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Instituto Tecnológico de Aeronáutica – ITA/IEA

AE-249 - AEROELASTICIDADE

Aeroelasticidade Estática

Triângulo de Collar

A

E I

SSAL

C

DR

F B Z DSA

DS

VA: Força aerodinâmica Fenômenos AeroelásticosE: Força elástica F: “Flutter”I: Força inercial B: “Buffeting”

Z: Resposta dinâmicaCampos Relacionados L: Distribuição de carga

V: Vibrações mecânicas D: DivergênciaDS: Estabilidade dinâmica C: Eficiência de controle

R: Reversão do sistema de controle

DSA:Efeitos aeroelásticos na estabilidade dinâmicaSSA: Efeitos aeroelásticos na estabilidade estática

Conceitos introdutórios – Parte I

Análise matricial de estruturasOs deslocamento devido a flexibilidade estão relacionados às forças como:

Supondo que a estrutura é linear

- matriz de rigidez, composta por coeficientes de influência de rigidez. Cada coluna representa o conjunto de forças necessário para que o deslocamento ui seja unitário e uj sendo nulo quando i≠j.

{ } { }i ij jF K u⎡ ⎤= ⎣ ⎦

ijK⎡ ⎤⎣ ⎦

Análise matricial de estruturasTrabalho virtual realizado por uma força:

Energia potencial elástica

2

12

1 12 2

W F du F u

K u u K u

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ ⋅ = ⋅ →

∑

Análise matricial de estruturasNa forma matricial:

Note que diferenciando

refere-se a aplicação da equação de Lagrange:

{ } { } { } { }

{ } { } { }

1 12 2

12

Ti i i i

Ti i j

W F du F u u F

W u F u U

= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⇒

= ⋅ ⋅ = →

∑

Energia potencial elástica

i

Ux

∂⇒

∂

( )i

T Uddt x

⎡ ⎤∂ −⎢ ⎥∂⎣ ⎦&

T∂−

( )j i

i i

U UQ Fx x

− ∂= = =

∂ ∂

Análise matricial de estruturasConsequentemente temos:

Note que:

Como a ordem de integração não altera o resultado, a matriz de rigidez deve ser simétrica

Os elementos diagonais devem ser positivos ou nulos, enquanto os demais não

ij j ii

U K u Fx

∂= =

∂ ∑

ij jii j j i

U UK Kx x x x∂ ∂

= = =∂ ∂ ∂ ∂

Análise matricial de estruturasExemplo: construção da matriz de rigidez do sistema ao lado:

Note que os termos diagonais são sempre positivos, e que existe o acoplamento elástico (termos fora da diagonal)

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

1 2

1 2

1 2 2 1

2 22 1 1 2

0

0T

F P K h a K h b

M M K a h a K b h b

K K K b K aP hM K b K a K a K b

θ θ

θ θ

θ

= − − − + =

= + − − + =

⎡ ⎤+ −⎧ ⎫ ⎧ ⎫= ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬

− +⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦

∑∑

Análise matricial de estruturasCentro de cisalhamento e centro de torção –são exatamente a mesma coisa, é o ponto onde ao se aplicar uma força só existirá cisalhamento, ou seja não existirá nenhum momento aplicado. Se K1 = K2, e a = b, a origem O é o centro de torção;Este conceito é válido quando assume-se que a estrutura é linear;Em aeroelasticidade, a posição do centro de torção será determinante na caracterização da estabilidade estática e dinâmica do sistema

Conceitos introdutórios – Parte II

Aerodinâmica básicaDefinições básicas ->

Geometria da um aerofólio bidimensional, daqui por diante abreviado para 2D.

c = cordab = ½ cordaV = Velocidade de

escoamento não perturbado.

