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Fundamentos de Engenharia Econmica Engenharia de Produo 6/7 Semestres

Prof. Me. Paulo H. Coelho

Fevereiro de 2014

FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONMICA

Introduo

Todo o fundamento da Engenharia Econmica se baseia na matemtica financeira, que se preocupa com o valor do dinheiro no tempo.

Podem-se citar como exemplos de aplicao: Efetuar o transporte de materiais manualmente ou comprar uma correia transportadora; Fazer uma rede de abastecimento de gua com tubos grossos ou finos; Substituio de equipamentos obsoletos; Comprar carro a prazo ou vista.

Para fazer um estudo econmico adequado alguns princpios bsicos devem ser considerados, sendo os seguintes: a) deve haver alternativas de investimentos. infrutfero calcular se vantajoso comprar um carro vista se no h condies de conseguir dinheiro para tal; b) as alternativas devem ser expressas em dinheiro. No possvel comparar diretamente 300 horas/mensais de mo de obra com 500 Kwh de energia. Convertendo os dados em termos monetrios teremos um denominador comum muito prtico. Alguns dados, entretanto, so difceis de converter em dinheiro. Exemplos que ocorrem muito nos casos reais so: boa vontade de um fornecedor, boa imagem da empresa ou status. So os chamados intangveis; c) s as diferenas entre as alternativas so relevantes. Numa anlise para decidir sobre o tipo de motor a comprar no interessa sobre o consumo dos mesmos se forem idnticos; d) sempre sero considerados os juros sobre o capital empregado. Sempre existem oportunidades de empregar dinheiro de maneira que ele renda alguma

coisa. Ao se aplicar o capital em um projeto devemos ter certeza de ser esta a maneira mais rendosa de utiliz-lo; e) nos estudos econmicos o passado geralmente no considerado; interessa-nos o presente e o futuro. A afirmao: no posso vender este carro por menos de $ 10000 porque gastei isto com ele em oficina no faz sentido, o que normalmente interessa o valor de mercado do carro.

Os critrios de aprovao de um projeto so os seguintes: Critrios financeiros: disponibilidade de recursos; Critrios econmicos: rentabilidade do investimento; Critrios imponderveis: fatores no convertidos em dinheiro. Nomenclatura:

Smbolo Alternativo Definio

VP C Valor Presente (Capital)

VF M Valor Futuro (Montante)

J INT Juros (Interest)

i t Taxa de juros

n / Tempo, Perodo

PMT P Pagamento, Prestaes

Contedo programtico aula de hoje: 1.Conceito de Capitalizao simples (juros simples); 2.Capitalizao Composta (juros composto); 3.Taxa de Juros: nominal, efetiva, equivalente. 4.Equivalncia de capitais;



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JUROS SIMPLES Conceitos e Clculos

No regime de juros simples, ou capitalizao simples, o juro sempre calculado sobre o valor principal (ou capital inicial). Os juros acumulados crescem, ao longo do tempo, de maneira linear conforme uma progresso aritmtica.

Observe o seguinte diagrama, onde o capital inicial aplicado C=1.000, a taxa de juros simples i=1% por perodo (O perodo poder estar em qualquer unidade de tempo: dia, semana, ms, semestre, ano, etc.).

Em qualquer perodo (n=1 ou n=2 ou n=3 ou

n=4) o juro sempre calculado sobre o capital inicial (valor presente), 1% de 1.000, J=10. Considerando: C capital inicial ou valor presente M montante ou valor futuro i taxa de juros n nmero de perodos que os juros sero capitalizados J juros calculados no perodo

Frmula para capitalizao simples:

M=C(1+i.n)

O restante das incgnitas pode ser calculado atravs de variaes da equao acima.

No exemplo acima, os valores para cada perodo so:

Note que o capital cresce segundo uma

progresso aritmtica cuja razo o Juro.

