prof. roberto cristóvão [email protected] aula 16 convergência absoluta, testes da...
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Convergência Absoluta
Dada qualquer série , podemos considerar a série correspondente
cujos termos são os valores absolutos dos termos da série original.
Definição
Uma série é dita absolutamente convergente se a série de valores absolutos for convergente.
Obs.: Se for uma série com termos positivos, então e assim a convergência absoluta é a mesma coisa que a convergência nesse caso.
Exemplo 1
A série
é absolutamente convergente porque
é uma p-série convergente (p=2).
Exemplo 2
Sabemos que a série harmônica alternada
é convergente mas não é absolutamente convergente, porque a série de valores absolutos correspondente é
Exemplo 2
que é a série harmônica (p-série com p=1). e é portanto, divergente.
Definição
Uma série é chamada condicionalmente convergente se ela for convergente, mas não for absolutamente convergente.
O Exemplo 2 mostra que a série harmônica alternada é condicionalmente convergente.
Teorema
Se uma série for absolutamente
convergente, então ela é convergente.
Exemplo 3
Determine se a série
é convergente ou divergente.
Solução:Podemos aplicar o Teste da Comparação à série de valores absolutos
Teste de Comparação no Limite
Exemplo 3
Como temos
Sabemos que é convergente (p-série com p=2) e, assim, é convergente. Então a série dada é convergente.
,n
O Teste da Razão
(i) Se então a série é absolutamente convergente (e portanto convergente .(ii) Se ou então a série é divergente.(iii) Se o Teste da Razão não é conclusivo; isto é, nenhuma conclusão pode ser tirada sobre a convergência ou divergência de
Exemplo 4
Teste a série quanto a
convergência absoluta. Solução:
Usamos o Teste da Razão com
Exemplo 4
Então, pelo Teste da Razão, a série dada é absolutamente convergente e, portanto, convergente.
Exemplo 5
Teste a convergência da série
Solução:
Como os termos são positivos, não precisamos dos símbolos de valor absoluto.
Exemplo 5
quando
Com a série dada é divergente pelo Teste da Razão.
Observação
Embora o Teste da Razão funcione no Exemplo 5, um método mais simples é usar o Teste para Divergência.
Segue que não tende a 0 quando
Portanto a série dada é divergente.
Observação
O teste a seguir é conveniente para ser
aplicado quando ocorrem potências de .
O Teste da Raiz
(i) Se então a sérieé absolutamente convergente (e portanto convergente).(ii) Se ou
então é divergente. (iii)Se o Teste da Raiz não é conclusivo.
Observação
Se então a parte (iii) do
teste da Raiz não dá informação. A série
pode convergir ou divergir.
Se no Teste da Razão, não tente o
teste da Raiz, porque será novamente 1.
Exemplo
Teste a convergência da sérieSolução:
Então, a série dada converge pelo Teste da Raiz.
