sistema (barramento infinito) a sua tenso terminal definida pelo sistema, devendo as demais grandezas fsicas se adequar a condicionadores locais. Desprezando a resistncia dos condutores dos enrolamentos de armadura, bem como o fluxo disperso nesses enrolamentos, a tenso interna gerada iguala a tenso terminal e o fluxo resultante pode ser calculado pela equao:

s

ter NfK

V

44,4

=

Observe que, uma vez definidos os valores de tV e f , o fluxo resultante fica perfeitamente definido, pois wK e sN so parmetros de projeto da mquina. A fmm produzida pelo rotor, em condio normal de funcionamento, no varia, pois depende

apenas da corrente de campo que, por sua vez, constante. Portanto, variaes no conjugado eletromagntico so acompanhadas de variaes correspondentes no ngulo de carga,

r . Esse comportamento mostrado pela curva abaixo (T x r ), na qual valores positivos de T correspondem a funcionamento como motor.

Analisando o comportamento como motor, verifica-se que cargas com pequenas solicitaes de conjugado exigem ngulos

r pequenos. medida que a carga aumenta, r tambm aumenta, fazendo com que o rotor se atrase espacialmente com relao onda de fluxo. Para variaes bruscas da carga, o rotor oscila em torno do seu novo ponto de equilbrio. Esse comportamento dinmico ser estudado em um curso mais avanado. Neste captulo, interessa-nos apenas analisar as posies de equilbrio, para avaliar a manuteno do sincronismo. De acordo com a figura acima, evidente que para 90=r atinge-se o mximo conjugado possvel, correspondente mxima extrao de potncia. Nesse ponto, atinge-se a potncia mxima em sincronismo e o conjugado mximo em sincronismo, pois mesmo pequenos aumentos em

r , produzidos por acrscimos de carga, exigiriam valores maiores de conjugado; entretanto, observa-se que a partir desse ponto o conjugado comea a diminuir e a mquina tende a parar. Em geral, quando essa situao acontece, o motor automaticamente desligado, pela ao de disjuntores. Esse fenmeno conhecido como perda de sincronismo. Para funcionamento como gerador, a perda de sincronismo se d quando o conjugado da fonte mecnica, aplicado ao rotor, excede o conjugado eletromagntico definido pela carga mxima que pode ser absorvida da mquina, definida pela sua tenso terminal e freqncia constantes. Nesse caso, o rotor tende a acelerar e o controle de torque da fonte primria precisa atuar rapidamente, parta evitar velocidades que causem danos mquina.

3.3 Mquinas de induo polifsicas: caractersticas bsicas

Assim como na mquina sncrona, o enrolamento de estator de uma mquina de induo em geral trifsico, sendo alimentado por correntes senoidais, defasadas entre si de 120. Dessa forma, produz-se um campo magntico que gira com uma velocidade definida pela freqncia das correntes e pelo nmero de plos. Dois tipos construtivos de

rotor so comuns em mquinas de induo: o rotor bobinado, que apresenta um enrolamento trifsico, com o mesmo nmero de plos que o enrolamento de estator e com os terminais soldados a anis coletores, para obteno de tenses em freqncias diferentes daquela do estator; e o rotor em gaiola de esquilo ou simplesmente em gaiola, que consiste de barras condutoras encaixadas no ferro do rotor e curto-circuitadas em suas extremidades atravs de anis condutores. A robustez e a simplicidade da construo, o que implica em baixo custo, so vantagens incontestveis dessa tecnologia.

A fim de analisar o funcionamento em regime permanente suponha-se o rotor girando a uma velocidade constante igual a n rpm, no sentido de rotao definido pelo campo girante, cuja velocidade Pfn /1201 = . Se o rotor levado a girar de tal forma que

1nn = , os condutores do seu enrolamento (ou de sua gaiola) no apresentaro tenso induzida, uma vez que estaro estacionrios com relao ao campo do estator. Se a fonte mecnica que gira o rotor velocidade sncrona for retirada, este diminuir momentaneamente de velocidade, por ao de foras mecnicas que se opem ao movimento. A partir da, tem-se 1nn < . Esse fenmeno conhecido como escorregamento. Nessa situao, os condutores situados no rotor produzem fems induzidas, que por sua vez produzem correntes, j que os enrolamentos de rotor formam um circuito fechado. Essas correntes de rotor produzem um campo que tende a se alinhar com o campo de estator, produzindo assim um conjugado que mantm o movimento de forma estvel. Em geral, o escorregamento dado como uma frao da velocidade sncrona, sendo definido matematicamente como:

1

1

n

nns

=

de onde:

)1(1 snn =

Tendo em vista a velocidade relativa entre os condutores do rotor e o campo do estator, dada por 11 snnn = , a freqncia das tenses induzidas nesses condutores ser igual a sf, que chamada de freqncia de escorregamento. Portanto, como no h fonte eltrica de excitao do circuito de rotor, a mquina de induo funciona basicamente como um transformador, possuindo a caracterstica adicional de converso de freqncia. Assim, o motor de induo de rotor bobinado pode ser utilizado como conversor de freqncia. Quando o motor utilizado com o simples propsito de acionamento de uma carga mecnica, os enrolamentos de rotor so curto-circuitados e as correntes de rotor so ento

definidas pelas impedncias dos enrolamentos freqncia de escorregamento, bem como pela fems induzidas nessa freqncia. Essas correntes produzem um campo magntico que tende a acompanhar o campo do estator, produzindo assim o conjugado que mantm a rotao. Na partida, o motor de induo funciona basicamente como um transformador e as correntes induzidas no rotor se devem variao temporal das correntes de estator. Nesse instante, s = 1. As correntes de rotor so muito elevadas, pois a mquina se comporta como um transformador energizado com tenso nominal e secundrio em curto-circuito. Em captulos posteriores sero apresentados alguns procedimentos para limitar essa corrente de partida. No presente momento importante apenas observar que h um conjugado de partida e, caso seja vencido o conjugado antagonista, produzido pelo rotor e sua carga, a mquina partir, fazendo o escorregamento variar desde s = 1 at o seu valor final em funcionamento estvel, a velocidade constante. Assim como o campo do estator gira com relao a este com uma velocidade 1n , o campo do rotor girar com relao a sua superfcie com uma velocidade igual a 1sn . Mas o rotor gira com velocidade n, com relao ao estator, de maneira que a velocidade absoluta do campo do rotor dada por:

