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Engenharia Civil Estabilidade das Construções II

ANÁLISE MATRICIAL

DE ESTRUTURAS

Prof. Alfonso Pappalardo Jr.

São Paulo 2014

Análise Matricial de Estruturas

1.1 ELEMENTO DE TRELIÇA PLANA

x

y nó inicial nó final

1 32 4u u,u ,u

1 3

2 4

u u

u u

Esquema 1 Graus de liberdade e esforços do elemento i-j de treliça plana no sistema local

1 3

2 4

f f

f f

2 GL /NÓ

=−

4

3

2

1

ffff

jif

=−

4

3

2

1

uuuu

jiui j

i j

i j

FESP Faculdade de Engenharia São Paulo CE2 Estabilidade das Construções II

1/88


Força necessária a ser aplicada no grau de liberdade 4 para produzir um deslocamento unitário no grau de liberdade 1

=−

4

3

2

1

ffff

jif

=−

0

0

0

1

jiu

jijiji −−− ⋅= ukf

××××××××××××

=−

41

31

21

11

ffff

jik

Grau de liberdade 1

1.1.1 Matriz de Rigidez no Sistema Local


2/88


1.1.1 Matriz de Rigidez no Sistema Local (cont.)

Quadro 1 Forças devidas à imposição de um deslocamento unitário nos graus de liberdade


3/88



Quadro 1 (cont.) Forças devidas à imposição de um deslocamento unitário nos graus de liberdade


4/88



Matriz de rigidez do elemento i-j de treliça plana no sistema local

=−

−

−

00000/0/00000/0/

LEALEA

LEALEA

jik


5/88


1

3

2

4

u

u

u

u

α

−

−=

αααα

αααα

cos00cos00

00cos00cos

sensen

sensen

T

Matriz de transformação do sistema global (referência) para o sistema local (barra):

1.1.2 Matriz de Transformação

jiji −− ⋅= UTujiji −− ⋅= FTfEsquema 2 Elemento de treliça

plana com 4 graus de liberdade em relação ao sistema global


6/88

U2

U1

U4

U3

=−

4

3

2

1

UUUU

jiU

=−

4

3

2

1

FFFF

jiF



1.1.2 Matriz de Transformação (cont.)

jijiji −−− ⋅= ukf

jijiji −−− ⋅⋅=⋅ UTkFTMatriz de transformação é uma matriz ortogonal, ou seja:

TTT =−1

Assim, pré-multiplicando ambos os termos da expressão anterior, tem-se:

7/88



1.1.2 Matriz de Transformação (cont.)

TkTK ⋅⋅= −− jiji T

Transformação da matriz de rigidez do sistema local (barra) para o sistema global (referência):

jijiTjiT −−− ⋅⋅⋅=⋅⋅ UTkTFTT

jijiTji −−− ⋅⋅⋅= UTkTF

jijiji −−− ⋅= UKF

8/88



Matriz de rigidez do elemento i-j de treliça plana no sistema global

⋅−⋅−⋅⋅−−

−⋅−⋅⋅−−⋅

⋅=−

αααααααααααα

αααααααααααα

22

22

22

22

coscoscoscoscoscos

coscoscoscoscoscos

sensensensensensen

sensensensensensen

LEAjiK

1.1.3 Matriz de Rigidez no Sistema Global

9/88



1.1.4 Exemplo de Aplicação

Determine as reações nos apoios (A) e (B) da treliça hiperestática indicada na figura abaixo. Dados: módulo de elasticidade do aço E = 205 GPa e perfil tubular com diâmetro D = 20 mm e espessura da parede t = 2 mm. Operar com seis casas decimais.

C

2,7 m1,8 m

2,4 m

( )(B)

(A)

27 kN

Sistema de unidades Força: kilonewtons (kN) Comprimento: metros (m)

10/88



1.1.4 Exemplo de Aplicação (cont.) As matrizes de rigidez das barras no sistema global, são dadas a seguir:

Barra AB EI=210x106 kNm2; A=113,04 x10−6 m2; L=3 m; α=−53,13º (unidades: kN, m)

Barra AC EI=210x106 kNm2; A=113,04 x10−6 m2; L=5,1 m; α=−28,07º (unidades: kN, m)

Barra BC EI=210x106 kNm2; A=113,04 x10-6 m2; L=2,7 m; α=0º (unidades: kN, m)

2782,1862 -3709,5816 -2782,1862 3709,5816-3709,5816 4946,1088 3709,5816 -4946,1088-2782,1862 3709,5816 2782,1862 -3709,58163709,5816 -4946,1088 -3709,5816 4946,1088

3539,3169 -1887,6357 -3539,3169 1887,6357-1887,6357 1006,7390 1887,6357 -1006,7390-3539,3169 1887,6357 3539,3169 -1887,63571887,6357 -1006,7390 -1887,6357 1006,7390

