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Elementos de

Acstica

Victor E P Lazzarini Music Department

National University of Ireland, Maynooth

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INTRODUO 4

PARTE I 5

1 Introduo: o que som? 5

2 Velocidade de propagao 5

3 Comprimento de onda, freqncia, amplitude e fase 6

4 Funes trigonomtricas 9

5 Intensidade, potncia e presso sonora 11

7 Adio de sons 14

8 Projeo sonora 15

9 Interaes sonoras 16

9.1 Sobreposio 16

9.2 Refrao 16

9.3 Absoro 18

9.4 Reflexo 19

9.5 Interferncia 19

9.6 Ondas estacionrias 19

9.5 Difrao 21

10 Timbre 23

11 Domnios temporal e espectral 24

12 Anlise e sntese espectral 25

13 A Srie Harmnica. 28

14 O espectro e as formas de onda. 29

15 A teoria clssica do timbre 31

PARTE II 33

1. Introduo Psicoacstica 33

2. A anatomia do ouvido 33

2.1 O ouvido externo. 34

2.2 O ouvido mdio. 34

2.3 O ouvido interno. 35

3 A percepo de alturas: bandas crticas. 36

3

4 Consonncia e dissonncia. 37

5 A percepo de amplitudes e alturas: as gamas de sensibilidade presso e freqncias. 39

6 A percepo de volume e as curvas de Fletcher-Munson 39

7 Localizao auditria 41

7.1 Diferena Interaural de Tempo (DIT) 41

7.2 Diferena Interaural de Intensidade (DII) 41

8 Reverberao natural 42

8.1 Tempo de reverberao 43

8.2 Dependncia de freqncia 43

8.3 O atraso da primeira reflexo 43

8.4 O crescimento da densidade de ecos 43

8.5 Distncia 43

9. Sistemas de afinao 44

BIBLIOGRAFIA 47

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Parte I

1 Introduo: o que som?

Existem vrias maneiras de se estudar cientificamente o fenmeno sonoro. Todas essas disciplinas esto interligadas, mas cada uma enfoca um aspecto especfico do fenmeno. A acstica fsica estuda a parte material do fenmeno sonoro, enquanto a psicoacstica trata da percepo do fenmeno sonoro pelos sentidos. Estas duas disciplinas so as mais relevantes para o estudo que iremos desenvolver. Intimamente ligada, e subordinada, a elas, h tambm uma parte do estudo da fisiologia que trata das estruturas dos aparelhos fonador e auditivo dos seres vivos. O que chamamos de acstica musical relaciona os dados dessas disciplinas com a atividade artstica. A ondulatria a parte da fsica que estuda os fenmenos que se apresentam em formas de ondas. Existem dois tipos bsicos de fenmenos que se comportam dessa maneira: ondas mecnicas, que atuam no nvel das molculas, cujo fenmeno perceptivo associado o som; e ondas eletromagnticas, causadas pelo movimento de partculas sub-atmicas, cujos fenmenos perceptivos associados so, principalmente, a luz e as cores. O som uma qualidade perceptiva que resultado da percepo de distrbios das molculas de um meio em um certo espao de tempo. Esses distrbios, por sua vez, apresentam-se em forma de ondas em sua propagao pelo meio. Para este fenmeno ocorrer h a necessidade de trs elementos relacionados em um sistema:

Emissor - Meio - Receptor O emissor tem a funo de produzir um distrbio no meio, que ser percebido pelo receptor. importante notar que o meio tem influncia na qualidade do distrbio, pois afeta a maneira como este se propaga. Estes distrbios de natureza mecnicas so pequenas e rpidas variaes de presso do meio, causadas pelo movimento das molculas, caracterizados por compresses e rarefaes (descompresses, expanses). Esse movimento sempre relacionado com uma onda de presso que se propaga pelo meio. Ondas mecnicas podem ser de dois tipos: longitudinais, onde as molculas movem-se na mesma direo de propagao da onda; e transversais, quando as molculas movem-se perpendicularmente a essa direo. As ondas de presso que caracterizam o som, que podemos chamar de ondas sonoras, so do tipo longitudinal que se propagam por uma srie de compresses/descompresses em um meio, normalmente o ar. As ondas transversais so usualmente encontradas nas vibraes de partes de certos instrumentos musicais, como nas membranas (peles de instrumentos de percusso) e cordas.

2 Velocidade de propagao

As ondas mecnicas longitudinais viajam a uma velocidade constante, dependente do meio. Fatores que contribuem para a variao de velocidade no caso dos slidos incluem a densidade do material (isto a

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relao entre volume e massa desse material) e o mdulo de Young, que relacionado com a elasticidade do material em questo. A velocidade proporcional ao quadrado da razo entre o mdulo de Young e a densidade do slido em questo. Maior densidade implica em menor velocidade, enquanto maior elasticidade implica em maior velocidade. No caso dos gases, a velocidade do som depende do tipo de gs, de seu peso molecular e de sua temperatura absoluta, segundo a equao:

Onde: M = peso molecular do gs (2.87 x 10-2 Kg mole-1 , no caso do ar) ? = uma constante que depende do gs (1.4 para o ar) R = constante dos gases (8.31 J K-1 mole-1 )

T = temperatura absoluta (em Kelvin) Por exemplo, podemos achar qual a velocidade do som em determinada temperatura, utilizando-se desta equao:

Aqui temos que a velocidade do som no ar ento s dependente da raiz quadrada da temperatura, em Kelvin, que se obtm somando-se 273 ao valor desta em Celsius. Como exemplo, a 20o C, a velocidade do som no ar 344 ms-1. No caso das ondas transversais, o clculo da velocidade de propagao mais complexo, pois para qualquer coisa maior que uma corda idealmente (infinitamente) fina, ele influenciado pela geometria do meio de propagao e pelo tipo da onda que se propaga (as vibraes transversais tm varias formas de movimentos em espaos tridimensionais, como transversa e torsional). No entanto, pela importncia das vibraes transversais para instrumentos de corda, o clculo da velocidade de uma onda transversal em uma corda feito utilizando-se os valores de massa por unidade de comprimento e tenso de uma corda ideal (infinitamente fina), cujo resultado aproximado para as situaes reais.

3 Comprimento de onda, freqncia, amplitude e fase

M

RT=v

smxT102.87x

1.4x8.31=v 1-

2-

smT20.1=v-1

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Os fenmenos ondulatrios podem ser estudados em sua forma mais simples, para se ganhar um entendimento dos seus constituintes mais bsicos. A forma mais simples de onda sonora aquela descrita por funes harmnicas do tipo senoidal, que possuem uma caracterstica peridica, isto , repetem-se em um certo intervalo de tempo.Veremos, tambm, que todo e qualquer fenmeno ondulatrio longitudinal, seja ele peridico ou no, pode ser decomposto em um nmero de unidades deste tipo. A onda peridica senoidal derivada do movimento circular. Se plotarmos em um grfico o movimento de uma roda, vamos obter uma representao anloga (similar) a um movimentode partculas em um meio que equivale a onda sonora senoidal (fig. 1). preciso fazer notar, imediatamente, que nenhum som natural produz uma onda senide pura, apesar de alguns, como o do diapaso, aproximarem-se muito dessa forma de onda. A senide resultado de um movimento circular no tempo.

Desta senide pode se dizer muitas coisas: que ela se repete em um perodo T (em segundos, normalmente); que ela tem uma amplitude de deslocamento A, ou seja que ela varia de 0 at + ou - A (fig.2); e que quando se propaga no espao, ela tem um comprimento de onda ?, que a medida de espao entre dois momentos idnticos da onda (geralmente em metros) (fig.3). Lembremos que, em se tratando de uma onda sonora, ela dever se propagar pelo meio em uma velocidade constante. Dizer que esta onda se repete em um perodo T de tempo a mesma coisa, em um raciocnio inverso, que dizer que h uma freqncia de acontecimentos ou repeties em um perodo de tempo. Pode-se dizer que essa freqncia de acontecimentos de uma vez por perodo, o que nos traz a definio de outra quantidade importante para o estudo de ondas: a freqncia que o inverso do perodo, f = 1 /T . Ela geralmente medida em 1/segundos (s-1), e no caso especfico de ondas peridicas como a senide, em ciclos por segundo, que a definio da medida chamada Hertz (Hz). A freqncia f (ou o perodo) e o comprimento de onda ? relacionam-se atravs da velocidade de propagao V, pelo produto V = f?. A ltima quantidade que deve ser definida quanto s senides a da fase (fig.2), que determina a posio inicial de uma onda, ou a posio do comeo do movimento. Ela medida em graus ou em radianos, por ser relacionada com o ngulo inicial do movimento. Nos exemplo acima, a fase zero graus, pois o ngulo inicial do movimento, medido do centro da circunferncia, zero. Podemos ento observar estas quantidades de uma forma grfica.

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Tomando-se uma onda peridica senoidal como modelo, podemos mapear alguns dos parmetros apresentados acima com qualidades sensorias humanas. A amplitude de uma onda de presso correlaciona-se diretamente com a nossa percepo de intensidades sonoras, por exemplo sons mais intensos sero resultado de uma maior amplitude de variao da presso do meio (ou seja um deslocamento maior das molculas). A freqncia, e por conseqncia o perodo e o comprimento de onda, relaciona-se com a percepo de alturas (ou seja o quo grave ou agudo um som ). Certos valores de freqncias so convencionalmente equivalentes s notas musicais ocidentais, por exemplo 440 Hz o l de concerto, usado para a afinao de instrumentos. Em ondas sonoras mais complexas, a correlao entre freqncia e altura mais problemtica. Veremos, mais adiante, questes mais complexas relativas correlao dos parmetros fsicos com as qualidades subjetivas que so percebidas pelo ouvido, cujo estudo pertence psicoacstica.