α = ângulo de ataque

Parâmetros de similaridadeEm aerodinâmica, define-se como parâmetros de similaridade:

Em aeroelasticidade temos:

Frequência reduzida massa aparente

Re

VMa

Vcρμ

= →

= →

Número de Mach

Número de Reynolds

bkVω

= 2

mb S

μπρ

=

V = vel. Escoamentoa = velocidade do somρ = densidadeμ =visc. dinâmicaω = frequência circularS = área

Parâmetros de similaridadeO uso de parâmetros de similaridade garante o efeito de escala dinâmica para comparações teórico experimentais.

Se Reynolds e Mach forem similares entre dois corpos imersos em um fluido, que sejam geometricamente similares, porém em escala diferente os parâmetros aerodinâmicos serão idênticos.

Sustentação e MomentoPara calcular o momento, requer-se um comprimento de posição de referência;

o

o

o

o

L L L

M M M

dLL Ld

dMM Md

qSC qSC qSC

qScC qScC qScCα

α

αα

αα

α

α

= +

= +

= +

= +

Coeficientes aerodinâmicosCoeficientes de sustentação e momento:

Nota: é usual definir os índices de coeficiente de seções 2D em minúsculas.

- ângulo de ataque para sustentação nula

212

llCV Sρ

=21

2

mmCV Scρ

=

( )0 0l

l l l l l L iftdCC C C C Cdα α αα α α

α= ⇒ = + = −

0Liftα

Transporte do momentoPode-se medir ou calcular o momento aerodinâmico em um determinado ponto e transporta-lo para outro ponto de interesse:

Onde a e b são dois pontos distintos situados a distâncias ha e hb do bordo de ataque em frações da corda “c”.

( )ma ma l a bC C C h h= + −

Centro aerodinâmicoPor definição o centro aerodinâmico é o ponto sobre o aerofólio onde o momento aerodinâmico não varia com o ângulo de ataque.

Para obter o centro aerodinâmico (ac), empregas-se a fórmula de transporte de momentos

0acmdCdα

=

( )acm mb l ac bC C C h h= + −

Centro aerodinâmicoDiferenciando em relação a α :

Exemplo:

( )0acm mb lac b

mbac b

l

dC dC dC h hd d d

dCh hdC

α α α= = + − ⇒

= −

Cl 0,2 0,4 0,6 0,8

Cm1/3 -0,02 0,00 0,02 0,04

Centro aerodinâmicoComo os dados de túnel de vento acima comporta-se de forma linear,

Para aerofólios finos em regime subsônico o centro aerodinâmico situa-se a uma posição a ¼ da corda aproximadamente.

( )13

13

13

0,04 0,020,10

0,8 0,2

1 0,10 0,23333

m

l

m

acl

dC

dCdC

h hdC

− −= =

−

= − = − =

Centro de pressãoPosição onde o momento aerodinâmico é nulo pois é o ponto de aplicação da resultante do carregamento aerodinâmico distribuído sobre a corda.A sua posição pode ser determinada de:

Note que a posição do Cp depende de α .

13

13

13

1 03

1 1 0,02 1 0,43333 3 0,2 3

xcpm m l xcp

m

m l xcp xcpl

C C C h

CC C h h

C

⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞− = − ⇒ = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

Porque o CA ao invés do CP?Embora o centro de pressão CP seja o ponto de aplicação da resultante aerodinâmica, a sua posição muda com a variação do ângulo de ataque. Por outro lado, o que não muda com o ângulo de ataque é a posição do centro aerodinâmico CA. Portanto, é razoável assumir como ponto de aplicação da resultante aerodinâmica a posição do centro aerodinâmico, uma vez que a força aerodinâmica variará proporcionalmente ao ângulo de ataque ao mesmo tempo que momento aerodinâmico permanecerá constante ou nulo (placa plana). Note que para o caso de um aerofólio fino, ou mesmo a representação da seção de um aerofólio por uma placa plana a posição do CA será aproximadamente e exatamente a ¼ da corda, respectivamente. e todo o momento atuante no aerofólio será oriundo da sustentação multiplicada pela distancia do ponto de giro do aerofólio ao centro aerodinâmico a ¼ da corda. Note que para o caso da placa sem arqueamento, o momento aerodinâmico será nulo (Cmac0 = 0)

Mais definições...Asa finita (3D)

Λe=enflechamento do bordo de ataque (LE)

A = área da asa b/2 (s/2) = ½ envergadura Cr = corda na raiz Ct = corda na ponta

2

ctcr

sARA

λ=

=

afilamento

alongamento

Corda média aerodinâmica (MAC)

Corda de uma asa retangular com a, com a mesma área A, cujas características aerodinâmicas (sustentação e momento de arfagem) são iguais a asa original.