8586,9944 0,0000 -8586,9944 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000

-8586,9944 0,0000 8586,9944 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000

=ABK

=ACK

=BCK

11/88



1.1.4 Exemplo de Aplicação (cont.)

Vetor carregamento

Vetor deslocamento

C ( ) (B)

(A)

27 kN

U2 R2

R1 U1

R3 R4

−=

027

UF

=

4

3

2

1

R

RRRR

F

=

2

1U U

UU

=

0000

RU

12/88




⋅

=

⋅=

R

U

RRRU

URUU

R

U

UU

KKKK

FF

UKF

= ⋅

4

3

2

1

RRRR

2

1

UU

0000

027−

××××

××××

××××

××××

××××

××××

××

××

××

××

××

××

13/88




RURUUUU UKUKF ⋅+⋅=

= ⋅

=UU→

UUUU UKF ⋅=

0

027−

2

1

UU

5816,37098478,5952

1806,113695816,3709

00186,000569,0− mm

mm

14/88




= ⋅ =RF→

RRRURUR UKUKF ⋅+⋅=

URUR UKF ⋅=

0

4

3

2

1

RRRR

00186,000569,0−

7390,10066357,18871088,49462173,5597

−

−−

09944,85865816,37091862,2782

−−−

7,57,26

3,217,26

−

kN

kN

kN

kN

15/88




16/88




(C) (B)

(A)

2782,1862 -3709,5816 -2782,1862 3709,5816-3709,5816 4946,1088 3709,5816 -4946,1088-2782,1862 3709,5816 2782,1862 -3709,58163709,5816 -4946,1088 -3709,5816 4946,1088

=ABK

3539,3169 -1887,6357 -3539,3169 1887,6357-1887,6357 1006,7390 1887,6357 -1006,7390-3539,3169 1887,6357 3539,3169 -1887,63571887,6357 -1006,7390 -1887,6357 1006,7390

=ACK

8586,9944 0,0000 -8586,9944 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000

-8586,9944 0,0000 8586,9944 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000

=BCK

17/88




(C) (B)

(A)

=

000

001860,

BCU

−

=

00018600056900

,,

ABU

−

=

00

0056900

,ACU

18/88




8586,9944 0,0000 -8586,9944 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000

-8586,9944 0,0000 8586,9944 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000

=BCK

=

000

001860,

BCU

BCBCBC UKF ⋅=

−=

0915

0915

kN,

kN,

BCF15,9 kN 15,9 kN

(B) (C)

19/88



Esforços Normais (kN)


20/88



21/88

1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont...)

Determine as reações nos apoios (A) e (B) da treliça hiperestática sujeita a um recalque de apoio de 2mm em (C). Dados: módulo de elasticidade do aço E = 205 GPa e perfil tubular com diâmetro D = 20 mm e espessura da parede t = 2 mm. Operar com seis casas decimais.

Sistema de unidades Força: kilonewtons (kN) Comprimento: metros (m)

C

2,7 m 1,8 m

2,4 m

( ) (B)

(A)

27 kN

2 mm



22/88

1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont...) As matrizes de rigidez das barras no sistema global, são dadas a seguir:

Barra AB EI=210x106 kNm2; A=113,04 x10−6 m2; L=3 m; α=−53,13º (unidades: kN, m)

Barra AC EI=210x106 kNm2; A=113,04 x10−6 m2; L=5,1 m; α=−28,07º (unidades: kN, m)

Barra BC EI=210x106 kNm2; A=113,04 x10-6 m2; L=2,7 m; α=0º (unidades: kN, m)

2782,1862 -3709,5816 -2782,1862 3709,5816-3709,5816 4946,1088 3709,5816 -4946,1088-2782,1862 3709,5816 2782,1862 -3709,58163709,5816 -4946,1088 -3709,5816 4946,1088

3539,3169 -1887,6357 -3539,3169 1887,6357-1887,6357 1006,7390 1887,6357 -1006,7390-3539,3169 1887,6357 3539,3169 -1887,63571887,6357 -1006,7390 -1887,6357 1006,7390

8586,9944 0,0000 -8586,9944 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000

-8586,9944 0,0000 8586,9944 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000

