prof. roberto cristóvão robertocristovao@gmail.com aula 13 teste da integral e estimativa de somas

Prof. Roberto Cristóvãorobertocristovao@gmail.comAula 13

Teste da Integral e Estimativa de Somas

Séries

Teorema. Se a série for convergente,

então lim 0.nna

1n

n

a

Séries

Prova: SejaEntão é ConvergenteNote que quandoassimPortanto,

na

Observação

A recíproca do Teorema não é verdadeira.Se não podemos concluir que

seja convergente.

Exemplo. A série harmônica

quando

Mas, sabemos que a série diverge.

Teste para Divergência

Se não existir ou se

Então a série é divergente.

Exemplo 8

Mostre que a série diverge.

Solução:

Assim, a série diverge pelo Teste para

Divergência.

Propriedades

Se e forem convergentes, entãotambém o serão as séries ( é cte.), e e

Exemplo 9

Calcule a soma da série

Exemplo 9

Solução:

Observação

Um número finito de termos não afeta a convergência ou divergência de uma série. Por exemplo: suponha que

é convergente. Como

Segue-se que a série inteira é convergente.

Observação

Similarmente, se soubermos que a série converge, então a série completa

também é convergente.

Integrais Impróprias

Definição(a) Se é contínua em

(b) Se é contínua em

[ , ),a

[ , ),b

Integrais Impróprias

(c) Se é contínua em

onde é qualquer número real.

Em todos os casos, se o limite é finito, dizemos que a integral imprópria converge e que o limite é o valor da integral imprópria. Se o limite não existe, dizemos que a integral imprópria diverge.

[ , ),

a

Exemplo 1

Determine se a integral converge ou diverge.

Solução:

Portanto, a integral diverge.

Exemplo 2

Para que valores de a integralé convergente? Solução:Sabemos do Exemplo 1 que se a

integral é divergente.

Desta forma, vamos supor Então,

Exemplo 2

Exemplo 2

Se então assim como e

Portanto,

se

e desta forma a integral converge.

Exemplo 2

Mas se então e assim quando

e a integral diverge. Resumindo, temos:

é convergente se e

divergente se

Teste da Integral

Começamos investigando as séries cujos termos são os recíprocos dos quadrados de inteiros positivos:

Não existe uma fórmula simples para a soma Sn dos n primeiros termos.

Teste da Integral

Teste da Integral

Se excluirmos o primeiro retângulo, a área total dos retângulos remanescentes será

menor que a área sob a curva y =

1/x2 para x ≥ 1, que é o valor da integral:

Teste da Integral

Então, as somas parciais são limitadas.

O Teste da Integral

Suponha que seja contínua, positiva e decrescente em e seja Então, a série é convergente

a integral imprópria é convergente. Em outras palavras:

(i)Se for convergente, então

é convergente.

O Teste da Integral

(ii) Se for divergente, então

é divergente.

Obs.: Quando você usar o teste da integral lembre-se que não é necessário começar a série ou a integral em Por exemplo, testando a série

usamos

Observação

Também não é necessário que seja sempre decrescente. O que é importante é que seja decrescente a partir de certo ponto, isto é, decrescente para maior que algum inteiro

Exemplo 3

Teste a série quanto à

convergência ou divergência.

Solução:

A função é contínua,positiva e decrescente em e assim

podemos usar o Teste da Integral:

Exemplo 3

Então, a integral é convergente e, dessa forma pelo Teste da integral, a série

é convergente.

Função arco tangente

Exemplo 4

Para que valores de a série éconvergente?Solução: Se então Se entãoEm qualquer dos dois casos, e, assim, a série dada diverge pelo Teste para Divergência.

Exemplo 4

Se então a função é claramente contínua, positiva e decrescente em

Já vimos que é convergente se

e divergente se

Exemplo 4

Segue do Teste da Integral que a série

converge se e diverge se

(Para esta é a série

harmônica). A série é chamada -série.

p-série

A -série é convergente se

e divergente se

Exemplo 5

(a)A série

é convergente porque ela é uma -série

com

Exemplo 6

(b) A série

é divergente porque ela é uma -série

com

Observação

Não devemos inferir a partir do Teste da Integral que a soma da série é igual ao valor da integral. De fato,

(matemático suíço Leonhard

Euler (1707-1783)),

enquanto que

Observação

Portanto, em geral,

Exemplo 7

Determine se a série converge ou diverge.Solução:A função é positiva e contínua

para porque a função logaritmo é contínua. Mas não é obvio se

é decrescente ou não; assim calculamos a sua derivada:

Exemplo 7

Então, quando isto é,

Segue que é decrescente quando

e podemos aplicar o Teste da Integral

Exemplo 7

Como essa integral imprópria é divergente, a série também é divergente pelo

Teste da Integral.

Estimativa do Resto para o Teste da Integral

Suponha que onde é uma função contínua, positiva, decrescente para e que é convergente. Se

o resto é dado por

então

Exemplo 8

(a)Aproxime a soma da série usando a soma dos dez primeiros termos. Estime o erro envolvido nessa aproximação.

(b)Quantos termos são necessários para garantir que a soma tenha precisão de 0,0005?

Solução

(a)

Solução

De acordo com a estimativa do resto, temos

Por conseguinte, o tamanho do erro é no

máximo

Solução

(b) A precisão de significa que temos de encontrar um valor de tal que

Como

queremos

Solução

Resolvendo essa desigualdade, obtemos ou

Precisamos de 32 termos para garantir

precisão de

Observação

Se somarmos em cada lado da desigualdade abaixo

obteremos

porque

( )I

Exemplo 9

Use a fórmula para estimar a soma

da série

Solução:Do exemplo 8, sabemos que

( )I

Exemplo 9

De modo que

Usando obteremos

Se aproximarmos pelo ponto médio do intervalo, então o erro é no máximo metade do comprimento do intervalo.

Exemplo 9

Dessa forma,

com erro

Exemplo 9

Se compararmos o Exemplo 8 com o Exemplo 9, veremos que a estimativa melhorada na fórmula pode ser muito melhor que a estimativa

Para fazer um erro menor que tivemos que usar 32 termos no Exemplo 8, mas apenas dez termos no Exemplo 9.

( )I