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Sistemas de Controle 1Cap2 - Modelagem no Domínio de Frequência

Pontifícia Universidade Católica de GoiásEscola de Engenharia

Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

Sistemas de Controle 1Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

2. Modelagem no Domínio de Frequência

2.1 Introdução

2.2 Revisão sobre Transformada de Laplace

2.3 Função de Transferência

2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos

2.5 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação

2.6 Funções de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação

2.7 Funções de Transferência de Sistemas com Engrenagens

2.8 Funções de Transferência de Sistema Eletromecânico

2.9 Circuitos Elétricos Análogos

2.10 Não-linearidades

2.11 Linearização

Estudos de Caso

Aula 3

3

• Funções de transferência de circuitos elétricos• Circuitos RLC• Circuitos com amplificadores operacionais

• Funções de transferência para circuitos mecânicos de translação

2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos

4

Aplicação da função de transferência em circuitos elétricos:- Passivos (resistores, indutores e capacitores)- Amplificadores operacionais

Leis de Kirchhoff- Tensão nas malhas- Corrente nos nós

2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos

5

Problema: Obter função de transferência relacionando a tensão Vc(s) no capacitor e a tensão V(s) de entrada

Temos aqui a corrente no circuito e a tensão na entrada

Temos aqui a carga no circuito e a tensão na entrada

Temos aqui a tensão no capacitor e a tensão na entrada

2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos

6

Circuitos Simples via Método das Malhas com transformada de Laplace

Indutor

Capacitor

Resistor

Problema: Obter função de transferência relacionando a tensão Vc(s) no capacitor e a tensão V(s) de entrada

- É possível escrever a equação do circuito direto no domínio da frequência.- Considerar diretamente as impedâncias, sem escrever a equação no domínio do tempo.

𝐶𝑠𝑉𝑐 𝑠

𝑉(𝑠)=

1

𝐿𝑠 + 𝑅 +1𝐶𝑠

𝑉𝑐 𝑠

𝑉(𝑠)=

1

𝐶𝐿𝑠2 + 𝐶𝑅𝑠 + 1

2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos

7

Circuitos Simples via Método do Nós

Impedâncias

Problema: Obter função de transferência relacionando a tensão Vc(s) no capacitor e a tensão V(s) de entrada

Soma das correntes que saem do nó:

𝑖1 + 𝑖2 = 0

𝑖1

𝑖2

2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos

8

Circuitos Simples via divisão de tensão

Impedâncias

Problema: Obter função de transferência relacionando a tensão Vc(s) no capacitor e a tensão V(s) de entrada

Divisão de tensão

𝑉𝑜𝑢𝑡

2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos

Circuitos Complexos via método das malhas

Malha 1:

Malha 2:

Malha 1: Malha 2:

Resolvendo pela Regra de Cramer:

Revisão da Regra de Cramer:

2.4 Funções de Transferência de Circuitos ElétricosCircuitos Complexos via método das malhas

Malha 1:

Malha 2:

Malha 1: Malha 2:

Resolvendo pela Regra de Cramer:

Sistema:

2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos

Circuitos Complexos via método das malhas

Malha 1: Malha 2:

Montagem do sistema por inspeção:

2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos

Circuitos Complexos via método dos Nós

𝐼1 𝐼3

𝐼2

𝐼 = 0

Nó 1 Nó 2

Nó 1:

Nó 2:

Re-organizando o sistema:

2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos

Circuitos Complexos via método dos Nós

Circuito equivalente de Norton e condutâncias

2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos

Circuitos Complexos via método dos Nós

Nó 1:

Nó 2:

Nó 1 Nó 2

Montagem do Sistema por inspeção:

2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos

Exemplo de montagem de sistema por inspeção – método das malhas:

17

a)

𝑉𝑜 − 𝑉𝑖1

+𝑉𝑜1+𝑉𝑜1𝑠

= 0

𝑉𝑜 − 𝑉𝑖 𝑠 + 𝑉𝑜𝑠 + 𝑉𝑜 = 0

𝑉𝑜 1 + 2𝑠 = 𝑉𝑖𝑠

𝑉𝑜𝑉𝑖=

𝑠

1 + 2𝑠

Corrente nos nós

Usando o divisor de tensãob)

𝑉𝑜 =𝑍2

𝑍1 + 𝑍2𝑉𝑖

𝑉𝑜 =𝐿𝑠

𝑅1 +1𝐶𝑠

+ 𝐿𝑠𝑉𝑖

𝑉𝑜𝑉𝑖=

𝑠2

𝑠2 + 𝑠 + 1

c) Usando o divisor de tensão

Solução

Equação das malhas:

Aplicando regra de cramer:

