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FENOMENOS DE TRANSPORTE 4 - UFSCar

Prof. Roger Valeri Daleffe - Período: 2º Sem. 2007. Alunos: 41. Turma: 102040 A. Quarta (14h)

AULA VII

7. ANÁLISE DIMENSIONAL

Há muitos problemas de interesse no campo da mecânica dos fluidos, no mundo real dos

projetos, que não podem ser resolvidos usando apenas as equações diferenciais e integrais. Muitas

vezes é necessário apelar aos métodos experimentais para estabelecer relações entre as variáveis de

interesse. Como estudos experimentais são geralmente muito caros, é necessário manter as

experimentações em um nível mínimo. Isso é feito usando uma técnica chamada análise

dimensional, que é baseada na noção de homogeneidade dimensional - na qual todos os termos em

uma equação devem ter as mesmas dimensões “não é possível somar maçãs com laranjas”.

7.1 Adimensionalização das Equações

A lei da homogeneidade dimensional garante que cada termo aditivo de uma equação tem as

mesmas dimensões. Portanto, se dividirmos cada termo da equação por uma coleção de variáveis e

constantes cujo produto tem aquelas mesmas dimensões, a equação se transforma em uma equação

adimensional (Figura 1). Se, além disso, os termos adimensionais da equação forem da ordem de

unidade, a equação é chamada de normalizada (o valor normalizado varia entre 0 e 1). A

normalização é, portanto, mais restritiva do que a adimensionalização, embora os dois termos às

vezes sejam usados (incorretamente) com o mesmo significado.

Cada termo de uma equação adimensional não tem dimensão - No processo de

adimensionalização de uma equação de movimento, os parâmetros adimensionais quase sempre

aparecem - o nome da maioria deles é uma homenagem a um cientista ou engenheiro notável (por

exemplo, número de Reynolds ou número de Froude). Esse processo é chamado por alguns autores

de análise inspecional.

Figura 1: Uma forma adimensionalizada da equação de Bernoulli é formada pela divisão de cada termo

aditivo por uma pressão (aqui usamos P∞). Cada termo resultante é adimensional (dimensão de 1)

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Da física básica temos: 2d z

= −2 gdt

(equação do movimento) (99)

Que após integração resulta em:

20 0

12

z z v t gt= + − (100)

A constante ½ e o expoente 2 da Equação (100) são chamadas de constantes puras

(oriundas da integração). Outro exemplo de constante pura é o π.

Para adimensionalizarmos a Equação (99) nós precisamos selecionar parâmetros de escala,

com base nas dimensões primárias contidas na equação original. Nos problemas de escoamento de

fluido geralmente há pelo menos três parâmetros de escala, por exemplo, L, v, e P0 - P∞, uma vez

que há pelo menos três dimensões primárias no problema geral (por exemplo, massa, comprimento

e tempo). No caso do objeto em queda discutido aqui, existem apenas duas dimensões primárias,

comprimento e tempo e, portanto, estamos limitados à seleção de apenas dois parâmetros de escala.

Temos algumas opções na seleção dos parâmetros de escala, uma vez que temos três constantes

dimensionais disponíveis g, z0 e v0. Selecionamos z0 e v0. Você está convidado a repetir a análise

com g e z0 e/ou com g e v0. Com esses dois parâmetros de escala selecionados, nós

adimensionalizarmos as variáveis dimensionais z e t. A primeira etapa é listar as dimensões

primárias de todas as variáveis e constantes dimensionais do problema,

Dimensões primárias de todos os parâmetros:

{z} = {L} {t} = {t} { z0} = {L} {v0} = {L/t} {g} = {L/t2}

A segunda etapa é usar nossos dois parâmetros de escala para adimensionalizar z e t (por

inspeção) em variáveis adimensionais z* e t*

Variáveis adimensionalizadas: 0

* zzz

= 0

0

* v ttz

= (101)

A substituição da Equação (101) na Equação (99) além da inclusão do número de Froude

0

0

vFrgz

= § resulta em

§ O número de Froude representa a razão entre forças inerciais e potenciais.

612 *

*2 2

1d zdt Fr

= − (equação do movimento adimensionalizada) (102)

Que após a integração, nos dá:

*22

1* 1 *2

z tFr

= + − t (resultado adimensional) (103)

Que na sua forma original é a Equação (100). Parece que utilizamos muita álgebra para

obtermos o mesmo resultado final. Então qual é a vantagem de adimensionalizar uma equação?

A essa pergunta, observamos que as vantagens não são tão claras neste exemplo simples, porque

podemos integrar analiticamente a equação diferencial do movimento. Em problemas mais

complicados, a equação diferencial (ou mais geralmente o conjunto de equações diferenciais) não

pode ser analiticamente integrada, e os engenheiros devem integrar a equação numericamente, ou

criar e realizar experiências físicas para obter os resultados necessários, e ambas as opções incorrem

em tempo e despesas consideráveis. Em tais casos, os parâmetros adimensionais gerados pela

adimensionalização das equações são extremamente úteis e podem economizar esforço e despesas

consideráveis a longo prazo.

Existem duas grandes vantagens na adimensionalização. Em primeiro lugar, ela aumenta

nossa visão das relações entre os parâmetros-chave. Equação de Froude revela, por exemplo, que

dobrar v0 surte o mesmo efeito de diminuir z0 por um fator de 4. Em segundo lugar, ela reduz o

número de parâmetros do problema. Por exemplo, o problema original contém uma variável

dependente, z; uma variável independente, t e três constantes dimensionais adicionais g, v0 e z0. O

problema adimensionalizado contém um parâmetro dependente z*; um parâmetro independente t*;

e apenas um parâmetro adicional, o número de Froude adimensional, Fr. O número de parâmetros

adicionais foi reduzido de três para um!

