confiabilidade estrutural - unb

Chapter 3Algoritmo para a Estimativa do Indice de Confiabilidade de Hasofer-Lind
Universidade de Brasília
P ro
fe ss
o r
Algoritmo para a Estimativa do Indice de Confiabilidade de Hasofer-Lind
1. Hipótese
– A variável aleatória é transformada em uma variável aleatória
padronizada usando a seguinte função de transformação:
i
i
onde, as variáveis Xi são variáveis aleatórias não correlacionadas com
valores médios e desvios padrão, respectivamente, iguais a Xi e Xi
Considerando uma função de estado limite não linear
iX
Conceituação
– O espaço X é então transformado no espaço U:
1 2( , , , )nX X X X 1 2( , , , )nU U U U
– O ponto de projeto (verificação) o espaço X é
então transformado no ponto do espaço U.
* * * *
* * * *
– A equação de estado limite representada no espaço X
1 2( ) ( , , , )nZ g X g X X X
é então representada no espaço U usando a seguinte expressão
1 2( ) ( , , , )nZ G U G U U U
Conceituação
Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural
*
* * * *
U

– Como o ponto de Projeto é um ponto da superficie de
falha , então a igualdade se verifica0Z
*P
– A equação do hiper-plano pode assim, ser expressa como:
*
*
(a)
(a) – Estimativa em Série de Taylor de 1ª ordem da superficie
– A distância da origem do Sistema Coordenado do espaço U até o
plano tangente é denominada de indice de Confiabilidade real
*
*P
O
arg min{ | ( ) 0}HL G u u *ˆ HL O P
( ) 0G u
– A partir do significado geométrico do índice de confiabilidade, temos
que
na distância i
Como
Temos * *
i i i ii X i X X i Xx u
– Assim, os cossenos diretores no espaço X serão expressos como
i
4. Índice de Confiabilidade no Espaço X
*
*
*
*
*
* * *
*
*
… … … … …(1)
… … … … … … … … … …(3)
1
Relações Básicas
1 2( , , , ) 0ng X X X
Definir de forma adequada as distribuição de probabilidade, bem como seus parâmetros das variáveis aleatórias.
2. Assumir os valores iniciais do ponto de projeto e de *
iX
Em geral, o valor inicial do ponto de projeto é tomado como a média iX
Então, o valor inicial de é 0.
3. Usando a Eq.(1) calcule os cossenos diretores i .
4. Usando a Eq.(2) calcule as coordenadas do ponto de projeto. *
ix
6. Usando a Eq.(2) calcule o novo ponto de projeto.
5. Algoritmo para Estimativa de
7. Retorne ao passo 3 e repita de forma iterativa a sequência de passos até convergir.
Início
Escolher *
Calcular em ( ) 0g
( 1) ( )k k ≤
210M kN m Assuma que uma viga de aço esteja submetida a um momento fletor
Equação de Estado Limite:
o modulo plastic da seção, , e a resistência ao escoamento da viga, Fy, são
variáveis aleatórias, estatisticamente independentes, com parametros
W yF
( , ) 0y yZ g F W F W M
Calcule o índice de confiabilidade da viga, HL , bem como o ponto de projeto da viga (W, Fy) usando o método AFOSM
Exemplo
t
32 1 0 1 0 0 ( )y yZ F W M F W N m
*
(1)
* 3 9 0 2 7 . 3 y y y yy F F F FF
(b) * 6 9 2 1 3 . 8 4W W W WW
* * 2 1 0 0 0 0 0yF W (c)
2 ( 5 0 1 4 . 2 9 ) 1 5 8 . 4 0 y yF W F W (d)
Se * 3 9 0 yy FF
* 6 9 2WW
(2) Calculo de e [usando Equação (a)] yF W
0 .9 6 1 5 yF 0 . 2 7 4 7W
(3) Calculo de [usando Equação (d)]
20 . 2 6 4 2 5 1 . 9 7 1 5 8 . 4 0 ( 1 ) 3 . 0 9 5
2 2 1 yF W
Solução
(2)
0 .9 7 4 5 yF 0 . 2 2 4 5W
(3)
*
yF *W * 3 9 0 ( 0 . 9 6 1 5 ) 3 . 0 9 5 2 7 . 3 3 0 9yF
