apanhado de Álgebra matricial - pucrs

8/17/2019 Apanhado de Álgebra Matricial - PUCRS

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ÁLGEBRA MATRICIAL 1

PUCRS - Faculdade de MatemáticaProfa. Cláudia Batistela

Álgebra Matricial

TTTóóópppiiicccooo PPPááágggiiiaaa ! - RReevviissã ã oo ddee MMaattrriizzeess "

" - SSiisstteemmaass LLiinneeaarreess #$ % UUttiilliizzaaççã ã oo ddoo MMaattllaabb !"

& % VVeettoorreess ee CCoommbbiinnaaççõ õ eess LLiinneeaarreess "'

( % EEssppaaççooss ee BBaasseess ")

# % T T rraannssffoorrmmaaççõ õ eess LLiinneeaarreess $(

) % T T rraannssffoorrmmaaççõ õ eess LLiinneeaarreess PPllaannaass &!

* % !!ttoovvaalloorreess ee !!ttoovveettoorreess (#

+ % ""iiaa##oonnaalliizzaaççã ã oo ddee MMaattrriizzeess #+

!' % ""ee$$oommppoossiiççã ã oo LLUU )(


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Tópico ! % Re,iso de Matries

❶ Chama-se matriz de ordem m por n a um quadro de m x n elementos ( em geral, númerosreais ) dispostos em m linhas e n colunas.

=

mnm2m1

2n2221

1n1211

a...aa

a...aa a...aaA

MMM

Cada elemento da matriz A está relacionado com dois índices: jia . O primeiro índice ( i ) indica

a linha e o segundo ( j ) a coluna a que o elemento pertence. A matriz A pode ser representadaabreviadamente por A = [ai j], i variando de 1 a m e j variando de 1 a n.

E%emplo& ( ) [ ] jiA 3,2 += é a representação para a matriz de ordem 2 x 3 dada por

=

=

543

432

aaa

aaa

A 232221

131211

Costrua as seguites matries/⒜ 33A × , onde j-ia ji =

⒝ 52B × cujos coeficientes são dados por

≥−


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Multiplicação de matrizes:

E%emplo&

=

61

23A

=

051

784B

=

×+××+××+×

×+××+××+×=×

73810

213414

067156811641

027352831243BA

4BS/ Multiplica5o poss6,el pois o 7mero de coluas de 8 9 igual ao 7mero de li:as de B

Sedo/

−=

02

35

21

A e

=

10

2-2

31-

B ,

⒜ calcule a matriz X dada pela equação BX2A =+

⒝ é possível obtermos a matriz 2B ? Justifique sua resposta.

❹ Determinante: número real associado a uma matriz quadrada.

E%emplos& ● Determinante de 2ª ordem

Sendo

=

43

21A então ( ) 3241

43

21Adet ×−×==

● Determinante de 3ª ordem ( Regra de Sarrus )

Sendo

=

987

654

321-

A então

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 26942861753843762951Adet =××−××−−××−××+××+××−=

;etermie o ,alor da icógita 3ue ,alida cada e3ua5o/

⒜ 25

13k

k5

34 −=

⒝ 0

442

4xxxxx=

❺ Uma indústria eletrônica de ponta fabrica determinado equipamento em dois modelos P e Q.Na montagem do aparelho tipo P são utilizados 6 transistores, 9 capacitores e 11 resistores, e nomodelo Q, 4 transistores, 7 capacitores e 10 resistores. Essa mesma indústria recebeu asseguintes encomendas:

⒜ 8 aparelhos do modelo P e 12 do modelo Q para o mês de janeiro;

⒝ 10 aparelhos do modelo P e 6 do modelo Q para o mês de fevereiro.


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Determine a matriz que registra o total de transistores, capacitores e resistores que serãoutilizados para atender às encomendas de cada mês.

✔✔✔✔

=

<

=

jise,4

jise,3

jise,2

c ji Resp&

=

2344

2234

2223

C

❷ Determine u e v tal que

−+

−−=

−

+−

15v6

vu3vv

u44

1u6

52uv

3vu2u1 22

.Resp& 2ve3u −==

❸ Sendo

=

743-

510A e

=

81-6

410B , então

−

=

75

41

30

A t ( matriz A transposta )

⒜ calcule 3B2A − . Resp&

−−

−−

101124

210

⒝ calcule o produto da matriz A pela transposta da matriz B. Resp&

3432

3921

⒞ É possível calcular 2A ? Justifique. Resp& Não.No. colunas ≠ No. linhas


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❹ Seja

−=

012x

x2A

2

. Se tAA = , encontre o valor de x. Resp& 1x =

❺ Determine x, y, z e w tais que

=

10 0143 32wz yx . Resp&

−==

=−=

2w3,z 3y4,x

❻ Calcule os valores de a e b para que o determinante da matriz

b2a3

aa 2 possa ser nulo.

Resp& 3

2bou0a ==

❼ Se 1814p 44p

22p

−=

, então calcule o determinante da matriz

−

−

=

12p 4p3

21p

M .

Resp& 3p = , ( ) 6Mdet −=

❽ Resolva a equação 3

611

x11

2x2

−= Resp& 5xou3x ==


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Tópico " % Sistemas >ieares

Um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas é usualmente representado daforma:

=++++

=++++

=++++

nnnn3n32n21n1

2n2n323222121

1n1n313212111

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

L

LLLLLLLLLLLLLLLLL

L

L

sendo:

jia : coeficientes das incógnitas

ix : incógnitas

ib : termos independentes

n : número de incógnitas

Representação Matri$ial&

{ {

B

n

3

2

1

X

n

3

2

1

A

nnn3n2n1

3n333231

2n232221

1n131211

b

b

b

b

x

x

x

x

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

=

×

LL

4 4 4 4 34 4 4 4 21

L

LLLLL

L

L

L

sendoA : matriz dos coeficientes das incógnitasX : vetor coluna de incógnitasB : vetor coluna de termos independentes

Classifi$ação de sistemas '!anto ao n(mero de sol!ções

( ) ( )( )

( )

soluçãoexistenão

soluçõesinfinitas únicasolução soluçãoexiste

Impossível

adoIndetermin oDeterminadPossível


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E%emplos&

=+

=+

03yx-

52yx

=−

=−

1yx

0yx

=+

=+

12y63x

4y2x

Representação #r)fi$a& Representação #r)fi$a& Representação #r)fi$a&

Sol!ção:

= 13X Sol!ção: existenão:X

Sol!ção:

=

y

2y-4X

ou

−=

2

x4

xX

Classifi$ação&Sist. possível determinado

Classifi$ação&Sist. impossível

Classifi$ação&Sist. possível indeterminado

Teorema de Cramer

É um teorema que apresenta a solução de um sistema de equações lineares em termos dedeterminantes. De acordo com este teorema, dado o sistema de equações BXA = , ascomponentes do velor solução X do sistema são obtida da seguinte forma:

n,,1i,∆

∆xx ii L==

sendo:∆ o determinante da matriz A

i∆x o determinante da matriz obtida substituindo-se a coluna i da matriz A pelo vetor B

*bservação&

Pelo teorema de Cramer podemos concluir que, sendo :● Se 0≠∆ o sistema é poss+vel determinado (possui solução única)

● Se 0∆x∆x∆x∆ n21 ===== L o sistema será poss+vel indeterminado, pois

0

0

∆

∆x

∆

∆x

∆

∆x n21==== L

● Se 0∆ = e al#!m 0∆x i ≠ o sistema será imposs+vel


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E%emplos&

❶ Para o sistema

=+

=+

03yx-

52yx temos

−=

31

21A ,

=

y

xX e

=

0

5B

Desta forma são obtidas as matrizes

=

3025A x e

=

01-51A y

Cálculo dos determinantes:5=∆ , 15∆x = e 5∆y =

Cálculo das incógnitas do vetor X:

35

15

∆

xx ==

∆= e 1

5

5

∆

∆yy ===

Assim,

=13X

Classifi$ação do sistema& poss+vel determinado.

❷ Para o sistema

=−

=−

1yx

0yx temos

=

1-1

1-1A ,

=

y

xX e

=

1

0B


=

1-1

1-0A x e

=

11

01A y


Classifi$ação do sistema& imposs+vel

❸ Para o sistema

=+

=+

21y63x

4y2x temos

=

63

21A ,

=

y

xX e

=

12

4B


=

612

24A x e

=

123

41A y


Classifi$ação do sistema& poss+vel indeterminado

❹ Classifique o sistema

=++

=+−

=++

3z2ymx

0mzyx

2zyx

em função do valor de “m”.

Neste caso,


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−=

12m

m11

111

A ,

=

3

0

2

B ,

−=

123

m10

112

A x ,

=

13m

m01

121

A y e

−=

32m

011

211

A z

O sistema será:● poss+vel determinado se 0mm∆ 2 ≠−= , ou seja, se 1mou0m ≠≠

● imposs+vel se 0m = pois neste caso 2∆ze1∆y∆x,0∆ −====

● poss+vel indeterminado se 1m = pois neste caso 0∆z∆y∆x∆ ====

M9todo de ?aussMétodo direto para resolução de sistemas de equações na forma BXA = .O vetor X é obtido em duas etapas: trian#!larização e retros!bstit!ição

E%emplo&

=++

=+

=++

1z2y3x

3z3y-2x

1zyx

⑴⑴⑴⑴ Triangularização:

Consiste em efetuar operações elementares nas linhas da matriz e zerando-se todos os elementosabaixo da diagonal principal.

