1

Tabela E1 (NBR 8800, ABNT 2008)

FESP – Faculdade de Engenharia São Paulo

Avaliação: A2

Data: 15/set/ 2014

CE2 – Estabilidade das Construções II Prof. Douglas Pereira Agnelo

Prof. Dr. Alfonso Pappalardo Jr. Duração: 85 minutos

Nome: ____________________________________________________ Matrícula a b c ORIENTAÇÕES PARA PROVA

Os símbolos a, b e c são os três últimos algarismos da matrícula no formato xxabc e devem ser utilizados nas dimensões (das cargas, elementos, comprimentos, etc.) para resolução das questões da prova. Para a = 0 adotar a = 10; para b = 0 adotar b = 10; para c = 0 adotar c = 10;

a = b = c =

________________________________________________________________________________________

1a QUESTÃO (valor: 3,0 pontos) Dimensione as condições de contorno mais econômicas que atendem aos critérios de resistência e estabilidade da haste de aço A-36 de 1,0 metro de comprimento. Sabe-se que não há custo por extremidade livre e que uma extremidade apoiada custa metade de uma extremidade engastada. Não devem ser dimensionados travamentos. Dados: Módulo de elasticidade: 𝐸 = 200 000 𝑀𝑃𝑎 (NBR 8800, 2008. Item 4.5.2.9.a) Resistência ao escoamento do aço: 𝜎𝑒 = 250 𝑀𝑃𝑎 (NBR 8800, 2008. Tabela A.2)

CONDIÇÕES DE CONTORNO E FORMULÁRIO

𝐴 = 𝜋 ∗ 𝑑2

4

𝐼 = 𝜋 ∗ 𝑑4

64

𝑟 = √𝐼

𝐴

𝜆 = 𝐾 ∗𝐿

𝑟

𝜎𝑐𝑟 =𝜋2 ∗ 𝐸

𝜆2

2

SOLUÇÃO As condições de contorno são determinadas pelo coeficiente de flambagem, portanto o valor de K será o parâmetro para o dimensionamento mais econômico. Raio de giração:

𝑟 = √𝐼

𝐴= √

𝜋 ∗ 𝑑4

64𝜋 ∗ 𝑑2

4

=𝑑

4

Tensão crítica de flambagem:

𝜎𝑐𝑟 =𝜋2 ∗ 𝐸

𝜆2 𝑒 𝜆 = 𝐾 ∗

𝐿

𝑟 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝜎𝑐𝑟 =

𝜋2 ∗ 𝐸

(𝐾 ∗𝐿𝑟)2

Isolando o valor de K:

𝐾2 =𝜋2 ∗ 𝐸

𝜎𝑐𝑟 ∗ (𝐿𝑟)2

𝐾 = √𝜋2 ∗ 𝐸

𝜎𝑐𝑟 ∗ (4 ∗ 𝐿𝑑

)2

A tensão de trabalho deve ser o valor de tensão limite antes que ocorra a flambagem, portanto:

𝐾 =√

𝜋2 ∗ 𝐸

𝑃

(𝜋 ∗ 𝑑2

4)∗ (

4 ∗ 𝐿𝑑

)2

𝐾𝑚á𝑥 =𝜋 ∗ 𝑑2

8 ∗ 𝐿∗ √

𝐸 ∗ 𝜋

𝑃

O valor do coeficiente de flambagem encontrado é o valor máximo para dimensionar as condições de contorno devido à translação horizontal e rotação. A flambagem é influenciada apenas pelas restrições devido à translação horizontal (ortogonal ao eixo longitudinal da haste) e a rotação, portanto não devem ser impostas restrições devido à translação vertical. A partir do 𝐾𝑚á𝑥, as condições de contorno a serem adotadas são:

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝐾𝑚á𝑥 ≥ 1,0 𝐴𝑑𝑜𝑡𝑎𝑟 𝐾 = 1,0 (𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑛𝑔𝑖𝑟 𝑎𝑝𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜𝑠)

𝑃𝑎𝑟𝑎 1,0 > 𝐾𝑚á𝑥 ≥ 0,7 𝐴𝑑𝑜𝑡𝑎𝑟 𝐾 = 0,7 (𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑛𝑔𝑖𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜𝑠 𝑒 𝑟𝑜𝑡𝑎çã𝑜 𝑒𝑚 𝑢𝑚 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜)

