análise matricial

MECÂNICA DAS ESTRUTURAS

AAANNNÁÁÁLLLIIISSSEEE MMMAAATTTRRRIIICCCIIIAAALLL DDDEEE EEESSSTTTRRRUUUTTTUUURRRAAASSS

Prof.a Nara Villanova Menon Acadêmico Ed Pinheiro Lima

i

SUMÁRIO 1- INTRODUÇÃO.............................................................................................................. 1 1.1- Histórico da análise estrutural ................................................................................ 1 1.2- A Análise Estrutural e a Computação ..................................................................... 1 1.3- Programas e usuários.............................................................................................. 2 2- TIPOS DE ESTRUTURAS ................................................................................................ 3 2.1- Estruturas com ligações contínuas........................................................................... 3 2.2- Estruturas lineares ou estruturas reticuladas ........................................................... 3 2.3- Características das Estruturas Reticuladas .............................................................. 4 3- ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS ........................................................................... 5 3.1- Processos Clássicos ................................................................................................. 5 3.2- Análise matricial de Estruturas ............................................................................... 5 4- DESCRIÇÃO DA TÉCNICA MATRICIAL............................................................................ 5 4.1- Discretização da Estrutura ..................................................................................... 5 4.2- Sistemas de Coordenadas........................................................................................ 5 4.2.1 Coordenadas Globais - referentes à estrutura........................................................... 5 4.2.2 Coordenadas locais - referentes às barras................................................................. 6 4.3- Relação entre coordenada local e coordenada global ............................................... 7 5- GRAU DE LIBERDADE................................................................................................... 8 6- PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DOS EFEITOS ................................................................... 8 7- MÉTODO DA RIGIDEZ OU DOS DESLOCAMENTOS ............................................................ 9 7.1- Bases do Método .................................................................................................... 9 7.2- Dedução da Matriz de Rigidez ................................................................................ 9 7.2.1 Sistemas com duas coordenadas ............................................................................... 9 7.2.2 Sistemas com três coordenadas............................................................................... 10 7.2.3 Matriz de Rigidez Global (Utilização do Princípio da Superposição dos Efeitos) ........................ 12 7.2.4 Propriedades da Matriz de Rigidez.......................................................................... 12 7.2.5 Sistemas com elementos perpendiculares ............................................................... 13 7.3- Relação entre coordenada global e local ................................................................ 14 7.3.1 Matriz de rigidez para uma mola em coordenadas locais ....................................... 15 7.3.2 Matriz de rigidez para uma mola em coordenadas globais ..................................... 15 7.3.3 Utilização da matriz de rotação............................................................................... 16 7.4- Sentidos e orientação dos ângulos para as barras. .................................................. 17 7.5- Sistematização para resolução de estruturas........................................................... 18 7.5.1 Equação da rigidez .................................................................................................. 20 7.5.2 Cálculo dos deslocamentos..................................................................................... 20 7.5.3 Cálculo das reações ................................................................................................. 20 7.5.4 Cálculo dos Esforços Internos ................................................................................ 21

Análise Matricial de Estruturas 1

1- INTRODUÇÃO 1.1- Histórico da análise estrutural DATA EVENTOS 1850-1875 Surge o cálculo de pórticos, graças à Maxwell, Castigliano e Mohr. 1920 Nos Estados Unidos (Maney) e na Dinamarca (Ostenfeld) surgiram as pri-

meiras análises de estruturas (treliças e pórticos ) tomando como incógnitas os deslocamentos dos nós.

1932 Hardy Cross introduz o processo da distribuição dos momentos. Durante 25 anos foi o método mais eficiente de cálculo

1947

Livesley tenta utilizar o computador no Cálculo Estrutural . O primeiro computador Mark I surgiu em 1944 fabricado pela IBM em conjunto com a Marinha Norte-Americana e a Universidade de Harvard. Em 1947 com a descoberta do transistor foi possível diminuir o tamanho dos computadores (120 m3) e aumentar a potência e a velocidade. Nesta época surgiram dentre outros o UNIVAC e o IBM 650.

