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8/17/2019 Apanhado de Álgebra Matricial - PUCRS
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ÁLGEBRA MATRICIAL 1
PUCRS - Faculdade de MatemáticaProfa. Cláudia Batistela
Álgebra Matricial
TTTóóópppiiicccooo PPPááágggiiiaaa ! - RReevviissã ã oo ddee MMaattrriizzeess "
" - SSiisstteemmaass LLiinneeaarreess #$ % UUttiilliizzaaççã ã oo ddoo MMaattllaabb !"
& % VVeettoorreess ee CCoommbbiinnaaççõ õ eess LLiinneeaarreess "'
( % EEssppaaççooss ee BBaasseess ")
# % T T rraannssffoorrmmaaççõ õ eess LLiinneeaarreess $(
) % T T rraannssffoorrmmaaççõ õ eess LLiinneeaarreess PPllaannaass &!
* % !!ttoovvaalloorreess ee !!ttoovveettoorreess (#
+ % ""iiaa##oonnaalliizzaaççã ã oo ddee MMaattrriizzeess #+
!' % ""ee$$oommppoossiiççã ã oo LLUU )(
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ÁLGEBRA MATRICIAL 2
Tópico ! % Re,iso de Matries
❶ Chama-se matriz de ordem m por n a um quadro de m x n elementos ( em geral, númerosreais ) dispostos em m linhas e n colunas.
=
mnm2m1
2n2221
1n1211
a...aa
a...aa a...aaA
MMM
Cada elemento da matriz A está relacionado com dois índices: jia . O primeiro índice ( i ) indica
a linha e o segundo ( j ) a coluna a que o elemento pertence. A matriz A pode ser representadaabreviadamente por A = [ai j], i variando de 1 a m e j variando de 1 a n.
E%emplo& ( ) [ ] jiA 3,2 += é a representação para a matriz de ordem 2 x 3 dada por
=
=
543
432
aaa
aaa
A 232221
131211
Costrua as seguites matries/⒜ 33A × , onde j-ia ji =
⒝ 52B × cujos coeficientes são dados por
≥−
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ÁLGEBRA MATRICIAL 3
Multiplicação de matrizes:
E%emplo&
=
61
23A
=
051
784B
=
×+××+××+×
×+××+××+×=×
73810
213414
067156811641
027352831243BA
4BS/ Multiplica5o poss6,el pois o 7mero de coluas de 8 9 igual ao 7mero de li:as de B
Sedo/
−=
02
35
21
A e
=
10
2-2
31-
B ,
⒜ calcule a matriz X dada pela equação BX2A =+
⒝ é possível obtermos a matriz 2B ? Justifique sua resposta.
❹ Determinante: número real associado a uma matriz quadrada.
E%emplos& ● Determinante de 2ª ordem
Sendo
=
43
21A então ( ) 3241
43
21Adet ×−×==
● Determinante de 3ª ordem ( Regra de Sarrus )
Sendo
=
987
654
321-
A então
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 26942861753843762951Adet =××−××−−××−××+××+××−=
;etermie o ,alor da icógita 3ue ,alida cada e3ua5o/
⒜ 25
13k
k5
34 −=
⒝ 0
442
4xxxxx=
❺ Uma indústria eletrônica de ponta fabrica determinado equipamento em dois modelos P e Q.Na montagem do aparelho tipo P são utilizados 6 transistores, 9 capacitores e 11 resistores, e nomodelo Q, 4 transistores, 7 capacitores e 10 resistores. Essa mesma indústria recebeu asseguintes encomendas:
⒜ 8 aparelhos do modelo P e 12 do modelo Q para o mês de janeiro;
⒝ 10 aparelhos do modelo P e 6 do modelo Q para o mês de fevereiro.
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ÁLGEBRA MATRICIAL 4
Determine a matriz que registra o total de transistores, capacitores e resistores que serãoutilizados para atender às encomendas de cada mês.
✔✔✔✔
=
<
=
jise,4
jise,3
jise,2
c ji Resp&
=
2344
2234
2223
C
❷ Determine u e v tal que
−+
−−=
−
+−
15v6
vu3vv
u44
1u6
52uv
3vu2u1 22
.Resp& 2ve3u −==
❸ Sendo
=
743-
510A e
=
81-6
410B , então
−
=
75
41
30
A t ( matriz A transposta )
⒜ calcule 3B2A − . Resp&
−−
−−
101124
210
⒝ calcule o produto da matriz A pela transposta da matriz B. Resp&
3432
3921
⒞ É possível calcular 2A ? Justifique. Resp& Não.No. colunas ≠ No. linhas
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ÁLGEBRA MATRICIAL 5
❹ Seja
−=
012x
x2A
2
. Se tAA = , encontre o valor de x. Resp& 1x =
❺ Determine x, y, z e w tais que
=
10 0143 32wz yx . Resp&
−==
=−=
2w3,z 3y4,x
❻ Calcule os valores de a e b para que o determinante da matriz
b2a3
aa 2 possa ser nulo.
Resp& 3
2bou0a ==
❼ Se 1814p 44p
22p
−=
, então calcule o determinante da matriz
−
−
=
12p 4p3
21p
M .
Resp& 3p = , ( ) 6Mdet −=
❽ Resolva a equação 3
611
x11
2x2
−= Resp& 5xou3x ==
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ÁLGEBRA MATRICIAL 6
Tópico " % Sistemas >ieares
Um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas é usualmente representado daforma:
=++++
=++++
=++++
nnnn3n32n21n1
2n2n323222121
1n1n313212111
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
L
LLLLLLLLLLLLLLLLL
L
L
sendo:
jia : coeficientes das incógnitas
ix : incógnitas
ib : termos independentes
n : número de incógnitas
Representação Matri$ial&
{ {
B
n
3
2
1
X
n
3
2
1
A
nnn3n2n1
3n333231
2n232221
1n131211
b
b
b
b
x
x
x
x
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
=
×
LL
4 4 4 4 34 4 4 4 21
L
LLLLL
L
L
L
sendoA : matriz dos coeficientes das incógnitasX : vetor coluna de incógnitasB : vetor coluna de termos independentes
Classifi$ação de sistemas '!anto ao n(mero de sol!ções
( ) ( )( )
( )
soluçãoexistenão
soluçõesinfinitas únicasolução soluçãoexiste
Impossível
adoIndetermin oDeterminadPossível
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ÁLGEBRA MATRICIAL 7
E%emplos&
=+
=+
03yx-
52yx
=−
=−
1yx
0yx
=+
=+
12y63x
4y2x
Representação #r)fi$a& Representação #r)fi$a& Representação #r)fi$a&
Sol!ção:
= 13X Sol!ção: existenão:X
Sol!ção:
=
y
2y-4X
ou
−=
2
x4
xX
Classifi$ação&Sist. possível determinado
Classifi$ação&Sist. impossível
Classifi$ação&Sist. possível indeterminado
Teorema de Cramer
É um teorema que apresenta a solução de um sistema de equações lineares em termos dedeterminantes. De acordo com este teorema, dado o sistema de equações BXA = , ascomponentes do velor solução X do sistema são obtida da seguinte forma:
n,,1i,∆
∆xx ii L==
sendo:∆ o determinante da matriz A
i∆x o determinante da matriz obtida substituindo-se a coluna i da matriz A pelo vetor B
*bservação&
Pelo teorema de Cramer podemos concluir que, sendo :● Se 0≠∆ o sistema é poss+vel determinado (possui solução única)
● Se 0∆x∆x∆x∆ n21 ===== L o sistema será poss+vel indeterminado, pois
0
0
∆
∆x
∆
∆x
∆
∆x n21==== L
● Se 0∆ = e al#!m 0∆x i ≠ o sistema será imposs+vel
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ÁLGEBRA MATRICIAL 8
E%emplos&
❶ Para o sistema
=+
=+
03yx-
52yx temos
−=
31
21A ,
=
y
xX e
=
0
5B
Desta forma são obtidas as matrizes
=
3025A x e
=
01-51A y
Cálculo dos determinantes:5=∆ , 15∆x = e 5∆y =
Cálculo das incógnitas do vetor X:
35
15
∆
xx ==
∆= e 1
5
5
∆
∆yy ===
Assim,
=13X
Classifi$ação do sistema& poss+vel determinado.
❷ Para o sistema
=−
=−
1yx
0yx temos
=
1-1
1-1A ,
=
y
xX e
=
1
0B
Desta forma são obtidas as matrizes
=
1-1
1-0A x e
=
11
01A y
Cálculo dos determinantes:0=∆ , 1∆x = e 1∆y =
Classifi$ação do sistema& imposs+vel
❸ Para o sistema
=+
=+
21y63x
4y2x temos
=
63
21A ,
=
y
xX e
=
12
4B
Desta forma são obtidas as matrizes
=
612
24A x e
=
123
41A y
Cálculo dos determinantes:0=∆ , 0∆x = e 0∆y =
Classifi$ação do sistema& poss+vel indeterminado
❹ Classifique o sistema
=++
=+−
=++
3z2ymx
0mzyx
2zyx
em função do valor de “m”.
Neste caso,
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ÁLGEBRA MATRICIAL 9
−=
12m
m11
111
A ,
=
3
0
2
B ,
−=
123
m10
112
A x ,
=
13m
m01
121
A y e
−=
32m
011
211
A z
O sistema será:● poss+vel determinado se 0mm∆ 2 ≠−= , ou seja, se 1mou0m ≠≠
● imposs+vel se 0m = pois neste caso 2∆ze1∆y∆x,0∆ −====
● poss+vel indeterminado se 1m = pois neste caso 0∆z∆y∆x∆ ====
M9todo de ?aussMétodo direto para resolução de sistemas de equações na forma BXA = .O vetor X é obtido em duas etapas: trian#!larização e retros!bstit!ição
E%emplo&
=++
=+
=++
1z2y3x
3z3y-2x
1zyx
⑴⑴⑴⑴ Triangularização:
Consiste em efetuar operações elementares nas linhas da matriz e zerando-se todos os elementosabaixo da diagonal principal.
