Introdução aos Sistemas de Informação Geográfica

Alexandre GonçalvesDECivil - IST

alexandre.goncalves@tecnico.ulisboa.pt

Aula 6Modelo matricial

Modelo matricial

1. Resolução2. Tipos de valores e dados3. Compatibilização4. Álgebra de mapas: funções locais, focais,

zonais e globais5. Interpolação6. Conversão vetorial�matricial7. Vetorial versus matricial

Modelo matricial

Divide a área de estudo numa grelha regular de células numa sequência específica formando uma tesselação ou pavimentação

– cada célula tem um valor numérico associado– todo o local no interior da área de estudo é

preenchido com uma célula

Modelo matricial

As células não têm de ser quadradas.Quais os polígonos regulares que formam

tesselações (pavimentações)?

com pentágonos não dá

Resolução espacial

5

Tipos de valores e dados

• Valores– Inteiros (pode ser uma grandeza

medida ou codificar algo)– Reais

• Dados– Funções contínuas (ex. temperatura,

altitude)– Dados categóricos (ex. uso do solo)

• Cada célula só tem um valor– muitas vezes inadequado: uma fronteira pode passar a meio de uma

célula• tem de haver alguma regra de decisão de classificação (ver

conversão vetorial�matricial, no fim)– onde não há dados, há o valor Sem valor / No Data / Null

No Data / NULL

6 (valor de um dos atributos

desta layer vetorial)

6aqui não há

nada

vetorial matricial

6

Estrutura de uma matriz

7

Zonas são grupos de células com o mesmo valor

– Cada zona está associada a uma linha da tabela de atributos da matriz

Regiões são zonas contíguas

– O número de regiões varia consoante a definição de contiguidade de células

4

0 4 4 11

0 4 4 11

0 0 4 11

4

4

0

0

4

4

Null 11

4 11 11

11

Estrutura: Zonas e Regiões

Nesta matriz há ___ zonas e ___ regiões

8

Quando se georreferencia uma imagem ou se transformam coordenadas é necessário “mover” e “alterar” um CDG matricial

• O valor da célula na imagem/grelha corrigida é o valor da célula mais próximo na imagem/grelha original, independentemente do desvio existente.

• Vantagens– Computacionalmente simples

– Não altera os valores originais

– Aplicável a escalas nominais

• Desvantagens– Objetos sofrem desvio de até meia célula

– Estruturas lineares ficam com aspeto zigzag

Compatibilização pelo método vizinho mais próximo

Imagem/grelha corrigida

9

Compatibilização pelo método da interpolação bilinear

• O valor da célula na matriz corrigida é uma média ponderada do valor das 4 células mais próximas na matriz original.

• Vantagens– Adequado a funções contínuas…

• Desvantagens– Pode suavizar demasiado os valores…– Altera os valores das células para

valores que não existiam na matriz original, pelo que não serve para dados nominais

Imagem/grelha original

Imagem/grelha corrigida

10

Álgebra de mapas (análise espacial matricial)• Funções locais

Usam o valor da célula na mesma posição na matriz(es) de entrada

• Funções focaisUsam os valores das células num foco de forma fixa

• Funções zonaisUsam os valores das células definidas segundo zonas

• Funções globaisTodas as restantes funções de álgebra de mapas

Funções locais

Populacao2010 Populacao2000 VarPop

_ =

Designam-se por funções locais as funções obtidas por combinação dos valores de uma ou mais matrizes com a mesma posição na matriz.

169 3 99 35 87 2 94 24 94 1 5 11

Null 62 46 19 Null 32 39 13 Null 30 7 6

Null 74 156 38 Null 74 89 35 Null 0 75 3

52 100 34 123 48 69 22 100 4 31 12 23

12

Funções locais

VarPop=((Pop2010–Pop2000)/(Pop2000))*100

169 3 99 35 87 2 94 24

Null 62 46 19 Null 32 39 13

Null 74 156 38 Null 74 89 35

52 100 34 123 48 69 22 100

0 0 0 0 94 50 5 46

Null 0 0 0 Null 94 18 46

Null 0 0 0 Null 0 75 9

0 0 0 0 8 45 55 23

Pop2010 Pop2000

resultado se se usar a

divisão inteira(onde 2/3 = 0)

resultado se se usar a

divisão real

13

Funções locaisOperadores Aritméticos

•Os operadores básicos (+,-,*,/) estão geralmente disponíveis.•Atenção aos problemas de arredondamento e precedência de operadores.