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4 Funes trigonomtricas

J foi mencionado anteriormente que as ondas mais simples so do tipo senoidal. Estas ondas podem ser descritas por uma classe de funes matemticas chamadas harmnicas, a qual as funes trigonomtricas pertencem. O seno de um ngulo definido como a razo dos dois lados de um tringulo retngulo contendo aquele ngulo em um dos seus vrtices (fig.4). Um ngulo, representado no exemplo pela letra ?, uma poro de um ciclo, pode ser medido em graus, indo de 0 a 360, ou em radianos, medida linear baseada no nmero p = 3,141592..., a razo entre os comprimentos do dimetro e da circunferncia de qualquer crculo. Dizemos ento que 2p radianos equivale a um crculo completo, pois um raio a metade do dimetro (p = circ/diam = circ/2*raio; logo circ = 2*p*raio = 2p radianos, se o raio = 1). Ento temos uma medida que relaciona ngulos e raio.O seno a razo do cateto oposto ao ngulo e da hipotenusa de um tringulo retngulo:

sen? = cateto oposto a ? / hipotenusa

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as outras relaes bsicas trigonomtricas so: coseno? = cateto adjacente a ? / hipotenusa e

tangente? = cateto oposto a ? / cateto adjacente a ? Para convenincia, fazemos nossas medidas em um circulo de raio 1, chamado crculo trigonomtrico. Ento o seno, nada mais que a medida do cateto oposto, que pode ser encontrada no eixo y da figura acima (como indica a linha pontilhada).

y = seno? ngulos so, por conveno medidos crescentemente em sentido anti-horrio. O seno, ou a medida do cateto oposto, ser expressa por um nmero positivo ou negativo, dependendo do ngulo, se este menor que meio crculo, ou maior que meio crculo (tudo isto consequncia de lermos o valor do seno no eixo vertical, y). Um grfico do seno do ngulo ? traar portanto um crculo completo da curva senide se variarmos o angulo de 0 a 2p (=crculo completo). Isso j foi mostrado anteriormente, quando mostramos a relao entre o movimento circular e a senide (fig.1). Para relacionarmos essas relaes trigonomtricas com a idia de ondas sonoras, precisamos incluir a noo de tempo no nosso sistema, pois como j vimos anteriormente, as ondas sonoras so fenmenos que ocorrem no tempo. Conectando a senide com o tempo, primeiramente multiplicamos nossa notao para um crculo completo (2p) pelo tempo t, em segundos. A quantidade 2pt vai de 0 a 2p, ou seja roda o crculo completo, quando t vai de 0 a 1. Isso corresponde a freqncia de 1 Hertz (ciclos / s), ou seja esse evento acontece no perodo de 1 segundo. Se quisermos representar qualquer outra freqncia, s o que precisamos fazer multiplicar pelo valor arbitrrio (de freqncia) f . A quantidade 2pft vai girar f vezes em volta do crculo (ou seja indo de 0 a 2p) quando t varia de 0 a 1, portanto um grfico de seno(2pft) vai passar por f ciclos cada vez que t aumentar de uma unidade. Com isso definimos uma funo temporal que vai descrever os fenmenos ondulatrios sonoros mais simples, a funo seno. H ainda dois atributos fundamentais desta funo a serem introduzidos. Eles correspondem a algumas quantidades que j foram definidas: a amplitude e a fase. A amplitude um multiplicador simples que escala os valores mximos e mnimos que a curva pode tomar (no caso anterior, consideramos o que se chama de curva senide normal, que tem o valor de amplitude 1, ou seja a curva varia entre +1 e -1). A fase, como j foi definido, a quantidade que define o ponto de comeo da rotao, quando t = 0 (e no caso anterior seu valor era 0). Portanto, uma onda de presso senoidal com amplitude A, freqncia f, e desvio de fase f ,

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tipicamente descrita como uma funo contnua do tempo t de acordo com f (t) = Aseno(2pft + f ) ou

f (t) = Aseno(? t + f ) pois ? = 2pf , a letra grega omega minscula usada para definir o produto da freqncia multiplicada por 2p, chamada freqncia radiana. O grfico das funes apresentadas acima apresentado abaixo (fig.6).

Esta funo muito importante pois descreve o som senoidal de uma forma geral, pois pode tanto representar a variao de presso do meio quanto a variao eltrica anlogica em sistemas eletroacsticos, e tambm como veremos adiante, serve para descrever as componentes de ondas mais complexas. Qualquer tipo de onda pode ser decomposto em componentes senoidais, o que quer dizer que as funes apresentadas acima descrevem o elemento mais bsico dos fenmenos ondulatrios.

5 Intensidade, potncia e presso sonora

A energia de uma onda sonora, a medida da quantidade de som nela presente. Normalmente o que nos interessa a quantidade de energia transmitida por unidade de tempo, e no a energia total transferida, que quer dizer o nmero em joules por segundo (watts) que se propagam. Som um

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quantidade tri-dimensional, por isso temos que levar em conta a rea quando se fala em transmisso de energia, isto temos que definir uma quantidade em termos de watts por unidade de rea. Essa quantidade chamada de intensidade sonora, que nos d uma medida da densidade da potncia de um som propagando em um direo particular. A intensidade sonora representa o fluxo de energia por unidade de rea. Pode variar em uma escala que maior que um milho de milhes (10-12 ).Por esta causa e pela maneira em que percebemos o volume sonoro, a intensidade expressada em um escala logartmica Existem dois modos principais de percepo, logartmico e linear. Dizemos que a percepo logartmica quando baseada em uma razo de valores. Neste caso, por exemplo, a variao de 1 para 2 percebida como a mesma que 2 para 4, ou 4 para 8, pois baseada em uma razo 1:2. Da mesma forma as intensidades so percebidas logartmicamente, pois a variao de .001Wm-2 para .01 Wm-2, percebida como a mesma que acontece entre .1 e 1.0 Wm-2. Alm da intensidade, a freqncia tambm percebida logaritmicamente, pois os intervalos entre notas so baseados em razes entre valores de freqncia. Por exemplo, um salto de oitava equivale a razo 2:1. J a percepo linear baseada na diferena entre valores, a variao de 1 para 2 percebida com a mesma que de 7 para 8, por exemplo. A variao de distncia algo que percebemos linearmente. A escala logartmica usada aqui baseada na razo entre a densidade de potncia real e uma intensidade de referncia (1 picowatt por metro quadrado, 10-12Wm-2 ):

SIL = nvel de intensidade sonora Ir = o fluxo de potncia sonora real (em Wm

-2 , Watts por metro quadrado) Iref = o fluxo de potncia sonora de referncia (10

-12Wm-2 ) O fator de 10 aparece pois faz do resultado um nmero em que uma variao de nmero inteiro produz uma mudana que aproximada menor variao que o ouvido humano pode perceber. Uma mudanca de fator 10 na razo da densidade de potncia chamada de bel. Na equao do nvel de intensidade sonora, isso provocaria uma variao de 10 no resultado (SIL = 10log1010 = 10). Ento uma mudana equivalente a uma unidade inteira (um nmero inteiro) chamada de decibel (dB). O nvel de potncia sonora (PWL ou SWL), por sua vez a potncia sonora total irradiada em todas as direes pela fonte sonora. similarmente expressado como o logaritmo de uma razo, em decibeis, entre a potncia sonora real e uma potncia sonora de referncia de 1 picowatt (10-12W):

)I

I(10=SIL

ref

rlog

)W

W(10=SWL

ref

rlog

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SWL = nvel de potncia sonora Wr = potncia sonora real (em W) Wref = potncia sonora de referncia (10

-12W ) O nvel de potncia sonora mede a potncia sonora total gerada por uma fonte arbitrria, e no depende do contexto acstico. O nvel de presso sonora (SPL) a medida mais usual quando se fala em amplitude da onda sonora, por duas razes: pela sensibilidade do ouvido s variaes de presso e por ser uma quantidade simples de ser medida. A presso sonora para fontes sonoras reais pode variar de menso de 20 microPascais (20 x 10-6 Pa) at mais que 20 Pa (1 Pa = 1 Nm-2). Esses dois nveis de presso correspondem mais ou menos ao mnimo de audio (20Pa) e ao limiar da dor (20 Pa), para o ouvido humano, a 1Khz de freqncia. Se compararmos o valor para o mnimo da audio humana com a presso mdia atmosfrica de 100000 Pa, observamos como alta a sensibilidade do nosso ouvido. Por causa das caracteristcas da audio humana, o nvel de presso tambm expresso numa escala logartmica. Ela baseada na razo entre a presso sonora real e o limiar da audio a 1 Khz (20mPa):

SPL = nvel de presso sonora Pr = a presso sonora real (em Pa) Pref = a presso sonora de referncia (20 Pa) O multiplicador de 20 serve a dois propsitos: fazer do resultado um nmero em que uma variao de nmero inteiro seja aproximadamente o mnimo possvel de mudana percebida pelo ouvido humano, e prover alguma equivalncia s medies de intensidade sonora. Se h apenas uma onda de presso sonora no ponto de medio, isto nenhuma interferncia devida a reflexes, etc, o nvel de intensidade sonora (SIL) aproximadamente equivalente ao nvel de presso sonora (SPL). E toda variao medida em SIL ser equivalente a variao em SPL, em qualquer caso, uma mudana de 10dB em SIL resultar em uma mudana de 10dB em SPL. A cada 6 dB de mudana, um som dobra de intensidade. Isso facilmente verificado pela relao abaixo: SPL40Pa = 20 log10 (40Pa/20Pa) = 20log10 (2) = 20 X .3 = 6dB

