trabalho final da disciplina ce2 estabilidade das … · 2015. 10. 1. · ce2 – estabilidade das...

TRABALHO FINAL DA DISCIPLINA

CE2 – Estabilidade das Construções II

DESENVOLVIMENTO DE PROGRAMA

ANÁLISE DE TRELIÇAS ESPACIAIS

Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr.

Prof. Douglas Pereira Agnelo

São Paulo

2015

SUMÁRIO

1 OBJETIVO ................................................................................................................. 3

2 GRUPO........................................................................................................................ 3

3 ENTREGA .................................................................................................................. 3

4 PRIMEIRA PARTE (ENTRADA DE DADOS) ...................................................... 4

5 SEGUNDA PARTE (REARRANJO DA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL

DAS BARRAS) ........................................................................................................... 6

6 TERCEIRA PARTE (MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DA ESTRUTURA E

CRIAÇÃO DAS SUBMATRIZES 𝑲𝟏𝟏, 𝑲𝟏𝟐, 𝑲𝟐𝟏 E 𝑲𝟐𝟐) ................................. 9

7 QUARTA PARTE (SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO “𝑭 = 𝑲 ∗ 𝜟” E

DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS E DELOCAMENTOS LOCAIS) .......... 19

8 RESULTADOS FINAIS .......................................................................................... 24

9 EXEMPLOS.............................................................................................................. 25

CE2 – Estabilidade das Construções II – Prof. Douglas Pereira Agnelo e Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. 3

CE2 – ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II PROF DOUGLAS PEREIRA AGNELO

TRABALHO FINAL DA DISCIPLINA

Consonante com os objetivos, ementa e conteúdo programático presentes no

plano de ensino, o trabalho final da disciplina será realizado a partir dos conhecimentos

adquiridos nas aulas 19 até aula 23.

1 OBJETIVO

Desenvolver, a partir da Análise Matricial de Estruturas, rotina de cálculo para

simular o comportamento estrutural espacial através de linguagens computacionais ou

programas comerciais tais como Microsoft Excel, Microsoft VBA, AutoCAD Visual LISP, HP

User-RPL, JavaScript, C++ ou qualquer linguagem/programa que o grupo preferir.

2 GRUPO

O trabalho deve ser feito de seis alunos.

3 ENTREGA

Serão realizadas quatro entregas por arquivos digitais contendo todos os

elementos referentes ao desenvolvimento do trabalho (planilhas/rotinas/arquivos executáveis,

etc.).

Os arquivos devem ser compactados e enviados em um único arquivo no formato

*.zip nomeado com o número do grupo e a respectiva parte. Ex.: G5 – Parte III.zip

Serão realizadas quatro entregas sempre aos domingos até as 20 horas no e-

mail [email protected] conforme cronograma:

Objetivo Data limite

PARTE I 04/out

PARTE II 18/out

PARTE III 25/out

PARTE IV 08/nov

mailto:[email protected]


Cada entrega tem valor de 12,5% da nota do total trabalho. A não entrega de

alguma parte não anula as demais. Após a entrega final, dois alunos serão selecionados para

explicar o trabalho (fórmulas, rotinas, etc.) e a explicação oral tem valor de 50% do trabalho.

4 PRIMEIRA PARTE (ENTRADA DE DADOS)

A entrada de dados deve ser desenvolvida pelo grupo. Trabalhos iguais serão

desconsiderados.

4.1 ENTRADA DE NÓS

Criar no mínimo 40 variáveis para alocar as coordenadas espaciais de cada nó.

Em VBA, HP User-RPL e demais linguagens, cada variável pode alocar os três elementos

referentes às coordenadas x, y e z do sistema global da estrutura. Em Excel pode ser criado uma

linha ou coluna com as propriedades de cada nó.

4.2 ENTRADA DAS BARRAS

Com a definição dos nós, os cálculos dos cossenos de x, y e z é automatizado a

partir da definição do nó inicial e final (criação do eixo local). Permitir a entrada do Módulo de

Elasticidade e das propriedades geométricas de cada barra (área, inércia, etc.). Deve ser

permitida a entrada de no mínimo 100 barras.