−=
=
=++
−=
−←⇒=
=++
−←
−←⇒
=++
=+
=++
213z-
1z-5y-
1zyx
________________________
2z-2y-
2L5LL3:Operação1z-5y-
1zyx
_______________________
3LLL
2LLL:Operações
1z2y3x
3z3y-2x
1zyx
23
133
122
⑵⑵⑵⑵ Retrosubstituição
Consiste no cálculo de cada uma das incógnitas do vetor X
−=⇒=++
−=⇒=
=⇒−=
2 x 1zyx
1y1z-5y-
4z 123z-
➩
−
=
4
1-
2
X
Classifi$ação& Sistema compatível determinado
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ÁLGEBRA MATRICIAL 10
✔✔✔✔ ieares❶ Utilize o teorema de Cramer para classificar os sistemas.
⒜
=++
−=++
=++
119z4y3x
52z3yx167zy2x
Resp& 0∆z∆y∆x∆ ====
➡ Sistema possível indeterminado
⒝
=++
=++
=++
119z8y7x
56z5y4x
13z2yx
Resp& -6∆z;12∆y;6∆x;0∆ ==−==
➡ Sistema impossível
❷ Classifique o sistema
=++
=++
=++
1azyx
1zayx1zyax
em função do valor de “a”.
Resp& possível determinado se 2ae1a −≠≠ possível indeterminado se 1a =
impossível se 2a −=
❸ Determinar a condição para que o sistema
=++−
=+
=+
0zay2x
02z-yx
03z-2yx
seja possível determinado.
Observe que neste caso o vetor B é nulo, e o sistema é dito ,omo#-neo.Resp& 1a ≠
❹ Classifique, segundo os valores de “a” e “b”, o sistema
=+
=++
=++
bz3y-2x
-53zyx
04zay3x
Resp& possível determinado se 2a −≠ e b qualquerpossível indeterminado se 5be-2a ==
impossível se 5be2a ≠−=
❺ Utilize o método de Gauss ( operações elementares ) para classificar os sistemas e, sepossível, indicar a solução em cada caso.
⒜
=++
=++
=++
0zy5x
4zyx
4zy32x
Resp&
−=
3
1
2
X ➡ Sistema possível determinado
⒝
=+=+
=+
33z-y96x-23z-yx
4z26y-4x
Resp& ➡ Sistema impossível
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ÁLGEBRA MATRICIAL 11
⒞
=++
=++
=++
7zyx
33z5y43x
16z2y34x
Resp&
−
−
=
z
2z12
5z
X ➡ Sistema possível indeterminado
❻ Uma dieta requer para a refeição principal:● 7 unidades de gordura;● 9 unidades de proteínas e● 16 unidades de carboidratos
Certa pessoa dispõe de 3 alimentos com os quais pode montar sua dieta:limento .& cada medida contém 2 unidades de gordura, 2 unidades de proteína e 4 unidades decarboidratos.limento /& cada medida contém 3 unidades de gordura, 1 unidade de proteína e 2 unidades decarboidratos.limento 0& cada medida contém 1 unidade de gordura, 3 unidades de proteína e 5 unidades de
carboidratos.Sejam x, y e z o número de medidas que a pessoa consome dos alimentos 1, 2 e 3,respectivamente, em sua refeição principal. Encontre um sistema linear em x, y e z cuja soluçãodiz quantas medidas de cada alimento deve ser consumida pela pessoa para atender à dieta.
Resp&
=
2
1
1
X
❼ Encontre 3 números reais cuja soma é igual a 12, tais que as seguintes restrições sejamrespeitadas:● a soma do dobro do primeiro com o segundo e o dobro do terceiro é 5● o terceiro número é um a mais do que o primeiro.Encontre um sistema linear cujas equações descrevem este problema e resolva-o.
Resp&
=
3-
19
4-
X
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ÁLGEBRA MATRICIAL 12
Tópico $ % Utilia5o do Matlab
*ri#em e !tilização do MatlabO Matlab é um software destinado a fazer cálculos com matrizes
( Matlab = MATrix LABoratory ). Foi criado no fim dos anos 1970, tendo sido adotado pelaprimeira vez por engenheiros de projeto de controle. Rapidamente se espalhou para outroscampos de aplicação. Atualmente é também utilizado nas áreas da educação, em especial noensino da álgebra linear e análise numérica, e é muito popular entre os cientistas envolvidos como processamento de imagem.
$esso ao Matlab
1anela de $omandoOs comandos do Matlab são normalmente digitados na janela de comando (conforme a figuraabaixo), onde uma única linha de comando é introduzida e processada imediatamente.
r'!ivo 2m
O MatLab é também capaz de executar seqüências de comandos armazenadas em arquivos. Osarquivos que contêm as declarações do MATLAB são chamadas arquivos .m, e consistem deuma seqüências de comandos normais do MATLAB. Para editar um arquivo texto na janela decomando do MATLAB selecione New M-file para criar um novo arquivo ou Open M-file paraeditar um arquivo já existente, a partir do menu File. Os arquivos podem, também, ser editadosfora do MATLAB utilizando qualquer editor de texto.
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ÁLGEBRA MATRICIAL 13
3ravação do ar'!ivo 2mAo efetuar a gravação de um arquivo .m observe os seguintes detalhes:● O primeiro caracter do nome do arquivo não pode ser um número● Não deixe espaços em branco nem utilize caracteres como o ponto ( . ) na composição donome dado ao arquivo
E%e$!ção do ar'!ivo 2mPara que um arquivo seja executado basta acionar a opção Run na barra de ferramentas,conforme mostra a figura abaixo.
8te5o @@ ● É fundamental que o arquivo já tenha sido gravado com algum nome para que o mesmo possaser executado no Matlab.
● O nome do arquivo o de,e iniciar por números ( !aula.m ), conter caracteresespeciais ( aulaA!.m ) e nem ser igual a algum comando do Matlab ( sol,e.m ).
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ÁLGEBRA MATRICIAL 14
*peradores rela$ionais
SÍMBOLO SIGNIFICADO
< Menor> Maior
= Maior ou igual
= = Igual
~ = Diferente
Atenção !!● o símbolo '=' é usado para atribuição a variáveis
● o símbolo '= =' é usado para testar uma igualdade *peradores l4#i$os
SÍMBOLO SIGNIFICADO
& And ( e )
| Or ( ou )
~ Not ( negação )
"e$larações no Matlab➀ Declaração das matrizes
=
42
31M ,
−=
30
75N e
=
9
5B
COMANDOS DO ARQUIVO .MRESULTADOS NA JANELA DE
COMANDO
M=[1 3; 2 4]N=[5 7; 0 -3]
B=[5 ; 9]
M =1 32 4
N =5 7
0 -3B =59
Observações:● ao declararmos uma matriz utilizamos ponto e vírgula para separar os elementos de cadalinha.● o símbolo de igualdade ( )= representa no Matlab uma atribuição. Desta forma, o resultado deuma operação é atribuído à variável declarada à esquerda do símbolo.
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ÁLGEBRA MATRICIAL 15
➁ Cálculo do determinante da matriz M
COMANDOS DO ARQUIVO .MRESULTADOS NA JANELA DE
COMANDO
det(M) ans =-2
Observação:A variável ans é uma variável global do Matlab para armazenar o resultado do último comandoexecutado.
➂ Operações com matrizes:
⒜ Multiplicação da matriz M pela constante 4
COMANDOS DO ARQUIVO .MRESULTADOS NA JANELA DE
COMANDO
4*Mans =
4 128 16
⒝ Cálculo de potências de matrizes ( )2M
COMANDOS DO ARQUIVO .MRESULTADOS NA JANELA DE
COMANDO
M^2ans =
7 1510 22
⒞ Multiplicação das matrizes M e N ( )MN
COMANDOS DO ARQUIVO .MRESULTADOS NA JANELA DE
COMANDO
M*Nans =
5 -210 2
⒟ Transposta de uma matriz ( )TM
COMANDOS DO ARQUIVO .MRESULTADOS NA JANELA DE
COMANDO
M 'ans =
1 2
3 4
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ÁLGEBRA MATRICIAL 16
⒠ Inversa de uma matriz ( )1M −
COMANDOS DO ARQUIVO .MRESULTADOS NA JANELA DE
COMANDO
inv(M) ans =-2.0000 1.50001.0000 -0.5000
④ Definição de matrizes cujos coeficientes são dados por uma fórmula
⒜ Definir a matriz 33N × , cujos elementos são dados por 5j2iN ji += .
COMANDOS DO ARQUIVO .MRESULTADOS NA JANELA DE
COMANDO
for i=1:3for j=1:3N(i,j)=2*i+5*j;
endend
N
N =7 12 179 14 19
11 16 21
⒝ Defina a matriz 65G × cujo termo genérico é dado por
>
=
<
=
jise,4
jise,3
jise,2
G ji
COMANDOS DO ARQUIVO .MRESULTADOS NA JANELA DE
COMANDOfor i=1:5
for j=1:6if i
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ÁLGEBRA MATRICIAL 17
Resol!ção de sistemas via Matlab
● Comando solve O Matlab dispõe do comando sol,e para cálculo das raízes de !ma e'!ação ou para resol!ção
de !m sistemas de e'!ações.E%emplos&
❶ Solução do sistema
=++−
=−+
=+−
12zyx
43z2yx
1z3y2x
via Matlab:
COMANDOS DO ARQUIVO .M RESULTADO
[x,y,z]=solve( ' 2*x-3*y+z=1 ' ,' x+2*y-3*z=4 ', ' -x+y+2*z=1 ',' x,y,z ' )
x =3
y =2
z =1
8te5o @@ As variáveis indicadas no lado es3uerdo da igualdade do comado sol,e devem ser,obrigatoriamente, declaradas em ordem alfab9tica.
