apontamentos 7 - formas quadraticas
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Nova School of Business and Economics
Apontamentos Álgebra Linear
1
7 – Formas Quadráticas
1 Forma quadrática em variáveis ( )
Função polinomial, de grau , cuja expressão tem apenas termos de grau .
( )
Ex. 1:
( )
é uma forma quadrática em variáveis porque a sua expressão é um polinómio em e
cujos termos são apenas de grau . Neste caso, , e .
Ex. 2:
( )
não é uma forma quadrática porque um dos termos da sua expressão, , não é de
grau .
2 Classificação de formas quadráticas
Uma forma quadrática é classificada como semi-definida positiva (negativa) se for não
negativa (não positiva) em qualquer vector. Se, para além disso, for positiva (negativa) em
qualquer vector não nulo, é também classificada como definida positiva (negativa). Se
houver pelo menos um vector em que é positiva e pelo menos um em que é negativa, é
classificada como indefinida.
é:
Definida positiva: ̅ ( )
Semi-definida positiva: ( )
Definida negativa: ̅ ( )
Semi-definida negativa: ( )
Indefinida: ( ) ( )
Ex. 1:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
Definição
Classificação
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7 – Formas Quadráticas
2
Ex. 2:
( ) ( )
8 ( ) *( ) + ( )
( ) ( ) *( ) + ( )
( ) ( )
Ex. 3:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
Ex. 4:
( ) ( )
8 ( ) *( ) + ( )
( ) ( ) *( ) + ( )
( ) ( )
Ex. 5:
( )
8 ( )
( )
3 Formas quadráticas definidas e semi-definidas
Todas as formas quadráticas definidas positivas (negativas) são também semi-definidas
positivas (negativas), mas nem todas as formas quadráticas semi-definidas positivas
(negativas) são também definidas positivas (negativas).
Ex. 1:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Ex. 2:
( ) ( )
Facto
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7 – Formas Quadráticas
3
( ) ( )
( )
4 Classificação de formas quadráticas com expressões sem termos
cruzados
A classificação de formas quadráticas cuja expressão não tem termos cruzados pode ser feita
directamente através da observação do sinal dos coeficientes dos termos da sua expressão.
( )
é:
Definida positiva * +
Semi-definida positiva * +
Definida negativa * +
Semi-definida negativa * +
Indefinida * +
Ex. 1:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
Ex. 2:
( )
8 ( ) *( ) + ( )
( ) ( ) *( ) + ( )
( ) ( )
Ex. 3:
( )
8 ( )
( )
5 Matriz simétrica associada a uma forma quadrática ( )
Matriz ( ) formada a partir dos coeficientes dos termos da expressão de .
( )
Definição
Facto
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7 – Formas Quadráticas
4
{
* +
* +
[
]
Ex.:
( )
[
]
6 Expressão de formas quadráticas e forma matricial
A expressão da forma quadrática pode ser escrita na forma matricial como o
produto de por por , por esta ordem.
( )
, -
[
]
[
]
Ex.:
( )
, -
[
]
6 7 ( )
Facto
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7 – Formas Quadráticas
5
7 Mudança de variável associada a uma matriz não singular de
uma forma quadrática
Alteração da expressão de , passando esta a depender de uma nova variável, , em vez da
variável original, , tal que .
( ) | |
:
( ) ( )
( )
Ex.:
( ) , - [
] 6 7
[
] [
]
6 7 [
] 6 7 [
]
6 7 [
] 6 7 [
]
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( ) , - [
] 6 7
[
] [
] [
] [
]
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Definição
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7 – Formas Quadráticas
6
8 Matriz ortogonal e vectores ortonormados
Uma matriz é ortogonal se e só se as suas colunas forem ortonormadas (mutuamente
ortogonais e com norma ).
,
-
8 * +
⟨
⟩
* + ‖ ‖ ⟨
⟩
Ex.: [
] .
/
.
/
{
⟨
⟩ ⟨(
) (
)⟩
⟨
⟩ ⟨(
) (
)⟩ ‖
‖
⟨
⟩ ⟨(
) (
)⟩ ‖
‖
9 Matrizes diagonalizáveis, matriz diagonal e vectores próprios
ortonormados
Seja , a matriz de transformação de uma transformação linear , uma matriz
diagonalizável. Então, é uma base de constituída por vectores próprios ortonormados
de se e só se é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são os
valores próprios de , repetidos e ordenados de acordo com a ordenação dos vectores de ,
e , a matriz cujas colunas são os vectores de , é ortogonal.
, -
[
]
* +
* + 8
Ex.:
( ) ( ) [
]
(
) *( ) ( )+
Facto
Facto
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7 – Formas Quadráticas
7
(
) *( )+
4 √
√
√
5
4 √
√
5
4√
√
√
5
{
* +
* +
8
⟨ ⟩
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
* +
[ √
√
√
√
√
√
√
√
]
[
] [
]
10 Mudança de variável e eliminação de termos cruzados de formas
quadráticas
Qualquer forma quadrática tem uma expressão sem termos cruzados, obtida
através da mudança de variável , sendo uma matriz cujas colunas são vectores
próprios ortonormados da transformação linear cuja matriz de transformação é . Neste
caso, a expressão de na variável tem como coeficientes os valores próprios da
transformação linear cuja matriz de transformação é , repetidos e ordenados de acordo
com a ordenação dos vectores que formam as colunas de .