4.3 GRAU DE LIBERDADE DOS NÓS

Cada nó deve ter sua indicação dos Índices dos Graus de Liberdade. Essa

rotina nos programas de análise estrutural é automatizada e dispensada (STRAP, FTool, etc.),

pois os graus de liberdade estão vinculados à criação dos nós.

Neste trabalho deve ser realizada a definição dos índices dos graus de liberdade,

os quais devem ser vinculados ao nó escolhido pelo usuário.

4.4 CONDIÇÕES DE CONTORNO (APOIOS/RECALQUES)

A definição dos apoios e dos recalques (translação forçada) está diretamente

relacionada com a restrição do grau de liberdade (GL), portanto deve ser permitida a restrição

do grau de liberdade. É a matriz-coluna de deslocamentos globais da estrutura.


4.5 FORÇAS

A definição das forças nos nós está diretamente relacionada com os índices do

grau de liberdade (GL). É a matriz-coluna de forças globais da estrutura.

5 SEGUNDA PARTE (REARRANJO DA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DAS

BARRAS)

Conforme exposto em aula, a dimensão da matriz de rigidez de cada barra é igual

ao grau de liberdade da estrutura.

A matriz de rigidez global da barra de uma treliça espacial é:

Deve-se atentar que cada elemento da matriz k está vinculado ao índice do grau

de liberdade (GL) em relação aos eixos globais x, y e z, no nó inicial e no nó final da barra.

Portanto cada elemento 𝑘𝑚,𝑛 da matriz k (onde 𝑚, 𝑛 são os índices dos graus de liberdade)

devem ser rearranjados na matriz esparsa k com dimensão igual ao grau de liberdade da

estrutura.


Exemplo:

Vamos considerar os seguintes dados de entrada:

- Uma treliça espacial qualquer possui 4 nós, portanto 12 graus de liberdade;

- A barra 3 tem nó inicial 3 e nó final 1;

- Propriedades da rigidez axial da barra: E = 200GPa e Área = 0,0025 m²

- O nó 3 tem os seguintes graus de liberdade: em x GL = 7; em y GL = 12; em z

GL = 4

- O nó 1 tem os seguintes graus de liberdade: em x GL = 1; em y GL = 3; em z

GL = 8

De forma automatizada os cossenos e comprimento são calculados:

Matriz k:

Os graus de liberdade são carregados de forma automatizada, pois estão

vinculados ao nó inicial e ao nó final, os quais já foram informados para orientação do eixo

local.


Matriz k (rearranjada a partir dos índices dos graus de liberdade adotados):

O elemento 𝑘4,3 (linha com GL 4 e coluna com GL 3) da matriz k é igual a 5396

kN/m.

Na matriz rearranjada, o elemento 𝑘4,3 está alocado na linha 4 coluna 3:

O rearranjo é realizado com todos os elementos de forma automatizada.


Para segunda parte do trabalho é solicitado que a matriz de rigidez de uma barra

(matriz não rearranjada com a dimensão 6x6) seja automaticamente rearranjada para a matriz

com dimensão igual ao grau de liberdade da estrutura.

6 TERCEIRA PARTE (MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DA ESTRUTURA E

CRIAÇÃO DAS SUBMATRIZES 𝑲𝟏𝟏, 𝑲𝟏𝟐, 𝑲𝟐𝟏 E 𝑲𝟐𝟐)

Todas as matrizes de rigidezes globais das barras foram rearranjadas e

apresentam a mesma dimensão (igual grau de liberdade total da estrutura). Assim todas as

matrizes de rigidezes das barras devem ser somadas para obter a matriz de rigidez global da

estrutura:

𝑲 = 𝑘1 + 𝑘2 + … + 𝑘𝑛 = ∑𝑘𝑖

𝑛

𝑖=1

i barra i

n número total de barras

A matriz-coluna de forças globais (F) e a matriz-coluna de deslocamentos

globais (Δ) da estrutura já estão definidas, portanto para determinar as forças e deslocamentos

desconhecidos basta resolver o sistema linear:

𝐹 = 𝑲 ∗ 𝛥

O sistema linear apresentará o número de equações igual ao grau de liberdade

total da estrutura. Por exemplo, se uma treliça espacial apresenta 6 nós, terá 18 graus de

liberdade e o sistema linear final apresentará 18 equações lineares.

