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Prof. Roberto Cristóvão [email protected] Aula 13 Teste da Integral e Estimativa de Somas

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Prof. Roberto Cristóvã[email protected] 13

Teste da Integral e Estimativa de Somas

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Séries

Teorema. Se a série for convergente,

então lim 0.nna

1n

n

a

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Séries

Prova: SejaEntão é ConvergenteNote que quandoassimPortanto,

na

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Observação

A recíproca do Teorema não é verdadeira.Se não podemos concluir que

seja convergente.

Exemplo. A série harmônica

quando

Mas, sabemos que a série diverge.

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Teste para Divergência

Se não existir ou se

Então a série é divergente.

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Exemplo 8

Mostre que a série diverge.

Solução:

Assim, a série diverge pelo Teste para

Divergência.

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Propriedades

Se e forem convergentes, entãotambém o serão as séries ( é cte.), e e

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Exemplo 9

Calcule a soma da série

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Exemplo 9

Solução:

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Observação

Um número finito de termos não afeta a convergência ou divergência de uma série. Por exemplo: suponha que

é convergente. Como

Segue-se que a série inteira é convergente.

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Observação

Similarmente, se soubermos que a série converge, então a série completa

também é convergente.

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Integrais Impróprias

Definição(a) Se é contínua em

(b) Se é contínua em

[ , ),a

[ , ),b

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Integrais Impróprias

(c) Se é contínua em

onde é qualquer número real.

Em todos os casos, se o limite é finito, dizemos que a integral imprópria converge e que o limite é o valor da integral imprópria. Se o limite não existe, dizemos que a integral imprópria diverge.

[ , ),

a

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Exemplo 1

Determine se a integral converge ou diverge.

Solução:

Portanto, a integral diverge.

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Exemplo 2

Para que valores de a integralé convergente? Solução:Sabemos do Exemplo 1 que se a

integral é divergente.

Desta forma, vamos supor Então,

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Exemplo 2

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Exemplo 2

Se então assim como e

Portanto,

se

e desta forma a integral converge.

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Exemplo 2

Mas se então e assim quando

e a integral diverge. Resumindo, temos:

é convergente se e

divergente se

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Teste da Integral

Começamos investigando as séries cujos termos são os recíprocos dos quadrados de inteiros positivos:

Não existe uma fórmula simples para a soma Sn dos n primeiros termos.

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Teste da Integral

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Teste da Integral

Se excluirmos o primeiro retângulo, a área total dos retângulos remanescentes será

menor que a área sob a curva y =

1/x2 para x ≥ 1, que é o valor da integral:

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Teste da Integral

Então, as somas parciais são limitadas.

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O Teste da Integral

Suponha que seja contínua, positiva e decrescente em e seja Então, a série é convergente

a integral imprópria é convergente. Em outras palavras:

(i)Se for convergente, então

é convergente.

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O Teste da Integral

(ii) Se for divergente, então

é divergente.

Obs.: Quando você usar o teste da integral lembre-se que não é necessário começar a série ou a integral em Por exemplo, testando a série

usamos

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Observação

Também não é necessário que seja sempre decrescente. O que é importante é que seja decrescente a partir de certo ponto, isto é, decrescente para maior que algum inteiro

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Exemplo 3

Teste a série quanto à

convergência ou divergência.

Solução:

A função é contínua,positiva e decrescente em e assim

podemos usar o Teste da Integral:

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Exemplo 3

Então, a integral é convergente e, dessa forma pelo Teste da integral, a série

é convergente.

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Função arco tangente

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Exemplo 4

Para que valores de a série éconvergente?Solução: Se então Se entãoEm qualquer dos dois casos, e, assim, a série dada diverge pelo Teste para Divergência.

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Exemplo 4

Se então a função é claramente contínua, positiva e decrescente em

Já vimos que é convergente se

e divergente se

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Exemplo 4

Segue do Teste da Integral que a série

converge se e diverge se

(Para esta é a série

harmônica). A série é chamada -série.

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p-série

A -série é convergente se

e divergente se

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Exemplo 5

(a)A série

é convergente porque ela é uma -série

com

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Exemplo 6

(b) A série

é divergente porque ela é uma -série

com

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Observação

Não devemos inferir a partir do Teste da Integral que a soma da série é igual ao valor da integral. De fato,

(matemático suíço Leonhard

Euler (1707-1783)),

enquanto que

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Observação

Portanto, em geral,

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Exemplo 7

Determine se a série converge ou diverge.Solução:A função é positiva e contínua

para porque a função logaritmo é contínua. Mas não é obvio se

é decrescente ou não; assim calculamos a sua derivada:

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Exemplo 7

Então, quando isto é,

Segue que é decrescente quando

e podemos aplicar o Teste da Integral

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Exemplo 7

Como essa integral imprópria é divergente, a série também é divergente pelo

Teste da Integral.

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Estimativa do Resto para o Teste da Integral

Suponha que onde é uma função contínua, positiva, decrescente para e que é convergente. Se

o resto é dado por

então

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Exemplo 8

(a)Aproxime a soma da série usando a soma dos dez primeiros termos. Estime o erro envolvido nessa aproximação.

(b)Quantos termos são necessários para garantir que a soma tenha precisão de 0,0005?

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Solução

(a)

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Solução

De acordo com a estimativa do resto, temos

Por conseguinte, o tamanho do erro é no

máximo

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Solução

(b) A precisão de significa que temos de encontrar um valor de tal que

Como

queremos

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Solução

Resolvendo essa desigualdade, obtemos ou

Precisamos de 32 termos para garantir

precisão de

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Observação

Se somarmos em cada lado da desigualdade abaixo

obteremos

porque

( )I

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Exemplo 9

Use a fórmula para estimar a soma

da série

Solução:Do exemplo 8, sabemos que

( )I

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Exemplo 9

De modo que

Usando obteremos

Se aproximarmos pelo ponto médio do intervalo, então o erro é no máximo metade do comprimento do intervalo.

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Exemplo 9

Dessa forma,

com erro

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Exemplo 9

Se compararmos o Exemplo 8 com o Exemplo 9, veremos que a estimativa melhorada na fórmula pode ser muito melhor que a estimativa

Para fazer um erro menor que tivemos que usar 32 termos no Exemplo 8, mas apenas dez termos no Exemplo 9.

( )I

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