( )220

22 13 1

s

MAC c y dy

MAC cr λ λλ

=

+ += →

+

∫Asa reta e afilada, e será importante para adimensionalizarA frequência reduzida

CompressibilidadeOs coeficientes aerodinâmicos bem como as suas derivadas dependem de efeitos de compressibilidade;Este efeito é representado pela correção de compressibilidade conhecida também como correção de Prandtl-Glauert;

Não só coeficientes, mas também a posição do centro aerodinâmico é alterada.

21

Incl l

ldC CCd M

ααα

= =−

Regime Transônico

“Transonic Dip”

Pres

são

dinâ

mic

a de

“Fl

utte

r”

Número de Mach1

baixo amortecimentoponto crítico para “Flutter” (regime transônico)

teoria linear

0

Introdução à Aeroelasticidade Estática

X-29

Aeroelasticidade EstáticaCentro Elástico (CE): é o ponto para o qual uma força normal à corda é aplicada e a seção não sofre torção, mas apenas flexão. Uma força aplicada fora do CE causa torção e flexão.

CE

AC - Centro Aerodinâmico(Ponto onde o Momento Aerodinâmico não muda)

Eixo elástico

Esforço aplicadono eixo elástico(flexão)

Esforço aplicadofora do eixo elástico(torção e flexão)

Aeroelasticidade Estática

Eixo Elástico: linha ao longo do comprimento da semi-asa, formada pelos pontos (CE) onde forças podem ser aplicadas sem resultar em torção da mesma.

LL

CC αα

∂=

∂

( )xAC AC ACM L x M= ⋅ +

ACAC MM C q S c= ⋅ ⋅

0=CPxM

4ACcx ≅

2ACcx ≅

Escoamento subsônico (consegue-se o valor exatoquando se aplica a teoria dos perfis finos).

Escoamento supersônico

:

LM

c

xac

AC CECP

Distribuição da sustentação

A resistência devido à rigidez torcional é a tendência de uma seção da asa em resistir à torção imposta pela seção adjacente. É representada pela Mola Torcional (Kθ).

Kθ

ACCE

CP

W

L

75%

Seção Típica

Eixo ElásticoSeção mais representativa da asa. Em geral, é considerada a 75% da semi-envergadura da asa.Esta seção depende da rigidez torcional ao longo da asa.

Seção Típica de uma Asa

KθACCE

LMAC

α

e

V

KθAC

L MAC

αe

V

θMθ = Kθ · θ

e - distância do CE ao ACα - ângulo de ataque inicialθ - ângulo de torção elástica

Obs.: Geralmente o “Flutter”ocorre antes que a Divergência, exceto para asas com enflechamento negativo.

Divergência Aeroelástica-1 GDL

θθKLeM AC =+

( ) θθαα θKqSeCqScC L

M AC=+

∂∂

+ 0

Em termos de coeficientes aerodinâmicos, tem-se:

Determina o quanto tem de torção, dependendo da velocidade. Então,

⎟⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜⎜

⎝ ∂∂

−

+∂=

α

ααθ

θ

θ L

M

CKSeq

cCe

KqS AC

1

0

⎞⎛ ∂ LC

Obs.: θ aumenta quando diminui o denominador. Denominador nulo corresponde a condição de divergência.

Equilíbrio de Momentos (ref. CE)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=

α

θ

LD C

Se

KqPressão Dinâmica de Divergência (qD):

Que proporciona a divergência sobre um aerofólio.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=

αρ

θ

LD CSe

KV

2

O carregamento é alterado pela flexibilidade

Velocidade de Divergência (VD):Velocidade em que ocorre a Divergência.