111 )()( nnnnnsn =+=+

Portanto o campo do rotor tambm gira velocidade sncrona. Os campos so ento estacionrios entre si e o conjugado resultante estvel. Como esse conjugado existe em qualquer velocidade diferente da sncrona, passa a ser denominado conjugado assncrono. Assim como na mquina sncrona ligada a um barramento infinito, o estator de um motor de induo usualmente alimentado por tenso e freqncia constantes, de modo que o fluxo resultante no entreferro, er , praticamente constante. Assim, considerando ainda proporcionalidade entre rF e rI , a expresso do conjugado pode ser simplificada para:

rr senKIT =

Para condies normais de funcionamento, o escorregamento pequeno, situando-se na faixa de 3% a 10% para motores em gaiola, com carga nominal. A freqncia das tenses geradas no rotor varia, portanto, de 2 a 6 Hz, o que torna as reatncias de rotor desprezveis, em relao as suas resistncias. Nesse caso, as correntes de rotor so praticamente proporcionais s tenses induzidas, que por sua vez so proporcionais freqncia de escorregamento. Alm disso, a onda de fmm de rotor se atrasa aproximadamente de 90 em relao ao fluxo resultante, de maneira que 1rsen e o conjugado fica praticamente proporcional ao escorregamento. Para escorregamentos maiores, as correntes de rotor so menos que proporcionais s tenses induzidas e conseqentemente ao escorregamento. Alm disso, as correntes de rotor e a onda de fmm correspondente se atrasa ainda mais, com relao onda de fluxo resultante. Portanto, rsen diminui. A caracterstica conjugado x escorregamento ou conjugado x velocidade mostrada na figura abaixo:

Comentou-se no estudo da mquina sncrona que, quando funcionando como motor, esta no possui conjugado de partida. Para que seja produzida a partida, um enrolamento em gaiola acondicionado no rotor de motores sncronos. A mquina comea a funcionar com a excitao de campo desligada. Quando o rotor atinge uma velocidade prxima da sncrona, o circuito de campo energizado, o que produz uma pequena acelerao no rotor, para que este assuma a velocidade sncrona.

3.4 Funcionamento do comutador A figura abaixo mostra esquematicamente as conexes dos condutores componentes do enrolamento de armadura de uma mquina de c.c.. Um enrolamento com dois caminhos paralelos foi escolhido para explicar o funcionamento de um comutador mais prximo dos encontrados na prtica.

O comutador est representado pelo anel central com 12 segmentos, isolados entre si. Notar que esse o mesmo nmero de bobinas, desconsiderando os caminhos paralelos, ou seja, o mesmo nmero de eixos magnticos. Conforme se mostrou no captulo anterior, o efeito desse enrolamento distribudo um campo resultante vertical, no sentido de baixo

para cima. Para funcionamento como motor e para as direes de referencia das correntes, o torque eletromagntico produz rotao no sentido horrio. Para funcionamento como gerador, mantendo as direes de referncia das correntes, o conjugado mecnico deve ser aplicado no sentido anti-horrio e o conjugado eletromagntico passa a ser antagonista. Admitindo um pequeno deslocamento nesse sentido, os segmentos 1 e 2 do anel comutador ficam curto-circuitados por uma escova, de um lado, como tambm os anis 7 e 8, pela outra escova. Essa situao mostrada na figura abaixo.

Notar que o condutor de numero 7, que est conectado ao segmento de nmero 2, do comutador, precisa inverter subitamente o sentido de sua corrente. Aps essa transio o condutor 1 ocupar o lugar do condutor 12 e ter sua corrente invertida, mantendo o sentido do campo de armadura ainda vertical. Durante o pequeno intervalo de tempo em que uma escova faz contato simultneo com duas lminas, as bobinas a elas ligadas ficam curto-circuitadas e removidas do restante do circuito. A inverso de corrente no se d de forma ideal, que seria linear, conforme esquema da figura abaixo, o que resulta em faiscamento.

No captulo dedicado ao estudo detalhado da mquina de c.c., sero estudados os procedimentos adequados obteno de comutao linear.

3.5 Mquinas de c.c.: caractersticas bsicas As caractersticas construtivas essenciais da mquina de c.c. tm sido apresentadas em vrios tpicos ao longo desse texto. O estator apresenta uma estrutura de plos salientes, que acomoda um enrolamento alimentado por c.c.. O rotor acomoda o enrolamento de armadura, cujos condutores so conectados aos segmentos do condutor, conforme se detalhou na seo anterior. O eixo dos plos do estator conhecido como eixo de campo ou eixo direto. A posio das escovas escolhida de tal forma que os condutores das bobinas sob comutao se encontram na zona-morta de influncia do campo de estator, ou seja, a meio caminho entre os plos de campo, produzindo baixas correntes, facilitando a comutao. O eixo do campo magntico resultante, produzido pela armadura, est a 90 do eixo direto e por isso denominado de eixo em quadratura. As figuras seguintes mostram a representao esquemtica usual de mquina de c.c. e seu diagrama de circuito.

