funções quadraticas

Definição O Gráfico e a influência dos coeficientes Raízes ou zeros Relação entre coeficientes e Raízes Vértice Máximo ou mínimo Estudo do Sinal Inequações do 2º grau

Diz-se que uma função f : ℝ ⟶ ℝ é uma função quadrática quando existemnúmeros reais 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐, com 𝑎 ≠ 0, tais que :

𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

a. f(x) = x2 + 3x + 1

Mas cuidado, as seguintes funções não são quadráticas.

f(x) = 2x

f(x) = 2x

f(x) = x3 + 2x + 1

Exemplos:

DEFINIÇÃO

b. f(x) = 2x2 - 3

c. f(x) = -3x2 + 2x

Situações em que aparecem funções quadráticas

1. Num campeonato de futebol em que participam n clubes, em um sistema no qualtodos os clubes jogam contra todos os outros, qual seria o número total de partidasdo campeonato ?

2. Qual o número de diagonais de um polígono convexo de n lados?

Cada um dos 𝑛 clubes faz 𝑛 − 1 partidas :

Logo o número total é : 𝑛 ∙ 𝑛 − 1 = 𝑛2 − 𝑛

De cada vértice partem 𝑛 − 2 diagonais

Logo o número total é : 𝑛 ∙ 𝑛 − 2 = 𝑛2 − 2𝑛

3. Os diretores de um clube querem construir uma quadra poliesportiva. O cluberecebeu uma doação de 200 metros de tela metálica, para cercar a quadra. Adiretoria tem que decidir quais serão as dimensões da quadra a ser construída,porém de tal forma que os 200m de tela sejam suficientes para cercá-la. Qual aexpressão que representa a área da quadra em função de uma de suas dimensões ?

Situações em que aparecem funções quadráticas

Vamos escolher o comprimento como variável edenomina-lo 𝑥.

𝑥

Como o perímetro total da quadra tem que ser200m, podemos escrever

2𝑥 + 2. 𝑙 = 200 ⇒ 𝑙 =200−2𝑥

2⇒ 𝑙 = 100 − 𝑥

Logo a expressão da área como função do comprimento será :

𝐴 𝑥 = 𝑥 ∙ 100 − 𝑥 ⇒ 𝐴 𝑥 = 100𝑥 − 𝑥2

O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Diferentemente do que ocorre com as funções lineares, em uma função quadrática ataxa de variação não é constante. Assim, o seu gráfico não será representado poruma reta

x

y

•V

Eixo de Simetria

Vértice

A parábola é uma curva simétrica,possuindo portanto um eixo de simetria.

É Importante também, para nossopropósitos, destacar um ponto denominadovértice, localizado na interseção entre aparábola e o seu eixo de simetria.

Podemos estudar o efeito dos parâmetros a, b e c na forma da parábola que representa uma função quadrática.

O gráfico de uma função quadrática é uma Parábola.

EFEITO DO VALOR DE 𝒂 NO GRÁFICO DA FUNÇÃO

x

y

O parâmetro a determina a concavidade e a abertura da parábola.

x

y

x

y

x

y

a > 0

a < 0

a = 2a = 1 a = 0.5

a = 0.25

a = -0.25a = -0.5 a = - 1

a = - 2

ConcavidadeDeterminada pelo

sinal do a

AberturaDeterminada pelo valor

absoluto do a

O sinal do parâmetro b determina se a parábola cruza o eixo y no ramo crescenteou decrescente.

x

y

x

y

x

yb > 0 b > 0

b < 0 b < 0

x

y

EFEITO DO VALOR DE 𝒃 NO GRÁFICO DA FUNÇÃO

EFEITO DO VALOR DE 𝒄 NO GRÁFICO DA FUNÇÃO

O parâmetro c , determina o ponto deinterseção da parábola com o eixo y.

x

y

c > 0•

x

y

c < 0 •

𝑓 0 = 𝑐

Encontrar os zeros de uma função qualquer significa determinar os valores de 𝒙 queanulam a função. Ou seja, os valores de 𝑥 tais que 𝑓 𝑥 = 0 .