Exemplo Quais os juros e montante correspondentes uma aplicao de um capital de R$ 150.000 durante 55 dias uma taxa de 15% ao ano? Obs.: Para o uso correto destas frmulas a taxa de juros deve ter periodicidade conforme a unidade de n. Por exemplo: se n estiver em meses, a taxa dever ser ao ms, ou se a taxa for ao ano ento n deve estar em anos. Exerccios 1. Quanto tempo deve ficar aplicado um capital de

$28.000 para formar um montante de $38.500 se

aplicado a taxa de juros simples de 15% ao ano?

2. Calcular a taxa de juros simples que aplicada sobre

um capital de $8.000.000, durante 28 bimestres,

gera um montante de $15.840.000.

3. A que taxa de juros simples deve ser aplicado um

capital para que, aps dois, ele triplique o valor?

4. O que rende mais:

a. Aplicar um capital durante 2 anos, uma

taxa de juros simples de 3,2% ao ms;



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b. Aplicar, durante 2 anos, 30% deste capital

uma taxa de 5% ao ms e o restante

uma taxa de 2,8% ao ms.

5. Qual a taxa de juros diria que aplicada sobre um

capital de $5.000 durante um ano forma um

montante de $5.900? Repetir o clculo

considerando taxa de juros mensal.

6. Quanto tempo ser necessrio para que um capital

quintuplique de valor se aplicado uma taxa de

juros simples de 5,5% ao ms?



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JUROS COMPOSTOS Conceitos e Clculos

No regime de juros compostos os juros calculados num perodo sero acrescidos ao capital principal para o clculo dos juros no prximo perodo. Por esta razo diz-se, no caso de regime de capitalizao composta, juros sobre juros.

Observe o diagrama abaixo, onde aplicado um capital de $ 1.000 durante n perodos uma taxa de 1% por perodo.

O montante pode ser calculado pela seguinte frmula:

M = C(1+i)n

O restante das incgnitas pode ser calculado

atravs de variaes da equao acima. No exemplo acima, para cada perodo:

Note que o capital e os juros crescem segundo

uma progresso geomtrica.

Exemplos 1. Qual o montante gerado por um capital de $35.000 aplicado durante 4 anos uma taxa de 12% ao ano? 2. Qual capital preciso aplicar uma taxa de 3% ao ms, capitalizvel mensalmente, durante 10 meses para produzir um montante de $5.800? 3. A que taxa semestral um capital de $6.000 gera juros de $ 1.813,56 durante 3 anos? 4. Durante quanto tempo devo aplicar um capital de $1.000.000, uma taxa de juros de 1,5% ao ms,

capitalizvel mensalmente, para obter um montante de $1.240.959,51? Exerccios 7. Uma loja est vendendo um televisor por $1.500 a vista ou em duas parcelas mensais de $766,50 cada, sendo a primeira de entrada. Se hoje eu possuo $1.500 aplicados e sabendo que daqui a um ms esta aplicao me render $75,00 de juros, qual a maneira mais vantajosa para mim, se eu quiser comprar o televisor: (1) a vista, sacando o suficiente para dar a entrada e deixar o restante aplicado ou (2) em duas parcelas, sacando o suficiente para dar a entrada e deixar o restante aplicado durante um ms para depois para a segunda prestao? 8. Em que prazo um emprstimo de R$ 55.000,00 pode ser quitado atravs de um nico pagamento de R$ 110.624,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% a.m.? (Resp. 5 meses) 9. Um capital foi aplicado a juros compostos durante 9 meses, rendendo um montante igual ao triplo do capital aplicado. Qual a taxa trimestral da aplicao? (Resp. 44,22% a.t.) 10. Um fogo vendido vista por R$ 600,00 ou ento a prazo, sendo 20% do preo vista como entrada, mais uma parcela de R$ 550,00 dois meses aps a



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compra. Qual a taxa mensal de juros compostos do financiamento? (Resp. 7,04% a.m.) 11. Um capital de $66.200 foi aplicado durante 2 semestre uma taxa de juros compostos de 8,5% aos semestre, capitalizvel semestralmente. Aps este perodo, o capital resultante for aplicado por mais 3 anos uma taxa de juros compostos de 2,8% ao trimestre, capitalizvel trimestralmente. Calcular o valor do montante aps este perodo. (Resp. $ 108.551,25) 12. Gisele aplicou R$ 6.000,00 a juros compostos, sendo uma parte no banco A, taxa de 2% a.m., e outra no banco B, taxa de 1,50% a.m.. O prazo das duas aplicaes foi de 6 meses. Calcule quanto foi aplicado em cada banco, sabendo que os montantes resultantes foram iguais. (Resp. R$ 2.955,78 e R$ 3.044,22)