* 6 9 2 ( 0 . 2 7 4 7 ) 3 . 0 9 5 1 3 . 8 4 6 8 0W
2 2 1 yF W
( 2 ) (1 ) 0 .0 0 3 0 .0 0 1
2a Iteração
Calculo de [usando Equação (d)]
(1)
(2)
0 .9 7 4 8 yF 0 . 2 2 3 2W
(3)
* 3 0 8yF * 6 8 2W
( 3 ) ( 2 ) 0 .0 0 0
Resultado Final: 3 . 0 9 2 * 3 0 8yF * 6 8 2W
1 ( ) 1 ( 3 . 0 9 2 ) 1 0 . 9 9 9 3 0 . 0 0 0 7fP
Calculo de e [usando Equação (b)] *
yF *W
3a Iteração
Calculo de [usando Equação (d)]
TAREFA – VALENDO FORTEMENTE NOTA PARA MÉDIA FINAL
1 - Considerando este exemplo calcule a probabilidade de falha por meio
das seguintes técnicas:
- Aproximação da média e do desvio padrão usando aproximações em
série de Taylor de 1ª ordem;
- Aproximação por diferenças finitas;
- MVFOSM (Advanced First-Order Second-Moment method)
2 – Implementar o fluxograma apresentado no item 5 na resolução do
exemplo (opcional)
Conforme já comentado, a
Aleatórias
com a probabilidade de falha nos casos em que as
variáveis X são normalmente distribuídos e
quando g (.) é linear com relação às xi variáveis.
6. Inclusão de Informações sobre as Características das Variáveis
Aleatórias
do vetor P*.
(u* 1 , u*
realizada usando a função
Assim, a fim de estender a
aplicação desse procedimento
gaussianas, torna-se necessário
a transformação dessas
variáveis em gaussianas
padrão não conseguem explicar
lado.
Aleatórias
Aleatórias
parte-se da premissa que a cauda da
distribuição é geralmente o local de maior
relação com a probabilidade de falha.
Portanto, parece razoável ajustar a
distribuição normal equivalente à cauda da
distribuição não-normal - Idéia básica
Rackwitz, R., and Fiessler, B. (1978). Structural reliability
under combined random load sequences. Computers &
Structures, 9:484-94.
Ao estabelecer que as distribuições cumulativas e as funções de densidade de
probabilidade da distribuição real e da distribuição gaussiana sejam iguais no ponto de
projeto (verificação), pode-se determinar que a média e o desvio padrão, x* e x*, que
caracterizam a função gaussiana equivalente garantindo as seguintes condições:
Aleatórias
Média e Desvio Padrão da à distribuição gaussiana no Ponto de verificação
A resolução simultânea dessas duas equações resulta nas seguintes estimativas
para
Aleatórias
Exemplo:
Fiessler, no ponto x = 40, considerando
uma variável aleatória não gaussiana
com distribuição de Gumbel com
parâmetro de escala, , igual a 60 e
parâmetro de forma, , igual a 4.
Aleatórias
Exemplo:
Aleatórias
Aleatórias
Exemplo:
Se x ≅ G (, ), então:
1. Formular a equação de estado limite 1 2( , , , ) 0ng X X X
Definir de forma adequada as distribuição de probabilidade, bem como seus parâmetros das variáveis aleatórias.
2. Assumir os valores iniciais do ponto de projeto e de *
iX
Em geral, o valor inicial do ponto de projeto é tomado como a média iX
Então, o valor inicial de é 0.
4. Calcular os cossenos diretores i .
5. Algoritmo para Estimativa de com Transformação R-F
3. Para as Xis v.a. com distribuição não-gaussianas , a media xi e o desvio
padrão xi , devem ser estimados utilizando a tranformação R-F no ponto de
verificação dessas v.a.
5. Calcular as coordenadas do ponto de verificação ( projeto). *
ix
7. Calcular o novo ponto de verificação (projeto).
5. Algoritmo para Estimativa de com Transformação R-F
*
* * *
*
*{ }ix

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