𝑃𝑎𝑟𝑎 0,7 > 𝐾𝑚á𝑥 ≥ 0,5 𝐴𝑑𝑜𝑡𝑎𝑟 𝐾 = 0,5 (𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑛𝑔𝑖𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑒 𝑟𝑜𝑡𝑎çã𝑜 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜𝑠)

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝐾𝑚á𝑥 < 0,5 𝐻𝑎𝑠𝑡𝑒 𝑛ã𝑜 𝑎𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡é𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑚 𝑡𝑟𝑎𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠

Deve ser verificada se a tensão de escoamento é superior a tensão crítica de flambagem. A menor área possível, de acordo com o número de matrícula, ocorre quando temos c = 1 com área igual a 2,011 ∗ 10−4 𝑚². A maior carga de trabalho ocorre quando temos b = 0, pois assim b = 10 e carga de trabalho será igual a 30 𝑘𝑁. Neste caso, a tensão de trabalho, a qual foi utilizada para tensão crítica de flambagem, será igual a 149,21 𝑀𝑃𝑎. Portanto, a tensão crítica de flambagem será sempre inferior a tensão de escoamento.

3

2a QUESTÃO (valor: 3,5 pontos) Desenhe a Linha de Influência de Momentos na Seção S da viga abaixo. Não é necessário demonstrar os cálculos intermediários, apenas preencha a Tabela e desenhe a 𝐿𝐼𝑀𝑆.

Divida cada vão em quatro partes para preencher a Tabela. Usar três casas decimais. Inércia constante.

Posição da Carga Móvel P = 1,0 kN

a b Lvão E D MA MB MC MS

[m] [m] [m] [m] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm]

VÃ

O A

B

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0 0 0 0 0 0

VÃ

O B

C

0 0 0 0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0 0 0 0 0 0

(Coluna a e b da Tabela se referem às distâncias entre a posição da Carga Móvel e os apoios do vão carregado, conforme fórmulas dos Termos de Carga).

FORMULÁRIO Coeficientes de Propagação:

𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =𝐿𝐴𝐵

2 ∗ (𝐿𝐴𝐵 + 𝐿𝐵𝐶) − 𝛼𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ 𝐿𝐵𝐶

𝛼𝐶𝐵⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐿𝐶𝐵

2 ∗ (𝐿𝐶𝐵 + 𝐿𝐵𝐴) − 𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∗ 𝐿𝐵𝐴

Momentos nos apoios do vão AB carregado: (Para obter os momentos do vão BC carregado, as fórmulas abaixo devem ser adaptadas conforme exposto em aula)

𝑀𝐴 =𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

1 − (𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∗ 𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗)∗ (𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ − ) 𝑀𝐵 =

𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

1 − (𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ 𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ )∗ (𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∗ − )

Termos de Carga

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑏) =

𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑎)

4

SOLUÇÃO Inicialmente deve-se calcular os Coeficientes de Propagação da viga. O apoio C não possui engastamento, assim a propagação do momento 𝑀𝐵 para 𝑀𝐶, quando o vão AB está carregado, deve ser igual a zero, portanto:

𝛼𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 0 O apoio A não possui engastamento, assim a propagação do momento 𝑀𝐵 para 𝑀𝐴, quando o vão BC está carregado, deve ser igual a zero, portanto:

𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 0 Os demais coeficientes devem ser calculados a partir da fórmula de Coeficiente de Propagação presente no formulário. Como exemplo adotaremos a matrícula 19758 a = b = c = Para a matrícula 19758 temos a seguinte dimensão da viga:

𝐿𝐴𝐵 = 4 ∗ 𝐛 = 4 ∗ 5 = 20,0 𝑚

𝐿𝐵𝐶 = 4 ∗ 𝐜 = 4 ∗ 8 = 32,0 𝑚 Os coeficientes de propagação são:

𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =𝐿𝐴𝐵

2 ∗ (𝐿𝐴𝐵 + 𝐿𝐵𝐶) − 𝛼𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ 𝐿𝐵𝐶

=20

2 ∗ (20 + 32) − 0 ∗ 32= 0,192

𝛼𝐶𝐵⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ =𝐿𝐶𝐵

2 ∗ (𝐿𝐶𝐵 + 𝐿𝐵𝐴) − 𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∗ 𝐿𝐵𝐴

=32

2 ∗ (32 + 20) − 0 ∗ 20= 0,308

Portanto temos:

0 7 0 5 0 8

5

Foi imposto que cada vão fosse dividido em quatro partes para determinação dos valores da Linha de Influência na seção S (𝐿𝐼𝑀𝑠).