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TAXA DE JUROS: NOMINAL, PROPORCIONAL, EFETIVA E EQUIVALENTE

Taxa de Juros nominal aquela cujo valor uma referncia. Geralmente expressa para periodicidade anual e transformada para periodicidade menor de forma proporcional.

Taxa de juros efetiva a taxa que efetivamente

aplicada no clculo. Taxas de juros equivalentes, quando duas ou

mais taxas com periodicidades diferentes so aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo tempo e produzem o mesmo montante, diz-se que elas so equivalentes.

No regime de capitalizao composta, o clculo

de taxas equivalentes utiliza-se a seguinte frmula:

onde n2/n1 a relao entre a periodicidade das taxas equivalentes. Exemplo Considerando uma taxa nominal de 24% a.a. no regime de capitalizao composta, se a capitalizao mensal, ento 2% ao ms a taxa efetiva. Em cima desta colocao, quais sero as taxas equivalentes 2% a.m. considerando a capitalizao ao bimestre, ao trimestre, ao semestre e ao ano? Exerccios 13. Se um investidor deseja ganhar 18% ao ano de taxa efetiva, pede-se calcular a taxa de juros que dever exigir de uma aplicao se o prazo de capitalizao for igual a: a) 1 ms; b) 1 quadrimestre; c) 10 meses; d) 5 meses; 14. Um banco emprestou para uma empresa um capital de R$ 500.000,00 a juros compostos por 49 dias. Sabendo-se que o montante foi de R$ 530.000,00,

calcule a taxa efetiva mensal de juros compostos, considerando a liberao de dinheiro 3 dias aps a assinatura do contrato. (Resp. 3,87% a.m.) 15. Um terreno encontra-se a venda segundo dois planos de pagamentos: Plano A um nico pagamento de $ 50.000,00 daqui a 12 meses e Plano B uma entrada de $ 10.000,00 mais uma parcela de $ 33.000,00 daqui a seis meses. Qual o melhor plano para o comprador, sabendo-se que a taxa de juros que ele consegue aplicar seu dinheiro de 3% a.m.? (Resp. Plano A) 16. Uma pessoa aplicou $ 50.000,00 em um CDB prefixado de 60 dias e recebeu de montante o valor de 51.600,00. No primeiro ms, a taxa de inflao foi de 0,8% e, no segundo, de 0,9%. a) Qual a taxa de juros auferida no perodo? b) Qual a taxa de inflao acumulada no perodo? c) Qual a taxa real de juros no perodo? d) Qual o ganho real expresso em valores monetrios? (Resp. a) 3,20% b) 1,71% c) 1,46% e d) $ 746,40) 17. Um banco deseja auferir 1% a.m. de taxa real de juros para emprstimos por seis meses. Qual dever ser a taxa de juros semestral, se a taxa de inflao esperada no perodo for de 8%? (Resp. 14,64). 18. Carlos viajou para a Europa para fazer seu Curso de Mestrado. Entretanto, antes de viajar fez uma aplicao de $ 4.500,00 e obteve juros de $ 6.300,00 num prazo de 2 anos. Carlos ficou curioso para saber qual o rendimento real dessa aplicao depois que soube que a taxa de inflao do perodo foi de 17%. Calcule a taxa de juro real dessa operao. (Resp. 19,66% nos dois anos)



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EQUIVALNCIA DE CAPITAIS

Enquanto as taxas equivalentes so aquelas que com periodicidades diferentes, produzem o mesmo montante, se aplicadas sobre o mesmo capital durante o mesmo perodo, diz-se que dois ou mais capitais so equivalentes se, trabalhando com uma determinada taxa de juros, eles forem transportados para uma determinada data focal, seus valores sero iguais. Obs.: Data focal a data para qual sero transportados os valores com os quais se trabalha.