1963 Surge o primeiro programa para calcular estruturas lineares (vigas, pórticos treliças e grelhas ): Programa STRESS. Paralelamente são descobertos os circuitos integrados, tornando os compu-tadores mais rápidos como o IBM 360

1965 Entre 1964 e 1974 surgem as linguagens de alto nível (FORTRAN) e em 1965 é publicado o primeiro artigo apresentando a formulação do Método dos Elementos de Contorno.

Tabela 1-1 histórico da análise matricial 1.2- A Análise Estrutural e a Computação Com o surgimento dos computadores eletrônicos houve uma revolução no cálculo estrutural. As técnicas de calcular estruturas que até então procuravam reduzir ao mínimo o trabalho numérico, passaram a ser organizadas sem haver a preocupação de simplificações ou reduções de número de operações. Passou a exis-tir a preocupação de organizar a seqüência de operações para entrar com dados em um computador e obter respostas. Para isso deve-se organizar uma seqüência de cálculos com notação própria. O problema da Análise Estrutural envolve quatro tipos de grandezas : 1. as ações mecânicas aplicadas (ativas ou reativas) 2. as ações mecânicas internas (esforços secionais ou tensões localizadas em elementos de área orientados) 3. os deslocamentos dos pontos da estrutura (podendo ser lineares ou angulares) 4. as deformações (deslocamentos relativos nas extremidades de porções elementares interiores) Em geral, o objetivo é determinar os esforços e deslocamentos. Para atingir esta meta, o método clássico parte de elementos infinitesimais da estrutura, tão pequenos que seja possível exprimir matematicamente


com simplicidade as suas relações solicitação – deformação. Por integração, chega-se ao comportamento da estrutura. O método dos elementos finitos ( do qual o Cálculo Matricial das Estruturas poderia ser considerado como um primeiro capítulo, aplicável ás estruturas de barras ) resolve o problema com outra seqüência. É uma técnica de análise numérica que consiste em aproximar o comportamento da estrutura real contínua, com infinitos graus de liberdade, por um modelo estrutural discreto, com um número finito de graus de liber-dade. Este modelo estrutural é obtido subdividindo-se a estrutura real em várias regiões chamadas elementos fini-tos. Estes elementos finitos são unidos entre si através de um número finito de pontos, chamados pontos nodais. Este método permite simular o comportamento da estrutura mais próximo da realidade do que utilizando-se as simplificações tradicionais. Além disso, por ser fácil efetuar modificações no modelo estrutural, pode-se proceder à sua otimização A utilização do método dos elementos finitos na análise estrutural requer um volume computacional bas-tante grande. À medida em que os recursos computacionais se tornaram mais poderosos, econômicos e de fácil utilização, esse método vem se tornando cada vez mais popular como ferramenta de trabalho do enge-nheiro de estruturas. 1.3- Programas e usuários O universo de programas nacionais e importados para cálculo estrutural disponível no mercado se divide em duas categorias fundamentais: os de análise estrutural com elementos finitos ou não e os de concepção e dimensionamento para concreto e estruturas metálicas. Entre os softwares de elementos finitos se destacam os importados como o STRAP (israelense), o ROBO BAT (francês), o MICRO FE (alemão), que pressu-põem regime elástico. A área de estruturas também se utiliza de programas mais gerais de elementos finitos como o SAP2000, ANSYS, NASTRAN,SAFE e o COSMOS/M (norte americanos). Em geral, os programas de elementos finitos supõem o comportamento do concreto no regime elástico isto é, a estrutura sofre uma deformação em razão de uma carga aplicada, e quando ela é retirada o deslocamento volta ao zero. Para car-gas baixas, pode-se considerar que o concreto trabalha no regime elástico. Mas em alguns casos uma parte das deformações não volta a zero, ou seja, comportam-se de acordo com o regime plástico. Além disso, em algumas situações é preciso considerar as deformações lentas ao longo do tempo. A rigor, o comportamento real do concreto é viscoelastoplástico e envolve esses três tipos de deformações. Os elementos finitos são utilizados para estruturas especiais como cascas, blocos, placas dentre outras. Entre os programas utilizados no Brasil que incluem concepção, análise estrutural com ou sem elemen-tos finitos e dimensionamento, estão o CYPECAD 3D (espanhol) , o SISTRUT, o CAD/TQS, o MIX , o PROSYSTEM, o EBERICK dentre outros.


