conceitos bÁsicos de anÁlise matricial -2013

UNIVERSIDADE VALE DO RIO DOCEESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS

Profa. Adriana de Oliveira Leite CoelhoAno 2013

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CONCEITOS BÁSICOS DE ANÁLISE MATRICIAL

Nós – sempre considerados rígidos, ou seja, o ângulo permanece o mesmo

após o carregamento. Pontos de intersecção dos membros, assim como pontos de

apoio e extremidades livres.

Ação – pode ser força (forças concentradas, cargas distribuídas) ou binário.

Apoios – Móvel (reações verticais), Fixo (reações verticais e horizontais) e

Engastamento (reações verticais e horizontais, e momentos).

ANÁLISE DOS TIPOS DE ESTRUTURAS

Isostáticas, Hiperestáticas e Hipostáticas.

Imaginemos um vergalhão de ferro tão simplesmente apoiado em dois apoios e

sujeito a uma carga distribuída P adicional ao seu próprio peso.


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O peso próprio e a carga distribuída dão ações verticais que são reagidas nos

apoios A e B. Essa estrutura tem vínculos estritamente necessários para os esforços

atuantes. Se o apoio B quebrasse (perda de um vínculo) a estrutura ruiria.

Nesse caso a estrutura é isostática (os vínculos são necessários e

suficientes). Se o apoio A cedesse (desaparecesse), ela seria hipostática (o vínculo B

que sobraria seria necessário, mas não suficiente).

Se nessa estrutura aparecesse uma força F inclinada, o vergalhão poderia sair

do lugar, pois os vínculos A e B não impedem a translação e nesse caso essa

estrutura seria hipostática para esse esforço (andaria para a esquerda).

À estrutura 2 a seguir,

A Figura 1 tem mais vínculos que o necessário para sua estabilidade. Essa

estrutura é chamada de hiperestática, pois se tirássemos alguns vínculos como a

Figura 2, vê-se que, ela continuaria estável.

Uma viga apoiada em mais de dois apoios é hiperestática, pois poderíamos

(em princípio) tirar um ou mais apoios e os outros poderiam continuar a resistir.


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Na construção civil as estruturas hipostáticas não são calculadas e sim

evitadas. Uma estrutura hipostática em princípio é uma estrutura que vai andar, girar e

cair!

As estruturas isostáticas são calculáveis (conhecimento das suas tensões)

com as condições já conhecidas:

As estruturas hiperestáticas, para serem resolvidas (conhecimentos dos

esforços internos e externos) exigem a aplicação da teoria de deformações.

CARACTERÍSTICAS DE CADA TIPO DE ESTRUTURA APORTICADA

Viga Contínua membro reto que tem um ou mais pontos de apoio.

Admite:

Deslocamento vertical e rotação;

Deslocamento horizontal = 0;

Dois deslocamentos por nó: y, z.

Treliça Plana sistema de membros ligados entre si por rótulas.

Momentos fletores pequenos;

Carregada apenas nos nós;

Ângulos entre barras podem mudar;

Dois deslocamentos por nó: x, y.


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Translação em y

Translação em x(rótula momento fletor = zero)


Pórtico Plano Tem suas barras (retas ou curvas) situadas em um mesmo

plano (usualmente vertical), sob ações externas que o solicitam neste plano.

Grelha

DEFORMAÇÕES E DESLOCAMENTOS

Deformações pequenas mudanças na forma. Ocorre quando uma estrutura

está solicitada por forças.

Como conseqüência: pontos dentro da estrutura deslocam-se para novas

posições.

Em geral, todos os pontos da estrutura, exceto os pontos de apoio imóveis,

sofrerão deslocamentos.

Cálculo dos Deslocamentos uma parte essencial da análise estrutural.

Forças na Estrutura Deformações Deslocamentos

Tipos de Deformações


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As forças e deslocamentos estão no

mesmo plano da estrutura.

Todos os binários têm seus vetores-

momento normais ao plano.

Esforços internos resultantes:

momento fletor, força cortante, força

axial.