Em outras palavras, considerando uma taxa i e dois capitais, um na data 3 e outro na data 10, estes capitais sero equivalentes se, transportados para uma data focal qualquer atravs da taxa i, eles apresentarem o mesmo valor. Exemplo 1. Verifique se os trs capitais do diagrama abaixo so equivalentes para a taxa de juros compostos de 2% ao ms. 2. Joo deve para Jos os seguintes pagamentos: R$50.000,00 a serem pagos daqui a 4 meses e R$ 80.000,00 para daqui a 8 meses. A proposta de Joo pagar R$ 10.000,00 hoje, R$ 30.000,00 daqui a 6 meses, e o restante um ano aps o primeiro pagamento (doze meses depois do pagamento de dez mil). Sabe-se que Jos aceita os novos prazos propostos e exige uma taxa de juros de 2% ao ms para a correo do saldo devedor. Qual o valor que ser pago na ltima prestao? Exerccios 19. Supondo que voc deseje postergar o pagamento

de duas dvidas vencveis em maio e em junho, no

valor de R$ 30.000,00 cada uma, para dezembro, que

valor deveria ser pago caso a taxa de juro do credor

corresponda a 3,5% ao ms nestes casos? (Resposta:

R$ 75.046,04)

20. Paulo deve a Carlos dois ttulos vencveis em

quatro e oito meses. O valor de resgate do primeiro

R$ 7.500,00 e do segundo R$ 13.000,00. Paulo pensa

em aplicar o dinheiro em um fundo de investimento que

remunera taxa de 1,3% ao ms. Quanto deve ser

depositado no banco hoje para fazer frente a estes

compromissos? (Resposta: R$ 18.846,13)

21. Joo tomou emprestado de seu cunhado um valor

para comprar o carro. J foram pagas vrias

prestaes, faltando apenas trs prestaes de R$

980,00 vencveis daqui a dois, quatro e seis meses.

Sabendo que Joo descobriu uma aplicao financeira

que rende 2 por cento ao ms, quanto deve ser

depositado hoje? (Resposta: R$ 2.717,53)

22. Paulo deve a Carlos dois ttulos de R$ 20.000,00

cada um, vencveis em trs e cinco meses. Quanto

Paulo dever aplicar no banco para que possa pagar

os ttulos com este dinheiro? Considere que o Banco

remunera taxa de juros de 7% ao ms. (Resposta: R$

30.585,68)

23. Paulo deve a Carlos dois ttulos de R$ 20.000,00

cada um, vencveis em trs e cinco meses. Quanto

Paulo dever aplicar no banco para que possa pagar

os ttulos com este dinheiro e ainda sobrar R$ 2.000,00

no Banco aps o ltimo pagamento? Considere que a

instituio financeira remunera taxa de juros de 7%

ao ms. (Resposta: R$ 32.011,65)

24. Supondo que Joana tenha duas aplicaes

financeiras e queira juntar R$ 10.000,00 no final do

ano. Em fevereiro, a primeira possua saldo de R$

2.500,00, apresentando rendimento de 1,2% ao ms.

Nesta mesma data, a outra, de R$ 1.700,00, estava

aplicada taxa de 0,68%ao ms. Joana espera

receber uma quantia dois meses a frente. Quanto isto

ocorrer, ela unir os recursos em um fundo de

investimento que remunera taxa de 2,5% ao ms.

Qual o valor deste recurso para que ela atinja em

dezembro a meta desejada? (Resposta: R$ 3.923,91)



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Sries de Pagamentos

Genericamente, entende-se por Srie de Pagamentos uma sequencia de embolsos (entradas) e/ou desembolsos (sadas) de capitais que so distribudos periodicamente, um aps o outro, em uma linha de tempo. Chamaremos esses embolsos e desembolsos de prestaes (PMT).

