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UNIVERSIDADE VALE DO RIO DOCEESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Profa. Adriana de Oliveira Leite CoelhoAno 2013
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UNIVERSIDADE VALE DO RIO DOCEESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
CONCEITOS BÁSICOS DE ANÁLISE MATRICIAL
Nós – sempre considerados rígidos, ou seja, o ângulo permanece o mesmo
após o carregamento. Pontos de intersecção dos membros, assim como pontos de
apoio e extremidades livres.
Ação – pode ser força (forças concentradas, cargas distribuídas) ou binário.
Apoios – Móvel (reações verticais), Fixo (reações verticais e horizontais) e
Engastamento (reações verticais e horizontais, e momentos).
ANÁLISE DOS TIPOS DE ESTRUTURAS
Isostáticas, Hiperestáticas e Hipostáticas.
Imaginemos um vergalhão de ferro tão simplesmente apoiado em dois apoios e
sujeito a uma carga distribuída P adicional ao seu próprio peso.
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O peso próprio e a carga distribuída dão ações verticais que são reagidas nos
apoios A e B. Essa estrutura tem vínculos estritamente necessários para os esforços
atuantes. Se o apoio B quebrasse (perda de um vínculo) a estrutura ruiria.
Nesse caso a estrutura é isostática (os vínculos são necessários e
suficientes). Se o apoio A cedesse (desaparecesse), ela seria hipostática (o vínculo B
que sobraria seria necessário, mas não suficiente).
Se nessa estrutura aparecesse uma força F inclinada, o vergalhão poderia sair
do lugar, pois os vínculos A e B não impedem a translação e nesse caso essa
estrutura seria hipostática para esse esforço (andaria para a esquerda).
À estrutura 2 a seguir,
A Figura 1 tem mais vínculos que o necessário para sua estabilidade. Essa
estrutura é chamada de hiperestática, pois se tirássemos alguns vínculos como a
Figura 2, vê-se que, ela continuaria estável.
Uma viga apoiada em mais de dois apoios é hiperestática, pois poderíamos
(em princípio) tirar um ou mais apoios e os outros poderiam continuar a resistir.
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Na construção civil as estruturas hipostáticas não são calculadas e sim
evitadas. Uma estrutura hipostática em princípio é uma estrutura que vai andar, girar e
cair!
As estruturas isostáticas são calculáveis (conhecimento das suas tensões)
com as condições já conhecidas:
As estruturas hiperestáticas, para serem resolvidas (conhecimentos dos
esforços internos e externos) exigem a aplicação da teoria de deformações.
CARACTERÍSTICAS DE CADA TIPO DE ESTRUTURA APORTICADA
Viga Contínua membro reto que tem um ou mais pontos de apoio.
Admite:
Deslocamento vertical e rotação;
Deslocamento horizontal = 0;
Dois deslocamentos por nó: y, z.
Treliça Plana sistema de membros ligados entre si por rótulas.
Momentos fletores pequenos;
Carregada apenas nos nós;
Ângulos entre barras podem mudar;
Dois deslocamentos por nó: x, y.
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Translação em y
Translação em x(rótula momento fletor = zero)
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Pórtico Plano Tem suas barras (retas ou curvas) situadas em um mesmo
plano (usualmente vertical), sob ações externas que o solicitam neste plano.
Grelha
DEFORMAÇÕES E DESLOCAMENTOS
Deformações pequenas mudanças na forma. Ocorre quando uma estrutura
está solicitada por forças.
Como conseqüência: pontos dentro da estrutura deslocam-se para novas
posições.
Em geral, todos os pontos da estrutura, exceto os pontos de apoio imóveis,
sofrerão deslocamentos.
Cálculo dos Deslocamentos uma parte essencial da análise estrutural.
Forças na Estrutura Deformações Deslocamentos
Tipos de Deformações
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As forças e deslocamentos estão no
mesmo plano da estrutura.
Todos os binários têm seus vetores-
momento normais ao plano.
Esforços internos resultantes:
momento fletor, força cortante, força
axial.
