pÓrtico, quadros e estruturas mistas · ce2 – estabilidade das construÇÕes ii tema: análise...

CE2 – ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II Tema: Análise Matricial de Estruturas

Tópico: Elemento de Pórtico Plano

(D)

(A)

(B) (C)

PÓRTICO, QUADROS E ESTRUTURAS MISTAS

MODELO 01

Para a viga poligonal contínua, indicada na Figura 1, determinar por Análise Matricial de Estruturas

as rotações e as reações verticais nos apoios (B) e (C). Dados: módulo de elasticidade do aço

E = 205x106 kN/m

2, perfil tubular quadrado de lado a.= 140 mm e espessura da parede t.= 20 mm.

Figura 1 Viga poligonal de aço estrutural

Barra AB

Dados: E=205x106kN/m

2; A=9,6x10

-3 m

2; I=2,368x10

-5 m

4;L= 4 m; 0º (Unidades: kN, m, kN/m

2=kPa)

Barra BC

Dados: E=205x106kN/m

2; A=9,6x10

-3 m

2; I=2,368x10

-5 m


2=kPa)

Barra CD

Dados:E=205x106kN/m

2; A=9,6x10

-3 m

2; I=2,368x10

-5 m


2=kPa)

492000,0000 0,0000 0,0000 -492000,0000 0,0000 0,0000

0,0000 910,2000 1820,4000 0,0000 -910,2000 1820,4000

0,0000 1820,4000 4854,4000 0,0000 -1820,4000 2427,2000

-492000,0000 0,0000 0,0000 492000,0000 0,0000 0,0000

0,0000 -910,2000 -1820,4000 0,0000 910,2000 -1820,4000

0,0000 1820,4000 2427,2000 0,0000 -1820,4000 4854,4000

328000,0000 0,0000 0,0000 -328000,0000 0,0000 0,0000

0,0000 269,6889 809,0667 0,0000 -269,6889 809,0667

0,0000 809,0667 3236,2667 0,0000 -809,0667 1618,1333

-328000,0000 0,0000 0,0000 328000,0000 0,0000 0,0000

0,0000 -269,6889 -809,0667 0,0000 269,6889 -809,0667

0,0000 809,0667 1618,1333 0,0000 -809,0667 3236,2667

2157,5111 0,0000 -3236,2667 -2157,5111 0,0000 -3236,2667

0,0000 656000,0000 0,0000 0,0000 -656000,0000 0,0000

-3236,2667 0,0000 6472,5333 3236,2667 0,0000 3236,2667

-2157,5111 0,0000 3236,2667 2157,5111 0,0000 3236,2667

0,0000 -656000,0000 0,0000 0,0000 656000,0000 0,0000

-3236,2667 0,0000 3236,2667 3236,2667 0,0000 6472,5333

ABK

BCK

CDK



MODELO 02

Para o pórtico apresentado na Figura 2a, determinar por Análise Matricial de Estruturas:

a) os deslocamentos nodais;

b) o momento reativo no engaste A;

c) o diagrama de momentos fletores.

Figura 2a Pórtico plano de concreto e características da seção transversal

Figura 2b Matrizes de rigidez dos elementos de pórtico plano no sistema global

100 kNm

4 m

8 m

MATERIAL E=30x10 kN/m6 2 (CONCRETO)

20x60cm

(A)

(B) (C)

SEÇÃO RETANGULAR

20x140cm

SEÇÃO RETANGULAR

TRECHO AB

TRECHO BC


100 kNm

(A)

(B) (C)

K AB =

Unidades: kN; m; kN/m2

K BC =

1050000 0 0 -1050000 0 0

0 32156 128625 0 -32156 128625

0 128625 686000 0 -128625 343000

-1050000 0 0 1050000 0 0

0 -32156 -128625 0 32156 -128625

0 128625 343000 0 -128625 686000

20250 0 -40500 -20250 0 -40500

0 900000 0 0 -900000 0

-40500 0 108000 40500 0 54000

-20250 0 40500 20250 0 40500

0 -900000 0 0 900000 0

-40500 0 54000 40500 0 108000



MODELO 03







100 kNm

4 m

8 m


20x60cm

(A)