=ABK

=ACK

=BCK

R1 U1 U2 R2

R1 U1 R3 R4

U2 R2 R3 R4

R1 U1 U2 R2

R1 U1 R3 R4

U2 R2 R3 R4



23/88

⋅

=

⋅=

R

U

RRRU

URUU

R

U

UU

KKKK

FF

UKF

= ⋅

4

3

2

1

RRRR

2

1

UU

2000000

,−

027−

××××

××××

××××

××××

××××

××××

××

××

××

××

××

××

U1 U2 R1 R2 R3 R4

U1 U2 R1 R2 R3 R4



24/88



= ⋅

=UU→

027−

2

1

UU

5816,37098478,5952

1806,113695816,3709

00199600061180

,,− mm

mm

⋅00

XX

0000073901006

,,−

20000 ,−

XX

XX

U1 U2

R1 R2 R3 R4

U1 U2

U1 U2

+

+



25/88


= ⋅

=RF→


4

3

2

1

RRRR

00199600061180

,,−

7390,10066357,18871088,49462173,5597

−

−−

09944,85865816,37091862,2782

−−−

14924

922924

,,

,,

−

kN

kN

kN

kN

U1 U2

R1 R2 R3 R4

+

+

0,002000

−××××

××××

××××

7390100663571887

063571887

,,

,

−

R1 R2 R3 R4

R1 R2 R3 R4

⋅



26/88


Dx = 0.000e+000 mm Dy = -6.118e+000 mm Rz = 0.000e+000 rad

Dx = 1.996e+000 mm Dy = 0.000e+000 mm Rz = 0.000e+000 rad

Dx = 0.000e+000 mm Dy = -2.000e+000 mm Rz = 0.000e+000 rad

Deslocamentos Nodais



27/88


Esforços Normais (kN)



1.2 ELEMENTO DE PÓRTICO PLANO

Esquema 3 Graus de liberdade e esforços do elemento i-j de pórtico plano no sistema local

x

y nó inicial nó final

1 42 3 5 6u u,u ,u ,u ,u

1 4

2 5

3 6u u

u u

u u

1 4

2 5

3 6f f

f f

f f

3 GL /NÓ

=−

6

5

4

3

2

1

ffffff

jif

=−

6

5

4

3

2

1

uuuuuu

jiui j

i j

i j

28/88



Quadro 2 Forças devidas à imposição de um deslocamento unitário nos graus de liberdade

1.2.1 Matriz de Rigidez no Sistema Local

29/88





=−

000010

jiu

××××××××××××××××××××××××××××××

=

−

−

2

3

2

3

/6

/12

/6

/12

0

0

LEI

LEI

LEI

LEI

jik

=−

000100

jiu

××××××××××××××××××××××××××××××

=

−

−

LEI

LEI

LEI

LEI

ji

/2

/6

/4

/6

2

2

0

0

k

VETOR DESLOCAMENTO E MATRIZ DE RIGIDEZ

30/88





31/88





32/88




Matriz de rigidez do elemento i-j de pórtico plano no sistema local

−−

−−

=

−

−−

−−

LEILEILEILEI

LEILEILEILEI

LEALEA

LEILEILEILEI

LEILEILEILEI

LEALEA

ji

/4/6/2/6

/6/12/6/12

//

/2/6/4/6

/6/12/6/12

//

22

2323

22

2323

0000

00000000

0000

k

33/88

1

4

2

5

u

u

u

u

α

3

6

u

u



Matriz de transformação do sistema global (referência) para o sistema local (barra):

αα−αα

αα−αα

=

1000000cos0000cos0000001000000cos0000cos

sensen

sensen

T


jiji −− ⋅= UTujiji −− ⋅= FTf

Esquema 4 Elemento de pórtico plano com graus de liberdade no sistema global

34/88

U2

U1

U5

U4

U3

U6




TkTK ⋅⋅= −− jiji T

Transformação da matriz de rigidez do sistema local (barra) para o sistema global:

Esquema 4 (cont.) Elemento de pórtico plano com graus de liberdade no sistema global