Três deslocamentos por nó: x, y, .
Deslocamento pequeno.
Todas as forças são normais ao
plano da estrutura.
E todos os binários têm seus vetores
no plano.
Podem ocorrer: z, x, y.
x = 0, y = 0, z = 0.
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Deformação Axial
Força normal – a força atua no centróide da área da seção transversal, verifica-
se que o elemento se alonga uniformemente, as deformações significativas do
elemento sendo deformações normais à direção x.
Deformação Cisalhante
Força Cortante – Uma seção transversal da barra desloca-se lateralmente em
relação à outra.
Deformação de Flexão
Flexão – Binário Fletor
Um binário fletor causa uma rotação relativa das duas seções transversais
deixando de permanecer paralelas entre si.
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As deformações resultantes no elemento são na direção longitudinal da barra e
consistem num encurtamento no lado da compressão e um alongamento no lado da
tração.
Deformação de Torção
Torção – O binário torsor causa uma rotação relativa das duas seções
transversais em torno do eixo x. O ponto A desloca-se para A’.
Obs.:
Veja animação no site:
www.lmc.ep.usp.br/peolpe/hlinde/Pef-2200/animações-conceitos.htm
A avaliação das deformações depende da forma da seção transversal da barra
e das propriedades mecânicas do material. Trataremos somente de materiais
que são elásticos, isto é, materiais que seguem a Lei de Hooke.
Relação Linear – Dobrou P dobrou ; dividiu P dividiu .
= constante (Relação Linear) = E = Módulo de Elasticidade
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Essa característica é conhecida como Lei de Hooke.
Deslocamentos causados por efeitos acumulados das deformações de
todos os elementos.
Em qualquer estrutura particular sob investigação nem todos os tipos de
deformações serão significativos no cálculo dos deslocamentos.
Viga – Flexão e Cisalhamento (comum ignorar as deformações axiais)
Treliça – Normal
Pórtico Plano – Normal, Flexão e Cisalhamento
Grelha – Flexão, Cisalhamento e Torção.
AÇÕES E DESLOCAMENTOS
Ações – força concentrada, força distribuída e binário.
Convenção:
AÇÕES E DESLOCAMENTOS CORRESPONDENTES
Condições: Mesmo ponto; mesma natureza; mesma direção.
Deslocamento correspondente a uma força concentrada – translação
Deslocamento correspondente a um binário – rotação.
Deve-se salientar, contudo, que o deslocamento correspondente à carga P1
não é causado unicamente pela força P1, nem o deslocamento correspondente a M1
é causado somente por M1. Pelo contrário, neste exemplo tanto como são
deslocamentos devidos à ação simultânea de P1 e M1.
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SUPERPOSIÇÃO DOS EFEITOS
O princípio da superposição será válido sempre que existam relações lineares
entre as ações e os deslocamentos da estrutura. Isto ocorre sempre que satisfaçam os
três requisitos seguintes:
1. o material da estrutura segue a Lei de Hooke – significa que o material
é perfeitamente elástico e tem uma relação linear entre esforço e
deformação.
2. os deslocamentos da estrutura são pequenos – significa que todos os
cálculos envolvendo as dimensões totais da estrutura podem ser
baseados nas dimensões originais dela.
3. não existe interação entre efeitos axial e fletor nos membros – implica
que o efeito das forças axiais na flexão das barras é desprezível.
Usando a superposição admite-se que certas ações e deslocamentos estão
impostos na estrutura. Tais ações e deslocamentos provocam aparecimento, na
estrutura, de outras ações e deslocamentos. Portanto, as primeiras ações e
deslocamentos têm natureza de causas, enquanto que aqueles últimos são efeitos.
O princípio estabelece que os efeitos produzidos por várias causas podem ser
obtidos combinando os efeitos devidos às causas individuais.
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Ações Externas
Ações Internas (quando há um corte na seção)
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Para as vigas representadas
não é difícil determinar os diferentes
deslocamentos. Ver tabela A3
(Apêndice A).
Então, os deslocamentos da viga submetida à ação simultânea de todas as
cargas são determinadas pelas somas:
D1 = D11 + D12 + D13
D2 = D21 + D22 + D23
D3 = D31 + D32 + D33
EQUILÍBRIO
Vetor-força resultante igual à zero, então suas componentes também devem
ser iguais à zero. De modo idêntico, se o vetor-momento resultante é igual à zero, as
equações de equilíbrio estático de momentos são iguais à zero.
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A = AçãoD = DeslocamentoDij i = correspondente a (identifica o deslocamento)j = devido à (causa do deslocamento)
D11 correspondente a A1 causado por A1
D21 correspondente a A2
causado por A1
Estas somas são expressões do Princípio da Superposição dos Efeitos.
= 0
= 0
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COMPATIBILIDADE
Condições de compatibilidade – refere-se à continuidade dos deslocamentos
ao longo da estrutura.
Exemplos:
1. As condições de compatibilidade devem ser satisfeitas em todos os
pontos de apoio, onde é necessário que os deslocamentos da estrutura
sejam coerentes com as condições de apoio. Num engaste não pode
haver rotação do eixo do membro.
2. Condições de compatibilidade nos nós da estrutura: em uma ligação
rígida entre dois membros, os deslocamentos (translações e rotações)
devem ser os mesmos nos dois membros.
INDETERMINAÇÃO ESTÁTICA E CINEMÁTICA
Existem dois tipos de indeterminação que devem ser considerados na análise
estrutural, dependendo do interesse recair sobre as ações ou sobre os deslocamentos.
Quando as ações são incógnitas na análise, como no método da flexibilidade,
deve ser considerada a indeterminação estática (GH).
GH = Grau de Hiperestaticidade.
As equações de equilíbrio, quando aplicadas a toda a estrutura e às suas
diferentes partes, podem ser utilizadas para o cálculo de reações e esforços internos
resultantes. Se estas equações são suficientes para encontrar todas as ações, tanto
exteriores como interiores, então a estrutura é estaticamente determinada. Se há
mais ações desconhecidas que equações, a estrutura é estaticamente
indeterminada.
Exemplos:
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Estaticamente Determinada – todas as reações e esforços resultantes podem ser encontrados utilizando apenas as equações de equilíbrio.
Estaticamente Determinada
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Indeterminação Estática – GH
Esta expressão dará o grau de indeterminação estática que pode ser positivo,
zero, ou negativo.
Positivo – estrutura estaticamente indeterminada;
Zero - estrutura estaticamente determinada;
Negativo – implica uma estrutura móvel.
Exemplo de estrutura móvel:
(a) Situação de Instabilidade – moverá para a esquerda
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GH = ( + ações internas) – (nº. de equações de
equilíbrio nodais)
Estaticamente Indeterminada
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(b) não pode suportar uma carga tal como a força P, que não atua passando
pelo ponto O. Ponto O = Centro Instantâneo de Rotação.
Tipo de
Estrutura
Ações desconhecidas
por membro
Equações de
Equilíbrio por nó
Deslocamentos
por nó
Viga 2 2 2
Treliça Plana 1 2 2
Treliça Espacial 1 3 3
Pórtico Plano 3 3 3
Grelha 3 3 3
Pórtico Espacial 6 6 6
No método de análise da rigidez, os deslocamentos nodais da estrutura são
as quantidades desconhecidas. Por isso, o segundo tipo de indeterminação é
conhecido como indeterminação cinemática (GL).
GL – Grau de Liberdade
Indeterminação Cinemática - GL
Exemplos:
1. Fig. 1.8 (a) Weaver e Gere
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GL = nº de deslocamentos nodais – nº de restrições
GH = 4 – 3 = 1
GH = (3+2) – (2x2) = 1 (Omitido força e deformação axial)
GL = (2x2) – 3 = 1 (Desprezando deformações axiais)
Deslocamento desconhecido = 1 = Ө (Rotação)
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2. Fig. 1.8 (b) Weaver e Gere
3.
