1.Acsticaa.Definio2.Osom3.MovimentosPeridicos4.CaractersticasdoSom5.SonsPuroseComplexosa.TeoremadeFourier6.SriedosHarmnicos7.IntervalosAcsticos8.ConsequnciasdaSimultaneidadededoissonsa.ReforoeAnulaob.Batimentos9.AparelhoAuditivoa.OuvidoExternob.OuvidoMdioc.OuvidoInterno10.SensaesAuditivasa.SensaodeIntensidadeb.LimiardeAudibilidadeeLimiardaDor11.FenmenosAcusticosa.Absorob.Refracoc.Difracod.Reflexo12.AcsticaArquitectural13.Temperamentosa.Temperamentoigualb.EscalaNaturalc.EscalaPitagricad.OutrasAfinaes14.CorposVibrantesa.Cordasi.LeisdeTaylorii.Modosvibratriosdeumacordaiii.Espectrodeumacordab.Membranasi.Placasii.LeisdeChladic.Rguasd.Varase.Tubos Acstica DefinioDerivadodogregoAkoustikosSensaodeouvirDisciplinaqueestudaosfenmenosvibratrios,entreelesosom.Outrosexemplos:AcusticaOceanogrfica,AcusticaArquitectonicaNasreasrelevantesparaamsicatemos:oPsicoacustica:estudaassensaeseasrelaesdeinteligibilidadeouqualidadequeousodalinguagemfaladaououtrossons(incluindoosmusicais)estabelecementresi.oFisiologia:examinacomoqueosfenmenosfsicospemosouvidoemaco,equaisossinaisnervosostransmitidosaocrebroporaquelergooMatemtica:basedetodaacinciadasgrandezasnumericamentemensurveis.Aacsticaestudatodososaspectosdosmovimentosvibratrios:produo,transmisso,recepo.Aproduodosom(excitao)provocadaporforasexterioresquecriamavibraonumobjecto.Todososobjectostmoseumodovibratrio.Ofenmenodetransmissodosomfeitoapartirdomovimentoondulantedaspartculas,querestejamemestadogasoso(ar),slidooulquido.0 som Osomconstitudoporummovimentovibratriodaspartculas.Estemovimentovibratriopodeserdedoistipos:oRudo:somquenotemumaalturadefinidaummovimentovibratrionoperidicooSommusical:somquetendoumaalturadefinidareferencivelnumaescalamusical.ummovimentovibratrioperidico,queserepetecomumadeterminadafrequncia.Novimentos Peiiouicos Movimentoperidicoummovimentoemqueocorpomaterialpercorresempreamesmatrajectria,repetindoemintervalostempoiguaisasmesmacaractersticasdomovimento(posio,velocidadeeacelerao)oP.ex:omovimentodopndulodeumrelgioouomovimentodetranslaodaTerra.NafiguraAopnduloefectuaumpercursoqueserepetirquandovoltarposioinicial.NafiguraBopontoPpercorretodaacircunfernciaatvoltaraopontodepartida.DenominaseporPerodo(T)otempogastoparapercorrerumciclo,exprimeseemsegundo(s).Afrequncia(f)onumerodeciclosefectuadosnumsegundo,aunidadeusadaoHertz(Hz):Ouseja =11etambmI =1].offrequenciaoTPeriodoOutragrandezadomovimentovibratrioasuaamplitude(A).Estarefereseaodeslocamentomximodocorpoemrelaoaopontodepartida.Nogrficoanteriortemosomovimentovibratriorepresentadonumgrficodeamplitudeetempo.Massesubstituirmosotempopordistanciapoderemosobservaroadistanciapercorridapelaondanumdeterminadointervalodetempo.Assimpoderemoscalculartambmocomprimentodeonda(L),sabendoquenoarosomsedeslocaaproximadamentea340m/s,ouseja,comoI =L 1 temosentoS4u ms =L 1eI= S4u - I.SesubstituirmosoperiodopelafrequenciatemosI = 340] .oVvelocidadedosomoLcomprimentodeondaoFfrequenciaoTPeriodoCaiacteiisticas uo SomApartirdestastrsgrandezasdomovimentovibratriopodemosfazerasuacorrespondnciacomascaractersticasdaperceposonora.oAamplitudepercepcionadacomointensidadeouvolumesonoro.oAfrequnciadnosaalturadosom.Ocrebrohumanoapenasconsegueprocessarfrequnciasentreos20Hzeos20000Hz(dependedaspessoas).Vibraesabaixodos20HzestonocampodosInfrasons,eacimados20000Hzsoultrasons.oOtimbreacordosom.Dependedeinmerosfactoresqueveremosmaisfrentecomoonmeroeintensidadedoscomponentesvibratrios(ousejadasvriasfrequnciaspresentesnosom).Sons Puios e Complexos