x

y

x

y

x

y

Situações possíveis - Análise Qualitativa

Dois zerosNenhum zeroUm zero

• • •

Para determinar algebricamente os zeros de uma função quadrática devemosresolver a

Equação do Segundo Grau : 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

OS ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Primeiramente vamos colocar a função sob a forma de um quadrado perfeito, ou seja :

𝒇 𝒙 = 𝒂(𝒙 − 𝒎)𝟐 + 𝒌

Forma canônica da função quadrática

2. Completando o quadrado perfeito

O Discriminante da equação :

A Fórmula de Bhaskara𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ⇒ 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥2 +

𝑏

𝑎𝑥 +

𝑐

𝑎

1. Dividindo por a

𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 +𝑏

2𝑎

2

−𝑏2

4𝑎2+

𝑐

𝑎⇒


2𝑎

2

+ 𝑐 −𝑏2

4𝑎


2𝑎

2

+4𝑎𝑐 − 𝑏2

4𝑎

𝑚 =−𝑏

2𝑎

𝑘 =4𝑎𝑐 − 𝑏2

4𝑎

𝑓 𝑥 = 0 ⇔ 𝑎 𝑥 +𝑏

2𝑎

2

=𝑏2 − 4𝑎𝑐

4𝑎

𝒙 =−𝒃 ± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

CÁLCULO DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU

Equação do Segundo Grau : 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

⇒

⇒

Quantificando a análise qualitativa

O valor do discriminante determina onúmero de zeros da função.

𝑥 =−𝑏 ± ∆

2𝑎

Número de zeros da função quadrática

x

y

∆ > 0dois zeros

• •x

y

∆ = 0um zero

•x

y

∆ < 0nenhum zero

Exemplos:

a. Quantas raízes tem a equação:2x2 – 3x + 5 = 0 ?

b. Para que valores de k a equaçãox2 – 2x + k = 0 tem duas raízes reais distintas ?

OS ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA

∆= (−3)2 − 4 ∙ 2 ∙ 5 = 9 − 40 = −31

Logo, nenhuma raiz. O gráfico não corta oeixo 𝑥.

∆= (−2)2 − 4 ∙ 1 ∙ 𝑘 = 4 − 4𝑘

Logo ∆ > 0 quando 𝑘 < 1

ZEROS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA - EXEMPLOS

Equação Biquadrada

a. 3x2 – x + 2 = 0

Resolver as Equações :

b. 4x2 – 9 = 0

e. x4 – 13x2 + 36 = 0

d. x2 – 10x + 25 = 0

c. 3x2 + 2x = 0

∆= (−1)2−4 ∙ 3 ∙ 2 = −23

Logo a equação não tem raízes reais

∆= (0)2−4 ∙ 4 ∙ (−9) = 144

𝑥 =−0 ± 144

8

𝑥 = ±3

2

∆= (2)2−4 ∙ 3 ∙ 0 = 4

𝑥 =−2 ± 4

6

𝑥 = −2

3𝑥 = 0 e

∆= (10)2−4 ∙ 1 ∙ 25 = 0

𝑥 =10 ± 0

2

𝑥 = 5

Duas raízes iguais

Façamos 𝑧 = 𝑥2 e teremos

𝑧2 − 13𝑧 + 36 = 0

∆= (−13)2−4 ∙ 1 ∙ 36 = 25

𝑧 =13 ± 25

2

𝑧 = 4𝑧 = 9 e

Logo a equação tem quatro raízes

𝑥 = ± 9 = ±3

𝑥 = ± 4 = ±2

Voltando a forma canônica da função


2𝑎

2

−∆

4𝑎

Observações:

1. O termo −∆

4𝑎é constante. Logo o valor do

mínimo (máximo), depende do termo

𝑎 𝑥 +𝑏

2𝑎

2.

2. Se a > 0, teremos um mínimo, pois oprimeiro termo da forma canônica serásempre ≥ 0;

3. Se a < 0, teremos um máximo, pois oprimeiro termo da forma canônica serásempre ≤0.

4. Em qualquer caso, o extremo é alcançadoquando o primeiro termo se anula, ou seja,

para 𝒙 = −𝒃

𝟐𝒂e o valor mínimo (máximo) da

função é 𝒇 𝒙 = −∆

𝟒𝒂.