Para o vão AB teremos as seguintes posições da carga móvel a partir do apoio A a cada 5,0 m (𝐿𝐴𝐵

4= 5,0 𝑚)

𝑃𝑜𝑠𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑎 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑀ó𝑣𝑒𝑙 𝑛𝑜 𝑉ã𝑜 𝐴𝐵: 0, 5, 10, 15 𝑒 20.

Para o vão BC teremos as seguintes posições da carga móvel a partir do apoio A a cada 8,0 m (𝐿𝐵𝐶

4= 8,0 𝑚)

𝑃𝑜𝑠𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑎 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑀ó𝑣𝑒𝑙 𝑛𝑜 𝑉ã𝑜 𝐵𝐶: 20, 28, 36, 44 𝑒 52.

Portanto, a primeira coluna pode ser preenchida:

Posição da Carga Móvel Q = 1,0 kN

[m] V

ÃO

1

0

5

10

15

20

VÃ

O 2

20

28

36

44

52 Os valores a e b representam a distância entre a carga e os apoios do vão L carregado, conforme fórmula dos Termos de Carga. Assim os valores a, b e L podem ser preenchidos diretamente:

Posição da Carga Móvel Q = 1,0 kN

a b Lvão

[m] [m] [m] [m]

VÃ

O 1

0 0 20 20

5 5 15 20

10 10 10 20

15 15 5 20

20 20 0 20

VÃ

O 2

20 0 32 32

28 8 24 32

36 16 16 32

44 24 8 32

52 32 0 32

6

Termos de Carga e Momentos em B para vão AB carregado: Quando a carga está na posição 0 (sobre o apoio A) e na posição 20 (sobre o apoio B), ou o valor de a ou de b é igual a zero, desta forma os Termos de Cargas são nulos, e já estão preenchidos na Tabela. Posição 5:

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑏) =

1 ∗ 5 ∗ 15

202∗ (20 + 15) = 6,563 𝑘𝑁𝑚

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑎) =

1 ∗ 5 ∗ 15

202∗ (20 + 5) = 4,688 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝐵 =𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

1 − (𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ 𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ )∗ (𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∗ − ) =

0,192

1 − (0,192 ∗ 0)∗ (0 ∗ 6,563 − 4,688) = −0,900 𝑘𝑁𝑚

Posição 10:

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑏) =

1 ∗ 10 ∗ 10

202∗ (20 + 10) = 7,500 𝑘𝑁𝑚

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑎) =

1 ∗ 10 ∗ 10

202∗ (20 + 10) = 7,500 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝐵 =𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

1 − (𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ 𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ )∗ (𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∗ − ) =

0,192

1 − (0,192 ∗ 0)∗ (0 ∗ 7,500 − 7,500) = −1,440 𝑘𝑁𝑚

Posição 15:

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑏) =

1 ∗ 15 ∗ 5

202∗ (20 + 5) = 4,688 𝑘𝑁𝑚

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑎) =

1 ∗ 15 ∗ 5

202∗ (20 + 15) = 6,563 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝐵 =𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

1 − (𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ 𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ )∗ (𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∗ − ) =

0,192

1 − (0,192 ∗ 0)∗ (0 ∗ 4,688 − 6,563) = −1,260 𝑘𝑁𝑚

Preenchendo a Tabela, temos os seguintes Termos de Carga e Momentos em B quando o vão AB está carregado:

Posição da Carga Móvel Q = 1,0 kN

a b Lvão E D MA MB MC

[m] [m] [m] [m] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm]

VÃ

O 1

0 0 20 20 0 0 0 0 0

5 5 15 20 6,563 4,688 0 -0,900 0

10 10 10 20 7,500 7,500 0 -1,440 0

15 15 5 20 4,688 6,563 0 -1,260 0

20 20 0 20 0 0 0 0 0

7

Termos de carga para vão BC carregado: Quando a carga está na posição 20 (sobre o apoio B) e na posição 52 (sobre o apoio C), ou o valor de a ou de b é igual a zero, desta forma os Termos de Cargas são nulos, e já estão preenchidos na Tabela. Posição 28:

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑏) =

1 ∗ 8 ∗ 24

322∗ (32 + 24) = 10,500 𝑘𝑁𝑚

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑎) =

1 ∗ 8 ∗ 24

322∗ (32 + 8) = 7,500 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝐵 =𝛼𝐶𝐵⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