O estudo das sries de pagamentos envolve basicamente trs conceitos: o Valor Presente (PV), que a somatria das parcelas na data zero; o Valor Futuro (FV), que a somatria das parcelas em data futura, em data igual ou aps o vencimento da ultima prestao; e a Equivalncia de Capitais, que a somatria das prestaes em uma data qualquer. Abordaremos cada um dos pontos acima, porm, antes, preciso classificar os tipos de sries, ou seja, a forma como se comportam os fluxos monetrios ao longo do tempo, haja vista os diversos formatos que eles podem assumir: Quanto Periodicidade das Prestaes: Peridica: Ocorrem em intervalos regulares do tempo. Por exemplo: prestaes mensais, anuais, semestrais e etc.; No Peridica: No obedece a uma regularidade temporal. Quanto ao Valor das Prestaes: Constante: Quando eles so iguais. Varivel: Quando eles no so iguais. Quanto ao Nmero de Prestaes: Finita: Quando a quantidade for conhecida; Perptua: Quando a quantidade no for conhecida. Quanto ao Incio do Pagamento da Primeira Prestao: Antecipada: Quando a primeira prestao for efetivada no ato da operao financeira. Postecipada: Quando a primeira prestao for efetivada depois de decorrido um perodo da operao financeira. Diferida: Quando a primeira prestao for efetivada n 1 perodos aps a poca

zero. Dizemos que n o prazo de carncia da srie.

Valor Presente (PV)

O Valor Presente de uma srie de pagamentos dado pela somatria das prestaes descapitalizadas por uma taxa (i) data inicial (t0) do fluxo de caixa. De forma simplista, o valor presente a substituio de vrias parcelas, recebimentos e/ou pagamentos, por apenas uma, em data igual ou anterior ao vencimento da primeira.

No item presente discutiremos o Valor Presente para as seguintes formataes de sries: PVP - Srie Peridica Constante Postecipada; PVA - Srie Peridica Constante Antecipada; PVG - Srie Perpetua; PVP - Srie Peridica Constante Postecipada

Uma Srie Peridica Constante Postecipada aquela em que o os valores das parcelas e os intervalos entre elas so iguais; a primeira prestao efetuada aps uma unidade de tempo da data inicial do fluxo. Reportando-se representao grfica:

Colocando o PMT em evidncia...



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Observe que a expresso entre colchetes equipara-se a soma dos termos de uma Progresso Geomtrica (PG) de n termos, sendo o primeiro termo a1, o ltimo an e a razo q. A somatria desta expresso conhecida com Fator de Valor Presente (FPV). Aplicando a frmula da soma de uma PG:

Admitindo que:

Calculando o FPV

Substituindo a expresso entre colchetes pelo FPV... PVP - Valor Presente PMT - Prestao i - Taxa de juros referente ao perodo de capitalizao n - n de prestaes t - n de prestaes PVA - Srie Peridica Constante Antecipada

Uma Srie Peridica Constate Antecipada

aquela em que os valores das parcelas e os intervalos entre elas so iguais, entretanto, diferentemente da postecipada, a primeira prestao efetuado no ato da operao financeira. Este valor vulgarmente conhecido como entrada. Reportando-se representao grfica:

Neste caso, tj-1 equivale ao ltimo perodo da

srie, e j-1 representa o nmero de prestaes menos um. O Valor Presente (PVA) igual ao PMT de t0 mais as PMTs subsequentes descapitalizadas por uma taxa (i) inicial do fluxo (t0). Note que existe uma parcela que realizada no incio do fluxo, portanto, ela no est dispersa ao longo do tempo e no pode sofrer incidncia da taxa de juros. Sendo assim:

Como nas sries postecipadas, a expresso entre colchetes pode ser simplificada aplicando a soma de uma PG. Deixamos a demonstrao para exerccio do leitor:

Uma outra forma de calcular o PV para sries antecipadas consider-las, a principio, como uma srie postecipada. Vejamos graficamente a consequncia desta suposio:



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Note que quando executado os calculamos do valor presente de uma srie antecipada, considerando-a postecipada, o PV remetido ao perodo t-1, entretanto, como no esta a data desejada, capitaliza-se o PV em um perodo, trazendo-o para t0. Ento:

PVG - Srie Perptua

Existe uma particularidade que muito ns interessa estudar e de frequente aplicao no mercado ttulos de renda varivel, previdencirio, imobilirio e etc.: so as sries perptuas ou simplesmente perpetuidades. Para melhor compreenso deste conceito, haja vista que o mesmo no to trivial quanto os outros apresentados at agora, a sua demonstrao ser feita atravs de uma situao prtica:

Exemplo: 1) Imagine que um proprietrio de um imvel recebeu de seu inquilino uma proposta de compra da sala comercial que ocupa. Se o valor do aluguel recebido de $600,00 por ms, a uma taxa de oportunidade de 2% ao ms, qual dever ser o preo mnimo que o locador deve aceitar pelo imvel? (Lembre-se que taxa de oportunidade o rendimento mnimo que um investidor exige para aplicar suas economias. Ento, neste caso, o valor de 2% ao ms o rendimento mnimo que o proprietrio do imvel teria caso vendesse a sala e aplicasse o dinheiro).

Note que na essncia da operao o proprietrio est trocando rendimentos futuros, em forma de aluguel, por um nico valor recebido no ato da venda do imvel. Sendo assim, a situao atual se difere das demais estudadas at agora por no apresentar um nmero conhecido de aluguis a receber, ou seja, das PMTs que devem ser descapitalizadas. Mas, por princpio, acredita-se que o nmero de alugueis a receber indeterminado, perptuo. Reportando-se a representao grfica:

Verifique no diagrama que o nmero de parcelas, PMTs, indeterminado e tende ao infinito. Aplicando o conceito de limite na frmula do PV:

Fazendo (1+i) = X ...

Como para qualquer valor de X (maior que um) a expresso 1/X tender a zero...

Aplicando a frmula que acabamos de definir no nosso exemplo, o preo mnimo que o proprietrio deve aceitar :



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OBSERVAO: Se estivermos trabalhando com sries perptuas antecipadas, basta somar o valor da primeira parcela:

Exemplos 2) Que capital dever ter uma pessoa que deseja uma renda mensal perptua de R$2.000, sabendo-se a taxa de juros paga de 1% ao ms? 3) Uma instituio de previdncia privada utiliza-se das seguintes taxas de juros: paga 0,95% ao ms sobre os depsitos (contribuies) feitos pelos seus clientes e paga 0,45% ao ms sobre o capital acumulado para compor a renda vitalcia (aposentadoria) deles. De quanto dever ser a aposentadoria de uma pessoa que contribui com R$66,36 mensais durante 35 anos? FVP - Srie Peridica Constante Postecipada

O valor futuro de uma srie peridica constante postecipada dado pela somatria das parcelas, capitalizadas a taxa (i) em data igual a da ltima parcela. Ou seja, o FV calculado na data do vencimento da ltima prestao. importante observar que, a ltima PMT no contempla a incidncia da taxa de juros, pois, a somatria das demais feita nesta data. Graficamente tem-se a seguinte representao:

Onde o FVp ser representado pela equao:

FVA - Srie Peridica Constante Antecipada

O Valor Futuro de uma srie peridica constante antecipada dado pela somatria das prestaes, capitalizadas a taxa (i) um perodo aps a ocorrncia da ltima parcela. Alm disso, a primeira parcela efetivada em t0. Perceba que a diferena entre as sries antecipadas e as postecipadas que, na antecipada realiza-se a primeira prestao no ato da operao financeira e calcula-se o FV aps a capitalizao da ltima, diferentemente da postecipada, onde, a primeira prestao s efetivada em t1 e o FV calculado junto com a ltima parcela.