(B) (C)

SEÇÃO RETANGULARTRECHO AB


20x60cm

SEÇÃO RETANGULARTRECHO BC

100 kNm

(A)

(B) (C)

K AB =


K BC =

20250 0 -40500 -20250 0 -40500

0 900000 0 0 -900000 0

-40500 0 108000 40500 0 54000

-20250 0 40500 20250 0 40500

0 -900000 0 0 900000 0

-40500 0 54000 40500 0 108000

450000 0 0 -450000 0 0

0 2531 10125 0 -2531 10125

0 10125 54000 0 -10125 27000

-450000 0 0 450000 0 0

0 -2531 -10125 0 2531 -10125

0 10125 27000 0 -10125 54000



MODELO 04







100 kNm

4 m

8 m


20x60cm

(A)

(B) (C)



20x60cm


10 kN

100 kNm

(A)

(B) (C)

K AB =


K BC =

20250 0 -40500 -20250 0 -40500

0 900000 0 0 -900000 0

-40500 0 108000 40500 0 54000

-20250 0 40500 20250 0 40500

0 -900000 0 0 900000 0

-40500 0 54000 40500 0 108000

450000 0 0 -450000 0 0

0 2531 10125 0 -2531 10125

0 10125 54000 0 -10125 27000

-450000 0 0 450000 0 0

0 -2531 -10125 0 2531 -10125

0 10125 27000 0 -10125 54000



MODELO 05







100 kNm

2 m

4 m


(A)

(B) (C)

20x60cm



10 kN

2 m

(D)


80x40cm

SEÇÃO RETANGULARTRECHO BD

80x40cm


K AB =


K BC =

100 kNm

2 m

4 m

(A)

(B) (C)

10 kN

2 m

(D)

K BD =

900000 0 0 -900000 0 0

0 20250 40500 0 -20250 40500

0 40500 108000 0 -40500 54000

-900000 0 0 900000 0 0

0 -20250 -40500 0 20250 -40500

0 40500 54000 0 -40500 108000

192000 0 -192000 -192000 0 -192000

0 4800000 0 0 -4800000 0

-192000 0 256000 192000 0 128000

-192000 0 192000 192000 0 192000

0 -4800000 0 0 4800000 0

-192000 0 128000 192000 0 256000

192000 0 -192000 -192000 0 -192000

0 4800000 0 0 -4800000 0

-192000 0 256000 192000 0 128000

-192000 0 192000 192000 0 192000

0 -4800000 0 0 4800000 0

-192000 0 128000 192000 0 256000



MODELO 06







100 kNm

2 m

4 m


(A)

(B) (C)

20x60cm



10 kN

2 m

(D)


40x80cm


40x80cm


K AB =


K BC =

100 kNm

2 m

4 m

(A)

(B) (C)

10 kN

2 m

(D)

K BD =

768000 0 -768000 -768000 0 -768000

0 4800000 0 0 -4800000 0

-768000 0 1024000 768000 0 512000

-768000 0 768000 768000 0 768000

0 -4800000 0 0 4800000 0

-768000 0 512000 768000 0 1024000

768000 0 -768000 -768000 0 -768000

0 4800000 0 0 -4800000 0

-768000 0 1024000 768000 0 512000

-768000 0 768000 768000 0 768000

0 -4800000 0 0 4800000 0

-768000 0 512000 768000 0 1024000

900000 0 0 -900000 0 0

0 20250 40500 0 -20250 40500

0 40500 108000 0 -40500 54000

-900000 0 0 900000 0 0

0 -20250 -40500 0 20250 -40500

0 40500 54000 0 -40500 108000



MODELO 07







40 kNm

2 m

4 m


(A)

(B) (C)

20x60cm



60 kN

2 m

(D)