( ) ElásticaRígidaTotalL

Total LLLC

qSL +=∴+∂∂

= θαα 0

Para aumentar a VD: aumentar Kθ ; diminuir e; e reduzir o ρ (aumentar o nível de vôo). Se e < 0, não existe a condição de Divergência.

Condição de divergência

Condição de divergênciaNote os termos que compõem a relação abaixo:

{

0 ACL M

L

qSeC qScCK qSeC

α

θ α

αθ

+=

−14243

“Rigidez Aerodinâmica”

“Rigidez Estrutural”

“Rigidez Aeroelástica”

A divergência é uma instabilidade independente da magnitude dos esforços (momentos), mas sim dependente da rigidez aeroelástica

Condição de divergência

“Rigidez Aerodinâmica”

“Rigidez Aeroelástica”

“Rigidez Estrutural”

Condição de divergênciaGraficamente:

2 LK q SeCθ α<

1 LK q SeCθ α>

Influência do pesoO peso W, cujo ponto de aplicação é o CG, também tem influência sobre a torção elástica, devido o momento negativo gerado por ele, resultando em

ACM Le d KW θθ+ − =

( )0AC

LM

CC qSc qSe KWd θα θ θα

∂+ + − =

∂

0

1

AC

LM

L

WCe cCqSCSe

d

K qK

θ

θ

ααθ

α

⎛ ⎞∂+ −⎜ ⎟

∂⎜ ⎟=∂⎜ ⎟−⎜ ⎟∂⎝ ⎠

Entretanto, note que a divergência independe desta “força externa”...

Acréscimo de sustentação

( ) ∴=++∂∂

∴=+ θθαα

θ θθ KqScCC

SeKLeMACM

LAC 0

θα

θ

α

α θKCC

CecqSe L

L

M AC =∂∂

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

∂∂

+0

= ângulo de ataque antes da torção elástica0α

Efeito Aeroelástico abaixo da VD:

Como ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=∴⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=α

α

θθ L

DL

DC

SeqKCSe

Kq

Então obtém-se :

( )Dqq

LD

L CSeq

CqSe

−=

+⇒

∂∂

=∂∂

+1

1

0

00 α

θαθ

ααθα

que é a expressão que indica o quanto de sustentaçãose tem em relação à asa rígida.

Acréscimo de sustentação

Dqq

0

0

αθα +

10

0

0

αθα +

≅+

=Rígida

ElásticaRígidaEfetiva L

LLL

0

0

0,8 0,64

0,3

D D

V qV q

α θα

= ⇒ =

+∴ ≅

RígidaElástica LL 2≅então

Mas, com °=⇒°= 1050 θα , e °=+ 150 θαque está fora da faixa linear (tomar cuidado).

Sustentação Efetiva

Ex.:

Considerações adicionaisA eficiência da sustentação modifica o desempenho da aeronave, e deve ser considerada no projeto;A superfícies de sustentação devem ser dimensionadas considerando a flexibilidade;A redistribuição da sustentação move o centro de pressão de uma asa na direção da raiz, e para a frente (direção do BA);O estudo da estabilidade e controle da aeronave deve levar em conta os efeitos da flexibilidade.

KθACCE

LMAC

α

e

V

KθAC

L MAC

αe

V

θMθ = Kθ · θ

e - distância do CE ao ACα - ângulo de ataque inicialθ - ângulo de torção elásticah - deslocamento vertical

Divergência Aeroelástica-2 GDL

+h

Kh Kh

Kh = rigidez em translação

AC

h

M L e KL K h

θ θ+ ⋅ = ⋅= ⋅

Sistema de duas equações a duas incógnitas:

Agrupando:

Equilíbrio de Momentos e Forças (ref. CE)