35/88

1

4

2

5

u

u

u

u

α

3

6

u

u

U2

U1

U5

U4

U3

U6



−L/EI4L/EI6

0L/EI2

L/EI60

2

2

−

−−

L/EI6L/EI12

0L/EI6L/EI12

0

23

23

−L/EI2L/EI6

0L/EI4

L/EI60

2

2

−L/EI6

L/EI120

L/EI6L/EI12

0

23

23

−

−

=

0000

L/EAL/EA0000

L/EAL/EA

k

−

−

=

−

−

=

1000000000000000010000000000

1000000cos0000cos0000001000000cos0000cos

cssc

cssc

sensen

sensen

αααα

αααα

T

=

UTROKFTSQNJERQPMIDONMLHCKJIHGBFEDCBA

1.2.3 Matriz de Rigidez no Sistema Global

i-j

36/88



1.2.3 Matriz de Rigidez no Sistema Global (cont.)

c A c⋅ B s⋅−( )⋅ s B c⋅ G s⋅−( )⋅−

c B c⋅ A s⋅+( )⋅ s G c⋅ B s⋅+( )⋅−

C c⋅ H s⋅−

c D c⋅ E s⋅−( )⋅ s I c⋅ J s⋅−( )⋅−

c E c⋅ D s⋅+( )⋅ s J c⋅ I s⋅+( )⋅−

F c⋅ K s⋅−

s A c⋅ B s⋅−( )⋅ c B c⋅ G s⋅−( )⋅+

s B c⋅ A s⋅+( )⋅ c G c⋅ B s⋅+( )⋅+

H c⋅ C s⋅+

c I c⋅ J s⋅−( )⋅ s D c⋅ E s⋅−( )⋅+

c J c⋅ I s⋅+( )⋅ s E c⋅ D s⋅+( )⋅+

K c⋅ F s⋅+

C c⋅ H s⋅−

H c⋅ C s⋅+

L

M c⋅ N s⋅−

N c⋅ M s⋅+

O

=− jiK

c D c⋅ I s⋅−( )⋅ s E c⋅ J s⋅−( )⋅−

c I c⋅ D s⋅+( )⋅ s J c⋅ E s⋅+( )⋅−

M c⋅ N s⋅−

c P c⋅ Q s⋅−( )⋅ s Q c⋅ S s⋅−( )⋅−

c Q c⋅ P s⋅+( )⋅ s S c⋅ Q s⋅+( )⋅−

R c⋅ T s⋅−

c E c⋅ J s⋅−( )⋅ s D c⋅ I s⋅−( )⋅+

c J c⋅ E s⋅+( )⋅ s I c⋅ D s⋅+( )⋅+

N c⋅ M s⋅+

c Q c⋅ S s⋅−( )⋅ s P c⋅ Q s⋅−( )⋅+

c S c⋅ Q s⋅+( )⋅ s Q c⋅ P s⋅+( )⋅+

T c⋅ R s⋅+

F c⋅ K s⋅−

K c⋅ F s⋅+

O

R c⋅ T s⋅−

T c⋅ R s⋅+

U

Matriz de rigidez (simbólica) do elemento i-j de pórtico plano no sistema global

37/88



1.2.4 Forças Nodais Equivalentes

L

p pL/2

pL2/12

= pL2/12

pL/2

Carregamento uniformemente distribuído

L

Pb2 L3

= a

.(L+2a) P

Carga concentrada

b Pa2 L3

.(L+2b)

Pab2

L2 Pa2b

L2

38/88



1.2.5 Exemplo de Aplicação Determine os deslocamentos e as reações nos apoios do pórtico plano indicado na figura abaixo. A partir dos deslocamentos nodais obter os esforços internos solicitantes (momentos fletores, forças normais e cortantes). Dados: módulo de elasticidade do concreto E = 23800000 kN/m2 e seção retangular 20x60 cm para a viga e os pilares. Operar com seis casas decimais.

1

2

4

3

100 kN/m

6 m

39/88



Barra 12 Pilar de concreto seção retangular 20/60 E=23800000 kN/m2 L=8m α=90o

Barra 23 Viga de concreto seção retangular 20/60 E=23800000 kN/m2 L=6m α=0o

São dadas as matrizes de rigidez das barras no sistema global:


2008 0 -8033 -2008 0 -80330 357000 0 0 -357000 0

-8033 0 42840 8033 0 21420-2008 0 8033 2008 0 8033

0 -357000 0 0 357000 0-8033 0 21420 8033 0 42840

476000 0 0 -476000 0 00 4760 14280 0 -4760 142800 14280 57120 0 -14280 28560

-476000 0 0 476000 0 00 -4760 -14280 0 4760 -142800 14280 28560 0 -14280 57120

Barra 34 Pilar de concreto seção retangular 20/60 E=23800000 kN/m2 L=8m α=270o

2008 0 8033 -2008 0 80330 357000 0 0 -357000 0

8033 0 42840 -8033 0 21420-2008 0 -8033 2008 0 -8033

0 -357000 0 0 357000 08033 0 21420 -8033 0 42840

=−21K

=32-K

=−43K

40/88




1

2

4

3

100 kN/m

6 m

300 kN 300 kN.m 300 kN.m

300 kN

=

Forças nodais equivalentes

41/88




R1 R2 R3

R4 U1 U2 R5 U3 U4

R6 R7 U5

1

2

4

3

INCÓGNITAS BÁSICAS: Graus liberdade (deslocamentos) e reações de apoio

42/88



⋅

=

⋅=

R

U

RRRU

URUU

R

U

UU

KKKK

FF

UKF

= ⋅


U1 U2 U3 U4 U5 R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7

UUK5)(5 ×

URK7)(5 ×

RUK5)(7 ×

RRK7)(7 ×

UU

RU

1)(5 ×

1)(7 ×

U1 U2 U3 U4 U5 R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7

UF

RF

1)(5 ×

1)(7 ×

Ordenação das incógnitas e partição de matrizes

43/88



R1 R2 R3

R4 U1 U2 R5 U3 U4

R6 R7 U5

Vetor deslocamento (incógnito)

=

5

4

3

2

1

U

UUUUU

U

=

0000000

RU


R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7

Deslocamento prescrito pelo sistema de vinculação (apoios rígidos)

44/88




R1 R2 R3

R4 U1 U2 R5 U3 U4

R6 R7 U5

Vetor carregamento (forças externas ativas)

+−−−

=

0300300300300

UF

=

7

6

5

4

3

2

1

R

RRRRRRR

F

300 kN 300 kN.m 300 kN.m

300 kN

U1 U2 U3 U4 U5

Vetor carregamento incógnito (forças externas reativas)

45/88




R1 R2 R3 R4 U1 U22008 0 -8033 -2008 0 -8033 R1

0 357000 0 0 -357000 0 R2-8033 0 42840 8033 0 21420 R3-2008 0 8033 2008 0 8033 R4

0 -357000 0 0 357000 0 U1-8033 0 21420 8033 0 42840 U2

R4 U1 U2 R5 U3 U4476000 0 0 -476000 0 0 R4

0 4760 14280 0 -4760 14280 U10 14280 57120 0 -14280 28560 U2

-476000 0 0 476000 0 0 R50 -4760 -14280 0 4760 -14280 U30 14280 28560 0 -14280 57120 U4

R5 U3 U4 R6 R7 U52008 0 8033 -2008 0 8033 R5

0 357000 0 0 -357000 0 U38033 0 42840 -8033 0 21420 U4-2008 0 -8033 2008 0 -8033 R6

0 -357000 0 0 357000 0 R78033 0 21420 -8033 0 42840 U5

R1 R2 R3

R4 U1 U2 R5 U3 U4

R6 R7 U5

46/88




= ⋅

u1 u2 u3 u4 u5361760 14280 -4760 14280 014280 99960 -14280 28560 0-4760 -14280 361760 -14280 014280 28560 -14280 99960 21420

0 0 0 21420 42840

− 300 − 300 − 300 + 300

0

U1 U2 U3 U4 U5


UUUU UKF ⋅=

0

U1 U2 U3 U4 U5

1a fase: Determinação dos deslocamentos

47/88




=UU

− 0,000856 (m)

− 0,004357 (rad)

− 0,000825 (m)

+ 0,004761 − 0,002380

(rad)

(rad)

U1= − 0,856 mm U3= − 0,825 mm

U2= − 4,357x10−3 rad U4= + 4,761x10−3 rad

U5= − 2,380x10−3 rad

Deslocamentos nodais (translação e rotação)

48/88




= ⋅


URUR UKF ⋅=

0

7

6

5

4

3

2

1

RRRRRRR

− 0,000856

− 0,004357

− 0,000825

+ 0,004761

− 0,002380

00357000-008033-8033-00080338033000

000803300002142000000357000-0008023-0

2a fase: Determinação das reações de apoio

U1 U2 U3 U4 U5

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

49/88




=RF

35,0 (kN)

305,6 (kN)

−93,3 (kN.m)

−35,0 19,1

(kN)

(kN)

−19,1 294,4

(kN)

(kN) R1 = 35,0 kN

R2 = 305,6 kN

R3 = 93,3 kN.m

R4 = 35,0 kN R5 = 19,1 kN

R6 = 19,1 kN

R7 = 294,4 kN

Reações de apoio (forças e momentos)

50/88




1

2

4

3

U2

U1

U3

U5

U4

U6

1

2

F2

F1

F3

F5

F4

F6

1

2

Esforços Internos na Barra 1-2:

51/88




=

−−

−

004357,0000856,00000

21U

212121 −−− ⋅= UKF2008 0 -8033 -2008 0 -8033

0 357000 0 0 -357000 0-8033 0 42840 8033 0 21420-2008 0 8033 2008 0 8033

0 -357000 0 0 357000 0-8033 0 21420 8033 0 42840

=−21K

−−−−

=−

7,1866,3050,353936305035

21 ,,,

F→

52/88




=

=

−

−−−

−

7,1860,35

6,3053,930,356,305

2

2

2

1

1

1

21

M

V

N

M

V

N

f2121 −− ⋅= FTf →

−−−−

=−

7,1866,3050,353936305035

21 ,,,

F

−

−

=

100000001000010000000100000001000010

T

α1-2 = 90º 1

2

53/88




1

2

4

3

1

2

Esforços Internos Solicitantes na Barra 1-2

305,6 kN

35,0 kN

93,3 kN.m

305,6 kN

35,0 kN

186,7 kN.m

54/88




55/88

1

2

4

3

U2

U1

U3

U5

U4

U6

2 3

F2

F1

F3

2 3

F5

F4

F6

Esforços Internos Solicitantes na Barra 2-3




56/88

=

−

−−

−

004761,0000825,00

004357,0000856,00

32U

323232 −−− ⋅= UKF

=−32K

−

−=−

1,1476,5

03,113

6,50

32F→

476000 0 0 -476000 0 00 4760 14280 0 -4760 142800 14280 57120 0 -14280 28560

-476000 0 0 476000 0 00 -4760 -14280 0 4760 -142800 14280 28560 0 -14280 57120




57/88

=

=

−

−−

1,1476,5

03,113

6,50

2

2

2

1

1

1

32

M

V

N

M

V

N

f3232 −− ⋅= FTf →

=

100000010000001000000100000010000001

T

−

−=−

1,1476,5

03,113

6,50

32F

α2-3 = 0º

3 2




58/88

100 kN/m 300 kN

300 kN.m 300 kN.m 300 kN

=

Forças nodais equivalentes

+

Carregamento auto-equilibrado

300 kN 300 kN

300 kN.m

300 kN.m 100 kN/m

0 kN 2 3

5,6 kN 113,3 kN.m

0 kN

5,6 kN

147,1 kN.m




59/88

0 kN 2 3

5,6 kN 113,3 kN.m

0 kN

5,6 kN

147,1 kN.m

300 kN

300 kN.m

300 kN

100 kN/m

+ 305,6 kN

186,7 kN.m 152,9 kN.m

294,4 kN

100 kN/m

7,1862

1006,305)(2

−⋅

−⋅=xxxM

mMÁX 056,301006,305)(=→=⋅−= xx

dxxdM

mkN ⋅== 3,280)056,3(MM MÁX

300 kN.m

x




60/88

305,6 kN

186,7 kN.m 152,9 kN.m

294,4 kN

100 kN/m

MMÁX = 280,3 kN.m

186,7 kN.m 152,9 kN.m

mMÁX 056,3=x




280,3

186,7 152,9

186,

7

152,

9

93,3

Diagrama de Momentos Fletores (kN.m)

61/88




−305

,6

−294

,4

Diagrama de Forças Normais (kN)

62/88




−35,

0

−19,

1

−305,6

−294,4

Diagrama de Forças Cortantes (kN)

63/88



1.2.6 Exemplo de Aplicação

Analisar para o pórtico plano do Exemplo 1.3.5 a variação da força normal nos pilares devida ao recalque diferencial vertical de 2mm no apoio (4). Dados: módulo de elasticidade do concreto E = 23800000 kN/m2 e seção retangular

20x60 cm para a viga e os pilares. Operar com seis casas decimais.

300 kN 300 kN.m 300 kN.m

300 kN

2 mm 1

2

4

3 6 m

64/88




2008 0 -8033 -2008 0 -80330 357000 0 0 -357000 0

-8033 0 42840 8033 0 21420-2008 0 8033 2008 0 8033

0 -357000 0 0 357000 0-8033 0 21420 8033 0 42840

476000 0 0 -476000 0 00 4760 14280 0 -4760 142800 14280 57120 0 -14280 28560

-476000 0 0 476000 0 00 -4760 -14280 0 4760 -142800 14280 28560 0 -14280 57120

2008 0 8033 -2008 0 80330 357000 0 0 -357000 0

8033 0 42840 -8033 0 21420-2008 0 -8033 2008 0 -8033

0 -357000 0 0 357000 08033 0 21420 -8033 0 42840

300 kN 300 kN.m 300 kN.m

300 kN

2 mm 1

2

4

3

=−43K

=−21K

=−32K

(recalque)

65/88




R1 R2 R3

R4 U1 U2 R5 U3 U4

R6 R7 U5

1

2

4

3

INCÓGNITAS BÁSICAS: Graus liberdade (deslocamentos) e reações de apoio

R4 R5

R6

R7 R2

R1

R3

66/88




⋅

=

R

U

RRRU

URUU

R

U

UU

KKKK

FF

= ⋅

U1 U2 U3 U4 U5 R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7

U1

U2

U3

U4

U5

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7


× × × × × ×× × × × × ×× × × × × ×× × × × × ×× × × × × ×

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

−300

−300

−300

+300

0

U1

U2

U3

U4

U5

0

0

0

0

0

0

−0,002 × × × × × ×× × × × × ×

67/88




U1 U2 U3 U4 U5 361760 14280 -4760 14280 0 14280 99960 -14280 28560 0 -4760 -14280 361760 -14280 0 14280 28560 -14280 99960 21420

0 0 0 21420 42840

-357000 0

0 R7

0

0

...