❷ Solução do sistema
−=+++
=+
−=++
=+++
1tzy x
13t-z4y7
15t3z9y- x
13tz27y2x
via MatLab:
COMANDOS DO ARQUIVO .M RESULTADO
[t,x,y,z]=solve( ' 2*x+7*y+2*z+t=13 ' ,' x-9*y+3*z+t=-15 ',
' 7*y+4*z-t=31 ', ' x+y+z+t = - 1 ' ,' x,y,z,t ' )
x =-1
y =2
z =3t =
-5
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 18
✔✔✔✔
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ÁLGEBRA MATRICIAL 19
❹ Defina a matriz 44F × cujo termo genérico é 3j4iF2
ji +=
Calcule o determinante da matriz F e, se possível, a inversa da matriz F.
Resp&
=
7673706748454239
28252219
1613107
F , ( ) inversamatrizpossuinãoF0Fdet ⇒=
❺ Utilize o comando solve do Matlab para determinar, se possível, a solução dos seguintessistemas lineares:
⒜
=+
−=+
=+
1yx
3zx
2zy
Resp&
=
1-
3
2-
X
⒝
=++
=++
=++
7zyx
335z4yx3162z3y4x
Resp&
=
z
2z-125-z
X
⒞
=+
=
=++
1z2y
2y-x
0zyx
Resp& Sistema impossível
⒟
=+
=+
−=−
=+
=−
7yx
305y4x13yx
192y3x
8y2x
Resp&
=
2
5
X
⒠
=−
=−
=−
=+
76y3x
2yx
84y2x
3y3x
Resp& Sistema impossível
❻ Calcule, através do comando solve do Matlab, valores de x que validam as equações:
⒜ 0632xx 2 =−+ Resp& 9xe7x −==
⒝ 010x7xx 23 =++ Resp& 5xe2x,0x −=−==
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ÁLGEBRA MATRICIAL 20
Tópico & % etores e Combia5=es >ieares
?radeas f6sicasAs grandezas físicas se subdividem em escalares e vetoriais.● 3randezas es$alares& se caracterizam por serem completamente definidas quando sãoespecificados o seu m4d!lo 5 6 ma#nit!de o! intensidade 7 e sua unidade de medida.
E%emplos& ( )
( )
=
=
volume:V1mV
massa :m20kgm3
● 3randezas vetoriais o! vetores& se caracterizam por três componentes: m4d!lo8direção e sentido.
E%emplos& ( )
( )
=
=
força:F5NF
todeslocamen:d10md
Observe que o deslocamento não fica perfeitamente definido se for apresentada somente adistância percorrida, havendo a necessidade de especificar a direção e o sentido dodeslocamento. A figura abaixo representa o deslocamento de um corpo de uma posição inicial A para uma posição final B, através do segmento de reta orientado AB.
Geometricamente vetores são representados por segmentos de reta orientados no plano ou noespaço. A ponta da seta do segmento orientado é o ponto final o! e%tremidade e a outraextremidade é o ponto ini$ial o! ori#em do segmento orientado.
E%emplo& A figura abaixo representa graficamente o vetor→
d .
Neste caso, tem-se:M4d!lo& é dado pelo comprimento do segmento AB
"ireção& é dada pela reta suporte do segmento (30o
com a horizontal).Sentido& é dado pela seta colocada na extremidade do segmento.
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 21
etores em sistemas de coordeadasAs operações com vetores podem ser definidas utilizando um sistema de $oordenadas. Umpar ordenado ( )yx, é um vetor do IR2 e uma tripla ordenada ( )zy,x, é um vetor do IR3. Osconjuntos IR2 e IR3 são exemplos de espaços vetoriais, e cada elemento destes conjuntos é umvetor. Representamos geometricamente estes vetores por uma flecha orientada, geralmente comorigem no ponto que representa o vetor nulo do espaço e com extremidade no pontocorrespondente às coordenadas do vetor. O vetor zero é representado por:
( )0,00 = no IR2
( )0,0,00 = no IR3
E%emplos&❶ v ( )3,2= é um vetor do IR2 As componentes ou coordenadas do vetor v, segundo as direções x e y, são as projeções
ortogonais do vetor nas duas direções. Neste caso, tem-se2: componente do vetor v na direção x3: componente do vetor v na direção y
❷ v ( )4,3,2= é um vetor do IR3 Neste caso, tem-se
2: componente do vetor v na direção x3: componente do vetor v na direção y4: componente do vetor v na direção z
gualdade de etoresOs vetores v ( )21 v,v= e w ( )21 w,w= são iguais se, e somente se, 11 wv = e 22 wv =
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 22
E%emplo& Sendo u ( )5,2= e v ( )7y,1x ++= Se u = v então 57ye21x =+=+ Logo, 2ye1x −==
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 23
A igualdade de vetores bem como as operações em outras dimensões são análogas ao que temosno IR2.E%emplo&Sendo u ( )0,5,2= e v ( )3,0,1= , então:
u + v ( ) ( )3,5,330,05,12 =+++= u – v ( ) ( )3,5,130,05,12 −=−−−=
3 u ( ) ( )0,15,603,53,23 =×××=
Combia5o >iear de etores
Dado um conjunto de n vetores { }n21 u,,u,u L dizemos que um vetor v é $ombinação
linear dos vetores dados se existem números reais n21 a,,a,a L tais que:
v nn2211 uauaua +++= L
E%emplos&⒜⒜⒜⒜ Dados ( ) ( ){ }1,0,0,1 e ( )4,3v = então v é combinação linear dos vetores dados, pois:
( ) ( ) ( )1,040,134,3 +=
Isto é , sendo ( )0,1u1 = e ( )1,0u 2 = então 21 4u3uv +=
⒝⒝⒝⒝ Dados ( ) ( ) ( ){ }1,0,0,0,1,0,0,0,1 e ( )4,7,2v −= então, sendo ( )0,0,1u1 = ,
( )0,1,0u 2 = e ( )1,0,0u 3 = tem-se 321 4u7u2uv −+=
⒞⒞⒞⒞ O vetor ( )2,8v −= é combinação linear dos vetores ( )1,1u1 = e ( )1,1u 2 −= , pois:( ) ( ) ( ) ( )ba,ba1,1b1,1a2,8 −+=−+=−
Ou seja,
−=−
=+
2ba
8ba
Sol!ção do sistema& 5be3a ==
Con$l!são: O vetor ( )2,8v −= é combinação linear dos vetores ( )1,1u1 = e ( )1,1u 2 −=
pois ( ) ( ) ( )1,151,132,8 −+=− .
⒟⒟⒟⒟ Verifique se o vetor ( )10,4,1v = é combinação linear dos vetores ( )3,2,1u1 = ,
( )6,5,4u 2 = e ( )9,8,7u 3 = .
( ) ( ) ( ) ( )9,8,7c6,5,4b3,2,1a10,4,1 ++= Ou seja,
=++
=++
=++
109c6b3a
48c5b2a
17c4ba
Sol!ção do sistema& Não existe.
Con$l!são: O vetor ( )10,4,1v = não é combinação linear dos vetores ( )3,2,1u1 = ,( )6,5,4u 2 = e ( )9,8,7u 3 = .
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 24
etores >iearmete ;epedetes E>; e >iearmete depedete E>Um conjunto de vetores dados { }n21 u,,u,u L é Linearmente "ependente 5 L" 7 seexistir um deles que é combinação linear dos demais. Caso isto não ocorra, o conjunto de vetores
é chamado de Linearmente 9ndependente 5 L9 7. Isto implica que { }n21 u,,u,u L é umconjunto L9 se e somente se a combinação linear0uauaua nn2211 =+++ L
tem como solução única todos os coeficientes ia iguais a zero.
E%emplos&
⒜ O conjunto ( ) ( ){ }4,2,2,1 é LD, pois ( ) ( )2,124,2 = .
⒝ O conjunto ( ) ( ){ }1,0,0,1 é LI, pois ( ) ( )1,0k0,1 ≠ , para qualquer valor de k.
⒞ O conjunto ( ) ( ){ }4,3,0,0 é LD, pois ( ) ( )4,300,0 = .⒟ O conjunto ( ) ( ) ( ){ }0,4,3,0,1,0,0,0,1 é LD, pois ( ) ( ) ( )0,1,040,0,130,4,3 += .
Crit9rio práticoPara determinar se um conjunto de n vetores { }n21 u,,u,u L do R
n é LI ou LD, usamos o
determinante { }n21 u,,u,udetD L= . Neste caso, concluimos que:
● se 0D ≠ ⇒ o conjunto é LI● se 0D = ⇒ o conjunto é LD ( = um deles é combinação linear dos demais )
No caso particular de dois vetores, um conjunto { }21 u,u é LD se e somente se existe uma
constante k tal que 21 uku = .
E%emplos&
⒜ ( ) ( ){ }1,1,1,1 − é LI ou LD ?
Sol!ção& 211
11=
−
Con$l!são: O conjunto ( ) ( ){ }1,1,1,1 −
é LI, já que nenhum dos dois vetores é múltiplo dooutro.
⒝ ( ) ( ) ( ){ }9,8,7,6,5,4,3,2,1 é LI ou LD ?
Sol!ção& 0
987
654
321
=
Con$l!são: O conjunto ( ) ( ) ( ){ }9,8,7,6,5,4,3,2,1 é LD, já que existe um vetor que é
combinação linear dos demais: ( ) ( ) ( )3,2,16,5,429,8,7 −= .
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 25
✔✔✔✔ ieares
❶ Em cada item verifique se o vetor v é combinação linear dos vetores 321 ueu,u . Em caso
afirmativo, apresente algum exemplo numérico.
⒜ ( )7,9,11v = , ( )3,2,1u1 = , ( )2,3,4u 2 = e ( )2,4,6u 3 =
Resp& Sendo
=++
=++
=++
72c2b3a
94c3b2a
116c4ba
, então2
35ac,54ab,aa
−=+−==
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 26
Tópico ( %
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 27
O plano xOy é um sub espaço vetorial do3
IR de dimensão 2.
BaseUm conjunto { }n21 v,,v,vB L= de vetores de um espaço vetorial V é chamado de base de
V se é linearmente independente e se gera V.