−=

=

=++

−=

−←⇒=

=++

−←

−←⇒

=++

=+

=++

213z-

1z-5y-

1zyx

________________________

2z-2y-

2L5LL3:Operação1z-5y-

1zyx

_______________________

3LLL

2LLL:Operações

1z2y3x

3z3y-2x

1zyx

23

133

122

⑵⑵⑵⑵ Retrosubstituição

Consiste no cálculo de cada uma das incógnitas do vetor X

−=⇒=++

−=⇒=

=⇒−=

2 x 1zyx

1y1z-5y-

4z 123z-

➩

−

=

4

1-

2

X

Classifi$ação& Sistema compatível determinado


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✔✔✔✔ ieares❶ Utilize o teorema de Cramer para classificar os sistemas.

⒜

=++

−=++

=++

119z4y3x

52z3yx167zy2x

Resp& 0∆z∆y∆x∆ ====

➡ Sistema possível indeterminado

⒝

=++

=++

=++

119z8y7x

56z5y4x

13z2yx

Resp& -6∆z;12∆y;6∆x;0∆ ==−==

➡ Sistema impossível

❷ Classifique o sistema

=++

=++

=++

1azyx

1zayx1zyax

em função do valor de “a”.

Resp& possível determinado se 2ae1a −≠≠ possível indeterminado se 1a =

impossível se 2a −=

❸ Determinar a condição para que o sistema

=++−

=+

=+

0zay2x

02z-yx

03z-2yx

seja possível determinado.

Observe que neste caso o vetor B é nulo, e o sistema é dito ,omo#-neo.Resp& 1a ≠

❹ Classifique, segundo os valores de “a” e “b”, o sistema

=+

=++

=++

bz3y-2x

-53zyx

04zay3x

Resp& possível determinado se 2a −≠ e b qualquerpossível indeterminado se 5be-2a ==

impossível se 5be2a ≠−=

❺ Utilize o método de Gauss ( operações elementares ) para classificar os sistemas e, sepossível, indicar a solução em cada caso.

⒜

=++

=++

=++

0zy5x

4zyx

4zy32x

Resp&

−=

3

1

2

X ➡ Sistema possível determinado

⒝

=+=+

=+

33z-y96x-23z-yx

4z26y-4x

Resp& ➡ Sistema impossível


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⒞

=++

=++

=++

7zyx

33z5y43x

16z2y34x

Resp&

−

−

=

z

2z12

5z

X ➡ Sistema possível indeterminado

❻ Uma dieta requer para a refeição principal:● 7 unidades de gordura;● 9 unidades de proteínas e● 16 unidades de carboidratos

Certa pessoa dispõe de 3 alimentos com os quais pode montar sua dieta:limento .& cada medida contém 2 unidades de gordura, 2 unidades de proteína e 4 unidades decarboidratos.limento /& cada medida contém 3 unidades de gordura, 1 unidade de proteína e 2 unidades decarboidratos.limento 0& cada medida contém 1 unidade de gordura, 3 unidades de proteína e 5 unidades de

carboidratos.Sejam x, y e z o número de medidas que a pessoa consome dos alimentos 1, 2 e 3,respectivamente, em sua refeição principal. Encontre um sistema linear em x, y e z cuja soluçãodiz quantas medidas de cada alimento deve ser consumida pela pessoa para atender à dieta.

Resp&

=

2

1

1

X

❼ Encontre 3 números reais cuja soma é igual a 12, tais que as seguintes restrições sejamrespeitadas:● a soma do dobro do primeiro com o segundo e o dobro do terceiro é 5● o terceiro número é um a mais do que o primeiro.Encontre um sistema linear cujas equações descrevem este problema e resolva-o.

Resp&

=

3-

19

4-

X


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Tópico $ % Utilia5o do Matlab

*ri#em e !tilização do MatlabO Matlab é um software destinado a fazer cálculos com matrizes

( Matlab = MATrix LABoratory ). Foi criado no fim dos anos 1970, tendo sido adotado pelaprimeira vez por engenheiros de projeto de controle. Rapidamente se espalhou para outroscampos de aplicação. Atualmente é também utilizado nas áreas da educação, em especial noensino da álgebra linear e análise numérica, e é muito popular entre os cientistas envolvidos como processamento de imagem.

$esso ao Matlab

1anela de $omandoOs comandos do Matlab são normalmente digitados na janela de comando (conforme a figuraabaixo), onde uma única linha de comando é introduzida e processada imediatamente.

r'!ivo 2m

O MatLab é também capaz de executar seqüências de comandos armazenadas em arquivos. Osarquivos que contêm as declarações do MATLAB são chamadas arquivos .m, e consistem deuma seqüências de comandos normais do MATLAB. Para editar um arquivo texto na janela decomando do MATLAB selecione New M-file para criar um novo arquivo ou Open M-file paraeditar um arquivo já existente, a partir do menu File. Os arquivos podem, também, ser editadosfora do MATLAB utilizando qualquer editor de texto.


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3ravação do ar'!ivo 2mAo efetuar a gravação de um arquivo .m observe os seguintes detalhes:● O primeiro caracter do nome do arquivo não pode ser um número● Não deixe espaços em branco nem utilize caracteres como o ponto ( . ) na composição donome dado ao arquivo

E%e$!ção do ar'!ivo 2mPara que um arquivo seja executado basta acionar a opção Run na barra de ferramentas,conforme mostra a figura abaixo.

8te5o @@ ● É fundamental que o arquivo já tenha sido gravado com algum nome para que o mesmo possaser executado no Matlab.

● O nome do arquivo o de,e iniciar por números ( !aula.m ), conter caracteresespeciais ( aulaA!.m ) e nem ser igual a algum comando do Matlab ( sol,e.m ).


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*peradores rela$ionais

SÍMBOLO SIGNIFICADO

< Menor> Maior

= Maior ou igual

= = Igual

~ = Diferente

Atenção !!● o símbolo '=' é usado para atribuição a variáveis

● o símbolo '= =' é usado para testar uma igualdade *peradores l4#i$os

SÍMBOLO SIGNIFICADO

& And ( e )

| Or ( ou )

~ Not ( negação )

"e$larações no Matlab➀ Declaração das matrizes

=

42

31M ,

−=

30

75N e

=

9

5B

COMANDOS DO ARQUIVO .MRESULTADOS NA JANELA DE

COMANDO

M=[1 3; 2 4]N=[5 7; 0 -3]

B=[5 ; 9]

M =1 32 4

N =5 7

0 -3B =59

Observações:● ao declararmos uma matriz utilizamos ponto e vírgula para separar os elementos de cadalinha.● o símbolo de igualdade ( )= representa no Matlab uma atribuição. Desta forma, o resultado deuma operação é atribuído à variável declarada à esquerda do símbolo.


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➁ Cálculo do determinante da matriz M


COMANDO

det(M) ans =-2

Observação:A variável ans é uma variável global do Matlab para armazenar o resultado do último comandoexecutado.

➂ Operações com matrizes:

⒜ Multiplicação da matriz M pela constante 4


COMANDO

4*Mans =

4 128 16

⒝ Cálculo de potências de matrizes ( )2M


COMANDO

M^2ans =

7 1510 22

⒞ Multiplicação das matrizes M e N ( )MN


COMANDO

M*Nans =

5 -210 2

⒟ Transposta de uma matriz ( )TM


COMANDO

M 'ans =

1 2

3 4


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⒠ Inversa de uma matriz ( )1M −


COMANDO

inv(M) ans =-2.0000 1.50001.0000 -0.5000

④ Definição de matrizes cujos coeficientes são dados por uma fórmula

⒜ Definir a matriz 33N × , cujos elementos são dados por 5j2iN ji += .


COMANDO

for i=1:3for j=1:3N(i,j)=2*i+5*j;

endend

N

N =7 12 179 14 19

11 16 21

⒝ Defina a matriz 65G × cujo termo genérico é dado por

>

=

<

=

jise,4

jise,3

jise,2

G ji


COMANDOfor i=1:5

for j=1:6if i


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Resol!ção de sistemas via Matlab

● Comando solve O Matlab dispõe do comando sol,e para cálculo das raízes de !ma e'!ação ou para resol!ção

de !m sistemas de e'!ações.E%emplos&

❶ Solução do sistema

=++−

=−+

=+−

12zyx

43z2yx

1z3y2x

via Matlab:

COMANDOS DO ARQUIVO .M RESULTADO

[x,y,z]=solve( ' 2*x-3*y+z=1 ' ,' x+2*y-3*z=4 ', ' -x+y+2*z=1 ',' x,y,z ' )

x =3

y =2

z =1

8te5o @@ As variáveis indicadas no lado es3uerdo da igualdade do comado sol,e devem ser,obrigatoriamente, declaradas em ordem alfab9tica.

❷ Solução do sistema

−=+++

=+

−=++

=+++

1tzy x

13t-z4y7

15t3z9y- x

13tz27y2x

via MatLab:

COMANDOS DO ARQUIVO .M RESULTADO

[t,x,y,z]=solve( ' 2*x+7*y+2*z+t=13 ' ,' x-9*y+3*z+t=-15 ',

' 7*y+4*z-t=31 ', ' x+y+z+t = - 1 ' ,' x,y,z,t ' )

x =-1

y =2

z =3t =

-5


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✔✔✔✔


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❹ Defina a matriz 44F × cujo termo genérico é 3j4iF2

ji +=

Calcule o determinante da matriz F e, se possível, a inversa da matriz F.