Existem dois tipos de equações:

Equações com Forças desconhecidas e Deslocamentos conhecidos;

Equações com Forças conhecidas e Deslocamentos desconhecidos.

Uma das alternativas para solução é a divisão da solução 𝐹 = 𝑲 ∗ 𝛥 em

submatrizes baseadas nos coeficientes dos tipos equações apresentados acima. Ou seja, dividir

as matrizes-colunas em duas submatrizes e a matriz de rigidez em quatro submatrizes.


6.1 DIVISÃO DA MATRIZ-COLUNA DE FORÇAS GLOBAIS DA ESTRUTURA (F)

Deve ser dividida em duas submatrizes-colunas de forças globais, sendo:

𝐹𝐶 Submatriz-coluna das forças globais conhecidas

𝐹𝐷 Submatriz-coluna das forças globais desconhecidas

6.2 DIVISÃO DA MATRIZ-COLUNA DE DESLOCAMENTOS GLOBAIS DA

ESTRUTURA (Δ)

Deve ser dividida em duas submatrizes-colunas de deslocamentos globais,

sendo:

Δ𝐷 Submatriz-coluna de deslocamentos globais desconhecidos

Δ𝐶 Submatriz-coluna de deslocamentos globais conhecidos

6.3 DIVISÃO DA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOCAL DA ESTRUTURA (K)

Deve ser dividida em quatro submatrizes baseadas no sistema linear:

𝐹𝐶 = 𝑲𝟏𝟏 ∗ Δ𝐷 + 𝑲𝟏𝟐 ∗ Δ𝐶

𝐹𝐷 = 𝑲𝟐𝟏 ∗ Δ𝐷 + 𝑲𝟐𝟐 ∗ Δ𝐶

𝑲𝟏𝟏 Submatriz com os coeficientes dos deslocamentos desconhecidos nas

linhas das forças conhecidas

𝑲𝟏𝟐 Submatriz com os coeficientes dos deslocamentos conhecidos nas linhas

das forças conhecidas

𝑲𝟐𝟏 Submatriz com os coeficientes dos deslocamentos desconhecidos nas

linhas das forças desconhecidas

𝑲𝟐𝟐 Submatriz com os coeficientes dos deslocamentos conhecidos nas linhas

das forças desconhecidas


6.4 EXEMPLO

Rigidez Axial: EA = 1,0 kN

X1 = eixo global x

X2 = eixo global y

X3 = eixo global z

Cargas no nó 4:

Na direção x: 10 kN

Na direção y: 20 kN

Na direção x: -30 Kn


GRAUS DE LIBERDADE ADOTADO PELO ENGENHEIRO

PORTANTO A MATRIZ-COLUNA DAS FORÇAS GLOBAIS DA ESTRUTURA (F) É:

Entende-se que os valores não informados se referem às forças desconhecidas

𝑁1, 𝑁3, 𝑁4 etc.

E A MATRIZ-COLUNA DOS DESLOCAMENTOS GLOBAIS DA

ESTRUTURA (Δ) É:

Entende-se que os valores não informados se referem aos deslocamentos

desconhecidos 𝛿2, 𝛿7, 𝛿10.


MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DA BARRA 1 (𝑘1):




MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DA ESTRUTURA (K):

𝑲 = 𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3

SUBMATRIZ DAS FORÇAS CONHECIDAS (𝐹𝐶):

SUBMATRIZ DAS FORÇAS DESCONHECIDAS (𝐹𝐷):


SUBMATRIZ DOS DESLOCAMENTOS DESCONHECIDOS (Δ𝐷):

SUBMATRIZ DOS DESLOCAMENTOS CONHECIDOS (Δ𝐶):

COEFICIENTES DAS LINHAS DAS FORÇAS CONHECIDAS QUE

MULTIPLICAM DESLOCAMENTOS DESCONHECIDOS

SUBMATRIZ 𝑲𝟏𝟏


COEFICIENTES DAS LINHAS DAS FORÇAS CONHECIDAS QUE

MULTIPLICAM DESLOCAMENTOS CONHECIDOS

SUBMATRIZ 𝑲𝟏𝟐


COEFICIENTES DAS LINHAS DAS FORÇAS DESCONHECIDAS QUE

MULTIPLICAM DESLOCAMENTOS DESCONHECIDOS

SUBMATRIZ 𝑲𝟐𝟏


COEFICIENTES DAS LINHAS DAS FORÇAS DESCONHECIDAS QUE

MULTIPLICAM DESLOCAMENTOS CONHECIDOS

SUBMATRIZ 𝑲𝟐𝟐

Com todas as submatrizes definidas é possível resolver as duas equações

matriciais abaixo e encontrar Δ𝐷 e 𝐹𝐷, ou seja, todas as forças e deslocamentos globais que

equilibram a estrutura.