Operadores Booleanos ou Lógicos•Os operadores básicos (AND, OR, NOT) estão geralmente disponíveis.•Output: 0=FALSE, 1=TRUE•Input: 0=FALSE, ~0=TRUE

AND =0 3 5 1 Null 0 2 Null Null 0 1 Null

Null 3 1 8 Null 2 0 7 Null 1 0 1

Null 9 5 4 Null 2 3 0 Null 1 1 0

6 5 7 3 0 3 2 1 0 1 1 1

14

Funções locais: Reclassificação

• é uma das operações mais usadas

3 1 [0,2]=0 ]2,6]=1 ]6,9]=2

2

7

6 5

9

1 5

8

0 1 0

1 1

2 2 2

http://giscommons.org

Funções focais

...

6 4 5 9

3 7 5 6

4 5 6 7

...

...

5

...

6

As funções focais têm em consideração não somente o valor de uma célula isolada mas também os valores das células situadas numa vizinhança próxima, definida em geral por uma janela, designada foco.

exemplo: média focal com janela de 3x3

16

Funções focais

Nas funções focais propriamente ditas há uma janela móvel, i.e., as vizinhanças sobrepõem-se.

Nas funções de bloco as vizinhanças são justapostas.

O valor de output é igual em todas as células de um dado bloco.

17

Funções focaisdefinição de um foco

O foco pode tomar qualquer forma

vizinhança circular

células incluídas no foco

célula a processar

vizinhança anelar (donut)

células incluídas no foco

célula a processar

18

Funções focais

© Paul Bolstad, GIS Fundamentals

Exemplos de aplicação:• Remoção do “ruído” (deteção de

erros/outliers)• Cálculo de declive e orientação• Índice de rugosidade

2

,

)( celji

ijcel XXR −= ∑

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Funções zonais

• As funções zonais são semelhantes às focais, com a diferença de a vizinhança não ter uma forma fixa, podendo a zona ser definida numa outra matriz.

• Calculam para cada célula uma determinada função ou estatística usando o valor dessa célula e de todas as que pertencem à mesma zona.

• Algumas funções zonais (tipo I) nas quais as zonas são definidas por um valor isolado permitem obter estatísticas ou quantificar as características da geometria das zonas de input.

• Outras funções zonais (tipo II) nas quais as zonas são definidas através de uma segunda matriz permitem obter estatísticas ou preencher zonas específicas com valores da matriz de input.

20

Funções zonais

Exemplos do tipo I:Área zonal, Perímetro zonal, Profundidade zonal

Exemplos do tipo I:Área zonal, Perímetro zonal, Profundidade zonal

resposta a perguntas do tipo “Qual a área de cada zona”, “Qual o perímetro de cada zona”, “Qual a distância mínima a que se encontram células de outro valor?”

21

Funções zonais

A

G A A X

G A A X

G G A X

A

1

1

1

3

A

G

G

A

A

Null X

A X X

X

2 2

0 0

5 6

2 1

0 3

2 4

0 1

2

1 12

2

2

0

1

25

25

25

25

10 25

25 25

Null 14

14 14

10 10

25 10

10 10

25

25 25

14

14

14

14

resultado de uma soma zonal �

layer de zonas layer de valores a agrupar

Exemplos do tipo II:Maioria, Máximo, Média, Mediana, Mínimo, Minoria, Intervalo, Desvio-padrão, Variância, Soma, Variedade

Funções globais

Caminhos de menor custo

Cálculos hidrológicos

Cartas de visibilidades

Métricas de paisagem

(veremos + tarde)

• As funções globais são todas as que não são nem locais, nem focais, nem zonais. Exemplos:

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Interpolação

• A interpolação é uma técnica para estimar valores desconhecidos de uma função a partir de valores conhecidos da mesma função

x f(x)

a f(a)

b ?

c f(c)

d f(d)

Interpolação na conversão de formatos

Necessária na conversão de pontos � matrizOpcional na conversão de matriz � pontos

Dois modos de considerar os valores da grandeza representada por uma matriz: com interpolação usando os valores mais próximos (esq.) ou usando só o mais próximo (dir.)

3D

latt

ice –

su

ave

3D

gri

d –

po

r b

loco

s

25

Interpolação na reamostragem

• Vizinho mais próximo– para dados categóricos (discretos)

• Interpolação bilinear• Convolução cúbica/bicúbica

Matriz original

Nova matriz

Reamostragem é a alteração da resolução espacial de uma

matriz, ou o recálculo dos valores das células que é

necessário quando se faz uma transformação de coordenadas

26

Interpolação na reamostragem

• Vizinho mais próximo• Interpolação bilinear

– para funções contínuas

• Convolução cúbica/bicúbica Matriz original

Nova matriz

27

Interpolação na reamostragem

• Vizinho mais próximo• Interpolação bilinear• Convolução cúbica/bicúbica

– para funções contínuas

28

Interpolação na reamostragem

ww

w.c

hri

sm

ad

de

n.c

o.u

k

29

Interpolação na reamostragemOutra maneira, como função focal

30

Interpolação

Interpolação linear (grau 1)