)P

P(20=SPL

ref

rlog

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7 Adio de sons

Nestas consideraes sobre a amplitude dos sons, pensvamos somente em sons simples de fonte nica. Observaremos agora alguns pontos sobre a soma de sons, que pode ser entre: a) sons correlacionados: no caso onde sons provm de vrias fontes relacionadas entre si. Neste caso vrias fontes seriam derivadas de uma s. Exemplos: fontes relacionadas por uma reflexo simples, onde o atraso em tempo de uma fonte para outra pequeno; fontes eletroacsticas, onde sons so tocados por vrios alto-falantes, que recebem o mesmo sinal, mas esto separados no espao. b) sons no-correlacionados: onde os sons vem de fontes no relacionadas entre si. Exs.: reflexes mais complexas, instrumentos tocando juntos, vozes num coral, etc.. Quando os sons so correlacionados, a amplitude ou nvel de presso sonora total a soma das

amplitudes das fontes. Por causa da periodicidade das ondas, importante notar que a presso de diferentes fontes poder ter sinais diferentes (positivo, negativo), dependendo de sua fase relativa: se dois sons esto em fase, suas amplitudes so somadas; por outro lado, se dois sons esto em fase oposta (1800 ou p), suas amplitudes so subtradas. O primeiro caso chamado interferncia aditiva e o segundo, subtrativa. Quando os sons no so correlacionados, devemos efetuar a soma dos quadrados das amplitudes de presso envolvidas. Para obter o resultado desta soma como presso, precisamos calcular a raiz quadrada do valor total:

E ento, para N fontes no-correlacionadas: Por ltimo, devemos notar que para se realizar uma soma de amplitudes de presso expressas em decibis (dB), no podemos simplesmente somar os valores. Estes so medidos em uma escala logartmica, portanto uma simples soma no obter o resultado correto. preciso, ento, converter esses valores de volta as suas razes de amplitudes. Se precisamos de um resultado em decibis, devemos converter de volta o resultado obtido na soma.

(t)P...++(t)P+(t)P=(t)P n21total

(t))P...++(t)P+(t)P(=(t)P2n

22

21total

NP=)NP(=)P...++P+P(=P2222

n

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Exemplo: Qual o aumento no nivel de presso quando dois sons no-correlacionados de 71 e 69 dB SPL so somados? SPL = 20log10((P1

2 + P22 + ... + Pn

2 )1/2 / Pref)

= 10log10((P1 2 + P2

2 + ... + Pn2 ) / Pref)

Precisamos substituir cada amplitude P, pelos valores que as SPLs representam, para isso usamos a relao:

P2 = 10(SPL/10) Pref 2

P

269dB = 10

(69/10) x 4 x 10-10 N2m-4 = 3.18 x 10-3 N2m-4 P

271dB = 10

(71/10) x 4 x 10-10 N2m-4 = 5.04 x 10-3 N2m-4 SPL = 10log10((P69dB

2 + P71dB2 ) / Pref)

= 10log10((3.18 x 10

-3 + 5.04 x 10-3 ) / 4 x 10-10 ) = 73.1 dB

O resultado demonstra que apenas um pouco mais de 2 dB foram adicionados a presso sonora inicial e no 69dB como seria em uma soma direta de valores.

8 Projeo sonora

Sons so irradiados tridimensionalmente em todas as direes. Com isso, existe uma disperso da energia acstica original. A intensidade sonora em funo da distncia pode ser calculada utilizando-se a rea de uma esfera hipottica que se forma em torno da fonte. Tal rea relacionada com o quadrado do raio na seguinte relao:

rea da esfera = 4pr2

Portanto a intensidade sonora, que a razo entre a potncia sonora sobre a rea decresce com o aumento da distncia da fonte de acordo com a seguinte equao:

r4

W=

A

W=I

2

fonte

esfera

fonte

pi

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Utilizando-se esta equao observa-se que a 1m da fonte a intensidade sonora 11dB menor, e a partir da, decresce pela metade (6 dB) cada vez que a distncia dobra. Para distncias muito pequenas, geralmente equivalentes ao raio do tamanho fsico da fonte, a equao apresentada invlida, pois os valores da intensidade podem variar bastante. A equao tambm no leva em conta que a fonte pode estar apoiada em uma ou mais superfcies, direcionando a irradiao sonora, que assim no mais uma esfera perfeita. Para adequ-la a essa situao, temos que multiplic-la por um fator Q, equivalente direcionalidade da fonte (em relao uma esfera). Esse fator equivalente a 2, para uma superfcie, 4 para duas, 8 para trs, e assim por diante. Cada uma dessas superfcies em que a fonte se apia adiciona 3dB intensidade sonora percebida em um ponto.

9 Interaes sonoras

At agora consideramos o som em isolamento, mas em situaes reais veremos que as ondas sonoras interagem com outras ondas sonoras, com objetos e com mudanas no meio. Essas interaes sonoras so de vrios tipos, que veremos em seguida.

9.1 Sobreposio

Como vimos, anteriormente, duas ondas sonoras podem interferir destrutivamente com elas mesmas. Quando isso acontece, apesar de haver um cancelamento mtuo, e em casos a amplitude de variao de presso pode ser at zero, as ondas no desaparecem, pelo contrrio, continuam o seu fluxo normal, pois seu contedo de energia preservado. O que acontece que a amplitude de presso em um dado ponto simplesmente a soma das ondas individuais presentes naquele ponto. Esta caracterstica chama-se sobreposio linear, e com ela podemos entender uma onda sonora em um certo ponto como a soma linear de componentes individuais.

9.2 Refrao

Como vimos anteriormente, a velocidade do som no ar varia com a temperatura. Duas reas com diferentes temperaturas de ar podem ser consideradas, efetivamente, dois meios diferentes. Quando o som passa de um meio para outro, acontece o fenmeno da refrao, e a direo de propagao sonora modificada por um certo fator. Alm disso, em situaes ao ar livre, o vento tambm pode ser um fator que altera a velocidade e direo de propagao das ondas sonoras.

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Exemplos:

a) Normalmente a temperatura do ar reduz-se com a altura. Coma a velocidade do som menor para o ar mais frio, o som tende a ser desviado da sua direo original, tendendo a tomar uma curvatura ascendente (Fig.6). Por isso, a percepo da intensidade desse som a nvel do solo tende a diminuir bastante com a distncia, mais do que previsto pelos clculos mostrados anteriormente. b) Em certas situaes menos comuns, o ar prximo ao solo est mais frio que aquele a certa altitude. Nesse caso, as ondas sonoras tendem a curvar-se de cima para baixo, incorrendo em sons mais intensos a uma grande distncia da fonte (fig.7).

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c) O vento tende a modificar a velocidade de propagao do som. A velocidade do som em um meio em movimento a soma das velocidades do som (em um meio em repouso) e do prprio meio. Assim, o som tende a ter maior velocidade em direo ao vento, e tende a ser retardado em direo contrria. A direo de propagao tambm afetada. Como o vento tende a ser maior quanto maior a altitude, as ondas em direo contrria ao vento tendem a ser curvadas para cima enquanto as em mesma direo tendem a ser curvadas para baixo (fig.8).

9.3 Absoro

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Som absorvido quando entra em contato com qualquer objeto fsico. Isso acontece porque o objeto atingido tender a vibrar, dispersando energia da onda sonora, e tambm por causa da perda por frico dentro do material. Em geral, materiais porosos, por causa da grande quantidade de rea de interao disponvel, tendem a ser os melhores absorventes de som. Por isso, l de vidro, tecidos, cortia, etc., so os melhores materiais para a absoro de som.

9.4 Reflexo

Quando o som atinge uma superfcie rgida ele tende a refletir-se de volta. Esse o fenmeno bsico da reflexo. Isso tende a gerar os efeitos conhecidos do eco e da reverberao. O eco geralmente uma repetio simples com diferena de tempo de mais de .08 segundos do som original e de sua reflexo. Reverberao um conjunto de reflexes rpidas e complexas em superfcies de um ambiente fechado.

9.5 Interferncia

O fenmeno da interferncia ocorre quando dois sons correlacionados (por exemplo de duas fontes eletroacsticas idnticas) interagem entre si. A interferncia ocorre quando, por alguma razo dois sons correlacionados atingem o ouvinte em intervalos de tempo diferentes, o que quer dizer, que vo atingi-lo com fases diferentes em seu ciclo de osciclao. Quando isso ocorre, dois tipos extremos e seus intermedirios de interferncia podem existir: a interferncia aditiva (ou construtiva) e a interferncia subtrativa (ou destrutiva). A interferncia decorre diretamente da caracterstica de sobreposio linear das ondas sonoras, onde a amplitude em um ponto a soma das amplitudes das ondas que se sobrepem. Os valores de amplitude de uma onda de presso podem ter sinal negativo ou positivo. No caso da interferncia construtiva, os sinais das ondas presentes num determinado ponto de espao so do mesmo tipo (positivo ou negativo), e no caso da inteferncia destrutiva os sinais so contrrios.

9.6 Ondas estacionrias

Ondas estacionrias ocorrem entre superfcies refletivas. O mais simples sistema em que isso pode ocorrer como uma reflexo entre duas superfcies rgidas, como mostrado abaixo (fig.9).

A onda estacionria realiza incessantemente o caminho entre os dois refletores, retraando as mesmas posies que so relacionadas com alguns comprimentos de onda especfico (e por conseqncia,

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freqncias especficas), relacionados com a distncia entre as superfcies (fig.10). Note-se que a onda de presso possue pontos onde a amplitude de presso zero, chamados ns, e pontos onde a amplitude mxima ou mnima, chamados anti-ns. Onde a onda toca a superfcie so formados os anti-ns, que vo determinar pro sua vez o comprimento da onda estacionria formada.

possvel determinar a partir da distncia entre as superfcies, algumas caratersticas das ondas estacionrias que ocorrem entre elas. A maior onda que pode caber neste sistema tem metade de um comprimento de onda equivalente a distncia entre os refletores. Isso demonstrado pela relao:

onde fmaior = a freqncia da onda em Hz L = a distncia entre as superfcies em m ? = o comprimento de onda em m

v = a velocidade do som no ar em m s-1

Alm disso, qualquer mltiplo inteiro da metade do comprimento de onda pode caber entre esses dois refletores. Por essa razo existem infinitos valores de freqncias que as ondas estacionrias podem possuir, definidos pela seguinte equao:

onde fn = a freqncia da onda em Hz n = 1, 2, ..., Ondas estacionrias do mesmo tipo mostrado acima ocorrem tambm em outras situaes, como em

2L

v=f=>

2=L=>f maiormaior

2L

nv=f n

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tubos, abertos ou fechados dos dois lados, cujas freqncias so obtidas utilizando-se da mesma relao mostrada acima. Essas freqncias so tambm chamadas freqncias modais de um tubo, equivalentes aos modos de vibrao desse tubo (que so as ondas estacionrias) (Fig.11).