Embora a onda de fmm de armadura no seja senoidal, o conjugado pode ser expresso em funo de sua componente fundamental, 1aF , e do fluxo no eixo direto por plo, d . Lembrando que o seno do ngulo entre os fasores representativos dessas grandezas igual a 1, tem-se:

1

2

22 adFPT pi

=

Considerando que o valor de pico da componente fundamental da onda espacial triangular de fmm de armadura pi8 vezes a sua amplitude mxima, tem-se:

ada IKT =

A constante aK dada por:

aZPK aa pi2=

onde aZ o nmero de condutores por bobina e a o nmero de caminhos paralelos. A tenso obtida atravs das escovas do comutador a soma das tenses das diversas bobinas, resultando em uma forma ondulada, como mostra a figura abaixo:

O valor mdio resultante a soma dos valores mdios, j calculados anteriormente de modo que a tenso entre as escovas pode ser dada por:

mdaa KE =

onde aK foi definida na equao de torque. Notar que

am

a

ITE

=

, ou ainda:

maa TIE =

o que reafirma o princpio da conservao da energia no processo de converso. O fluxo d pode ser determinado a partir do conhecimento da caracterstica fluxo-fmm do circuito magntico da mquina, isto , de sua curva de magnetizao. Uma curva de magnetizao tpica mostrada na figura abaixo. Admite-se que fmm de armadura no tem influncia sobre o fluxo de eixo direto, uma vez que os eixos magnticos dos enrolamentos de campo e de armadura se encontram defasados (idealmente) de 90.

Tendo em vista que a fem gerada na armadura proporcional ao fluxo de campo, para uma determinada velocidade, torna-se mais conveniente, do ponto de vista de medio das grandezas, trabalhar com uma curva de magnetizao modificada, relacionando a fmm

(ou a corrente de campo) com a fem, para uma velocidade especfica 0m . Admitindo a operao em uma regio linear da curva resultante, supem-se constante a relao:

dam

a KE

=

0

0

Assim, com o auxlio de uma curva como a mostrada na figura abaixo, pode-se calcular a tenso gerada aE para uma velocidade m especfica, atravs da relao:

0

0

m

a

m

a EE

=

A curva de figura (c) usa como abscissa a corrente de campo, fi , que proporcional fmm. Em muitas aplicaes prticas ela prefervel, pois sua obteno, atravs de ensaios, envolve procedimentos de medio muito simples.

Considerando que a relutncia de entreferro muito superior relutncia do ferro, no circuito magntico de eixo direto, o fluxo proporcional corrente e dado por:

= ffdd iN

A atratividade da mquina de c.c. decorrente da sua capacidade de apresentar uma grande variedade de caractersticas de funcionamento, que so obtidas a partir das diferentes maneiras possveis de realizar a excitao dos enrolamentos de campo. Tendo em vista que a corrente de campo uma frao muito pequena (1 a 3 por cento) da corrente nominal de armadura, uma pequena quantidade de potncia no circuito de campo capaz de controlar uma potncia elevada no circuito de armadura. As figuras abaixo mostram esquematicamente as diferentes formas de excitao do enrolamento de campo. Na figura (a), uma fonte de c.c. independente utilizada para prover a excitao; nas demais, a excitao de campo provida pelo prprio circuito de armadura, segundo diferentes esquemas. Em todos estes, necessrio que haja um magnetismo residual nos plos de campo, para iniciar o processo de auto-excitao, para mquinas funcionando como gerador.

O modelo de circuito de um gerador c.c. uma fem aE , em srie com a resistncia equivalente das bobinas de armadura, aR . A tenso terminal dada ento por:

aaat IREV =

Notar que a fem aE depende do fluxo no eixo direto e, conseqentemente, de como este varia com a corrente de armadura (carga), de acordo com os diferentes esquemas de excitao. Para excitao independente, aE constante e tV varia exclusivamente com a corrente de carga. Esse no o caso, para geradores auto-excitados. A figura abaixo apresenta caractersticas tpicas de regulao de tenso, admitindo velocidade de acionamento constante.

Notar que o gerador srie apresenta uma variao muito elevada da tenso terminal com a carga. Por isso, esse tipo de excitao quase no utilizado para geradores. J os geradores com excitao em derivao possuem tenso terminal que cai pouco com a carga, comparativamente. Nos geradores compostos, a queda de tenso decorrente do campo de variao pode ser compensada pela elevao provocada pelo campo srie, de modo que a tenso obtida para correntes prximas nominal fica aproximadamente constante. Um controle fino da tenso em geradores derivao e composto pode ser realizado atravs de um reostato no campo de variao. Construtivamente, o enrolamento do campo derivao constitudo de condutor fino, com muitas espiras, para produzir a fmm desejada tendo em vista que circulado por uma baixa corrente; j o campo srie constitudo de condutor grosso, pois precisa transportar a corrente de carga e ento poucas espiras so suficientes para produo de fmm. Em geradores compostos, o enrolamento srie usualmente enrolado por cima do campo de derivao. Os esquemas de excitao adotados para geradores so tambm utilizados para motores. Nesse caso, a equao que relaciona a fem gerada com a tenso terminal :

aaat IREV +=

Enquanto a regulao de tenso uma caracterstica importante para geradores, para motores, importante analisar as caractersticas velocidade-conjugado. A figura abaixo mostra tais caractersticas, para motores tpicos, considerando tenso terminal constante.

Motores com excitao independente possuem fluxo de campo praticamente constante. Assim, um aumento em conjugado exige um aumento proporcional na corrente de armadura, reduzindo a fcem gerada, aE . Isso provoca uma pequena queda na velocidade. Embora seja um motor de velocidade praticamente constante, o motor derivao permite, atravs de um reostato de campo, controlar a velocidade dentro de uma faixa relativamente ampla (5 x 1). O fluxo de campo alterado pela corrente que circula no reostato, de maneira que se obtm uma variao correspondente na velocidade, inversamente proporcional variao do fluxo, para aE constante. Permitindo-se adicionalmente variaes de tenso de armadura, pode-se obter faixa muito ampla de variao de velocidade. No motor srie, um aumento no conjugado de carga exige aumento de corrente que, nesse caso, produz um aumento de fluxo, compensando assim aumentos muito acentuados na corrente. Mas, como a f.c.e.m. aE mantida praticamente constante, pela tenso terminal aplicada, h ento uma queda de velocidade, para compensar o aumento de fluxo. Em aplicaes nas quais podem ocorrer sobrecargas pesadas, esse tipo de motor pode ser vantajoso, pois o acrscimo de potncia fica limitado pela queda de velocidade, no exigindo assim tanta corrente da fonte. No motor composto, tem-se uma caracterstica velocidade-conjugado intermediria. Em princpio, o campo srie poderia ser aditivo ou subtrativo, embora a ligao subtrativa seja raramente utilizada.