MÁXIMO E MÍNIMO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

•

•

𝒇 𝒙 = −∆

𝟒𝒂

EXEMPLOS

Diga se as funções abaixo possuem mínimo ou máximo e esboce o gráfico da parábola

a. f (x) = -4x2 + 4x + 5 b. f (x) = x2 - 2x + 1

2. Para que valor de k o valor mínimo dafunção f (x) = x2 - 6x + 3k é 3 ?

4. No exemplo da quadra poliesportiva, qualserão as dimensões da quadra, para que suaárea seja máxima.

𝑎 < 0 ⇒ máximo

x

y

∆= (4)2 − 4 ∙ −4 ∙ 5 = 16 + 80 = 96

𝑏 > 0 𝑎 > 0 ⇒ mínimo

∆= (−2)2 − 4 ∙ 1 ∙ 1 = 4 − 4 = 0

𝑏 < 0

x

y

•

O valor do mínimo é −∆

4𝑎. Logo temos

−−6 2 − 4 ∙ 1 ∙ 3𝑘

4 ∙ 1= 3 ⇒

−36 + 12𝑘 = 12 ⇒ 𝑘 = 4

𝐴 𝑥 = 100𝑥 − 𝑥2

O máximo ocorre quando 𝑥 = −𝑏

𝑎= −

100

−1= 100

Área máxima ocorre quando 𝑥 = 100

RELAÇÃO ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES

Tomemos a equação do segundo grau 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Denominando as raízes de 𝑥1 e𝑥2 , podemos escrever:

𝑥1 =−𝑏 + ∆

2𝑎𝑒 𝑥2 =

−𝑏 − ∆

2𝑎

Colocando 𝒂 em evidência na equação inicial teremos : 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 +

𝑐

𝑎

Assim, teremos :

𝑥1 ∙ 𝑥2 =−𝑏 + ∆

2𝑎∙

−𝑏 − ∆

2𝑎=

𝑏2 − ∆2

4𝑎2 =𝑏2 − 𝑏2 + 4𝑎𝑐

4𝑎2 =𝑐

𝑎

𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏 + ∆

2𝑎+

−𝑏 − ∆

2𝑎=

−2𝑏

2𝑎= −

𝑏

𝑎

Fatorando o último polinômio, obteremos : 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂(𝒙 − 𝒙𝟏) ∙ (𝒙 − 𝒙𝟐)

O que resulta em : 𝑎 𝑥2 − 𝑥1 + 𝑥2 𝑥 + 𝑥1 ∙ 𝑥2

Isso significa que as raízes da equação são dois números tais que 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏

𝑎e 𝑥1 ∙ 𝑥2 =

𝑐

𝑎

EXEMPLOS

Determine as raízes das equações abaixo sem usar a fórmula de Bhaskara

a. x2 - 5x + 6 = 0 b. x2 + 7x + 12 = 0 c. 3x2 - 4x + 1 = 0

𝑥1 + 𝑥2 = 5

𝑥1 ∙ 𝑥2 = 6

Logo na forma fatorada

𝑥 − 2 ∙ 𝑥 − 3 = 0

𝑥 = 2 e 𝑥 = 3

Raízes

𝑥1 + 𝑥2 = −7

𝑥1 ∙ 𝑥2 = 12


𝑥 + 3 ∙ 𝑥 + 4 = 0

𝑥 = −3 e 𝑥 = −4

Raízes

𝑥1 + 𝑥2 = −−4

3=

4

3

𝑥1 ∙ 𝑥2 =1

3


𝑥 − 1 ∙ 𝑥 −1

3= 0

𝑥 = 1 e 𝑥 =1

3

Raízes

EXEMPLOS

2. Determine o valor de 𝑚 ,positivo, para que aequação 𝑥2 − 2𝑚𝑥 +𝑚 + 1 = 0 tenha uma

raiz igual ao triplo daoutra.

3. Calcule a soma dos inversosdas raízes da equação 2𝑥2 −𝑥 − 3 = 0, sem resolvê-la.

4. Calcule a soma dosquadrados das raízes daequação 𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0 ,sem resolvê-la.

𝑟1 + 𝑟2 = 2𝑚

𝑟1 ∙ 𝑟2 = 𝑚 + 1

𝑟1 = 3𝑟2Mas

Substituindo temos:

4𝑟2 = 2𝑚 ⇒ 𝑟2 =𝑚

2

3𝑟22 = 𝑚 + 1 ⇒

3𝑚

2

2= 𝑚 + 1 ⇒

3𝑚2 − 4𝑚 − 4 = 0

𝑚 = 2 𝑒 𝑚 = −2

3

1

𝑟1+

1

𝑟2=

𝑟1 + 𝑟2

𝑟1 ∙ 𝑟2

Logo:

1

𝑟1+

1

𝑟2=

12

−32

= −1

3

𝑟1 + 𝑟22 = 𝑟1

2 + 2𝑟1𝑟2 + 𝑟22

Logo:

𝑟12 + 𝑟2

2 = 𝑟1 + 𝑟22 − 2𝑟1𝑟2

𝑟12 + 𝑟2

2Queremos :

Vamos usar :

O que nos dá:

𝑟12 + 𝑟2

2 = −1 2 − 2(−1)

𝑟12 + 𝑟2

2 = 3

ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Por tudo que vimos até agora, podemos afirmar que o estudo do sinal de umafunção quadrática depende dos valores do coeficiente a e do discriminante ∆ .

1º caso: ∆ > 0

Se a > 0

Se a < 0

2º caso: ∆ = 0

Se a > 0

Se a < 0

x__•

x

+ +•

x__+

••

x_

+ +••

3º caso: ∆ < 0

Se a > 0

Se a < 0

x

+ +

x__

INEQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU

Inequações do 2º grau são desigualdades de um dos seguintes tipos

Ou qualquer outra que possa ser escrita sob essa forma

Exemplos :

𝑥2 − 5𝑥 + 6 > 0

𝑥2 − 4 ≤ 0

3𝑥2 − 4 ≥ 𝑥 + 3

(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) ≥ 0

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0

Resolver uma inequação do 2º grau significa determinar o conjunto de valores de𝑥 ∈ ℝ que tornam a expressão da inequação verdadeira.

Para resolver uma inequação do 2º grau, devemos fazer o estudodo sinal da função quadrática correspondente.

Exemplos :

a) 𝑥2 − 3𝑥 + 2 < 0 b) −𝑥2 + 5𝑥 − 6 ≥ 0 c) −𝑥2 + 9 ≤ 0

SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU

∆ > 0 e 𝑎 > 0

Raízes : 1 e 2

21• •

+

−

+

Logo o conjunto solução é

𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ 1 < 𝑥 < 2}

∆ > 0 e 𝑎 < 0

Raízes : 2 e 3

32• •

−

+

−


𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ 2 ≤ 𝑥 ≤ 3}

∆ > 0 e 𝑎 < 0

Raízes : -3 e 3

3−3• •

−

+

−


𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ −3 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 3}

INEQUAÇÕES PRODUTO E QUOCIENTE

Em algumas inequações os termos quadráticos aparecem em produtos ou quocientes.

Nesses casos para chegar ao conjunto solução temos que achar os conjuntos solução dasdiferentes inequações envolvidas e aplicar a regra do sinal para o produto ou quociente

Exemplos :

𝑎. 𝑥 − 3 ∙ 𝑥2 + 3𝑥 − 4 > 0 𝑏.𝑥2 − 8𝑥 + 12

𝑥2 − 9≤ 0

𝑥 − 3

𝑥2 + 3𝑥 − 4

-4 31

+− − −

++ − +

+− + −


𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ − 4 < 𝑥 < 1 𝑜𝑢 𝑥 > 3}

Produto

𝑥2 − 8𝑥 + 12

𝑥2 − 9

-3 32

+−

++ − −

−+ − +


𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ − 3 < 𝑥 ≤ 2 𝑜𝑢 3 < 𝑥 ≤ 6}

Produto

6

+ −+

+

+

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