2- TIPOS DE ESTRUTURAS 2.1- Estruturas com ligações contínuas São estruturas que possuem duas ou três dimensões e seus elementos podem ser triangulares, quadrados e outras formas simples. Essas estruturas são analisadas pelo método dos Elementos Finitos. São exemplos destes tipos de estruturas as cascas, as placas, os blocos, etc.

2.2- Estruturas lineares ou estruturas reticuladas São estruturas que possuem uma dimensão (comprimento) muito maior que a seção transversal e seus ele-mentos geralmente são barras inteiras, partes de barras ou associações. Essas estruturas são analisadas pela análise matricial de estruturas. São exemplos deste tipo de estrutura vigas, pórticos e treliças. Figura 2.2 estruturas reticuladas – pórtico e treliça plana

Figura 2.1 divisão de uma estrutura contínua em elementos finitos


Vy

N T

Vz

2.3- Características das Estruturas Reticuladas

Tipos de Estruturas Viga

esforços internos

• Estrutura reta que possui um ou mais pontos de apoio. • Sempre existe um plano de sime-tria • As forças estão aplicadas no plano que contém o eixo de simetria da seção transversal da viga. • Não aceita cargas inclinadas

Treliça plana

esforços internos

• Estrutura com barras e todos os nós rotulados. • Todas as forças aplicadas atuam no plano da estrutura. • Todas as forças são aplicadas nos nós

Treliça espacial

esforços internos

• Idem à treliça plana, só que as bar-ras possuem direções quaisquer no espaço. • As forças atuam em direções quais-quer.

Pórtico plano

esforços internos

• Estrutura composta de barras situadas em um plano que contém o seu eixo de simetria. • Todos os nós são rígidos. Todas as forças externas atuam no plano do pórtico. • Todos os momentos aplicados atuam na direção normal ao eixo da barra.

Pórtico espacial

esforços internos

• Estrutura com barras, forças e momentos em qualquer direção.

Grelha

esforços internos

• Estrutura com todas as barras em um plano. • Todas as forças aplicadas são nor-mais ao plano da grelha • Os momentos aplicados estão no plano desta

Tabela 2.3 – características principais de cada estrutura reticulada

Figura 2.2 estruturas reticuladas ou lineares


y

x

y

x

1 8

4

1

3 5

9

6

2

7

2

54 6

3

3- ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS 3.1- Processos Clássicos Com o objetivo de determinar os esforços e os deslocamentos, os processos clássicos analisam o equilíbrio de elementos infinitesimais e, através de integrações, chega-se ao comportamento da estrutura. 3.2- Análise matricial de Estruturas A Análise Matricial de Estruturas resolve o problema com outra seqüência. O comportamento da estrutura real contínua é substituído por um modelo estrutural discreto onde a estrutura real é subdividida em vários elementos finitos denominados barras. A formulação dos métodos dos esforços e dos deslocamentos ou a associação de ambos, utilizando técnicas matriciais é denominada Análise Matricial de Estruturas. 4- DESCRIÇÃO DA TÉCNICA MATRICIAL 4.1- Discretização da Estrutura Primeiramente a estrutura deve estar contida em um sistema de eixos cartesianos e em seguida são defini-dos os nós e as barras ( elementos ).

4.2- Sistemas de Coordenadas Para ordenar matricialmente as ações mecânicas (forças e momentos) e os deslocamentos (lineares ou angu-lares) existentes nos nós de uma estrutura integrada nas extremidades de um elemento, fixam-se dois siste-mas de coordenadas. 4.2.1 Coordenadas Globais - referentes à estrutura Representam deslocamentos nodais, cargas aplicadas nos nós e reações nos apoios

Figura 4.1 - discretização de uma estrutura reticulada

Figura 3.1 - elemento infinitesimal utilizado para analisar estruturas

Figura 4.2.1- coordenadas globais


vetor das forças externas vetor dos deslocamentos

[ ]

=

nF

FF

FM2

1

[ ]