Captulo 4: Motores de Induo em Regime Permanente

4.1 Introduo

Devido alimentao dos enrolamentos polifsicos de estator por correntes equilibradas, forma-se uma onda de fluxo de amplitude constante que gira no entreferro velocidade sncrona. Por efeito de induo magntica, f.e.m.s. so geradas nos circuitos de rotor, produzindo correntes, cujo efeito uma onda de fmm que gira na mesma velocidade que o fluxo de estator, resultando em um conjugado constante, que mantm a rotao. Como o rotor gira a uma velocidade abaixo da velocidade sncrona, a onda de fmm de rotor, bem como a onda de fluxo resultante, giram sobre o rotor velocidade de escorregamento. Essas observaes e as equaes j apresentadas no captulo anterior sero utilizadas nesse captulo, a fim de realizar um estudo sobre os efeitos do motor de induo sobre o circuito de alimentao.

4.2 Ondas de fluxo de fmm em mquinas de induo

Tendo em vista que a onda de fluxo resultante gira em relao ao rotor com velocidade de escorregamento, as fems induzidas no rotor - e as correntes por ela produzidas esto na freqncia de escorregamento. So essas correntes que produzem a fmm de rotor. O conjugado desenvolvido por interao desta fmm com o fluxo resultante dado por:

rrer senFPT pi

2

22

=

onde r o ngulo espacial entre os campos, resultante e de rotor.

a) Reao do rotor

Uma vez que a onda de fluxo resultante est adiantada de 90 eltricos das fems induzidas no rotor, para circuitos de rotor puramente resistivos, tem-se que a onda de fmm de rotor (e o fluxo de rotor) se atrasa de 90 em relao ao fluxo resultante. Tem-se, portanto, para uma mquina de dois plos, 90=

r e o conjugado assume seu valor timo.

Se, entretanto, o fluxo disperso de rotor e a reatncia de disperso correspondente forem considerveis, as correntes de rotor se atrasam das fems induzidas do ngulo de fator de potencia, 2 . Para a mquina de dois plos, tem-se, portanto:

290 +=r

Notar que 2 o ngulo de fator de potncia da impedncia de disperso do rotor, freqncia de escorregamento.

b) Grandezas de rotor relativas ao estator

Pelo menos no que se refere s componentes fundamentais, os circuitos de rotor de motores de induo reagem produzindo uma onda de fmm com o mesmo nmero de plos que a onda de estator, que gira com a mesma velocidade que o fluxo resultante, situando-se a 290 + (atrs da onda de fluxo). O estator, cujos enrolamentos esto, naturalmente, fixos, toma conhecimento da existncia do rotor devido a sua onda de fmm, girante. Esse movimento relativo produz fems induzidas no estator, com polaridade oposta quela das f.c.e.m.s. induzidas pelo fluxo de estator - em uma situao hipottica sem rotor - reduzindo a tenso interna gerada do estator. Assim como ocorre em transformadores, o circuito de alimentao envia mais corrente, para compensar o desbalanceamento de tenses. Essa reao idntica que acontece com o circuito primrio de um transformador, quando se conecta carga no seu secundrio. Considerando, hipoteticamente, que o rotor foi substitudo por um outro, com o mesmo nmero de plos que o primeiro, mas com nmero de espiras por fase igual ao enrolamento de estator, este no tomaria conhecimento dessa mudana, caso a fmm produzida pelo rotor equivalente fosse a mesma. Se o nmero de espiras por fase do estator,

eN for igual a rNa. , sendo rN o nmero de espiras por fase do rotor, para o mesmo fluxo e velocidade, as tenses induzidas em ambos os rotores, real e fictcio, podem ser relacionados atravs da equao:

rotore aEE =2

Como as fmms produzidas por ambos so iguais, tem-se:

aII rotore =2

Conseqentemente, a relao entre as impedncias de disperso, freqncia de escorregamento, :

rotore ZaZ2

2 =

Os valores das tenses, correntes e impedncias do rotor equivalente so definidos como valores referidos ao estator. Como o rotor possui seus enrolamentos curto-circuitados, a relao fasorial entre a fem gerada e a corrente do rotor equivalente resulta ento na impedncia de disperso, na freqncia de escorregamento:

2222

2 jsxrZIE

e

e

e +==

onde 2x a reatncia de disperso do rotor equivalente (ou referida ao estator), na freqncia do estator. Essa equao pode ser representada pelo seguinte diagrama de circuito:

4.3 O Circuito Equivalente da Mquina de Induo

A anlise que segue realizada para uma mquina funcionando como motor. Concluses semelhantes podem ser obtidas para geradores, invertendo as direes de referncia das correntes de estator.

Assim como em um transformador, um fluxo mtuo resultante no circuito magntico gera fcems induzidas no enrolamento de cada fase do circuito primrio, que se ope tenso aplicada, de acordo com a expresso:

1111 )( IjxrEVt ++=

onde tV a tenso terminal, 1E a fcem gerada, )( 11 jxr + a impedncia de disperso e 1I a corrente da fonte de alimentao, sendo estas todas, grandezas por fase Y do estator. Essa relao pode ser representada pelo circuito equivalente da figura abaixo:

Mesmo quando no h carga no eixo do motor, a mquina exige uma pequena corrente da fonte de alimentao, necessria manuteno do fluxo resultante. Como em um transformador, essa corrente pode ser desmembrada em duas parcelas, sendo uma delas responsvel diretamente pelo fluxo no circuito magntico e, conseqentemente, atrasada em 90, com relao tenso 1E ; a outra, representa a perda de potncia no circuito magntico. Assim, definem-se as correntes de excitao ( I ), de magnetizao ( mI ) e de perdas no circuito magntico (

nI ), de maneira que o circuito equivalente, por fase, dos enrolamentos de armadura, toma a forma da figura abaixo:

A corrente nI est naturalmente em fase com 1E e as grandezas ng e mb so a condutncia de perdas e a susceptncia de magnetizao, respectivamente. Essas grandezas so determinadas, usualmente, freqncia de estator e para um valor de 1E que corresponde ao funcionamento com tenso terminal nominal. J a corrente mI se defasa de 90

o de 1E e

a responsvel pela produo do fluxo mtuo. Notar que o circuito da figura acima idntico ao que representa os fenmenos que ocorrem no primrio de um transformador em vazio. Para incluir os efeitos dos fenmenos de rotor, considerar-se-o grandezas relativas ao estator, supondo enrolamentos de rotor e de estator com mesmo nmero de espiras. Como a tenso gerada pelo fluxo resultante proporcional velocidade relativa entre a onda de fluxo e os enrolamentos, evidentemente, a tenso gerada no rotor equivalente :

12 EsE e =

Mas, a partir do circuito equivalente de rotor, com grandezas relativas ao estator, tem-se que:

ee IjsxrE 2222 )( +=

Combinando as equaes acima, tem-se:

eIjsxrEs 2221 )( += ou

eIjxs

rE 2221

+=

Essa ltima equao pode ser usada para completar o circuito equivalente:

Notar que a parte real da impedncia de rotor varivel com o escorregamento que, por sua vez, varia com a carga no eixo. Portanto, essa grandeza representa no apenas a dissipao de potncia nos circuitos de rotor, mas tambm a potncia desenvolvida no eixo da mquina. Deve-se notar ainda que, subtrada a corrente de excitao, a corrente de estator produz uma fmm que exatamente equilibrada pela fmm pela corrente de rotor. Alm disso, as grandezas de rotor, referidas ao estator, se encontram na freqncia de estator. Isso se justifica pelo fato de que variaes no desempenho do rotor so informadas ao estator atravs de variaes na onda de fluxo resultante, que gira velocidade sncrona, relativamente aos seus enrolamentos, estacionrios.

4.4 Anlise do Circuito Equivalente

A partir do circuito equivalente do motor de induo, algumas caractersticas de desempenho, como correntes, velocidade e perdas podem ser obtidas em funo do conjugado da carga. Por exemplo, a potncia total transferida do estator para o rotor, em uma mquina de 1q fases, :

22

211 .I

s

rqPg =

e as perdas no cobre dos enrolamentos de rotor so dadas por:

22212 IrqP perdas =

Portanto, a potncia mecnica interna da mquina dada pela diferena:

s

srIqr

s

rIqPPP perdasgmec

=

==

1.2

2212

222121

ou ainda:

1)1( gmec PsP = e:

22212

221

22211

1. rIq

s

srIq

s

rIqPg +

=

=

Isso sugere que o circuito equivalente seja modificado para refletir essas duas parcelas da potncia transferida atravs do entreferro, como mostra a figura abaixo:

Lembrando que o produto do conjugado eletromagntico exercido sobre o rotor pela sua velocidade reproduz a potncia desenvolvida no eixo, tem-se:

TsP smec .)1( =

Combinando essa equao com a equao anterior de Pmec, fica:

s

rIqTs

2221

.

=

A velocidade sncrona, em rd/s, pode ser obtida atravs da expresso:

ploss N

fpi

4=

Notar que, caso sejam consideradas as perdas por atrito e ventilao, como tambm as perdas suplementares, estas devem ser subtradas ainda do valor de Pmec calculado pelas equaes acima, para ento obter a potncia disponvel no eixo. Essa potncia resultante define ento o conjugado de acionamento de carga. Tendo em vista que a corrente de excitao em mquinas de induo usuais situa-se na faixa de 30% a 50% da corrente nominal, o ramo de excitao no pode ser desprezado, para efeito de simplificao, como prtica comum nas aplicaes com transformadores. Mais alm, a evoluo para circuitos L-equivalentes torna-se proibitiva, devido tambm aos altos valores de reatncia de disperso. A nica aproximao que comumente permitida, por facilitar a obteno de parmetros de circuito equivalente, consiste em eliminar o ramo de perdas no ferro, aglutinando estas com as demais perdas da mquina, que sero subtradas para obter a potncia lquida que define o conjugado. Assim, o circuito equivalente fica:

4.5 Exemplo de aplicao

Um motor de induo trifsico, 220V, 60 Hz, 10 HP e 6 plos, tem as seguintes constantes em ohm/fase, referidas ao estator:

294,01 =r ; 144,02 =r ; 503,01 =x ; 209,02 =x ; 25,13=x

As perdas totais no ferro, por atrito e por ventilao so de 403W e so consideradas independentes da carga. Para um escorregamento de 2%, e funcionamento com tenso e freqncia nominais, calcular:

a) velocidade do rotor; b) corrente de estator, potncia de sada e conjugado de carga; c) fator de potncia e rendimento.

