Prof. Roberto Cristóvãorobertocristovao@gmail.comAula 12

Séries

Séries

Se tentarmos somar os termos de uma sequência infinita obteremos uma expressão da forma

que é denominado uma série infinita (ou apenas série) e é denotada, por simplicidade pelo símbolo

1 2 3 4 na a a a a

1{ } ,n na

1

oun nn

a a

Séries

Mas faz sentido falar sobre a soma de uma

quantidade infinita de termos?

Séries

Seria impossível encontrar uma soma finita para a série

porque, se começarmos adicionando os termos, obteremos as somas cumulativas

e depois do -ésimotermo, que se torna muito

grande à medida que aumenta.

1 2 3 4 5 n

1, 3, 6, 10, 15, 21, ... n( 1) / 2,n n

n

Séries

Contudo, se começarmos a somar os termos da série

obteremos

1 1 1 1 1 1 1

2 4 8 16 32 64 2n

1 3 7 15 31 63 1, , , , , , ,1 ,

2 4 8 16 32 64 2n

Séries

Podemos observar que quando adicionamos mais e mais termos, essas somas parciais se tornam cada vez mais próximas de 1.

Dessa forma, parece razoável dizer que a soma dessa séria infinita é 1 e escrever

1

1 1 1 1 1 11

2 2 4 8 16 2n nn

Séries

Dada uma série usamos uma idéia

parecida para determinar se ela tem uma

soma ou não.

na

Somas Parciais

1 1

2 1 2

3 1 2 3

1 2 31

e, em geral, n

n n ii

s a

s a a

s a a a

s a a a a a

Somas Parciais

Essas somas parciais formam uma nova sequência que pode ou não ter limite.

Se existir o chamaremos

de soma da série infinita

,ns

lim nns s

.na

Série Convergente

Definição: Dada uma série

Seja sua -ésima soma parcial:

Se for convergente eentão a série é dita convergente e

caso contrário, a série é divergente.

n

Exemplo 1

Série geométrica

Se então

Como não existe, a série

geométrica diverge nesse caso.

Série geométrica

Se temos

subtraindo essas equações, obtemos

Série geométrica

Se então quando então

Então, quando a série geométrica

converge, e sua soma é

Série geométrica

Se ou a sequência

é divergente, assim não existe.

Portanto, a série geométrica diverge

naqueles casos.

Prova Geométrica

Por semelhança de triângulos temos

Resumindo

A série geométrica

é convergente se e sua soma é

Se a série geométrica divergente.

Exemplo 01

Encontre a soma da série geométrica

Solução:

Graficamente

Exemplo 02

A série converge ou diverge?

Solução:

Diverge !

Exemplo 3

Escreva o número como fração de inteiros.

Solução:

Exemplo 4

Encontre a soma da série ondeSolução:

Exemplo 5

Mostre que a série é convergente e encontre sua soma.Solução:

Exemplo 5

Exemplo 6

Mostre que a série harmónica

diverge.

Solução

a série harmônica diverge!