avaliação de confiabilidade de vigas metálicas dimensionadas pela nbr 8800

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO - ESCOLA DE MINAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

PROGRAMA DE PS GRADUAO EM ENGENHARIA CIVIL

AVALIAO DA CONFIABILIDADE DE VIGAS METLICAS DIMENSIONADAS PELA NBR 8800

APARECIDA MUCCI CASTANHEIRA

ORIENTADOR: Prof. Marclio Sousa da Rocha Freitas

Dissertao apresentada ao Programa de Ps-Graduao do Departamento de Engenharia Civil da Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto, como parte integrante dos requisitos para obteno do ttulo de Mestre em Engenharia Civil, rea de concentrao: Construo Metlica.

Ouro Preto, maio de 2004.

Catalogao: [email protected]

Castanheira, Aparecida Mucci. C346a Avaliao da confiabilidade de vigas metlicas dimensionadas pela NBR 8800. / Aparecida Mucci Castanheira. Ouro Preto: UFOP, 2004. xvii, 111p. : il.; grafs., tabs. Dissertao (Mestrado) Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de Minas. Departamento de Engenharia Civil.

1. Construo metlica - Teses. 2. Engenharia civil - Teses. 3. Confiabilidade (Engenharia). 4. Estruturas metlicas Vigas. 5. Mtodo deMonte Carlo. 6. Mtodo FORM. I. Universidade Federal de Ouro Preto.Escola de Minas. Departamento de Engenharia Civil. II. Ttulo.

CDU: 624.014

III

Aos meus pais,

meus primeiros e grandes professores.

IV

Agradecimentos Passamos por momentos de plena felicidade em nossa vida. Momentos estes que nos marcam de uma forma surpreendente, e nos transformam, nos comovem, nos ensinam e muitas vezes, nos machucam profundamente. As pessoas que entram em nossa vida, sempre entram por alguma razo, algum propsito. Elas nos encontram ou ns as encontramos meio que sem querer, no h programao da hora em que encontraremos estas pessoas. Assim, tudo o que podemos pensar que existe um destino, em que cada um encontra aquilo que importante para si mesmo. Ainda que a pessoa que entrou em nossa vida, aparentemente, no nos oferea nada, mas ela no entrou por acaso, no est passando por ns apenas por passar. O universo inteiro conspira para que as pessoas se encontrem e resgatem algo com as outras. Discutir o que cada um nos trar, no nos mostrar nada, e ainda nos far perder tempo demais desperdiando a oportunidade de conhecer a alma dessas pessoas. Conhecer a alma significa conhecer o que as pessoas sentem, o que elas realmente desejam de ns, ou o que elas buscam no mundo, pois s assim que poderemos t-las por inteiro em nossa vida. A amizade algo que importa muito na vida do ser humano. Sem esse vnculo ns no teremos harmonia e nem paz. Precisamos de amigos para nos ensinar, compartilhar, nos conduzir, nos alegrar e tambm para cumprirmos nossa maior misso na Terra: "Amar ao prximo como a si mesmo". E para que isso acontea, preciso que nos aceitemos em primeiro lugar, e depois olhemos para o prximo e enxerguemos o nosso reflexo. Essas pessoas entram na nossa vida, s vezes de maneira to estranha, que nos intrigam at. Mas cada uma delas especial, mesmo que o momento seja breve, com certeza elas deixaro alguma coisa para ns.

Ao professor Marclio Sousa da Rocha Freitas pela orientao fornecida durante

a elaborao deste trabalho.

minha famlia pelo apoio e incentivo.

Aos amigos do mestrado e da Repblica Koxixo, pela amizade e colaborao na

realizao deste trabalho.

Aos professores e funcionrios da Escola de Minas, pela convivncia e auxlio

prestado.

CAPES, pela concesso da bolsa de pesquisa durante o perodo de Abril de

2002 a Maro de 2004.

V

Resumo

O estudo da confiabilidade estrutural se relaciona com a avaliao da

probabilidade de violao de um estado limite para um sistema estrutural. Isto inclui

tanto a segurana contra a falha estrutural ou colapso de parte da estrutura, conhecida

como estado limite ltimo, quanto disfuno no uso da estrutura, conhecida como

estado limite de utilizao. Uma vez definidos pelo projetista os estados limites

relevantes ao sistema estrutural, pode-se calcular o nvel de segurana com respeito a

esses estados.

As normas atuais de projeto estrutural, baseadas no Mtodo dos Estados Limites,

buscam a padronizao dos critrios de dimensionamento e a uniformizao do nvel de

confiabilidade, para uma determinada classe de estruturas, atendendo aos anseios dos

engenheiros, proprietrios e usurios. Este trabalho apresenta uma reviso do processo

de transio das Normas em Tenses Admissveis para Normas em Estados Limites, e

de alguns mtodos de confiabilidade estrutural.

Neste trabalho apresenta-se um estudo do nvel de confiabilidade de vigas de

perfis I laminados fabricados pela AOMINAS, para o estado limite de flexo,

projetadas segundo a NBR 8800 e o projeto de reviso da referida norma. Finalmente

so mostrados os resultados da anlise, indicando a variabilidade encontrada no ndice

de confiabilidade do estado limite ltimo de flexo.

VI

Abstract

The study of structural reliability is concerned with the assessment of the

probability of limit state violation for structural system. It includes safety against

structural failure or collapse of structural components, known as ultimate limit state,

and disruption of normal use, known as serviceability limit state. Once the limits states

are defined by the designer, the safety level can be assessed.

Structural design codes, based on limit states methods, try on standardizing

design criteria and to uniform reliability level for classes of structures. This work

presents a review of the transition between allowable stress and limits states design

codes, and structural reliability methods.

The study presents reliability of hot rolled I beams made by AOMINAS in a

flexure limit state, according to the Brazilian code for steel structures NBR 8800 and its

draft version (2003). Finally are showed the results indicatives the variability in

reliability index.

VII

Sumrio

RESUMO......................................................................................................................... V

ABSTRACT.................................................................................................................... VI

LISTA DE TABELAS.................................................................................................... IX

LISTA DE FIGURAS...................................................................................................... X

LISTA DE SMBOLOS................................................................................................XIII

CAPTULO 1 INTRODUO ..................................................................................... 1

1.1 Consideraes Iniciais .............................................................................................. 1

1.2 Objetivos................................................................................................................... 3

1.3 Apresentao............................................................................................................. 4

CAPTULO 2 NORMAS EM ESTADOS LIMITES.................................................... 7

2.1 Mtodo das Tenses Admissveis............................................................................. 7

2.2 Mtodo dos Estados Limites..................................................................................... 9

2.2.1 Estados Limites ltimos.................................................................................... 15

2.2.2 Estados Limites de Utilizao............................................................................ 16

2.2.3 Procedimento de Projeto.................................................................................... 16

2.2.4 Aes ................................................................................................................. 17

2.3 Calibrao de normas.............................................................................................. 18

2.3.1 Princpios de Calibrao da Norma ................................................................... 18

2.3.2 O Processo de Calibrao da Norma ................................................................. 19

2.3.3 Algumas Consideraes sobre a Calibrao da Norma ANSI A58................... 21

CAPTULO 3 MTODOS DE CONFIABILIDADE ................................................. 27

3.1 Problema Bsico ..................................................................................................... 27

3.2 Mtodo do Segundo Momento ............................................................................... 32

3.2.1 Funo Desempenho.......................................................................................... 34

3.2.2 ndice de Confiabilidade.................................................................................... 35

3.3 Simulao de Monte Carlo ..................................................................................... 45

3.3.1 Introduo .......................................................................................................... 45

VIII

3.3.2 Formulao ........................................................................................................ 46

CAPTULO 4 FLEXO DE VIGAS METLICAS SEGUNDO A NBR 8800 ......... 49

4.1 Estado Limite de Flexo ......................................................................................... 49

4.2 Clculo do Momento Resistente Segundo a NBR 8800 ......................................... 52

4.3 Clculo do Momento Resistente Segundo o Projeto de Reviso da NBR 8800..... 55

4.4 Clculo das Aes................................................................................................... 58

4.4.1 Combinaes de Aes para os Estados Limites ltimos................................. 59

4.4.1 Combinaes de Aes para os Estados Limites Utilizao ............................. 60

CAPTULO 5 AVALIAO DA CONFIABILIDADE DE VIGAS METLICAS

PROJETADAS SEGUNDO A NBR 8800 .................................................................... 61

5.1 Introduo ............................................................................................................... 61

5.2 Estatstica das Variveis Bsicas ............................................................................ 62

5.3 Funo de Estado Limite ........................................................................................ 65

5.4 Programa CALREL ................................................................................................ 66

5.5 Avaliao do ndice de Confiabilidade................................................................... 68

CAPTULO 6 DETERMINAO DOS FATORES DE MINORAO DA

RESISTNCIA............................................................................................................... 77

6.1 Introduo ............................................................................................................... 77

6.2 Cossenos Diretores ................................................................................................. 78

6.3 Critrio de Clculo.................................................................................................. 84

6.3.1 Exemplo ............................................................................................................. 87

6.4 Coeficientes de Resistncia para Trs Nveis de Confiabilidade ........................... 91

6.4.1 Exemplo de Aplicao ..................................................................................... 101

CAPTULO 6 CONCLUSES E SUGESTES ...................................................... 105

Referncias Bibliogrficas ............................................................................................ 108

Anexo............................................................................................................................ 110

IX

Lista de Tabelas

Tabela 2.1 Fatores de majorao de carga requeridos Carga nica (Ellingwood et al.,

1982) ......................................................................................................................... 24

Tabela 2.2 Fatores de minorao de resistncia e majorao de cargas timos para

cargas gravitacionais (Ellingwood et al., 1982)........................................................ 26

Tabela 4.1 Resumo do anexo D da NBR 8800 ............................................................ 54

