apontamentos de matemática – 6.º...

Apontamentos de Matemática – 6.º ano

Números naturais

_____________________________________________________________________________

http://matematica56.weebly.com 1

Revisão (divisores de um número)

Os divisores de um número são os números naturais pelos quais podemos dividir esse número

de forma exata (resto zero).

Exemplos:

Os divisores de 4 são 1, 2 e 4, pois se dividirmos 4 por 1, por 2 e por 4 obtemos resto zero.

4 :1 4, 4 : 2 2 e 4 : 4 1 . Se dividirmos 4 por qualquer outro

número natural, não vamos obter resto zero: 4 : 3 1 , e tem resto 1. Se

dividirmos 4 por números maiores que 4 também vamos obter restos

diferentes de zero.

Os divisores de 3 são 1 e 3, os divisores de 10 são 1, 2, 5 e 10.

Exemplo

Determine os divisores de: a) 5 b) 9 c) 11 d) 15 e) 20

Respostas: a) 1 e 5 b) 1, 3 e 9 c) 1 e 11 d) 1, 3, 5 e 15 e) 1, 2, 4, 5,

10 e 20

Vamos observar atentamente as respostas e recordar alguns

conhecimentos do 5.º ano.

- 1 é divisor de todos os números

(se dividirmos qualquer número por 1 obtemos resto zero)

- Qualquer número natural é divisor de si próprio

(neste caso o quociente é a unidade e o resto é zero).

- Um número é múltiplo dos seus divisores

(se, por exemplo, 3 é divisor de 12, então 12 é múltiplo de 3).

Voltemos ao exercício, e reparemos que alguns números têm dois (e só

dois) divisores: são eles o 3, 5 e 11. Estes números têm um nome: números primos.

Definição – Um número é primo se tem dois (e só dois) divisores.

Definição – Um número é composto se tem mais de dois divisores.

O número 1 não é primo nem composto – tem um único divisor que é ele próprio.

Exercícios propostos

1. Determine os

divisores de:

a) 6

b) 10

c) 13

d) 15

e) 20

f) 23

g) 30

2. Em relação ao

exercício anterior

indique quais são os

números primos e

quais são os números

compostos.


Números naturais

_____________________________________________________________________________


Determinação de números primos.

Os números primos têm sido objeto de grande investigação ao longo da história da

matemática. Apesar da sua definição ser bastante simples, não se conhece nenhum método

para verificar se um número é ou não primo a não ser pelo cálculo dos seus divisores, o que se

pode tornar trabalhoso.

Deve-se a Eratóstenes (273-194 a. C.) um método para encontrar os números primos menores

que um dado número que se conhece pelo nome “Crivo de Eratóstenes”.

Escreve-se numa tabela a lista de todos os números de 2 até o número que se pretender.

Depois, nessa tabela vão-se eliminando os múltiplos de números primos até que o quadrado

do número primo seja maior que o maior número da tabela.

Exemplo: Determinar os números primos menores que 100:

Constrói-se a tabela com os números de 2 até 100.

Eliminam-se todos os múltiplos dos números primos 2,3,5 e 7

Nota. O seguinte número primo é o 11 mas como 211 121 100 , então já não se eliminam

os múltiplos de 11. Os números eliminados estão sombreados.

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Os números primos menores que 100 são:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 79, 83, 89 e 97.


Números naturais

_____________________________________________________________________________


Decomposição de um número em fatores primos.

Vamos escrever alguns números como um produto (resultado de uma multiplicação) de

números primos.

Exemplo

, Como 2 e 5 são números primos, 10 está escrito como um

produto de números primos, ou está decomposto em fatores primos.

, Como 4 não é número primo, substituímos 4 por um produto

de números primos

. Agora 20 já está escrito como um produto de números

primos ou decomposto em fatores primos.

Há várias formas de decompor um número em fatores primos.

Vamos ver um que é dos mais usados.

Supomos que queremos decompor o 18 em fatores primos.