Soluo:

a) srdsrdPlos

fsPlos

fss sr /2,39/98,0.40

4)1(2

).1(2).1( pipipipi =====

ou rpmrpmPlos

fsn 11761200.98,0120).1( ===

b)

1

22

2

1

11

1

2211

22211

4,328,18

12703

220,

61,370,5)//()()(

Ijx

s

rjxjx

I

I

VVZVI

jjxsrjxjxrZs

rIqP

eq

eq

g

++

=

=

===

+=+++=

=

wattsIPg 740.502,0144,0

..3 221 ==

A potncia mecnica interna :

wattsPsP gmec 632.55740.98,0)1( 1 ===

A potncia da carga ser ento:

wattsPPP perdasmecac 230.54035632arg ==

Portanto, o conjugado ser:

mNP

Tr

ac

ac .5,42)6,125.98,0(5230arg

arg ===

c)

844,0..4,32coscos.. 1

=

==pfpf

onde 1 o ngulo entre 1V e 1I

%3,86863,060605230

606040333

arg

222

211arg

====

=+++=

entrada

ac

acentrada

PP

n

WIrIrPP

4.6 Conjugado e potncia a partir do teorema de Thvenin

A expresso do conjugado interno exige o conhecimento da corrente 2I , que no um dado obtenvel diretamente, a partir das caractersticas nominais da mquina. A fim de facilitar o clculo do conjugado e da potncia, pode-se representar o circuito de estator, usando o circuito equivalente de Thvenin. O circuito resultante fica:

onde 111

1 Vjxjxrjx

V a

++=

e )())((

11

1111

xxjrjxrjxjXR

++

+=+

Assim: )( 2121

12

xXjs

rR

VI a

++

+

= e 2

21

22

1

212

2

)( xXs

rR

VI a

++

+

=

Portanto: 2

21

22

1

221

1

)(.

xXs

rR

srVqT

a

s ++

+

=

A curva conjugado-velocidade ou escorregamento mostrada na figura abaixo. Para s > 0, tem-se funcionamento como motor; para s < 0, tem-se funcionamento como gerador.

Notar que, para velocidades prximas da sncrona, a curva conjugado-velocidade apresenta uma inclinao acentuada. Isso significa que a velocidade praticamente no varia, nessa regio, mesmo para variaes considerveis do conjugado, que definido pela exigncia de carga no eixo. Portanto, o motor de induo basicamente uma mquina de velocidade constante, para funcionamento em torno das condies nominais de operao. Para se obter s > 1, necessrio que a mquina seja acionada no sentido contrrio ao de rotao do campo. O comportamento poderia ser avaliado pelo prolongamento da curva, para regio de velocidades negativas. Esse comportamento pode ainda ser obtido atravs da inverso sbita de duas fases, fazendo com que o campo gire em sentido contrrio rotao mecnica, produzindo um torque de frenagem. Por isso, essa regio de curva chamada de regio de frenagem e o mtodo de parada conhecido como frenagem por inverso de fases. A curva para a potncia mecnica interna pode ser obtida atravs da relao

TsP smec )1( = , resultando em:

s

s

xXsrRrVqP amec

+++=

1.)()/( 221221

22

11

A curva semelhante de conjugado, como mostra a figura abaixo. Entretanto, observa-se que na regio em que s > 1, a potncia negativa, o que significa que a mquina entrega potncia ao circuito de alimentao. A figura ainda mostra a variao da corrente de armadura com o escorregamento.

( )2212

21

12

xXs

rR

VI a

++

+

=

Notar que o conjugado mximo e a potncia interna mxima no ocorrem mesma velocidade. O conjugado mximo ocorre quando a potncia Ts mxima, conforme a expresso encontrada para T. O produto Ts corresponde potncia desenvolvida na resistncia sr /2 que, pelo princpio de casamento de impedncias, assume seu valor timo quando:

221

21

2 )( xXRs

r

mxT

++=

ou:

( )221212

xXR

rsmxT

++=

que, substituindo na expresso do conjugado, obtm-se:

( )2212112

115,0.

1xXRR

VqT as

mx+++

=

Conforme se observou da curva conjugado-velocidade, a mquina de induo apresenta uma velocidade de regime permanente praticamente constante. A fim de conseguir uma caracterstica de velocidade varivel, usam-se motores de rotor bobinado, em cujos enrolamentos possvel conectar resistncias, variando assim a resistncia equivalente de rotor. Para manter o conjugado constante, necessrio que variaes na resistncia do circuito de rotor sejam acompanhadas por variaes proporcionais no escorregamento e, conseqentemente, na velocidade. Tambm o valor do escorregamento, para o qual ocorre conjugado mximo, varia proporcionalmente a 2r . Entretanto, o valor do conjugado mximo independe do valor dessa resistncia, como mostram as curvas da figura abaixo.

4.7 Curvas normalizadas de conjugado-velocidade

Tendo em vista que a curva conjugado-velocidade funo de diversos parmetros, s vezes mais simples, em algumas aplicaes, trabalhar com curvas normalizadas, com um nmero menor de parmetros. Assim, costuma-se utilizar funes de conjugado-velocidade normalizadas, pela expresso do conjugado mximo. Dividindo membro a membro ambas as expresses de T e Tmx, obtm-se:

221

22

1

2221

211

)(

])([2

xXs

rR

sr

xXRR

TTmx ++

+

+++=

Explicitando 2r na expresso de mxTs e substituindo na equao acima, fica:

+++

++=

s

s

s

sQ

QTT

mxT

mxT

mx 1211

11

2

2

sendo 1

21

RxXQ +=

Considerando o baixo valor de 1R , comparativamente s demais impedncias do circuito equivalente, pode-se fazer Q , para simplificar a expresso acima. Nesse caso, a funo normalizada fica:

s

s

s

sTT

mxT

mxT

mx +=

2

A figura abaixo mostra uma famlia de curvas normalizadas, para diversos valores do parmetro Q. notar que a influncia dos valores de Q pequena, de maneira que boas aproximaes podem ser obtidas a partir da funo normalizada simplificada.

Semelhantemente s curvas normalizadas de conjugado-velocidade, definem-se funes normalizadas de corrente de carga. A partir das expresses de 2I e mxTs , pode-se obter:

( )1

22

11

112

222

2

22

2

22

2

2

2

+

=

+

+

++

+++=

s

sQQs

s

Q

QQs

s

QQI

I

mxTmxTmxTmxT

4.8 Efeitos da Resistncia de Rotor

Conforme se pode observar das equaes de conjugado e corrente, o valor da resistncia de rotor determinante do desempenho da mquina, no apenas em funcionamento normal de regime permanente, mas tambm na partida (s=1). Quanto maior o valor dessa resistncia, menor ser a corrente de partida e maior ser o conjugado correspondente. Entretanto, valores elevados de 2r prejudicam o rendimento do motor, apesar de influrem positivamente no fator de potncia. Dessa forma, solues de compromisso devem ser encontradas, para cada projeto de mquina, dependendo das exigncias de aplicao especfica.