Três deslocamentos por nó: x, y, .

Deslocamento pequeno.

Todas as forças são normais ao

plano da estrutura.

E todos os binários têm seus vetores

no plano.

Podem ocorrer: z, x, y.

x = 0, y = 0, z = 0.


Deformação Axial

Força normal – a força atua no centróide da área da seção transversal, verifica-

se que o elemento se alonga uniformemente, as deformações significativas do

elemento sendo deformações normais à direção x.

Deformação Cisalhante

Força Cortante – Uma seção transversal da barra desloca-se lateralmente em

relação à outra.

Deformação de Flexão

Flexão – Binário Fletor

Um binário fletor causa uma rotação relativa das duas seções transversais

deixando de permanecer paralelas entre si.


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As deformações resultantes no elemento são na direção longitudinal da barra e

consistem num encurtamento no lado da compressão e um alongamento no lado da

tração.

Deformação de Torção

Torção – O binário torsor causa uma rotação relativa das duas seções

transversais em torno do eixo x. O ponto A desloca-se para A’.

Obs.:

Veja animação no site:

www.lmc.ep.usp.br/peolpe/hlinde/Pef-2200/animações-conceitos.htm

A avaliação das deformações depende da forma da seção transversal da barra

e das propriedades mecânicas do material. Trataremos somente de materiais

que são elásticos, isto é, materiais que seguem a Lei de Hooke.

Relação Linear – Dobrou P dobrou ; dividiu P dividiu .

= constante (Relação Linear) = E = Módulo de Elasticidade


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Essa característica é conhecida como Lei de Hooke.

Deslocamentos causados por efeitos acumulados das deformações de

todos os elementos.

Em qualquer estrutura particular sob investigação nem todos os tipos de

deformações serão significativos no cálculo dos deslocamentos.

Viga – Flexão e Cisalhamento (comum ignorar as deformações axiais)

Treliça – Normal

Pórtico Plano – Normal, Flexão e Cisalhamento

Grelha – Flexão, Cisalhamento e Torção.

AÇÕES E DESLOCAMENTOS

Ações – força concentrada, força distribuída e binário.

Convenção:

AÇÕES E DESLOCAMENTOS CORRESPONDENTES

Condições: Mesmo ponto; mesma natureza; mesma direção.

Deslocamento correspondente a uma força concentrada – translação

Deslocamento correspondente a um binário – rotação.

Deve-se salientar, contudo, que o deslocamento correspondente à carga P1

não é causado unicamente pela força P1, nem o deslocamento correspondente a M1

é causado somente por M1. Pelo contrário, neste exemplo tanto como são

deslocamentos devidos à ação simultânea de P1 e M1.


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SUPERPOSIÇÃO DOS EFEITOS

O princípio da superposição será válido sempre que existam relações lineares

entre as ações e os deslocamentos da estrutura. Isto ocorre sempre que satisfaçam os

três requisitos seguintes:

1. o material da estrutura segue a Lei de Hooke – significa que o material

é perfeitamente elástico e tem uma relação linear entre esforço e

deformação.

2. os deslocamentos da estrutura são pequenos – significa que todos os

cálculos envolvendo as dimensões totais da estrutura podem ser

baseados nas dimensões originais dela.

3. não existe interação entre efeitos axial e fletor nos membros – implica

que o efeito das forças axiais na flexão das barras é desprezível.

Usando a superposição admite-se que certas ações e deslocamentos estão

impostos na estrutura. Tais ações e deslocamentos provocam aparecimento, na

estrutura, de outras ações e deslocamentos. Portanto, as primeiras ações e

deslocamentos têm natureza de causas, enquanto que aqueles últimos são efeitos.

O princípio estabelece que os efeitos produzidos por várias causas podem ser

obtidos combinando os efeitos devidos às causas individuais.


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Ações Externas

Ações Internas (quando há um corte na seção)


Para as vigas representadas

não é difícil determinar os diferentes

deslocamentos. Ver tabela A3

(Apêndice A).

