Prof. Roberto Cristóvãorobertocristovao@gmail.comAula 15

Séries Alternadas

Séries Alternadas

Uma série alternada é aquela cujos termos são alternadamente positivos e negativos.Exemplos:

Observação

Vemos desses exemplos que o n-ésimo termo de uma série alternada é da forma

ou

onde o número é um número positivo.

(De fato, )

O Teste da Série Alternada

Se a série alternada

Satisfizer para todo

então, a série é convergente.

Exemplo 1

A série harmônica alternada

Satisfaz porque

Logo a série é convergente pelo Teste da Série Alternada.

Exemplo 2

A série é alternada mas,

Assim a condição (ii) não é satisfeita. Em vez disto, olhamos para o limite do n-ésimotermo da série:

Exemplo 2

O limite não existe, de modo que a série diverge pelo Teste para Divergência.

Exemplo 3

Teste a série

quanto a divergência ou divergência.Solução: Não é óbvio que a sequência dada por é decrescente. Contudo, consideremos a função associada

Exemplo 3

Como estamos apenas considerando positivo, vemos que seisto é, Então é decrescente no intervalo Isto significa que e portanto quando

Exemplo 3

Então, a série dada é convergente pelo Teste da Série Alternada.

Teste de Estimativa de Séries Alternadas

Se for a soma de uma série alternada que satisfaz

então,

Exemplo 4

Encontre a soma da série com precisão de três casas decimais.Solução:

então

quando

Exemplo 4

Logo a série é convergente pelo Teste da Série Alternada. Agora note que

Observe ainda que

Exemplo 4

E pelo Teorema da Estimativa da Série Alternada, sabemos que

Esse erro menor que não afeta a terceira casa decimal. Assim temoscom precisão de três casas decimais.