* +
, -
[
]
* +
( ) ( )
( )
Facto
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7 – Formas Quadráticas
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Ex.:
( ) , - [
] 6 7
( ) ( ) [
]
(
) *( )+
(
) *( ) ( )+
4 √
√
5
( ) 4
√
√
5
* +
[
√
√
√
√
]
6 7
[
√
√
√
√
]
6 7
[
√
√
√
√
]
( )
4√
√
5
4√
√
54
√
√
5 4
√
√
5
, - [
] 6 7 ( )
11 Algoritmo para a realização de uma mudança de variável de uma
forma quadrática que elimine os termos cruzados da sua expressão
Representação da expressão de , ( ), na forma matricial: A partir da forma
polinomial de ( ), encontrar a forma matricial que lhe é equivalente, .
Determinação dos valores e vectores próprios da transformação linear cuja matriz
de transformação é : Encontrar os valores próprios de , a transformação
linear cuja matriz de transformação é , e os subespaços próprios de .
Definição de uma base de constituída por vectores próprios ortonormados da
transformação linear cuja matriz de transformação é : Escolher, de cada subespaço
próprio de , um número de vectores próprios ortonormados igual à multiplicidade
Algoritmo
1
2
3
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7 – Formas Quadráticas
9
algébrica do valor próprio de que lhe está associado e reuni-los todos num conjunto ,
base de . Aproveitar o facto de ser uma matriz real e simétrica para a ortogonalidade
de vectores de subespaços próprios diferentes, e o facto do produto de qualquer vector não
nulo de pelo inverso da sua norma ser um vector com norma , para a normalização dos
vectores. Para conseguir a ortogonalidade de vectores do mesmo subespaço próprio, se
necessário, recorrer à ortogonalização de Gram-Schmidt.
Exibição da mudança de variável: Escrever , a matriz cujas colunas são os vectores
da base , que permite efectuar a mudança de variável, e encontrar a relação entre as
coordenadas de qualquer vector de na variável e as suas coordenadas na variável ,
apresentando a igualdade .
Apresentação da expressão de na variável , ( ): Especificar as formas,
matricial e polinomial, da expressão de na variável .
Ex.:
( )
Representação da expressão de , ( ), na forma matricial:
( ) , - [
] 6 7
[
]
Determinação dos valores e vectores próprios da transformação linear cuja matriz
de transformação é :
Valores próprios:
| | |
| ( ) |
| |
|
( ) ( ) ( ) ( ),( ) -
* + *
+ * +
Vectores próprios:
( ) ̅ [
] 6 7 [
] {
{
*( ) + *( ) ( )+
4
5
1
2
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( ) ̅ [
] 6 7 [
] {
{
*( ) + *( )+
Definição de uma base de constituída por vectores próprios ortonormados da
transformação linear cuja matriz de transformação é :
( ) ( )
( )
‖ ‖
4√
√
5
‖ ‖
‖ ‖
( ) ‖ ‖
‖ ‖
4√
√
5
‖ ‖
{
* +
* +
8
⟨ ⟩ ⟨4
√
√
5 ( )⟩
* + 84√
√
5 ( ) 4
√
√
59
Exibição da mudança de variável:
[ √
√
√
√
]
6 7
[ √
√
√
√
]
6 7
[ √
√
√
√
]
Apresentação da expressão de na variável , ( ):
( ) ( )
, - [
] 6 7
( )
3
4
5
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7 – Formas Quadráticas
11
12 Classificação de formas quadráticas e valores próprios
A classificação de qualquer forma quadrática pode ser feita através da observação do sinal
dos valores próprios da transformação linear cuja matriz de transformação é a matriz
simétrica que lhe está associada.
* + *
+ é:
Definida positiva * +
Semi-definida positiva * +
Definida negativa * +
Semi-definida negativa * +
Indefinida * +
Ex. 1:
( ) , - 0
1 0 1
* + {
} * + 8
Ex. 2:
( ) , - 0
1 0 1
* + {
} * + 8
Ex. 3:
( ) , - 0
1 0 1
* + {
} * + 8
Ex. 4:
( ) , - 0
1 0 1
* + {
} * + 8
Ex. 5:
( ) , - 0
1 0 1
* + {
} * + 8
Facto
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7 – Formas Quadráticas
12
13 Menor de ordem referente aos índices , , e de uma
matriz (
)
Determinante da sub-matriz ( ) de que se obtém eliminando as linhas e colunas de
cujos índices pertencem a * +.
Ex.: [
]
Ordem : | |
| | | |
Ordem : |
| |
| |
|
Ordem : | | |
|
14 Menor principal de ordem de uma matriz ( )
Menor de ordem referente aos índices , , e de . Determinante da sub-
matriz ( ) de que se obtém eliminando as últimas linhas e colunas de .
[
]
|
|
Ex.: [
]
Ordem :
| |
Ordem :
|
|
Ordem :
| | |
|
15 Classificação de formas quadráticas e menores
A classificação de qualquer forma quadrática pode ser feita através da observação do sinal
dos menores da matriz simétrica que lhe está associada.
Definição
Definição
Facto
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é:
Definida positiva
Semi-definida positiva
Definida negativa
Semi-definida negativa
Indefinida
Ex. 1:
( ) , - 0
1 0 1
* + 2
3 * + 8
Ex. 2:
( ) , - 0
1 0 1
* + 2
3 * + 8
Ex. 3:
( ) , - 0
1 0 1
* + 2
3 * + 8
Ex. 4:
( ) , - 0
1 0 1
* + 2
3 * + 8
Ex. 5:
( ) , - 0
1 0 1
* + 2
3 * +
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7 – Formas Quadráticas
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16 Classificação de formas quadráticas e menores principais
Pode ser possível classificar uma forma quadrática através da observação do sinal dos
menores principais da matriz simétrica que lhe está associada.
é:
Definida positiva
Definida negativa
Indefinida
Ex. 1:
( ) , - 0
1 0 1
* + 2
3 * + {
Ex. 2:
( ) , - 0
1 0 1
* + 2
3 * + {
Ex. 3:
( ) , - 0
1 0 1
* + 2
3 * +
Facto