=

nδ

δδ

δM2

1

Fn – força aplicada ou reativa na direção da co-ordenada n

δn - deslocamento na direção da coordena-da n

Tabela 4.2.1 - representação dos vetores de forças e deslocamentos 4.2.2 Coordenadas locais referentes às barras Representam cargas aplicadas nas barras, esforços nas extremidades das mesmas e deformações .

vetor das forças internas Vetor das deformações

[ ]E

E

EE

n

=

M2

1

[ ]b

bn

b

b

δ

δ

δδ

=

M2

1

En – esforço interno na direção da coorde-nada n

δn - deformação na direção da coorde-nada n

Tabela 4.2.2- representação dos vetores dos esforços internos e das deformações

Figura 4.2.2- coordenadas locais


Ao analisar uma estrutura por técnicas matriciais precisa-se: ♦ definir os elementos, nós ♦ definir as coordenadas globais nos nós ♦ definir as coordenadas locais nas extremidades das barras 4.3- Relação entre coordenada local e coordenada global Para se estabelecer uma relação entre coordenadas serão utilizados conceitos da Geometria Analítica.

Transformação de coordenadas locais em globais

θθ

θθ

sencos

sencos

xyy

yxx

−=

+=

para o nó i

θθ

θθ

sencos

sencos

iii

iii

xyy

yxx

−=

+=

para o nó j

θθ

θθ

sencos

sencos

jjj

jjj

xyy

yxx

−=

+=

Tabela 4.3 - transformação de coordenadas Escrevendo as equações acima sob forma matricial obtém-se uma relação entre coordenadas locais e glo-bais:

=

j

j

i

i

yxyx

.

cossen -00sen cos00

00 cossen -00sen cos

θθθθ

θθθθ

j

j

i

i

yxyx

A matriz escrita acima é denominada matriz de Rotação [R]. Por ser uma matriz ortogonal, apresenta a propriedade de ter a sua inversa igual a sua transposta.

Equação 4.3


δ2 δ δ21 22

5- GRAU DE LIBERDADE Os deslocamentos nodais dependem de vinculação e variam de acordo com o tipo da estrutura . Chama-se gl (grau de liberdade) o número de deslocamentos nodais não conhecidos que uma estrutura pos-sui.

Tipos de Apoios

Engastado

não tem rotação nem translação

Fixo

tem rotação mas não tem translação

Móvel

só não tem uma translação

Elástico

quando não é totalmente rígido

Tabela 5.(a) – tipos de apoios para estruturas planas Os deslocamentos nodais e os esforços internos correspondentes a cada tipo de estrutura linear serão des-critos abaixo, para que seja possível a adequação da técnica matricial .

Tipo de Estrutura Esforços Internos Deslocamentos Equação de Equilíbrio para cada nó Observações

Viga V, M v, θ z ΣFy=0 ΣMz=0 Despreza-se N

Treliça plana N u,v ΣFx=0 ΣFy=0

Treliça espacial N u,v,w ΣFx=0 ΣFy=0

ΣFz=0

Pórtico plano V,M,N u,v, θ z ΣFx=0 ΣFy=0

ΣMy=0

Grelha plana V,M,T v, θx, θy ΣFz=0 ΣMx=0

ΣMy=0 Despreza-se N

Pórtico espacial Vx,Vy,Mx,My,N,T u,v,w, θx, θy, θz ΣFx=0 ΣMx=0 ΣFy=0

ΣMy=0 ΣFz=0 ΣMz=0

Tabela 5.(b) - esforços internos e deslocamentos em estruturas reticuladas

6- PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DOS EFEITOS Para a dedução do Método dos Deslocamentos ou Método da Rigidez, será feito um breve aceno a uma fer-ramenta fundamental que é o Princípio da Superposição dos Efeitos . O Princípio da Superposição do Efeitos só é válido quando as estruturas mantiverem relações lineares entre cargas e deformações (Lei de Hooke) e quando as deformações sejam pequenas de tal forma que pode-se dizer que a configuração final da estrutura seja confundida com a configuração inicial. Exemplifica-se abaixo a aplicação do Princípio da Superposição dos Efeitos para a determinação do deslocamento na extremidade do balanço, provocado por duas cargas concentradas.