Interpolação polinomial (grau >1)

31

Interpolação

• Splines (regularized / tension)• Utilizam splines baseados nos pontos

de input mais próximos• Criam superfícies suavizadas de

curvatura mínima• Exatas nos pontos de input

• Triangulações• A mais simples interp. linear

K

J

I

AOJKAOIJ

AOIK

O

f(x,y) = z = ax + by + c

z1 = ax1 + by1 + c z2 = ax2 + by2 + c z3 = ax3 + by3 + c

Interpolação

• IDW – Inverse Distance Weighted

Parâmetros:• Potência n• Número máximo de

vizinhos ou raio de procura máximo

33

Interpolação

• IDW– quanto maior a potência, maior a

diferença entre células vizinhas– quanto maior a vizinhança, mais

suave será a superfície– estima exctamente nos pontos

amostrais– à medida que se afasta destes, tende

para a média da região– necessita de boa distribuição das

amostras

Interpolação

• Exemplo de IDWx y f(x,y)=zi Dist. à obs.

8 = diwi=1/ di

(1/di) / (ΣΣΣΣ1/di)

1 61 139 477 4.5 0.2222 0.2088

2 63 140 696 3.6 0.2778 0.2610

3 64 129 227 8.1 0.1235 0.1160

4 68 128 646 9.5 0.1053 0.0989

5 71 140 606 6.7 0.1493 0.1402

6 73 141 791 8.9 0.1124 0.1056

7 75 128 783 13.5 0.0741 0.696

8 65 137 ? 0 0 0

ΣΣΣΣ1/di = 1.0644 1.0

f ^(65,137) = 594.0

pesos normalizadospesos

Interpolação

• Vizinho mais próximo

Interpolação

• Vizinho natural– a área de cada polígono de

Thiessen dá o peso de cada ponto/polígono para calcular o valor

Interpolação

• Raio fixo

Interpolação

• Trend– Polinómio ajustado por mínimos

quadrados (até grau 12 no ArcGIS)– Não exata

Interpolação

• Krigagem– baseada na variabilidade espacial, segundo direções e segundo a

distância entre pontos– considera autocorrelação (relação estatística entre pontos amostrais)– múltiplos métodos, e cada um usa fórmulas para avaliar a relação

entre a posição dos pontos e os respetivos valores da grandeza a interpolar

– fornecem ainda medida (e mapa) da incerteza de estimação

Interpolação

• Quantificação de margens de erro

e = f^(x,y) - f(x,y) erro de estimação

e = 1/n Σ f^(x,y) - f(x,y) erro médiopara os n pontos

MAE =e = 1/n Σ f^(x,y) - f(x,y) erro absolutomédio

MSE = 1/n Σ [ f^(x,y) - f(x,y) ]2 erro quadrático médio

f^(x,y) é o valor estimado; f(x,y) é o valor conhecido

41

Álgebra de mapas: cuidados

© Paul Bolstad, GIS Fundamentals

• As matrizes podem diferir– Na resolução espacial– Na orientação dos eixos– Nas coordenadas dos cantos– No tipo de valores numéricos

que guardam– No valor associado a NoData– ...

42

Conversão vetorial�matricial

• só há um valor por célula• necessidade de regras de atribuição

– maior parte da área (para áreas)– valor no centro– presença na célula (para entidades lineares)– necessidade de preservar algumas entidades “raras”

• escolha da resolução espacial: é boa prática a regra de escolher para resolução espacial nunca mais que ½ do menor comprimento ou ¼ da área do menor elemento vetorial não pontual

43

Conversão vetorial�matricial

44

“Vantagens” do matricial

• Estrutura de dados simples

• Análise fácil• A plataforma

computacional não é exigente

• Dados da deteção remota são em formato matricial

• Modelação simples• Algoritmia geralmente

mais simples

• Inexatidão posicional• Como cada célula tende à

generalização do conteúdo, o resultado tem resolução inferior ao vetorial.

• Não indica precisamente o que existe em dado local.

• Cada célula tem de ser classificada, mesmo que nada lá exista.

• Grande volume de dados

“Desvantagens” do matricial

“Vantagens” do vetorial

• Mais aproximado aos “mapas”

• Resolução mais elevada

• Maior precisão no posicionamento dos objetos

• Menor volume de dados (em geral)

• Interpretação evidente• Topologia• Produtos cartográficos

mais “apelativos”

“Desvantagens” do vetorial

• Manipulação mais “difícil” do que matricial

• Requer processamento geométrico

• Edição mais demorada