Resp&

=

7673706748454239

28252219

1613107

F , ( ) inversamatrizpossuinãoF0Fdet ⇒=

❺ Utilize o comando solve do Matlab para determinar, se possível, a solução dos seguintessistemas lineares:

⒜

=+

−=+

=+

1yx

3zx

2zy

Resp&

=

1-

3

2-

X

⒝

=++

=++

=++

7zyx

335z4yx3162z3y4x

Resp&

=

z

2z-125-z

X

⒞

=+

=

=++

1z2y

2y-x

0zyx

Resp& Sistema impossível

⒟

=+

=+

−=−

=+

=−

7yx

305y4x13yx

192y3x

8y2x

Resp&

=

2

5

X

⒠

=−

=−

=−

=+

76y3x

2yx

84y2x

3y3x

Resp& Sistema impossível

❻ Calcule, através do comando solve do Matlab, valores de x que validam as equações:

⒜ 0632xx 2 =−+ Resp& 9xe7x −==

⒝ 010x7xx 23 =++ Resp& 5xe2x,0x −=−==


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Tópico & % etores e Combia5=es >ieares

?radeas f6sicasAs grandezas físicas se subdividem em escalares e vetoriais.● 3randezas es$alares& se caracterizam por serem completamente definidas quando sãoespecificados o seu m4d!lo 5 6 ma#nit!de o! intensidade 7 e sua unidade de medida.

E%emplos& ( )

( )

=

=

volume:V1mV

massa :m20kgm3

● 3randezas vetoriais o! vetores& se caracterizam por três componentes: m4d!lo8direção e sentido.

E%emplos& ( )

( )

=

=

força:F5NF

todeslocamen:d10md

Observe que o deslocamento não fica perfeitamente definido se for apresentada somente adistância percorrida, havendo a necessidade de especificar a direção e o sentido dodeslocamento. A figura abaixo representa o deslocamento de um corpo de uma posição inicial A para uma posição final B, através do segmento de reta orientado AB.

Geometricamente vetores são representados por segmentos de reta orientados no plano ou noespaço. A ponta da seta do segmento orientado é o ponto final o! e%tremidade e a outraextremidade é o ponto ini$ial o! ori#em do segmento orientado.

E%emplo& A figura abaixo representa graficamente o vetor→

d .

Neste caso, tem-se:M4d!lo& é dado pelo comprimento do segmento AB

"ireção& é dada pela reta suporte do segmento (30o

com a horizontal).Sentido& é dado pela seta colocada na extremidade do segmento.


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etores em sistemas de coordeadasAs operações com vetores podem ser definidas utilizando um sistema de $oordenadas. Umpar ordenado ( )yx, é um vetor do IR2 e uma tripla ordenada ( )zy,x, é um vetor do IR3. Osconjuntos IR2 e IR3 são exemplos de espaços vetoriais, e cada elemento destes conjuntos é umvetor. Representamos geometricamente estes vetores por uma flecha orientada, geralmente comorigem no ponto que representa o vetor nulo do espaço e com extremidade no pontocorrespondente às coordenadas do vetor. O vetor zero é representado por:

( )0,00 = no IR2

( )0,0,00 = no IR3

E%emplos&❶ v ( )3,2= é um vetor do IR2 As componentes ou coordenadas do vetor v, segundo as direções x e y, são as projeções

ortogonais do vetor nas duas direções. Neste caso, tem-se2: componente do vetor v na direção x3: componente do vetor v na direção y

❷ v ( )4,3,2= é um vetor do IR3 Neste caso, tem-se

2: componente do vetor v na direção x3: componente do vetor v na direção y4: componente do vetor v na direção z

gualdade de etoresOs vetores v ( )21 v,v= e w ( )21 w,w= são iguais se, e somente se, 11 wv = e 22 wv =


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E%emplo& Sendo u ( )5,2= e v ( )7y,1x ++= Se u = v então 57ye21x =+=+ Logo, 2ye1x −==


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A igualdade de vetores bem como as operações em outras dimensões são análogas ao que temosno IR2.E%emplo&Sendo u ( )0,5,2= e v ( )3,0,1= , então:

u + v ( ) ( )3,5,330,05,12 =+++= u – v ( ) ( )3,5,130,05,12 −=−−−=

3 u ( ) ( )0,15,603,53,23 =×××=

Combia5o >iear de etores

Dado um conjunto de n vetores { }n21 u,,u,u L dizemos que um vetor v é $ombinação

linear dos vetores dados se existem números reais n21 a,,a,a L tais que:

v nn2211 uauaua +++= L

E%emplos&⒜⒜⒜⒜ Dados ( ) ( ){ }1,0,0,1 e ( )4,3v = então v é combinação linear dos vetores dados, pois:

( ) ( ) ( )1,040,134,3 +=

Isto é , sendo ( )0,1u1 = e ( )1,0u 2 = então 21 4u3uv +=

⒝⒝⒝⒝ Dados ( ) ( ) ( ){ }1,0,0,0,1,0,0,0,1 e ( )4,7,2v −= então, sendo ( )0,0,1u1 = ,

( )0,1,0u 2 = e ( )1,0,0u 3 = tem-se 321 4u7u2uv −+=

⒞⒞⒞⒞ O vetor ( )2,8v −= é combinação linear dos vetores ( )1,1u1 = e ( )1,1u 2 −= , pois:( ) ( ) ( ) ( )ba,ba1,1b1,1a2,8 −+=−+=−

Ou seja,

−=−

=+

2ba

8ba

Sol!ção do sistema& 5be3a ==

Con$l!são: O vetor ( )2,8v −= é combinação linear dos vetores ( )1,1u1 = e ( )1,1u 2 −=

pois ( ) ( ) ( )1,151,132,8 −+=− .

⒟⒟⒟⒟ Verifique se o vetor ( )10,4,1v = é combinação linear dos vetores ( )3,2,1u1 = ,

( )6,5,4u 2 = e ( )9,8,7u 3 = .

( ) ( ) ( ) ( )9,8,7c6,5,4b3,2,1a10,4,1 ++= Ou seja,

=++

=++

=++

109c6b3a

48c5b2a

17c4ba

Sol!ção do sistema& Não existe.

Con$l!são: O vetor ( )10,4,1v = não é combinação linear dos vetores ( )3,2,1u1 = ,( )6,5,4u 2 = e ( )9,8,7u 3 = .


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etores >iearmete ;epedetes E>; e >iearmete depedete E>Um conjunto de vetores dados { }n21 u,,u,u L é Linearmente "ependente 5 L" 7 seexistir um deles que é combinação linear dos demais. Caso isto não ocorra, o conjunto de vetores

é chamado de Linearmente 9ndependente 5 L9 7. Isto implica que { }n21 u,,u,u L é umconjunto L9 se e somente se a combinação linear0uauaua nn2211 =+++ L

tem como solução única todos os coeficientes ia iguais a zero.

E%emplos&

⒜ O conjunto ( ) ( ){ }4,2,2,1 é LD, pois ( ) ( )2,124,2 = .

⒝ O conjunto ( ) ( ){ }1,0,0,1 é LI, pois ( ) ( )1,0k0,1 ≠ , para qualquer valor de k.

⒞ O conjunto ( ) ( ){ }4,3,0,0 é LD, pois ( ) ( )4,300,0 = .⒟ O conjunto ( ) ( ) ( ){ }0,4,3,0,1,0,0,0,1 é LD, pois ( ) ( ) ( )0,1,040,0,130,4,3 += .

Crit9rio práticoPara determinar se um conjunto de n vetores { }n21 u,,u,u L do R

n é LI ou LD, usamos o

determinante { }n21 u,,u,udetD L= . Neste caso, concluimos que:

● se 0D ≠ ⇒ o conjunto é LI● se 0D = ⇒ o conjunto é LD ( = um deles é combinação linear dos demais )

No caso particular de dois vetores, um conjunto { }21 u,u é LD se e somente se existe uma

constante k tal que 21 uku = .

E%emplos&

⒜ ( ) ( ){ }1,1,1,1 − é LI ou LD ?

Sol!ção& 211

11=

−

Con$l!são: O conjunto ( ) ( ){ }1,1,1,1 −

é LI, já que nenhum dos dois vetores é múltiplo dooutro.

⒝ ( ) ( ) ( ){ }9,8,7,6,5,4,3,2,1 é LI ou LD ?

Sol!ção& 0

987

654

321

=

Con$l!são: O conjunto ( ) ( ) ( ){ }9,8,7,6,5,4,3,2,1 é LD, já que existe um vetor que é

combinação linear dos demais: ( ) ( ) ( )3,2,16,5,429,8,7 −= .


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✔✔✔✔ ieares

❶ Em cada item verifique se o vetor v é combinação linear dos vetores 321 ueu,u . Em caso

afirmativo, apresente algum exemplo numérico.

⒜ ( )7,9,11v = , ( )3,2,1u1 = , ( )2,3,4u 2 = e ( )2,4,6u 3 =

Resp& Sendo

=++

=++

=++

72c2b3a

94c3b2a

116c4ba

, então2

35ac,54ab,aa

−=+−==


26/75


Tópico ( %


27/75


O plano xOy é um sub espaço vetorial do3

IR de dimensão 2.

BaseUm conjunto { }n21 v,,v,vB L= de vetores de um espaço vetorial V é chamado de base de

V se é linearmente independente e se gera V.