4.8.1 Motor de rotor bobinado

A fim de permitir que a resistncia equivalente do rotor assuma valores diferentes, na partida e em funcionamento normal, costuma-se adotar a soluo de rotor com enrolamento idntico ao estator, mas com terminais solidrios a anis coletores, a partir dos quais podem ser conectados resistores variveis. Dessa forma possvel controlar o conjugado, fazendo com que este assuma sempre seu valor mximo, medida em que a mquina ganha velocidade e o escorregamento comea a diminuir, proporcionalmente diminuio de 2r , de acordo com:

( )221212

xXR

rsmxT

++=

ou seja, r2 escolhida, para cada velocidade (ou escorregamento), de acordo com: ( )22121)(2 xXRsr mxT ++=

Quando a mquina atinge a velocidade nominal, as resistncias externas podem ser completamente excludas do circuito de rotor, produzindo um curto-circuito nos anis coletores. Assim, pode-se obter um bom rendimento em funcionamento normal. Alm de permitir um controle das condies de partida, o motor de rotor bobinado permite ainda o controle de sua velocidade, se esta for uma caracterstica desejvel de determinada aplicao.

4.8.2 Rotores de barras profundas e de gaiola dupla

Devido a efeitos da distribuio no uniforme de fluxo disperso nas barras do rotor, a corrente em cada barra tende a circular em camadas mais prximas da superfcie, fazendo com que a resistncia efetiva da barra seja maior que se houvesse uma distribuio uniforme da corrente. A indutncia de disperso da camada mais profunda maior do que a indutncia na camada da periferia do rotor. Assim, as reatncias de disperso so maiores nas camadas mais profundas. Considerando que as camadas esto em paralelo, a corrente ser maior na periferia. Semelhantemente ao efeito pelicular, este fenmeno se acentua com o aumento da freqncia.

Como a distribuio de corrente depende de um efeito indutivo, a resistncia efetiva uma funo da freqncia, como mostra a figura abaixo:

Assim, um aumento na largura das barras (profundidade alcanada no interior do rotor) produz uma reduo na resistncia efetiva mais significativa nas baixas freqncias, ou seja: quanto mais profundas forem as barras, menor ser a relao entre a resistncia de rotor nas baixas freqncias e a resistncia efetiva nas altas freqncias. Lembrando que a freqncia das correntes de rotor, na partida, igual a 60 Hz e, em funcionamento normal (velocidade nominal) igual a 2 ou 3 Hz, v-se portanto que as barras profundas favorecem a obteno de resistncias de rotor significativamente maiores na partida, que na velocidade nominal.

Uma outra forma de obter o mesmo efeito atravs do uso de duas gaiolas, curto-circuitadas entre si atravs de anis montados sobre o rotor. A gaiola mais superficial constituda de barras de dimenso reduzida, por onde devero circular as correntes na situao de mais alta freqncia (partida). J as barras profundas possuem dimenses um pouco maiores, contribuindo para a reduo da resistncia equivalente nas baixas freqncias (funcionamento com velocidade nominal).

Os motores com rotores em gaiola dupla ou em barras profundas podem, de acordo com as exigncias de projeto, possuir boas caractersticas de partida, com altas resistncias efetivas de rotor, e bom desempenho em funcionamento nominal, com baixas resistncias de rotor. Mesmo assim, o projeto deve atender a uma soluo de compromisso, que no apresenta a flexibilidade do rotor bobinado. Este dever ser utilizado, quando as condies de partida so muito severas.

4.8.3 Classes padronizadas para motores de induo

De acordo com a classificao estabelecida pela NEMA (normas americanas) e pela ABNT (NBR7094), os motores de induo podem ser agrupados conforme suas caractersticas conjugado-velocidade e de corrente de partida nas seguintes classes:

a) Classe A (ABNT-N): Conjugado de partida normal, corrente de partida normal e baixo escorregamento. Nesta classe se encontram motores com gaiola nica, de baixa resistncia e, por isso, com relativamente alta corrente de partida. O conjugado mximo bem maior que duas vezes o conjugado de partida, ocorrendo para um valor de escorregamento menor que 20%. O conjugado de partida pode atingir o dobro do seu valor nominal, em motores de pequeno porte, mas pode ser comparvel ao valor nominal, em motores de grande porte. J a corrente de partida, varia de 5 a 8 vezes a corrente nominal. Para potncias nominais em torno de 7 HP, essa corrente se situa na ordem de grandeza de correntes de surto, que so geralmente suportveis pela rede de distribuio, embora possa provocar afundamentos de curta durao (VTCDs). Na Classe A se enquadram motores de potncia nominal inferior a 7,5 HP ou superior a 200 HP. Em muitos desses casos, a partida pode se dar com tenso plena aplicada diretamente nos terminais de estator. Em outros casos, pode se partir a mquina com tenso reduzida, utilizando-se para tanto de um autotransformador, conhecido como compensador de partida. Um diagrama de circuito desse equipamento apresentado na figura abaixo. Sua operao pode ser manual ou automtica, com o auxlio de rels.

b) Classe B (ABNT-N): Conjugado de partida normal, baixa corrente de partida e baixo escorregamento nominal. Possui basicamente o mesmo conjugado de partida dos motores da Classe A, mas a corrente de partida um pouco reduzida (75% da anterior). A partida com tenso plena pode ser adotada em mquinas de potncia maior que na Classe A. A corrente de partida fica reduzida devido ao uso de gaiola dupla ou com barras profundas, sendo limitada, portanto, por um alto valor de reatncia. Isso reduz, entretanto, o fator de potncia, mas a mquina apresenta um bom rendimento. Motores dessa classe so os mais comuns nas aplicaes que exigem potncias entre 7,5 e 200 HP. So geralmente usados para acionar ventiladores, bombas e mquinas operatrizes, devido baixa exigncia de conjugado de partida.