Onde o FVP ser representado pela equao:

Exerccios 1) A partir do prximo ms sero feitos 12 depsitos em um fundo de investimento no valor de $1.500,00 cada. Sabendo que este fundo rende taxa efetiva de 3% ao ms, qual o valor cumulado (FV) no final de um ano? Resp.: 21.288,04 2) Uma indstria decidiu seguir os conselhos de seu contador e aplicar, a partir do prximo ms, todas as despesas geradas pela depreciao de suas mquinas. Se esse valor de $2.930,00 por ms, e o valor contbil se esgota em 10 anos, qual o FV no final do perodo? A taxa de juro nominal para investimentos de longo prazo de 18% ao ano, capitalizada mensalmente. Resp.: 970.674,40



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3) Um amigo est planejando fazer uma viagem de frias que lhe custar $22.000,00. Para tanto, ele deseja fazer 12 depsitos mensais em um fundo de investimentos que lhe render taxa de juros efetivos de 34,50% ao ano. Determine o valor das parcelas para que seu amigo consiga, ao final do perodo, o montante necessrio para fazer a viagem. Resp.: 1594,72 4) Uma pessoa ir necessitar de $ 7.000,00 daqui a 10 meses. Quanto dever depositar mensalmente, comeando hoje, num fundo de poupana que rende 1,70% ao ms de juros, para ter o valor desejado no final do perodo? Resp.: 637,27 5) Uma pessoa deseja acumular $ 14.703,17 ao final de um semestre. Para tanto, deposita mensalmente num fundo a importncia de $ 1.500,00, sendo corrigida taxa de 4,50% ao ms. Quantos depsitos deveram ser feitos para obter o valor desejado? Resp.: 8. 6) Uma pessoa possui hoje $ 50.000,00 em dinheiro e uma capacidade de poupana de $ 3.000,00 mensais no prximo semestre e $ 4.000,00 mensais nos 4 meses seguintes ao semestre. Se esse fluxo de poupana for depositado mensalmente num fundo que rende 2,50% ao ms, determinar quanto essa pessoa ter acumulado ao final de 10 meses. Resp.: 101.140,9721 7) Uma pessoa deposita hoje $ 12.000,00 e trimestralmente uma quantia igual. No final do quinto trimestre quanto ela ter para gastar, caso decida sacar o dinheiro da aplicao. A taxa de juros de 18% ao ano, capitalizada trimestralmente. Resp.: 101.303,61



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Amortizaes

Quando se contrai um emprstimo, este pode ser pago de uma s vez, aps um determinado prazo ou pode ser pago de forma parcelada. O primeiro j foi visto nos itens 2 e 3 (Capitalizaes Simples e Composta).

O segundo foi visto, num caso particular, no item 6 (Anuidade com pagamento uniforme) e tem como mtodo de clculo o sistema Price ou SFA (Sistema Francs de Amortizao).

Regra geral, amortizao significa reduzir o capital principal financiado.

Quando se faz um emprstimo o seu pagamento ocorrer atravs de prestaes que so compostas de dois componentes: amortizao e juros. Sistema Francs de Amortizao SFA - (Sistema Price)

As caractersticas do sistema Price so: os valores das prestaes so iguais, o valores das amortizaes crescem ao longo tempo e o valores dos juros decrescem ao longo tempo.

Neste sistema, o regime de capitalizao o de juros compostos e o clculo da prestao realizado conforme demonstrado nos estudos anteriores.

Exemplo Suponha um emprstimo contrado de $1.000.000, a ser pago em 6 prestaes anuais (a primeira um ano aps a tomada do dinheiro) com amortizao pelo SFA e com taxa de juros de 15% ao ano: Valor da prestao: $264.236,91 Planilha de Amortizao:

Observaes: - As prestaes so iguais, a amortizao cresce ao longo do tempo e os juros decrescem ao longo do tempo;

- Os juros de um determinado ano so calculados sobre o saldo devedor do ano imediatamente anterior, por exemplo, os juros de $113.158,60 do ano 3 correspondente 15% (taxa de juros) de $754.390,64 (Saldo devedor do ano anterior, ou seja, ano 2); - A amortizao de cada ano a diferena entre a prestao e os juros do mesmo ano (Ano 4: $173.740,06 = $264.236,91 - $90.469,85); - O saldo devedor de um determinado ano a diferena do saldo devedor do ano imediatamente anterior pela amortizao do ano vigente (Ano 2: $754.390,64 = $885.763,09 - $131.372,45) Caso com Perodo de Carncia:

Existem emprstimos onde h um perodo de carncia, ou seja, o pagamento da primeira prestao ocorrer alguns perodos aps a tomada do emprstimo. Geralmente, neste tipo de emprstimo, os juros so capitalizados no perodo de carncia. Exemplo Um emprstimo de $250.000, com 4 meses de carncia, a ser pago em 7 prestaes bimestrais e com taxa de juros de 4,5% ao bimestre.