40x80cm


TRECHO AB40x80cm

SEÇÃO RETANGULAR

K AB =


K BC =

2 m

4 m

(A)

(B) (C)

2 m

(D)

K BD =

60 kN

40 kNm

768000 0 -768000 -768000 0 -768000

0 4800000 0 0 -4800000 0

-768000 0 1024000 768000 0 512000

-768000 0 768000 768000 0 768000

0 -4800000 0 0 4800000 0

-768000 0 512000 768000 0 1024000

768000 0 -768000 -768000 0 -768000

0 4800000 0 0 -4800000 0

-768000 0 1024000 768000 0 512000

-768000 0 768000 768000 0 768000

0 -4800000 0 0 4800000 0

-768000 0 512000 768000 0 1024000

900000 0 0 -900000 0 0

0 20250 40500 0 -20250 40500

0 40500 108000 0 -40500 54000

-900000 0 0 900000 0 0

0 -20250 -40500 0 20250 -40500

0 40500 54000 0 -40500 108000



MODELO 08







2 m

4 m


(A)

(B) (C)

20x60cm



30 kN/m

2 m

(D)


40x80cm


TRECHO AB40x80cm

SEÇÃO RETANGULAR

K AB =


K BC =

2 m

4 m

(A)

(B) (C)

2 m

(D)

K BD =

30 kN/m

768000 0 -768000 -768000 0 -768000

0 4800000 0 0 -4800000 0

-768000 0 1024000 768000 0 512000

-768000 0 768000 768000 0 768000

0 -4800000 0 0 4800000 0

-768000 0 512000 768000 0 1024000

768000 0 -768000 -768000 0 -768000

0 4800000 0 0 -4800000 0

-768000 0 1024000 768000 0 512000

-768000 0 768000 768000 0 768000

0 -4800000 0 0 4800000 0

-768000 0 512000 768000 0 1024000

900000 0 0 -900000 0 0

0 20250 40500 0 -20250 40500

0 40500 108000 0 -40500 54000

-900000 0 0 900000 0 0

0 -20250 -40500 0 20250 -40500

0 40500 54000 0 -40500 108000



MODELO 09

Para as vigas hiperestáticas, esquematizadas abaixo, calcular por Análise Matricial de Estruturas:

a) o deslocamento vertical no ponto B, para as duas situações (Figuras 9a e 9b);

b) o momento fletor no ponto B, para as duas situações (Figuras 9a e 9b);

c) a reação vertical no apoio elástico D (Figura 9b).

Dados: módulo de elasticidade E=200x106 kN/m

2, A=6300x10

-6 m

2 e I=67,7725x10

-6 m

4.

Figura 9a Viga hiperestática

Figura 9b Viga hiperestática sobre apoio elástico

Matriz de rigidez das barras AB e BC (Unidades: kN, m, kN/m2=kPa)

Matriz de rigidez da mola BD (Unidades: kN, m)

4000 -4000

-4000 4000

(A)

(B)

(C)

(A)

(D)

(C) (B)



MODELO 10

Para a viga vagão, esquematizada na Figura 10, calcular por Análise Matricial de Estruturas:

a) o deslocamento vertical no PONTO B;

b) a força normal no CABO AD;

c) o momento fletor no PONTO B;

d) reação horizontal no PONTO A.

Figura 10 Viga vagão hiperestática

Matriz de rigidez do cabo AD (Unidades: kN, m, kN/m2=kPa)

Matriz de rigidez do cabo DC (Unidades: kN, m, kN/m2=kPa)

18128,5180 9064,2590 -18128,5180 -9064,2590

9064,2590 4532,1295 -9064,2590 -4532,1295

-18128,5180 -9064,2590 18128,5180 9064,2590

-9064,2590 -4532,1295 9064,2590 4532,1295

Matriz de rigidez da escora DB (Unidades: kN, m, kN/m2=kPa)

Matriz de rigidez da viga nos trechos AB e BC (Unidades: kN, m, kN/m2=kPa)

(C )(B)(A)

(D)