𝐹𝐶 = 𝑲𝟏𝟏 ∗ Δ𝐷 + 𝑲𝟏𝟐 ∗ Δ𝐶

𝐹𝐷 = 𝑲𝟐𝟏 ∗ Δ𝐷 + 𝑲𝟐𝟐 ∗ Δ𝐶


7 QUARTA PARTE (SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO “𝑭 = 𝑲 ∗ 𝜟” E DETERMINAÇÃO

DOS ESFORÇOS E DELOCAMENTOS LOCAIS)

7.1 MATRIZES-COLUNA DAS FORÇAS E DESLOCAMENTOS GLOBAIS DA

ESTRUTURA

Os elementos desconhecidos das matrizes-coluna das forças e deslocamentos

globais da estrutura podem ser obtidos pela solução abaixo:

Δ𝐷 = 𝑲𝟏𝟏−𝟏 ∗ (𝐹𝐶 − 𝑲𝟏𝟐 ∗ Δ𝐶)

𝐹𝐷 = 𝑲𝟐𝟏 ∗ Δ𝐷 + 𝑲𝟐𝟐 ∗ Δ𝐶

Com o exemplo da Parte III, os valores de Δ𝐷 e 𝐹𝐷 obtidos são:

Δ𝐷 = [120,083859,9995

−45,0286]

2710

𝐹𝐷 =

[ −13,2366−3,909219,4269

−13,741621,6199

0−11,0468−6,76337,6508 ]

1

3456891112


Os deslocamentos e forças globais desconhecidos que equilibram a estrutura

foram determinados, assim as matrizes-coluna globais de deslocamentos e forças da estrutura

são:

7.2 MATRIZES GLOBAIS E LOCAIS DAS BARRAS

Para exemplificar essa seção, usaremos a barra 3 da estrutura do exemplo da

Parte III.

7.2.1 Matriz-coluna dos deslocamentos globais da barra (𝜹𝒊)

A matriz-coluna global de deslocamentos da barra (𝛿𝑖) deve ser ordenada a partir

dos graus de liberdade referente ao nó inicial e ao nó final da barra i.

𝛿3 =

[

59,9995120,0838−45,0286

000 ]

72101216

7.2.2 Matriz-coluna das forças globais da barra (𝑵𝒊)

A matriz-coluna das forças globais da barra (𝑁𝑖) é obtida a partir da

multiplicação da matriz de rigidez global da barra (𝑘𝑖) pela matriz-coluna global de

deslocamentos (𝛿𝑖)

𝑁𝑖 = 𝑘𝑖 ∗ 𝛿𝑖


Matriz de rigidez global da barra 3:

Matriz-coluna de deslocamentos globais da barra 3:

𝛿3 =

[

59,9995120,0838−45,0286

000 ]

72101216

Resultado da multiplicação: 𝑁3 = 𝑘3 ∗ 𝛿3

7.2.3 Matriz-coluna dos deslocamentos locais da barra (𝜹′𝒊)

Os deslocamentos locais são obtidos pela multiplicação da matriz de

transformação de translação espacial (T) pela matriz-coluna de deslocamentos globais da barra.

𝛿′𝑖 = 𝑇𝑖 ∗ 𝛿𝑖

Sendo o versor local na direção y:

𝐿𝑥𝑦 = √𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑦


A matriz de transformação T é dada por:

𝑇 =

[

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧 0 0 0

−𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦

𝐿𝑥𝑦

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥

𝐿𝑥𝑦

0 0 0 0

−𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧

𝐿𝑥𝑦

−𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧

𝐿𝑥𝑦

𝐿𝑥𝑦 0 0 0

0 0 0 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧

0 0 0 −𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦

𝐿𝑥𝑦

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥

𝐿𝑥𝑦

0

0 0 0 −𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧

𝐿𝑥𝑦

−𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧

𝐿𝑥𝑦

𝐿𝑥𝑦]

Para ratificar o cálculo da matriz de transformação pode-se verificar se a sua

transposta e a sua inversa são iguais, já que todas as matrizes de transformação são ortogonais.

𝑇𝑇 = 𝑇−1

Para a barra 3 temos a seguinte matriz de transformação:


Usando a matriz de transformação para barra 3, temos:

𝛿′3 = 𝑇3 ∗ 𝛿3

7.2.4 Matriz-coluna das forças locais da barra (𝑵′𝒊)

A matriz-coluna das forças locais da barra é obtida pela multiplicação da matriz

de rigidez local pela matriz-coluna dos deslocamentos locais:

𝐹′𝑖 = 𝑘′𝑖 ∗ Δ′𝑖

Para treliças temos:

𝑁′𝑖 = 𝑘′𝑖 ∗ δ′𝑖

A matriz de rigidez local das barras de treliças espaciais é dada por:

𝑘′ =𝐸𝐴

𝐿

[

1 0 0 −1 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

−1 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0]


Portanto para a barra 3 temos:

Multiplicando a matriz de rigidez local pelos deslocamentos locais teremos as

forças da barra no sentido do eixo local. Para a barra 3 observa-se uma compressão de 26,48

kN.

8 RESULTADOS FINAIS

Para facilitar a visualização dos resultados, pode-se capturar os esforços axiais

de cada barra. Convenção brasileira utilizada para os esforços locais: + tração e – compressão.


9 EXEMPLOS

9.1 EXEMPLO 1: TORRE

9.1.1 Definição dos nós


9.1.2 Definição das barras e dos eixos locais

BARRA Nó inicial Nó final

1 1 4

2 1 5

3 4 5

4 2 5

5 2 6

6 5 6

7 3 6

8 3 4

9 6 4

10 4 7

11 4 9

12 7 8

13 5 8

14 5 7

15 8 9

16 6 9

17 6 8

18 9 7

19 7 10

20 7 11

21 10 11

22 8 11

23 8 12

24 11 12

25 9 12

26 9 10

27 12 10

28 10 13

29 10 15

30 13 14

31 11 14

32 11 13

33 14 15

34 12 15

35 12 14

36 15 13

37 13 16

38 13 17

39 16 17

40 14 17

41 14 18

42 17 18

43 15 18

44 15 16

45 18 16

9.1.3 Cargas adotadas

Nó 13: Carga em z de -4,0 kN

Nó 18: Carga em z de -3,0 kN

Nós 14, 15, 17 e 18: Carga em x de 2,0 kN


9.1.4 Resultados

RESULTADOS

GL δi GL Ni BARRA N'i

1 0 1 -4,0000 1 -39,5556

2 0 2 2,3093 2 -6,4098

3 0 3 44,0000 3 0,0000

4 0 4 0,0000 4 20,0000

5 0 5 0,0000 5 0,0000

6 0 6 -20,0000 6 0,0000

7 0 7 -4,0000 7 12,5556

8 0 8 -2,3093 8 6,4098

9 0 9 -17,0000 9 0,0000

10 359,2512739 10 0,0000 10 -30,6667

11 141,1342058 11 0,0000 11 -6,4098

12 -296,6666667 12 0,0000 12 0,0000

13 330,0846072 13 0,0000 13 11,1111

14 90,61457531 14 0,0000 14 6,4098

15 150 15 0,0000 15 0,0000

16 388,4179405 16 0,0000 16 12,5556

17 90,61457531 17 0,0000 17 0,0000

18 94,16666667 18 0,0000 18 0,0000

19 1115,72477 19 0,0000 19 -21,7778

20 -43,30254042 20 0,0000 20 -6,4098

21 -526,6666667 21 0,0000 21 0,0000

22 1115,72477 22 0,0000 22 11,1111

23 -43,30254042 23 0,0000 23 0,0000

24 233,3333333 24 0,0000 24 0,0000

25 1115,72477 25 0,0000 25 3,6667

26 -43,30254042 26 0,0000 26 6,4098

27 188,3333333 27 0,0000 27 0,0000

28 2183,309377 28 0,0000 28 -12,8889

29 -9,622786759 29 0,0000 29 -6,4098

30 -690 30 0,0000 30 -2,3094

31 2154,14271 31 0,0000 31 2,2222

32 -60,14241724 32 0,0000 32 6,4098

33 316,6666667 33 0,0000 33 1,1547

34 2212,476044 34 0,0000 34 3,6667

35 -60,14241724 35 0,0000 35 0,0000

36 215,8333333 36 0,0000 36 0,0000

37 3425,893984 37 0,0000 37 -2,2222

38 -173,2101617 38 0,0000 38 -3,2049

39 -786,6666667 39 -4,0000 39 0,0000

40 3446,678137 40 2,0000 40 2,2222

41 -173,2101617 41 0,0000 41 0,0000

42 333,3333333 42 0,0000 42 1,1547

43 3431,089679 43 2,0000 43 -3,0000

44 -182,2096337 44 0,0000 44 3,2049

45 243,3333333 45 0,0000 45 -2,3094

46 4694,40851 46 0,0000 46

47 -259,8152425 47 0,0000 47

48 -803,3333333 48 0,0000 48

49 4687,104205 49 2,0000 49

50 -272,4670407 50 0,0000 50

51 350 51 0,0000 51

52 4727,692663 52 2,0000 52

53 -281,4665127 53 0,0000 53

54 220,8333333 54 -3,0000 54


RESULTADOS COM SOFTWARE COMERCIAL

ESFORÇOS LOCAIS

BEAM RESULTS for load no. 1 (Units: kN, kN*meter) Bm. Node Axial V2 V3 MT M2 M3 1 1 39.556 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 4 -39.556 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 2 1 6.410 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 5 -6.410 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 3 4 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 5 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 4 2 -20.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 5 20.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 5 2 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 6 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 6 5 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 6 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000


7 3 -12.556 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 6 12.556 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 8 3 -6.410 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 4 6.410 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 9 6 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 4 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 10 4 30.667 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 7 -30.667 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 11 4 6.410 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 9 -6.410 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 12 7 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 8 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 13 5 -11.111 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 8 11.111 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 14 5 -6.410 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 7 6.410 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 15 8 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 9 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 16 6 -12.556 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 9 12.556 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 17 6 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 8 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 18 9 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 7 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 19 7 21.778 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 10 -21.778 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 20 7 6.410 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 11 -6.410 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 21 10 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 11 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 22 8 -11.111 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 11 11.111 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 23 8 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 12 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 24 11 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 12 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 25 9 -3.667 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 12 3.667 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 26 9 -6.410 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 10 6.410 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000


27 12 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 10 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 28 10 12.889 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 13 -12.889 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 29 10 6.410 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 15 -6.410 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 30 13 2.309 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 14 -2.309 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 31 11 -2.222 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 14 2.222 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 32 11 -6.410 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 13 6.410 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 33 14 -1.155 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 15 1.155 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 34 12 -3.667 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 15 3.667 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 35 12 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 14 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 36 15 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 13 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 37 13 2.222 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 16 -2.222 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 38 13 3.205 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 17 -3.205 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 39 16 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 17 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 40 14 -2.222 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 17 2.222 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 41 14 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 18 0.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 42 17 -1.155 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 18 1.155 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 43 15 3.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 18 -3.000 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 44 15 -3.205 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 16 3.205 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 45 18 2.309 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 16 -2.309 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 MAXIMUM MAXIMUM-39.556 0.000 0.000 0.0000 0.0000 0.0000 Beam no. Beam no. 1 45 32 45 45 45


9.2 EXEMPLO 2: TRELIÇA ESPACIAL

HIBBELER, R. C. Structural Analysis, Pearson 8.ed, 2011, pág. 128


9.3 EXEMPLO 3: TRELIÇA PLANA

HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais, Pearson 7.ed. São Paulo, 2010, pág 550.


Resposta do deslocamento no GL 15

𝛿𝑧 = −0,00028125 𝑚 = −0,2813 𝑚𝑚

trabalho final da disciplina ce2 estabilidade das … · 2015. 10. 1. · ce2 – estabilidade das...

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