1) Escreve-se o dezoito e traça-se uma linha vertical como mostra a figura

2) Divide-se 18 pelo menor número primo que é seu divisor (2 que é

colocado à sua direita)

3) Coloca-se o resultado da divisão debaixo do 18

4) Divide-se esse resultado (9) pelo menor primo que é seu divisor (3 que é

colocado à sua direita)

5) Coloca-se o resultado debaixo do 9

6) Divide-se esse resultado (3) pelo menor primo (3 que é colocado à sua

direita)

Quando o resultado for a unidade (1) o processo termina

A coluna da direita são os fatores primos, então,


3. Utilizando o

procedimento

descrito ao lado

decomponha em

fatores primos os

seguintes números:

a) 30

b) 12

c) 36

d) 150

e) 350

f) 245

g) 40

h) 99

4. Complete as

seguintes

decomposições em

fatores primos

a) 2___ 3 5 90

b) 22 ____ 36

c) 22 ____ 11 220

d) 3 ___ 7 105


Números naturais

_____________________________________________________________________________


Neste exemplo os passos foram apresentados separadamente para se compreender, mas faz-

-se um único esquema, como se mostra a seguir.

Decompor 30 e 8 em fatores primos

Então, e

Após estes exemplos, vamos enunciar uma regra denominada “Teorema fundamental da

aritmética”

Teorema fundamental da aritmética – Dado um número natural maior do que 1, existe uma

única sequência crescente em sentido lato de números primos, cujo produto é igual a esse

número.

A decomposição de um número em fatores primos tem diversas aplicações, algumas das quais

se indicam a seguir.

Aplicação da decomposição em fatores primos para simplificar frações

Revisão (simplificação de frações)

Duas ou mais frações dizem-se equivalentes quando representam o mesmo número.

Por exemplo,1 2 4

2 4 8 . Estas frações são equivalentes, pois representam o mesmo número.

Repare no esquema que mostra a equivalência destas três frações


Números naturais

_____________________________________________________________________________


Princípio de equivalência de frações

Se multiplicarmos ou dividirmos o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo

número diferente de zero, obtemos uma fração equivalente.

Simplificar uma fração é encontrar outra equivalente formada por numerador e denominador

menores.

Exemplo

Encontre duas frações equivalentes a 4

5

Por exemplo, 4 8 20

5 10 25

Para obter 8

10 multiplicou-se o numerador e denominador da primeira fração por 2

Para obter 20

25 multiplicou-se o numerador e denominador da primeira fração por 5

Exemplo

Simplifique, se possível, as frações seguintes:

10

8 ,

9

15 ,

10

30 e

7

4

Resolução

10 5

8 4 , dividiu-se o numerador e o denominador por 2 que é um divisor comum.

9 3

15 5 , dividiu-se o numerador e denominador por 3

10 1

30 3 , dividiu-se o numerador e denominador por 10

7

4 não se pode simplificar, pois é uma fração irredutível.


Números naturais

_____________________________________________________________________________


Vamos simplificar as mesmas frações usando a decomposição do

numerador e do denominador em fatores primos.

10

8, Decompõe-se o 10 e o 8 em fatores primos.

10 2 5 2 5 5 5 51

8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4

Este processo pode simplificar-se eliminando simplesmente os fatores

comuns, como a seguir se indica.

10 2 5 5 5

8 2 2 2 2 2 4

Habitualmente diz-se que “se cortam” os fatores comuns.

Exemplos

9 3 3 3

15 3 5 5

10 2 5 1

30 2 3 5 3

7 7 7

4 2 2 4

, 7 é primo, logo não se decompõe, e como não há fatores

comuns no numerador e denominador, a fração é irredutível

Estes exemplos permitem-nos chegar a outra aplicação da decomposição

de números em fatores primos.

9 3 3 3

15 3 5 5

, Reparemos que 3 é divisor comum de 9 e 15. Mais ainda,

como não podemos simplificar mais a fração esse é o máximo divisor

comum, isto é, . . . 9,15 3m d c

Repare que 3 é o fator comum das decomposições de 9 e de 15

No caso de 10 2 5 1

30 2 3 5 3

, podemos observar que . . . 10,30 10m d c


5. Simplifique as

frações seguintes, se

possível, tornando-as

irredutíveis após

decompor o

numerador e o

denominador em

fatores primos.

a) 6

10

b) 18

15

c) 198

33

d) 45

75

e) 325

26

f) 63

70

g) 11

21


Números naturais

_____________________________________________________________________________


Vejamos agora outro

3 2 2 2 2

4 2 2 2

360 2 3 5 2 2 3 5 2 5 20

1134 2 3 7 2 3 3 7 3 7 63

Repare que eliminámos os fatores comuns elevados ao menor expoente.

Estes exemplos, que não provam todos os casos, levam-nos a compreender

melhor a aplicação seguinte.

Aplicação da decomposição em fatores primos para determinar o máximo

divisor comum.