( )0L

hCqS K hα θα

∂⎡ ⎤+ = ⋅⎢ ⎥∂⎣ ⎦

( )0AC

LM

CqScC qSe Kθα θ θα

∂⎡ ⎤+ + = ⋅⎢ ⎥∂⎣ ⎦

0

0

0 0 1 1 00 0 1

0 0 1 1 00 0 1

0 1

AC

AC

hL L M

hL L M

Lh

L

K h hqSC qSC qScC

K e e

K h hqSC qSC qScC

K e e

qSCKK K h

qSeCK

α α

α α

α

α

θ

θ

θ θ

θ

αθ θ

αθ θ

θ

− −⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫= + +⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦− −⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

− = +⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎩ ⎭−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0 1 01

ACL MqSC qScCeK K

α

θ θ

α −⎧ ⎫ ⎧ ⎫= +⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Na forma matricial:


0 1 1

1

1 01

1 10 01

AC

L L

h h

h hL L

L L

L M

qSC qSCK KK K

K KqSC qScCqSeC qSeCK K

qSeC qSeCK K

heK K

α α

α α

α α

αθ θ

θ

θ θ

θ θ

θ

αθ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− −

− −

Na forma matricial:


0

0

1 1

1 1

1

AC

AC

L L

h hM

L

L

L

L

M

L

qSC qSC

qSeK KqScC

hK

qSCK qScC

K

C qSeCK K

qSeC qSeCK K

α α

α α

α α

α

θ

θ

θ

θ θ

θ θ

α

α

θ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢− −

− −

⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥= − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

Os deslocamentos são dados por:


Moral da história: A pressão dinâmica de divergência é a mesma que o caso com 1 GDL.

Outros efeitos...A condição (pressão dinâmica, por exemplo) em que o aerofólio perde a sua resistência em torção é conhecida como divergência;Não apenas o efeito da compressibilidade, mas também um eventual aquecimento aerodinâmico pode mudar as características estruturais da estrutura, diminuindo a sua rigidez. (Aerotermoelasticidade). Ex. vôos em regime hipersônico.Uma falha estrutural pode alterar a característica aeroelástica e levar a divergência

O mais importante - efeito da compressibilidade

Correção de Prandtl-Glauert:

21

D incL

KqCSe

M

θ

α

=

−

A velocidade de divergência aumenta com a altitude, porém diminui com o efeitoda compressibilidade.

0

TD

L

TDo

L

KqSeC

KqSeC

α

α

= ⇒

= ⇒

210

MC

C LL −

= α

α

22

11

0

MqSeC

MKq DoL

TD −=

−=

α

O efeito da compressibilidade

Mais sobre compressibilidade...Todavia, o número de Mach muda a pressão dinâmica de divergência (Prandtl-Glauert);Porém não podemos trata-lo como um parâmetro independente; note a relação para a velocidade de divergência:

A velocidade de divergência depende do par ρe M, uma vez que o número de Mach depende da altitude .

2

2

1

D incL

KVC

MSe

θ

αρ=

−

Mach de divergênciaPergunta: se operarmos em uma determinada altitude, qual será o Mach de divergência? A condição de vôo calculada a partir da equação:

deve corresponder (match) à condição calculada pela análise de divergência. Em outras palavras, a densidade e o número de Machdevem corresponder à velocidade calculada para uma determinada condição de vôo (altitude).

VMa

= 2 2 21 12 2

q V M aρ ρ= ⋅ = ⋅e

Mach de divergênciaPara tal, vamos calcular a pressão dinâmica incluindo o efeito da compressibilidade:

Combinando a equação acima com:

Tem-se :

22 2

01 1 1inc

D DincL

K Mq q M q MS e Cθ

α

−= = − = −

⋅ ⋅

2 2 21 12 2

q V M aρ ρ= ⋅ = ⋅

Mach de divergênciaContinuação...