Ossonspurossotambmchamadossonssimplesousinusoidais(devidosuarepresentaosersinusoidal).Umsompuroconstitudoporapenasumafrequncia,apenasumcomponente.Ocasotpicodeumsomquemaisseaproximadeumsompuroodeumdiapaso.Ossonscomplexosapresentammaisdoqueumafrequnciaoucomponente.Oscomponentes,ouparciais,podemserharmnicosounoharmnicos.Noprimeirocasoapresentamfrequnciasderelaof,2f,3,4f.nosegundocasoapresentamumaqualquerrelaodiferente.oP.ex:umsomcomplexodeparciaisharmnicospoderserconstitudopor50Hz,100Hz,150Hz,200Hz,umsomcomplexodeparciaisnoharmnicosserp.ex,50Hz,72Hz,81Hz,95HzTeoremadeFourierOmatemticofrancsFranoisFourierdemonstrouquequalquersomperidicodefrequnciafsepodedecompornumasomadesonssinusoidaisdefrequenciasmultiplasdef(2f,3f...),eamplitudesadequadas.OteoremadeFouriertemgrandeimportnciatericaporquepermitecompreenderaestruturafsicadossonscomplexosetemimportnciaprticaporqueindicaocaminhoparaconseguirasntesedeumsomcomplexo.Acomposiodemovimentosvibratriosasomavectorialdosmovimentoscomponentes.Devemosnotarqueestesexemplosfuncionamapenasnateoriapoisacaixaderessoranciadosinstrumentostemtambmumpapelimportantissimonamodulaodavibrao.Siie uos Baimonicos Quandoumcorpoentraemvibrao,vibranoseutodo,emitindoosomfundamental,evibratambmsimultaneamente,partessimplesdasuaextenso,ouseja,asuametade,tero,quarto,etc....Estasvibraesresultanteschamamseosharmnicosdessesomfundamental.Assimsendo,recordandoaequaodeclculodocomprimentodeondacomafrequenciaI (m) = 340P (Hz)ouF (Ez) = 340L (m)vemosqueavibraodemetadedocorporesultanodobrodafrequencia,eavibraodeumterodocorporesultaem3vezesafrequencia,etc.Transpondoestasfrequenciasparaaescalamusicaltemososequinteresultado.Inteivalos Acsticos Asriedosharmnicos,paraalmdenosajudarnacaracterizaodeumsom,ajudanosacalcularmatemticamenteosintervalos(i)entreasdiferentesnotasdaescala.Paratalbastadividirosparciaisdasduasnotasquefazemointervaloacalcular.Paraaoitavapodemosdividirosdoisprimeirosparciaisdasrieharmnica(dd):i =21Paraaquintaperfeitapodemosdividirosegundoeterceiroparcial(dsol):i =32Paraaquartaperfeitapodemosdividiroterceiroeoquartoparcial(sold): i =43Paraaterceiramaiorpodemosdividiroquartoeoquintoparcial(dmi):i =54Paraaterceiramenorpodemosdividiroquintoeosextoparcial(misol): i =65Consequncias ua Simultaneiuaue ue uois sons ReforoeAnulaoSechegaremaonossoouvidodoissonsiguais,detalmaneiraqueambosproduzemdeslocamentosnomesmosentidoeaomesmotempo,temosasensaodeouvirumssomcomodobrodaintensidade.Nestecasodizsequeosdoissonsestoemfase.AFasereferesedirecododeslocamentodaondaemcadamomento.Nocasodaondasinusoidalpodemosfacilmentedividiromovimentoemquatrofases:positivocommovimentoascendente,positivocommovimentodescendente,negativocommovimentodescenteenegativocommovimentoascendente.Assim,setivermosdoissonscomodeslocamentonomesmosentido,comamesmafrequenciaeintensidade,mascomasfasesinversastemossilencio.Vistoqueasomadosdoisvectoresemcadamomentosemprezero.BatimentosParaocasodefrequenciasdiferentes,seestasforembastantediferentes,onossoouvidodistingueascomodoissons,ouduasnotasdiferentes.Noentanto,seestasfrequenciasforembastanteprximasasensaoproduzidaadeumnicosomcujaintensidadevariaperiodicamente,oquesedesignadebatimentos.Quandohcoincidenciadefase,asamplitudesadicionamseeosomtornasemaisintenso.Quandohoposiodefaseosomquaseseanulaficandocomfracaintensidade.Estebatimentotambmumfenmenoperidico,tandoportantonecessriamenteumperiodoeumafrequencia.Afrequenciadobatimento(F)ser:F = 1 -2Estebatimentosermaisrpidoquantomaisafastadasestiveremasfrequencias.Oouvidohumanoconsegueperceberde6a7batimentosporsegundo. Apaielho Auuitivo AnatomiadoOuvidoOouvidoformadopor3partes:ouvidoexterno,mdioeinterno;divididaspor3membranas:timpano,janelaovalejanelaredonda.OuvidoexternoTimpanoOuvidomdiojanelaovalejanelaredondaOuvidointernoOuvidoExternoOouvidoexternoconstituidopelopavilho(orelha)epelocanalauditivo.oAfunodaorelhaadeguardavento,reduzindoosrudosqueoventoproduziriaaopassarpelocanalauditivo.oOcanalauditivotem2a3centimetrosdecomprimentoefechadonointeriorpelamembranadotimpano.Asparedessorevestidasdeumapenugemecera.Afunodocanalauditivoprovocarqueotimpanorecebaumsinalacusticodireccionado.Otimpanoumamembranaelsticamuitofinamasresistente.quasecircular,temcercade1cmdediametro,concavaenotemumaespessurauniforme.Estaespessuravarivelpermitefazerumafiltragemdasfrequencias.OuvidoMdioOouvidomdiofazatransmissodasondassonorasdotimpanoataoouvidointernoecompostopelosossculos(martelo,bigornaeestribo)epelaTrompadeEustquio.oOsossculosestolocalizadosnacavidadefazendoaligaoentretimpanoeajanelaoval.Soosossosmaispequenosdocorpohumanoejestonotamanhocompletononossonascimento.Asondassonoarssotransferidasdotimpanoparaosossiculosqueformamumsistemadealavancasquetransferemaenergiadasondasataoouvidointerno.oAbasedomarteloestfixaaotimpano,abigornaligaomarteloaoestribo,quetemasuabasefixanajanelaoval.oAcavidadeondesesituamosossiculosligadasfossasnasaisecavidadebocalatravsdaTrompadeEustquio,mantendoassimapressodoarigualentreoouvidoexternoeinterno.Ajanelaovalaresponsvelpelatransmissodasondassonorasdoestriboparaoouvidointerno.Ajanelaredonda,noestandoligadaanenhumdosossiculostemafunodemanterapressodoliquidodentrodoouvidointerno,sendofinaeflexivel.OuvidoInternoOouvidointernobasicamentedivididoemduasseces:oscanaissemicirculares,ligadosaosentidodeequilibrio,eacclea,oucaracol,ondeseprocessamasondassonoras.Accleatemaestruturadeumcaracol,correspondendobasicamenteaumtuboenroladosobresiprprio,emespiralatatingirocentro,oupex.Medecercade3ou4cm.Atransformaodasondassonorasemsinaiselectricosfazsedentrodacclea.SinaiselectricosquesotransmitidosaocrebropelonervoauditivooOinteriordaccleadivididoemtrscompartimentos,ousejaumtubocom3canais(vestibular,timpnicoemdiooucoclear) oNumadasmembranasqueseparamoscanais(Membranabasilar)estsituadoorgodeCorti.oOrgodeCortiresponsavelpelatransformaodasondassonorasemsinaiselectricos.Destergosaemcercade30000fibrasnorvosasquecomunicaoosimpulsosaocrebro. Sensaes Auuitivas SensaodeIntensidadeNoaspectofsco,aintensidadedeumsomdefinesecomoaintensidademecnicadaondasonora.Exprimeseemwottcm2masnaprtica,aintensidadedeumsomexprimeseemdecibel.Estaescalavariaentre0e120dB. Asensaodeintensidadevariacomasfrequenciasedepessoaparapessoa.Nogrficoseguintepodemosverascurvasdeintensidademdiaspercebidaspeloouvidohumano.LimiardeAudibilidadeeLimiardaDorOslimitesdanossaaudiovariamconsoanteasfrequenciasemquestoesodiferentesemtodasaspessoas.Olimiardeaudibilidadeparaumacertafrequenciaapotenciasonoraminimaemqueaudvel.Opostaaolimiardeaudibilidadeestolimiardadorqueapotenciasonoramximaqueoouvidoconseguetolerar.Potnciassonorassuperioresaolimiardadorpodemcausarlesesdefinitivasnoouvido. Fenomenos Acusticos AbsoroNapropagaoaenergiadasondassonorassofreumaatenuaoprovocadapeloprpriomeioqueaondaestaatravessar.Relativamenteaoaressaatenuaodependedascondiesemqueeleseencontra:temperatura,humidade.Aenergiasonoraperdidadissipadasobaformadecalor.Aenergiatransportadaporumaondasonora,aopropagarseporondasesfricasdistribuiseporsuperficiescadavezmaiores,portanto,mesmoqueconsiderssemosummeioemquenohouvesseabsoro,haveriasempreumadiminuiodeenergiainerenteaoaumentodasuperficiedafrentedaonda.Aabsorosonoraprovocadapeloarassimacomopelosoutrosdiversosmateriais,medeseeexprimesenumagrandezadenominadacoeficientedeabsoro(disponiveisemtabela)RefracoDseofenmenodarefracoquandoasondaspassamdeummeioaoutrodediferentevelocidadedepropagao.Noentanto,podedarseestefenmenonomesmomeioquandoexistemdiferentesvelocidadesdepropagaodosomemvriascamadasdessemeio.oqueacontececomapropagaoemmeiossubmetidosavariaesdetemperaturaouempresenadevento.Paracalcularavelocidadedosomaumadadatemperaturautilizaseaseguinteformula:: = 