Tabela 4.2 Resumo do anexo D do texto base de reviso da NBR 8800..................... 57

Tabela 5.1 Coeficiente de variao das propriedades geomtricas do perfil resultante

da variabilidade das dimenses do perfil .................................................................. 65

Tabela 6.1 ndice de confiabilidade alvo e o alcanado aps nova simulao de

verificao................................................................................................................. 90

Tabela 6.2 Coeficientes de resistncia para trs nveis de confiabilidade alvo ......... 101

X

Lista de Figuras

Figura 2.1 Fatores de minorao da resistncia e majorao da carga para flexo em

vigas de ao (Ellingwood et al., 1982)...................................................................... 23

Figura 3.1 Funo densidade de probabilidade ( )rf R e ( )sfS (Ang e Tang, 1984).... 29 Figura 3.2 Efeito da posio relativa entre ( )rf R e ( )sfS em fP (Ang e Tang, 1984) 30 Figura 3.3 Efeito da disperso em ( )rf R e ( )sfS em fP (Ang e Tang, 1984)............. 30 Figura 3.4 Funo densidade de probabilidade da margem de segurana (Ang e Tang,

1984) ......................................................................................................................... 32

Figura 3.5 Espao das variveis reduzidas (Ang e Tang, 1984).................................. 34

Figura 3.6 Regio de falha e regio de segurana no espao das variveis reduzidas

(Ang e Tang, 1984)................................................................................................... 36

Figura 4.1 Distribuio das tenses normais nas barras flexo simples

(Andrade, P. B., 1984) .............................................................................................. 50

Figura 4.2 Variao de nM com relao a (Andrade, P. B., 1984)......................... 51

Figura 5.1 Esquema da seo transversal do perfil I laminado ................................... 65

Figura 5.2 Variao do ndice de confiabilidade do perfil W150x18.0 para flambagem

lateral com toro...................................................................................................... 69

Figura 5.3 Variao do ndice de confiabilidade de perfis I (tabela da

AOMINAS)........................................................................................................... 70

Figura 5.4 Variao do ndice de confiabilidade Modo de falha 1........................... 71




Figura 5.8 Variao do ndice de confiabilidade de 14 perfis I (tabela da

AOMINAS)............................................................................................................ 73


Figura 5.10 Variao do ndice de confiabilidade Modo de falha 2......................... 75

XI



Figura 6.1 Variao do cosseno diretor das variveis aleatrias, segundo a norma em

vigor .......................................................................................................................... 79

Figura 6.2 Variao do cosseno diretor das variveis aleatria, segundo o projeto de

reviso da norma....................................................................................................... 79

Figura 6.3 Cosseno diretor da varivel aleatria yf ................................................... 80

Figura 6.4 Cosseno diretor da varivel aleatria rf .................................................... 81

Figura 6.5 Cosseno diretor da varivel aleatria E .................................................... 81

Figura 6.6 Cosseno diretor da varivel aleatria d ..................................................... 82

Figura 6.7 Cosseno diretor da varivel aleatria fb .................................................... 82

Figura 6.8 Cosseno diretor da varivel aleatria ft .................................................... 83

Figura 6.9 Cosseno diretor da varivel aleatria wt .................................................... 83

Figura 6.10 Fluxograma para obteno de global em funo de ' ............................. 86 Figura 6.11 Variao do coeficiente de resistncia global para alvo de 2,0 ................ 91 Figura 6.12 Variao do coeficiente de resistncia global para alvo de 2,5 ................ 92 Figura 6.13 Variao do coeficiente de resistncia global para alvo de 3,0 ................ 92 Figura 6.14 Variao do coeficiente de resistncia global para alvo de 2,0 Modo de

falha 1 ....................................................................................................................... 93

Figura 6.15 Variao do coeficiente de resistncia global para alvo de 2,0 Modo de falha 2 ....................................................................................................................... 93




XII








Figura 6.26 Variao do coeficiente de resistncia global para o perfil W150x18.0.... 99 Figura 6.27 Variao do coeficiente de resistncia global para o perfil W360x44.0.. 100 Figura 6.28 Variao do coeficiente de resistncia global para o perfil W610x174.0 100

XIII

Lista de Smbolos

Letras Romanas Maisculas:

Ag - rea da seo transversal

Ai - esforos nominais

Cb - coeficiente de majorao do Mcr Cw - constante de empenamento da seo transversal

D - distncia

E - mdulo de elasticidade transversal do ao; ao excepcional

F - domnio de falha

FR - funo de distribuio cumulativa da varivel R

Fx - probabilidade acumulada

FS - fator de segurana

G - vetor gradiente, ao permanente; mdulo de elasticidade transversal do ao

G* - vetor gradiente no ponto mais provvel de falha

It - momento de inrcia toro

I( X ) - funo indicadora do vetor X

Lb - distncia entre conteno lateral

M - margem de segurana

M( X ) - momento resistente

Md( kX )- momento resistente de clculo

Mn( kX )- momento resistente nominal

Mcr - momento crtico

Mpl - momento de plastificao

Mr - momento fletor correspondente ao incio do escoamento, incluindo ou no o

efeito de tenses residuais

Pf - probabilidade de falha

fP - estimador da probabilidade de falha

Ps - probabilidade de sobrevivncia

XIV

R - resistncia

Rn - resistncia nominal

Q - aes estruturais devido s cargas aplicadas

Q1 - ao varivel principal

Qn - mdia do efeito de carga

Qi - demais aes variveis

QnD - mdia do efeito do peso prprio

QnL - mdia do efeito da sobrecarga

Rd - resistncia de clculo

Rn - resistncia nominal

S - combinao dos efeitos das aes

Sd - ao de clculo

W - mdulo de resistncia elstico

Wx - mdulo de resistncia elstico em relao ao eixo x

X - vetor das variveis bsicas de projeto

Xk - vetor dos valores nominais das variveis

X - vetor das variveis reduzidas

X* - ponto mais provvel de falha

Xi - varivel bsica de projeto

Xi - varivel reduzida

Zx - mdulo de resistncia plstico referente ao eixo x

Letras Romanas Minsculas:

bf - largura da mesa

d - altura do perfil; distncia da superfcie de falha (linear) origem no espao

das variveis reduzidas

dmin - distncia mnima

fQ(x) - funo densidade de probabilidade da varivel Q

fr - tenso residual do ao

fy - tenso de escoamento do ao

fM(m) - funo densidade de probabilidade da varivel M

XV

fR(r) - funo densidade de probabilidade da varivel R

fR,S(r,s)- funo densidade de probabilidade conjunta das variveis R e S

fS(s) - funo densidade de probabilidade da varivel S

g(.) - funo do estado limite

g(X) - funo de desempenho

h -distncia entre as faces internas das mesas, menos os dois raios de

concordncia entre mesa e alma nos perfis laminados

hp - duas vezes a distncia da linha neutra plstica (devida ao momento fletor) da

seo transversal face interna da mesa comprimida, menos o raio de concordncia

entre mesa e alma nos perfis laminados

pj - peso relativo na j-sima combinao de carga

ry - raio de girao em relao ao eixo y

tf - espessura da mesa

tw - espessura da alma *x - coordenada no espao original '*x - coordenadas do ponto de projeto associado ao o no espao original

x0 - valor inicial

z - valor particular assumido por Z *z - ponto de projeto no espao gaussiano padro

'*z - coordenadas do ponto de projeto associado ao ' no espao gaussiano padro

Letras Gregas Maisculas

(.) - funo de distribuio acumulada da varivel normal padro

-1(.) - inverso da probabilidade acumulada da distribuio normal

() - funo de distribuio acumulada da distribuio normal padro - somatrio

Letras Gregas Minsculas

- vetor dos cossenos diretores

XVI

*i - cossenos diretores ao longo dos eixos xi correspondente ao ponto mais

provvel de falha

- ndice de confiabilidade - ndice de confiabilidade objetivo 1, 2 - parmetro para o clculo do Mcr na FLT, conforme NBR 8800 - coeficiente de ponderao das aes

g - coeficiente de majorao de ao permanente

m - coeficiente de minorao da resistncia dos materiais

q1 - coeficiente de majorao da ao varivel principal

qi - coeficiente de majorao das demais aes variveis

D - coeficiente de ponderao das aes permanentes

E -coeficiente de ponderao da ao de terremoto

L - coeficiente de ponderao da ao varivel

S - coeficiente de ponderao da ao de neve

W - coeficiente de ponderao da ao do vento

fP - coeficiente de variao da probabilidade de falha

fP - estimador do coeficiente de variao da probabilidade de falha

- parmetro de esbeltez; multiplicador de Lagrange p - parmetro de esbeltez correspondente plastificao r - parmetro de esbeltez correspondente ao incio do escoamento, com ou sem tenso residual

r - valor mdio da resistncia

s - valor mdio da ao

iX - valor mdio da varivel bsica de projeto Xi

x - valor mdio da varivel X

y - valor mdio da varivel Y

- tenso normal

adm - tenso admissvel

lim - tenso limite do comportamento elstico linear

XVII

X - desvio padro da varivel X

Y - desvio padro da varivel Y

iX - desvio padro da varivel bsica

- fator de minorao das resistncias global - coeficiente de resistncia associado ao () - funo densidade de probabilidade da distribuio normal padro i - fatores para combinao de cargas

Lista de Abreviaturas e Siglas

nsi - nmero de simulaes

CDF - funo cumulativa de probabilidade

COV - coeficiente de variao

FDP - funo de densidade de probabilidade

FORM - First Order Reliability Method

FLT - Flambagem Lateral por Toro

FLM - Flambagem Local da Mesa

FLA - Flambagem Local da Alma

FS - Fator de Segurana

LRFD - Load and Resistence Factor Design

NBR - Norma Brasileira Registrada

SORM - Second Order Reliability Method

Captulo 1

Introduo

1.1 Consideraes Iniciais

As estruturas devem oferecer segurana e boas condies de utilizao.

Segurana significa que a estrutura no ir atingir colapso, durante sua vida til, de uma

maneira que venha a matar ou ferir seus usurios ou ainda provocar um grande prejuzo

econmico. A necessidade de boas condies de utilizao est relacionada

capacidade da estrutura de funcionar sem provocar desconforto, por exemplo, vibraes

excessivas, aos seus ocupantes.

Normalmente, a conformidade com uma norma de projeto estrutural igualada

segurana estrutural tanto pelos engenheiros, pelo governo e pela sociedade. Isto no

totalmente verdade visto que a conformidade com uma norma garante para a sociedade

que existe uma pequena chance, porm aceitvel, que ocorra uma falha no

funcionamento da estrutura (Galambos, 1992). Alm deste aspecto, as normas de

projeto buscam uma uniformizao dos critrios de dimensionamento a serem seguidos

nos projetos, para uma determinada classe de estruturas, atendendo aos anseios dos

engenheiros, proprietrios e usurios.

O estudo da confiabilidade estrutural se relaciona com a avaliao da

probabilidade de violao de um estado limite para um sistema estrutural. Isto inclui

tanto a segurana contra a falha estrutural ou colapso de parte da estrutura, conhecida

como estado limite ltimo, quanto disfuno no uso da estrutura, conhecida como

estado limite de utilizao. Uma vez definidos pelo projetista os estados limites

relevantes ao sistema estrutural, deve-se calcular o nvel de segurana com respeito a

2

esses estados. A identificao das incertezas presentes no projeto constitui o passo

inicial deste processo de clculo.

A identificao de todas as incertezas envolvidas em um projeto estrutural

praticamente impossvel, pois elas envolvem aspectos: (1) de avaliao, relativos

definio de desempenho estrutural e caracterizao dos estados limites; (2) do modelo,

relativa s consideraes de hipteses simplificadoras adotadas nos modelos estruturais

e mtodos simplificados de anlise; (3) devidos a fatores humanos, associados a erros

humanos; (4) fsicos, associados aleatoriedade inerentes ao projeto como o valor das

propriedades fsicas, da geometria, do carregamento; e (5) estatsticos, advindos de

pouca informao para estimar as caractersticas das variveis (Melchers, 1987, Freitas,

1998).

Os mtodos de confiabilidade estrutural so divididos em nveis, de acordo com

a quantidade de informao usada e disponvel sobre as variveis aleatrias associadas

ao problema estrutural em questo. Assim sendo, os mtodos que usam o formato de

tenses admissveis so chamados de mtodos do nvel 0, pois apenas utilizam um fator

de segurana para as tenses elsticas. Os mtodos que empregam um valor

caracterstico para cada varivel incerta, com os formatos do tipo do Mtodo dos

Estados Limites, so chamados mtodos do nvel I. Quando so utilizados dois valores

para cada varivel incerta (usualmente mdia e varincia) e uma medida da correlao

entre parmetros (usualmente covarincia), eles so chamados de mtodos do nvel II, e

quando utilizam a funo densidade de probabilidade das variveis incertas para a

determinao da probabilidade de falha da estrutura (usada com medida de sua

confiabilidade) so chamados de mtodos do nvel III.

Os mtodos de confiabilidade de nveis mais altos, por exemplo, dos nveis II e

III, podem ser utilizados para calibrao dos coeficientes parciais necessrios nos

mtodos de nvel I. Esta uma importante aplicao dos mtodos de confiabilidade

estrutural no desenvolvimento de cdigos do tipo do Mtodo dos Estados Limites,

considerados mais seguros e econmicos.

Trabalhos desenvolvidos por Santos (2000) e Machado (2001) analisaram sobre

diferentes aspectos os nveis de confiabilidade de vigas metlicas e em concreto

armado. Santos (2000) desenvolveu um trabalho sobre a confiabilidade na flexo de

vigas de perfis I soldados, segundo a Norma Brasileira NBR 8800 Projeto e Execuo

3

de Estruturas de Ao de Edifcios. Ele utilizou a tcnica de simulao numrica de

Monte Carlo com Amostragem por Importncia Adaptativa, fazendo uma anlise

qualitativa da variabilidade para um mesmo critrio de dimensionamento (funo de

estado limite). Tambm foi apresentada uma metodologia prtica para a uniformizao

da confiabilidade, permitindo o clculo do coeficiente de resistncia em funo de um ndice de confiabilidade preestabelecido. No presente trabalho, foram, inicialmente,

analisados com o programa computacional CALREL os mesmos perfis soldados

utilizados no trabalho de Santos (2000). Foram utilizados dois mtodos de

confiabilidade: mtodo FORM e simulao de Monte Carlo. Como os resultados de

ambos foram semelhantes, e foram compatveis com os resultados obtidos por

Santos (2000), utilizou-se no presente trabalho apenas os resultados da simulao

numrica de Monte Carlo. Apenas quando se necessitou dos valores dos cossenos

diretores das variveis consideradas aleatrias no clculo das vigas, utilizados durante a

aplicao da metodologia para a uniformizao da confiabilidade, que foram obtidos

pelo mtodo FORM. A funo de estado limite e a metodologia utilizada para a

uniformizao da confiabilidade foram as mesmas adotadas por Santos (2000).

No trabalho de Machado (2001) foi feita a avaliao da confiabilidade de

estruturas em concreto armado dimensionadas segundo critrios da NBR 6118 Projeto

e Execuo de Obras de Concreto Armado e NBR 8681 Aes e Segurana nas

Estruturas, atravs do programa CALREL. Em Machado (2001) dois estados limites

foram analisados: flexo simples e cisalhamento em vigas. Avaliou-se a adequao dos

valores do ndice de confiabilidade associados flexo e ao cisalhamento, bem como, a influncia da resistncia compresso do concreto, das taxas de armaduras

longitudinal e transversal, da geometria da seo transversal e da razo entre os

carregamentos aplicados sobre o valor de .

1.2 Objetivos

Os principais objetivos deste trabalho foram: (1) avaliar o nvel de

confiabilidade de vigas de perfis I laminados produzidos pela Empresa Aominas, para

4

o estado limite de flexo, projetadas segundo a Norma Brasileira NBR 8800 Projeto e

Execuo de Estruturas de Ao de Edifcios (1986) e o projeto de reviso da NBR

8800 Projeto e Execuo de Estruturas de Ao e de Estruturas Mistas Ao-concreto de

Edifcios (2003); (2)analisar a uniformidade de e comparar os resultados obtidos com valores encontrados na literatura; e (3)aplicar uma metodologia para a calibrao

dos fatores de minorao da resistncia. Para a realizao desta tarefa foram utilizados

mtodos de confiabilidade estrutural, em particular os mtodos de nvel III.

Para tanto foram necessrios: (1) estudar os procedimentos propostos pela NBR

8800(1986) e pelo projeto de reviso da NBR 8800 (2003); (2) estudar os mtodos de

anlise de confiabilidade estrutural; (3) descrever estatisticamente as variveis bsicas

de projeto atravs de uma pesquisa bibliogrfica sobre as propriedades mecnicas dos

materiais e a variabilidade geomtrica dos elementos; (4) definir a funo de

desempenho em relao resistncia da estrutura, j que as aes no foram

consideradas aleatrias neste trabalho. Foi necessrio o desenvolvimento das expresses

de estado limite utilizadas pela norma em avaliao; (5) utilizar o programa

computacional CALREL (CAL-RELiability) (1989) desenvolvido pela Universidade da

California em Berkeley; (6) Calcular os ndices de confiabilidade correspondentes s

diversas funes de desempenho (modos de falha); (7) Definir fatores de minorao de

resistncia, isto , calibrar a norma; e (8) Analisar os resultados obtidos.

1.3 Apresentao

A seguir ser apresentado de forma sucinta o contedo de cada captulo

mostrando os passos seguidos para a realizao do trabalho.

No captulo 2 apresentado um breve histrico dos mtodos de

dimensionamento que foram se aperfeioando com os avanos da engenharia estrutural.

descrito o processo do mtodo dos estados limites, que ser utilizado neste trabalho.

Em seguida abordado o processo de calibrao de normas, com enfoque neste mtodo.

No captulo 3 apresentada uma viso sobre dois mtodos de confiabilidade

estrutural: o Mtodo de confiabilidade de primeira ordem (FORM) e a Simulao de

5

Monte Carlo. Tambm apresentada uma breve descrio do programa CALREL, que

permite a determinao do ndice de confiabilidade pelos dois mtodos utilizados.

No captulo 4 so apresentados: (a) os dados estatsticos necessrios para a

realizao do trabalho; (b) a funo de estado limite aplicada a vigas no-esbeltas

utilizada para a determinao do momento resistente flexo; e (c) os resultados de

estudos realizados com o objetivo de verificar os nveis de confiabilidade de um

conjunto de perfis I laminados. Foram apresentados os dados estatsticos das sete

variveis aleatrias envolvidas no clculo da resistncia, que foram consideradas neste

trabalho. Trs referentes s propriedades fsicas do ao e quatro referentes s dimenses

do perfil. Estudou-se nesse trabalho o estado de flexo para vigas metlicas, segundo a

NBR 8800 (1986) e o projeto de reviso da NBR 8800 (2003). Os resultados so

apresentados atravs de grficos das variaes do ndice de confiabilidade, , em funo do ndice de esbeltez, yb rL . A estimativa do ndice de confiabilidade, em cada

caso, foi obtida por meio do mtodo FORM e atravs da simulao de Monte Carlo,

com o auxlio do programa CALREL.

No captulo 5 proposto o uso dos cossenos diretores, que expressam a

importncia relativa de cada varivel envolvida no dimensionamento, como utilizado

por Santos (2000). imposto um peso diferenciado a cada uma das variveis, em

funo de sua importncia no projeto, visando alcanar uma maior uniformidade da

confiabilidade para uma mesma funo de estado limite. Os resultados so apresentados

atravs de grficos com os valores que deveria assumir o coeficiente de minorao da

resistncia para manter a uniformidade em trs nveis distintos de confiabilidade. mostrada tambm a variao de importncia de cada varivel aleatria no

dimensionamento, para diversos valores do ndice de esbeltez, e para cada modo de

falha existente na flexo. Por fim proposta uma tabela, onde condensam-se os

diferentes pesos de cada varivel aleatria para todo o conjunto de perfis analisados, de

acordo com a NBR 8800 (1986), apresentando uma alternativa para a determinao do

coeficiente de resistncia para qualquer nvel de confiabilidade preestabelecido, utilizando a metodologia apresentada (Santos, 2000).

No captulo 6 so apresentadas as concluses obtidas neste trabalho, bem como

sugestes para continuao desse estudo.

6

No anexo apresentada uma tabela das propriedades geomtricas dos perfis I

laminados, utilizados nesse trabalho.

Captulo 2

Normas em Estados Limites

2.1 Mtodo das Tenses Admissveis

O incio da engenharia estrutural baseada na teoria da elasticidade data da poca

de Coulomb e Navier no final do sculo XVIII. No final do sculo XX, com avanos

significativos na engenharia estrutural e com a disponibilidade do computador como

uma ferramenta de anlise, o comportamento de sistemas complexos pde ser

determinado com grande preciso para as finalidades de projeto. Infelizmente, apesar

destes avanos, as aes nas estruturas e a resistncia dos materiais permanecem

descritas imprecisamente, e esta incerteza est na raiz do problema de segurana

estrutural. A incerteza aumenta o risco, representado pela probabilidade de ocorrer um

evento desfavorvel e de suas conseqncias em termos humanos e econmicos. O risco

est presente em todos os empreendimentos humanos. A finalidade essencial das

normas de projeto estrutural controlar e ajustar o risco aos nveis aceitveis pela

sociedade.

O mtodo de dimensionamento que predominou durante o sculo XX foi o

mtodo das tenses admissveis, cujo incio se deu na segunda metade do sculo XIX

quando a teoria da elasticidade comeou a ter o controle do clculo estrutural na prtica.

Esta teoria admite a linearidade entre cargas e foras resultantes ou magnitudes de

deformao na estrutura, bem como entre as foras e as tenses resultantes. A filosofia

de projeto que evoluiu da aplicao da teoria da elasticidade chamada de Mtodo das

Tenses Admissveis (Allowable Stress Design ASD).

No mtodo das tenses admissveis, a filosofia de dimensionamento consiste em

se calcular a tenso , no regime elstico-linear para o carregamento mximo esperado

8

e compar-la tenso admissvel adm , que uma frao da tenso limite lim . A

tenso limite define o nvel de tenso a partir do qual o comportamento elstico-linear

no mais se aplica.

Este critrio de projeto pode ser definido como se segue:

FSadmlim = (2.1)

onde FS o fator de segurana.

A interpretao tradicional do mtodo das tenses admissveis :

Sob cargas de servio a estrutura tem um comportamento elstico-linear;

A resistncia e o carregamento so incertos, mas postulado que, um limite superior

para o carregamento e um limite inferior para a resistncia (valores caractersticos)

podem ser estabelecidos.

Existem muitas objees a este modo de tratar o problema da segurana estrutural,

tanto do ponto de vista cientfico, probabilstico ou econmico, a saber, (Galambos,

1992):

1. Tenses e deformaes nem sempre so lineares, por exemplo, a curva tenso-

deformao do concreto no-linear mesmo para baixas tenses;

2. Efeitos do tempo (fluncia e retrao do concreto), efeitos ambientais (umidade na

resistncia da madeira, corroso de metais) e efeitos de taxa de carregamento

introduzem no-linearidades no espao e no tempo;

3. Efeito de carga e deformao nem sempre so lineares;

4. Comportamento carga-deformao ps-escoamento pode ser: dctil, com grande ou

pequena reserva de resistncia, ou frgil;

5. Sob algumas circunstncias necessrio utilizar a capacidade de absoro de

energia da regio no-linear para resistir a terremotos ou a exploses;

6. A chance de exceder o estado limite de incio da no-linearidade depende da

variabilidade das cargas, dos materiais e do modelo computacional utilizado. A

9

confiabilidade dos elementos dentro da estrutura ou de diferentes estruturas pode

ento variar consideravelmente;

7. Novos materiais de construo e tcnicas de projeto podem demandar anos de testes

at que um fator de segurana possa ser definido;

8. Todas as cargas so assumidas como tendo a mesma variabilidade;

9. A probabilidade de falha desconhecida e o mesmo fator de segurana pode

corresponder a distintas probabilidades de falha.

Estas e muitas outras objees ao mtodo das tenses admissveis j eram, em sua

maioria, conhecidas dos pesquisadores h dcadas. Os esforos para desenvolver outro

mtodo de projeto que acomodaria estas objees comearam na dcada de 30 na Unio

Sovitica e, na dcada de 40 na Inglaterra e nos Estados Unidos (Galambos, 1992). O

mtodo resultante conhecido como Mtodo dos Estados Limites.

2.2 Mtodo dos Estados Limites

A experincia com projetos de aeronaves durante a Segunda Guerra Mundial

mostrou a possibilidade de quantificar as incertezas, que so as bases dos fatores de

segurana, usando a teoria da probabilidade e estatstica. As noes bsicas deste

procedimento probabilstico quantitativo foram desenvolvidas nos anos de 1950 em

uma srie de artigos escritos por Freudenthal.

Ao mesmo tempo a idia de utilizar fatores mltiplos foi sugerida na Inglaterra

por Pugsley, e uma norma utilizando estes fatores foi formulada na Unio Sovitica.

O campo da confiabilidade estrutural desenvolveu-se nos ltimos 50 anos

fornecendo um arcabouo terico analtico e computacional para a quantificao da

segurana estrutural e anlise das incertezas que afetam as variveis de projeto.

O uso da teoria da confiabilidade estrutural como uma ferramenta no

desenvolvimento de normas de dimensionamento de estruturas, nos Estados Unidos,

iniciou-se no final dos anos de 1960. Na teoria clssica da confiabilidade, as aes

estruturais devido s cargas aplicadas, S , e a resistncia, R , so modeladas por

10

variveis aleatrias. Na representao mais simples, a falha ocorre se R for menor do

que S . A probabilidade deste evento :

dssfsFP SRf )()(0= (2.2)

no qual )(sFR a funo de distribuio cumulativa de R e )(sf S a funo

densidade de probabilidade de S . Esta equao pouco prtica para os objetivos de

projeto. Esta requer um conhecimento das distribuies de probabilidade para R e S ,

que podem variar para diferentes aes estruturais e estados limites. Tambm h o

problema de como manipular a integrao numrica no contexto iterativo tpico de um

dimensionamento. Assim, at o final dos anos de 1960, a maioria dos problemas da

literatura referentes teoria da confiabilidade eram principalmente tericos e

relativamente simples.

Dentro do perodo de 1968 a 1972, entretanto, o campo da confiabilidade

estrutural expandiu-se rapidamente de uma comunidade de pesquisa relativamente

pequena para um grupo maior de engenheiros interessados em melhorar o processo de

desenvolvimento de normas. Dentro deste perodo, houve a primeira conferncia

internacional sobre segurana e confiabilidade estrutural (ICOSSAR, 1972); uma

coleo de artigos sobre aspectos prticos de segurana estrutural foi publicada no ACI

Journal, edies de setembro a dezembro de 1969, seguidas por uma sesso tcnica

organizada pelo ACI sobre dimensionamento probabilstico de edifcios de concreto em

1971; e uma conferncia da American Society of Civil Engineers (ASCE, 1972) sobre

confiabilidade de edifcios de ao. Tambm nesse perodo, trabalhos foram

desenvolvidos para transformar a equao 2.2 em algo mais prtico para uso em projeto.

As primeiras mudanas em direo ao que agora se chama de Mtodo dos

Estados Limites (clculo plstico para o ao ou clculo da resistncia para o concreto)

tinham precedido a expanso para aplicaes prticas na rea da confiabilidade por

aproximadamente uma dcada. O Mtodo dos Estados Limites, em contraste ao Mtodo

das Tenses Admissveis (ASD), requer um cuidadoso pensamento sobre como melhor

lidar com os possveis modos do comportamento estrutural (resposta elstica versus

11

no-linear), tcnicas de anlise (primeira ordem versus segunda ordem), e dos limites de

desempenho (utilizao, incio da no-linearidade estrutural, incio da instabilidade do

sistema). O Mtodo das Tenses Admissveis no trata destes aspectos de uma maneira

inteiramente racional.

Um exemplo notvel da mudana em direo implementao prtica pode ser

encontrado na noo do ndice de confiabilidade, , como uma medida alternativa da confiabilidade. O ndice de confiabilidade foi introduzido na tentativa de evitar as

dificuldades conceituais e prticas (problemas na avaliao numrica da probabilidade

de falha, da falta de dados, erros de modelagem) com o uso da equao 2.2. Em sua

implementao inicial, foi avaliado simplesmente em funo das mdias e dos desvios-padro (ou coeficientes de variao) da resistncia e das aes estruturais. Mais

tarde, as tcnicas para incorporar informaes sobre as distribuies da probabilidade

foram desenvolvidas, conduzindo finalmente ao chamado mtodo de confiabilidade de

primeira ordem First Order Reliability Method (FORM).

A prescrio Load and Resistance Factor Design (LRFD AISC) representou a

primeira tentativa, nos Estados Unidos, para implementar racionalmente conceitos

probabilsticos no contexto de um moderno cdigo de projeto estrutural em estados

limites. O American Iron and Steel Institute (AISI) e o American Institute of Steel

Construction (AISC) iniciaram um projeto de pesquisa em 1969 para desenvolver uma

especificao prtica de clculo de estruturas de ao usando princpios da teoria da

confiabilidade para tratar incertezas nas cargas e na resistncia estrutural. O projeto

estava sob a direo de Theodore V. Galambos, que foi auxiliado por M. K. Ravindra,

sendo guiado por um comit assessor de especialistas em estruturas de ao, projeto

estrutural, e teoria da confiabilidade. A parte principal do trabalho tcnico foi executada

durante o perodo de 1969 a 1976, na Universidade de Washington em St. Louis. A base

do mtodo LRFD explicada em uma coleo de oito artigos publicados em setembro

de 1978. O primeiro artigo fornece a base geral para o critrio de clculo; cinco artigos

apresentam o desenvolvimento de critrios para vrios elementos estruturais, por

exemplo, vigas, vigas esbeltas, ligaes, vigas mistas, e vigas-colunas; um artigo est

relacionado com cargas de vento e neve; e o artigo final relata o critrio de clculo

proposto, LRFD, juntamente com comentrios detalhados.

12

Um perodo de tentativa de clculo e refinamento seguiu, at que uma verso

inicial do LRFD foi discutida pelo comit de normatizao do AISC, primeiramente em

um encontro em agosto de 1981, e subseqentemente em reunies anuais durante

diversos anos. A primeira especificao LRFD foi publicada em 1986 e a segunda em

1994.

O LRFD utilizou com sucesso a equao clssica da confiabilidade estrutural

resultando em um formato que fosse prtico para o clculo, inclusive para os

engenheiros no familiarizados com os conceitos de confiabilidade.

A maior parte das normas vigentes atualmente esto baseadas no mtodo dos

estados limites e os conceitos fundamentais, suposies e metodologias bsicas das

normas, segundo Galambos et al.(1982), podem ser sumarizados como a seguir:

1. partir da equao 2.2 chegou-se ao formato familiar do LRFD,

=

j

iniin QR

1

(2.3)

O lado esquerdo da equao refere-se resistncia (capacidade) da estrutura enquanto o

lado direito caracteriza a ao do carregamento.

O lado da resistncia do critrio de clculo consiste no produto nR , no qual

nR a resistncia nominal, e o coeficiente de minorao de resistncia. A resistncia nominal a resistncia calculada de acordo com os preceitos da norma de

projeto estrutural e est baseada nos valores nominais das propriedades do material e da

seo transversal. O fator de resistncia , que sempre menor do que 1, juntamente com nR , reflete as incertezas associadas a R . O fator adimensional e nR uma fora generalizada: momento fletor, esforo normal ou esforo cortante associados com

um estado limite ltimo ou de utilizao. Equaes de interao, por exemplo, entre

esforo normal e momento fletor, podem tambm ser usadas para definir nR para

estados limites apropriados.

13

O lado do carregamento do critrio de clculo expresso pela equao 2.3 a

soma de produtos nQ , no qual nQ a ao da carga nominal, e o coeficiente

de ponderao das aes correspondente. adimensional e nQ uma fora

generalizada calculada para as cargas nominais para a qual a estrutura est sendo

calculada. Os fatores refletem os desvios dos valores reais de cargas em relao aos

valores especificados e as variaes nos efeitos da carga devido as incertezas nas

anlises. O somatrio na equao 2.3 denota a combinao dos efeitos de carga

proveniente de diferentes aes atuantes. Por exemplo, se somente o peso prprio e a

sobrecarga so considerados, temos:

nLLnDD

j

inii QQQ +=

=1

(2.4)

no qual nDQ e nLQ so os efeitos do peso prprio e da sobrecarga, respectivamente; e

D e L so os correspondentes coeficientes de carga.

2. As especificaes em estados limites reconhecem que as aes, bem como seus

efeitos, e as resistncias, so todas quantidades aleatrias cujos valores reais so

conhecidos somente atravs da distribuio de probabilidade das quantidades

aleatrias individuais em que consistem suas partes componentes. So usados

mtodos de confiabilidade de primeira ordem ou mtodos de confiabilidade de

segunda ordem, onde estes forem apropriados, para desenvolver os coeficientes de

resistncia , de modo a resultar em confiabilidades aproximadamente uniformes para cada tipo de combinao de cargas.

3. O objetivo central que os ndices de confiabilidade resultem aproximadamente

iguais queles das especificaes anteriores em tenses admissveis quando essas

resultavam em desempenhos considerados satisfatrios.

14

4. Para evitar excessivas complicaes no clculo, o nmero de coeficientes de

resistncia conservado relativamente pequeno.

5. Os coeficientes de ponderao das aes, as aes propriamente ditas e suas

combinaes, devem ser indicadas em normas de aes e segurana para serem

utilizadas nos clculos com as normas em estados limites.

6. Os critrios de projeto so baseados nos estados limites alcanados pelos elementos

estruturais (uma viga, pilar, solda individual, parafuso, metal base ou ligao).

Ligaes (parafusos ou soldas) geralmente tm um maior ndice de confiabilidade

do que as barras, para forar a falha nos elementos (carter dctil) e no na ligao

(carter frgil).

7. No feita distino explicita quanto s conseqncias de falha

Os coeficientes de ponderao das aes foram desenvolvidos por calibrao,

usando mtodos analticos para o clculo da confiabilidade, (Ellingwood et al., 1982),

para casos padres de estruturas determinadas estaticamente, calculadas pelas

especificaes correntes para ao, concreto armado e protendido, madeira, alumnio e

estruturas de alvenaria, buscando um resultado final com aproximadamente a mesma

confiabilidade. Os coeficientes de majorao das cargas foram desenvolvidos para um

tempo de vida til da estrutura de 50 anos.

Um dos objetivos iniciais do clculo semi-probabilstico era a obteno de uma

mesma confiabilidade para todas as estruturas e elementos. Este objetivo contudo no

completamente alcanado. Ellingwood et al., (1982), observam que o ndice de

confiabilidade de elementos fletidos pode variar de 2,5 a 3,5, que a ordem de

magnitude de variao na probabilidade de exceder um estado limite. Uma das razes

para esta variao a utilizao de um nico valor do coeficiente de resistncia (por

exemplo 90,0= para a maioria das normas) que usado para todos os elementos sob flexo, independentes do tipo de estado limite.

Na norma LRFD AISC, uma expresso do tipo dada na equao 2.3 utilizada

para cada conjunto de combinaes de carga que necessitam ser considerados. A

15

resistncia nominal sempre se refere a um estado limite especfico. Duas classes de

estados limites so pertinentes ao clculo estrutural: o estado limite de resistncia

mxima (ou ltimo) e o estado limite de utilizao.

O desenvolvimento da norma LRFD AISC exigiu uma reviso completa dos

preceitos filosficos do Mtodo das Tenses Admissveis(ASD AISC) e conduziu-o

s mudanas nos procedimentos pelo qual a resistncia nominal nR calculada para

diferentes estados limites.

O desenvolvimento da primeira especificao LRFD, nos Estados Unidos, para

as estruturas de ao no perodo de 1969 a 1985, necessitou da colaborao entre

pesquisadores da teoria da confiabilidade, da tecnologia de construo em ao, e

profissionais de projeto estrutural resultando na melhoria de todo o processo pelo qual

as estruturas so projetadas.

No sentido de minorar as objees relativas ao Mtodo das Tenses

Admissveis, foi desenvolvido o Mtodo dos Estados Limites. Um estado limite uma

condio onde a estrutura ou elemento estrutural torna-se inadequado para desempenhar

a funo proposta. Isto significa, que os esforos e deformaes devem ser inferiores a

certos valores limites, que dependem do material usado e do tipo de estrutura adotada.

Distinguem-se dois tipos de estados limites nesse mtodo:

2.2.1 Estados Limites ltimos

So os relacionados ao colapso total ou parcial da estrutura e que podem ser:

Perda de equilbrio

Ruptura por qualquer tipo de solicitao

Instabilidade

16

2.2.2 Estados Limites de Utilizao

So os relacionados com o comportamento da estrutura, impedindo sua

utilizao para o fim ao qual se destina. A ocorrncia de um estado limite de utilizao

pode prejudicar a aparncia, a possibilidade de manuteno, a durabilidade, a

funcionalidade e o conforto dos ocupantes de um edifcio, bem como pode causar danos

a equipamentos e materiais de acabamentos vinculados ao edifcio. Cada estado limite

de utilizao deve ser verificado utilizando-se combinaes de aes nominais

associadas ao tipo de resposta pesquisada. As situaes mais comuns de verificao de

estados limites de utilizao so:

Verificao de flechas em vigas de piso, de coberturas, teras, vigas de rolamento.

Verificao de deslocamento lateral de vigas de rolamento e pilares de edifcios

devido ao de pontes rolantes e do vento.

Verificao de vibraes em pisos devidas ao caminhar de pessoas e vibraes de

estruturas devidas a equipamentos rotativos, pontes rolantes e ao vento.

2.2.3 Procedimento de projeto

No projeto em Estados Limites calcula-se o limite de capacidade da estrutura ou

dos seus elementos constituintes (vigas, colunas, ligaes, etc.). Este limite de

resistncia ento reduzido para avaliar a possibilidade da resistncia ser menor que a

calculada pelas propriedades nominais do material, pelas dimenses de projeto ou pelo

modelo de clculo usado na norma. A resistncia fatorada (de projeto) ento

comparada com o efeito da carga calculada para as cargas mximas apropriadas, que so

ento amplificadas para levar em considerao as incertezas das cargas que atuaro na

estrutura durante sua vida til. A condio de projeto ento:

nn QR (2.5)

17

onde 0.1 o coeficiente de ponderao das aes, nR a resistncia nominal

especificado na norma e nQ a ao da carga nominal calculada (esforo cortante,

momento fletor, esforo normal, etc.). Ambos, a resistncia e a ao da carga referem-se

condio de estado limite, e seus clculos consideram no linearidades fsicas e

geomtricas, e imperfeies iniciais.

2.2.4 Aes

As aes so as causas que provocam esforos ou deformaes nas estruturas.

Na prtica, as foras e as deformaes impostas pelas aes so consideradas como se

fossem as prprias aes.

As aes a serem adotadas no projeto das estruturas de ao e seus componentes

so as estipuladas pelas normas apropriadas e as decorrentes das condies a serem

preenchidas pela estrutura. Essas aes devem ser tomadas como nominais, devendo ser

considerados os seguintes tipos de aes nominais:

Aes Permanentes: Tm pequena variao em torno da mdia, durante o tempo

de vida da construo. (Peso prprio, revestimentos, acabamentos, etc.).

Aes Variveis: Tm grandes variaes em torno da mdia, durante a vida da

construo. (Sobrecarga, divisrias, equipamentos, vento, etc.).

Aes Excepcionais: Tm duraes extremamente curtas e de baixa ocorrncia

durante a vida da construo. (Exploses, choques de veculos, terremotos,

incndio, etc.).

Na evoluo do Mtodo dos Estados Limites, logo se pde compreender que

alguns tipos de aes so conhecidos mais precisamente do que outros. Por exemplo, o

peso prprio tem uma menor variabilidade do que a sobrecarga ou carga de vento. O

conceito de vrios fatores de carga foi introduzido para levar em considerao este fato.

Uma vez introduzidos estes fatores, um outro problema necessita de ateno.

No conveniente adotar para aes de pouca durao, tais como os devidos

ocupao, vento ou terremoto, valores mximos de vida til, simultaneamente. Tm-se

18

tomado cuidado com este fenmeno, adotando-se os chamados fatores de combinao

de cargas.

O mtodo dos estados limites tambm conhecido como mtodo

semiprobabilstico. Os fatores de majorao de cargas e minorao de resistncia so

ajustados de tal maneira a se obter maior uniformidade da probabilidade de falha fP ,

considerada aceitvel para uma determinada classe de estruturas. O processo de ajuste

dos fatores e conhecido como calibrao de norma.

2.3 Calibrao de Normas

2.3.1 Princpios de Calibrao da Norma

Um formato de norma um sistema formal de variveis juntamente com um

conjunto de regras. As regras definem as relaes entre estas variveis e suas relaes

com o modelo mecnico da estrutura e com as aes sobre a mesma. Para um formato

de norma do tipo de fatores de segurana parciais, as variveis so os valores

caractersticos e os coeficientes parciais. Uma norma pode ser calibrada usando nveis

diferentes de mtodos superiores. Os nveis de calibrao podem ser categorizados

como uso de valor julgado adequado, calibrao para prtica de projetos em uso, ou um

melhor julgamento a um mtodo de avaliao de confiabilidade superior (otimizao da

norma).

O modo predominante para designar um valor, at aproximadamente 30 anos

atrs, era o uso de julgamento. Uma norma que fornece experincias satisfatrias de

projeto seguro por vrios anos de uso na prtica era considerada como tendo valores

razoavelmente corretos dos parmetros. Motivos econmicos podem conduzir a

alteraes dos valores, na inteno de reduzir o custo, diminuindo a segurana das

estruturas. Por outro lado, experincias sobre muitas falhas estruturais levaram a

revises com mudanas nos valores dos parmetros, na direo de proporcionar maior

segurana estrutural.

19

Deste modo, os valores indicados para o formato da norma estabilizavam-se

quando no apareciam motivos que indicassem a necessidade de novas revises.

Obviamente existem algumas objees ao processo de calibrao via julgamento. Em

particular, este processo tem uma influncia restritiva no uso de novos materiais, novos

princpios estruturais, e desenvolvimentos em novos campos onde haviam experincias

limitadas sobre as aes extremas. Exatamente pela carncia de critrios racionais como

base para a calibrao, a norma resultante, quando utilizada em tais novas experincias,

freqentemente conduzia para estruturas com nveis de segurana desnecessariamente

altos e dispendiosos e dessa forma era restritiva com relao ao desenvolvimento

tecnolgico.

A calibrao dos fatores parciais para ajustar os nveis de confiabilidade

resultantes aos nveis obtidos pela prtica de projeto existente freqentemente usada

como mtodo para indicao de um valor em situaes onde uma mudana relevante do

formato da norma. A motivao para uma tal mudana do formato da norma pode ser o

desejo de um cdigo mais simples ou isso pode ser causado por um objetivo superior de

harmonizao nacional ou internacional de diferentes normas. Dessa forma a calibrao

baseada exclusivamente em resultados comparativos de clculos.

O maior nvel de calibrao de norma consiste no ajuste otimizado objetivando

atingir os resultados de um modelo de anlise de confiabilidade de ordem superior.

Algumas normas nos ltimos 15-20 anos esto baseadas em maior ou menor grau

nesses princpios de otimizao.

2.3.2 O Processo de Calibrao de Normas

Apesar de diferenas de detalhes, o procedimento geral para a calibrao de

norma quase o mesmo, independente do refinamento da teoria da confiabilidade

usada. Segundo Melchers, (1987), os seguintes passos devem ser seguidos para a

calibrao da norma:

20

Passo 1: Definir o escopo

Uma vez que no podemos ainda contar com um formato de norma de projeto

estrutural para representar todas as situaes de projeto, conveniente delimitar o

escopo da norma a ser calibrada. Dessa forma, pode-se estabelecer o material (por

exemplo, estruturas de ao), o tipo estrutural (por exemplo, estruturas de edifcio), etc.

Passo 2: Selecionar os pontos de calibrao

escolhido um espao de projeto, consistindo de todas as variveis bsicas, tais

como comprimento da viga, rea da seo transversal e propriedades, valores das

tenses nominais permitidas, intervalo das cargas aplicadas e tipos de carregamentos.

ento dividido em um conjunto de zonas discretas aproximadamente uniformes. Os

pontos discretos resultantes so usados para calcular os valores do ndice de

confiabilidade o para a verificao do formato da norma existente.

Passo 3: Norma de clculo em vigor

A norma de clculo estrutural em vigor usada para calcular o elemento (por

exemplo, uma viga de 5 m). Isto repetido para todas as combinaes apropriadas dos

pontos de calibrao dentro de cada zona discreta.

Passo 4: Definir estados limites

A funo de estado limite para cada modo de falha ento definida. Isto deve

incluir, por exemplo, no caso de vigas de ao, estados limites para momento fletor,

esforo cortante, flambagem local, flambagem da alma, flexo-toro, etc. Cada um

desses estados limites deve ser expresso em termos das variveis bsicas. A definio

dos estados limites tambm requer uma deciso sobre os modelos de combinao de

cargas que vai ser empregado. Para facilitar a calibrao da norma, usual escolher um

modelo simples de combinao de cargas.

21

Passo 5: Determinar as propriedades estatsticas

Para a determinao do ndice de confiabilidade o so necessrias para cada uma das variveis bsicas as propriedades estatsticas apropriadas (distribuies,

mdias, varincias, valores mdios em funo do tempo).

Passo 6: Empregar mtodos de anlise de confiabilidade

Usando um mtodo de anlise de confiabilidade apropriado, juntamente com as

funes de estados limites (passo 4) e os dados estatsticos (passo5), cada uma das

opes de projeto do passo 3 analisada para determinar o para cada ponto de calibrao dentro de cada zona. Os resultados podem ser convenientemente ajustados de

modo que o carregamento aplicado torne-se o parmetro independente.

Passo 7: Escolher o valor alvo o A partir de diversas anlises, tais como o passo 6 citado, torna-se evidente a

variao de o e a partir desta informao, uma mdia ponderada de o pode ser determinada e usada como uma confiabilidade alvo o.

Passo 8: Selecionar os fatores parciais

Os fatores parciais no so constantes para um dado formato de verificao da

segurana, e um dado valor alvo o. Como, por convenincia, utilizam-se fatores parciais constantes, pelo menos para grandes grupos de situaes de projetos, espera-se

que ocorra algum desvio em relao ao valor alvo o. Portanto, a seleo de fatores parciais apropriados envolve algum julgamento subjetivo.

2.3.3 Algumas Consideraes sobre a Calibrao da Norma ANSI

A58

A escolha do ndice de confiabilidade alvo o deve refletir a importncia do componente para a integridade da estrutura, as conseqncias da falha, o modo de falha

(frgil ou dctil), o tipo de material e as combinaes de cargas. O o pode ser

22

determinado com base em anlises da confiabilidade de normas de projetos anteriores.

Galambos et al. (1982) estabeleceram para determinadas situaes de carregamento e

para 50 anos de vida til da estrutura, os seguintes valores para o : Combinaes de aes envolvendo somente cargas gravitacionais: o =3,0 Combinaes de aes envolvendo cargas gravitacionais e cargas de vento: o =2,5 Combinaes de aes envolvendo cargas de vento atuando em sentido contrrio

aos efeitos das cargas gravitacionais: o =2,0.

Os valores apresentados acima correspondem razoavelmente bem faixa de

valores obtidos nos estudos das normas de projeto americanas. Estes valores esto

associados a componentes estruturais em ao, concreto armado e madeira laminada

colada sob flexo e sob compresso.

O critrio de projeto utilizado nas normas selecionar um conjunto de

coeficientes de majorao das aes para serem aplicados em todas as situaes de

clculo. No entanto, interessante, sempre que possvel, examinar como os coeficientes

de majorao das aes e de resistncia variam para diferentes estados limites e

combinaes de aes.

A escolha de o possibilita uma boa seleo dos fatores de majorao de cargas. Usando-se mtodos do nvel II, para o = 3,0, foram calculados os fatores de minorao da resistncia e os fatores de majorao para o peso prprio D, a sobrecarga L e a carga de neve S, mostrados na figura 2.1(Ellingwood et al.,1982). Foi percebido que o fator de minorao de resistncia relativamente indiferente s cargas variveis no

tempo, sobrecarga(L) ou neve(S), nas combinaes. O fator de majorao do peso

prprio D muito menor que o proposto em norma, dada a pequena variabilidade deste tipo de carga. Estas observaes indicaram que escolhendo D e constantes e separando especificaes de coeficientes de majorao das aes e de resistncia, no

implicaria em desvio significativo de o , em um mtodo do nvel I . Por outro lado, o coeficiente de majorao da ao varivel na combinao,

aumenta quando a importncia desta ao na combinao cresce devido sua maior

variabilidade. Se os coeficientes de majorao das cargas variveis no tempo

23

L (sobrecarga), S (neve), W (vento),...,etc., so assumidos como constantes, como

feito em um mtodo do nvel I, haver desvios significativos da confiabilidade alvo

( o ) para certas situaes de carregamento. Desta forma, era necessrio selecionar um conjunto de coeficientes de majorao das aes e combinaes que minimizassem a

extenso deste desvio de o sobre todas as situaes possveis de projeto (Ellingwood et al.,1982).

Figura 2.1 Fatores de minorao da resistncia e majorao da carga para flexo

em vigas de ao ( ( ( (Ellingwood et al., 1982).

Uma primeira anlise mostrou no ser possvel escolher completamente

independente de , ignorando inteiramente o aspecto da resistncia no problema, pois no seria possvel escolher um critrio de resistncia compatvel com o critrio de carga

(Ellingwood et al., 1982). Para elementos fletidos de concreto armado e ao, os

coeficientes de resistncia deveriam estar no intervalo de 0,80 a 0,90. Quando maior do que 0,90 para tais elementos, h pequena margem de ajustes adicionais para

refletir melhoramentos na fabricao ou controle de qualidade que tenderiam a reduzir a

variabilidade.

24

Como exemplo de como os fatores de majorao de carga so ajustados,

considera-se o caso em que uma nica carga domine a combinao. Assumindo-se = 0,80 ou 0,85, os fatores de majorao de carga requeridos para alcanar o so mostrados na Tabela 2.1. Esta anlise simples sugere valores razoveis para os fatores

de majorao, D = 1,2-1,3, S = 1,6-1,7, W = 1,3-1,4, = 1,4-1,5 (Ellingwood et al., 1982).

Tabela 2.1 Fatores de majorao de carga requeridos Carga nica ( ( ( (Ellingwood

et al., 1982).

Para o prximo passo, considera-se o caso onde a ao permanente D

combinada com uma ao varivel. Um conjunto timo de coeficientes pode ser

selecionado, definindo-se alguma funo que avalie a proximidade entre o nvel de

confiabilidade 0 e a confiabilidade associada ao conjunto de coeficientes de resistncia e de majorao das aes proposto. Em seguida deve-se selecionar os

coeficientes de majorao que minimizem esta funo.

Pode-se observar que associado a um dado conjunto de aes nominais, h uma

resistncia nominal requerida correspondente, )( 0nR , que poderia ser calculada. Por outro lado, uma equao de verificao que inclui um conjunto constante simples de

coeficientes de majorao, tambm levar a uma resistncia nominal, nR' . Para o

formato mais utilizado, isto seria dado pelo critrio de aes, equao 2.4 e nR . Um conjunto de coeficientes de resistncia e de majorao das aes pode ser selecionado

S W E

Neve Vento Terremoto Componente =2,5 =3,0 =2,5 =3,0 =3,0 =2,5 =2,0

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] Viga em ao lami nado 0.80 1.18 1.28 1.52 1.78 1.78 1.30 1.44

quente 0.85 1.25 1.35 1.61 1.89 1.89 1.38 1.52 Viga em concreto armado 0.80 1.18 1.33 1.44 1.70 1.66 1.28 1.39

Ao grau 40 0.85 1.26 1.41 1.53 1.81 1.77 1.36 1.48 Viga em co ncreto armado 0.80 1.18 1.29 1.52 1.77 1.79 1.36 1.51

Ao grau 60 0.85 1.26 1.37 1.61 1.88 1.90 1.45 1.61

Carga D L

Peso Prprio Sobrecarga

a

25

de tal forma que minimize o quadrado da diferena ponderada entre estas duas

resistncias nominais, ou:

jnjonji pRRI2]')([),( = (2.6)

sobre um conjunto pr-definido de aes permanentes, vento, neve e terremoto, onde

( )onjR = resistncia nominal requerida para se atingir um dado o . njR' = resistncia nominal obtida para um dado conjunto de fatores parciais.

jp = peso relativo fixado para a j-sima combinao de cargas. Neste procedimento,

desvios conservadores do nvel de confiabilidade so penalizados igualmente queles

no conservadores.

Usando a anlise de confiabilidade, que ser descrita no captulo 3, nR pode

ento ser determinada para uma confiabilidade alvo inicial 0,3=o , por exemplo, para combinaes de aes gravitacionais (permanente e sobrecarga ou neve), e LS , e timos so determinados minimizando a equao 2.4 com o valor de D fixado, por

exemplo, em 1,2. Os coeficientes LS , e timos dependem da combinao para cada material. A tabela 2.2 mostra os coeficientes timos encontrados por Ellingwood

em sua proposta para os coeficientes de ponderao das aes.

O dever ser to prximo quanto possvel dos coeficientes de majorao das

aes listados na coluna 4 da tabela 2.2, e ao mesmo tempo, dever estar dentro do intervalo 0,8 a 0,9 para flexo em vigas de concreto e ao, como considerado

anteriormente. Usando a tabela 2.2 como guia, podem ento ser selecionados

coeficientes L e S que satisfaam estes requisitos. O timo correspondente a 2,1=D e 6,1=L mostrado na coluna 5 da tabela 2.2.

26

Tabela 2.2 Fatores de minorao de resistncia e majorao de cargas timos

para cargas gravitacionais ( ( ( (Ellingwood et al., 1982).

timo para

Material Combinao L , S D = 1.20 , L = 1.6(1) (2) (3) (4) (5)

Viga em ao (0 = 3) D + L 0,96 2,1 0,78D + S 1,05 2,32 0,79

Viga em concreto armado, Ao grau 60 D + L 0,87 1,83 0,81 ( 0 = 3) D + S 0,93 1,93 0,84Viga em concreto armado, Ao grau 40 D + L 0,82 1,61 0,81 ( 0 = 3) D + S 0,85 1,56 0,86Viga em madeira laminada coladaa D + L 0,59 1,38 0,66 ( 0 = 2.5) D + S 0,59 1,08 0,77Parede em alvenaria comuma D + L 0,38 4,1 0,22 ( 0 = 7.5)Parede em alvenaria comum D + L 0,52 2,45 0,41 ( 0 = 5.0)Parede em alvenaria estruturala D + L 0,41 3,28 0,27 ( 0 = 6.5)Parede em alvenaria estruturala D + L 0,49 2,38 0,40 ( 0 = 5.0)

Valores timos( D = 1.2)

a R/R n assumido igual a 1,0 por ilustrao.

Esta anlise pode ser feita para qualquer outra combinao utilizando o mesmo

procedimento e buscando os ndices de confiabilidade alvos para cada situao de

carregamento. Para combinaes com mais de uma varivel deve ser feita a

considerao de apenas uma ao varivel atuar com seu valor mximo e as demais

serem reduzidas por coeficientes de ponderao menores do que um.

Captulo 3

Mtodos de Confiabilidade

3.1 Problema Bsico

Problemas de confiabilidade em engenharia podem ser definidos como a

determinao da capacidade de um sistema que atenda a determinadas condies

(exigncias). Na considerao da segurana de uma estrutura, a preocupao assegurar

que a resistncia da estrutura seja suficiente para suportar a atuao da mxima ao ou

combinao de aes durante a sua vida til.

Tradicionalmente, a confiabilidade de sistemas estruturais alcanada atravs da

utilizao de coeficientes ou margens de segurana e adoo de suposies

conservadoras nos mtodos de clculo.

Na realidade, a determinao da resistncia disponvel bem como da mxima

solicitao da estrutura no so problemas simples. Estimativas e previses so sempre

necessrias para estes tipos de problemas, visto que incertezas so inevitveis pela

simples razo de que as informaes relativas aos problemas de engenharia so

invariavelmente incompletas. Diante de tais incertezas, a resistncia disponvel e a

solicitao real no podem ser determinadas precisamente, sendo geralmente descritas

como pertencentes a determinados intervalos, podendo ser modeladas como variveis

aleatrias. Nestes termos, portanto, a confiabilidade de um sistema pode ser mais

realisticamente medida em termos de probabilidade. Para esta proposta, definem-se as

variveis aleatrias R (resistncia) e S (solicitao).

O objetivo da anlise de confiabilidade assegurar o evento ( )SR > durante toda a vida til da estrutura. Esta garantia possvel somente em termos da probabilidade

( )SRP > .

28

Sejam, ento, R e S , variveis aleatrias com distribuies de probabilidade

conhecidas. A probabilidade de falha fP , para R e S contnuas e estatisticamente

independentes, pode ser calculada atravs da seguinte expresso (Ang e Tang, 1984):

( ) ( )dssfsFSRPP SRf =

29

regio de sobreposios r ou s

Sf (s)

F (s)Rrea = Rf (r)

Figura 3.1 Funo densidade de probabilidade fR (r) e fS(s) (Ang e Tang, 1984).

Como mostra a figura 3.1, a sobreposio das curvas ( )rf R e ( )sfS representa uma medida da probabilidade de falha, fP . Com respeito a isso, observa-se o seguinte:

A regio de sobreposio depende das posies relativas de ( )rf R e ( )sfS , como pode ser visto na figura 3.2. Quando as duas curvas ficam mais afastadas, fP

diminui, ao passo que fP aumenta quando as duas curvas ficam mais prximas. A

posio relativa entre ( )rf R e ( )sfS pode ser medida pela relao SR , que pode ser chamada de fator de segurana central ou pela diferena ( )SR que a margem de segurana mdia.

A regio de sobreposio tambm depende do grau de disperso de ( )rf R e ( )sfS , como mostra a figura 3.3. Mantidos os valores das mdias e aumentando-se a

disperso de ( )rf R ou de ( )sfS , ou de ambas, observa-se que a regio de sobreposio aumenta.

30

regio de sobreposio

S R r ou s R

f (r) R

f (s) S

f (r) R

1 2

1 2

regio de sobreposio

Figura 3.2 Efeito da posio relativa entre fR (r) e fS (s) em Pf (Ang e Tang, 1984).

r ou s S R

f (s) S

f (r) R

Figura 3.3 Efeito da disperso em fR (r) e fS(s) em Pf (Ang e Tang, 1984).

31

Nas equaes 3.1 e 3.2 assumido que R e S so variveis aleatrias

estatisticamente independentes. Em geral, entretanto, estas variveis podem ser

correlacionadas e, para tais casos, a probabilidade de falha pode ser expressa em termos

da funo densidade de probabilidade conjunta como segue:

( ) dsdrsrfP s SRf = 0 0 , , (3.4)

Ao passo que a probabilidade de sobrevivncia correspondente :

( ) drdss,rfP0

r

0 S,Rs = (3.5)

O problema resistncia-solicitao anterior pode ser formulado em termos de

margem de segurana M , que definida como SRM = . Como R e S so variveis

aleatrias, M tambm uma varivel aleatria, com funo densidade de probabilidade

( )mf M . Neste caso, a falha obviamente o evento ( )0

32

f (m)

rea = P

0

f

m

f (m)M

M

Figura 3.4 Funo densidade de probabilidade da margem de segurana (Ang e

Tang, 1984).

3.2 Mtodo do Segundo Momento

O clculo da probabilidade de segurana ou da probabilidade de falha requer que

as funes densidade de probabilidade )(rf R e )(sfS ou que a funo densidade de

probabilidade conjunta ),(, srf SR sejam conhecidas. Na prtica, esta informao nem

sempre est disponvel ou difcil de ser obtida devido insuficincia de dados. No

entanto, freqentemente as informaes disponveis so suficientes para estimar os

primeiro e segundo momentos (mdia e varincia) das variveis aleatrias (Ang e

Tang, 1984).

Com o mtodo do segundo momento, a confiabilidade pode ser medida

inteiramente como uma funo do primeiro e do segundo momento (mdia e varincia,

respectivamente) das variveis de clculo, o chamado ndice de confiabilidade )( ; isto quando no existe informao sobre as distribuies de probabilidade. Caso as formas

apropriadas das distribuies sejam conhecidas, a probabilidade correspondente pode

ser avaliada com base nas distribuies normais equivalentes (Ang e Tang, 1984).

Com relao margem de segurana YXM = , o estado seguro de um

sistema pode ser definido como )0( >M , e o estado de falha como )0(

33

contorno que separa o estado seguro do estado de falha o estado limite definido pela

equao 0=M .

Introduzindo as variveis reduzidas:

X

XXX

=' (3.7)

Y

YYY

=' (3.8)

No espao destas variveis reduzidas o estado seguro e o estado de falha podem

ser representados como mostrado na figura 3.5. Tambm, em termos das variveis

reduzidas, o estado limite 0=M , fica:

0'' =+ YXYX YX (3.9)

que uma linha reta como mostrado na figura 3.5. A distncia da linha de falha (linear)

origem, O, por si prpria uma medida do ndice de confiabilidade. Esta distncia, d,

dada na geometria analtica como:

22YX

YXd

+

= (3.10)

34

d

0

y'

x'

Estado de falhaM0

Figura 3.5 Espao das variveis reduzidas (Ang e Tang, 1984).

3.2.1 Funo Desempenho

Visto que a confiabilidade de um sistema ou componente estrutural pode envolver

mltiplas variveis aleatrias, feita a seguir uma generalizao do procedimento

anterior que envolvia apenas duas variveis aleatrias x e y. O desempenho de um

sistema, obviamente, vai depender das propriedades deste sistema. A fim de definir o

desempenho de uma estrutura, uma funo desempenho usada:

g( X ) = g( X1, X2, ..., Xn ) (3.11)

onde X = ( X1, X2, ..., Xn ) o vetor das variveis bsicas de clculo e a funo g( X ) determina o desempenho do sistema. O desempenho limite pode ser definido como

g( X ) = 0, que o estado limite do sistema (Ang e Tang, 1984).

Segue-se, ento que:

35

[g( X ) > 0 ] = regio de segurana e

[g( X ) < 0 ] = regio de falha.

Geometricamente, a equao do estado limite, g( X ) = 0, uma superfcie n-

dimensional, que pode ser chamada de superfcie de falha. Em um lado desta

superfcie est a regio de segurana, g( X ) > 0, enquanto do outro lado, a regio de

falha, g( X ) < 0 (Ang e Tang, 1984).

3.2.2 ndice de Confiabilidade

Variveis No Correlacionadas

Introduzindo-se o conjunto de variveis reduzidas no correlacionadas:

i

i

X

Xii

XX

=

' ; n...,,2,1i = (3.12)

Obviamente, o estado seguro e o estado de falha podem tambm ser interpretados no

espao reduzido das variveis acima, separados pela equao estado limite apropriada.

No caso de duas variveis, esta dever ser como mostrado na figura 3.6. Em termos das

variveis reduzidas, 'iX , a funo do estado limite ser:

0)X,....,X(gnNii X

'nXX

'1X =++ (3.13)

36

g(X1, X

2) = 0

x'2

0

g(X1, X2) > 0

g(X1, X2) < 0

x'1

Figura 3.6 Regio de falha e regio de segurana no espao das variveis

reduzidas (Ang e Tang, 1984).

Pode-se observar na figura 3.6 que quando a superfcie de falha, g( X ) = 0, se

afasta ou se aproxima da origem, a regio de segurana, g( X ) > 0, aumenta ou diminui.

Portanto, a posio da superfcie de falha em relao origem das variveis reduzidas

determinar a segurana ou a confiabilidade do sistema. A posio da superfcie de

falha pode ser representada pela distncia mnima da superfcie g( X ) = 0 at a origem

das variveis reduzidas (Ang e Tang, 1984). Na verdade, Shinozuka (1983) mostrou que

o ponto na superfcie de falha com distncia mnima at a origem o ponto mais

provvel de falha. Assim, esta distncia mnima pode ser usada como uma medida de

confiabilidade.

A distncia de um ponto X = ( X1, X2, ..., Xn ), na superfcie de falha g( X ) = 0,

at a origem 'X ,

2/1'2'2'1 )'(... XX

tnXXD =++= (3.14)

37

O ponto na superfcie de falha, )x,...,x,x( *'n*'

2*'

1 , cuja distncia at a origem

mnima, pode ser determinado atravs da minimizao da funo D , obedecendo a

condio g( X ) = 0. Usando-se o mtodo dos multiplicadores de Lagrange ( o multiplicador de Lagrange), tem-se:

L = D + g( X ) = ( X t X )1/2 + g( X ) (3.15)

Em notao escalar,

)...,,,(... 212'2'

22'

1 nn XXXgXXXL ++++= (3.16)

onde ii XiXi

XX += ' .

Derivando a equao 3.16 em relao a 'iX e ao multiplicador de Lagrange

, obtm-se um sistema de 1+n equaes com 1+n incgnitas

(3.17)

( ) 0...,,,

,...,2,1;0...

21

'1

2'2'2

2'1

'

'

==

==

++++

=

n

n

i

i

XXXgL

niXg

XXXX

XL

(3.18)

A soluo do sistema de equaes acima fornece o valor do ponto mais provvel

de falha ),...,,( *'*'2*'

1 nxxx .

Introduzindo o vetor gradiente

38

= ''2

'1

,...,,nX

gXg

XgG (3.19)

onde i

Xi

i

ii Xg

XX

Xg

Xg

i

=

=

''

Escrevendo o sistema de equaes, equao 3.17 em notao matricial e

substituindo a equao 3.14, obtm-se:

GX D=' (3.20)

Substituindo a equao 3.20 na equao 3.14, tem-se que:

= (Gt G)-1/2

E usando este ltimo resultado na equao 3.20, resulta:

( ) 2/1t'

GGGX D= (3.21)

Pr-multiplicando a equao 3.21 por Gt,

( ) 2/1'

GGGt

t XD = (3.22)

Substituindo a equao 3.21 no sistema equao 3.17, obtm-se uma nica

equao com incgnita D , a soluo desta equao a distncia mnima

=mind , ento

39

( ) 2/1*t*'*'*

GGXG

= (3.23)

onde *G o vetor gradiente no ponto mais provvel de falha ),...,,( *'*'2*'

1 nxxx . Ento o

ponto mais provvel de falha

( ) 2/1*

*'

*'* GGGX = (3.24)

Em sua forma escalar, os componentes de X* so

nix ii ,...,2,1;**'

== (3.25)

Onde

2

*'

'*

=

ii

ii

Xg

Xg

(3.26)

So os cossenos diretores ao longo dos eixos 'ix .

Conhecidos os valores de , a probabilidade de falha pode ser calculada atravs da seguinte relao:

Pf = ( - ) (3.27)

onde ( . ) a funo de distribui

avaliação de confiabilidade de vigas metálicas dimensionadas pela nbr 8800

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