No perodo de 0 a 2 (carncia) sero capitalizados juros.

Existem duas alternativas para o clculo da prestao PMT: 1. Leva-se o valor de $250.000 para a data focal 1 e considera-se as parcelas postecipadas; 2. Leva-se o valor de $250.000 para a data focal 2 e considera-se as parcelas antecipadas. Tanto em um caso como outro o resultado o mesmo. A tabela de amortizao fica:



Fevereiro de 2014

Sistema de Amortizao Constante SAC (Sistema Hamburgus)

Neste sistema os valores das amortizaes so iguais e os valores da prestaes e dos juros decrescem ao longo do tempo. O valor de cada amortizao a diviso do valor financiado pelo nmero de prestaes. Exemplo Emprstimo de $1.000.000, a ser pago em 6 prestaes anuais (a primeira um ano aps a tomada do dinheiro) com amortizao pelo SAC com taxa de juros de 15% ao ano:

Para calcular o valor da amortizao em cada perodo:

A tabela de amortizao fica:

Os juros de cada perodo so calculados pela taxa de juros sobre o saldo devedor do perodo anterior. A valor de cada prestao a soma da amortizao com os juros respectivos. Exerccios 1. Um emprstimo no valor de R$ 420.000,00 foi concedido a uma empresa nas seguintes condies:

Taxa: 5% a.t.

Amortizao: pagamentos trimestrais;

Prazo de amortizao: 3 anos

Pede-se elaborar a planilha financeira para amortizaes pelos sistemas SAC e Price, admitindo que:

a) No haja carncia. b) Haja carncia de 2 perodos.

2. Uma pessoa est negociando a compra de um imvel pelo valor de $350.000,00. As condies de pagamento proposta so as seguintes: 1: $70.000,00 2: $50.000,00 3: $80.000,00 4: $60.000,00 5: $90.000,00

Sendo 2,5% a.m. a taxa corrente de juros, determinar o valor dos desembolsos mensais (amortizao, juros e prestao) que devem ser efetuados caso o negcio seja realizado nestas condies. 3. Um financiamento para capital de giro no valor de $ 2.000.000,00 concebido a uma empresa pelo prazo de 4 semestres. A taxa de juros contratada de 10% a.s. Sendo adotado o sistema PRICE para amortizao, e os juros pagos semestralmente durante 3 perodos de carncia, calcular o valor de cada prestao. Admita, ainda, que a taxa de aplicao seja de 4% a.s. Calcular os depsitos semestrais que a empresa deve efetuar neste fundo de forma que posso acumular, ao final do prazo do financiamento, um montante igual ao desembolso total de amortizao exigido. 4. Um emprstimo no valor de $ 80.000,00 ser liquidado pelo sistema de amortizao constante em 40 parcelas mensais. A taxa de juros contratada para a operao de 4% a.m. Determinar: a) valor de cada amortizao mensal; b) valor dos juros e da prestao referentes ao 22 pagamento; c) valor da ltima prestao d) valor do saldo devedor imediatamente aps o pagamento do 10 parcela.



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5. Um banco oferece um financiamento de R$ 180.000,00 para ser liquidado em 24 pagamentos mensais, podendo na amortizao ser usado tanto o SAC ou o SAF. O financiamento no prev carncia e a taxa de juros de 6% ao ms. O tomador do emprstimo est em dvida quanto ao sistema de amortizao que deve escolher. Para tanto, necessita de informaes adicionais com relao ao comportamento das parcelas de financiamento. Pede-se:

a) a confeco das planilhas b) em qual pagamento as parcelas das

prestaes se tornam iguais no SAC e no SAF c) aps 12 pagamentos, qual o percentual que o

saldo devedor corresponde da dvida pelos 2 sistemas.

d) caso voc fosse decidir, qual das 2 opes escolheria? Justifique sua resposta.



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