Figura 6. – exemplo de utilização do Princípio de Superposição dos Efeitos


δ2.1 – deslocamento em devido à P1 δ2.2 – deslocamento em devido à P2

Através do Princípio da Superposição dos Efeitos pode-se dizer que : δ2 = δ2.1P1 + δ2.2P2 7- MÉTODO DA RIGIDEZ OU DOS DESLOCAMENTOS

7.1- Bases do Método Denomina-se “coeficiente de rigidez” a ação mecânica associada à configuração deformada δ=1. Para simplificar a dedução teórica, as barras serão substituídas por “molas”, pois este é o mais simples dos sistemas elásticos. 7.2- Dedução da Matriz de Rigidez 7.2.1 Sistemas com duas coordenadas Considere-se uma mola presa nas duas extremidades com coeficiente de rigidez K caso a) Ao aplicar-se um deslocamento u1 ao sistema surgirão as forças F1 e F2.

Portanto u1 = u1 u2 = 0 F1 = K.u1 F2 = -K.u1=-F1

caso b) Ao aplicar-se um deslocamento u2 tem-se:

Portanto u1 = 0 u2 = u2 F2 =K.u2 F1 = -F2 = -K.u2

caso c) Aplicando-se simultaneamente os deslocamentos u1 e u2 tem-se:

figura 7.2.1.(a) – sistema com duas coordenadas


Portanto u1=u1 u2=u2 F1=K.u1 – K.u2

F2 = - K.u1 + K.u2

Escrevendo as equações sob forma matricial chega-se a:

−

−=

2

1

2

1

uu

KKKK

FF

Esta equação é denominada Equação de Rigidez, que relaciona forças com o deslocamentos. { } [ ]{ }δSF = onde: { }F é o vetor das forças [ ]S é a matriz de rigidez { }δ é o vetor de deslocamentos 7.2.2 Sistemas com três coordenadas Considere-se um sistema constituído por duas molas presas nas extremidades com coeficientes de rigidez di-ferentes: Figura 7.2.2.(a) – sistemas com três coordenadas Caso a) ao aplicar-se um deslocamento u1 no nó surgem as forças F1 e F2

u1 = u1 u2 = 0 u3 = 0

F1 = K1.u1 F2 = -F1 = -F1.u1 F3 = 0

Figura 7.2.1.(b) – Dedução da matriz de rigidez

Equação 7.2.1.(a)

Equação 7.2.1.(b)


Caso b) ao aplicar-se um deslocamento u2 no nó surgem as forças F1, F2 e F3

u1 = 0 u2 = u2 u3 = 0

F1 = -K1.u2 F2 = K1.u2 + K2.u2 F3 = -K2.u2

Caso c) ao aplicar-se um deslocamento u3 no nó surgirão as forças F2 e F3

u1 = 0 u2 = 0 u3 = u3

F1 = 0 F2 = -K2.u3 F3 = K2.u3

Caso d) ao aplicar-se simultaneamente os deslocamentos u1, u2 e u3 tem-se:

u1 = u1 u2 = u2 u3 = u3

F1 = K1.u1 – K1.u2 +0 F2 = -K1.u1 + (K1 +K2).u2 – K2.u3 F3 = 0 – K2.u2 + K2.u3

Figura 7.2.2.(b) – dedução da Matriz de Rigidez


Escrevendo as três últimas equações sob forma matricial tem-se:

−−+−

−=

3

2

1

22

2211

11

3

2

1

0

0

uuu

KKKKKK

KK

FFF

Portanto chega-se a equação da rigidez { } [ ]{ }δSF = , já vista anteriormente. Sendo que [S] agora é a matriz de rigidez do sistema. 7.2.3 Matriz de Rigidez Global (Utilização do Princípio da Superposição dos Efeitos) Seja o sistema elástico utilizado no item anterior

Monta-se uma matriz de rigidez para cada mola, numerando-se as linhas e colunas de acordo com as suas coordenadas correspondentes.