Uma outra classe de ondas estacionrias existe em um situao onde temos um tubo com um lado fechado (uma s superfcie refletora) e outro aberto (fig.12). Neste caso as ondas refletem de um lado do tubo e esto livres do outro lado. Por isso a maior onda estacionria que pode caber no tubo tem 1/4 do comprimento de onda equivalente ao comprimento do tubo. Pelo fato de que um dos dois lados ser aberto, no existe a formao de um anti-n na onda de presso no lado da abertura (o anti-n s se forma na superfcie refletora). O efeito disso que no existiro freqncias modais em mltiplos pares da freqncia mais baixa.

A equao que define as freqncias que podem existir neste tipo de tubo :

onde fn = a freqncia da onda em Hz n = 1, 2, ...,

9.5 Difrao

4L

1)v+(2n=f n

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A difrao acontece quando o som encontra um objeto que impede parte da passagem do som, jogando uma "sombra" em sua irradiao. Isso acontece por exemplo, em esquinas, em muros descontnuos, portas, etc.. O som tem a abilidade de se reconstruir e continuar se espalhando por difrao, no entanto o grau de diifrao do som depende de seu comprimento de onda, e assim de sua freqncia. Sons mais graves, com ondas mais longas tm uma quantidade maior de difrao que aqueles sons mais agudos. Sons mais agudos tendem a ser direcionais, enquanto sons graves espalham-se melhor. Exemplos: a)Difrao em um canto:

b) Difrao atravs de uma abertura:

c) Difrao em volta de um objeto

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10 Timbre

At agora, estavamos considerando o nosso universo sonoro de uma forma limitada. Representvamos todos os fenmenos acsticos baseando nosso modelo sonoro nas ondas do tipo senoidal. Como vimos, este tipo de onda obtido apenas de forma eletrnica. J os sons da natureza so de uma natureza mais complexa.Se observarmos a representao de uma onda sonora, em um grfico amplitude X tempo, produzida por um instrumento, como a viola (fig.16), veremos que ela difere muito da forma de onda do tipo senoidal (figs. 1, 2, 3 e 5). Isso pode nos dar uma pista com relao s diferenas qualitativas que percebemos entre os diferentes sons que percebemos. Outro aspecto interessante que observado na comparao entre esses dois tipos de onda, que ambos so peridicos, ou seja se repetem em um espao de tempo. Essa caracterstica comum significa que, para a nossa percepo, tanto o som senoidal, quanto o som do instrumento em questo vo possuir alturas definidas. Ou seja, em termos simples, sons peridicos so relacionados com instrumentos afinados, e a freqncia dos ciclos inteiros de onda, que define a altura de determinadada nota, vai ser chamada de freqncia fundamental. A distino entre freqncia e freqncia fundamental vai ser muito importante nos estudos que se seguiro. Existem claro, os sons instrumentais ou no, que no tm altura definida. Para esses, em geral, veremos que a sua forma de onda aperidica, ou seja, que no possue um padro audvel de repetio. Por essas razo, esses sons no vo possuir uma freqncia fundamental audvel, e por conseqncia, nenhuma altura definida.

Para identificar os diversos sons produzidos tanto por instrumentos musicais como por outras fontes, utilizamos uma qualidade auditiva que chamamos de timbre, ou cor sonora, que um atributo muito importante da acstica musical. Essa qualidade, como vimos acima est correlacionada com a forma da onda sonora. Em funo disso preciso investigar como essas ondas so complexas formadas para sabermos mais sobre os diferentes ons percebidos por ns. No estudo do timbre, precisamos aprender um outro tipo de representao para as ondas sonoras que vai ser to til quanto a representao da amplitude (de presso) versus tempo, que temos utilizado correntemente.

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11 Domnios temporal e espectral

At agora, ns temos representado graficamente o som como a variao da amplitude de presso, produzida pelo movimento das molculas de um certo ponto no espao, em um certo espao de tempo tempo. Assim pudemos estudar as definies de freqncia, perodo, amplitude, etc.. Essa representao chamada domnio temporal ou do tempo,que equivale ao quanto certa quantidade (como a amplitude, varia no tempo). As diferentes formas de onda podem bem definidas dessa forma. A outra representao que podemos ter de uma onda sonora, relaciona a amplitude com a freqncia. Ou seja, em um eixo vertical temos a amplitude, que neste caso no a amplitude instantnea de presso da onda, mas o pico de amplitude, ou seja o mximo/mnimo que a amplitude de presso pode ter, e em outro temos a freqncia (fig. 17). Essa representao chamada de domnio espectral, das freqncias ou apenas espectro. Por que precisamos dessa representao para melhor entender o timbre? A resposta est relacionada com o fato, que j foi mencionado, de que as ondas mais simples, senides, so unidades em que ondas complexas podem ser decompostas. Nesse caso, as freqncias das ondas senoidais so freqncias puras, que vo aparecer no nosso grfico amplitude versus tempo, como uma barra vertical, de altura proporcional sua amplitude de

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presso (veja na seco 5). O grfico de uma senide de amplitude arbitrria e 440 Hz de freqncia mostrado abaixo.

Portanto, um som complexo, no importando se perodico, poder sempre ser decomposto em um nmero de sons senoidais, cada um com freqncia, amplitude de pico e fase individual. A representao espectral como se fosse a fotografia de um som em um determinado momento, um congelamento do tempo, onde retiramos da variao temporal da onda informaes sobre as componentes senoidais dessa vibrao complexa.

12 Anlise e sntese espectral

A relao entre formas de ondas complexas e senides foi descoberta pelo matemtico francs do sc XVIII, Joseph Fourier. A decomposio de sons complexos em simples uma ferramenta muito til para o estudo da acstica. Essa decomposio se chama anlise de Fourier, que transforma a representao temporal na representao espectral. Como primeiro exemplo, a senide quando analisada revela apenas uma componente no espectro, equivalente a sua prpria freqncia de oscilao (fig.17).

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Vibraes mais complexas, como a da onda quadrada, apresentam uma srie de componentes senoidais. Neste caso, o domnio espectral mostrar um nmero de barras verticais equivalentes s componentes senoidais de diferentes freqncias que, somadas linearmente (ponto a ponto, ou seja, sobrepostas) formam uma onda complexa (figs. 18 e 19). A onda quadrada, dos exemplos, uma forma de onda resultante soma de compontes senoidais que possuem freqncias que so mltiplos inteiros mpares da fundamental, conforme mostra o grfico (5 componentes na figura 18 e 3 na figura 19). Alm disso, cada componente senoidal possue uma amplitude relativa. A componente que possue 1X a freqncia fundamental a mais intensa, enquanto as outras vo decrescendo aos poucos. A segunda componente, que possue 3X a freqncia fundamental, tem 1/3 da amplitude da primeira componente.

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Quando as freqncias das componentes de um som so relacionadas de uma forma simples, como mltiplos inteiros da freqncia fundamental, as componentes so chamadas de parciais harmnicos, ou somente harmnicos. Neste caso, o som ter uma uma freqncia fundamental audvel, e conseqentemente altura definida. Um som complexo cujas componentes mais significantes so N harmnicos poderia ser descrito pela seguinte funo: f (t) = A0seno(? t + f 0) + A1seno(2? t + f 1) + A2seno(3? t + f 3) + ... + An-1seno(N? t + f n-1) Ou seja, uma soma de N senides cujas freqncias so relacionadas por uma srie de nmeros inteiros (1, 2, 3, ... , N). Quando fazemos essa soma de senides estamos fazendo o processo inverso da anlise de Fourier, a sntese a partir das componentes harmnicas do som. Agora podemos contruir uma teoria provisria do timbre: o timbre de um som relacionado com as

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suas componentes senoidais. Estas componentes tm freqncias diferentes que podem ser relacionadas de forma simples, como mltiplos inteiros de uma freqncia fundamental, quando so chamadas de harmnicos. Quando as componentes senoidais no se resolvem como mltiplos de uma fundamental, temos sons mais complexos, que no possuem uma altura definida, e neste caso, os componentes so chamados de parciais inarmnicos. O espectro de um som, que determina seu timbre, a representaco das freqncias destas ondas e suas amplitudes relativas.

13 A Srie Harmnica.

Uma das consequncias das descobertas que fizemos a descoberta de uma relao de nmeros inteiros entre as freqncias de componentes senoidais de alguns sons de certos instrumentos musicais. De acordo com a nossa teoria provisria do timbre, a presena ou no de certos componentes a razo pela qual percebemos diferentes timbres ou cores. Ns chamamos essas componentes de harmnicos, e o seu conjunto de srie harmnica (fig. 20)..