Onde a pressão dinâmica qs é a pressão correspondente a um escoamento à velocidade do som.Ou seja, podemos usar a relação acima que é função exclusivamente do número de Mach e da pressão dinâmica de divergência em regime incompressível. Também é necessário identificar a altitude correspondente à análise para se calculara velocidade do som e se obter a pressão dinâmica de referência para aquela altitude;O resultado é uma equação quártica para o número de Machapenas, a nossa incógnita. Este valor correspondente a uma dada altitude será o número de Mach de divergência:

22 2 2

211 in

Sc

DM a q M Mqρ ⋅ = − =

Mach de divergência

2 24 2

2 4 2

0

4

2

Do DoD D

s s

Do Do Do

s s sD

q qM Mq q

q q qq q q

M

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= +

O conceito de “Match Point”O conceito de “Match Point”, ou “ponto correspondente” é muito utilizado para a correlação de resultados de análises aeroelástica com experimentos em vôo.A idéia é obter uma velocidade de divergência que corresponda ao número de Mach a uma determinada altitude de vôo.Ou seja, plota-se a pressão dinâmica corrigida para os efeitos de compressibilidade e a pressão dinâmica do escoamento a velocidade do som (a) correspondente a uma determinada altitude de vôo.A interseção entre as duas curvas fornecerá o Mach de diverg6encia, ou seja e deste valor pode-se obter a velocidade de divergência fisicamente correta para a condição investigada.

O conceito de “Match Point”O número de Mach de divergência é a interseção de duas curvas, resultado de plotar

respectivamente como função do número de Mach. Este ponto é conhecido como

“Match Point”

2 212Sq M aρ= ⋅

21incD Dq q M= −

e

Efeito da Altitude no Mach de divergência

Do gráfico anterior, observa-se que o número de Mach de divergência aumenta com o aumento da altitude que implica na mudança da velocidade do som. Na figura ao lado pode-se também notar que o MD aumenta acompanhando a altitude.

Evitando a divergência...Analisando a expressão:

Se diminuirmos “e”, a pressão dinâmica de divergência aumenta;Se aumentarmos a rigidez da Kθ a pressão dinâmica de divergência aumenta. Eventuais restrições no envelope de operação também são uma forma de evitar a divergência

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=

α

θ

LD C

Se

Kq

Hipóteses restritivasContexto linear, a pequenas deformações, o que implica em comportamento linear do material e da aerodinâmica;Deformações ocorrem em um período de tempo suficientemente grande, podendo-se classificar o fenômeno como quasi-estático.

SumárioA divergência aeroelástica é uma instabilidade prevista por uma análise de rigidez estática;Próximo da condição de divergência, pequenas deformações em torção (incidência da asa) implicam em grande deformações que podem levar a carregamentos aerodinâmicos ainda maiores – pode-se atingir regimes não lineares quanto ao comportamento aerodinâmico;Perto da condição de pressão dinâmica de divergência, o efeito da flexibilidade promove um incremento significativo na sustentação.

Eficiência e Reversão de Comandos

Fenômenos que também estão associados à Aeroelasticidade Estática.Será usado o aileron para exemplificar estes fenômenos. Seu objetivo é criar um momento de rolamento P.

x

ya

PΔLa = diferença de sustentaçãoMx = 2ΔLa · ya

Eficiência e reversão de comandos

Eficiência e reversão de comandos

Supõem-se que a superfície de comando rotacione fazendo um ângulo δ com a linha da corda da seção;Com a deflexão da superfície de comando, a geometria do perfil muda (camber efetivo), então o CMAC também muda;Esta variação angular da superfícies de comando gera um momento picador que tende a deformar a asa da aeronave, que é flexível;Tal deformação pode ser suficientemente grande de forma que a ação do aileron pode gerar um torque em rolamento em sentido contrário do que o esperado.

δδ∂

∂+= AC

ACAC

MMM

CCC

0

sem deflexão

deflexão do aileron

totalcoeficiente de momentoda deflexão do aileron

articulação

AC

LMAC

δ

Kθ

CE

Articulação

Reversão de comandos

Devido os esforços aerodinâmicos que tendem a introduzir uma nova deflexão da superfície de comando, a deflexão total é diferente da imposta pelo piloto. A deflexão pode ser maior ou menor que a deflexão inicial.

δ0 deflexão comandada pelo piloto

δ deflexão totalΚδ rigidez da articulação

AC

LMAC

δ

δ0

Kθ Kδ

CE

Articulaçãoelástica


Então, relativo a seção típica com superfície de controle, tem-se:

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

++∂∂

=∴= δδ

θαα

LLL

CCqSLqSCL 0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+=∴= δ

δAC

ACAC

MMACMAC

CCqScMqScCM

0


Devido à articulação, o momento aerodinâmico da superfície de controle (H), em relação ao eixo da articulação, é dado por:

( ) ( )

( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂++

∂

∂+=

∴=

δδ

θαα

)()()(0

)(

0HH

H

H

MMMHH

MHH

CCCcqSH

CcqSH

Nota: com δ +, H +


1) Equilíbrio de momentos em relação ao CE da seção:

( ) θδδ

δδ

θαα θK

CCqScCCqSe AC

AC

MM

LL =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∂∂

++∂∂

00

( )0δδδ −= KH , com (δ – δ0) sendo a torção elástica dasuperfície de controle, em relaçãoao eixo de articulação.

( ) ( )

2) Equilíbrio de momentos em relação ao eixo de articulação:

( ) ( )00)()(

)(0δδδ

δθα

α δ −=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂++

∂

∂+ K

CCCcqS HH

H

MMMHH

Exemplo: Seção Típica

O que resulta em um sistema cuja equação matricial é dada por:

[ ] [ ]BAbb

aaaa

⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∴⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −1

2

1

2221

1211

δθ

δθ


11 12

21 22

,

,

AC

H H

ML L

M M

H H

CKC Ca e a eqS

C C Ka aqS c

θ

δ

α δ δ

α δ

∂∂ ∂= − = +

∂ ∂ ∂∂ ∂

= = −∂ ∂

( ) θδδ

δδ

θαα θK

CCqScCCqSe AC

AC

MM

LL =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∂∂

++∂∂

00

θδδ

δδ

θα

αα θK

CqScqScCCqSeCqSeCqSe AC

AC

MM

LLL =∂

∂++

∂∂

+∂∂

+∂∂

00

Equilíbrio de momentos em relação ao CE da seção:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∂∂

00 AC

ACM

LMLL cCC

eqSC

cC

eqSKC

qSe αα

δδδ

θα θ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

00 AC

ACM

LMLL cCC

eC

cC

eqSKC

e αα

δδδ

θα

θ

Demonstração do desenvolvimento da matriz

( ) ( ) ( ) ( )00)()(

)(0δδδ

δθα

α δ −=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂++

∂

∂+ K

CCCcqS HH

H

MMMHH

000δδδ

δθ

αα

α δδ KKC

cqSC

cqSC

cqSCcqS HHH

H

MHH

MHH

MHHMHH −=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂000

δαα

δδδ

θα δδ K

CCcqSK

CcqS

CcqS H

H

HH MMHH

MHH

MHH

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

HH

MM

HH

MM

cqSKC

CcqS

KCCH

H

HH 000

δαα

δδδ

θα

δδ

Equilíbrio de momentos em relação ao eixo de articulação

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

HH

MM

HH

MM

cqSKC

CcqS

KCCH

H

HH 000

δαα

δδδ

θα

δδ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

00 AC

ACM

LMLL cCCeC

cCeqSKCe α

αδ

δδθ

αθ

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

HH

MM

ML

HH

MM

MLL

cqSKC

C

cCCe

cqSKCC

CCeqSKCe

H

H

AC

HH

AC

00

0

0

0

δαα

αα

δθ

δα

δδαδδ

θ

{ } { } { } { }BABAbb

aaaa

⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∴=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅∴⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −1

12

11

2221

1211

δθ

δθ

δθ

Montagem da equação matricial

DivergênciaA divergência aeroelástica vai ocorrer quando o det[A] = 0, o que é real para um determinado valor da pressão dinâmica, exceto se o CE estiver à frente do AC, caso onde nunca ocorre a divergência aeroelástica.Este critério de estabilidade é conhecido como critério de estabilidade de Euler, e será apresentado formalmente quando tratarmos do problemas de asas sujeitas a fenômenos aeroelásticos estáticos.

onde ∂CL/∂δ é a derivada de controle, que depende do perfil e da superfície de controle.