[ ]21

2 1

11

111

−

−=

KKKK

Sb [ ]

32

22

222

−

−=

KKKK

Sb

3 2

A partir das matrizes de rigidez para as duas molas, utilizando o Princípio da Superposição dos Efeitos obtém-se a matriz de rigidez da estrutura ou matriz de rigidez global.

[ ]321

0

03 2 1

22

2211

11

−−+−

−=

KKKKKK

KKS global

7.2.4 Propriedades da Matriz de Rigidez • Simetria, devido ao teorema de Maxwell. • A soma dos elementos de qualquer linha ou coluna é zero (quando se tratar de forças), condição de equilíbrio. • É uma matriz não singular, isto é, o determinante é diferente de zero. • Dependendo da numeração dos nós pode apresentar-se como uma matriz em banda. • A diagonal principal é predominante e positiva.

Figura 7.2.3 – conjunto de duas molas


7.2.5 Sistemas com elementos perpendiculares Considere-se o sistema constituído de duas molas perpendiculares entre si que agora apresentam desloca-mentos e forças em direções diferentes Adota-se para a mola as seguintes coordenadas para este sistema de coordenadas a matriz de rigidez será:

[ ]

4321

000000000000

4 3 2 1

11

11

1

−

−

=KK

KK

Sb

Para a mola adota-se as seguintes coordenadas Consequentemente a matriz de rigidez será:

Utilizando o Princípio da Superposição dos Efeitos monta-se a matriz de rigidez global.

[ ]

6543

000000

000000

6 5 4 3

22

222

−

−=

KK

KKSb

Figura 7.2.5- conjunto de molas perpendiculares


[ ]

654321

0000000000

000000000000000000

6 5 4 3 2 1

22

22

11

11

−

−−

−

=

KK

KKKK

KK

Sg

7.3- Relação entre coordenada global e local

No item 4.3 através de transformação linear chegou-se a seguinte equação:

−

−=

j

j

i

i

yj

xj

yi

xi

YXYX

FFFF

θθθθ

θθθθ

cossen00sencos00

00cossen00sencos

Para as forças a equação será: { } [ ]{ }Fl R Fg=

onde { }Fl são as forças em coordenadas locais, { }Fg são as forças em coordenadas globais e [ ]R é a matriz de rotação. Esta matriz é uma matriz ortogonal, portanto a sua inversa é igual a sua transposta. Para os deslocamentos pode-se escrever:

−

−=

j

j

i

i

j

j

i

i

vgugvgug

lvlulvlu

θθθθ

θθθθ

cossen00sencos00

00cossen00sencos

{ } [ ]{ }gRl δδ = A equação da rigidez em coordenadas locais pode ser escrita como: { } [ ]{ }lSblFl δ= Substituindo 7.3.(b) e 7.3.(c) em 7.3.(d), tem-se:

[ ]{ } [ ][ ]{ }

[ ]

[ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ]{ }

{ } [ ] [ ][ ]{ }[ ]

{ } [ ] [ ][ ]{ }

R Fg = Sbl R δg

-1multiplicando-se ambos os termos por R

-1 -1R R Fg = R Sbl R δg

simplificando-1Fg = R Sbl R δg

como R é uma matriz ortogonal, pode-se escrever a equação com a seguinte forma:

TFg = R Sbl R δg

Equação 7.3.(a)

Equação 7.3(b)

Equação 7.3.(c)

Equação 7.3.(d)


onde [ ] [ ][ ]RSblR T é a matriz de rigidez para uma barra em coordenadas globais. 7.3.1 Matriz de rigidez para uma mola em coordenadas locais

[ ]

−

−

=

0000010100000101

kSbl

7.3.2 Matriz de rigidez para uma mola em coordenadas globais [ ] [ ][ ]RSblRSbg T=][

[ ]

[ ]