A srie harmnica mostrada acima em notao musical tradicional uma aproximao dos valores de freqncia para os dessa nossa notao, o que quer dizer que no vo corrresponder exatamente s freqncias para essas notas em certos instrumentos temperados (como o piano por exemplo). Estudaremos a razo isso quando falarmos de afinao e temperamento. A presena da srie harmnica evidente nos instrumentos de metal, onde ela usada como meio de emitir as doze notas da nossa msica ocidental. O que se v quando analisamos a srie que h um espaamento grande entre os primeiros harmnicos que vai se fechando medida em que vamos subindo pela srie, devido natureza logartmica do fenmeno das freqncias quando representado de modo linear, como o caso da nossa notao tradicional de alturas. Lembremos que dizemos que a percepo se d logaritmicamente quando baseada na razo entre dois valores, como neste caso das freqncias onde as relaes entre notas (intervalares) so percebidas como razes entre freqncias. Basta lembrar que para se pular de oitava temos que sempre multiplicar por dois a freqncia original, e se olharmos na srie acima, as notas em oitavas ascendentes esto sempre relacionadas pela razo 2:1 (utilizando-se os nmeros de ordem dos harmnicos, dados acima das notas na fig.20). Isso vale tambm para os outros intervalos, onde a sua forma pura vai ser dada pelas razes encontradas na srie. Por exemplo: a quinta pura ascendente tem uma razo 3:2, retirada da nossa representao musical da srie harmnica (fig.20), de d (2, pois o 2o harmnico) a sol (3o harmnico), o que quer dizer que se sabemos que a nota l tem uma freq.

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fundamental de 220Hz, para sabermos a freqncia da nota mi, quinta acima, multiplicamos aquele valor por 3/2, 220 X 3/2 = 660/2 = 330 Hz, logo a freqncia de um mi puro calculado a partir de um l 220Hz, possue a freqncia de 330 Hz. E assim por diante podemos utilizar as outras razes da srie harmnica correspondentes aos devidos intervalos para calcular suas relaes puras de freqncia. Note-se que quando chegamos a harmnicos mais altos, alguns intervalos vo possuir diferentes razes (que se refletem em diferentes tamanhos), e esse problema uma das razes por que existem diversos tipos de temperamento, que estudaremos adiante.

14 O espectro e as formas de onda.

Falamos extensivamente que o timbre depende das componentes senoidais que esto presentes no som percebido. Isso quer dizer que devemos somar as ondas senoidais de diversas freqncias para obtermos o nosso som, essas componentes sendo relacionadas por nmeros inteiros quando tivermos harnnicos. Ora, se somarmos diferentes ondas claro que vamos alterar a forma da nossa onda original. Se ela inicialmente tinha uma forma senide, dependendo de quais componentes, de sua amplitude relativa, ns vamos obter diferentes formas de onda que ento esto correlacionadas com o timbre que percebemos. Falamos que o domnio das freqncias nos mostra a amplitude relativa das componentes de um som. Se temos a nossa onda com uma forma qualquer, podemos obter, atravs de clculos matemticos, as componentes senoidais dessa onda em um dado instante. Isso pode ser feito de vrias formas, que so mais ou menos equivalentes. Uma delas usando a transformada de Fourier, que uma ferramenta muito til para anlise de espectro, que pode ser usada em conjunto com a transformada inversa de Fourier, para ressintetizar-se o som a partir de seus componentes senoidais. Outra maneira que podemos fazer essa anlise com o uso de filtros, que como o prprio nome diz, filtram o espectro, deixando passar somente certas freqncias. Filtros so tambm muito utilizados para a modificao de sons, por isso os estudaremos em detalhe quando tratarmos de processamento de som. Alguns tipos comuns de formas de ondas com componentes harmnicas: Dente-de-serra: tem a forma descrita pelo nome (figs. 21). Possue todos os harmnicos com amplitudes relativas que caem segundo 1/nmero do harmnico, ou seja o primeiro harmnico tem amplitude 1/1, o segundo, 1/2, o terceiro, 1/3, etc.... Pode ser associada, de uma forma geral, com o timbre emitido por instrumentos de corda, como o violino. Tringulo: tem a forma triangular. No possue harmnicos pares, a amplitude relativa de seus harmnicos decresce abruptamente, ela inversamente proporcional ao quadrado do nmero do harmnico. Quadrada: tem a forma quadrada (figs. 18 e 19). No possue harmnicos pares, e as suas amplitudes caem segundo 1/nmero do harmnico. Ela associada com o som do clarinete.

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Pulso: tem a forma de um pulso (fig. 22). Possue em teoria todos os harmnicos em igual amplitude.

Os exemplos grficos mostram duas ondas, dente-de-serra e pulso, ambas com 80 harmnicos, representadas em seus domnios temporais e espectrais (at o 9o harmnico). Nos grficos podemos observar a diferena em forma causada pelas diferentes amplitudes relativas dos harmnicos. A onda pulso tem ngulos bem acentuados, causados pela presena em grande amplitude de componentes de alta freqncia (agudas). Em geral, quanto maior a presena de parciais em freqncias altas, mais acentuada ser a angulao da forma de uma onda.

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15 A teoria clssica do timbre

Hermann von Helmholtz em seu livro On the Sensations of Tone, montou, no final do sc.XIX, um corpo terico que a fundao do que hoje sabemos sobre o timbre. Helmholtz caracteriza os sons como consistindo de uma onda de forma arbitrria fechada em um envelope (ou envoltria) de amplitude feito de trs partes: ataque (ou tempo de crescimento), perodo estvel e queda (ou tempo de queda). O ataque o tempo que a amplitude de um som leva para sair do zero e subir at o seu valor de pico. O perodo estvel onde a amplitude idealmente constante, e o som some no perodo da queda (onde a amplitude cai at zero) (fig.23).

Diferentes sons tm diferentes envoltrias de amplitude. Podemos pensar por exemplo em dois

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instrumentos como o violino e o piano, e nas caractersticas de seus sons em termos de timbre, e veremos que suas envoltrias so bem caractersticas: o piano tem um ataque curto seguido por um perodo estvel e uma queda longa, se deixarmos a nota solta; j o violino tem um ataque mais lento (observe que o som no to percussivo como o do piano) e um perodo estvel de durao varivel, e uma queda curta. Podemos inferir que diferentes maneiras de tocar (p.ex. diferentes golpes de arco) podem resultar em diferentes formas de envelope, e portanto em diferentes caractersticas sonoras.O envelope de amplitude, isto , a maneira em que a amplitude de um som varia no tempo, pois muito importante no modo como percebemos diferentes sons. Helmholtz descobriu tambm que sons que evocam um sensao definida de altura correspondem a ondas peridicas (ou seja ondas que sempre se repetem em um certo perodo de tempo). Ele estabeleceu que a forma dessas ondas tem grande influncia no timbre percebido de um som. Para relacionar melhor a maneira em que forma de onda e timbre se relacionam, ele usou o legado terico de Fourier, j citado acima, que provava que qualquer onda peridica pode ser decomposta em um conjunto nico de componentes senoidais. Portanto qualquer forma de onda pode ser descrita em termos de suas componentes senoidais, e cada componente senoidal ser caracterizada por trs parmetros: freqncia, amplitude e fase relativa fundamental. Os dois primeiros parmetros tm uma grande importncia para a definio do timbre, enquanto as relaes de fase tm um efeito menor na percepo do timbre. Foi mostrado anteriormente que um som ento pode ter duas representaes: a da onda (de presso), amplitude X tempo; e a do espectro, amplitude X freqncia, onde podemos observar as componentes senoidais de um som. A concluso de Helmholtz foi de que o espectro tem uma correlao muito simples com as qualidades timbisticas do som. Por exemplo, a descrio qualitativa de um som brilhante correlaciona-se com espectros que possuem muita energia nas freqncias altas, ou seja componentes agudas com amplitudes bem significativas. Sons com harmnicos pares faltando so auditivamente relacionados com aqueles do clarinete. A maioria dos sons percussivos tm espectros que no so harmnicos (ou seja fora das relaes de nmeros inteiros), como por exemplo, os sinos, que possuem um espectro altamente inharmnico. Alguns instrumentos possuem harmnicos levemente "desafinados", o que contribue para a riqueza de certos timbres, como o piano.

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Parte II

1. Introduo Psicoacstica

Psicoacstica o estudo de como os seres humanos percebem o fenmeno sonoro. Aqui o interesse a resposta subjetiva ao som em termos de sua altura, volume, durao, timbre e posio aparente. As categorias do estudo da psicoacstica no so estanques, pois existe considervel interdependncia entre elas. Por exemplo, a nossa sensao de altura dependente do tempo, e nossa percepo de volume varia consideravelmente com a freqncia e o timbre. importante que se note que a maioria dos resultados obtidos no estudo da psicoacstica tm sido colhidos experimentalmente. Tais resultados so inferidos de testes em situaes cuidadosamente preparadas, com um grupo de ouvintes, cujas respostas a estmulos sonoros so monitoradas e analisadas. Estes experimentos so geralmente baseados em comparao de dois sons diferentes, por meio de uma escala subjetiva de valores. Os ouvintes so questionados sobre o que ouviram, por exemplo, em termos de "mais alto" ou "mais brilhante", etc.. Muitas das descobertas da psicoacstica ainda residem no plano experimental, pois razes fsicas ou anatmicas sobre a sua causa ainda no so conhecidas. No entanto os dados apresentados pela psicoacstica so muito importantes para o entendimento da relao entre a percepo humana e o ambiente sonoro que a envolve.