4. Fig. 1.8 (c) Weaver e Gere
5. Fig. 1.9 Weaver e Gere
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GH = 6 – 3 = 3
GH = (4+2) – (2X2) = 2 (Omitido força e deformação axial)
GL = (2x2) – 4 = 0 (Desprezando deformações axiais)
GH = (4+2) – (2x2) = 2
(Desprezando deformações axiais)
GL = (2x2) – 4 = 0
GH = (3+1x11) – (2x6) = 2
GL = (2x6) – 3 = 9
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EQUAÇÕES DE AÇÃO E DESLOCAMENTO
Um modo conveniente de exprimir a relação entre as ações atuantes numa
estrutura e os seus deslocamentos é por meio de equações de ação e deslocamentos.
A relação entre A e D pode ser expressa por uma equação de deslocamento:
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A = Ação
D = Deslocamento
GH = (4+1x10) – (2x7) = 0
GL = (2x7) – 4 = 10
F = Flexibilidade da mola, sendo
definida como o deslocamento
produzido por um valor unitário da
ação.
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A relação entre a ação e o deslocamento para a mola da figura pode
também se expressa por uma equação de ação.
Pode-se ver das equações, que a flexibilidade e a rigidez da mola são
inversa uma da outra, como segue:
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Esta relação inversa
somente é válida quando
a estrutura está
submetida a uma única
carga.
S = Rigidez da mola, a qual é definida como a
ação necessária para produzir um
deslocamento unitário.
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Consideremos agora um exemplo, mais geral no qual a estrutura está
submetida a três cargas.
Os coeficientes F são chamados coeficientes
de influência de flexibilidade, ou mais
simplesmente coeficientes de flexibilidade.
Cada termo do segundo membro
das equações anteriores é um deslocamento que está escrito na forma de um
coeficiente multiplicado pela ação que produz o deslocamento. Cada coeficiente de
flexibilidade F representa um deslocamento causado por um valor unitário de uma
carga.
F11 = representa o deslocamento correspondente à ação A1 e causado por
um calor unitário A1;
F12 = representa o deslocamento correspondente à ação A1 e causado por
um calor unitário A2; e assim sucessivamente.
1º índice - identifica o deslocamento denominando a ação a que
corresponde.
2º índice – indica a causa do deslocamento.
Também é possível escrever equações de ação que exprimam as ações em
função dos deslocamentos. Tais equações podem ser obtidas, por exemplo,
resolvendo simultaneamente as equações de deslocamento. As equações de ações
resultantes têm a forma:
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Onde S é um coeficiente de rigidez.
1º TRABALHO PRÁTICO
Em sala
1. Explicar com suas palavras, o que são esforços solicitantes em uma seção transversal de uma barra. Eles são esforços concentrados ou distribuídos?Qual o efeito físico de cada uma de suas componentes: N, V, M e T?
2. Para o pórtico plano mostrado na figura 1.1d do livro texto, pede-se: o grau de indeterminação estática, o grau de indeterminação cinemática e o grau de indeterminação cinemática negligenciando as forças axiais.
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3. Para a grelha mostrada na figura 1.1e do livro texto, encontrar: o grau de indeterminação estática e o grau de indeterminação cinemática.
4. Freqüentemente é necessário, na análise estrutural, tratar com ações e deslocamentos que se correspondem uns aos outros. Quando ações e deslocamentos são ditos correspondentes?
5. Defina as ações correspondentes aos deslocamentos c e c no pórtico plano mostrado na figura.
7. Quando uma estrutura é dita linearmente elástica?
8. A viga da figura está submetida às
cargas A1 e A2 na extremidade livre.
Representar por meio de esquemas o
significado físico dos coeficientes de
flexibilidade e rigidez correspondentes a estas ações.
9. A treliça plana mostrada na figura está submetida a duas cargas A1 e A2.
Representar por meio de esquemas o significado físico dos coeficientes de
flexibilidade e rigidez correspondentes a estas ações.
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