E%emplos&

❶ Seja

( ) ( ){ }

=

=

2

2

IRdocanônicabasea1,0,0,1B

IRV

Observe que B é um conjunto LI ( Linearmente Independente ), já que a matriz

10

01 possui

determinante ( )0110

01≠= . Além disto, o conjunto B gera o 2IR , pois qualquer vetor

( )y,x é combinação linear dos vetores ( )0,1 e ( )1,0 , isto é,

( ) ( ) ( )1,0y0,1xy,x += Alguns exemplos:

( ) ( ) ( )1,040,134,3 +=

( ) ( ) ( )1,020,152,5 −=− ( ) ( ) ( )1,000,130,3- +−=

❷ Seja( ) ( ){ }

−=

=

2

2

IRdobaseuma1,1,1,1B

IRV

De fato, B é LI , pois 211

11=

− e todo vetor ( )y,x é combinação linear dos vetores de B.

Exemplo: O vetor ( )4,3u = pode ser escrito como uma combinação dos vetores de B, já que:

( ) ( ) ( )1,1b1,1a4,3 −+=


28/75


Resulta no sistema

=+

=−

4ba

3ba cuja solução é dada por

2

7a = e

2

1b = .

Sendo assim, ( ) ( ) ( )1,12

11,1

2

74,3 −+=

Desta forma, dizemos então que as $oordenadas do vetor ( )4,3 na base ( ) ( ){ }1,1,1,1B −= são

2

7 e

2

1.

Res!mindo&● na base canônica ( ) ( ){ }1,0,0,1B = temos ( )4,3u =

● na base ( ) ( ){ }1,1,1,1B −= temos

=

2

1,

2

7u

❸ Seja( ) ( ) ( ){ }

=

=

3

3

IRdocanônicabasea1,0,0,0,1,0,0,0,1B

IRV

B é um conjunto LI, pois 1

100

010

001

= e todo vetor ( )z,y,x do 3IR é uma combinação linear

dos vetores do conjunto B, pois:

( ) ( ) ( ) ( )1,0,0z0,1,0y0,0,1xz,y,x ++= Exemplo:

( ) ( ) ( ) ( )1,0,050,1,040,0,135,4,3 ++=

❹ Seja( ) ( ) ( ){ }

−=

=

3

3

IRdobaseuma4,0,4,3,0,3,0,2,0B

IRV

B é um conjunto LI, pois 48

404

303

020

−=

−

.

Todo vetor do 3IR é uma combinação linear destes três vetores.

Exemplo: Vamos determinar as coordenadas do vetor ( )5,4,3v = na base B.

O vetor ( )5,4,3v = pode ser escrito como uma combinação dos vetores de B, já que:

( ) ( ) ( ) ( )4,0,4c3,0,3b0,2,0a5,4,3 −++=

Resulta no sistema

=+

=

=

54c3b

4a2

34c-b3

cuja solução é dada por 2a = ,3

4b = e

4

1c = .

Sendo assim, ( ) ( ) ( ) ( )4,0,4

4

13,0,3

3

40,2,025,4,3 −++=


29/75


e as $oordenadas do vetor ( )5,4,3v = nesta base B são

4

1,

3

4,2

Prod!to Es$alar

O produto escalar de dois vetores don

IR ( )n21 u,,u,uu L= e ( )n21 v,,v,vv L= é dadopor

∑=

=

n

1iii vuv.u

O produto escalar dos vetores u e v é obtido no Matlab através do comando ( )v,udot :: Os vetores u e v devem ser obrigatoriamente declarados anteriormente.

E%emplos&❶ Calcula o produto escalar dos vetores ( )2,1u = e ( )5,3v =

Neste caso,131035231v.u =+=×+×=

Via Matlab

C4M8G;4S ;4 8RHU4 .M RT8;4S G8 ÁRI4

u=[1 2] v=[3 5] dot(u,v)

u =1 2

v =3 5

ans =13

❷ Calcular o produto escalar dos vetores ( )1-,2,1u = e ( )5,3,0v = Neste caso,

( ) 1513201v.u =×−+×+×=

Via Matlab


u=[1 2 -1]v=[0 3 5]

dot(u,v)

u =1 2 -1

v =0 3 5

ans =1

Vetores *rto#onaisDois vetores u e v são ortogonais se:

0v.u =

( produto escalar entre eles é nulo )

E%emplos&❶ Os vetores ( )1,1u = e ( )1,1-v = são orto#onais, pois


30/75


0v.u =

❷ Os vetores ( )1-,2,1u = e ( )5,3,0v = não são orto#onais, pois

( )0v.u1v.u ≠=

3eometri$amente8 dois vetores do 2IR 5 o! do 3IR 7 são orto#onais se o ;n#!loentre eles for i#!al a !ntos *rto#onaisUm conjunto { }n21 v,,v,vM L= de um espaço vetorial V é ortogonal se

0v.v ji =

para cada par de vetores i , j, com ji ≠ .

E%emplo& * $on>!nto ( ) ( ) ( ){ }4,4,4,4,2,2,0,1,1M −−=

é orto#onal, pois( ) ( ) 04,2,2.0,1,1 =−

( ) ( ) 04,4,4.0,1,1 =−− ( ) ( ) 04,4,4.4,2,2 =−

Bases *rto#onaisUma base { }n21 v,,v,vB L= de um espaço vetorial V é ortogonal se

0v.v ji =

para cada par de vetores i , j, com ji ≠ .

E%emplos&

❶ As bases canônicas do 2IR e do 3IR são ortogonais.

Para 2IR & ( ) ( ){ }1,0,0,1B =

Para 3IR : ( ) ( ) ( ){ }1,0,0,0,1,0,0,0,1B =

❷ A base ( ) ( ){ }1,1,1,1B −= é uma base ortogonal do 2IR .


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C)l$!lo do M4d!lo e ?ormalização de !m vetorDado um vetor ( )n21 u,,u,uu L= do

nIR , o m4d!lo de ! é dado por:

( ) ( ) ( )2n2

22

1 uuuu +++= L .

E%emplo& Cálculo do módulo do vetor ( )1,1u −= .Neste caso,

( ) ( ) 4142,12111,1 22 ≅=−+=

Via Matlab

O módulo do vetor u é obtido no Matlab através do comando ( )unorm


u=[1 -1]norm(u)

u =1 -1

ans =1.4142

Se 1u = , então u é um vetor !nit)rio.

Todo vetor u com módulo não-nulo pode ser normalizado fazendo-se:

u

uv =

E%emplo&

Vamos considerar o vetor ( )4,3u = .Neste caso,

Módulo de u: 5u =

Normalização do vetor u:( )

( )8.0,6.05

4,

5

3

43

4,3v

22=

=

+

=

Módulo do vetor v: 125

16

25

9v =+=

:: O vetor

= 5

4,5

3v é um vetor unitário que tem a mesma direção do vetor u.

Bases *rtonormaisÉ uma base ortogonal formada por vetores unitários.

E%emplo&A base ( ) ( ){ }1,1-,1,1B = é uma base ortogonal, mas não @ ortonormal.

A base

−

=

2

1

,2

1

,2

1

,2

1

B

'

é uma base ortonormal do

2

IR 2


32/75


E%er$+$io resolvido&

O conjunto ( ) ( ){ }2,2,2,3,2,1 −− é LI.Vamos efetuar as seguintes operações:

⒜ Acrescentar um terceiro vetor não-nulo a este conjunto para que ele se transforme numa base

ortogonal do 3IR .

Sol!ção&De fator procuramos um vetor ( )c,b,av = do 3IR que satisfaça os seguintes produtos :

( ) ( )

( ) ( )

=−

=−

02,2,2.c,b,a

03,2,1.c,b,a

Efetuando-se os produtos indicados, vem:

=+−

=++−

02c2b2a

03c2ba

Solução do sistema: cce4cb,5ca =−=−= Uma possibilidade de solução: 1ce4b,5a =−=−=

Logo, ( )1,4,5-v −=

Assim, o conjunto ( ) ( ) ( ){ }1,4,5,2,2,2,3,2,1B −−−−= uma base orto#onal do 3IR 2

⒝ Obter uma base ortonormal do 3IR .

Para obter uma base ortonormal do 3IR , basta dividir cada vetor de B pelo seu módulo.Assim, uma base ortonormal do 3IR é o conjunto

( ) ( ) ( ){ }1543.0,6172.0,7715.0,5774.0,5774.0,0.5774,8018.0,5345.0,2673.0B ' −−−−=

Cada vetor do conjunto 'B é unitário e os vetores são ortogonais dois a dois.


33/75


✔✔✔✔


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Tópico # % Trasforma5=es >ieares

As transformações lineares são funções onde o domínio e o contradomínio são espaçosvetoriais, isto é, tanto a variável independente quanto a variável dependente são vetores.

E%emplos&

❶ ( ) ( )

−=

→

y,xy,xT

IRIR:T 22

Esta transformação T toma cada vetor do 2IR e o reflete em torno do eixo X.

❷ ( ) ( )

=

→

y,x-y,xTIRIR:T

22

Esta transformação T toma cada vetor do 2IR e o reflete em torno do eixo Y.


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"efinição de !ma transformação linearSejam V e W espaços vetoriais.

WV:T → é uma transformação linear ( )TL se T satifaz as seguintes propriedades:

⒜⒜⒜⒜ ( ) ( ) ( )vTuTvuT +=+ , para quaisquer Vvu, ∈

⒝⒝⒝⒝ ( ) ( )uTauaT = , para qualquer IRa∈ e Vu∈

*BS& Se WV = a TL é chamada de operador linear de V

*!tras propriedades de !ma transformação linearSendo WV:T → uma TL do espaço vetorial V no espaço vetorial W, verica-se que:

⒜⒜⒜⒜ ( ) 00T =

⒝⒝⒝⒝ ( ) ( )uTu-T −= , para qualquer Vu∈

⒞⒞⒞⒞ ( ) ( ) ( )vTuTv-uT −=

, para quaisquer Vvu, ∈

E%emplos&Vamos verificar se as transformações apresentadas a seguir são lineares ou não.