c) Classe C (ABNT-H): Alto conjugado de partida e baixa corrente de partida so as caractersticas bsicas dos motores dessa classe. Possuem rotores em gaiola

dupla, com resistncia mais alta do que os da Classe B. Isso resulta num conjugado de partida mais alto, com corrente de partida mais baixa, mas com prejuzo do rendimento em funcionamento normal, relativamente s classes anteriores. Aplicaes tpicas de motores dessa classe so compressores e transportadores.

d) Classe D (ABNT-D): Alto conjugado de partida e alto escorregamento caracterizam os motores desta Classe. Possuem geralmente um rotor com gaiola nica, constituda freqentemente de barras de lato, cuja resistncia elevada. O conjugado mximo tambm elevado e ocorre para valores de escorregamento entre 50 e 100%. O escorregamento plena carga igualmente elevado (7 a 11%), mas a corrente de partida baixa. As aplicaes principais desses motores se do no acionamento de cargas intermitentes, que exigem altas aceleraes, como tambm para mover cargas de alto impacto. Neste caso, costuma-se associar o motor a um volante, que auxilia no impacto, transferindo sua energia cintica. Para tanto, necessrio que o motor reduza significativamente a velocidade, com o aumento do conjugado.

Finalizando, cabe ressaltar que essas Classes so usadas para agrupar caractersticas de comportamento mdio de motores que possuem caractersticas de projeto semelhantes e so destinados ao mesmo tipo de aplicao. Curvas tpicas das diferentes classes so apresentadas na figura abaixo.

4.9 Controle de Velocidade

Conforme se explicou em sees anteriores, o motor de induo simples, sem requisitos adicionais, uma mquina de velocidade constante. Entretanto, a caracterstica da velocidade varivel pode ser requerida para diversas aplicaes. As formas prticas de implementao dessa caracterstica se baseiam nas equaes de conjugado e de freqncia, repetidas a seguir:

602

)(.

1

221

22

1

2211

nPf

xXs

rR

s

rVqT

a

s

=

++

+

=

As formas usuais de implementao do controle de velocidade so: a) Variao do nmero de plos Como a freqncia da rede no muda, o produto P.n deve permanecer constante. Portanto, a velocidade sncrona varia, produzindo assim variao na velocidade do rotor, para atender exigncia de conjugado constante. O enrolamento de estator projetado de forma que, atravs de alterao nas ligaes das bobinas, o nmero de plos tambm alterado, sempre na razo de 2 para 1, de maneira que para cada mudana, duas velocidades sncronas ficam definidas. Em geral, rotores em gaiola so utilizados nesse esquema, pois as gaiolas reagem com o mesmo nmero de plos que o enrolamento de estator. Isso evita complicaes devidas necessidade de rearranjar o enrolamento de rotor, caso fosse bobinado, de maneira a produzir o mesmo nmero de plos que o estator.

b) Variao da freqncia da rede Variando a freqncia da tenso de alimentao, altera-se a velocidade do campo girante (sncrona) e conseqentemente, a velocidade do motor. Para que seja mantida constante a induo magntica, necessrio, entretanto, que se altere o mdulo da tenso terminal, na mesma proporo. A variao de freqncia pode ser obtida atravs de conversores a estado slido, ou atravs de outra mquina de induo com rotor bobinado.

c) Variao da tenso da rede Esse mtodo comumente utilizado com pequenos motores. A variao de velocidade se d em decorrncia de alterao no conjugado eletromagntico (que varia com o quadrado da tenso terminal), bem como da caracterstica torque-velocidade da carga, como mostra a figura abaixo.

d) Variao da resistncia do rotor Os efeitos da resistncia do rotor foram mostrados na seo anterior. A figura abaixo mostra trs curvas conjugado-velocidade distintas, definidas por trs diferentes valores de resistncia de rotor. As intersees dessas curvas com a caracterstica torque-velocidade, da carga, definem valores correspondentes para a velocidade do motor.

e) Aplicao de tenso com freqncia ajustvel no circuito de rotor. Nesse caso, utiliza-se rotor bobinado, que alimentado com tenso na freqncia desejada. A freqncia varivel pode ser produzida por dispositivos a estado slido, alimentados independentemente, ou atravs da tenso terminal de estator (da rede).

Exemplos e Exerccios:

Exemplo 7.2: Para o motor do exemplo 7.1, determinar: a) A componente de carga I2, da corrente de estator, o conjugado interno T e a potncia

interna P, para um escorregamento s = 0,03; b) O conjugado interno mximo e a velocidade correspondente;

c) O conjugado de partida e a correspondente corrente de carga no estator. Soluo:

a) A partir dos parmetros de circuito equivalente, dados no exemplo 7.1, calculam-se as grandezas do circuito equivalente de Thvenin: V1a=122,3 volts e (R1 + j X1) = (0,273 + j 0,490) ohms. Alm disso, para s = 0,03 , r2/s = 4,80.

A corrente I2 pode ser calculada por:

( ) ( )A

xr

xXs

rR

VI a 9,23

490,003,0

273,0

3,122

22

222

21

22

1

12 =

++

+

=

++

+

=

mNs

rIqTs

=

== 5,656,125

80,49,233.

22

221

( ) wattsTsP smec 79805,656,12503,01.)1( === ( ) watts

s

rIsqPmec 798080,49,2397,03.1 22221 ===

b) No ponto de conjugado mximo, tem-se:

( )( ) rpmsn

xXR

rs

TT

mxT

97012001

192,07504,0144,0

699,0273,0144,0

maxmax

22221

21

2

==

==

+=

++=

( ) mNxXRRVqT a

s

mx =

+++= 1755,0.1

221

211

211

c) Como na partida s = 1:

( ) ( ) AxXrRVI apartida 5,150

699,0417,03,122

22221

221

12 =

+=

+++=

( ) mNrIqTs

partida=== 0,78144,05,150

6,1253

.

22

221