2. A anatomia do ouvido

O ouvido externo composto pela orelha, que um orgo especializado em concentrar as ondas sonoras na cavidade do ouvido, e pelo canal auditivo. Este um tubo de mais ou menos 3 cm de comprimento, fechado na parte interna pelo tmpano. Na parte interna deste est o que chamamos de ouvido mdio, que conectado ao fundo da garganta pelo tubo de eustquio para que as mudanas na presso atmosfrica sejam equalizadas dos dois lados do tmpano e no causem distoro na atuao deste. O ouvido mdio composto de trs ossculos: o martelo, a bigorna e o estribo, conectados como na figura 1, acima. Estas conexes no so rgidas. O martelo conectado ao tmpano para se mover com ele. Do outro lado, o estribo est conectado a uma membrana chamada janela oval. O ouvido interno a poro do ouvido que est alm da janela oval. Consiste em parte de uma cavidade na estrutura ssea do crnio, chamada cclea, cuja forma lembra um caracol, com quase trs voltas. A cclea, que na fig.1 mostrada estendida para melhor visualizao, preenchida por um fludo incompressvel chamado perilinfa, e dividida ao meio em sua largura por uma repartio chamada mebrana basilar. Esta ento forma dois compartimentos longos, um dos quais ligado aos ossculos do ouvido mdio pela janela oval. O outro compartimendo separado do ouvido mdio pela janela circular. Os dois compartimentos esto interconectados por uma pequena abertura na membrana basilar no final de sua extenso, na extremidade da cclea que chamada de pice. A outra extremidade deste orgo, conectada ao ouvido mdio chamada de base. Milhares de conexes nervosas esto ligadas membrana basilar, que, recebendo os distrbios mecnicos, transmitem informao ao cerbro. O conjunto de clulas que respondem aos estmulos mecnicos da membrana basilar, transformando-os

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em impulsos nervosos chamado de orgo de corti. A figura abaixo exemplifica a anatomia do ouvido (Backus, 1969):

2.1 O ouvido externo.

A orelha tem a funo de acentuar certas freqncias e nos ajudar a localizar as fontes sonoras. A sua forma ajuda o ouvido a perceber se o som est a frente ou atrs do ouvinte com boa acuidade, e tambm acima ou abaixo (com menor preciso). O ouvido externo como um todo ajuda a modificar o som que o penetra, devido a efeitos de ressonncia, principalmente do canal auditivo, cuja freqncia de ressonncia por volta de 4KHz. A membrana do tmpano fina e elstica, formando a diviso entre ouvido externo e ouvido mdio. Ela converte as variaes de presso do ar, que constituem as ondas sonoras, em vibraes mecnicas no ouvido mdio.

2.2 O ouvido mdio.

Os ossculos do ouvido mdio formam um conjunto nico, mvel, que transmite a energia aplicada no tmpano para a cclea, o ouvido interno. As suas funes so duas: 1) transmitir os movimentos do tmpano sem perda de energia; 2) proteger o sistema auditivo dos efeitos danosos de sons muito altos.

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Os ossculos agem na transformao da impedncia acstica do sinal que entra no ouvido. Isto necessrio pela diferena entre os meio externo (o ar) e o meio lquido do ouvido interno, e conseqentemente, diferentes resistncias a propagao da onda. A resistncia do fludo do ouvido interno mais alta que aquela do ar, por isso os ossculos tm que atuar como conversores de impedncia. Isso realizado devido a dois fatores que atuam no processo: o efeito alavanca entre o martelo e a bigorna, devido ao seu arranjo espacial; e a diferena entre as reas do tmpano e da parte do estribo que est em contato com a janela oval, o que concentra a energia imposta no sistema. Esse efeito tende a resultar, para o ouvido interno, em uma aumento de 30 dB entre os nveis de presso sonora no tmpano e na janela oval. A segunda funo do ouvido interno realizada pelos msculos que se unem ao tmpano e ao estribo. Sons com nveis de presso sonora acima de 75 dB SPL fazem com que esses msculos se contraiam automaticamente em resposta aos sons, enrijecendo o sistema e fazendo com que a transmisso de energia no seja muito eficiente. Isso atua como uma proteo do ouvido a sons muito altos. Aproximadamente 12 a 14dB de atenuao so conseguidos, mas esses valores so para sons abaixo de 1 Khz somente. Este efeito conhecido com reflexo acstico. Ele no imediato, pois leva de 60 a 120 ms para entrar em funcionamento, por isso o ouvido no est protegido para sons muito impulsivos (como por exemplo, o som de uma arma de fogo)

2.3 O ouvido interno.

A cclea tem a forma de um caracol, uma estrutura rgida e preenchida por um lquido incompressvel. As vibraes transmitidas atravs do ouvido mdio so recebidas pela janela oval, e deslocam-se atravs do fludo. A janela circular existe para compensar o deslocamento da janela oval. A membrana basilar responsvel pelo processo de percepo do som, perfazendo uma anlise das freqncias componentes de um som. Diferentes partes da membrana basilar so sensveis a diferentes freqncias puras. Sabe-se que a extremidade da membrana basilar que prxima base da cclea mais fina e estreita, sendo tambm sensvel s freqncias mais altas do espectro percebido pelos humanos. A membrana basilar torna-se mais grossa e mais larga ao longo de sua extenso em direo ao pice da cclea, sendo sensvel s freqncias mais graves, de acordo com a figura 2 abaixo. As diferentes freqncias puras assim causam deslocamentos em diferentes partes da membrana basilar, que so ento correspondentes aos diferentes pontos do espectro, por isso dizemos que o ouvido faz uma anlise de freqncias componentes dos sons. O fato de que a membrana basilar excitada em diferentes pontos por freqncias a base da teoria tpica da percepo de alturas.

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Para que os movimentos da membrana basilar sejam transmitidos para o crebro, eles devem ser transformados em impulsos nervosos. Este processo feito pelas clulas do orgo de corti, que so pequenas clulas em forma de plos que disparam impulsos quando so dobradas pela ao do deslocamento da membrana basilar. Estes impulsos ento so transmitidos pelos nervos conectados a essas clulas.

3 A percepo de alturas: bandas crticas.

J sabemos que o som que entra o ouvido interno analisado pela membrana basilar, causando deslocamentos em determinados pontos de sua extenso. O importante agora saber qual a acuracidade do ouvido para componentes individuais de freqncia (isto , parciais senoidais do som), o quo precisa a percepo destes. O deslocamento causado por um som individual em um local da membrana basilar espalha-se para os dois lados desse ponto. A preciso que o ouvido ter em perceber dois sons como separados relacionada com esse fato: se dois picos claramente separados forem criados pelos dois sons que entram, ouviremos dois sons separados. Suponha-se que dois sons puros A e B, com freqncias FA e FB, e amplitudes AA e AB so tocados juntos. Mantendo-se FA fixa, e variando FB desde o unssono com FA para cima e para baixo, o seguinte geralmente ouvido: a) Quando FA = FB (unssono), uma nota s ouvida. b) Quando aumentamos (ou diminuimos) a freqncia FB, ouvimos uma variao peridica de amplitude, que chamamos de batimentos. A freqncia desses batimentos igual a FB - FA, se FB > FA , ou FA - FB, se FA > FB. A amplitude vai variar entre (AA + AB) e (AA - AB), no primeiro caso, ou entre (AB + AA) e (AB - AA), no segundo. Note-se que se as amplitudes so iguais, a amplitude do som resultante vai variar entre 0 e 2A. A altura da nota percebida vai ser equivalente a mdia das freqncias envolvidas, (FA+FB)/2. Para a maioria dos ouvintes, essa sensao de batimento desaparece quando a separao dos sons ultrapassa 12.5 Hz. c) Assim que a separao maior que 15Hz, temos uma sensao de um som fundido, com uma

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caracterstica spera. d) Aumentando ainda mais a diferena, passamos a perceber os sons separadamente, mas ainda com uma sensao spera. e) Finalmente, se aumentarmos suficientemente a separao dos sons, a sensao passar de spera para suave. No existe uma definio exata de onde os sons passam de fundidos para separados e tambm onde eles causam a mudana de uma sensao de aspereza para uma de suavidade. O ponto onde dois sons so ouvidos como separados pode ser pensado como o ponto onde dois picos separados de deslocamento so gerados na membrana basilar, em oposio a um s deslocamento. Nesse ponto, os picos ainda esto juntos o suficiente para interferir entre si, causando a sensao de aspereza. O ponto em que a sensao passa de spera para suave aquele em que os dois picos esto separados o suficiente para que no haja interferncia entre eles. Esse ponto marca um extremo daquilo que chamamos banda crtica. A banda crtica uma faixa de freqncias acima e abaixo de uma certa freqncia de um som puro que interferir na percepo de outro som, se a freqncia deste estiver dentro daquela faixa. A banda crtica no a mesma para todas as regies de freqncias do espectro: ela maior (mais larga) na regio grave e mais estreita na regio aguda. Em por volta de 100Hz, ela de 7 semitons, descendo para abaixo de 4 semitons para sons acima de 200Hz, e diminuindo para um mnimo de 2 semitons a 2000Hz. Por essa razo algumas regras tradicionais de orquestrao e harmonia determinam um espaamento maior entre sons nos registros graves que nos registros agudos. E por outro lado, efeitos interessantes podem ser criados, justamente desobedecendo essa regra. Tudo isso tira vantagem de caractersticas de nosso mecanismo de percepo de alturas.

4 Consonncia e dissonncia.

A base psicoacstica para a percepo de dois sons como dissonantes ou no relacionada com a nossa discusso a respeito das bandas crticas. O padro estabelecido para a consonncia ou dissonncia de dois sons senoidais : a) Quando suas freqncias so iguais, sons so consonantes perfeitos. b) Quando suas freqncias so separadas por mais de uma banda crtica, so consonantes. c) Quando suas freqncias so separadas por valores entre 5% e 50% da banda crtica, o intervalo dissonante. d) A maior dissonncia ocorre quando o intervalo entre esses sons 1/4 de banda crtica. Poucos instrumentos musicais alguma vez produzem ondas senoidais, mas os resultados acima podem

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ser usados para avaliar a consonncia de intervalos em sons complexos. Para estes, cada harmnico at por volta do stimo contribue para a percepo geral de consonncia ou dissonncia do intervalo. Potanto podemos medir a consonncia geral de dois sons, com base na contribuio de cada harmnico at o stimo. Exemplos:

1) Grau de consonncia de duas notas em intervalo de quinta (3:2), a freqncia fundamental da nota inferior sendo igual a 220 Hz (Howard & Angus, 1995).