A regra seguinte permite determinar o máximo divisor comum de dois ou

mais números a partir da sua decomposição em fatores primos.

Propriedade – O máximo divisor comum de dois ou mais números inteiros,

decompostos em fatores primos, é igual ao produto dos fatores primos

comuns decomposição destes números elevados cada um deles ao seu

menor expoente.

Exemplos de aplicação

Determinar o . . . 36,500m d c e . . . 42,75m d c

Resolução

2 236 2 3 , 3 2500 2 3 5

Há nas decomposições dois fatores comuns: 2 e 3.

O menor expoente de 2 é 2 e o menor expoente de 3 é 1.

Então 2. . . 36,500 2 3 4 3 12m d c

42 2 3 7 , 275 3 5

Há na decomposição um fator comum que é o 3, e o seu expoente é 1 nas

duas decomposições, logo é o menor expoente.

Então . . . 42,75 3m d c

Nota: Dois números dizem-se primos entre si se o seu máximo divisor comum é a unidade.


6. Utilizando a

decomposição em

fatores primos

determine:

a) . . . 12,112m d c

b) . . . 75,105m d c

c) . . . 18,21m d c

d) . . . 245,525m d c

e) . . . 33,90m d c

7. Considere os

números A e B

decompostos em

fatores primos. 22 3 5A 22 5B

Resolva as alíneas

seguintes sem

calcular os valores de

A e B .

a) Indique três

divisores de A .

b) Indique dois

divisores de B que

não sejam números

primos.

c) Determine

. . . ,m d c A B .


Números naturais

_____________________________________________________________________________


Aplicação da decomposição em fatores primos para determinar mínimo

múltiplo comum.

A regra seguinte permite determinar o mínimo múltiplo comum de dois ou mais

números a partir da sua decomposição em fatores primos.

Propriedade – O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números inteiros,

decompostos em fatores primos, é igual ao produto dos fatores primos comuns

e não comuns da decomposição destes números elevados cada um deles ao seu

maior expoente.

Exemplos de aplicação

Determinar o . . . 20,35m m c e . . . 12,40m m c

Resolução

220 2 5 , 35 5 7

Há nas decomposições os seguintes fatores: 2, 5 e 7 (o maior expoente de 2

é 2 e dos outros fatores é 1)

Então 2. . . 20,35 2 5 7 140m m c

212 2 3 , 340 2 5

Há na decomposição os seguintes fatores: 2, 3 e 5 (o maior expoente do 2 é

3, e do 3 e do 5 é 1).

Então 3. . . 12,40 2 3 5 120m m c


8. Utilizando a

decomposição em

fatores primos

determine:

a) . . . 12,14m m c

b) . . . 75,35m m c

c) . . . 18,21m m c

d) . . . 245,525m m c

e) . . . 33,30m d c

9. Considere os

números A e B

decompostos em

fatores primos. 2 22 3 5A 22 5B

Resolva as alíneas

seguintes sem

calcular os valores de

A e B .

a) Qual é o quociente

da divisão de A por

5? E por 25?

b) :A B

c) Determine

. . . ,m m c A B .


Números naturais

_____________________________________________________________________________


Aplicações da decomposição em fatores primos para determinar os divisores de um número

natural

No 5.º ano os alunos aprenderam a determinar os divisores de um número dividindo

sucessivamente esse número por sucessivos números. Este método funciona bem para alguns

números, mas torna-se trabalhoso para outros casos.

Comecemos por apresentar um exemplo simples: determinar os divisores de 12.

Vamos decompor o 12 em fatores primos

212 2 3

Os divisores de 12 são:

1 (que é divisor de todos os números)

2 (que se encontra na decomposição)

4 (que se encontra na decomposição na forma de 22 )

6 (que se encontra na decomposição na forma de 2 3 )

12 (que se encontra na decomposição na forma de 22 3 )

Na realidade, encontramos os divisores na decomposição do número, procurando os diversos

produtos.

A procura e determinação destes produtos permite calcular todos os divisores de um número,

no entanto, em alguns casos torna-se trabalhosa.

Além deste, existem vários algoritmos (ou procedimentos) um dos quais será apresentado a

seguir.