2 2

2

cos sen 0 0 1 0 1 0 cos sen 0 0sen cos 0 0 0 0 0 0 sen cos 0 0

0 0 cos sen 1 0 1 0 0 0 cos sen0 0 sen cos 0 0 0 0 0 0 sen cos

cos cos sen cos cos sencos sen sen cos sen

Sbg k

Sbg k

θ θ θ θθ θ θ θ

θ θ θ θθ θ θ θ

θ θ θ θ θ θθ θ θ θ θ

− − − = = − − − −

− −−

=2

2 2

2 2

sencos cos sen cos sen cos

cos sen sen cos sen sen

θθ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

− − − − −

Figura 7.3.1- Coordenadas Locais

Equação 7.3.1

Figura 7.3.2 – Coordenadas Globais

Equações 7.3.2


7.3.3 Utilização da matriz de rotação Considerando o sistema apresentado na figura 7.2.5 Utilizando-se a matriz para uma mola em coordenadas globais deduzida no item 7.3.2 tem-se:

[ ]

2 2

2 2

2 2

2 2

cos cos sen cos cos sencos sen sen cos sen sen

cos cos sen cos sen coscos sen sen cos sen sen

Sbg k

θ θ θ θ θ θθ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θθ θ θ θ θ θ

− − − − = − − − −

Para a mola , θ = 0º. Portanto

[ ] 11

1 2 3 41 0 1 0 10 0 0 0 21 0 1 0 3

0 0 0 0 4

Sbg k

− = −

Para a mola , θ = 90º. Portanto

[ ] 22

3 4 5 60 0 0 0 30 1 0 1 40 0 0 0 50 1 0 1 6

Sbg k

− = −

Utilizando-se o Princípio da Superposição dos Efeitos, tem-se:

Figura 7.3.3 – Conjunto de Molas Perpendiculares

Equação 7.3.3 (a)

Equação 7.3.3 (b)


[ ]

654321

0000000000

000000000000000000

6 5 4 3 2 1

22

22

11

11

−

−−

−

=

kk

kkkk

kk

S global

7.4- Sentidos e orientação dos ângulos para as barras. Convém observar que para os cossenos diretores serão consideradas positivas as orientações dos ângulos no sentido anti-horário conforme o posicionamento do nó inicial i e do final j para a barra.

caso a sen θ > 0 cos θ > 0

caso b sen θ > 0 cos θ < 0

caso c sen θ < 0 cos θ < 0

caso d sen θ < 0 cos θ > 0

Figura 7.4 – Sentidos e Orientações para as barras

Equação 7.3.3 (c)


7.5- Sistematização para resolução de estruturas Através do exemplo à seguir será mostrada a aplicação da técnica matricial para a resolução de estruturas. Considere-se o sistema de molas para o qual pretende-se determinar os deslocamentos nodais, as reações de apoio e os esforços internos.

Inicialmente serão atribuídas aos sistemas as coordenadas indicadas abaixo.

Em seguida será elaborado um quadro que irá conter dados sobre as molas. Mola K

kgf/cm Nó inicial Nó final θ cx cy cx2 cy2 cxcy

1 20 1 2 0º 1 0 1 0 0 2 10 1 3 135º -0,707 0,707 0,5 0,5 -0,5 3 10 1 4 210º -0,87 -0,5 0,75 0,25 0,44

Utilizando-se a matriz [Sbg] monta-se a seguir, a matriz de rigidez para cada mola em coordenadas globais.

[ ]

4321

00000200200000020020

1

−

−

=Sbg

4 3 2 1

Figura 7.5 (a)- sistema de molas

Figura 7.5 (b) – Sistema de Coordenadas

Tabela 7.5 – Dados do Exemplo

Equação 7.5 (a)


[ ]

6521

555555555555

5555

2

−−−−−−

−−

=Sbg

6 5 2 1

[ ]

8721

5.24.45.24.44.45.74.45.75.24.45.24.44.45.74.45.7

3

−−−−

−−−−

=Sbg

8 7 2 1

A partir das matrizes de rigidez de cada mola monta-se a matriz de rigidez global obedecendo a numeração das coordenadas globais.