2) Primeiros sete harmnicos da nota mais grave

Harmnicos da nota mais aguda

Diferena de freqncias

Freqncia mdia

Banda Crtica da freqncia mdia

Metade da Banda Crtica da freqncia mdia

CONSONANTE consonante dissonante DISSONANTE

220

440 330

110

385

65

32.5

consonante

660 660

0

Unssono

CONSONANTE

880

1100 990

110

1045

133

66.5

dissonante

1320 1320

0

Unssono

CONSONANTE

1540 1650

110

1595

193.3

96.7

dissonante

Para o exemplo acima, consideramos que se os harmnicos mais prximos esto em unssono, eles so CONSONANTES. Se esto separados por mais de uma banda crtica (ou seja se esto fora da banda crtica de uma freqncia mdia entre eles), so consonantes. Se esto dentro da banda crtica da freqncia mdia, mas fora da metade dessa banda crtica, so dissonantes. Se esto dentro da metade da banda crtica da freqncia mdia, so DISSONANTES. Como resultado dessas consideraes, o intervalo de quinta tem uma quantidade maior de consonncias que dissonncias, e pode ser considerado consonante. E como complemento, abaixo mostrado como o intervalo de segunda pode ser considerado dissonante.

2) Grau de consonncia de duas notas em intervalo de tom (9:8), a freqncia fundamental da nota inferior sendo igual a 220 Hz (Howard & Angus, 1995). Primeiros sete harmnicos da nota mais grave

Harmnicos da nota mais aguda

Diferena de freqncias

Freqncia mdia

Banda Crtica da freqncia mdia

Metade da Banda Crtica da freqncia mdia

CONSONANTE consonante dissonante DISSONANTE

220 247.5

27.5

234

50.7

25.4

dissonante

440 495

55

477

74.7

32.5

dissonante

39

660 742.5 82.5 701 97.1 48.6 dissonante

880

1100

990

110

1050

133

66.5

dissonante

1320 1237.5

82.5

1280

158

79.1

dissonante

1540 1485

55

1510

184

92

DISSONANTE

5 A percepo de amplitudes e alturas: as gamas de sensibilidade presso e

freqncias.

Diz-se que o ouvido humano possue em geral, uma sensibilidade em freqncias de 20 a 20K Hz. Se observarmos atentamente, veremos que existe uma variao muito grande entre indivduos. A capacidade de percepo de freqncias muda com o processo do envelhecimento. Por exemplo, uma criana saudvel possue o limiar agudo de 20 KHz, que pela idade de 20 anos pode ter cado para por volta de 16 Khz, e at a 8000 Hz, ao final da vida. A sensibilidade do ouvido a sons de diferentes freqncias varia em um gama muito grande de valores de presso. Em geral o som mais baixo que se pode ouvir por volta de 4000 Hz aproximadamente 10 micropascais, e o som mais alto, antes do limiar da dor equivalente a 20 Pascais. Essa gama, entre o som mais baixo e o som mais alto, equivalente a um nmero muito grande: 2 000 000. Por essas razes,e pelo fato de que percebemos os sons logaritmicamente, que usamos a escala de decibeis, e se calcularmos o nivel de presso sonora com relao ao limiar da audio, teremos ento um gama de 120 dB, entre o som mais baixo e o som mais alto. Esta variao, de 0 a 120, mais conveniente para ser usada. O limiar de audio varia com a freqncia. O ouvido muito mais sensvel na sua regio mdia, que aos seus extremos. J o limiar da dor constante para todas as freqncias. Por isso, a gama completa de 120 dB entre o som mais baixo e o mais alto s ocorre em uma pequena poro do espectro.

6 A percepo de volume e as curvas de Fletcher-Munson

Embora o volume que percebemos est correlacionado com a amplitude de presso de uma onda sonora, a relao entre estes dois parmetros mais complexa. Como um efeito psicoacstico, o volume afetado tanto pela natureza como pelo contexto dos sons. Outra dificuldade nas medidas de volume ofato de que elas so dependentes da interpretao individual de cada pessoa. A amplitude de presso no nos d um valor direto do volume percebido. De fato, possvel que uma onda com maior amplitude de presso ser percebida como tendo menor volume que uma onda com maior amplitude. Na verdade, a sensibilidade ao volume do ouvido varia com a freqncia. Em 1933, dois pesquisadores, Fletcher e Munson, mediram a sensibilidade do ouvido humano a diferentes

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freqncias puras (senoidais), e estabeleceram a relao entre freqncias, amplitudes e o volume percebido. Essas curvas mostram o quo alto um som deve ser em termos de medida de amplitude de presso para ter o mesmo volume de um som de 1 KHz.Estas curvas mostram o quanto varia a sesnsibilidade do ouvido ao longo do espectro de nossa audio.

As curvas mostram algumas caractersticas de nossa audio que so importantes de se observar: a) Existem alguns picos de sensibilidade acima de 1 KHz . Isso devido aos efeitos de ressonncia do canal auditivo, que um tubo de cerca de 25 mm, com um lado aberto e outro fechado, o que resulta em um o pico de ressonncia por volta de 3.4 KHz , e devido sua forma regular, um outro pico menor a 13 KHz . O efeito dessas ressonncias aumentar a sensibilidade do ouvido quelas freqncias.

b) O segundo ponto a ser notado que existe uma dependncia de amplitude na sensibilidade do ouvido. Isto devido a maneira em que o ouvido atua como transdutor e interpretador do som, e como resultado a resposta a freqncias dependente da amplitude. Este efeito particularmente notvel em baixas freqncias, onde quanto menor a amplitude menos sensvel o ouvido. O resultado desses efeitos que a sensibilidade do ouvido funo tanto da freqncia quanto da amplitude. Portanto, dois sons de diferentes freqncias, mas de amplitudes iguais podem soar com

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volumes completamente diferentes. Por exemplo, um som a 20 Hz soar com muito menos volume que um de mesma amplitude a 4 K Hz. Sons de diferentes freqncias ento devero ter amplitudes de presso diferentes para serem percebidos como tendo a mesma amplitude. O volume percebido de sons senoidais, como funo da freqncia e do nvel de presso sonora dado pela escala de FONOS. Trata-se de um a escala de julgamentos subjetivos baseada nos nveis de presso sonora percebidos em um som senoidal de 1 KHz. Ento a curva para N fonos intersecta a freqncia de 1 KHz em N dB SPL, por definio. Pode-se notar que as curvas de fonos comeam a ficar mais planas em nveis de presso sonora mais altos. Por isso, o relativo balano entre as diferentes regies de freqncias, grave, mdio e agudo, alterado sempre que se varia o nvel de amplitude dos sons. Isso percebido no dia a dia, quando ouvimos uma gravao e abaixamos o volume do aparelho de som, resultando na supresso de parte dos agudos e dos graves, e com isso ficamos com um som carregado de mdios, sem muito brilho ou expresso.

7 Localizao auditria

Localizao auditria a percepo humana da posio de uma fonte sonora no espao. O ouvinte recebe informaes que definem a direo e distncia da fonte. Para determinar a direo da fonte, o ouvinte utiliza-se de pistas que lhes so dadas pelas diferenas em tempo e intensidade na audio estereofnica. Para a determinao da distncia, tanto a qualidade timbrstica do som, quanto a sua intensidade vo ser fatores influentes, alm da questo da reverberao

7.1 Diferena Interaural de Tempo (DIT)

A diferena de tempo em que um som leva para atingir um ouvido aps o outro d ao ouvinte uma pista com relao direo angular da fonte sonora, e essa diferena chamada diferena interaural de tempo. Se a fonte est a frente ou atrs do ouvinte, a DIT zero, se o ngulo da fonte est mais que um grau fora de centro, temos uma DIT acima de 20 microsegundos, e a direo do som consegue ser percebida. As pistas dadas pela DIT comeam aficar imprecisas medida em que a fonte se move para uma posio lateral ao ouvinte.

7.2 Diferena Interaural de Intensidade (DII)

A diferena interaural de intensidade acontece quando a fonte sonora no est centrada com relao cabea do ouvinte, e esta parcialmente desvia uma poro do som destinada ao ouvido oposto fonte, jogando uma sombra que diminue a intensidade percebida por aquele ouvido. Alm disso, o ouvido externo perfaz uma filtragem nas freqncias abaixo de 5KHz. A reposta de amplitude dessa filtragem varia com a direo em que o som chega ao ouvinte, ajudando a definir se o som vem de frente, de trs, de cima ou de baixo. Tanto a DII quanto a DIT dependem da distribuio espectral das freqncias de um som. Abaixo de 270 Hz, nenhuma dessas pistas efetiva para a localizao auditria, portanto a direo dos sons de baixa freqncia no pode ser determinada. As informaes dadas pela DIT funcionam bem entre 270

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e 500 Hz, mas so inefetivas acima de 1400Hz, j a DII atua bem acima de 500Hz e seu efeito cresce com a freqncia, de modo que a 6KHz, a diferena de intensidade pode chegar a 20 dB para um som lateral. Na regio entre 500 e 1400 Hz as informaes dadas pelas DII e DIT relacionam-se de uma maneira complexa. Em geral, no caso de sons naturais, as pistas dadas por elas correlacionam-se bem, o que no o caso de sons de fonte eletrnica.

8 Reverberao natural

Reveberao natural produzida pelas reflexes de sons em superfcies, que dispersam o som, enriquecendo-o por sobreposio de suas reflexes. A quantidade e qualidade da reverberao que ocorre em um ambiente natural influenciada por vrios fatores, o volume e dimenses do espao; o tipo, forma e nmero de superfcies com que o som se encontra. A figura abaixo mostra uma situao hipottica, uma sala sem mveis e com paredes perfeitamente lisas e slidas. Energia acstica proveniente da fonte (F) espalha-se por todas as direes, e apenas uma pequena poro do som chega ao ouvinte (O). Ele tambm recebe vrias imagens atrasadas do som original, refletidas pelas superfcies, que tambm aumentam o tempo em que o som percebido. A amplitude de cada som reduzida por uma quantidade que inversamente proporcional distncia percorrida pelo som: as reflexes no s chegam mais tarde, como tambm possuem amplitudes menores que o som direto. O som reverberado ter um envelope que decai ao longo do tempo. A caracterizao da reverberao natural de uma sala uma tarefa complexa, pois a qualidade de reverberao no pode ser quantificada objetivamente. Quatro parmetros so normalmente correlacionados com o carter percebido da reverberao: tempo de reverberao, a dependncia de freqncias do tempo de reverberao, o atraso da chegada da primeira reflexo e a taxa de

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crescimento da densidade de eco.

8.1 Tempo de reverberao

Indica a quantidade de tempo requerida para um som morrer a 1/1000 (-60 dB) de sua amplitude, aps a fonte parar de emiti-lo. Isso no quer dizer diretamente a medida de tempo em que um ouvinte vai parar de ouvir um som aps sua fonte silenciar, mas sim uma medida que proporcional a isso. Esse fato depende muito em outros fatores, como a amplitude do som e a presena de outros sons. Se o tempo de reverberao o suficientemente grande, o som sobrepor-se- as suas reflexes criando uma textura densa. Estudos identificaram uma correlao entre o volume de uma sala e o seu tempo de reverberao: quanto maior o volume da sala, maior tende a ser o seu tempo de reverberao. A quantidade de superfcies absorventes ou refletivas tambm influenciar o tempo de reverberao.

8.2 Dependncia de freqncia

O tempo de reveberao no uniforme atravs do espectro de freqncias. mais ou menos definido que, em uma sala de concertos bem desenhada, as freqncias baixas so favorecidas, estas vo desaparecer mais lentamente que as altas. Sabe-se que materiais absorventes tendem a refletir freqncias baixas mais que as altas, e materiais altamente refletivos tendem a ter uma resposta mais igual ao longo do espectro. O vapor de ar tambm contribue para a atenuao de sons com alta freqncia, quanto mais um som viajar em um ar com alguma umidade, mais suas freqncias altas sero atenuadas.

8.3 O atraso da primeira reflexo

Essa quantidade afeta muito a qualidade da reverberao percebida. Se a diferena de tempo entre o som direto e a sua primeira reflexo for muito grande ( > 50 msegs), ento se ouvir ecos distintos. Se o atraso for pequeno ( < 5 msegs) o ouvinte ter impresso de uma sala pequena. Uma diferena de 10 a 20 msegs achada em boas salas de concerto.

8.4 O crescimento da densidade de ecos

Aps a primeira reflexo, a densidade de ecos tende a crescer rapidamente. Um ouvinte pode distinguir densidades de eco at o patamar de 1 eco/msegs. O tempo que o som leva para chegar a esse patamar influencia o carter da reverberao, em uma boa situao ele por volta de 100 msegs. Esse tempo mais ou menos proporcional raiz quadrada do volume da sala, portanto espaos pequenos so caracterizados por um rpido crescimento da densidade de ecos.

8.5 Distncia

O ouvinte geralmente recebe tanto sons diretos da fonte como imagens refletidas atrasadas do som original. A intensidade relativa dos sons diretos e suas reflexes a informao primria sobre a distncia em que a fonte sonora se encontra. Sons mais prximos possuem uma razo grande entre o som direto e suas reverberao, com o crescimento da distncia, a quantidade de som direto diminui.

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Em distncias muito grandes, muito pouco do som percebido diretamente. Uma pista adicional em distncias grandes a perda de componentes de pouca energia em um som, na maioria dos casos isso resulta na ausncia de componentes de alta freqncia. Pelo fato de reverberao ser usada para a estimativa de distncias, sons impulsivos e curtos so mais facilmente localizados, enquanto sons longos so mais difceis (tambm pelo fato de que o ouvido estima a distncia quase apenas durante o tempo de ataque de um som).

9. Sistemas de afinao

Historicamente, as diversas culturas desenvolveram os seus prprios conceitos e regras para a organizao dos sons e alturas. O conceito de escala comum vrias culturas: a organizao das alturas do contnuo em 'pontos discretos'. em uma certa proporo lgica. Em nossa cultura, o ponto de partida para o desenvolvimento de nossas escalas e para a base terica foi dado na Grcia Antiga. Pitgoras estudou os modos de vibrao de uma corda estendida e descobriu a relao matemtica entre os harmnicos. Os primeiros sistemas de afinao foram baseados nos fenmenos relacionados coma srie harmnica. Eles baseavam a relao das alturas nas razes dos diversos intervalos obtidas na srie harmnica O sistema pitagrico basea-se nos intervalos de quinta e quarta, ou seja nas relaes justas dadas pelos primeiros quatro sons da srie harmnica, fundamental (1), oitava (2), quinta (3) e a 2a oitava (4). Com estes sons podemos obter os seguintes intervalos perfeitos: oitava (2:1), quinta (3:2) e quarta (4:3). Neste sistema, partindo-se do D, acha-se a quinta acima, 3:2 vezes a freqncia do d, que a nota Sol; depois, acha-se o R, quarta baixo deste sol, 3:4 vezes aquela freqncia; e assim por diante, achando o L, o Mi e o Si. Para se achar o F, pode-se partir do D oitava acima (2:1), achando-se a quinta abaixo dessa nota (2:3 vezes a freqncia daquele D). Para se obter a escala completa em todas as oitavas, basta repetir o esquema. No obtemos, porm nenhum sustenido ou bemol. Quando usamos este mtodo para se achar as 12 notas, uma coma, ou disparidade, resulta na afinao. Considere o crculo de quintas:

C G D A E B F# C# D# A# E# B# A razo de freqncia entre dois sons adjacentes no crculo 3:2, ento B# pode ser representado por (3:2)12 . A relao entre o primeiro e o ltimo som do crculo : (3:2)12 : 1 = 129.74634 : 1 No entanto, a relao entre o primeiro C e um C sete oitavas acima (27 ), que deveria ser enarmnico daquele B#, e': 27 : 1 = 128 : 1 Portanto aquele B# acaba sendo mais alto que o C. A disparidade claramente audvel. Ela chamada de coma pitagrica, podendo ser demonstrada pela seguinte razo:

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129.74634 / 128 = 1.01364 : 1 No sistema de afinao Justa, gera-se uma escala com os intervalos de tera maior e menor (5:4) e (6:5), alm de quartas e quintas. Este sistema produz acordes de I, IV e V grau perfeitamente afinados (4:5:6). Como resultado, outros intervalos produzem batimentos, e as segundas do sistema so de tamanhos diferentes. Os sustenidos e bemis so produzidos dividindo-se as segundas em dois intervalos menores. Por isso, modulao para tons com mais de 2 sustenidos ou dois bemis de diferena torna-se impossvel. O sistema chamado Mesotnico (mean-tone) representa um meio-termo entre os sistemas pitagrico e justo. Resultando em quintas um pouco menores, e teras menores um pouco maiores que o pitagrico. O sistema consiste na diminuio da quinta perfeita (3:2) para 1.49533:1 . Tradicionalmente, ele inclue D, F e Sol sustenido, e Si e Mi bemol. Em modulaes mais distantes, o sistema comea a quebrar. Uma das razes para isso a chamada "quinta do lobo",formada entre Sol sustenido e Mi bemol, que mais de 1/3 de semitom mais alta que a quinta normal, provocando um batimento audvel. O sistema de temperamento igual tenta resolver as ambiguidades dos sistemas anteriores, dividindo a oitava em 12 intervalos iguais: oitava = 2:1 ou 2

semitom = 2 1/12

A expresso geral para se encontrar a razo de um intervalo no sistema temperado : 2 m/12 onde m igual ao nmero de semitons do intervalo. No sistema temperado igual, costuma-se usar a unidade de centos, para se determinar certo intervalo. Neste caso, a oitava seria correspondente a 1200 centos, e a menor subdiviso possvel, o menor intervalo possvel, de 1 cento seria: 1:2 1/1200 = 1:1.00005778 Portanto um semitom no temperamento igual possue o tamanho de 100 centos. O sistema temperado igual foi adotado no incio do perodo clssico e possibilitou a expanso da harmonia tonal ocorrida durante o perodo romntico. Este sistema tambm possibilitou o desenvolvimento da tcnica dodecafnica por Schoenberg. A tabela abaixo mostra uma comparao entre os quatro sistemas de afinao previamente citados (Dodge & Jerse, 1985):

Temperamento igual Pitagrico Justo Mean-tone

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razo Centos razo centos razo centos razo Centos Unssono 1:1 0 1:1 0 1:1 0 1:1 0 Unis aum 1:1.055 92 1:1.045 76 2a menor 1:1.059 100 1:1.053 90 1:1.067 112 1:1.070 117 2a maior 1:1.122 200 1:1.125 204 1:1.125 204 1:1.118 193 3a menor 1:1.189 300 1:1.185 294 1:1.200 316 1:1.196 310 3a maior 1:1.260 400 1:1.265 408 1:1.250 386 1:1.250 386 4a justa 1:1.335 500 1:1.333 498 1:1.333 498 1:1.337 503 Trtono 1:1.414 600 4a aum 1:1.404 588 1:1.406 590 1:1.398 580 5a dim 1:1.424 612 1:1.422 610 5a justa 1:1.498 700 1:1.500 702 1:1.500 702 1:1.496 697 6a menor 1:1.587 800 1:1.580 792 1:1.600 814 1:1.600 814 6a maior 1:1.682 900 1:1.687 906 1:1.667 884 1:1.672 890 6a aum 1:1.778 996 1:1.747 966 7a menor 1:1.792 1000 1:1.778 996 1:1.800 1018 1:1.789 1007 7a maior 1:1.888 1100 1:1.898 1109 1:1.875 1088 1:1.869 1083 Oitava 1:2 1200 1:2 1200 1:2 1200 1:2 1200