análise de nusselt em um escoamento normal à uma placa isotérmica

8/18/2019 Análise de Nusselt em um Escoamento Normal à Uma Placa Isotérmica

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1)A) Na posição em que =0,99:

= 5√

Logo:

= 5 = 5

Nas Notas de Aula 3, a espessura do deslocamento a espessura dodeslocamento (equação 95) é dada por:

= ∫ 1 0

Contudo, pelas equações da transformação de similaridade nas Notas de Aula 2:

=

Por isso:

=

Quanto aos limites de integração:Se = 0; = 0Se = ; = ∗

Substituindo na equação 95 das Notas de Aula 3:

= ∫ 1 0



Ainda pelas Notas de Aulas 2, a equação 38:

=

Assim no limite superior da integral:

= 5 = 5

Logo:

= ∫ 1 50

Ainda pela transformação de similaridade na equação 22 das Notas de Aula 2:

, = ≡′ Substituindo a equação 22 das Notas de Aula 2 na equação de espessura e

deslocamento e ainda dividindo ambos os termos por

1 = ∫ 1 ′

= 15 ∫ 1 ′

Integrando: 1 = 15 lim→[ ]



A partir das soluções para a transformação de similaridade:

= 5 = 3,2833 e = 0 = 0

Substituindo por valores numéricos:

1 = 15 lim→[ 5 0 3,28330] =0,344

Portanto:

1 = 0 , 2 l im→[ ] =0,344

1)B) A espessura de momentum é definida de acordo com a equação 96 das Notas de

Aulas 3

= ∫ 1

Utilizando as equações da transformação de similaridade já utilizadas no item 1)a)

=

E com os mesmo limites de integração:

Quanto aos limites de integração:

Se = 0; = 0Se = ; = ∗

Substituindo na equação de espessura do momentum:



= ∫ 1 0

Já sabendo que:

= 5

= ∫ 1 50

Dividindo ambos os lados da equação por

2 = ∫ 1

= 15 ∫ 1

Também utilizando a transformação de similaridade das Notas de Aula 2:

, = ≡′ Logo a equação de espessura do momentum se torna:

= 15 ∫ ′ 1 ′

Calculando a integral numericamente a partir dos valores encontrados para e ′ no exercício 3 da Lista de Exercícios 2 é possível plotar o gráfico de pontos de ( 1 ) x e obter um polinômio que a descreva com uma boa precisão o



comportamento da curva. No total foram utilizados 34 pontos. O gráfico pode ser visto a

seguir:

( 1

) x Gráfico 1 – Distribuição dos pontos de ( 1 )

Fonte: Autoria própria.

O polinômio obtido com o programa Microsoft Excel 2013 foi

= 0,000088 0,0022 + 0,01768 0,0427 0,0709 + 0,3188 + 0,00085 Plotando e calculando a integral nos devidos limites de integração com o uso do

programa Geogebra 5.0.2, tem-se que:

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0 1 2 3 4 5



Gráfico 2 – Representação do cálculo numérico da integral a partir de um polinômio.

Fonte: Autoria própria.

Portanto calculando numericamente:

= 15 ∫ ( 1 ) ≈0,133186

Escrevendo em termos de 0

=0,40 ≈0,133



1) Dada a equação 116 das Notas de Aula 3

+ 4 = 1314

Admitindo = =3²

= 3²

Substituindo na equação 116:

+ 4 ² 3² 1 = 1314

Rearranjando:

+ 43 = 1314

Observa-se que a equação 116 se tornou uma EDO de primeira ordem,

separando as variáveis: onde:

1 1314 1 =

34

Integrando em ambos os lados:

∫ 1 1314 1 = ∫ 34



ln 1314 1 = l n − +

Elevando ambos os termos em

− =

Observa-se também que continua constante, adotando

=

1314 1 = −

Isolando

= 1314 1 + ³

Substituindo de volta = ³

³ = 1314 1 + ³

Aplicando a condição de contorno para calcular o valor da constante , quando: = → = 0 pois = 0

0 = 1314 1 + ³

Isolando

= 1314 1 ³



Substituindo na equação principal

³ = 1314 1 + 1314 1 ³ ³

= 1314 1 1 ³

= 1314 1 1

Modificando algebricamente para a equação 118 das Notas de Aula 3:

= 11,025/ 1 /



2) Dada a equação diferencial de terceira ordem na forma

+ + 12 + [1 ] = 0

Com as condições de contorno necessárias

a) Condição de não-deslizamento na parede: y = 0, u = 0;

b) Condição de parede impermeável: y = 0, v = 0;

c) Na extremidade externa da camada limite

lim→ = l i m→

Para o caso de um escoamento normal sobre uma placa plana (m = 1), logo

+ + [1 ] = 0 Para resolver o problema numericamente, a EDO de 3ª ordem é calculada como um

sistema de EDO de 1ª ordem em que:

′ = 1; ′′ = 2; ′′′ = 2 [1 1] Com as devidas condições de contorno:

0 = 0 ; ′0 = 0 ; ′∞ = 1

Após a obtenção da função f, pode ser aplicada para o cálculo do campo de

temperaturas

Por transformação de similaridade:

( , )

( )W

T x y T

T x T

Dessa forma



1'' Pr ' Pr ' 0

2

m f f

Para m = 1 (escoamento normal) e 0 (placa isotérmica):

'' Pr ' 0 f

Com as seguintes condições de contorno:

(0) 1

( ) 0

Sabendo que a distribuição do coeficiente de atrito a partir da linha de estagnação é dado

por:

1/2, 0

2 '' Re f x xC f

E a distribuição do Número de Nusselt a partir da linha de estagnação é dado por:

1/2' 0 Re

x x Nu

A partir dos valores obtidos numericamente para

0 e

′

0

0 =1,2319 ′0 =0,5 Substituindo para o coeficiente de atrito e Número de Nusselt respectivamente:

, =2,4638−/ =0,5/

Plotando os gráficos:



Gráfico 3 – Distribuição do coeficiente de atrito a partir da linha de estagnação.

Gráfico 4 – Distribuição do Número de Nusselt a partir da linha de estagnação.



O bloco de código usando o algoritmo de Rung-Kutta é mostrado a seguir:

/***************************************************************************/

h = 0.001; nii = 0:h:10;

m = 1; n = 0; Pr = 0.72; f(1) = 0; d1(1) = 0; d2(1) = 1.231892; teta(1) = 1; t1(1) = -0.5;

for i=1:20000

k12(i) = ((-0.5-0.5*m)*(f(i)*d2(i))-m*(1-(d1(i)^2)));

k22(i) = ((-0.5-0.5*m)*((f(i)+0.5*h*k12(i))*(d2(i)+0.5*h*k12(i)))-m*(1-((d1(i)+0.5*h*k12(i))^2))); k32(i) = ((-0.5-0.5*m)*((f(i)+0.5*h*k22(i))*(d2(i)+0.5*h*k22(i)))-m*(1-

((d1(i)+0.5*h*k22(i))^2))); k42(i) = ((-0.5-0.5*m)*((f(i)+h*k32(i))*(d2(i)+h*k32(i)))-m*(1-

((d1(i)+h*k32(i))^2))); d2(i+1) = d2(i)+(h/6)*(k12(i)+2*k22(i)+2*k32(i)+k42(i));

k11(i) = d2(i); k21(i) = d2(i)+0.5*h*k11(i); k31(i) = d2(i)+0.5*h*k21(i); k41(i) = d2(i)+h*k31(i); d1(i+1) = d1(i)+(h/6)*(k11(i)+2*k21(i)+2*k31(i)+k41(i));

k1(i) = d1(i); k2(i) = d1(i)+0.5*h*k1(i); k3(i) = d1(i)+0.5*h*k2(i); k4(i) = d1(i)+h*k3(i); f(i+1) = f(i)+(h/6)*(k1(i)+2*k2(i)+2*k3(i)+k4(i));

g11(i) = (Pr*d1(i)*(teta(i))*n-(0.5+0.5*m)*Pr*f(i)*t1(i)); g21(i) = (Pr*d1(i)*(teta(i))*n-(0.5+0.5*m)*Pr*f(i)*t1(i))+0.5*h*g11(i); g31(i) = (Pr*d1(i)*(teta(i))*n-(0.5+0.5*m)*Pr*f(i)*t1(i))+0.5*h*g21(i); g41(i) = (Pr*d1(i)*(teta(i))*n-(0.5+0.5*m)*Pr*f(i)*t1(i))+h*g31(i); t1(i+1) = t1(i)+(h/6)*(g11(i)+2*g21(i)+2*g31(i)+g41(i));

g1(i) = t1(i); g2(i) = t1(i)+0.5*h*g1(i); g3(i) = t1(i)+0.5*h*g2(i); g4(i) = t1(i)+h*g3(i); teta(i+1) = teta(i)+(h/6)*(g1(i)+2*g2(i)+2*g3(i)+g4(i));

end

t1zero = t1(1); d2zero = d2(1);

/**************************************************************************************************/



REFERÊNCIAS

1. ALTEMANI, C. A. C. Notas de Aula 2. 2016

2. ALTEMANI, C. A. C. Notas de Aula 3. 2016

análise de nusselt em um escoamento normal à uma placa isotérmica

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