[ ]

1 2 3 4 5 6 7 832,5 0,6 20 0 5 5 7,5 4,40,6 7,5 0 0 5 5 4,4 2,520 0 20 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 05 5 0 0 5 5 0 05 5 0 0 5 5 0 07,5 4,4 0 0 0 0 7,5 4,44,4 2,5 0 0 0 0

globalS

− − − − −− − −−

=− −

− −− −− −

1234567

4,4 2,5 8

A matriz de rigidez [ ]S parcionada, como indicado, será dividida em quatro submatrizes:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

=

1110

0100

SSSS

S

onde [ ]00S é a submatriz correspondente às rigidezes nas direções das coordenadas cujos deslocamentos es-

tão livres. [ ] [ ]0110 SS e são as submatrizes correspondentes às rigidezes nas direções das restrições dos apoios, derivadas

dos valores unitários dos deslocamentos correspondentes aos graus de liberdade. [ ]11S é a submatriz correspondente às rigidezes nas direções das coordenadas cujos deslocamentos são blo-queados. As submatrizes [ ] [ ]1101 SS e conforme mostradas serão multiplicadas por zero (deslocamentos bloqueados)

portanto não precisarão ser montadas.

Equação 7.5 (b)

Equação 7.5 (c)

Equação 7.5 (d)

Equação 7.5 (e)


7.5.1 Equação da rigidez Substituindo os dados na equação da rigidez resulta em:

−−−−−

−

−−

−

=

000000

5,24,44,45,7

5555000205,76,06,05,32

1

1

4

4

3

3

2

2

1

1

vu

RVRHRVRHRVRHFF

Y

X

7.5.2 Cálculo dos deslocamentos Separando a submatriz e o vetor que estão relacionados com os deslocamentos livres tem-se:

1

1

75 32,5 0,6150 0,6 7,5

uv

− = − −

Invertendo-se a matriz de rigidez obtêm-se os deslocamentos da estrutura.

1

1

1

32,5 0,6 750,6 7,5 150

uv

−− = − −

)( 84,19

94,1

1

1 cmvu

−=

Portanto, para a obtenção dos deslocamentos, pode-se escrever a equação: { } [ ]{ }DSF 00=

7.5.3 Cálculo das reações Obtidos os deslocamentos retorna-se à equação da rigidez e obtêm-se as reações incógnitas.

−

−−−−−

−

−

=

84,1994,1

5,24,44,45,7

555500020

4

4

3

3

2

2

RVRHRVRHRVRH

Equação 7.5.1.

Equação 7.5.2

Equação 7.5.3


−

−

=

06,4175,729,1089,108

08,38

4

4

3

3

2

2

RVRHRVRHRVRH

Para a obtenção das reações de apoio, pode-se escrever a equação { } [ ]{ }DSRA 10=

7.5.4 Cálculo dos Esforços Internos Os esforços internos, como são relativos às barras, deverão ser determinados obedecendo as coorde-nadas locais. { } [ ]{ }DbSblEi =

Como os deslocamentos estão nas direções das coordenadas globais, estes serão rotacionados devendo estar na direção dos eixos das barras. Portanto a equação será escrita como: { } [ ][ ]{ }DbRSblEi =

1

2

3

4

0 0 0 00 0 0 0 0 0

0 0 0 00 0 0 0 0 0

i

i

j

j

uE k k cx cyvE cy cxuE k k cx cyvE cy cx

− − = − −

Para a mola tem-se:

)(

08,38

08,38

00

84,1994,1

1000010000100001

00000200200000020020

4

3

2

1

kgf

EEEE

−=

−

−

−

=

Para a mola tem-se:

1

2

3

4

10 0 10 0 0,707 0,707 0 0 1,94 153,980 0 0 0 0,707 0,707 0 0 19,84 0

( )10 0 10 0 0 0 0,707 0,707 0 153,980 0 0 0 0 0 0,707 0,707 0 0

EE

kgfEE

− − − − − − = = − − − −

Para a mola tem-se:

)(

032,82

032,82

00

84,1994,1

87,05,0005,087,000

0087,05,0005,087,0

00000100100000010010

4

3

2

1

kgf

EEEE

−=

−

−−−

−−−

−

−

=

Equação 7.5.4


Os resultados acima obedecem o sistema de coordenadas locais adotado. Atribuindo-se aos resultados os seus reais sentidos pode-se dizer que:

a mola está sendo comprimida. a mola está sendo tracionada a mola esta sendo comprimida

análise matricial

Documents