E%emplos&
❶ Seja
( ) ( ){ }
=
=
2
2
IRdocanônicabasea1,0,0,1B
IRV
Observe que B é um conjunto LI ( Linearmente Independente ), já que a matriz
10
01 possui
determinante ( )0110
01≠= . Além disto, o conjunto B gera o 2IR , pois qualquer vetor
( )y,x é combinação linear dos vetores ( )0,1 e ( )1,0 , isto é,
( ) ( ) ( )1,0y0,1xy,x += Alguns exemplos:
( ) ( ) ( )1,040,134,3 +=
( ) ( ) ( )1,020,152,5 −=− ( ) ( ) ( )1,000,130,3- +−=
❷ Seja( ) ( ){ }
−=
=
2
2
IRdobaseuma1,1,1,1B
IRV
De fato, B é LI , pois 211
11=
− e todo vetor ( )y,x é combinação linear dos vetores de B.
Exemplo: O vetor ( )4,3u = pode ser escrito como uma combinação dos vetores de B, já que:
( ) ( ) ( )1,1b1,1a4,3 −+=
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 28
Resulta no sistema
=+
=−
4ba
3ba cuja solução é dada por
2
7a = e
2
1b = .
Sendo assim, ( ) ( ) ( )1,12
11,1
2
74,3 −+=
Desta forma, dizemos então que as $oordenadas do vetor ( )4,3 na base ( ) ( ){ }1,1,1,1B −= são
2
7 e
2
1.
Res!mindo&● na base canônica ( ) ( ){ }1,0,0,1B = temos ( )4,3u =
● na base ( ) ( ){ }1,1,1,1B −= temos
=
2
1,
2
7u
❸ Seja( ) ( ) ( ){ }
=
=
3
3
IRdocanônicabasea1,0,0,0,1,0,0,0,1B
IRV
B é um conjunto LI, pois 1
100
010
001
= e todo vetor ( )z,y,x do 3IR é uma combinação linear
dos vetores do conjunto B, pois:
( ) ( ) ( ) ( )1,0,0z0,1,0y0,0,1xz,y,x ++= Exemplo:
( ) ( ) ( ) ( )1,0,050,1,040,0,135,4,3 ++=
❹ Seja( ) ( ) ( ){ }
−=
=
3
3
IRdobaseuma4,0,4,3,0,3,0,2,0B
IRV
B é um conjunto LI, pois 48
404
303
020
−=
−
.
Todo vetor do 3IR é uma combinação linear destes três vetores.
Exemplo: Vamos determinar as coordenadas do vetor ( )5,4,3v = na base B.
O vetor ( )5,4,3v = pode ser escrito como uma combinação dos vetores de B, já que:
( ) ( ) ( ) ( )4,0,4c3,0,3b0,2,0a5,4,3 −++=
Resulta no sistema
=+
=
=
54c3b
4a2
34c-b3
cuja solução é dada por 2a = ,3
4b = e
4
1c = .
Sendo assim, ( ) ( ) ( ) ( )4,0,4
4
13,0,3
3
40,2,025,4,3 −++=
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 29
e as $oordenadas do vetor ( )5,4,3v = nesta base B são
4
1,
3
4,2
Prod!to Es$alar
O produto escalar de dois vetores don
IR ( )n21 u,,u,uu L= e ( )n21 v,,v,vv L= é dadopor
∑=
=
n
1iii vuv.u
O produto escalar dos vetores u e v é obtido no Matlab através do comando ( )v,udot :: Os vetores u e v devem ser obrigatoriamente declarados anteriormente.
E%emplos&❶ Calcula o produto escalar dos vetores ( )2,1u = e ( )5,3v =
Neste caso,131035231v.u =+=×+×=
Via Matlab
C4M8G;4S ;4 8RHU4 .M RT8;4S G8 ÁRI4
u=[1 2] v=[3 5] dot(u,v)
u =1 2
v =3 5
ans =13
❷ Calcular o produto escalar dos vetores ( )1-,2,1u = e ( )5,3,0v = Neste caso,
( ) 1513201v.u =×−+×+×=
Via Matlab
C4M8G;4S ;4 8RHU4 .M RT8;4S G8 ÁRI4
u=[1 2 -1]v=[0 3 5]
dot(u,v)
u =1 2 -1
v =0 3 5
ans =1
Vetores *rto#onaisDois vetores u e v são ortogonais se:
0v.u =
( produto escalar entre eles é nulo )
E%emplos&❶ Os vetores ( )1,1u = e ( )1,1-v = são orto#onais, pois
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 30
0v.u =
❷ Os vetores ( )1-,2,1u = e ( )5,3,0v = não são orto#onais, pois
( )0v.u1v.u ≠=
3eometri$amente8 dois vetores do 2IR 5 o! do 3IR 7 são orto#onais se o ;n#!loentre eles for i#!al a !ntos *rto#onaisUm conjunto { }n21 v,,v,vM L= de um espaço vetorial V é ortogonal se
0v.v ji =
para cada par de vetores i , j, com ji ≠ .
E%emplo& * $on>!nto ( ) ( ) ( ){ }4,4,4,4,2,2,0,1,1M −−=
é orto#onal, pois( ) ( ) 04,2,2.0,1,1 =−
( ) ( ) 04,4,4.0,1,1 =−− ( ) ( ) 04,4,4.4,2,2 =−
Bases *rto#onaisUma base { }n21 v,,v,vB L= de um espaço vetorial V é ortogonal se
0v.v ji =
para cada par de vetores i , j, com ji ≠ .
E%emplos&
❶ As bases canônicas do 2IR e do 3IR são ortogonais.
Para 2IR & ( ) ( ){ }1,0,0,1B =
Para 3IR : ( ) ( ) ( ){ }1,0,0,0,1,0,0,0,1B =
❷ A base ( ) ( ){ }1,1,1,1B −= é uma base ortogonal do 2IR .
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 31
C)l$!lo do M4d!lo e ?ormalização de !m vetorDado um vetor ( )n21 u,,u,uu L= do
nIR , o m4d!lo de ! é dado por:
( ) ( ) ( )2n2
22
1 uuuu +++= L .
E%emplo& Cálculo do módulo do vetor ( )1,1u −= .Neste caso,
( ) ( ) 4142,12111,1 22 ≅=−+=
Via Matlab
O módulo do vetor u é obtido no Matlab através do comando ( )unorm
C4M8G;4S ;4 8RHU4 .M RT8;4S G8 ÁRI4
u=[1 -1]norm(u)
u =1 -1
ans =1.4142
Se 1u = , então u é um vetor !nit)rio.
Todo vetor u com módulo não-nulo pode ser normalizado fazendo-se:
u
uv =
E%emplo&
Vamos considerar o vetor ( )4,3u = .Neste caso,
Módulo de u: 5u =
Normalização do vetor u:( )
( )8.0,6.05
4,
5
3
43
4,3v
22=
=
+
=
Módulo do vetor v: 125
16
25
9v =+=
:: O vetor
= 5
4,5
3v é um vetor unitário que tem a mesma direção do vetor u.
Bases *rtonormaisÉ uma base ortogonal formada por vetores unitários.
E%emplo&A base ( ) ( ){ }1,1-,1,1B = é uma base ortogonal, mas não @ ortonormal.
A base
−
=
2
1
,2
1
,2
1
,2
1
B
'
é uma base ortonormal do
2
IR 2
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 32
E%er$+$io resolvido&
O conjunto ( ) ( ){ }2,2,2,3,2,1 −− é LI.Vamos efetuar as seguintes operações:
⒜ Acrescentar um terceiro vetor não-nulo a este conjunto para que ele se transforme numa base
ortogonal do 3IR .
Sol!ção&De fator procuramos um vetor ( )c,b,av = do 3IR que satisfaça os seguintes produtos :
( ) ( )
( ) ( )
=−
=−
02,2,2.c,b,a
03,2,1.c,b,a
Efetuando-se os produtos indicados, vem:
=+−
=++−
02c2b2a
03c2ba
Solução do sistema: cce4cb,5ca =−=−= Uma possibilidade de solução: 1ce4b,5a =−=−=
Logo, ( )1,4,5-v −=
Assim, o conjunto ( ) ( ) ( ){ }1,4,5,2,2,2,3,2,1B −−−−= uma base orto#onal do 3IR 2
⒝ Obter uma base ortonormal do 3IR .
Para obter uma base ortonormal do 3IR , basta dividir cada vetor de B pelo seu módulo.Assim, uma base ortonormal do 3IR é o conjunto
( ) ( ) ( ){ }1543.0,6172.0,7715.0,5774.0,5774.0,0.5774,8018.0,5345.0,2673.0B ' −−−−=
Cada vetor do conjunto 'B é unitário e os vetores são ortogonais dois a dois.
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ÁLGEBRA MATRICIAL 33
✔✔✔✔
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 34
Tópico # % Trasforma5=es >ieares
As transformações lineares são funções onde o domínio e o contradomínio são espaçosvetoriais, isto é, tanto a variável independente quanto a variável dependente são vetores.
E%emplos&
❶ ( ) ( )
−=
→
y,xy,xT
IRIR:T 22
Esta transformação T toma cada vetor do 2IR e o reflete em torno do eixo X.
❷ ( ) ( )
=
→
y,x-y,xTIRIR:T
22
Esta transformação T toma cada vetor do 2IR e o reflete em torno do eixo Y.
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 35
"efinição de !ma transformação linearSejam V e W espaços vetoriais.
WV:T → é uma transformação linear ( )TL se T satifaz as seguintes propriedades:
⒜⒜⒜⒜ ( ) ( ) ( )vTuTvuT +=+ , para quaisquer Vvu, ∈
⒝⒝⒝⒝ ( ) ( )uTauaT = , para qualquer IRa∈ e Vu∈
*BS& Se WV = a TL é chamada de operador linear de V
*!tras propriedades de !ma transformação linearSendo WV:T → uma TL do espaço vetorial V no espaço vetorial W, verica-se que:
⒜⒜⒜⒜ ( ) 00T =
⒝⒝⒝⒝ ( ) ( )uTu-T −= , para qualquer Vu∈
⒞⒞⒞⒞ ( ) ( ) ( )vTuTv-uT −=
, para quaisquer Vvu, ∈
E%emplos&Vamos verificar se as transformações apresentadas a seguir são lineares ou não.
