geometria espacial

ANTONIO CARLOS CARNEIRO BARROSO

TODOS OS DIREITOS

RESERVADOS

AO PRODUTOR

Antonio Carlos Carneiro Barroso

INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE PRISMA

DADO UM POLÍGONO SITUADO EM UM PLANO, É CHAMADO PRISMA O SÓLIDO FORMADO PELA PROJEÇÃO DESTE POLÍGONO EM OUTRO PLANO PARALELO, COM A UNIÃO DE TODOS OS PONTOS

ELEMENTOS DO PRISMA

CLASSIFICAÇÃO DE UM PRISMA : PRISMA RETO

ARESTAS LATERAIS PERPENDICULARES À BASE

PRISMA REGULARÉ UM PRISMA RETO E

OS POLÍGONOS DAS BASES SÃO POLÍGONOS REGULARES

EX: CUBO

ÁREA DE UM PRISMAA ÁREA DE UM PRISMA

É DADA PELO DOBRO DA ÁREA DA BASE SOMADA À SOMA DAS ÁREAS DAS FACES LATERAIS

VOLUME DE UM PRISMAO VOLUME DE UM

PRISMA É DADO PELA ÁREA DA BASE MULTIPLICADO PELA ALTURA

PRISMA OBLÍQUOAS ARESTAS LATERAIS

NÃO SÃO PERPENDICULARES À BASE

DIAGONAL DO ORTOEDRO

222 BCd +=

222 AdD +=

222 CBAD ++=

DIAGONAL DO CUBO

3Ad =

3

)2( 222

AD

AAD

=

+=

PIRÂMIDEDEFINE-SE PIRÂMIDE

COMO A UNIÃO DE TRÊS OU MAIS PONTOS CONTIDOS EM UM PLANO COM UM PONTO EXTERIOR A ESSE PLANO

ELEMENTOS DA PIRÂMIDE

NOMECLATURA

hexagonalHexágono

PentagonalPentágono

QuadrangularQuadrado

TriangularTriângulo

NOMEBASE

PIRÂMIDE REGULARÉ UMA PIRÂMIDE CUJA

PROJEÇÃO DO VÉRTICE SOBRE A BASE COINCIDE COM O SEU CENTRO E QUE A BASE É UM POLÍGONO REGULAR.

APÓTEMA DE UMA PIRÂMIDE REGULAR

O APÓTEMA DA BASE É O APÓTEMA DO POLÍGONO REGULAR DA BASE

O APÓTEMA DA PIRÂMIDE É A ALTURA DO TRIÂNGULO ISÓCELES FORMADO NA FACE LATERAL.

ÁREA DE UMA PIRÂMIDE5

A ÁREA TOTAL DE UMA PIRÂMIDE É DADA PELA SOMA DAS ÁREAS DAS FACES LATERAIS COM A ÁREA DA BASE.

VOLUME DE UMA PIRÂMIDE

O VOLUME DE UMA PIRÂMIDE É DADO PELA ÁREA DA BASE MULTIPLICADO PELA ALTURA E DIVIDIDO POR 3

SECÇÃO TRANSVERSAL

TRONCO DE PIRÂMIDE

VOLUME DO TRONCO

)..(.3

1bbBBHV ++=

MENOR BASEDA ÁREA b

MAIOR BASEDA ÁREA B

==

TETRAEDRO

TRIANGULAR PIRÂMIDE UM

IA CONSEQUÊNC POR SENDO

LATERAIS FACES QUATRO

POSSUI QUE SÓLIDO UMÉ

TETRAEDRO REGULAR

SEQUILÁTERO TRIÂNGULOS

POR

FORMADO TETRAEDRO UMÉ

ALTURA DO TETRAEDRO REGULAR

3

6LH =

ÁREA DO TETRAEDRO REGULAR

3A

:4 POR 4

3

2T

2

L

SENDOMULTIPLICA

L

TRIÂNGULO

CADADEÁREA

=

−

=

CILINDRO DADOS DOIS PLANOS E

DUAS CIRCUNFERÊNCIAS IDÊNTICAS CONTIDA NELES, CHAMA-SE CILINDRO A UNIÃO DE TODOS OS PONTOS PERTENCENTES ÀS CIRCUNFERÊNCIAS.

É NA REALIDADE PRISMA COM BASE CIRCULAR

ELEMENTOS DO CILINDRO

CILIN DRO CIRCULAR RETO

BASE À

LARPERPENDICU

É EIXO O QUE EM CILINDRO O É

CILINDRO EQUILÁTERO

BASES DAS

DIÂMETRO AO IGUAIS

SÃO GERATRIZES AS

QUE EM CILINDRO O É

VOLUME DE UM CILINDRO

H.R V 2π=

ÁREA DE UM CILINDRO

)(2

.2

2

22

HRRA

HRA

RA

AAA

T

L

B

LBT

+===

+=

πππ

CONEDENOMINA-SE CONE

CIRCULAR A UNIÃO DE TODOS OS SEGMENTOS QUE UNEM UMA CIRCUNFERÊNCIA CONTIDA EM UM PLANO E UM PONTO NÃO PERTENCENTE A ESSE PLANO.

ELEMENTOS DO CONE

CONE CIRCULAR RETO

BASE À LARPERPENDICU É

EIXO O QUE EM CONE O É

CONE EQUILÁTERO

BASEDA DIÂMETRO AO

SCONGRUENTE

É GERATRIZ

A QUE EM CONE O É

VOLUME DO CONE

HR ..3

1 V 2π=

ÁREA DO CONE

ÁREA DO CONE

)(

2

.2

2

.

2.

GRR

RGRA

RG

GRA

RA

T

CIRCSET

CIRC

+==+=

=

==

=

πππ

π

ππ

TRONCO DE CONE

)..(..3

1 22

2.

2.

rrRRHA

rA

RA

TRONCO

MENORC

GRANDEC

++=

=

=

π

ππ

ESFERAÉ A UNIÃO DE TODOS

OS PONTOS DO ESPAÇO EM QUE A DISTÂNCIA AO CENTRO DADO É A MESMA .

ÁREA DA ESFERAEXPERIMENTALMENTE,

PODE-SE CONSTATAR QUE UMA ESFERA TEM O EXATO PESO DE QUATRO CÍRCULOS CUJO RAIO É O MESMO QUE GEROU A ESFERA. SENDO DO MESMO MATERIAL.

24 RAESFERA π=

VOLUME DA ESFERA

3

4 3RVOLUME

π=

POLIEDROSÉ UM SÓLIDO LIMITADO

POR POLÍGONOS, QUE TEM, DOIS A DOIS, UM LADO COMUM

POLIEDROS REGULARES

UM POLIEDRO É REGULAR QUANDO TODOS OS SEUS LADOS SÃO CONGRUENTES E TODOS OS SEUS ÂNGULOS SÃO CONGRUENTES.

TEOREMA DE EULLER

V : VÉRTICESA: ARESTASF: FACES LATERAIS.2=+− FAV

OCTAEDRO

CUBO

6

12

8

===

FACES

ARESTAS

VÉRTICES

:EULLER DETEPREMA DO ATRAVÉS

22

2614-8

==+

POLIEDROS DE PLATÃOUM POLIEDRO DE

PLATÃO DEVE TER:TODAS AS FACES COM

O MESMO NÚMERO DE ARESTAS

DOS VÉRTICES PARTA O MESMO NÚMERO DE ARESTAS.

ICOSAEDRO

SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES DE UM POLIEDRO

CONVEXO

º360).2( −= VS