cdi i - aula 13 - integrais impróprias
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
AULA 13INTEGRAIS
IMPRÓPRIAS
AULA 13INTEGRAIS
IMPRÓPRIAS
INTEGRAIS IMPRÓPRIASINTEGRAIS IMPRÓPRIAS
A definição usual de integral definida de (x) no intervalo [a,b] é denotada por:
b
adx)x(f
Supõe-se que [a,b] é um intervalo finito e que é uma função integrável em [a,b] (isto é, é contínua ou pelo menos é limitada, tendo um número finito de descontinuidades no intervalo considerado).
INTEGRAIS IMPRÓPRIASINTEGRAIS IMPRÓPRIAS
Uma integral definida é dita imprópria quando o intervalo de integração é infinito ou quando a função tem uma descontinuidade infinita em [a,b].
EXEMPLOS:
0dxe x
1
0 2
1dx
xIntervalo de Integração Infinito Função Descontínua em x = 0
INTEGRAIS IMPRÓPRIASINTEGRAIS IMPRÓPRIAS
As integrais impróprias são de grande utilidade em diversos ramos da Matemática, como por exemplo, na solução de equações diferenciais ordinárias via transformadas de Laplace e, na Estatística, no estudo das probabilidades.
INTEGRAIS IMPRÓPRIASINTEGRAIS IMPRÓPRIAS
0
dt)t(fe)s(F)t(f stL
1
dx)x(f
b
adx)x(f)bxa(P
Transformada de Laplace
Normalização da Função Densidade de Probabilidadede uma Distribuição Contínua.
Probabilidade de um evento ocorrer: a e/ou b podem ser iguais à .
dx)x(fx)x(E Valor esperado do número x
INTEGRAIS IMPRÓPRIASINTEGRAIS IMPRÓPRIAS
PROBLEMA: Calcular a área da região R determinada pelo gráfico de
112
xx
)x(f
e o eixo dos x.
INTEGRAIS IMPRÓPRIASINTEGRAIS IMPRÓPRIAS
Note que a região é ilimitada e não é claro o significado de "área"de uma tal região:
R
INTEGRAIS IMPRÓPRIASINTEGRAIS IMPRÓPRIAS
Considere agora:
A área desta região será:
bdx
x
b 11
11 2
bR
INTEGRAIS IMPRÓPRIASINTEGRAIS IMPRÓPRIAS
É intuitivo que, para valores de b muito grandes, a região limitada Rb é uma boa aproximação da região ilimitada R. Isto nos induz a escrever:
)R(Alim)R(A bb
Quando o limite existir.
.a.u1
INTEGRAIS IMPRÓPRIASINTEGRAIS IMPRÓPRIAS
Reescrevendo:
b
bb
bdx
xlim)R(Alim)R(A
1 2
1
blimb
11
Sendo: 01
INTEGRAIS IMPRÓPRIASINTEGRAIS IMPRÓPRIAS
É comum denotar A(R) por:
1 2
1dx
x)R(A
Esta integral é um exemplo de Integral Imprópria com limite de integração infinito.
INTEGRAIS IMPRÓPRIASINTEGRAIS IMPRÓPRIAS
DEFINIÇÃO: Se é uma função integrável em [a,+), então:
b
abadx)x(flimdx)x(f
Se é uma função integrável em (-, b], então:
b
aa
bdx)x(flimdx)x(f
INTEGRAIS IMPRÓPRIASINTEGRAIS IMPRÓPRIAS
Se é uma função integrável em (-,+), então:
b
baadx)x(flimdx)x(flimdx)x(f
0
0
INTEGRAIS IMPRÓPRIASINTEGRAIS IMPRÓPRIAS
Se o resultado do limite é um número real diz-se que a integral imprópria converge.
Se o limite não existe ou é infinito, diz-se que a integral imprópria diverge.
REGRA DE L’OPITALREGRA DE L’OPITAL
No estudo inicial sobre limites, para calcular limites como
x
xsenlime
x
xlim
xx 0
2
3 3
9
era necessário usar métodos algébricos geométricos (ou trigonométricos).
REGRA DE L’OPITALREGRA DE L’OPITAL
Estabeleceremos uma outra técnica para calcular esses limites, a qual utiliza derivadas.
Esta técnica é utilizada para resolver as formas indeterminadas:
)x(g
)x(flimou
)x(g
)x(flim
axax 0
0
REGRA DE L’OPITALREGRA DE L’OPITAL
REGRA DE L’OPITAL:
)x(g
)x(flim
)x(g
)x(flim
axax
Até que a indeterminaçãodesapareça!
OBSERVAÇÃO: Não é a derivada do quociente, mas a derivada da função de cima sobre a derivada da função de baixo.
REGRA DE L’OPITALREGRA DE L’OPITAL
EXEMPLOS: Calcule os limites abaixo:
3
2
0
0
2
2
3
21
1
127
96
x
elim)d(
xcos
xlim)c(
xln
eelim)b(
xx
xxlim)a(
x
x
x
xx
x
x
0
2
½
INTEGRAIS IMPRÓPRIASINTEGRAIS IMPRÓPRIAS
EXEMPLO (1): Determine os resultados das seguintes integrais impróprias:
0
3
1
1 3
12
1
1
1
dxx
)c(
dxx
)b(
dxx
)a(
0
22
0
3
dxe)f(
dxx
x)e(
dxxcos)d(
x
1/2
-1/4
NE
0
1
INTEGRAIS IMPRÓPRIASINTEGRAIS IMPRÓPRIAS
EXEMPLO (2): Numa fábrica de circuitos impressos, a vida útil desses circuitos tem uma distribuição descrita pela densidade de probabilidade (x) = 0.002 e−0.002x , se x ≥ 0, onde x é medido em horas.
(a) Qual é a probabilidade dos circuitos funcionarem em menos de 600 horas?
(b) Qual é a probabilidade dos circuitos continuarem funcionando após 600 horas?
b
adx)x(f)bxa(P
INTEGRAIS IMPRÓPRIASINTEGRAIS IMPRÓPRIAS
EXEMPLO (3): Calcule a transformada de Laplace da função (x) = et.
0
dt)t(fe)s(F)t(f stL
REFERÊNCIA (1)REFERÊNCIA (1)
CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA
CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA
SWOKOWSKI, E. W. 2.ed. São Paulo: Makron Books, 1995. v1.
SWOKOWSKI, E. W. 2.ed. São Paulo: Makron Books, 1995. v1.
REFERÊNCIA (2)REFERÊNCIA (2)
CÁLCULOCÁLCULO
STEWART, J. São Paulo: Pioneira, Thomson Learning, 2005. v1
STEWART, J. São Paulo: Pioneira, Thomson Learning, 2005. v1
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