1 − (𝛼𝐶𝐵⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∗ 𝛼𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗)∗ (𝛼𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ − ) =

0,308

1 − (0,308 ∗ 0)∗ (0 ∗ 7,500 − 10,500) = −3,234 𝑘𝑁𝑚

Posição 36:

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑏) =

1 ∗ 16 ∗ 16

322∗ (32 + 16) = 12,000 𝑘𝑁𝑚

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑎) =

1 ∗ 16 ∗ 16

322∗ (32 + 16) = 12,000 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝐵 =𝛼𝐶𝐵⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

1 − (𝛼𝐶𝐵⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∗ 𝛼𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗)∗ (𝛼𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ − ) =

0,308

1 − (0,308 ∗ 0)∗ (0 ∗ 12,000 − 12,000) = −3,696 𝑘𝑁𝑚

Posição 44:

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑏) =

1 ∗ 24 ∗ 8

322∗ (32 + 8) = 7,500 𝑘𝑁𝑚

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑎) =

1 ∗ 24 ∗ 8

322∗ (32 + 24) = 10,500 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝐵 =𝛼𝐶𝐵⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

1 − (𝛼𝐶𝐵⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∗ 𝛼𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗)∗ (𝛼𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ − ) =

0,308

1 − (0,308 ∗ 0)∗ (0 ∗ 10,500 − 7,500) = −2,310 𝑘𝑁𝑚

Preenchendo a Tabela, temos os seguintes Termos de Carga e Momentos em B quando o vão BC está carregado:

Posição da Carga Móvel Q = 1,0 kN

a b Lvão E D MA MB MC

[m] [m] [m] [m] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm]

VÃ

O 1

0 0 20 20 0 0 0 0 0

5 5 15 20 6,563 4,688 0 -0,900 0

10 10 10 20 7,500 7,500 0 -1,440 0

15 15 5 20 4,688 6,563 0 -1,260 0

20 20 0 20 0 0 0 0 0

VÃ

O 2

20 0 32 32 0 0 0 0 0

28 8 24 32 10,500 7,500 0 -3,234 0

36 16 16 32 12,000 12,000 0 -3,696 0

44 24 8 32 7,500 10,500 0 -2,310 0

52 32 0 32 0 0 0 0 0

8

Para determinação dos Momentos na seção S, deve-se considerar dois casos: Caso 1: Quando Vão AB está carregado Nessa condição, o vão BC está descarregado, portanto o diagrama de Momentos no vão descarregado é uma reta.

Desta forma o valor do Momento no vão BC será sempre:

𝑀(𝑥) = 𝑀𝐵 + (𝑀𝐶 − 𝑀𝐵

𝐿𝐵𝐶

) ∗ 𝑥

Sendo x a seção de interesse, temos x = 8,0 m (um quarto do vão) para a Seção S. Ou pela relação entre os triângulos 𝑀𝐵𝐵𝐶 e 𝑀𝑠𝑆𝐶, temos:

𝑀𝑆 =3

4∗ 𝑀𝐵

Desta forma, podemos preencher os valores na do 𝑀𝑠 Tabela quando o vão AB está carregado. Caso 2: Quando Vão BC está carregado A partir da teoria de Estabilidade I, temos o equilíbrio da viga BC:

Para equilíbrio à rotação no Ponto C, temos:

+(𝑉𝐵,𝑑𝑖𝑟 ∗ 𝐿𝐵𝐶) − 𝑀𝐵 − 𝑃 ∗ 𝑏 = 0

Portanto:

𝑉𝐵,𝑑𝑖𝑟 =+𝑀𝐵 + 𝑃 ∗ 𝑏

𝐿𝐵𝐶

=𝑀𝐵 + 𝑏

32

Então o Momento em S é:

𝑀𝑆 = 𝑉𝐵,𝑑𝑖𝑟 ∗ 8,0 − 𝑀𝐵 = (𝑀𝐵 + 𝑏

32) ∗ 8,0 − 𝑀𝐵

9

Para posição 28 (b = 24 e 𝑀𝐵 = | − 3,234| )*

𝑀𝑆 = (𝑀𝐵 + 𝑏

32) ∗ 8,0 − 𝑀𝐵 = (

3,234 + 24

32) ∗ 8,0 − 3,234 = 3,575 𝑘𝑁𝑚

*Obs.: Os valores de 𝑀𝐵 e 𝑃 devem ser inseridos na fórmula em valores absolutos, pois os sinais já foram considerados no cálculo do equilíbrio à rotação no ponto C devido ao sentido apresentado no esquema estrutural da viga BC. (Equilíbrio em C: +(𝑉𝐵,𝑑𝑖𝑟 ∗ 𝐿𝐵𝐶) − 𝑀𝐵 − 𝑃 ∗ 𝑏 = 0)

Para posição 36 (b = 16 e 𝑀𝐵 = | − 3,696| )

𝑀𝑆 = (𝑀𝐵 + 𝑏

32) ∗ 8,0 − 𝑀𝐵 = (

3,696 + 16

32) ∗ 8,0 − 3,696 = 1,228 𝑘𝑁𝑚

Para posição 44 (b = 8 e 𝑀𝐵 = | − 2,310| )

𝑀𝑆 = (𝑀𝐵 + 𝑏

32) ∗ 8,0 − 𝑀𝐵 = (

2,310 + 8

32) ∗ 8,0 − 2,310 = 0,268 𝑘𝑁𝑚

Preenchendo a Tabela com os valores obtidos, temos:

Posição da Carga Móvel Q = 1,0 kN

a b Lvão E D MA MB MC MS

[m] [m] [m] [m] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm]

VÃ

O 1

0 0 20 20 0 0 0 0 0 0

5 5 15 20 6,563 4,688 0 -0,900 0 -0,675

10 10 10 20 7,500 7,500 0 -1,440 0 -1,080

15 15 5 20 4,688 6,563 0 -1,260 0 -0,945

20 20 0 20 0 0 0 0 0 0

VÃ

O 2

20 0 32 32 0 0 0 0 0 0

28 8 24 32 10,500 7,500 0 -3,234 0 3,575

36 16 16 32 12,000 12,000 0 -3,696 0 1,228

44 24 8 32 7,500 10,500 0 -2,310 0 0,268

52 32 0 32 0 0 0 0 0 0

Com os valores obtidos na Tabela, pode-se desenhar a Linha de Influência de Momentos em S:

10

3a QUESTÃO (valor: 3,5 pontos) Pela Analogia de Mohr, determine o diagrama de momentos fletores da viga de inércia constante abaixo. Unidades SI.

TABELA DE CONVERSÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO DA VIGA REAL PARA VIGA CONJUGADA

11

SOLUÇÃO Carregamento da viga conjugada:

Equilíbrio à rotação em B:

−(𝑀𝐵

𝐸𝐼∗𝐿𝐵𝐶

2) ∗

𝐿𝐵𝐶

3+ (

𝑀𝐶

𝐸𝐼∗𝐿𝐵𝐶

2) ∗

2 ∗ 𝐿𝐵𝐶

3= 0

𝑀𝑐 =𝑀𝐵

2

Portanto o valor do momento em C será sempre metade do valor do momento em B. Para o equilíbrio em A, como exemplo, adotaremos a matrícula 19758 a = b = c = Para a matrícula 19758 temos a seguinte dimensão da viga:

𝐿𝐴𝐵 = 5 + 𝐛 = 5 + 5 = 10,0 𝑚

𝐿𝐵𝐶 = 2 + 𝐛 = 2 + 5 = 7,0 𝑚

𝑃 = 5 ∗ 𝐜 = 5 ∗ 8 = 40,0 𝑘𝑁

0 7 0 5 0 8

12

Carregamento da viga conjugada:

Equilíbrio em A

+(64

𝐸𝐼∗2,0

2) ∗ (2,0 ∗

2

3) + (

64

𝐸𝐼∗8,0

2) ∗ (2,0 +

8,0

3) + (

𝑀𝐵

2 ∗ 𝐸𝐼∗7,0

2) ∗ (10 + 7,0 ∗

2

3)

−(𝑀𝐵

𝐸𝐼∗10,0

2) ∗ (10,0 ∗

2

3) − (

𝑀𝐵

𝐸𝐼∗7,0

2) ∗ (10,0 +

7,0

3) = 0

+85,33 + 1194,67 + 25,67 ∗ 𝑀𝐵 − 33,33 ∗ 𝑀𝐵 − 43,17 ∗ 𝑀𝐵 = 0

1280,00 − 50,83 ∗ 𝑀𝐵 = 0

𝑀𝐵 = 25,18 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝑐 =𝑀𝐵

2=

25,18

2= 12,59 𝑘𝑁𝑚

Momento no ponto de aplicação da carga:

𝑀 = 64 −25,18

5= 58,96 𝑘𝑁𝑚