❶ ( )

=

→

2xxT

IRIR:T

Neste caso estamos considerando o conjunto dos númerors reais como um espaço vetorial.A transformação é definida por ( ) 2xxT = .Vejamos a validade de cada uma das propriedades de uma TL:

⒜⒜⒜⒜ ( ) ( ) 2y2xyx2yxT +=+=+

( ) ( ) 2y2xyTxT +=+

⒝⒝⒝⒝ ( ) ( ) 2axax2axT ==

( ) ( ) 2ax2xaxaT ==

Con$l!são& T é uma transformação linear pois as duas propriedades foram verificadas.

❷ ( )

+=

→

32xxT

IRIR:T

⒜⒜⒜⒜ ( ) ( ) 32y2x3yx2yxT ++=++=+

( ) ( ) ( ) ( ) 62y2x3y23x2yTxT ++=+++=+ Con$l!são& T não é uma transformação linear pois pelo menos uma das propriedades não éverificada.

No exemplo ❷, sendo ( ) 30T = , conclui-se queT não é uma TL, de acordo com a propriedade( ) 00T = acima descrita.


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Representação matri$ial de !ma transformação linearUma transformação linear mn IRIR:T → pode ser representada na base canônica por

uma matriz nmA × . Neste texto, sempre serão consideradas as bases canônicas donIR .

?otação& A ou [ ]T

E%emplos&

❶ ( ) ( )

−+=

→

2x,yx,yxy,xT

IRIR:T 32

Cálculo da imagem dos vetores da base canônica: ( ) ( )

( ) ( )

−=

=

0,1,11,0T

2,1,10,1T

Matriz de T:

−=

02

11

11

A ou [ ]

−=

02

11

11

T

*BS& as colunas da matriz A são as imagens dos vetores da base canônica

Nesta notação, a transformação é interpretada como a multiplicação de A pelo vetor

=

y

xv .

−=

−

+

y

x.

02

11

11

2x

yx

yx

❷ ( ) ( )

++=

→

2yx4,y3xy,xT

IRIR:T 22

Cálculo da imagem dos vetores da base canônica: ( ) ( )

( ) ( )

=

=

2,31,0T

4,10,1T

Matriz de T:

=

24

31A , sendo que:

=

+

+

y

x.

24

31

2y4x

3yx

E%emplo n!m@ri$o&

( ) ( ) ( )6,424,31,11T =++= ou

=

+

+=

6

4

24

31

1

1.

24

31

❸ ( ) ( )

−++++=

→

yx,2zyx,zyxz,y,xT

IRIR:T 33

Matriz de T:

−

=

011

211

111

A .


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❹ A transformação 33 IRIR:T → tem representação matricial

−−=

420

321

401

A .

Calcule ( )7,4,1T .

Sol!ção& ( )7,4,1Tw = e

−=

−−=

36

1429

7

41

420

321401

w

Logo, ( ) ( )36,14,297,4,1T −= .

❺ Calcule ( )y,xT , sendo 22 IRIR:T → uma TL tal que:

( ) ( )

( ) ( )

−=

=

1,41,0T

e

5,20,1T

Matriz de T:

−=

15

42A

Considerando-se a transformação como a multiplicação de A pelo vetor

=

y

xv , vem:

+

−=

−

y5x

4y2x

y

x.

15

42

Con$l!são& ( ) ( )y5x,4y2xy,xT +−=

✔✔✔✔ ieares✔✔✔✔


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⒟ Indique a matriz que expressa a aplicação da transformação 1T e posteriormente a

transformação 2T num vetor ( )yx, qualquer.

⒠ Indique a matriz que expressa a aplicação da transformação 2T e posteriormente a

transformação1

T num vetor ( )yx, qualquer. Verifique se esta matriz é igual à obtida no item⒟

❸ Considere a TL( ) ( )

+=

→

y,2yxy,xT

IRIR:T 22

Calcule:

⒜ ( )0,0T

⒝ ( )0,1T

⒞ ( )1,1T

⒟ ( )1,0T

❹ Seja 33 IRIR:T → uma TL com matriz

−

−=

737672

727376

767273

A .

Calcule ( )3,2,1T e compare ( )3,2,1 e ( )3,2,1T . O que você observa ?

❺ Seja 33 IRIR:T → uma TL tal que:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

=

−=

=

0,2,1-1,0,0T

2,1,10,1,0T

4,3,20,0,1T

Determine a matriz da transformação T e ( )5,4,3T .

❻ Considere a TL( ) ( )

++=

→

yx3,2yxy,xT

IRIR:T 22

Calcule, se possível, algum vetor ( )yx,v = tal que ( ) ( )1,7vT =

❼ Considere a TL( ) ( )

+++=

→

3z-9y3z,-6x-yx,2z6y-4xzy,,xT

IRIR:T 33

Calcule, se possível, algum vetor ( )zy,x,v = tal que ( ) ( )3,2,4vT =

Respostas❶

⒜ ( ) ( )0,00,0T =

⒝ ( ) ( )4,41,1T =

⒞ ( )( ) ( )78,604,2TT =

Se A é a matriz de T, basta efetuar o produto de 2A por ( )4,2u =


39/75


❷

⒜ ( )( ) ( )32,44,3TT 21 −=

⒝ ( )( ) ( )17,24,3TT 22 =

⒞ ( ) ( )83,134,3T 42 −=

Se A é a matriz de T, basta efetuar o produto de 4A por ( )4,3u =

⒟

− 84

71

⒠

−

−

114

24

*BS: Em geral ( )( ) ( )( )yx,TTyx,TT 1221 ≠

❸

⒜ ( ) ( )0,00,0T =

⒝ ( ) ( )0,10,1T =

⒞ ( ) ( )1,31,1T =

⒟ ( ) ( )1,21,0T =

❹ ( ) ( )7143.0,8571.0,5714.33,2,1T =

( ) 7417,33,2,1 = e ( ) 7417,33,2,1T =

❺ Matriz de T:

−

−

=

024

213

112

A , sendo ( ) ( )20,15,55,4,3T =

❻ ( )41,v −=

❼ Impossível


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Tópico ) % Trasforma5=es >ieares Plaas

Ai#!ras no Matlab

Podemos gerar figuras no Matlab indicando os vértices da mesma e a ordem em que eles devemser plotados.E%emplo& Podemos gerar uma figura semelhante a apresentada abaixo com base nos vértices:

( )

( )

( )

=

=

=

1,1v

1,3v

3,2v

3

2

1

C4M8G;4S M8T>8B RT8;4

X = [2 3 1 2]Y = [3 1 1 3]plot(X, Y)

A repetição das $oordenadas do primeiro ponto ocorre para que seja obtida umafi#!ra fe$,ada !!

Observe o efeito sem repetição das $oordenadas do primeiro ponto da matriz na fi#!ra abai%o.


X = [2 3 1]Y = [3 1 1]plot(X, Y)


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8lgumas ,aria5=es gráficas/


X = [2 3 1 2]Y = [3 1 1 3]plot( [-1 5], [0 4], '.', X, Y, 'r' )

[-1 5] , [ 0 4] : variação nos eixos horizontal e vertical, respectivamente' r ' : indica a cor utilizada na representação ( r = red )

*pções de $ores e s+mbolos&

C4R SJMB4>4 C4R SJMB4>4blue b magenta mgreen g yellow y

red r black kcyan c white w


X = [2 3 1 2]

Y = [3 1 1 3]plot( [-1 5], [0 4], '.', X, Y,'r' )'linewidth',3)

grid on

'linewidth',3 : indica a espessura da linha utilizadagrid on : gera as linhas tracejadas


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X = [2 3 1 2]Y = [3 1 1 3]fill( X, Y, 'r' )

fill : comando utilizado para preenchimento de regiões na cor especificada

X = [2 3 1 2]Y = [3 1 1 3]PLOT( [-1 5] , [0 4] , '.' )

HOLD ONFILL( X, Y, 'R' )

hold on : comando utilizado para que mais de uma opção sejam apresentadas num mesmográfico. Neste caso, a região [-1 5] , [0 4] e o comando fill


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*peradores lineares na $omp!tação #r)fi$a Vamos relacionar algum operadores lineares 22 IRIR:T → utilizados na computação gráficabidimensional.

❶ Refle%ão em relação ao ei%o & ( ) ( )

−=

→

y,xy,xT IRIR:T

22

Matriz de T:

−=

10

01A

Aplicação da TL: ( )

=

y

x*Ay,xT , sendo

y

x o vetor das coordenadas de um ponto.

Considere o triângulo delimitado pelo pontos ( ) ( ) ( )1,3e3,2,1,1 :

A aplicação da TL nos pontos delimitantes da figura determina:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

−=

−=

−=

1,31,3T

3,23,2T

1,11,1T

O gráfico abaixo destaca a figura original e a resultante após a reflexão em torno do eixo X.


44/75


❷ Refle%ão em relação ao ei%o & ( ) ( )

=

→

y,x-y,xT

IRIR:T 22

Matriz de T:

−=

10

01A

Considerando-se novamente a figura do caso ❶ temos:( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

=

=

=

1,3-1,3T

3,2-3,2T1,1-1,1T

O gráfico abaixo destaca a figura original e a resultante após a reflexão em torno do eixo Y.