CABO

ESCORA

80 kN

VIGA

18128,5180 -9064,2590 -18128,5180 9064,2590

-9064,2590 4532,1295 9064,2590 -4532,1295

-18128,5180 9064,2590 18128,5180 -9064,2590

9064,2590 -4532,1295 -9064,2590 4532,1295

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 50670,7483 0,0000 -50670,7483

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 -50670,7483 0,0000 50670,7483



MODELO 11

Para a viga atirantada esquematizada na Figura 11. A viga é formada por um perfil I de aço laminado

bitola W150x13,0 ( Iviga = 6,35x106 mm

4, Aviga = 1660 mm

2) e o cabo de aço tem diâmetro igual a 10 mm

(Acabo=78,54 mm2). Pede-se determinar:

a) o deslocamento vertical no ponto do meio do vão COM TIRANTE;

b) o momento fletor no ponto do meio do vão COM TIRANTE;

c) o deslocamento vertical no ponto do meio do vão SEM TIRANTE;

d) o momento fletor no ponto do meio do vão SEM TIRANTE;

Dado: módulo de elasticidade do aço estrutural E 200000 N/mm2. Operar com 3 casas decimais.

Adotar as Unidades Consistentes: N, mm, MPa (=N/mm2).

Figura 11 Viga atirantada

--

--

--

--

22

22

22

22

sensensensen

sensen

sensensensen

sensen

L

EA

coscos

coscoscoscos

coscos

coscoscoscos

jiKCABO

VIGA

4 m 4 m

2 m



MODELO 12

Para a viga atirantada, esquematizada na Figura 12, calcular por Análise Matricial de Estruturas:

a) os deslocamentos verticais nos pontos B e C;

b) o momento fletor no ponto A;

c) a força normal no cabo BD.

Sabe-se que o deslocamento horizontal nos pontos B e C são iguais a 0,01155mm e as rotações nos

pontos B e C valem, respectivamente, -2,919x10-3

rad e -4,919x10-3

rad. Dados: módulo de elasticidade

do aço estrutural E=200x106 kN/m

2, seção transversal da viga retangular 10x30 cm e diâmetro do cabo

= 2 cm.

Figura 12 Viga atirantada

Matriz de rigidez das barras AB e BC (Unidades: kN, m, kN/m

2=kPa)

Matriz de rigidez da barra BD (Unidades: kN, m, kN/m2=kPa)

Matriz de transformação da barra BD

2000000 0 0 -2000000 0 0

0 20000 30000 0 -20000 30000

0 30000 60000 0 -30000 30000

-2000000 0 0 2000000 0 0

0 -20000 -30000 0 20000 -30000

0 30000 30000 0 -30000 60000

4523,8934 6031,8579 -4523,8934 -6031,8579

6031,8579 8042,4772 -6031,8579 -8042,4772

-4523,8934 -6031,8579 4523,8934 6031,8579

-6031,8579 -8042,4772 6031,8579 8042,4772

0,6 0,8 0 0

-0,8 0,6 0 0

0 0 0,6 0,8

0 0 -0,8 0,6

CABO

VIGA

2 cm

10 cm

30cm

(A) (B) (C)

(D)

3m 3m

5m



MODELO 13

Para o quadro hiperestático esquematizado na Figura 13a, cujas barras são formadas por perfis tipo I de

aço laminado W460x52,0, a partir dos deslocamentos nodais apresentados na Figura 13d determinar por

Análise Matricial de Estruturas:

a) o vetor carregamento representado pelos esforços nodais equivalentes;

b) os esforços (momento fletor, força normal e força cortante) na barra BD.

Dados: módulo de elasticidade do aço estrutural E205 GPa, área da seção transversal

A 6660 mm2, momento de inércia à flexão I = 21370 cm

4, os esforços nodais equivalentes (Figura 13b),

as matrizes de rigidez das barras no sistema global de coordenadas (Figura 13c) e os deslocamentos

nodais (Figura 13d).