Quando se tem deflexão do aileron, surge uma torção elástica, causada pela variação do momento aerodinâmico.

ΔLΔθδé devido o momento picador que surge com a deflexão positiva do aileron, tendendo a diminuir a sustentação adicional gerada, ou o momento de cabragem que surge com a deflexão negativa do aileron, tendendo a adicionar sustentação.

ΔLδ sustentação gerada pela deflexão do aileron se a asa fosse rígida.

δδδ ∂

∂=Δ LCqSL

ΔLδ

δ

CE

ΔLΔθδ

Δθδ


onde ∂MAC/∂δ é uma derivada tipicamente negativa.

A deflexão do aileron também gera uma mudançano momento aerodinâmico, representado por:

δδδ ∂

∂=Δ AC

ACMqScM

Voltando à equação de equilíbrio θθKMLe AC =+

as variações em L e MAC produzirão uma torção elástica adicional Δθδ resultando em δθ θΔ=Δ+Δ KMeL ACa

δθδ ΔΔ+Δ=Δ LLLa

.

ou seja, saindo de uma condição de equilíbrio para outra condição de equilíbrio, onde:


.

E escrevendo-se na forma de coeficientes, tem-se:

δθδ θθα

δδ

δδ

Δ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

∂∂

+∂

∂+

∂

∂KCCeqS

CqSc LLM AC

A partir desta expressão, obtém-se a mudança na torção elástica correspondente, ou seja, a Torção Elástica Adicional causada pela deflexão do aileron.


Assumindo-se que δ seja conhecido, a expressão para a Torção Elástica Adicional é dada por: δ

α

δδθθ

δ

∂∂

−

∂∂

+∂∂

=ΔL

ML

CeqSK

CcCe AC

Com isso, pode-se calcular as mudanças adicionais no carregamento aerodinâmico do perfil devido à deflexão do aileron:

∴

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

−

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

=Δ∴Δ+Δ=Δ Δ δ

α

δδα

δδ θ

θδ δL

ML

LLaa Ce

qSK

CcCeCqSCqSLLLL

AC

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

−

∂∂

∂∂

+∂∂

=Δ

α

δαδδθ

θ

L

MLL

a CeqSK

CCcqSKC

qSL

AC

Eficiência dos comandos

A uma determinada pressão dinâmica (q) não muito pequena, pode ocorrer do termo no numerador zerar, ou seja ΔLa será nulo, o que será um bom critério para adotar a condição de reversão do comando

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

−

∂∂

∂∂

+∂∂

=Δ

α

δαδδθ

θ

L

MLL

a CeqSK

CCcqSKC

qSL

AC

devido à deflexãodo aileron

devido à torção naasa, por causa da

deflexão do aileron


Limite da reversão

0

0

AC

AC

AC

ML L

L L M

LR

L M

CKC Cc qSqS

C K cC C qS

C KqScC C

θ

δ θ α δ

δ θ

α δ

δδ α δ

∂⎛ ⎞∂ ∂= + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

= + = ⇒

= −

Esta pressão é denominada Pressão Dinâmica de Reversão de Controle (qR).

δα

δθ

∂∂

∂∂

∂∂

−=ACML

L

R CC

C

ScKq


Mach

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

4

8

12

Âng

ulo

de v

eloc

idad

ede

rola

men

to d

o ai

lero

n

Velocidade deReversão do aileron

Efeito da velocidade na eficiência do aileron

Eficiência dos Comandos

ae-249 - aeroelasticidade - aer.ita.brgil/disciplinas/ae-249/ae-249-2.pdf · análise matricial de...

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