Então, os deslocamentos da viga submetida à ação simultânea de todas as

cargas são determinadas pelas somas:

D1 = D11 + D12 + D13

D2 = D21 + D22 + D23

D3 = D31 + D32 + D33

EQUILÍBRIO

Vetor-força resultante igual à zero, então suas componentes também devem

ser iguais à zero. De modo idêntico, se o vetor-momento resultante é igual à zero, as

equações de equilíbrio estático de momentos são iguais à zero.


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A = AçãoD = DeslocamentoDij i = correspondente a (identifica o deslocamento)j = devido à (causa do deslocamento)

D11 correspondente a A1 causado por A1

D21 correspondente a A2

causado por A1

Estas somas são expressões do Princípio da Superposição dos Efeitos.

= 0

= 0


COMPATIBILIDADE

Condições de compatibilidade – refere-se à continuidade dos deslocamentos

ao longo da estrutura.

Exemplos:

1. As condições de compatibilidade devem ser satisfeitas em todos os

pontos de apoio, onde é necessário que os deslocamentos da estrutura

sejam coerentes com as condições de apoio. Num engaste não pode

haver rotação do eixo do membro.

2. Condições de compatibilidade nos nós da estrutura: em uma ligação

rígida entre dois membros, os deslocamentos (translações e rotações)

devem ser os mesmos nos dois membros.

INDETERMINAÇÃO ESTÁTICA E CINEMÁTICA

Existem dois tipos de indeterminação que devem ser considerados na análise

estrutural, dependendo do interesse recair sobre as ações ou sobre os deslocamentos.

Quando as ações são incógnitas na análise, como no método da flexibilidade,

deve ser considerada a indeterminação estática (GH).

GH = Grau de Hiperestaticidade.

As equações de equilíbrio, quando aplicadas a toda a estrutura e às suas

diferentes partes, podem ser utilizadas para o cálculo de reações e esforços internos

resultantes. Se estas equações são suficientes para encontrar todas as ações, tanto

exteriores como interiores, então a estrutura é estaticamente determinada. Se há

mais ações desconhecidas que equações, a estrutura é estaticamente

indeterminada.

Exemplos:


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Estaticamente Determinada – todas as reações e esforços resultantes podem ser encontrados utilizando apenas as equações de equilíbrio.

Estaticamente Determinada


Indeterminação Estática – GH

Esta expressão dará o grau de indeterminação estática que pode ser positivo,

zero, ou negativo.

Positivo – estrutura estaticamente indeterminada;

Zero - estrutura estaticamente determinada;

Negativo – implica uma estrutura móvel.

Exemplo de estrutura móvel:

(a) Situação de Instabilidade – moverá para a esquerda


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GH = ( + ações internas) – (nº. de equações de

equilíbrio nodais)

Estaticamente Indeterminada


(b) não pode suportar uma carga tal como a força P, que não atua passando

pelo ponto O. Ponto O = Centro Instantâneo de Rotação.

Tipo de

Estrutura

Ações desconhecidas

por membro

Equações de

Equilíbrio por nó

Deslocamentos

por nó

Viga 2 2 2

Treliça Plana 1 2 2

Treliça Espacial 1 3 3

Pórtico Plano 3 3 3

Grelha 3 3 3

Pórtico Espacial 6 6 6

No método de análise da rigidez, os deslocamentos nodais da estrutura são

as quantidades desconhecidas. Por isso, o segundo tipo de indeterminação é

conhecido como indeterminação cinemática (GL).

GL – Grau de Liberdade

Indeterminação Cinemática - GL

Exemplos:

1. Fig. 1.8 (a) Weaver e Gere


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GL = nº de deslocamentos nodais – nº de restrições

GH = 4 – 3 = 1

GH = (3+2) – (2x2) = 1 (Omitido força e deformação axial)

GL = (2x2) – 3 = 1 (Desprezando deformações axiais)

Deslocamento desconhecido = 1 = Ө (Rotação)


2. Fig. 1.8 (b) Weaver e Gere

3.