7.2 Análise Dimensional e Similaridade (ou Semelhança)

Muitas vezes precisamos efetuar experimentos em objetos que são muito grandes, para serem

manipulados em experiências a um custo razoável. Isso incluiria escoamentos sobre açudes e represas;

interações de ondas com píeres e quebra-mares; escoamentos ao redor de submarinos e navios;

escoamentos subsônicos e supersônicos ao redor de aeronaves, escoamentos ao redor de estádios e

edifícios; escoamentos através de grandes bombas e turbinas; e escoamentos ao redor de automóveis e

caminhões. Esses escoamentos são geralmente estudados em laboratórios, com modelos que são meno-

res que o protótipo, o aparelho real. Isso reduz substancialmente os custos quando comparados aos

estudos em escala plena e permite a análise de várias configurações ou condições de escoamento.

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No estudo de análise dimensional normalmente usamos o teorema π de Buckingham, que

organiza os passos para assegurar homogeneidade dimensional; o teorema requer algum

conhecimento do fenômeno estudado, de maneira que as quantidades apropriadas de interesse sejam

incluídas. Segundo, extraímos os parâmetros adimensionais que influenciam uma situação particular

de escoamento das equações diferenciais e condições de contorno que são necessárias para

descrever o fenômeno investigado.

No estudo dos fenômenos que envolvem o escoamento de fluidos, tanto analítica quanto

experimentalmente, existem, invariavelmente, muitos escoamento e parâmetros geométricos

envolvidos. Com o intuito de economizar tempo e dinheiro, deve-se utilizar o número mínimo de

combinações de parâmetros. Por exemplo, considere a queda de pressão através da válvula

corrediça da Fig. 2. Podemos suspeitar que a queda de pressão (Δp) dependa de tais parâmetros

como a velocidade média do escoamento na tubulação V, a massa específica ρ do fluido, a

viscosidade do fluido μ, o diâmetro da tubulação d e a altura da abertura h da válvula. Pode-se

expressar isso como:

( ), , , ,p f V d hρ μΔ = (104)

Agora imaginemos que convenientemente possamos escrever a equação anterior em termo

de parâmetros adimensionais, que organizados se tornariam (os passos para se fazer isso serão

apresentados posteriormente):

2 ,p V d hfV d

ρρ μ

⎛Δ= ⎜

⎝ ⎠

⎞⎟ (105)

Figura 2: Escoamento de fluido em uma tubulação com uma válvula corrediça.

Deve-se ter em mente que a seleção dos parâmetros apropriados é o primeiro passo crucial

na aplicação da análise dimensional. Em mecânica dos fluidos, todas as quantidades têm alguma

combinação de dimensões de comprimento (L), tempo (T), massa (M) e Força (F). Esta última pode

ser escrita como:

63

2

MLF maT

= = (106)

Como a força F depende das outras três, vemos que são suficientes três dimensões básicas,

assim, usamos o sistema M-L-T.

7.2.1 Teorema π de Buckingham

Em um determinado problema físico, a variável dependente xl pode ser expressa em termos

de (n – 1) variáveis independentes como

1 2 3 4( , , ,..., )nx f x x x x= (107)

em que n representa o número total de variáveis. O teorema π de Buckingham, devido a Edgar

Buckingham (1867-1940), afirma que (n - m) grupos adimensionais de variáveis, chamados

parâmetros π, em que m é o numero de dimensões básicas (ou primárias) incluídas nas variáveis,

podem ser relacionados por

1 2 3 4( , , ,..., )nfπ π π π π= (103)

em que π1 inclui a variável dependente e os parâmetros π remanescentes incluem apenas variáveis

independentes, como na Equação (105). Exemplificando, a equação ( , , )p f V h dΔ = é malformada,

pois a pressão envolve as dimensões de força e V, h e d não contêm tal dimensão.

Tabela 1: Símbolos e dimensões de quantidades usadas na mecânica dos fluidos

Temperatura T θ

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O procedimento usado na aplicação do teorema π é resumido como segue:

1) Listar as n variáveis; (p, T, V, , ρ, μ,...)

2) Listar as dimensões m de cada variável (deve-se incluir θ em problemas térmicos); (M, L, T,...)

3) Determinar número máximo de dimensões m e valor de k = (n-m), onde k é o ;

4) Escolher m variáveis incapazes de, por si, formar grupo π; é vantajoso que a “base” contenha

grandezas simples, pois aparecerão em todos os grupos adimensionais: massa específica,

velocidade, diâmetro; isto é, uma variável dinâmica, uma cinemática e uma geométrica;

5) Junte à base cada uma das restantes variáveis formando um produto de potências adimensional;

cada variável + base dará origem a um grupo adimensional;

6) Determine os expoentes para cada grupo adimensional. Faça as variáveis dependentes

aparecerem preferencialmente no numerador.

Exemplo 29: A força de arrasto F sobre um corpo submerso depende da viscosidade (μ) e massa

específica do fluido (ρ), da dimensão do corpo () e da sua velocidade.

( , , , )F f L Vμ ρ=

( )( ) ( ) ( )0 0 0 1 1 2 1 3 1 1 1a b cM L T M LT M L LT L− −=

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Tabela 2: Principais grupos adimensionais.

Grupos adimensionais mais usados em mecânica dos fluidos

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7.2.2 – Similaridade (ou Semelhança)