2u.1Ietemosporexemplo:o0C: = SS2.1ms o15C: = S41.1ms o30C: = S49.9ms DifracoDanossaexperienciadetodososdias,sabemosquenonecessrioestaraverumaorigemsonoraparaouvirmososomqueelaproduz.Emboraosomsepropagueemlinharecta,quandoaondasonoraencontraumobstculodepequenasoumdiasdimenses,contornao.Osobstculospodemprovocardistorodasfrentesdeondanapropagaodosom,fenmenoquesedenominapordifraco.Adifracorepresentatambmacapacidadequeasondastmdepassaratravsdeorificiosnosobstculos.Ofenmenoqueocorredependedarelaoentreotamanhodoorificioeocomprimentodeonda.Seoorificioforpequenorelativamenteaocomprimentodeonda,oprprioorificiofuncionarcomoumafontesonora,emitindoosinalemtodasasdireces.ReflexoAoencontraremumobstculodegrandesdimensesrelativamenteaocomprimentodeonda,comoocasodeumaparedeplanaerigida,asondassonorasreflectemse.Nocasodafonteprximarepresentadanafiguraseguinte,aondasonorareflectesecomosefosseoriginadanumafontesonoraimagem,situadaaumadistnciadasuperficiereflectoraigualdistanciadafonterealAcstica Aiquitectuial Numrecintofechado,quandoseproduzumsinalacstico,esteouveseaindadepoisdafontesonoraseterextinto,isto,ouvesemaistempodoquedura.Aestefenmenochamasereverberaoedevidoasermosatingidosnospelaondadirectacomopelasinmerasreflexesnassuperficiesdasala,equechegamatnsemmomentosdiferentes.Paradescreverumasaladeconcertososmsicosutilizamumalinguagemempirica:asalatemumsomcheio,seca,abafada,etc...deumpontodevistafisico,estesconceitosestorelacionadoscomotempodereverberao.Otempodereverberaodeumespao,convencionalmente,otempoqueonveldeintensidadedeumsomdemoraadiminuir60decibeis,depoisdeafontesonoraseterextinto.Paraalmdosprocessosexperimentaisexistemcalculosmatemticosquenospossibilitamcalcularaproximadamenteotempodereverberaodeumasala.WallaceSabinelanouasbasestericasdaacsticadesalasecriouanoodetempodereverberao,assimcomoaformulaquepermitecalculloteoricamente:oI =0,16-vu-S ,sendo:Tr=TempodeReverberaoS=Superficie(m2)detodososmateriaiseparedesdasalaV=Volume(m3)dasalaa=coeficientedeabsorodecadaumdosmateriaisdasalaParaocoeficientedeabsorodosdiversosmateriaisexistemtabelasdisponiveiscomvaloresestabelecidosexperimentalmente. Tempeiamentos Oouvidohumanotemacapacidadededistinguircentenasdealturasdiferentesdentrodeumaoitava.DoconjuntodetodosessessonsoHomemescolheualgunseorganizouosemsequencias.Adistanciaentredoissonsconstituiumintervalomusicalunidadebsicacomqueseconstroemasescalas.Roederer(1995)propeumadefinioparaescala:umconjuntodiscretodealturasordenadasdetalmodoquepermitamonmeromximopossiveldeconsonncias(ouonmeromnimopossiveldedissonncias)quandoduasoumaisnotasdoconjuntoseouvemsimultaneamente.Existeumgrandenmerodeescalasentreasquaisepodemrealaraescaladetonsinteiros,pentatnica,blues,cromtica....Amsicaocidentalestbaseadanachamadaescaladiatnicaqueumaescalaheptatnicaconstituidaportonsemeiostons.AsnossasescalasdiatnicasmaioresemenoresderivamcertamentedamsicadosgregospoisforamosmodosgregosabasedosistemamusicaleuropeudaIdadeMdia.Temperamentosignificaoarranjodosintervalosentreasnotasdeumaescala.Diferentestemperamentossurgiramdevidoimpossibilidadedesolucionaroproblemadatransposioemodulaocomossistemasexistentesquandoseusavainstrumentosdeafinaofixa,sobretudoteclados.Paramelhorperceberasdiferenasentreasescalasiremosutilizarumsistemadesenvolvidoem1880porAlexanderEllisquedivideotomdotemperamentoigualem100partesiguais,100cents.Assim,umaoitavater1200cents,uma5700cents,....TemperamentoigualOtemperamentoigualumsistemaemqueointervalode8divididoemdozepartesiguais,sendocadaumameiotomtemperado.Aexpressomatemticaquenosdaquantidadeexactadessemeiotomtemperado:x = 