❸ Refle%ão em relação D ori#em& ( ) ( )

=

→

y-,x-y,xT

IRIR:T 22

Matriz de T:

−

−=

10

01A

Considerando-se novamente a figura do caso ❶ temos:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

−=

−=

−=

3,2-3,2T

1,3-1,3T

1,1-1,1T

O gráfico abaixo destaca a figura original e a resultante após a reflexão em relação à origem.


45/75


❹ "ilatação e $ontração de fator α& ( ) ( )

=

→

yα,xαy,xT

IRIR:T 22

Matriz de T:

=

α0

0αA

Contração& 1α0


46/75


O gráfico abaixo destaca a figura original e a resultante após a dilatação efetuada.

⒝ Contração& Considerando-se novamente a figura original do caso ❹ com fator21α = na

direção do eixo x temos:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

=

=

=

=

2,0.52,1T

2,1.52,3T

1,1.51,3T

1,0.51,1T

O gráfico abaixo destaca a figura original e a resultante após a $ontração efetuada.

❻ "ilatação e $ontração apenas na direção do ei%o & ( ) ( )

=

→

yα,xy,xT

IRIR:T 22

Matriz de T:

=

α0

01A

⒜ "ilatação& Considerando-se novamente a figura original do caso ❹ com fator 3α = nadireção do eixo y temos:


47/75


⒝ Contração& Considerando-se novamente a figura original do caso ❹ com fator4

1α = na

direção do eixo y temos:

❼ Cisal,amento de fator αααα na direção do ei%o & ( ) ( )

+=

→

y,yαxy,xT

IRIR:T 22

Matriz de T:

=

10

α1A

Considere a figura:


48/75


Efetuando-se um cisalhamento com fator 3α = na direção do eixo x temos:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

=

=

=

=

1,31,0T

1,51,2T

0,20,2T

0,00,0T

O gráfico abaixo destaca a figura original e a resultante após o cisalhamento em x efetuado.

❽ Cisal,amento de fator αααα na direção do ei%o & ( ) ( )

+=

→

yxα,xy,xT

IRIR:T 22

Matriz de T:

=

1α

01A

Considerando-se novamente a figura do caso ❼ e com fator 2α = na direção do eixo y

temos:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

=

=

=

=

1,01,0T

5,21,2T

4,20,2T

0,00,0T

O gráfico abaixo destaca a figura original e a resultante após o cisalhamento em y efetuado.


49/75


❾ Rotação& 22 IRIR:T → A transformação que efetua uma rotação de um ângulo θ no 2IR é representada pela matriz

Matriz de T: ( ) ( )

( ) ( )

−=

θcosθsen

θsenθcosA

*BS& No Matlab os ;n#!los devem ser apresentados em radianosLembrete& π radianos corresponde a o180

Sentido anti,or)rio& ângulo θ

Sentido ,or)rio& ângulo θ-

⒜ Rotação de o90 no setido ati-:orário na figura

Para cada um dos pontos delimitantes temos:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

=

=

=

1,2-2,1T

4142.1,1.41420,2T

0,00,0T

O gráfico abaixo destaca a figura original e a resultante após a rotação de o90 efetuada.


50/75


⒝ Rotação de o90 no setido :orário na figura

O gráfico abaixo destaca a figura original e a resultante após a rotação de o90 efetuada.


51/75


✔✔✔✔ ieares Plaas

❶ A partir da representação gráfica abaixo efetue as transformações solicitadas via Matlab e

represente num mesmo gráfico a figura original e a resultante.

⒜ A duplicação de suas dimensões nas direções x e y

⒝ Uma reflexão em torno do eixo x

❷ A partir da representação gráfica abaixo, efetue as seguintes modificações através do Matlab:

Uma rotação no sentido anti-horário de:

⒜ o45 (verde)

⒝ o90 (azul)

⒞ o135 (rosa)

⒟ o180 . (amarela)Apresente num mesmo gráfico a figura original e as resultantes das rotações respeitando as cores

indicadas junto a cada item.


52/75


❸ Indique a matri de trasforma5o liear capaz de provocar um cisalhamento de fator

2

1 na direção do eixo y e, na sequência, uma dilatação com fator 3 na direção do eixo x.

Verifique ainda se o procedimento em ordem contrária produz a mesma matriz de transformação.

❹ Aplique nos vértices da figura abaixo a transformação linear que executa uma rotação de o90no sentido anti-horário. Plote a estrutura obtida junto à original.

❺ Em geral a fonte itálica usada nos editores de texto é criada pelo cisalhamento da versão

romana. Analise os vértices da letra T romana abaixo apresentada e utilize a transformação linearque executa um cisalhamento na direção x de fator 1.


53/75


Respostas/❶

⒜ ⒝

❷

❸

=

×

=

×

≠

123

03

10

03

121

01e

121

03

121

01

10

03Sendo

123

03

121

03

inversaOrdemsolicitada

teinicialmenOrdem4342143421


54/75


❹

t = pi / 2 ;A = [ cos(t) - sin(t) ; sin(t) cos(t) ] ;

B = [ 0 2 3 2 0 0 ; 0 0 1 2 2 0 ] ;for i = 1 : 6

X(i) = B(1, i) ;Y(i) = B(2,i) ;

end

BT = A * B ;for i = 1 : 6

XT(i) = BT(1, i) ;YT(i) = BT(2, i) ;

end

plot( [-3 4] , [-1 4] , ' . ' , X , Y , ' r ', XT , YT , ' b ', ' linewidth ' , 3 )grid on

❺


55/75


Tópico * % 8uto,alores e 8uto,etores

!tovalores e !tovetores

Sejann

IRIR:T → uma transformação linear. Se existe um vetor não-nulo v tal que( ) vλ vT =

para algum escalar λ , então λ é dito um a!tovalor da TL, e cada vetor não-nulo v tal que( ) vλ vT = é dito um a!tovetor da TL associado a λ .

Como a cada TL nn IRIR:T → corresponde uma matriz nnA × que a representa, os valores de

λ e v da definição acima são chamados também de autovalor ( valor próprio ) e autovetor ( vetorpróprio ) da matriz A, respectivamente.

E%emplos&

❶ Seja( ) ( )

+−+=

→5yx,2y2xy,xT

IRIR:T22

Mostrar que o vetor ( )1,1v = é um autovetor da transformação associado ao autovalor 4λ = .

Matriz de T:

−=

51

22A

e

=

=

− 1

14

4

4

y

x.

51

22

Assim, para ( )1,1v = temos 4vAv = .

Con$l!são& ( )1,1v = é um autovetor da TL associado ao autovalor 4λ = .


56/75


❷ Seja( ) ( )

+−+=

→

5yx,2y2xy,xT

IRIR:T 22

Mostrar que o vetor ( )2,4v = é um autovetor da transformação associado ao autovalor 3λ = .

Matriz de T:

−=

51

22

Ae

=

=

− 2

43

6

12

2

4.

51

22

Assim, para ( )2,4v = temos 3vAv = .

Con$l!são& ( )2,4v = é um autovetor da TL associado ao autovalor 3λ = .

❸ A transformação que efetua a rotação do vetor

=

54,

53u de o60 do plano, conforme

mostra a figura abaixo, não tem nenhum autovetor.


57/75


C)l$!lo de a!tovalores e a!tovetoresPara o cálculo dos autovalores e autovetores de uma transformação linear nn IRIR:T → representada pela matriz A, devemos resolver a equação

vλ vA =

ou seja, vIλ vA =

onde I é a matriz identidade de ordem n. Assim, devemos procurar soluções não-triviais dosistema

( ) 0vIλ A =− Para que tal ocorra, a matriz Iλ A − deve ser singular, ou seja,

0Iλ A =−

Assim, os autovalores associados ao autovalor λ formam o espaço-solução ou autoespaço de Aassociado a λ .

E%emplo& Seja( ) ( )

+−+=

→

5yx,2y2xy,xT

IRIR:T 22

Calcular os autovalores desta transformação linear e determinar os autoespaços associados.

Matriz de T:

−=

51

22A , e sendo 2n = , então

=

10

01I

Equação característica: 0λ -51-

2λ -20Iλ A =⇒=−

Solução da equação: ( ) ( ) 4λ ou3λ 0127λ λ 02λ 5λ 2 2 ==⇒=+−⇒=+−−


T=[2 2; -1 5];poly(T)roots(poly(T))

ans =1 -7 12

ans =43

Observe que o comando poly(T) gera como resultado os coeficientes do polinômiocaracterístico e o comando roots(poly(T)) os autovalores.

Devemos ainda determinar, a partir de cada um dos autovalores calculados, os autovetorescorrespondentes. Assim:

⒜ Para 4λ = o autovetor ( ) ( )0,0y,xv ≠= deve satisfazer ( ) ( )y,x4y,xT = , ou seja,

( ) ( )4y,4x5yx,2y2x =+−+ Logo,

⇒

=+−

=+−⇒

=+−

=+

0yx

02y2x

4y5yx

4x2y2xSol!ção&

( )

=

=

livreyy

yx

Assim, todo vetor em que a primeira coordenada é igual à segunda é um autovetor associado a4λ = .


58/75


Exemplo numérico: Sendo ( )2,2v = então ( ) ( ) ( )2,248,82,2T == Portanto, o autovetor associado ao autovalor 4λ = é

( ) 0xpara1,1xv ≠= ou ( )1,1v =

Se tomarmos o conjunto de todos os múltiplos do vetor ( )1,1v = , teremos a reta xy = , abaixo

representada, que passa pela origem do 2IR e é um subespaço vetorial do 2IR , chamado deautoespaço associado ao autovetor ( )1,1v = .