4. Fig. 1.8 (c) Weaver e Gere

5. Fig. 1.9 Weaver e Gere


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GH = 6 – 3 = 3

GH = (4+2) – (2X2) = 2 (Omitido força e deformação axial)

GL = (2x2) – 4 = 0 (Desprezando deformações axiais)

GH = (4+2) – (2x2) = 2

(Desprezando deformações axiais)

GL = (2x2) – 4 = 0

GH = (3+1x11) – (2x6) = 2

GL = (2x6) – 3 = 9


EQUAÇÕES DE AÇÃO E DESLOCAMENTO

Um modo conveniente de exprimir a relação entre as ações atuantes numa

estrutura e os seus deslocamentos é por meio de equações de ação e deslocamentos.

A relação entre A e D pode ser expressa por uma equação de deslocamento:


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A = Ação

D = Deslocamento

GH = (4+1x10) – (2x7) = 0

GL = (2x7) – 4 = 10

F = Flexibilidade da mola, sendo

definida como o deslocamento

produzido por um valor unitário da

ação.


A relação entre a ação e o deslocamento para a mola da figura pode

também se expressa por uma equação de ação.

Pode-se ver das equações, que a flexibilidade e a rigidez da mola são

inversa uma da outra, como segue:


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Esta relação inversa

somente é válida quando

a estrutura está

submetida a uma única

carga.

S = Rigidez da mola, a qual é definida como a

ação necessária para produzir um

deslocamento unitário.


Consideremos agora um exemplo, mais geral no qual a estrutura está

submetida a três cargas.

Os coeficientes F são chamados coeficientes

de influência de flexibilidade, ou mais

simplesmente coeficientes de flexibilidade.

Cada termo do segundo membro

das equações anteriores é um deslocamento que está escrito na forma de um

coeficiente multiplicado pela ação que produz o deslocamento. Cada coeficiente de

flexibilidade F representa um deslocamento causado por um valor unitário de uma

carga.

F11 = representa o deslocamento correspondente à ação A1 e causado por

um calor unitário A1;

F12 = representa o deslocamento correspondente à ação A1 e causado por

um calor unitário A2; e assim sucessivamente.

1º índice - identifica o deslocamento denominando a ação a que

corresponde.

2º índice – indica a causa do deslocamento.

Também é possível escrever equações de ação que exprimam as ações em

função dos deslocamentos. Tais equações podem ser obtidas, por exemplo,

resolvendo simultaneamente as equações de deslocamento. As equações de ações

resultantes têm a forma:


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Onde S é um coeficiente de rigidez.

1º TRABALHO PRÁTICO

Em sala

1. Explicar com suas palavras, o que são esforços solicitantes em uma seção transversal de uma barra. Eles são esforços concentrados ou distribuídos?Qual o efeito físico de cada uma de suas componentes: N, V, M e T?

2. Para o pórtico plano mostrado na figura 1.1d do livro texto, pede-se: o grau de indeterminação estática, o grau de indeterminação cinemática e o grau de indeterminação cinemática negligenciando as forças axiais.


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3. Para a grelha mostrada na figura 1.1e do livro texto, encontrar: o grau de indeterminação estática e o grau de indeterminação cinemática.

4. Freqüentemente é necessário, na análise estrutural, tratar com ações e deslocamentos que se correspondem uns aos outros. Quando ações e deslocamentos são ditos correspondentes?

5. Defina as ações correspondentes aos deslocamentos c e c no pórtico plano mostrado na figura.

7. Quando uma estrutura é dita linearmente elástica?

8. A viga da figura está submetida às

cargas A1 e A2 na extremidade livre.

Representar por meio de esquemas o

significado físico dos coeficientes de

flexibilidade e rigidez correspondentes a estas ações.

9. A treliça plana mostrada na figura está submetida a duas cargas A1 e A2.

Representar por meio de esquemas o significado físico dos coeficientes de

flexibilidade e rigidez correspondentes a estas ações.


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