𝐺 𝑠 =3𝑠2

6𝑠3 + 5𝑠2 + 4𝑠 + 2

Solução

1

1 + 𝑠

1

𝑠+ 1 + 1 𝐼1

1

2 3−(1) 𝐼2 −(1) 𝐼3 = 0

+ 1 +1

1 + 𝑠𝐼2 −

1

1 + 𝑠𝐼3

= 𝑉𝑖− 1 𝐼1

− 1 𝐼1 −1

1 + 𝑠𝐼2 +

1

1 + 𝑠+ 1 +

1

𝑠𝐼3 = 0

𝑉0 =𝐼3𝑠

Solução

1

1 + 𝑠

1

2 3

Aplicando regra de cramer para I3:

𝑉0 =𝐼3𝑠

𝑉𝑜𝑉𝑖=

𝑠2 + 3𝑠 + 1

2𝑠2 + 7𝑠 + 2

1

𝑠+ 2 −1 0

−11

𝑠 + 1+ 1 𝑉𝑖

−1 −1

𝑠 + 10

1

𝑠+ 2 −1 −1

−11

𝑠 + 1+ 1 −

1

𝑠 + 1

−1 −1

𝑠 + 1

1

𝑠 + 1+ 1 +

1

𝑠

A=B=

𝐼3 =𝑉𝑖𝑠(𝑠

2 + 3𝑠 + 1)

2𝑠2 + 7𝑠 + 2

2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos

Amplificador operacional inversor Amplificador operacional não-inversor

𝐼𝑎 𝑠 = 0

𝐼1 𝑠 = −𝐼2 𝑠

𝑣1 𝑠 = 0

𝐼1 𝑠 =𝑉𝑖 𝑠

𝑍1(𝑠)

𝐼2 𝑠 = −𝑉0 𝑠

𝑍2(𝑠)

𝑉𝑜 𝑠

(curto circuito virtual)

(divisor de tensão)

2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos

Amplificador operacional inversor

Controlador PID (Proporcional, integral, derivativo)

2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos

Amplificador operacional não-inversor

𝑉𝑜 𝑠

𝑉𝑖(𝑠)=

𝑅1 +1𝐶1𝑠

+𝑅2

1𝐶2𝑠

𝑅2 +1𝐶2𝑠

𝑅1 +1𝐶1𝑠

2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos

2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos

1 2

3

𝑉𝐿

2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos

1 2

3

𝑉𝐿

2.5 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação

Análogo a resistência

Análogo ao Indutor

Análogo ao Capacitor

Armazena energia

Armazena energia

Dissipa energia (calor)

2.5 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação

Desenhar diagrama de corpo livre

• Colocar na massatodas as forçassentidas por ela.

Lei de Newton para somar e igualar a zero todas as forças:

Transformada de Laplace (condições iniciais nulas)

2.5 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação

• Um Sistema mecânico terá um número de equações igual ao número de movimentoslinearmente independentes.

Movimento linearmente independente = graus de liberdade- Ponto que pode permanecer em movimento enquanto todos os outros estão parados.

Resolução de sistemas mecânicos:

• Desenhamos o diagrama de corpo livre para cada um dos pontos• Para cada um dos diagramas de corpo livre, começamos fixando todos os outros pontos e

determinando as forças que atuam sobre o corpo, devidas somente ao próprio movimento. • Mantemos o corpo parado e ativamos, um a um, os outros pontos, colocando no corpo original as

forças criadas pelo movimento adjacente.

2.5 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação

• Dois graus de Liberdade• Duas equações de movimento

Diagrama de corpo livre de M1:

Fixando M2 e movendo M1 para direita vemos em M1:

Fixando M1 e movendo M2 para direita vemos em M1:

Portanto, as forças sobre M1 são:

Equacionamento para M1:

Mola K1

Atrito em M1

Força f(t)Massa de M1

Amortecedor fv3

Mola K2

Amortecedor fv3

Mola K2

2.5 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação

Diagrama de corpo livre de M2:

Fixando M1 e movendo M2 para direita vemosem M2:

Fixando M2 e movendo M1 para direita vemos em M2:

Portanto, as forças sobre M2 são:

Equacionamento para M2:

2.5 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação

Equacionamento para o sistema:

Resolvendo pela regra de Cramer temos:

A forma geral das equações é semelhante às equações elétricas de malha:

Equacionamento para o sistema:

Massa 1:

Massa 2:

2.5 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação

Equacionamento por inspeção:

2.5 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação

• Sistema com 3 graus de liberdade

• Cada uma das três massas pode se movimentar independentemente enquanto as outras permanecem paradas

Equacionamento por inspeção:

Equacionamento por inspeção:

2.5 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação

2.5 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação

Equações de movimento:

Aplicando a regra de crammer para X2: