confiabilidade - trabalho 3
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CECE – CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
ENGENHARIA MECÂNICA
ANTÔNIO PAULO BARBOSA GONTIJO
BRUNO SCHUMAKER DOMINGUES SAMPAIO
DOUGLAS CAVINATO DE OLIVEIRA
ELDER VINICIUS FIUZA
ELIAS NIERO FLORES
FELIPE FRANZONI
FERNANDO MONTEVERDE MISSIO
FRANCISCO MARIN BORTOLUZZI
MIKHAIL TIBES SOARES
TIAGO FRANCISCONE BORGES CAMARGO
CONFIABILIDADE
Foz do Iguaçu
2010
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UNIOESTE –Universidade Estadual do Oeste do Paraná
CECE – Centro de Engenharias e Ciências Exatas
Campus – Foz do Iguaçu
ANTÔNIO PAULO BARBOSA GONTIJO
BRUNO SCHUMAKER DOMINGUES SAMPAIO
DOUGLAS CAVINATO DE OLIVEIRA
ELDER VINICIUS FIUZA
ELIAS NIERO FLORES
FELIPE FRANZONI
FERNANDO MONTEVERDE MISSIO
FRANCISCO MARIN BORTOLUZZI
MIKHAIL TIBES SOARES
TIAGO FRANCISCONE BORGES CAMARGO
ANÁLISE DE WEIBULL
Trabalho referente à disciplina de Confi-
abilidade apresentado ao prof. Dr. Edu-
ardo Cesar Dechechi.
Docente:
Dr. Eduardo Cesar Dechechi
Foz do Iguaçu
2010
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SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 4
2. OBJETIVOS ................................................................................................................. 5
3. DESENVOLVIMENTO ............................................................................................... 6
4. CONCLUSÃO ............................................................................................................ 13
5. REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 14
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1. INTRODUÇÃO
Se uma variável x pode assumir um conjunto de valores x1, x2, ..., xn com as
probabilidade p1, p2, ..., pn, respectivamente, sendo p1 + p2 + ... + pn = 1, diz-se que está
definida uma distribuição de probabilidade discreta em x. A função p(x) é denominada
função de probabilidade e x uma variável aleatória discreta Lafraia, J. R. B. (2001).
Uma função de distribuição de probabilidade é uma função cumulativa monóto-
na crescente, pois caso se espere um tempo a probabilidade de não ocorrer o e-
vento é pequena Silva, S. (2009). As seguintes distribuições, binomial, de Poisson,
normal (de Gauss), log-normal, exponencial e de Weibull são exemplos de funções de
distribuição de probabilidade.
Cada uma das funções de distribuição citadas tem suas características e sua utili-
zação é justificada considerando-se diversas particularidades da variável a ser analisada
e da análise que se deseja fazer em cima de um dado processo industrial ou de caráter
experimental.
No caso especial da análise estatística de confiabilidade, a função de distribuição
de Weibull desenvolvida em 1951 pelo professor sueco Waladdi Weibull, vem sendo
muito utilizada por questões de praticidade e de bons resultados. Seu uso para uma aná-
lise de confiabilidade consiste na determinação de três parâmetros essenciais.
Uma análise é então realizada em cima de tais parâmetros determinados a partir
das amostras de um dado processo, desta maneira pode-se caracterizar a taxa de falhas,
a confiabilidade e a função de risco do processo analisado. Neste contexto a análise de
Weibull é muito utilizada por representar falhas típicas de partida (mortalidade infantil),
falhas aleatórias (taxa de falhas constante) e falhas devido ao desgaste.
Através dela também se obtém parâmetros significativos da configuração das fa-
lhas, a fim de se determinar a melhor política de manutenção. Visto que a análise de
Weibull tem um caráter logarítmico o resultado desta aproximação é linear facilitando a
percepção dos resultados.
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2. OBJETIVOS
Aplicação da função distribuição de Weibull em um caso prático, exemplo do li-
vro texto seguido nesta disciplina Lafraia, J. R. B. (2001), com a finalidade de consoli-
dar os conceitos apresentados em sala sobre a utilização das funções de distribuição de
probabilidade e análise estatística de falhas.
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3. DESENVOLVIMENTO
3.1. Exemplo da Aplicação da Análise de Weibull, Método Geral, encontrado na
pag. 51 do Lafraia, J. R. B. (2001):
Tempos para a falha 440, 270, 49, 700, 160 dias.
Para início da análise Weibull, devemos primeiramente ordenar os tempos para a
falha em ordem crescente em calcular a frequência acumulada de falhas pela seguinte
equação:
A tabela 1 mostra os tempos para a falha organizados em ordem crescente e o
valor da frequência acumulada F(t) para cada ponto:
Tabela 1 – Tempo para falha, valores de F(t) e dados linearizados.
Tempo para a falha 49 160 270 440 700
F(t) = % acumulada de falhas 13 31,5 50 68,5 87
X = ln (t-t0) 3,89 5,08 5,60 6,09 6,55
Y = ln ln (1/(1-F(t))) -1,97 -0,97 -0,37 0,14 0,71
Como pode ser visto na fig. (1), todos os pontos da tabela 1, estão razoavelmente
alinhados numa reta, podemos assim, extrair as seguintes informações da figura:
t0 = 0. Isto significa que as falhas iniciam após t = 0.
β = 1,07. É indicada uma política de manutenção do tipo preventiva.
η = 360 dias. Isso quer dizer que a vida característica é de aproximadamente 360
dias, isto é, até este tempo 63,6% dos componentes terão falhado.
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Figura 1 – Representação em papel de Weibull para os dados da tabela 1.
Para confrontar esses resultados, sugere-se uma análise similar usando o softwa-
re EXCEL®. A fig. (2) mostra os dados das linhas 3 e 4 da tabela 1 plotados em
EXCEL, sendo que os valores de X indicados na abscissa e os valores de Y na ordena-
da. A fig. (2) traz também a equação ajustada para os pontos.
Figura 2 – Representação em EXCEL dos dados da tabela 1.
De maneira similar à realizada anteriormente, podemos extrair da figura acima
os parâmetros que caracterizam o problema em questão, ou seja, t0, β e η:
y = 1,0083x - 5,9765R² = 0,9936
-2,50
-2,00
-1,50
-1,00
-0,50
0,00
0,50
1,00
3,50 4,50 5,50 6,50 7,50
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t0 = 0. Isto significa que as falhas iniciam após t = 0.
β = 1,01. É indicada uma política de manutenção do tipo preventiva.
η = 375,5 dias. Isso quer dizer que a vida característica é de aproximadamente
375,5 dias, isto é, até este tempo 63,6% dos componentes terão falhado.
Analisando as duas respostas, nota-se que os resultados apresentam uma boa
concordância entre si.
3.2. Exemplo da Aplicação da Análise de Weibull, Tratamento para Sobreviven-
tes, encontrado na pag. 52 do Lafraia, J. R. B. (2001):
Dez itens foram testados simultaneamente, mas o teste terminou antes de 10 di-
as. Até esta data, os tempos para falha foram 56,7,98,40,18,29,78 e três sobrevi-
ventes.
Assim como no exercício anterior, para início da análise Weibull, devemos pri-
meiramente ordenar os tempos para a falha em ordem crescente em calcular a frequên-
cia acumulada de falhas pela seguinte equação:
A tabela 2 mostra os tempos para a falha organizados em ordem crescente e o
valor da frequência acumulada F(t) para cada ponto:
Tabela 2 – Tempo para falha, valores de F(t) e dados linearizados.
Tempo para a falha 7 18 29 40 56 78 98
F(t) = % acum. de falhas 6,73 16,35 25,96 35,58 45,19 54,81 64,42
X = ln (t-t0) 1,95 2,89 3,37 3,69 4,03 4,36 4,58
Y = ln ln (1/(1-F(t))) -2,66 -1,72 -1,20 -0,82 -0,51 -0,23 0,03
Como pode ser visto na fig. (3), todos os pontos da tabela 2, estão razoavelmente
alinhados numa reta, podemos assim, ao analisar esta figura, extrair as seguintes infor-
mações da figura:
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Figura 3 - Representação em papel de Weibull para os dados da tabela 2.
t0 = 0. Isto significa que as falhas iniciam após t = 0.
β = 1. É indicada uma política de manutenção do tipo preditiva, corretiva ou por
oportunidade.
η = 93 horas. Isso quer dizer que a vida característica é de aproximadamente 93
horas, isto é, até este tempo 63,6% dos componentes terão falhado.
Assim como realizado anteriormente, foi realizado no EXCEL um gráfico com
os dados do problema, o resultado pode ser visto na fig. (4). A fig. (4) traz a curva obti-
da, bem como a equação da reta ajustada para os pontos fornecidos pelo problema.
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Figura 4 – Representação em EXCEL dos dados da tabela 2.
Dados obtidos da fig. (4):
t0 = 0. Isto significa que as falhas iniciam após t = 0.
β = 1,02. É indicada uma política de manutenção do preventiva.
η = 94 horas. Isso quer dizer que a vida característica é de aproximadamente 94
horas, isto é, até este tempo 63,6% dos componentes terão falhado.
Analisando as duas respostas, nota-se que os resultados apresentam uma boa
concordância entre si, apesar do resultado encontrado para o β ser ligeiramente diferen-
te.
3.2. Exemplo da Aplicação da Análise de Weibull, Tratamento para Dados Cen-
surados, encontrado na pag. 53 do Lafraia, J. R. B. (2001):
Seis itens são submetidos a um teste, simultaneamente. Três itens falharam; ou-
tros três, por um motivo qualquer, foram retirados do teste antes de falharem.
Estes itens foram censurados, isto é, retirados do teste antes da falha.
a) Ordene os n tempos até a falha ou censura em ordem ascendente de vida, de
forma que possamos calcular o incremento da ordem, através da expressão:
y = 1,0245x - 4,655R² = 0,9989
-3,00
-2,50
-2,00
-1,50
-1,00
-0,50
0,00
0,50
1,50 2,50 3,50 4,50 5,50
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b) Calcule a ordem revista somando-se o incremento de ordem a cada falha (ver ta-
bela 3):
Tabela 3 – Ordem revisada.
Nº do Item Resultado Vida (dias) Incremento Ordem Revista
1 F 72 1 1
2 C 95 - 1
3 F 140
2,5
4 C 160 - -
5 C 180 - -
6 F 210
4,75
c) Calcule o número de ordem para n = 6 (ver tabela 4):
Tabela 4 – Cálculo de F(t).
Ordem 1 2 3 4 5 6
F(t) 10,9 26,4 42,1 57,8 73,5 89,0
d) Calcule F(t) revisto através de interpolação linear dos valores da tabela 5, que
dá:
Tabela 5 – Cálculo de F(t) revisado.
Ordem Revisada F(t) Revisado Vida
1 10,9 72
2,5 34,25 140
4,75 69,6 210
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A fig. (5) mostra em papel Weibull a representação dos dados da tabela 5. Já a
fig. (6) traz uma representação dos dados dessa tabela feita em EXCEL. Nota-se que o
valor de β é parecido e na faixa de 2 a 2,1, sendo assim, é maior do que 1. A partir desta
resposta, uma política de manutenção preventiva seria justificável para este grupo de
dados.
Figura 5 - Representação em papel de Weibull para os dados da tabela 5.
Figura 6 - Representação em EXCEL dos dados da tabela 5.
y = 2,0741x - 11,104R² = 0,977
-2,50
-2,00
-1,50
-1,00
-0,50
0,00
0,50
4,00 4,50 5,00 5,50
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4. CONCLUSÃO
A utilização da função de distribuição de Weibull demonstrou-se muito útil na
análise estatística de confiabilidade, pois não sendo um trabalho penoso a determinação
dos parâmetros característicos desta distribuição sua utilização faz-se muito adequada e
pode ser justificada pela fácil correlação entre tais parâmetros quantitativos com as ca-
racterísticas qualitativas de confiabilidade associadas ao processo analisado.
Ressalta-se também a utilização de ferramentas matemáticas/gráficas computa-
cionais como o EXCEL®, que auxilia muito na análise, sendo atualmente indispensável
na formação de um bom profissional na área de engenharia. Importante notar que a dis-
tribuição de Weibull tem um embasamento empírico e pode não representar algumas
distribuições particulares encontradas na prática.
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5. REFERÊNCIAS
Lafraia, J. R. B.,”Manual de Confiabilidade. Mantenabilidade e Disponibilida-
de”, 2.ª Edição, Qualitymark, 2001.
Silva, S., “Identificação de Sistemas – Notas de Aula”, UNIOESTE, Foz do I-
guaçu, 2009.