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Método de Newton
Cálculo Numérico
Prof. Wellington D. Previero
previero@utfpr.edu.br
www.pessoal.utfpr.edu.br/previero
Aula de Cálculo Numérico de Wellington D. Previero foi licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição - NãoComercial - CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada.
Método de NewtonMétodo de NewtonDado o ponto (x0, f(x0)) traçamos a reta L0(x) tangente a curva nesse ponto.
x0
y = L0(x)
Obtenha a equação da reta y=L0(x)
))((')(
)()(
000
00
xxxfxfy
xxmxfy
2
Método de NewtonMétodo de NewtonA aproximação x1 da raiz da equação f(x) = 0 é o ponto onde a reta L0(x) intersepta o eixo x.
x0
y = L0(x)
Obtenha o ponto x1x1
3
Método de NewtonMétodo de Newton.
)('
)(
)('
)(
)('
)(
)())(('0))((')(
0)(?
0
001
0
00
0
00
000000
01
xf
xfxx
xf
xfxx
xf
xfxx
xfxxxfxxxfxf
xLx
4
Método de NewtonMétodo de NewtonDeterminamos a reta L1(x) tangente ao gráfico de f(x) no ponto (x1, f(x1))
))((')()( 1111 xxxfxfxL
x1
y = L1(x)
5
Método de NewtonMétodo de NewtonDe forma análoga, a aproximação x2 é o ponto onde a reta
L1(x) intersepta o eixo x.
x1x2
y = L1(x)
6
Método de NewtonMétodo de Newton.
)('
)(
)('
)(
)('
)(0))((')(
0)(?
1
112
1
11
1
11111
12
xf
xfxx
xf
xfxx
xf
xfxxxxxfxf
xLx
7
Método de NewtonMétodo de NewtonAssim temos:
)('
)(1
n
nnn xf
xfxx
8
Método de NewtonMétodo de NewtonExercício: Seja f(x)=x2+x-6. Determine uma aproximação para a raiz de f considerando x0=1,5. Considere o critério de parada | f(xk) | < 10-4.
n= 0, x[1] = 2.062500, |f(x[1])| = 0.316406
n= 1, x[2] = 2.000762, |f(x[2])| = 0.003812
n= 2, x[3] = 2.000000, |f(x[3])| = 0.000001
9
Método de NewtonMétodo de Newton
10
Método de NewtonMétodo de Newton
Observe que se considerarmos
)('
)()(
xf
xfxxg
temos que
0)(
0)('
)(
)('
)()(
xf
xf
xf
xxf
xfxxxg
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Método de NewtonMétodo de Newton
Logo, a função
)('
)()(
xf
xfxxg
é uma função iteração do Método de Ponto Fixo.
Assim, a convergência do Método de Newton estará garantida desde que satisfaça o critério de convergência do Método do Ponto Fixo.
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Método de NewtonMétodo de NewtonObservações
a) Rápida convergência;
b) Necessidade do cálculo de f ’(x);
c) Cálculo do valor numérico de xk em f ’(x) e f(x) em cada iteração.
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