❶ ( )
=
→
2xxT
IRIR:T
Neste caso estamos considerando o conjunto dos númerors reais como um espaço vetorial.A transformação é definida por ( ) 2xxT = .Vejamos a validade de cada uma das propriedades de uma TL:
⒜⒜⒜⒜ ( ) ( ) 2y2xyx2yxT +=+=+
( ) ( ) 2y2xyTxT +=+
⒝⒝⒝⒝ ( ) ( ) 2axax2axT ==
( ) ( ) 2ax2xaxaT ==
Con$l!são& T é uma transformação linear pois as duas propriedades foram verificadas.
❷ ( )
+=
→
32xxT
IRIR:T
⒜⒜⒜⒜ ( ) ( ) 32y2x3yx2yxT ++=++=+
( ) ( ) ( ) ( ) 62y2x3y23x2yTxT ++=+++=+ Con$l!são& T não é uma transformação linear pois pelo menos uma das propriedades não éverificada.
No exemplo ❷, sendo ( ) 30T = , conclui-se queT não é uma TL, de acordo com a propriedade( ) 00T = acima descrita.
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 36
Representação matri$ial de !ma transformação linearUma transformação linear mn IRIR:T → pode ser representada na base canônica por
uma matriz nmA × . Neste texto, sempre serão consideradas as bases canônicas donIR .
?otação& A ou [ ]T
E%emplos&
❶ ( ) ( )
−+=
→
2x,yx,yxy,xT
IRIR:T 32
Cálculo da imagem dos vetores da base canônica: ( ) ( )
( ) ( )
−=
=
0,1,11,0T
2,1,10,1T
Matriz de T:
−=
02
11
11
A ou [ ]
−=
02
11
11
T
*BS& as colunas da matriz A são as imagens dos vetores da base canônica
Nesta notação, a transformação é interpretada como a multiplicação de A pelo vetor
=
y
xv .
−=
−
+
y
x.
02
11
11
2x
yx
yx
❷ ( ) ( )
++=
→
2yx4,y3xy,xT
IRIR:T 22
Cálculo da imagem dos vetores da base canônica: ( ) ( )
( ) ( )
=
=
2,31,0T
4,10,1T
Matriz de T:
=
24
31A , sendo que:
=
+
+
y
x.
24
31
2y4x
3yx
E%emplo n!m@ri$o&
( ) ( ) ( )6,424,31,11T =++= ou
=
+
+=
6
4
24
31
1
1.
24
31
❸ ( ) ( )
−++++=
→
yx,2zyx,zyxz,y,xT
IRIR:T 33
Matriz de T:
−
=
011
211
111
A .
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 37
❹ A transformação 33 IRIR:T → tem representação matricial
−−=
420
321
401
A .
Calcule ( )7,4,1T .
Sol!ção& ( )7,4,1Tw = e
−=
−−=
36
1429
7
41
420
321401
w
Logo, ( ) ( )36,14,297,4,1T −= .
❺ Calcule ( )y,xT , sendo 22 IRIR:T → uma TL tal que:
( ) ( )
( ) ( )
−=
=
1,41,0T
e
5,20,1T
Matriz de T:
−=
15
42A
Considerando-se a transformação como a multiplicação de A pelo vetor
=
y
xv , vem:
+
−=
−
y5x
4y2x
y
x.
15
42
Con$l!são& ( ) ( )y5x,4y2xy,xT +−=
✔✔✔✔ ieares✔✔✔✔
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 38
⒟ Indique a matriz que expressa a aplicação da transformação 1T e posteriormente a
transformação 2T num vetor ( )yx, qualquer.
⒠ Indique a matriz que expressa a aplicação da transformação 2T e posteriormente a
transformação1
T num vetor ( )yx, qualquer. Verifique se esta matriz é igual à obtida no item⒟
❸ Considere a TL( ) ( )
+=
→
y,2yxy,xT
IRIR:T 22
Calcule:
⒜ ( )0,0T
⒝ ( )0,1T
⒞ ( )1,1T
⒟ ( )1,0T
❹ Seja 33 IRIR:T → uma TL com matriz
−
−=
737672
727376
767273
A .
Calcule ( )3,2,1T e compare ( )3,2,1 e ( )3,2,1T . O que você observa ?
❺ Seja 33 IRIR:T → uma TL tal que:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
=
−=
=
0,2,1-1,0,0T
2,1,10,1,0T
4,3,20,0,1T
Determine a matriz da transformação T e ( )5,4,3T .
❻ Considere a TL( ) ( )
++=
→
yx3,2yxy,xT
IRIR:T 22
Calcule, se possível, algum vetor ( )yx,v = tal que ( ) ( )1,7vT =
❼ Considere a TL( ) ( )
+++=
→
3z-9y3z,-6x-yx,2z6y-4xzy,,xT
IRIR:T 33
Calcule, se possível, algum vetor ( )zy,x,v = tal que ( ) ( )3,2,4vT =
Respostas❶
⒜ ( ) ( )0,00,0T =
⒝ ( ) ( )4,41,1T =
⒞ ( )( ) ( )78,604,2TT =
Se A é a matriz de T, basta efetuar o produto de 2A por ( )4,2u =
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 39
❷
⒜ ( )( ) ( )32,44,3TT 21 −=
⒝ ( )( ) ( )17,24,3TT 22 =
⒞ ( ) ( )83,134,3T 42 −=
Se A é a matriz de T, basta efetuar o produto de 4A por ( )4,3u =
⒟
− 84
71
⒠
−
−
114
24
*BS: Em geral ( )( ) ( )( )yx,TTyx,TT 1221 ≠
❸
⒜ ( ) ( )0,00,0T =
⒝ ( ) ( )0,10,1T =
⒞ ( ) ( )1,31,1T =
⒟ ( ) ( )1,21,0T =
❹ ( ) ( )7143.0,8571.0,5714.33,2,1T =
( ) 7417,33,2,1 = e ( ) 7417,33,2,1T =
❺ Matriz de T:
−
−
=
024
213
112
A , sendo ( ) ( )20,15,55,4,3T =
❻ ( )41,v −=
❼ Impossível
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 40
Tópico ) % Trasforma5=es >ieares Plaas
Ai#!ras no Matlab
Podemos gerar figuras no Matlab indicando os vértices da mesma e a ordem em que eles devemser plotados.E%emplo& Podemos gerar uma figura semelhante a apresentada abaixo com base nos vértices:
( )
( )
( )
=
=
=
1,1v
1,3v
3,2v
3
2
1
C4M8G;4S M8T>8B RT8;4
X = [2 3 1 2]Y = [3 1 1 3]plot(X, Y)
A repetição das $oordenadas do primeiro ponto ocorre para que seja obtida umafi#!ra fe$,ada !!
Observe o efeito sem repetição das $oordenadas do primeiro ponto da matriz na fi#!ra abai%o.
C4M8G;4S M8T>8B RT8;4
X = [2 3 1]Y = [3 1 1]plot(X, Y)
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 41
8lgumas ,aria5=es gráficas/
C4M8G;4S M8T>8B RT8;4
X = [2 3 1 2]Y = [3 1 1 3]plot( [-1 5], [0 4], '.', X, Y, 'r' )
[-1 5] , [ 0 4] : variação nos eixos horizontal e vertical, respectivamente' r ' : indica a cor utilizada na representação ( r = red )
*pções de $ores e s+mbolos&
C4R SJMB4>4 C4R SJMB4>4blue b magenta mgreen g yellow y
red r black kcyan c white w
C4M8G;4S M8T>8B RT8;4
X = [2 3 1 2]
Y = [3 1 1 3]plot( [-1 5], [0 4], '.', X, Y,'r' )'linewidth',3)
grid on
'linewidth',3 : indica a espessura da linha utilizadagrid on : gera as linhas tracejadas
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 42
C4M8G;4S M8T>8B RT8;4
X = [2 3 1 2]Y = [3 1 1 3]fill( X, Y, 'r' )
fill : comando utilizado para preenchimento de regiões na cor especificada
X = [2 3 1 2]Y = [3 1 1 3]PLOT( [-1 5] , [0 4] , '.' )
HOLD ONFILL( X, Y, 'R' )
hold on : comando utilizado para que mais de uma opção sejam apresentadas num mesmográfico. Neste caso, a região [-1 5] , [0 4] e o comando fill
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 43
*peradores lineares na $omp!tação #r)fi$a Vamos relacionar algum operadores lineares 22 IRIR:T → utilizados na computação gráficabidimensional.
❶ Refle%ão em relação ao ei%o & ( ) ( )
−=
→
y,xy,xT IRIR:T
22
Matriz de T:
−=
10
01A
Aplicação da TL: ( )
=
y
x*Ay,xT , sendo
y
x o vetor das coordenadas de um ponto.
Considere o triângulo delimitado pelo pontos ( ) ( ) ( )1,3e3,2,1,1 :
A aplicação da TL nos pontos delimitantes da figura determina:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
−=
−=
−=
1,31,3T
3,23,2T
1,11,1T
O gráfico abaixo destaca a figura original e a resultante após a reflexão em torno do eixo X.
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 44
❷ Refle%ão em relação ao ei%o & ( ) ( )
=
→
y,x-y,xT
IRIR:T 22
Matriz de T:
−=
10
01A
Considerando-se novamente a figura do caso ❶ temos:( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
=
=
=
1,3-1,3T
3,2-3,2T1,1-1,1T
O gráfico abaixo destaca a figura original e a resultante após a reflexão em torno do eixo Y.
❸ Refle%ão em relação D ori#em& ( ) ( )
=
→
y-,x-y,xT
IRIR:T 22
Matriz de T:
−
−=
10
01A
Considerando-se novamente a figura do caso ❶ temos:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
−=
−=
−=
3,2-3,2T
1,3-1,3T
1,1-1,1T
O gráfico abaixo destaca a figura original e a resultante após a reflexão em relação à origem.
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 45
❹ "ilatação e $ontração de fator α& ( ) ( )
=
→
yα,xαy,xT
IRIR:T 22
Matriz de T:
=
α0
0αA
Contração& 1α0
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 46
O gráfico abaixo destaca a figura original e a resultante após a dilatação efetuada.
⒝ Contração& Considerando-se novamente a figura original do caso ❹ com fator21α = na
direção do eixo x temos:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
=
=
=
=
2,0.52,1T
2,1.52,3T
1,1.51,3T
1,0.51,1T
O gráfico abaixo destaca a figura original e a resultante após a $ontração efetuada.
❻ "ilatação e $ontração apenas na direção do ei%o & ( ) ( )
=
→
yα,xy,xT
IRIR:T 22
Matriz de T:
=
α0
01A
⒜ "ilatação& Considerando-se novamente a figura original do caso ❹ com fator 3α = nadireção do eixo y temos:
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 47
⒝ Contração& Considerando-se novamente a figura original do caso ❹ com fator4
1α = na
direção do eixo y temos:
❼ Cisal,amento de fator αααα na direção do ei%o & ( ) ( )
+=
→
y,yαxy,xT
IRIR:T 22
Matriz de T:
=
10
α1A
Considere a figura:
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 48
Efetuando-se um cisalhamento com fator 3α = na direção do eixo x temos:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
=
=
=
=
1,31,0T
1,51,2T
0,20,2T
0,00,0T
O gráfico abaixo destaca a figura original e a resultante após o cisalhamento em x efetuado.
❽ Cisal,amento de fator αααα na direção do ei%o & ( ) ( )
+=
→
yxα,xy,xT
IRIR:T 22
Matriz de T:
=
1α
01A
Considerando-se novamente a figura do caso ❼ e com fator 2α = na direção do eixo y
temos:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
=
=
=
=
1,01,0T
5,21,2T
4,20,2T
0,00,0T
O gráfico abaixo destaca a figura original e a resultante após o cisalhamento em y efetuado.
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 49
❾ Rotação& 22 IRIR:T → A transformação que efetua uma rotação de um ângulo θ no 2IR é representada pela matriz
Matriz de T: ( ) ( )
( ) ( )
−=
θcosθsen
θsenθcosA
*BS& No Matlab os ;n#!los devem ser apresentados em radianosLembrete& π radianos corresponde a o180
Sentido anti,or)rio& ângulo θ
Sentido ,or)rio& ângulo θ-
⒜ Rotação de o90 no setido ati-:orário na figura
Para cada um dos pontos delimitantes temos:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
=
=
=
1,2-2,1T
4142.1,1.41420,2T
0,00,0T
O gráfico abaixo destaca a figura original e a resultante após a rotação de o90 efetuada.
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 50
⒝ Rotação de o90 no setido :orário na figura
O gráfico abaixo destaca a figura original e a resultante após a rotação de o90 efetuada.
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 51
✔✔✔✔ ieares Plaas
❶ A partir da representação gráfica abaixo efetue as transformações solicitadas via Matlab e
represente num mesmo gráfico a figura original e a resultante.
⒜ A duplicação de suas dimensões nas direções x e y
⒝ Uma reflexão em torno do eixo x
❷ A partir da representação gráfica abaixo, efetue as seguintes modificações através do Matlab:
Uma rotação no sentido anti-horário de:
⒜ o45 (verde)
⒝ o90 (azul)
⒞ o135 (rosa)
⒟ o180 . (amarela)Apresente num mesmo gráfico a figura original e as resultantes das rotações respeitando as cores
indicadas junto a cada item.
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 52
❸ Indique a matri de trasforma5o liear capaz de provocar um cisalhamento de fator
2
1 na direção do eixo y e, na sequência, uma dilatação com fator 3 na direção do eixo x.
Verifique ainda se o procedimento em ordem contrária produz a mesma matriz de transformação.
❹ Aplique nos vértices da figura abaixo a transformação linear que executa uma rotação de o90no sentido anti-horário. Plote a estrutura obtida junto à original.
❺ Em geral a fonte itálica usada nos editores de texto é criada pelo cisalhamento da versão
romana. Analise os vértices da letra T romana abaixo apresentada e utilize a transformação linearque executa um cisalhamento na direção x de fator 1.
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 53
Respostas/❶
⒜ ⒝
❷
❸
=
×
=
×
≠
123
03
10
03
121
01e
121
03
121
01
10
03Sendo
123
03
121
03
inversaOrdemsolicitada
teinicialmenOrdem4342143421
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 54
❹
t = pi / 2 ;A = [ cos(t) - sin(t) ; sin(t) cos(t) ] ;
B = [ 0 2 3 2 0 0 ; 0 0 1 2 2 0 ] ;for i = 1 : 6
X(i) = B(1, i) ;Y(i) = B(2,i) ;
end
BT = A * B ;for i = 1 : 6
XT(i) = BT(1, i) ;YT(i) = BT(2, i) ;
end
plot( [-3 4] , [-1 4] , ' . ' , X , Y , ' r ', XT , YT , ' b ', ' linewidth ' , 3 )grid on
❺
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 55
Tópico * % 8uto,alores e 8uto,etores
!tovalores e !tovetores
Sejann
IRIR:T → uma transformação linear. Se existe um vetor não-nulo v tal que( ) vλ vT =
para algum escalar λ , então λ é dito um a!tovalor da TL, e cada vetor não-nulo v tal que( ) vλ vT = é dito um a!tovetor da TL associado a λ .
Como a cada TL nn IRIR:T → corresponde uma matriz nnA × que a representa, os valores de
λ e v da definição acima são chamados também de autovalor ( valor próprio ) e autovetor ( vetorpróprio ) da matriz A, respectivamente.
E%emplos&
❶ Seja( ) ( )
+−+=
→5yx,2y2xy,xT
IRIR:T22
Mostrar que o vetor ( )1,1v = é um autovetor da transformação associado ao autovalor 4λ = .
Matriz de T:
−=
51
22A
e
=
=
− 1
14
4
4
y
x.
51
22
Assim, para ( )1,1v = temos 4vAv = .
Con$l!são& ( )1,1v = é um autovetor da TL associado ao autovalor 4λ = .
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 56
❷ Seja( ) ( )
+−+=
→
5yx,2y2xy,xT
IRIR:T 22
Mostrar que o vetor ( )2,4v = é um autovetor da transformação associado ao autovalor 3λ = .
Matriz de T:
−=
51
22
Ae
=
=
− 2
43
6
12
2
4.
51
22
Assim, para ( )2,4v = temos 3vAv = .
Con$l!são& ( )2,4v = é um autovetor da TL associado ao autovalor 3λ = .
❸ A transformação que efetua a rotação do vetor
=
54,
53u de o60 do plano, conforme
mostra a figura abaixo, não tem nenhum autovetor.
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 57
C)l$!lo de a!tovalores e a!tovetoresPara o cálculo dos autovalores e autovetores de uma transformação linear nn IRIR:T → representada pela matriz A, devemos resolver a equação
vλ vA =
ou seja, vIλ vA =
onde I é a matriz identidade de ordem n. Assim, devemos procurar soluções não-triviais dosistema
( ) 0vIλ A =− Para que tal ocorra, a matriz Iλ A − deve ser singular, ou seja,
0Iλ A =−
Assim, os autovalores associados ao autovalor λ formam o espaço-solução ou autoespaço de Aassociado a λ .
E%emplo& Seja( ) ( )
+−+=
→
5yx,2y2xy,xT
IRIR:T 22
Calcular os autovalores desta transformação linear e determinar os autoespaços associados.
Matriz de T:
−=
51
22A , e sendo 2n = , então
=
10
01I
Equação característica: 0λ -51-
2λ -20Iλ A =⇒=−
Solução da equação: ( ) ( ) 4λ ou3λ 0127λ λ 02λ 5λ 2 2 ==⇒=+−⇒=+−−
C4M8G;4S ;4 8RHU4 .M RT8;4S G8 ÁRI4
T=[2 2; -1 5];poly(T)roots(poly(T))
ans =1 -7 12
ans =43
Observe que o comando poly(T) gera como resultado os coeficientes do polinômiocaracterístico e o comando roots(poly(T)) os autovalores.
Devemos ainda determinar, a partir de cada um dos autovalores calculados, os autovetorescorrespondentes. Assim:
⒜ Para 4λ = o autovetor ( ) ( )0,0y,xv ≠= deve satisfazer ( ) ( )y,x4y,xT = , ou seja,
( ) ( )4y,4x5yx,2y2x =+−+ Logo,
⇒
=+−
=+−⇒
=+−
=+
0yx
02y2x
4y5yx
4x2y2xSol!ção&
( )
=
=
livreyy
yx
Assim, todo vetor em que a primeira coordenada é igual à segunda é um autovetor associado a4λ = .
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 58
Exemplo numérico: Sendo ( )2,2v = então ( ) ( ) ( )2,248,82,2T == Portanto, o autovetor associado ao autovalor 4λ = é
( ) 0xpara1,1xv ≠= ou ( )1,1v =
Se tomarmos o conjunto de todos os múltiplos do vetor ( )1,1v = , teremos a reta xy = , abaixo
representada, que passa pela origem do 2IR e é um subespaço vetorial do 2IR , chamado deautoespaço associado ao autovetor ( )1,1v = .
( )7071.0,7071.02
1,
2
1vn =
= é o a!tovetor normalizado de v.
⒝ Para 3λ = o autovetor ( ) ( )0,0y,xv ≠= deve satisfazer ( ) ( )y,x3y,xT = , ou seja,
( ) ( )y3,3x5yx,2y2x =+−+ Logo,
⇒
=+−
=+−
⇒
=+−
=+
02yx 02yxy35yx x32y2xSol!ção& ( )
=
=
livreyy y2x
Assim, todo vetor em que a primeira coordenada é igual ao dobro da segunda é um autovetorassociado a 3λ = .Exemplo numérico: Sendo ( )2,4v = então ( ) ( ) ( )2,436,122,4T == Se tomarmos o conjunto de todos os múltiplos do vetor ( )2,4v = , teremos a reta x2y = ,
abaixo representada, que passa pela origem do 2IR e é um subespaço vetorial do 2IR , chamadode autoespaço associado ao autovetor ( )2,4v = .
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 59
( )4472.0,8944.002
2,
20
4vn =
= é o a!tovetor normalizado de v.
Via Matlab&
C4M8G;4S ;4 8RHU4 .M RT8;4S G8 ÁRI4
T=[2 2; -1 5];[P,D]=eig(T)
P =-0.8944 -0.7071-0.4472 -0.7071
D =3 00 4
9nterpretação dos res!ltados&O autovalor 3λ = está associado ao autovetor ( )0.4472,0.8944v1 −−=
O autovalor 4λ = está associado ao autovetor ( )0.7071,7071.0v2 −−=
M!ltipli$idade l#@bri$a e 3eom@tri$a de !tovaloresA m!ltipli$idade al#@bri$a é dada pelo número de vezes que um autovalor aparece como raizdo polinômio característico, ou seja, ( ) 0λ P = ; e a m!ltipli$idade #eom@tri$a é dada pelonúmero de autovetores LI associados a um autovalor.
Relações entre m!ltipli$idades al#@bri$a e #eom@tri$aTeorema& Se A é uma matriz quadrada, então a multiplicidade geométrica de um autovalor deA é no m)%imo igual à multiplicidade algébrica.
E%emplos&
❶ Sendo
−
=
301
121
200
A a matriz de uma TL, temos:
PolinFmio $ara$ter+sti$o& ( ) 48λ 5λ λ λ P23
−+−= !tovalores& 1λ e2λ λ 321 === Neste caso observa-se que um dos autovalores se repete, no caso 2λ = , e por esta razão dizemosque este autovalor possui multiplicidade algébrica 2. O outro autovalor, ou seja 1λ = possuimultiplicidade algébrica 1 ( ou simples ).
Lembre ainda que: ( )
+
++
−
=
−
=
3zx
z2yx
2z
z
y
x
*
301
121
200
z,y,xT
!tovetores&
● Para 1λ = ( ) ( ) ( ) ( )z,y,x3zx,z2yx,2zz,y,x1z,y,xT =+++−⇒=
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 60
Sistema associado:
=+
=++
=−
z3zx
yz2yx
x2z
Solução do sistema: ( )
=
=
−=
yzlivreyy
2yx
Exemplo: ( )1,1,2-v = e ( )0.4082,0.4082,0.8165-v onormalizad =
● Para 2λ = ( ) ( ) ( ) ( )z2,y2,2x3zx,z2yx,2zz,y,x2z,y,xT =+++−⇒=
Sistema associado:
=+
=++
=−
z23zx
y2z2yx
x22z
Solução do sistema: ( )
( )
=
=
−=
livrezz
livreyyzx
E%emplos&
⒜ ( )0,1,0v = (considerando-se z = 0) sendo ( )0,1,0v onormalizad =
⒝ ( )1,0,1-v = (considerando-se y = 0) sendo ( )0.7071,0,0.7071-v onormalizad =
Via Matlab&
C4M8G;4S ;4 8RHU4 .M RT8;4S G8 ÁRI4
A=[0 0 -2; 1 2 1; 1 0 3];poly(A)roots(poly(A))[P,D]=eig(A)
ans =1 -5 8 -4
ans =2.00002.00001.0000
P =0 -0.8165 0.70711 0.4082 00 0.4082 -0.7071
D =2 0 0
0 1 00 0 2
9nterpretação&● 1λ = é o autovalor associado ao autovetor ( )1,1,2-v = . Este autovalor possuimultiplicidade algébrica igual a 1.● 2λ = é o autovalor associado aos autovetores ( )0,1,0v = e ( )1,0,1-v = . Esteautovalor possui multiplicidade algébrica igual a 2.Ainda pelo fato destes vetores serem LI, já que o determinante
( )01
101
010
112
≠−=
−
−
-
8/17/2019 Apanhado de Álgebra Matricial - PUCRS
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ÁLGEBRA MATRICIAL 61
dizemos que 1λ = possui multiplicidade geométrica 1 e que 2λ = possui multiplicidadegeométrica 2.Assim, o subespaço associado ao autovalor 1λ = é uma reta pela origem do 3IR que temdimensão 1; e o subespaço associado ao autovalor 2λ = é um plano pela origem do 3IR quetem dimensão 2.
❷ Sendo
−
=
353
031
002
A a matriz de uma TL, temos:
PolinFmio $ara$ter+sti$o& ( ) 18λ 21λ 8λ λ P 23 −+−=
!tovalores& 2λ e3λ λ 321 ===
Neste caso observa-se que o autovalor 3λ = aparece repetido, e por esta razão dizemos que esteautovalor possui multiplicidade algébrica 2. O autovalor 2λ = possui multiplicidade algébrica 1.
Neste caso: ( )
++
+=
−
=
3z5y3x-
y3x2x
z
yx
*
353
031002
z,y,xT
!tovetores& ● Para 3λ = ( ) ( ) ( ) ( )z3,y3,3x3z5x3,y3x,2xz,y,x3z,y,xT =++−+⇒= y
Sistema associado:
=++
=+
=
z33z5y3x-
y3y3x
x32x
Solução do sistema:
( )
=
=
=
livrezz
0y0x
Exemplo: ( )2,0,0v = e ( )1,0,0v onormalizad =
● Para 2λ = ( ) ( ) ( ) ( )z2,y2,2x3z5x3,y3x,2xz,y,x2z,y,xT =++−+⇒= y
Sistema associado:
=++
=+
=
z23z5y3x-
y2y3x
x22x
Solução do sistema: ( )
−=
=
=
8yz
livreyy
-yx
Exemplo: ( )8,1,1v −= e ( )9847.0,1231.0,0.1231v onormalizad −=
-
8/17/2019 Apanhado de Álgebra Matricial - PUCRS
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ÁLGEBRA MATRICIAL 62
Via Matlab&
C4M8G;4S ;4 8RHU4 .M RT8;4S G8 ÁRI4
A=[2 0 0; 1 3 0; -3 5 3];poly(A)roots(poly(A))[P,D]=eig(A)
ans =1 -8 21 -18
ans =
3.0000 + 0.0000i3.0000 - 0.0000i2.0000
P =0 0 0.12310 0.0000 -0.1231
1.0000 -1.0000 0.9847D =
3 0 00 3 00 0 2
9nterpretação&● 2λ = é o autovalor associado ao autovetor ( )8,1,1-v −= . Este autovalor possuimultiplicidade algébrica igual a 1.● 3λ = é o autovalor associado aos autovetores ( )1,0,0v = e ( )1,0,0v −= . Esteautovalor possui multiplicidade algébrica igual a 2.Ainda pelo fato destes vetores serem LD ( ) ( )( )1,0,011,0,0poismúltiplossão −=− dizemos que 3λ = possui multiplicidade geométrica 1.Sendo assim, a cada autovalor corresponde um sub-espaço vetorial do 3IR de dimensão 1,associado ao autovalor, gerado pelos múltiplos do autovetor.
✔✔✔✔
-
8/17/2019 Apanhado de Álgebra Matricial - PUCRS
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ÁLGEBRA MATRICIAL 63
❸ Verifique se
−
=
0
1
0
1
v é autovetor da matriz
−=
1000
0210
0101
0200
M .
Em caso afirmativo, identifica o autovalor λ correspondente.
❹ Calcule no Matlab os autovalores e autovetores da matriz
−
−=
102
012
104
M .
Escreva os autovetores na forma normalizada, associados a cada autovalor.
❺ Calcule o polinômio característico, os autovalores e autovetores da transformação linear
representada pela matriz
−
95200
9754000531
01042
00001
.
❻ Considere a matriz de transformação em cada item e determine seu polinômio característico,autovalores e autovetores correspondentes, e a multiplicidade algébrica e geométrica de cadaautovalor.
⒜
−
−
=
3100
03000020
0002
A ⒝
−
−
=
3000
03005-520
0002
A ⒞
−
=
3000
45005430
1412
A
Respostas
❶
⒜ PolinFmio $ara$ter+sti$o& ( ) 23λ λ λ P 2 +−=
⒝ !tovalores& 1λ 1 = e 2λ 2 = !tovetores& ● Para 1λ 1 = ( ) ( ) ( ) ( )y,x17y20x,12y14xy,x1y,xT =+−+−⇒=
Sistema associado:
=+−
=+−
y17y20x
x12y14x
=+−
=+−⇒
016y20x
012y15x
Solução do sistema:( )
=
=
4
5xy
livrexx
Exemplos: ( )5,4v = , ( )25.1,1v = , …
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 64
● Para 2λ 2 = ( ) ( ) ( ) ( )y2,2x17y20x,12y14xy,x2y,xT =+−+−⇒=
Sistema associado:
=+−
=+−
2y17y20x
2x12y14x
=+−
=+−⇒
015y20x
012y16x
Solução do sistema:
( )
=
=
34xy
livrexx
Exemplos: ( )4,3v = , ( )3333.1,1v = , …
⒞
● Para 1λ 1 = temos ( )7809.0,0.6247-v1 −=
● Para 2λ 2 = temos ( )8.0,0.6-v2 −=
❷ ● Para 1λ
1
= ( ) ( ) ( ) ( )y,xy2x,xy,x1y,xT =+⇒=
Sistema associado:
=+
=
yy2x
xx Solução do sistema:
( )
−=
=
xy
livrexx
Exemplos: ( )1,1v −= , ( )2,2v −= , ( )7071.0,0.7071v −= (forma normalizada) , …
● Para 2λ 2 = ( ) ( ) ( ) ( )y2,2xy2x,xy,x2y,xT =+⇒=
Sistema associado:
=+
=
2yy2x
x2x Solução do sistema:
( )
=
=
livreyy
0x
Exemplos: ( )2,0v −= , ( )1,0v = (forma normalizada) , …
❸
( ) ( )t,2zy,zx,2zt,z,y,xT
t
2zy
zx
2z
t
z
y
x
*
1000
0210
0101
0200
−+=⇒
−
+=
−
PolinFmio $ara$ter+sti$o& ( ) 2λ 3λ -λ λ λ P 234 +−+=
!tovalores& 1λ 1 = , 1λ 2 −= , 2λ 3 −= e 1λ 4 = (observe que um dos autovalores se repete !)
Para 2λ −= Temos ( ) ( ) ( )2tt,2z2zy,2yzx,2x2zt,z,y,x2t,z,y,xT −=−=−−=+−=⇒−=
Sistema associado:
=
=
=++
=+
03t
0y
0z2yx
02z2x
⇨ Solução do sistema:( )
=
=
=
−=
0t
livrezz
0y
zx
Exemplos: ( )0,1,0,1-v = , ( )0,0.7071,0,0.7071-v = (forma normalizada) , …
Logo, o é um autovetor da matriz M associado ao autovalor 2λ −= .
-
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ÁLGEBRA MATRICIAL 65
❹
( ) ( )z2x-,y2x-,z4xz,y,xT
z2x
y2x
z4x
z
y
x
*
102
012
104
+++=⇒
+−
+−
+
=
−
−
PolinFmio $ara$ter+sti$o& ( ) 6-11λ 6λ -λ λ P 23 +=
!tovalores& 1λ 1 = , 2λ 2 = e 3λ 3 =
!tovetores& ● Para 1λ 1 = ( ) ( )z,y,x1z,y,xT =
Sistema associado:
=−
=+
02x
0z3x ⇨ Solução do sistema:
( )
=
=
livreyy
0x
Exemplos: ( )0,2,0v = , ( )0,1,0v = (forma normalizada) , …
● Para 2λ 2 = ( ) ( )z,y,x2z,y,xT =
Sistema associado:
=−−
=−−
=+
0z2x
0y2x
0z2x
⇨ Solução do sistema:
( )
−=
−=
=
2xz
2xy
livrexx
Exemplos: ( )2,2,1v −−= , ( )6667.0,6667.0,3333.0v −−= (forma normalizada) , …
● Para 3λ 3 = ( ) ( )z,y,x3z,y,xT =
Sistema associado:
=−−
=−−
=+
02z2x02y2x
0zx
⇨ Solução do sistema:( )
=
−=
−=
livrezzxy
zx
Exemplos: ( )1,1,1-v = , ( )5774.0,5774.0,5774.0-v = (forma normalizada) , …
❺
( ) ( )9t5s2z,9t7s5z4y,s4y2x,xt,s,z,y,xT
9t5s2z9t7s5z4y
5z3yx
s4y2x
x
ts
z
y
x
*
9520097540
00531
01042
00001
+++++−+=⇒
+++++
++
−+
=
−
PolinFmio $ara$ter+sti$o& ( ) 459-982λ 709λ -211λ 26λ -λ λ P 2345 ++=
-
8/17/2019 Apanhado de Álgebra Matricial - PUCRS
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ÁLGEBRA MATRICIAL 66
UT*VL*RES UT*VET*RES 5V9 MTLB714.5219λ 1 = ( )0.6649,0.7432,0.0223-,0.0706-,0v1 =
6248.1λ 2 = ( )0.4488,0.7786,0.2914,0.32780,v2 −−=
0498.4λ 3 = ( )0.3716,0.0140-,0.8849-,0.2803,0v3 = 8035.4λ 4 = ( )4734.0,0462.0,8778.0,0575.0,0v4 −−=
1λ 5 = ( )0.4652-,0.7822,0.0947-,0.0082-,0.4034v5 =
❻ ⒜
PolinFmio $ara$ter+sti$o& ( ) 3612λ 11λ 2λ -λ λ P 234 ++−=
!tovalores& 2λ λ e3λ λ 4321 −====
!tovetores&● Para 3λ =
Solução do sistema associado:
( )
=
=
=
=
livredd
0c
0b
0a
Possíveis autovetores para 3λ = : ( )50,,00,v1 = , ( )40,,00,v2 −= ● Para 2λ −=
Solução do sistema associado:
( )
( )
=
=
=
=
0d0c
livrebb
livreaa
Possíveis autovetores para 2λ −= : ( )00,7,3,v = , ( )00,,2010,v −= ,…
M!ltipli$idade dos a!tovalores&● 3λ = : Possui multiplicidade algébrica 2 e multiplicidade geométrica 1● 2λ −= : Possui multiplicidade algébrica e geométrica 2
❻ ⒝
PolinFmio $ara$ter+sti$o& ( ) 3612λ 11λ 2λ -λ λ P 234 ++−=
!tovalores& 2λ λ e3λ λ 4321 −====
!tovetores&● Para 3λ =
Solução do sistema:( )
( )
=
=
−=
=
livredd
livrecc
dcb
0a
Possíveis autovetores para 3λ = : ( )1,5,40,v = , ( )7,2,90,v −−= , …
● Para 2λ −=
-
8/17/2019 Apanhado de Álgebra Matricial - PUCRS
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ÁLGEBRA MATRICIAL 67
Solução do sistema:
( )
( )
=
=
=
=
0d
0c
livrebb
livreaa
Possíveis autovetores para 2λ −= : ( )00,,43,v = , ( )00,,22,v = ,⋯
M!ltipli$idade dos a!tovalores&● 3λ = : Possui multiplicidade algébrica e geométrica 2● 2λ −= : Possui multiplicidade algébrica e geométrica 2
❻ ⒞
PolinFmio $ara$ter+sti$o& ( ) 90-λ 3317λ 9λ -λ λ P 234 ++=
!tovalores& 5λ e3λ λ ,2λ 4321 ===−=
!tovetores&● Para 2λ −=
Solução do sistema associado:
( )
=
=
=
=
0d
0c
0b
livreaa
Possíveis autovetores para 2λ −= : ( )0,0,01,v = , ( )0,0,05,v = ,⋯ ● Para 3λ =
Solução do sistema associado:( )
=
=
=
=
0d
0c
5ab livreaa
Possíveis autovetores para 3λ = : ( )0,0,51,-v −= , ( )0,0,102,v = ,⋯ ● Para 5λ =
Solução do sistema associado:
( )
=
=
=
=
0d6
7ac
3
7b
livreaa
a
Possíveis autovetores para 5λ = : ( )0,7,146,v = ,
= 0,
6
7,
3
71,v ,⋯
M!ltipli$idade dos a!tovalores&● -2λ = : Possui multiplicidade algébrica e geométrica 1● 3λ = : Possui multiplicidade algébrica 2 e geométrica 1● 5λ = : Possui multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1
-
8/17/2019 Apanhado de Álgebra Matricial - PUCRS
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ÁLGEBRA MATRICIAL 68
Tópico + % ;iagoalia5o de Matries
Relações entre m!ltipli$idades al#@bri$a e #eom@tri$a
Teorema& Se A é uma matriz quadrada, então A é diagonalizável se, e somente se, amultiplicidade geométrica de cada autovalor de A é igual à multiplicidade algébrica. É possívelentão diagonalizar uma matriz a partir de seus autovetores desde que estes sejam linearmenteindependentes.
E%emplos&
❶ Sendo
−
−=
1720
1214A a matriz de uma TL, temos:
PolinFmio $ara$ter+sti$o& ( ) 23λ λ λ P 2 +−=
!tovalores& 1λ 1 = e 2λ 2 = , ambos com multiplicidade algébrica 1.
!tovetores& ambos com multiplicidade geométrica 1.● Para 1λ 1 = temos ( )7809.0,0.6247-v1 −= , pois a solução do sistema associado ao
problema determina:( )
=
=
4
5xy
livrexx
● Para 2λ 2 = temos ( )8.0,0.6-v2 −= pois a solução do sistema associado ao problema
determina:( )
=
=
3
4xy
livrexx
As matrizes P e D, obtidas via Matlab, contendo os autovetores e autovalores são:
−−
−−=
0,80,7809
0,60,6247P e
=
20
01D
Sendo a inversa da matriz P dada por
−
−=
−
2025
19,209425,6125P 1 observa-se que:
D20
01
0,80,7809
0,60,6247
1720
1214
2025
19,209425,6125PAP 1 =
=
−−
−−
−
−
−
−=
−
❷ Sendo
−
=
353
031002
A a matriz de uma TL, temos:
PolinFmio $ara$ter+sti$o& ( ) 18-21λ 8λ -λ λ P 23 +=
!tovalores e !tovetores& As matrizes P e D obtidas via Matlab indicam:
−
−=
0,984711
0,123100
0,123100
P e
=
200
030
003
D
-
8/17/2019 Apanhado de Álgebra Matricial - PUCRS
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ÁLGEBRA MATRICIAL 69
Observa-se então que o autovalor 3λ 1 = possui multiplicidade algébrica 2 e multiplicidadegeométrica 1, já que os autovetores obtidos a partir de autovalor são LD ( linearmentedependentes por serem múltiplos ).O autovalor 2λ 2 = possui multiplicidade algébrica 1 e multiplicidade geométrica 1.Desta forma a matriz P possui determinante nulo e não possui inversa.
Pot-n$ias de !ma matriz dia#onaliz)velExistem muitas aplicações que exigem o cálculo de potências elevadas de matrizes quadradas.Para minimizar o tempo de processamento e diminuir o consumo de energia, bem como diminuiros erros de arredondamento, existem algumas técnicas que podem reduzir a quantidade deoperações necessárias nestas aplicações.Sejam A e P matrizes tal que P diagonaliza A. Neste caso,
PAPD 1−= onde D é uma matriz diagonal, cujos elementos são os autovalores de A e denotada por
( )n21 λ ,,λ ,λ diagD L=
Pode