U1 -300 -300 -300 300

0

=

=UU

− 0,000864 (m) − 0,004569 (rad) − 0,002817 (m)

+ 0,004511 − 0,002256

(rad) (rad)


U1 U1 U2 U3 U4 U5

...

-0,002

.

U1 U2 U3 U4 U5 361760 14280 -4760 14280 0 14280 99960 -14280 28560 0 -4760 -14280 361760 -14280 0 14280 28560 -14280 99960 21420

0 0 0 21420 42840

U1 -300 -300 -1014

300 0

=

U1 U1 U2 U3 U4 U5

.

68/88




U1 U2 U3 U4 U5 -357000 0 0 0 0

0 0 -357000 0 0 357000 0 R7

...

U1 R2

R7 =

R7=294,4 kN R2=305,6 kN Base do pórtico

U1 -0,000864 -0,004569 -0,002817 +0,004511 -0,002256

...

-0,002

.

R7=291,5 kN R2=308,5 kN

sem recalque com recalque Reações verticais

OBS: O pilar que recalcou sofreu um alívio, enquanto que para o pilar oposto houve um aumento de esforços.

69/88




RECALQUE = −2,000 mm U5 = −2,256e-003 rad

U3 = −2,817 mm U4 = 4,511e-003 rad

Deslocamentos nodais

U1 = −0,8641 mm U2 = −4,569e-003 rad

70/88




Forças normais (kN) Forças cortantes (kN) Momentos fletores (kN.m)

71/88




Analisar para o pórtico plano do Exemplo 1.3.5 a variação da força normal nos pilares e o deslocamento vertical no apoio (4), considerando o apoio elástico vertical com k= 40 kN/m. Dados: módulo de elasticidade do concreto E = 23800000 kN/m2 e seção retangular 20x60 cm para a viga e os pilares. Operar com seis casas decimais.

300 kN 300 kN.m 300 kN.m

300 kN

1

2

4

3 6 m

k=40000 kN/m 5

72/88




2008 0 -8033 -2008 0 -80330 357000 0 0 -357000 0

-8033 0 42840 8033 0 21420-2008 0 8033 2008 0 8033

0 -357000 0 0 357000 0-8033 0 21420 8033 0 42840

476000 0 0 -476000 0 00 4760 14280 0 -4760 142800 14280 57120 0 -14280 28560

-476000 0 0 476000 0 00 -4760 -14280 0 4760 -142800 14280 28560 0 -14280 57120

2008 0 8033 -2008 0 80330 357000 0 0 -357000 0

8033 0 42840 -8033 0 21420-2008 0 -8033 2008 0 -8033

0 -357000 0 0 357000 08033 0 21420 -8033 0 42840

300 kN 300 kN.m 300 kN.m

300 kN

1

2

4

3

=−43K

=−21K

=−32K

5

=−54K40000 -40000

40000 -40000

73/88




R1 R2 R3

R4 U1 U2 R5 U3 U4

R6 U5 U6 1

2

4

3

INCÓGNITAS BÁSICAS: Graus liberdade (deslocamentos)

e reações de apoio

R4 R5

R6

R7

R2

R1

R3 R7

74/88




U1 U2 U3 U4 U5 361760 14280 -4760 14280 0 14280 99960 -14280 28560 0 -4760 -14280 361760 -14280 14280 28560 -14280 99960 0

0 0 -357000 0 397000

0 21420

0 U6

0

0 0 0 0 21420 42840 0

-357000

U1 -300 -300 -300 300

0 0

=

=UU

− 0,000884 (m) − 0,005111 (rad) − 0,007903 (m)

+ 0,003874 − 0,007106

(rad) (m)

− 0,001937 (rad)


.

U1 U1 U2 U3 U4 U5 U6

75/88




Deslocamentos nodais e reações de apoio

U3 = −7,903 mm U4 = 3,874e-003 rad

U1 = −0,8844 mm U2 =−5,111e-003 rad

U5 = −7,106 mm U6 = −1,937e-003 rad

76/88




Forças normais (kN) Forças cortantes (kN) Momentos fletores (kN.m)

77/88



1.3.8 Problema Proposto

Matriz de Rigidez Global Elemento AB E=205x106 kN/m2; A=9,6x10−3 m2; I=2,368x10−5 m4; L= 4 m; α=0º (Unidades: kN, m)

Matriz de Rigidez Global Elemento BC E=205x106 kN/m2; A=9,6x10−3 m2; I=2,368x10−5 m4; L= 6 m; α=0º (Unidades: kN, m)

Matriz de Rigidez Global Elemento CD E=205x106 kN/m2; A=9,6x10−3 m2; I=2,368x10−5 m4; L= 3 m; α=90º (Unidades: kN, m)