( )7071.0,7071.02

1,

2

1vn =

= é o a!tovetor normalizado de v.

⒝ Para 3λ = o autovetor ( ) ( )0,0y,xv ≠= deve satisfazer ( ) ( )y,x3y,xT = , ou seja,

( ) ( )y3,3x5yx,2y2x =+−+ Logo,

⇒

=+−

=+−

⇒

=+−

=+

02yx 02yxy35yx x32y2xSol!ção& ( )

=

=

livreyy y2x

Assim, todo vetor em que a primeira coordenada é igual ao dobro da segunda é um autovetorassociado a 3λ = .Exemplo numérico: Sendo ( )2,4v = então ( ) ( ) ( )2,436,122,4T == Se tomarmos o conjunto de todos os múltiplos do vetor ( )2,4v = , teremos a reta x2y = ,

abaixo representada, que passa pela origem do 2IR e é um subespaço vetorial do 2IR , chamadode autoespaço associado ao autovetor ( )2,4v = .


59/75


( )4472.0,8944.002

2,

20

4vn =

= é o a!tovetor normalizado de v.

Via Matlab&


T=[2 2; -1 5];[P,D]=eig(T)

P =-0.8944 -0.7071-0.4472 -0.7071

D =3 00 4

9nterpretação dos res!ltados&O autovalor 3λ = está associado ao autovetor ( )0.4472,0.8944v1 −−=

O autovalor 4λ = está associado ao autovetor ( )0.7071,7071.0v2 −−=

M!ltipli$idade l#@bri$a e 3eom@tri$a de !tovaloresA m!ltipli$idade al#@bri$a é dada pelo número de vezes que um autovalor aparece como raizdo polinômio característico, ou seja, ( ) 0λ P = ; e a m!ltipli$idade #eom@tri$a é dada pelonúmero de autovetores LI associados a um autovalor.

Relações entre m!ltipli$idades al#@bri$a e #eom@tri$aTeorema& Se A é uma matriz quadrada, então a multiplicidade geométrica de um autovalor deA é no m)%imo igual à multiplicidade algébrica.

E%emplos&

❶ Sendo

−

=

301

121

200

A a matriz de uma TL, temos:

PolinFmio $ara$ter+sti$o& ( ) 48λ 5λ λ λ P23

−+−= !tovalores& 1λ e2λ λ 321 === Neste caso observa-se que um dos autovalores se repete, no caso 2λ = , e por esta razão dizemosque este autovalor possui multiplicidade algébrica 2. O outro autovalor, ou seja 1λ = possuimultiplicidade algébrica 1 ( ou simples ).

Lembre ainda que: ( )

+

++

−

=

−

=

3zx

z2yx

2z

z

y

x

*

301

121

200

z,y,xT

!tovetores&

● Para 1λ = ( ) ( ) ( ) ( )z,y,x3zx,z2yx,2zz,y,x1z,y,xT =+++−⇒=


60/75


Sistema associado:

=+

=++

=−

z3zx

yz2yx

x2z

Solução do sistema: ( )

=

=

−=

yzlivreyy

2yx

Exemplo: ( )1,1,2-v = e ( )0.4082,0.4082,0.8165-v onormalizad =

● Para 2λ = ( ) ( ) ( ) ( )z2,y2,2x3zx,z2yx,2zz,y,x2z,y,xT =+++−⇒=

Sistema associado:

=+

=++

=−

z23zx

y2z2yx

x22z


( )

=

=

−=

livrezz

livreyyzx

E%emplos&

⒜ ( )0,1,0v = (considerando-se z = 0) sendo ( )0,1,0v onormalizad =

⒝ ( )1,0,1-v = (considerando-se y = 0) sendo ( )0.7071,0,0.7071-v onormalizad =

Via Matlab&


A=[0 0 -2; 1 2 1; 1 0 3];poly(A)roots(poly(A))[P,D]=eig(A)

ans =1 -5 8 -4

ans =2.00002.00001.0000

P =0 -0.8165 0.70711 0.4082 00 0.4082 -0.7071

D =2 0 0

0 1 00 0 2

9nterpretação&● 1λ = é o autovalor associado ao autovetor ( )1,1,2-v = . Este autovalor possuimultiplicidade algébrica igual a 1.● 2λ = é o autovalor associado aos autovetores ( )0,1,0v = e ( )1,0,1-v = . Esteautovalor possui multiplicidade algébrica igual a 2.Ainda pelo fato destes vetores serem LI, já que o determinante

( )01

101

010

112

≠−=

−

−


61/75


dizemos que 1λ = possui multiplicidade geométrica 1 e que 2λ = possui multiplicidadegeométrica 2.Assim, o subespaço associado ao autovalor 1λ = é uma reta pela origem do 3IR que temdimensão 1; e o subespaço associado ao autovalor 2λ = é um plano pela origem do 3IR quetem dimensão 2.

❷ Sendo

−

=

353

031

002


PolinFmio $ara$ter+sti$o& ( ) 18λ 21λ 8λ λ P 23 −+−=

!tovalores& 2λ e3λ λ 321 ===

Neste caso observa-se que o autovalor 3λ = aparece repetido, e por esta razão dizemos que esteautovalor possui multiplicidade algébrica 2. O autovalor 2λ = possui multiplicidade algébrica 1.

Neste caso: ( )

++

+=

−

=

3z5y3x-

y3x2x

z

yx

*

353

031002

z,y,xT

!tovetores& ● Para 3λ = ( ) ( ) ( ) ( )z3,y3,3x3z5x3,y3x,2xz,y,x3z,y,xT =++−+⇒= y

Sistema associado:

=++

=+

=

z33z5y3x-

y3y3x

x32x

Solução do sistema:

( )

=

=

=

livrezz

0y0x

Exemplo: ( )2,0,0v = e ( )1,0,0v onormalizad =

● Para 2λ = ( ) ( ) ( ) ( )z2,y2,2x3z5x3,y3x,2xz,y,x2z,y,xT =++−+⇒= y

Sistema associado:

=++

=+

=

z23z5y3x-

y2y3x

x22x


−=

=

=

8yz

livreyy

-yx

Exemplo: ( )8,1,1v −= e ( )9847.0,1231.0,0.1231v onormalizad −=


62/75


Via Matlab&


A=[2 0 0; 1 3 0; -3 5 3];poly(A)roots(poly(A))[P,D]=eig(A)

ans =1 -8 21 -18

ans =

3.0000 + 0.0000i3.0000 - 0.0000i2.0000

P =0 0 0.12310 0.0000 -0.1231

1.0000 -1.0000 0.9847D =

3 0 00 3 00 0 2

9nterpretação&● 2λ = é o autovalor associado ao autovetor ( )8,1,1-v −= . Este autovalor possuimultiplicidade algébrica igual a 1.● 3λ = é o autovalor associado aos autovetores ( )1,0,0v = e ( )1,0,0v −= . Esteautovalor possui multiplicidade algébrica igual a 2.Ainda pelo fato destes vetores serem LD ( ) ( )( )1,0,011,0,0poismúltiplossão −=− dizemos que 3λ = possui multiplicidade geométrica 1.Sendo assim, a cada autovalor corresponde um sub-espaço vetorial do 3IR de dimensão 1,associado ao autovalor, gerado pelos múltiplos do autovetor.

✔✔✔✔


63/75


❸ Verifique se

−

=

0

1

0

1

v é autovetor da matriz

−=

1000

0210

0101

0200

M .

Em caso afirmativo, identifica o autovalor λ correspondente.

❹ Calcule no Matlab os autovalores e autovetores da matriz

−

−=

102

012

104

M .

Escreva os autovetores na forma normalizada, associados a cada autovalor.

❺ Calcule o polinômio característico, os autovalores e autovetores da transformação linear

representada pela matriz

−

95200

9754000531

01042

00001

.

❻ Considere a matriz de transformação em cada item e determine seu polinômio característico,autovalores e autovetores correspondentes, e a multiplicidade algébrica e geométrica de cadaautovalor.

⒜

−

−

=

3100

03000020

0002

A ⒝

−

−

=

3000

03005-520

0002

A ⒞

−

=

3000

45005430

1412

A

Respostas

❶

⒜ PolinFmio $ara$ter+sti$o& ( ) 23λ λ λ P 2 +−=

⒝ !tovalores& 1λ 1 = e 2λ 2 = !tovetores& ● Para 1λ 1 = ( ) ( ) ( ) ( )y,x17y20x,12y14xy,x1y,xT =+−+−⇒=

Sistema associado:

=+−

=+−

y17y20x

x12y14x

=+−

=+−⇒

016y20x

012y15x

Solução do sistema:( )

=

=

4

5xy

livrexx

Exemplos: ( )5,4v = , ( )25.1,1v = , …


64/75


● Para 2λ 2 = ( ) ( ) ( ) ( )y2,2x17y20x,12y14xy,x2y,xT =+−+−⇒=

Sistema associado:

=+−

=+−

2y17y20x

2x12y14x

=+−

=+−⇒

015y20x

012y16x


( )

=

=

34xy

livrexx

Exemplos: ( )4,3v = , ( )3333.1,1v = , …

⒞

● Para 1λ 1 = temos ( )7809.0,0.6247-v1 −=

● Para 2λ 2 = temos ( )8.0,0.6-v2 −=

❷ ● Para 1λ

1

= ( ) ( ) ( ) ( )y,xy2x,xy,x1y,xT =+⇒=

Sistema associado:

=+

=

yy2x

xx Solução do sistema:

( )

−=

=

xy

livrexx

Exemplos: ( )1,1v −= , ( )2,2v −= , ( )7071.0,0.7071v −= (forma normalizada) , …

● Para 2λ 2 = ( ) ( ) ( ) ( )y2,2xy2x,xy,x2y,xT =+⇒=

Sistema associado:

=+

=

2yy2x

x2x Solução do sistema:

( )

=

=

livreyy

0x

Exemplos: ( )2,0v −= , ( )1,0v = (forma normalizada) , …

❸

( ) ( )t,2zy,zx,2zt,z,y,xT

t

2zy

zx

2z

t

z

y

x

*

1000

0210

0101

0200

−+=⇒

−

+=

−

PolinFmio $ara$ter+sti$o& ( ) 2λ 3λ -λ λ λ P 234 +−+=

!tovalores& 1λ 1 = , 1λ 2 −= , 2λ 3 −= e 1λ 4 = (observe que um dos autovalores se repete !)