Figura 13a Quadro hiperestático

Figura 13b Esforços nodais equivalentes

(A) (B)

(C) (D)



Figura 13c Matrizes de Rigidez no Sistema Global para os elementos do quadro 2D hiperestático

Figura 13d Deslocamentos nodais do quadro hiperestático

U3 U4 U5 U6 U7 U8

R1 R2 U1 R3 R4 U2

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

0

0

0

0

10938,0

mm181,0

mm157,12

10376,1

mm112,0

mm377,12

10360,0

10431,3

3

3

3

3

R

U

U

UU

__ __ __ __ __ __

__ __ __ __ __ __



MODELO 14

Para o pórtico hiperestático esquematizado na Figura 14a, cujas barras são formadas por perfis tipo I de

aço laminado W200x15,0, determinar por Análise Matricial de Estruturas:

a) a rotação no ponto E;

b) a reação vertical no ponto E;

c) os esforços internos solicitantes na barra AB.

Dados: módulo de elasticidade do aço estrutural E 205 GPa, área da seção transversal A 1940 mm2,

momento de inércia à flexão I = 1305 cm4, os esforços nodais equivalentes (Figura 14b), as matrizes de

rigidez das barras no sistema global de coordenadas (Figura 14c) e os deslocamentos nodais (Figura 14d).

Figura 14a Quadro hiperestático

Figura 14b Esforços nodais equivalentes

(A) (B)

(C) (D)

(E)



Figura 14c Matrizes de Rigidez no Sistema Global para os elementos do quadro 2D hiperestático

Figura 14d Deslocamentos nodais do quadro hiperestático

U1 U2 U3 __ __ __ U4 U5 U6 __ __ __

R1 R2 U7

U8 U9 U10

R3 R4 U11

__ __ __

__ __ __

__ __ __

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

0

0

0

0

U

10408,4

m10739,0

m10175,0

10437,7

10523,7

m10104,1

m10816,3

10328,8

m10360,0

m10024,4

11

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

R

U

U

UU



(A) (B) (C)

MODELO 15

Determine, para a viga contínua indicada na Figura 15a, as reações verticais nos apoios (A), (B) e (C) e os

diagramas de momentos fletores e forças cortantes. Dados: A= 4,77x10-4

rad; B= -12,14x10-4

rad e

C= 26,88x10-4

rad. São fornecidos os esforços nodais equivalentes (Figura 15b) e as matrizes de rigidez

dos elementos de viga no sistema global (Figura 15c).

Figura 15a Viga contínua

Figura 15b Esforços nodais equvalentes Barra AB

EI=10250 kNm2; L= 4m; 0º (Unidades: kN, m, kN/m

2=kPa)

Barra BC

EI=10250 kNm2; L= 8m; 0º (Unidades: kN, m, kN/m

2=kPa)

Figura 15c Matrizes de Rigidez no Sistema Global para os elementos de viga

30750,0000 0,0000 0,0000 -30750,0000 0,0000 0,0000

0,0000 1921,8750 3843,7500 0,0000 -1921,8750 3843,7500

0,0000 3843,7500 10250,0000 0,0000 -3843,7500 5125,0000

-30750,0000 0,0000 0,0000 30750,0000 0,0000 0,0000

0,0000 -1921,8750 -3843,7500 0,0000 1921,8750 -3843,7500

0,0000 3843,7500 5125,0000 0,0000 -3843,7500 10250,0000

15375,0000 0,0000 0,0000 -15375,0000 0,0000 0,0000

0,0000 240,2344 960,9375 0,0000 -240,2344 960,9375

0,0000 960,9375 5125,0000 0,0000 -960,9375 2562,5000

-15375,0000 0,0000 0,0000 15375,0000 0,0000 0,0000

0,0000 -240,2344 -960,9375 0,0000 240,2344 -960,9375

0,0000 960,9375 2562,5000 0,0000 -960,9375 5125,0000

pÓrtico, quadros e estruturas mistas · ce2 – estabilidade das construÇÕes ii tema: análise...

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