Exemplo: Determinar todos os divisores de 12 usando a sua decomposição em fatores primos

Resolução

212 2 3

Notas 1 - Coloca-se sempre (é divisor de todos os números naturais)

2 – Corresponde a 12

4 – Corresponde a 22

São as potências de base 2 até 22 , a potência mais alta de 2


Números naturais

_____________________________________________________________________________


Curiosidade: 1 vem de 02 1 , que não faz parte do programa e metas curriculares do 6.º ano – uma potência de expoente 0 e base diferente de zero é igual à unidade.

3 – É o outro número da decomposição Só aparece 1 vez, pois está elevado a 1

Notas

3 é o resultado de 3 1 6 é o resultado de 3 2

12 é o resultado de 3 4

Os divisores de 12 são: 1, 2, 4, 3, 6 e 12 (que aparecem no lado direito)

O esquema seguinte mostra a determinação dos divisores de 360

3 2360 2 3 5

Então os divisores de 360 são:

1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24, 9, 18, 36, 72, 5, 10, 20, 40, 15, 30, 60, 120, 45, 90, 180,

360.

Notas:

1, 2, 4 e 8 são as potências de base 2 até 32

3 e 9, na coluna da esquerda, são as potências de base 3, até 23

5, na coluna da esquerda, é o 5 da decomposição (que está elevado a 1)


10. Utilizando a

decomposição em

fatores primos,

determine os

divisores dos

seguintes números:

a) 36

b) 150

c) 63

d) 275

e) 180

f) 300


Números naturais

_____________________________________________________________________________


Na coluna da direita temos:

3 3 1 , 6 3 2 , 12 3 4 , 24 3 8 ,

9 9 1 , 18 9 2 , 36 9 4 , 72 9 8 ,

5 5 1 , 10 5 2 , 20 5 4 , 40 5 8 ,

15 5 3 , 30 5 6 , 60 5 12 , 120 5 24

45 5 9 , 90 5 18 , 180 5 36 , 360 5 72

Para saber mais

Aplicação da decomposição em fatores primos para determinar o

número de divisores de um número *

Para calcular o número de divisores de um número inteiro

decomposto em fatores primos:

- adiciona-se 1 unidade a todos os expoentes;

- multiplicam-se os valores encontrados.

Exemplo

Determinar todos os divisores de 360

Resolução

3 2360 2 3 5

Os expoentes da decomposição são 3, 2 e 1. Então o número de

divisores de 360 é 3 1 2 1 1 1 4 3 2 24

O número 360 tem 24 divisores.

* Tema não incluído no programa e metas curriculares do 6.º ano.


11. Considere os

números: 22 3 5A e

63B

a) Escreve B como

um produto de

fatores primos.

Resolva as alíneas

anteriores usando a

decomposição em

fatores primos.

b) Determine

. . . ,m d c A B

. . . ,m m c A B

c) Justifique que A é

um número par.

d) Determine os

divisores de A .

12.* Determine, sem

calcular A , o número

de divisores de 2 22 5 11A .


Números naturais

_____________________________________________________________________________


Soluções dos exercícios propostos

1. a) 1, 2, 3, 6 b) 1, 2, 5, 10 c) 1, 13 d) 1, 3, 5, 15 e) 1, 2, 4, 5, 10, 20

f) 1, 23 g) 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

2. Números primos: 13 e 23 (têm dois divisores)

Números compostos: 6, 10, 15, 20, 30 (têm mais de dois divisores)

3 a) 2 3 5 b) 22 3 c)

2 22 3 d) 22 3 5

e) 22 5 7 f)

25 7 g) 32 5 h)

23 11

4. a) 2 b) 23 c) 5 d) 5 5. A)

3

5 b)

6

5 c) 6 d)

3

5 e)

25

2 f)

9

10 g)

11

21

6. a) 22 4 b) 3 5 15 c) 3 d) 5 7 35 e) 3

7. a) 2, 3 e 10 (por exemplo) b) 10 e 25 c) 2 5 10

8. a) 22 3 7 84 b)

23 5 7 225 c) 22 3 7 126

d) 2 23 5 7 3675 e)3 11 2 5 3300

9. a) 22 3 5 90 e

22 3 18 b) 9 c) 3 11 2 5 3300

10. a) 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 b) 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150

c) 1, 3, 7, 9, 21, 63 d) 1, 5, 11, 25, 55, 275

e) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180

f) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300

11. a) 263 3 7 b) 2. . . , 3 9m d c A B , 2. . . , 2 3 5 7 715m m c A B

É par, pois 2 é divisor de A (está na sua decomposição) 12. 18 divisores

apontamentos de matemática – 6.º...

Documents