Para 2λ −= Temos ( ) ( ) ( )2tt,2z2zy,2yzx,2x2zt,z,y,x2t,z,y,xT −=−=−−=+−=⇒−=

Sistema associado:

=

=

=++

=+

03t

0y

0z2yx

02z2x

⇨ Solução do sistema:( )

=

=

=

−=

0t

livrezz

0y

zx

Exemplos: ( )0,1,0,1-v = , ( )0,0.7071,0,0.7071-v = (forma normalizada) , …

Logo, o é um autovetor da matriz M associado ao autovalor 2λ −= .


65/75


❹

( ) ( )z2x-,y2x-,z4xz,y,xT

z2x

y2x

z4x

z

y

x

*

102

012

104

+++=⇒

+−

+−

+

=

−

−

PolinFmio $ara$ter+sti$o& ( ) 6-11λ 6λ -λ λ P 23 +=

!tovalores& 1λ 1 = , 2λ 2 = e 3λ 3 =

!tovetores& ● Para 1λ 1 = ( ) ( )z,y,x1z,y,xT =

Sistema associado:

=−

=+

02x

0z3x ⇨ Solução do sistema:

( )

=

=

livreyy

0x

Exemplos: ( )0,2,0v = , ( )0,1,0v = (forma normalizada) , …

● Para 2λ 2 = ( ) ( )z,y,x2z,y,xT =

Sistema associado:

=−−

=−−

=+

0z2x

0y2x

0z2x

⇨ Solução do sistema:

( )

−=

−=

=

2xz

2xy

livrexx

Exemplos: ( )2,2,1v −−= , ( )6667.0,6667.0,3333.0v −−= (forma normalizada) , …

● Para 3λ 3 = ( ) ( )z,y,x3z,y,xT =

Sistema associado:

=−−

=−−

=+

02z2x02y2x

0zx

⇨ Solução do sistema:( )

=

−=

−=

livrezzxy

zx

Exemplos: ( )1,1,1-v = , ( )5774.0,5774.0,5774.0-v = (forma normalizada) , …

❺

( ) ( )9t5s2z,9t7s5z4y,s4y2x,xt,s,z,y,xT

9t5s2z9t7s5z4y

5z3yx

s4y2x

x

ts

z

y

x

*

9520097540

00531

01042

00001

+++++−+=⇒

+++++

++

−+

=

−

PolinFmio $ara$ter+sti$o& ( ) 459-982λ 709λ -211λ 26λ -λ λ P 2345 ++=


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UT*VL*RES UT*VET*RES 5V9 MTLB714.5219λ 1 = ( )0.6649,0.7432,0.0223-,0.0706-,0v1 =

6248.1λ 2 = ( )0.4488,0.7786,0.2914,0.32780,v2 −−=

0498.4λ 3 = ( )0.3716,0.0140-,0.8849-,0.2803,0v3 = 8035.4λ 4 = ( )4734.0,0462.0,8778.0,0575.0,0v4 −−=

1λ 5 = ( )0.4652-,0.7822,0.0947-,0.0082-,0.4034v5 =

❻ ⒜

PolinFmio $ara$ter+sti$o& ( ) 3612λ 11λ 2λ -λ λ P 234 ++−=

!tovalores& 2λ λ e3λ λ 4321 −====

!tovetores&● Para 3λ =

Solução do sistema associado:

( )

=

=

=

=

livredd

0c

0b

0a

Possíveis autovetores para 3λ = : ( )50,,00,v1 = , ( )40,,00,v2 −= ● Para 2λ −=


( )

( )

=

=

=

=

0d0c

livrebb

livreaa

Possíveis autovetores para 2λ −= : ( )00,7,3,v = , ( )00,,2010,v −= ,…

M!ltipli$idade dos a!tovalores&● 3λ = : Possui multiplicidade algébrica 2 e multiplicidade geométrica 1● 2λ −= : Possui multiplicidade algébrica e geométrica 2

❻ ⒝

PolinFmio $ara$ter+sti$o& ( ) 3612λ 11λ 2λ -λ λ P 234 ++−=

!tovalores& 2λ λ e3λ λ 4321 −====

!tovetores&● Para 3λ =

Solução do sistema:( )

( )

=

=

−=

=

livredd

livrecc

dcb

0a

Possíveis autovetores para 3λ = : ( )1,5,40,v = , ( )7,2,90,v −−= , …

● Para 2λ −=


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( )

( )

=

=

=

=

0d

0c

livrebb

livreaa

Possíveis autovetores para 2λ −= : ( )00,,43,v = , ( )00,,22,v = ,⋯

M!ltipli$idade dos a!tovalores&● 3λ = : Possui multiplicidade algébrica e geométrica 2● 2λ −= : Possui multiplicidade algébrica e geométrica 2

❻ ⒞

PolinFmio $ara$ter+sti$o& ( ) 90-λ 3317λ 9λ -λ λ P 234 ++=

!tovalores& 5λ e3λ λ ,2λ 4321 ===−=

!tovetores&● Para 2λ −=


( )

=

=

=

=

0d

0c

0b

livreaa

Possíveis autovetores para 2λ −= : ( )0,0,01,v = , ( )0,0,05,v = ,⋯ ● Para 3λ =

Solução do sistema associado:( )

=

=

=

=

0d

0c

5ab livreaa

Possíveis autovetores para 3λ = : ( )0,0,51,-v −= , ( )0,0,102,v = ,⋯ ● Para 5λ =


( )

=

=

=

=

0d6

7ac

3

7b

livreaa

a

Possíveis autovetores para 5λ = : ( )0,7,146,v = ,

= 0,

6

7,

3

71,v ,⋯

M!ltipli$idade dos a!tovalores&● -2λ = : Possui multiplicidade algébrica e geométrica 1● 3λ = : Possui multiplicidade algébrica 2 e geométrica 1● 5λ = : Possui multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1


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Tópico + % ;iagoalia5o de Matries

Relações entre m!ltipli$idades al#@bri$a e #eom@tri$a

Teorema& Se A é uma matriz quadrada, então A é diagonalizável se, e somente se, amultiplicidade geométrica de cada autovalor de A é igual à multiplicidade algébrica. É possívelentão diagonalizar uma matriz a partir de seus autovetores desde que estes sejam linearmenteindependentes.

E%emplos&

❶ Sendo

−

−=

1720

1214A a matriz de uma TL, temos:

PolinFmio $ara$ter+sti$o& ( ) 23λ λ λ P 2 +−=

!tovalores& 1λ 1 = e 2λ 2 = , ambos com multiplicidade algébrica 1.

!tovetores& ambos com multiplicidade geométrica 1.● Para 1λ 1 = temos ( )7809.0,0.6247-v1 −= , pois a solução do sistema associado ao

problema determina:( )

=

=

4

5xy

livrexx

● Para 2λ 2 = temos ( )8.0,0.6-v2 −= pois a solução do sistema associado ao problema

determina:( )

=

=

3

4xy

livrexx

As matrizes P e D, obtidas via Matlab, contendo os autovetores e autovalores são:

−−

−−=

0,80,7809

0,60,6247P e

=

20

01D

Sendo a inversa da matriz P dada por

−

−=

−

2025

19,209425,6125P 1 observa-se que:

D20

01

0,80,7809

0,60,6247

1720

1214

2025

19,209425,6125PAP 1 =

=

−−

−−

−

−

−

−=

−

❷ Sendo

−

=

353

031002


PolinFmio $ara$ter+sti$o& ( ) 18-21λ 8λ -λ λ P 23 +=

!tovalores e !tovetores& As matrizes P e D obtidas via Matlab indicam:

−

−=

0,984711

0,123100

0,123100

P e

=

200

030

003

D


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Observa-se então que o autovalor 3λ 1 = possui multiplicidade algébrica 2 e multiplicidadegeométrica 1, já que os autovetores obtidos a partir de autovalor são LD ( linearmentedependentes por serem múltiplos ).O autovalor 2λ 2 = possui multiplicidade algébrica 1 e multiplicidade geométrica 1.Desta forma a matriz P possui determinante nulo e não possui inversa.

Pot-n$ias de !ma matriz dia#onaliz)velExistem muitas aplicações que exigem o cálculo de potências elevadas de matrizes quadradas.Para minimizar o tempo de processamento e diminuir o consumo de energia, bem como diminuiros erros de arredondamento, existem algumas técnicas que podem reduzir a quantidade deoperações necessárias nestas aplicações.Sejam A e P matrizes tal que P diagonaliza A. Neste caso,

PAPD 1−= onde D é uma matriz diagonal, cujos elementos são os autovalores de A e denotada por

( )n21 λ ,,λ ,λ diagD L=

Pode

apanhado de Álgebra matricial - pucrs

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