A B C

D

33,33 kN.m 60 kN.m

4,0 m 6,0 m

3,0

m

492000,0000 0,0000 0,0000 -492000,0000 0,0000 0,00000,0000 910,2000 1820,4000 0,0000 -910,2000 1820,40000,0000 1820,4000 4854,4000 0,0000 -1820,4000 2427,2000

-492000,0000 0,0000 0,0000 492000,0000 0,0000 0,00000,0000 -910,2000 -1820,4000 0,0000 910,2000 -1820,40000,0000 1820,4000 2427,2000 0,0000 -1820,4000 4854,4000

328000,0000 0,0000 0,0000 -328000,0000 0,0000 0,00000,0000 269,6889 809,0667 0,0000 -269,6889 809,06670,0000 809,0667 3236,2667 0,0000 -809,0667 1618,1333

-328000,0000 0,0000 0,0000 328000,0000 0,0000 0,00000,0000 -269,6889 -809,0667 0,0000 269,6889 -809,06670,0000 809,0667 1618,1333 0,0000 -809,0667 3236,2667

2157,5111 0,0000 -3236,2667 -2157,5111 0,0000 -3236,26670,0000 656000,0000 0,0000 0,0000 -656000,0000 0,0000

-3236,2667 0,0000 6472,5333 3236,2667 0,0000 3236,2667-2157,5111 0,0000 3236,2667 2157,5111 0,0000 3236,2667

0,0000 -656000,0000 0,0000 0,0000 656000,0000 0,0000-3236,2667 0,0000 3236,2667 3236,2667 0,0000 6472,5333

Determinar os esforços na viga poligonal de aço, esquematizada abaixo. São dadas as matrizes de rigidez de cada elemento.

78/88



1.3.8 Problema Proposto (cont.)

Rz = −5,536e−03 rad

Rz = +7,103e−03 rad

Deslocamentos (rotações) e reações de apoio

79/88




Diagrama de forças cortantes (kN)

80/88

Análise Matricial de Estruturas 81/88



Diagrama de momentos fletores (kN.m)




Dado o modelo de elementos finitos de uma viga contínua apoiada sobre uma base elástica de rigidez K = 4000 N/mm. Determinar o recalque no apoio B, quando for aplicado o carregamento uniformemente distribuído 20 N/mm, e a reação vertical no NÓ D. São dadas as matrizes de rigides no sistema local das barras. Determine também os momentos fletores e forças cortantes.

4000mm

A B C

D

20 N/mm

K=40 N/mm

4000mm

10 mm

10 mm250 mm

200 mm

OBS: Devido à simetria do carregamento, considerar a translação horizontal e a rotação do nó B nulas.

K=4000 N/mm



1.3.9 Problema Proposto (cont...)

Matriz de rigidez: Elemento de viga AB = BC

Viga de aço E=200000 N/mm2, A=6300 mm2, I=67772500 mm4, L=4000mm, α=0o

Matriz de rigidez: Elemento de mola BD Rigidez elástica do solo K = 4000 N/mm

== −− CBBA KK

=−DBK4000 -4000

-4000 4000

315000 0 0 -315000 0 0 0 2541 5082938 0 -2541 5082938 0 5082938 13554500000 0 -5082938 6777250000

-315000 0 0 315000 0 0 0 -2541 -5082938 0 2541 -5082938 0 5082938 6777250000 0 -5082938 13554500000

4000mm

A B C

D

20 N/mm

K=4000 N/mm

4000mm




20 N/mm

4000 mm

40000 N

R1 R2 R3

R4 U1 R5

R6

= 40000 N

26,667x106 N.mm 26,667x106 N.mm

K=2000 N/mm




0FUKF −⋅=

= ⋅

U1 R1 R2 R3 R4 R5 R6

U1

R1

R2

R3

R4

R5

R6


6541 × × × × ×× × × × ×× × × × ×× × × × ×× × × × ×

R1

R2

R3

R4

R5

R6

−40000 U1

0

0

0

0

0

0 × × × × ×× × × × ×

×××××××

−

0

0

−40000

−26666667

0

26666667

0

Carregamento atuante nos graus de liberdade restritos

02541-

5082938-0

5082938-2000-




U1 = −8,81 mm

Deflexão e reações de apoio

71,4 kN.m

62,4

kN

18,1 kN.m

17,6

kN




Forças cortantes Momentos fletores

62,4 kN

−17,6 kN

−71,4 kN.m

25,9 kN.m

18,1 kN.m

mkN9,25)m12,3(4,712

204,62)(

m12,30204,62)(2

⋅===→−⋅−⋅=

=→=⋅−=

xMMxxxM

xxxV

máx

máx




Idem para a viga apoiada sobre múltiplas camadas de solo.

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