212.Assim,paracalcularmosqualquerintervalonotemperamentoigualtemosdeutilizaronumerodetonsnelecontidos.Porexemplo:oNuma2Mexistem2meiostons,entoser(212)2oNuma6mexistem8meiostons:(212)8Emtermosdecents,comojfoidito,cadameiotomcontem100cents,ouseja:Notas D R Mi F Sol L Si D1/2tons 0 2 4 5 7 9 11 12cents 0 200 400 500 700 900 1100 1200EscalaNaturalAescalanaturalconstruidaapartirdossonsqueconstituemasriedosharmnicos.Osintervalosnaturais,tambmdesignadospuros,nooriginambatimentos.EstaescalatambmconhecidacomoescaladeZarlino,poiseste,nosculoXVIfezumaextraordinriaantecipaodaescalanaturalmuitoantesdeseconhecercientificamenteasriedosharmnicos.Nestaescalaexistemdoisintervalosdetomdetamanhodiferente:otommaior(204c)eotommenor(182c),enenhumdelesodobrodomeiotom(112c)Nota D R Mi F Sol L Si DIntervaloapartirdeD1 98S44SS2SS1S8 2Emcents 0 204 386 498 702 884 1088 1200Intervalosdenotasadjacentes981u9 161S981u9 98161SEmcents 204 182 112 204 182 204 112 EscalaPitagricaOfilosofoematemticogregoPitgorasutilizouomonocrdiopararealizardiversasexperienciasemcordasvibrantesquelhepermitiramestabelecerasregrasentreossonsemitidosporfracesinteirasdessascordas.Assim,definiuosintervalosde8,5e4atravsdasrelaesdoscomprimentosdascordas,comosendorespectivamente2/1,2/3,.Aescalapitagricaconstruidacombasenociclodasquintas.Separtirmosdeumadeterminadanota,aofimdedoze5perfeitasafrequenciadosomnoummultiplointeirodafrequenciadosomdepartida,massimsuperior.Quantificandoadiferena:oSequenciadedoze5:(32)12 = 129.7SoSequenciadesete8:(2)7 = 128oOintervaloser:129.75128= 1.u1S7 (2S.S ccnts)Estadiferena(23.5cents)chamasecomapitagricoeequivaleaumintervaloentre1/8e1/9dotom.Partindoded,porexemplo,ociclodas5nuncapoderiaoriginaroutrod,fossequalfosseonumerode5usadas.Noestabelecimentodociclode5,apsonze5puras(702c),teremosdeutilizaruma5maiscurtaem23.5cents,designandoseporquintadolobo.Notesequeemboraa5doloboestejarepresentadanafiguraentrefed,elapodeserdeslocadaparaoutrositio,nomeadamenteentresief#,paranoinviabilizarautilizaodedeterminadosintervalos.Natabelaseguintesoapresentadososintervalosapartirded,assimcomoosintervalosentreasnotasadjacentes:Nota D R Mi F Sol L Si DIntervaloapartirdeD1 9881644SS2271624S128 2Emcents 0 204 408 498 702 906 1110 1200Intervalosdenotasadjacentes98982S624S9898982S624SEmcents 204 204 90 204 204 204 90 NaescalaPitagricasexsitemdoistiposdeintervalos:otompitagrico(9/8)eomeiotompitagrico(256/243).Notesequeomeiotompitagricoinferiormetadedeumumtom,sendoadiferenaigualaocomapitagrico:o 98 (256243)2 =531441524288 = 1.u1S6 (= 2S.S ccnts)OutrasAfinaesOintervalode3Mumintervalochavenossistemasdeafinao.Emboraointervalode5sejafundamentalnaconstruodasescalas,asdiferenasnotamanhodas5nosprincipaissistemassomuitopequenas.A5pitagricaenaturalsoiguais,noentantoomesmojnosepassana3M.Secalcularmosadiferenaentreestasduasterceirastemos:8164 54= 324320 = 8180 = 21.S ccnts.Aestadiferenachamasecomasintnico.Existemmuitosoutrostiposdeafinaespossiveisequeforamutilizadosemvriosperiodosdahistriadamsica.Porexemplo,existemafinaeschamadasmesotnicasonderetiradodocomasintnicopor5,porformaatera3Mentrea3MPitagricaeaNatural.Devidoutilizaodetodasestasafinaes,excepodaigual,haviavriosproblemasaoniveldaenarmonia:oPorexemplo,notemperamentoPitagrico,considerandoumDa100Hz,podemoscalcularasfrequenciasdoRedoMimultiplicandopor9/8e81/64respectivamente:D R Mi100 112,5 126,6oNoentanto,sesomarmosomeiotompitagrico(256/243)aor,fazendor#,eretiramosomesmomeiotomaomi,fazendomib,temos:D R R# Mib Mi100 112,5 118,5 120,1 126,6oTemosassimfrequenciasdiferentesparasestasduasnotas.Comoformadesuperaresteproblemaforamcriados,porexemplo,tecladosenarmnicosonde,comonocasoseguinte(porMarinMersenneemHarmonieUniverselle,1636),erampropostas32teclasdentrodaoitava.Podemosagoravernoquadroseguinteumacomparaodostrssistemasaquiapresentados(emcents):Notas D R Mi F Sol L Si DT.Igual 0 200 400 500 700 900 1100 1200T.Pitagrico 0 204 408 498 702 906 1110 1200T.Natural 0 204 386 498 702 884 1088 1200 Coipos vibiantes CordasOcomportamentovibratriodascordasalgodevisivel,tornandoseporissofcildeestudarexperimentalmente.Seesticarmosumacordaeapuxarmosameio,elaexecutaimensasoscilaestransversais,emitindoumsomquesedizoseusomfundamental.Osomfundamentaldeumacordaosomqueelaemitequandovibratransversalmentenasuatotalidade.Nasextremidadesdacordaformamsens(pontosondenohvibrao)enazonacentralumventre(zonadevibraomxima).Secolocarmosumcavaletenomeiodacordaimpedindoadevibrarnesseponto(forandooaparecimentodeumna),eprovocarmososcilaesnumadasmetadesdacorda,veremosquenosvibraaparteexcitadacomotambmaoutrametadeemquenosemexeu,formandoseassimespontaneamenteumsegundoventredevibrao.Osomemitidopelacordaseragoraumaoitavaacimadosomfundamental.Colocandoagoraocavaletea1/3docomprimentodacordaefazendovibraropedaomenor,observasequeos2/3restantestambmvibram,nocomoumtodomassimformandodoisventresiguaisquevibramindependentementeemtornodeumna1/3docomprimentodacorda.Osomemitidoestagorauma12acimadosomfundamental.Continuandoaexperimentarcompedaoscadavezmaispequenos(massempresubmultiplosdocomprimentodacorda),osresultadosseriamsemelhantes.Destasexperienciasseconcluiquecertospontosdacorda,apesardelivres,podemnoentraremvibrao.Umasituaovibratriadestetipodizseumsistemadeondasestacionrias.Amesmacordapodetervriossistemasdeondasestacionriasvibrandosimultaneamente,tornandoseporissomuitocomplexoomovimentodecadapontodacorda.LeisdeTaylorSelimitarmospedaoscadavezmenoresdeumacorda,essespedaosvodandosonscadavezmaisagudos,comovimosanteriormente,selimitarmosacordaametadedoseucomprimentoosomfundamentalvaiserumaoitavaacimaeportantovaiterodobrodafrequencia.Concluso:Afrequenciadosomfundamentaldeumacordavarianarazoinversadoseucomprimento.Setivermosduascordascomomesmocomprimento,omesmodiametroedomesmomateriale,seumaforesticadaporumaforade1Kgf,easegundapor4Kgf,estaemiteumsomumaoitavaacimadaprimeira.Seaesticarmoscom9kgf,obtemosuma12acima.Usando16KGf,teremosduasoitavas.Noteseque:2 = 4;S = 9;4 = 16.Concluso:Afrequenciadosomfundamentaldeumacordavarianarazodirectadaraizquadradadaforatensora.Setivermosduascordascomomesmocomprimento,esticadascomamesmafora,mascomdiametrosoufeitasdesubstanciasdiferentes,verificamosqueascordasmaisgrossasoumaispesadasproduzemsonsmaisgraves.Concluso:Afrequenciadosomfundamentaldeumacordainversamenteproporcionalraizquadradadamassaporunidadesdecomprimentodacorda.AfrmuladeTaylorresumeosprincipiosmencionados: =12L_Pmf=frequenciadevibraoL=comprimentovibranteF=Foratensoram=massaporunidadedecomprimentoLeisdeTaylor:Osomfundamentaldadoporumacordaemvibraotransversal,proporcionalraizquadradadaforatensora,inversamenteproporcionalaocomprimentoeraizquadradadamassaporunidadedecomprimento.ModosvibratriosdeumacordaAfrequenciadevibraotransversaldeumacordasuficienteparadefiniraalturamusicaldosomproduzido,masnarealidadeumacordaesticadasusceptiveldevibraremdirecesdiferentes.Aessasdiferentesmaneirasdevibrarchamasemodosvibratrios.VibraoTransversal:aquelecujocomportamentosedescreveunassecesanteriores.Osmovimentosdosenaperpendiculardadirecodacorda.VibraoLongitudinal:Dsenadirecodocomprimentodacorda.Obtemseporexemploaofriccionaracordacomumpano.Osomproduzidomuitoagudoeasuafrequencianodependedaforatensoramasapenasdocomprimento,massaporunidadedecomprimentoeelasticidade.Vibraotorsional:ummovimentoderotaodacordasobresiprpria,emsentidosalternados.Obtemsetorcendoacordaenodependedaforatensoranemdocoeficientedeelasticidade,masapenasdocomprimento,massaerigidezdacorda.Noinstrumentosmusicais,todosestesmodosexistemeassuasimportanciasrelativasdependemdoinstrumentoedamaneiradeexcitaracorda.EspectrodeumacordaNumacorda,aexcitaomximaquesepodeproduzirparacadaharmnicovaidescendomedidaqueafrequenciadestesvaisubinda.Assim,numacordabeliscadaaexceitaomximadosharmnicosvaidecrescendorazode6dBporoitava.Numacordapercutidadecrescemrazode3dBporoitava.Noentanto,naprticasseobtemamximaexcitaodeumparcialseatacarmosacordanocentrodoventredesseparcial,ouseja,numpontoondeavibraodesteirsermxima.Assim,paraobtermosamximaexcitaopossiveldafundamental,teremosdeexcitaracordaameio.Poroutrolado,seaplicarmosaforaexcitadoranumfuturondeumcertoharmnico,esseharmniconoseproduz.Porexemplo,sebeliscarmosacordaameiodoseucomprimentoestasvaiproduzirharmnicosimparespoistodososparesteriamumna.Vejamosporexemplocomoseroespectrodeumacordabeliscadaadoseucomprimento:MembranasTalcomoascordas,tambmasmembranassocorposflexiveis.Asvibraestransversaisdepelesesticadas(membranas)soaorigemsonoranostambores,timpanoseinstrumentossemelhantes.OestudoexperimentaldamaneiracomovibramasmembranasfazsecomatcnicachamadadasfigurasdeChladni:salpicasetodaasuperficiedamembrana,uniformementeesticada,comumpecolocaseamembranaavibrar,noporpercussomasporressonncia:produzsepertodamembranaumsommuitomaisgravequeosomdestaevaisesubindoafrequenciaatestaremunissonocomamembrana,ficandoestaavibrarporsimpatia.Oresultadoaacumulaodaareiaemlinhasquemostramaslinhasnodais.Claroqueaszonasequidistantesdestaslinhasseroosventresdosistemadeondasestacionrias.Estesdesenhosvariamconformeosomexcitadoremostramamaneiracomplexacomoasmembranasvibram.Aconclusoqueasmembranasrespondem,porressonancia,ainumerossons,queformasasriedosseusparciais.Estasrienoumasucessoharmnicadenotasmusicais,comonascordas,vistoqueadivisodeumasuperficiepermitecombinaesmaiscomplexasqueadivisodeumalinha.PlacasTalcomoasmembranas,tambmasplacastmduasdimensespredominantes;masaocontrriodaquelasasuaespessurasuficienteparapoderemvibrarsemestaremsujeitasatenso.Asvibraestransversaisdeplacassoaorigemsonoranospratos,sinos,....Asplacas,sejamelasdequematerialeformaforem,podememitirimensassriesdesons(noharmnicos),numaordemaparentementealeatria,reflectindooscomplicadosmovimentosqueproduzem.TambmavibraodasplacaspodeserfeitaatravsdasfigurasdeChladi.Aexcitaoproduzsefriccionandocomumarconumpontodabordaounumorificiocentral.Adisposioeformasdaslinhasnodaisqueentoseformamdependemdasposiesdospontosdefixaoedeataque.Seumpontodaplacaforimpedidodevibrar,essepontoficaobrigadoapertenceraumalinhanodal;podemosassim,variandoaposiodeapoiooucomumtoquedededo,obterinumerasfiguras,sendoqueacadafiguracorresponderumsom.Emplacasquadradasobtmsefigurascomoasseguintes:Emplacasdeformasmaiscomplexasouirregulares,asconfiguraesdossistemasdeondasestacionriasqueseproduzemsomaisirregularesecomplexas.oqueaconteceporexemplonotampodeumviolino.(FigurasdeChladi,obtidasnummodeloemlatocomformasdeviolino.Assetasindicamondefoiaplicadooarco.)LeisdeChladiEmigualdadedematerial,deformaedemododeexcitao,aalturadosomdependedasuaespessura(narazodirecta)edasuasuperficie(narazoinversa).Seomaterialdiferente,dependetambmdoseucoeficientedeelasticidade(narazodirectadaraizquadrada)edadensidade(narazoinversadaraizquadrada).Assimtemos:oUmaplacamaisespessasommaisagudooUmaplacamaiorsommaisgraveoUmaplacadematerialmaisdensosommaisgraveRguasQuandoumadasprincipaisdimensesdeumaplacasubstancialmentemaiordoqueaoutra,temosumargua.afontesonoranozilofone,celesta...,podendovibrarporquatroprocessosdiferentes,conformeopontodefixao,pontodeataqueedirecodeste.Nestescasostemos:otetoriginamvibraestransversais.Nocasodetteremosumsommaisagudopoistemosmaisespessuranessesentido.oloriginavibraeslongitudinais,produzindoumsomaindamaisagudo.oPoriginavibraesdetoro,produzindosistemasdeondasestacionriasmuitocomplexos.Estesquatromodosvibratrioscoexistemsempreumdelescomamplitudedominante,conformeadirecodapercusso.VarasTalcomoumacorda,numavarahumadimensosubstancialmentesuperiorsoutrasduas;aocontrriodeumacorda,elatemdesersuficientementeespessaerigidaparapodervibrarsemestarsujeitaaumatenso.Alemdisso,epornoterdeestartensa,avarapodevibrarnassuasextremidade.Umavaralivrenasduasextremidadescomportase,naformaodensedeventres,comoumtuboaberto,enquantoqueseestiverpresaporduasextremidadesfuncionacomoumtubofechado.Olocalondeprendemosavaratornaseobrigatriamenteumn.Asvarassousadascomocorposvibrantesnotrianguloenodiapaso.Oprincipalmodovibratriododiapasoapresentaaseguinteconfigurao:Estesomtemumafrequenciaquedependenarazodirectadaespessuradavara,narazoinversadoquadradodocomprimento,etambmdanaturezadometal.Tambmnumavaralivrenormalafrequenciainversamenteproporcionalaoquadradodocomprimento.TubosOsomfundamentaldeumtuboosommaisgravequeestepodeemitir.Istoacontecequando,aplicandoumsistemaexcitador(bsel,palheta)numaextremidade,insuflamosarcomapressomnimanecessriaparaproduzirsom.Seusarmosumapressosuperior,otuboemitesonsmaisagudos,ossonsharmnicos.Afrequenciadestesomfundamentalnoafectadapelomaterialdasparedesdotubo,nempelaformadasuaseco,nempelofactodeotuboserdireitoouencurvado.Poroutrolado,afrequenciadosomfundamentalafectadapelocomprimentodotubo.Afrequenciadosomfundamentalvarianarazoinversadoseucomprimento.Noentanto,setivermosdoistuboscomomesmocomprimento,sendoumdelesabertonasduasextremidadeseoutrofechadonumadasextremidades(chamaseaistotubofechado),esteultimoproduzumafundamentalumaoitavamaisgravequeotuboaberto.Ouseja,paratermosamesmafrequenciacomumtuboabertoeumfechado,otuboabertodeveterodobrodocomprimento.Ofactodeumtubofechadoemitirsom,mostrabemqueosomnooriginadopelapassagemcontinuadearatravsdotubo.SonsharmnicosInsuflandonumtubosonoroumjactodearapressescadavezmaioresouavelocidadecrescente,otuboemitesonscadavezmaisagudos.Asalturasdestessonsmodificamsebruscamenteemsaltosdescontinuos.Estesdiversossonsqueumtuboassimpodeemitirdizemseosharmnicosdoseusomfundamental.Nocasodeumtuboabertoaexperienciamostraqueestessonscoincidemsucessivamentecomossonsfundamentaisqueresultamdetubossemelhantescommetade,umtero,umquarto,....,docomprimentoinicial.Dizsequeumtuboaberto,almdoseusomfundamental,podeemitirtodososrespectivosharmnicos.Nocasodeumtubofechado,verificasequeossonsabtidoscoincidemsucessivamentecomossonsfundamentaisqueresultamdetubossemelhantescomumtero,umquinto,umstimo,...,docomprimentoinicial.Ouseja,almdosomfundamentalsemitemharmnicosimpares.ConfiguraodamassadearnumtuboTalcomoumacordaesticada,umtubosonoroumsistemadeondasestacionrias,noentando,emvezdeestarmosalidarcomdeslocamento,compressooutorodeummaterial,lidamoscomapressodoar.Assim,formamsedentrodeumtubonseventresdepresso.Nocasodeumaextremidadetapadadeumtubo,oaremvibraoaoaproximarsedaobstruoconcentraseecomprimesecriandoummximodepresso.Aoatingiromximodepressocomeaadeslocarsenosentidoopostobaixandoapressoatatingirumvalorminimoerecomeardenovoociclo.Istoquerdizerquenestesitioasvariaesdepressosomximas,criandoseaumventredepresso.Nocasodeumaextremidadeabertadeumtubo,ocontactocomoarexteriorestabilizaapressonessesitio,anulandoquaisquervariaesdepresso.Criaseentonesselocalumndepresso.Paramelhorcomprendermosistopodemosolharparaosseguintesdiagramas: TuboFechado TuboAberto1harm(fund)1harm(fund)3harm2harm5harm3harmSegundoasLeisdeBernoulli,fsicoqueestudouofenmenodapressodoar,temosentoasfrmulasparaocalculodasfrequenciasdadasparaostubos:oParaostubosfechados: = ni -v4LoParaostubosabertos: = n -v2LF=frequenciaN=nmerodoharmnico:NspodeserimparV=velocidadedosom=340ms L=comprimentodotubo,emmetros