1

FESP – Faculdade de Engenharia São Paulo

Avaliação: S1

Data: 29/jun/ 2015

CE2 – Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo

Prof. Alfonso Pappalardo Junior Duração: 85 minutos

Nome: ____________________________________________________ Matrícula a b c ORIENTAÇÕES PARA PROVA Os símbolos a, b e c são os três últimos algarismos da matrícula no formato xxabc e devem ser utilizados nas dimensões (das cargas, elementos, comprimentos, etc.) para resolução das questões da prova. Para a = 0 adotar a = 10; para b = 0 adotar b = 10; para c = 0 adotar c = 10; a = b = c =

________________________________________________________________________________________ 1a QUESTÃO (valor: 4,0 pontos) Determine o diagrama de momentos fletores do pórtico abaixo através do Método das Forças (3,0 pontos) e calcule o deslocamento horizontal (1,0 ponto). A rigidez flexional de todas as barras é: EI = 50 MNm².

Deflexão :

∆ = ∫𝑚 ∗ 𝑀

𝐸𝐼𝑑𝑥

𝐿

2a QUESTÃO (valor: 3,0 pontos) Determine o diagrama de momentos fletores da viga abaixo pelo Método dos Deslocamentos. Rigidez constante.

2

3a QUESTÃO (valor: 3,0 pontos) Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática de inércia constante. (Utilizar ou Método das Forças ou Método dos Deslocamentos)

TABELA DE MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO (FEM TABLE) E TABELA KURT-BAYER

3

GABARITO Questão 1: Para exemplificar usaremos a matrícula 20039 Portanto:

a = b = c =

Temos quatro opções para transformar a estrutura hiperestática em isostática. Qualquer escolha do sistema básico isostático resultará, pelo Método das Forças, o mesmo diagrama final de momentos fletores. Foi adotado destravar a translação horizontal em D.

Diagramas 𝑀0, 𝑀1 𝑒 𝑚1:

1 0 0 3 0 9

4

Deslocamentos:

𝐸𝐼 ∗ 𝛿1,0 =1

3∗ 5,0 ∗ 45 ∗ (−5,0) +

1

2∗ 5,0 ∗ 45 ∗ (−5,0)

𝛿1,0 = −937,5

𝐸𝐼

𝐸𝐼 ∗ 𝛿1,1 =1

3∗ 5,0 ∗ (−5,0) ∗ (−5,0) + 5,0 ∗ (−5,0) ∗ (−5,0) +

1

3∗ 5,0 ∗ (−5,0) ∗ (−5,0)

𝛿1,1 =208,33

𝐸𝐼

Para deslocamento horizontal no apoio D ser zero, devemos ter:

𝛿1,0 + 𝑋1 ∗ 𝛿1,1 = 0

Então o coeficiente de proporcionalidade elástica é:

−937,5

𝐸𝐼+ 𝑋1 ∗

208,33

𝐸𝐼= 0

𝑋1 = 4,5 𝑘𝑁

Portanto a reação em D é:

𝑅1 = 1,0 ∗ 𝑋1 = 1,0 ∗ 4,5

𝑅1 = 4,5 𝑘𝑁 A partir da Teoria de Estabilidade é possível obter as demais reações e desenhar o diagrama de momentos.

5

A deflexão horizontal é igual em B ou em C. A deflexão em B é obtida quando aplicamos uma carga virtual horizontal em B. O diagrama final apresentou valores de momentos finais com a carga aplicada em B igual a 9,0 kN (para a matrícula usada no exemplo). Então, para obtermos o diagrama de momentos com a carga virtual em B, basta dividirmos o diagrama de momentos por 9,0 kN. Assim teremos um diagrama de momentos quando é aplicada uma carga virtual em B:

Multiplicando M0 por m1 (através da Tabela Kurt Bayer) e dividindo pela rigidez flexional, obtemos o deslocamento em B.

𝛿𝐵 =2 ∗ (

13

∗ 5,0 ∗ 2,5 ∗ 22,5 +13

∗ 2,5 ∗ 2,5 ∗ 22,5)

50000= 0,0056 𝑚

𝛿𝐵 = 5,6 𝑚𝑚

6

QUESTÃO 2 Para exemplificar usaremos a matrícula 19572.

a = b = c =

Momentos de Engastamento Perfeito do carregamento externo (𝑀0):

𝑘1,0 = −93,75 − (−25) = −68,75 𝑘𝑁𝑚

Momentos de Engastamento Perfeito da aplicação de uma rotação unitária em B (𝑀1):

𝑘1,1 = −0,3𝐸𝐼 − (+0,3𝐸𝐼) = −0,6𝐸𝐼

0 5 0 7 0 2

7

𝑘1,0 + 𝑋1 ∗ 𝑘1,1 = 0

−68,75 + 𝑋1 ∗ (−0,6𝐸𝐼) = 0

𝑋1 = −114,58

𝐸𝐼

Momento em B Pela barra AB:

𝑀0,𝐵𝐴 + 𝑋1 ∗ 𝑀1,𝐵𝐴 = −25 + (−114,58

𝐸𝐼) ∗ (0,3𝐸𝐼) = −59,37 𝑘𝑁𝑚

Pela barra BC:

𝑀0,𝐵𝐶 + 𝑋1 ∗ 𝑀1,𝐵𝐶 = −93,75 + (−114,58

𝐸𝐼) ∗ (−0,3𝐸𝐼) = −59,37 𝑘𝑁𝑚

O diagrama final é obtido através da teoria de estabilidade I:

8

QUESTÃO 3 A questão pode ser resolvida pelo Método das Forças ou pelo Método dos deslocamentos. Para exemplificar a solução usaremos a matrícula 17074

a = b = c =

PELO MÉTODO DAS FORÇAS: A estrutura possui grau de hiperestaticidade igual a 1,0. Portanto para criação do sistema básico basta tornar um dos apoios móveis em apoio fixo, desta forma teremos quatro alternativas de sistema básico:

opção (a) opção (b) opção (c) opção (d) Qualquer opção apresenta a mesma metodologia para solução. Usando a opção (a) temos o seguinte diagrama de momentos fletores:

1 0 0 7 0 4

9

Momento do vão A-B com x = 0 no apoio A:

𝑀0(𝑥) = 47,8 ∗ 𝑥 − 7 ∗𝑥2

2

Momento do vão C-B com x = 0 no apoio C:

𝑀0(𝑥) = 32 ∗ 𝑥 − 4 ∗𝑥2

2

Com aplicação da força unitária em A, temos:

Momento do vão A-B com x = 0 no apoio A:

𝑀1(𝑥) = 𝑚1(𝑥) = −0,8 ∗ 𝑥 Momento do vão C-B com x = 0 no apoio C:

𝑀1(𝑥) = 𝑚1(𝑥) = −1,0 ∗ 𝑥

10

Deslocamentos

𝛿1,0 = ∫𝑚1 ∗ 𝑀0

𝐸𝐼𝐿

𝑑𝑥

𝛿1,0 = ∫ (−0,8 ∗ 𝑥) ∗ (47,8 ∗ 𝑥 − 7 ∗𝑥2

2)

10

0

∗ (1

𝐸𝐼) 𝑑𝑥 + ∫ (−1,0 ∗ 𝑥) ∗ (32 ∗ 𝑥 − 4 ∗

𝑥2

2)

8

0

∗ (1

𝐸𝐼) 𝑑𝑥

𝛿1,0 = −5746,67

𝐸𝐼−

3413,33

𝐸𝐼= −

9160

𝐸𝐼

𝛿1,1 = ∫𝑚1 ∗ 𝑀1

𝐸𝐼𝐿

𝑑𝑥

𝛿1,1 = ∫ (−0,8 ∗ 𝑥) ∗ (−0,8 ∗ 𝑥)10

0

∗ (1

𝐸𝐼) 𝑑𝑥 + ∫ (−1,0 ∗ 𝑥) ∗ (−1,0 ∗ 𝑥)

8

0

∗ (1

𝐸𝐼) 𝑑𝑥

𝛿1,1 =213,33

𝐸𝐼+

170,67

𝐸𝐼=

384

𝐸𝐼

Coeficiente de proporcionalidade elástico

𝛿1,0 + 𝑋1 ∗ 𝛿1,1 = 0

−9160

𝐸𝐼+ 𝑋1 ∗

384

𝐸𝐼= 0

𝑋1 = 23,85

𝑅𝐴,ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧 = 23,85 𝑘𝑁

Com a determinação da reação horizontal, as demais reações são obtidas a partir do equilíbrio estático da estrutura (teoria de Estabilidade das Construções I).

11

PELO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS Travar rotação e determinar momentos gerados pelas cargas solicitantes (M0) e momentos com rotação unitária em B (M1) através da tabela de Momentos de Engastamento Perfeito.

Diagrama M0 Diagrama M1

Reações no travamento B:

𝑘1,0 = −32 − (−87,5) = 55,5 𝑘𝑁𝑚

𝑘1,1 = −0,375𝐸𝐼 − (+0,3𝐸𝐼) = −0,675𝐸𝐼

𝑘1,0 + 𝑋1 ∗ 𝑘1,1 = 0

55,5 + 𝑋1 ∗ (−0,675𝐸𝐼) = 0

𝑋1 =82,22

𝐸𝐼

Momentos

𝑀 = 𝑀0 + 𝑋1 ∗ 𝑀1 Barra A-B

𝑀𝐵 = −87,5 +82,22

𝐸𝐼∗ 0,3𝐸𝐼 = −62,83 𝑘𝑁𝑚

Barra B-C

𝑀𝐵 = −32,0 +82,22

𝐸𝐼∗ (−0,375𝐸𝐼) = −62,83 𝑘𝑁𝑚

12

Com a determinação do momento em B, as reações são obtidas a partir do equilíbrio estático das barras (teoria de Estabilidade das Construções I).