aula 1 - rac. lÓgico
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PROAB 2010
AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
ANÁLISE COMBINATÓRIA É UM CONJUNTO DE PROCEDIMENTOS QUE POSSIBILITA A CONSTRUÇÃO DE GRUPOS DE DIFERENTES FORMATOS POR UM NÚMERO FINITO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO, SOB CERTAS
CIRCUNSTÂNCIAS.
PROAB 2010
AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
ARRANJOS, PERMUTAÇÕES OU COMBINAÇÕES, SÃO OS TRÊS TIPOS PRINCIPAIS DE AGRUPAMENTOS.
PROAB 2010
AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
OBSERVAÇÃO
É COMUM ENCONTRARMOS NA LITERATURA, TERMOS COMO: ARRANJAR, COMBINAR OU
PERMUTAR, MAS TODO O CUIDADO É POUCO COM OS MESMOS, QUE ÀS VEZES SÃO UTILIZADOS
EM CONCURSOS DE UMA FORMA DÚBIA.
PROAB 2010
AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
ARRANJOS
SÃO AGRUPAMENTOS FORMADOS COM p ELEMENTOS, (p<m) DE FORMA QUE OS p ELEMENTOS SEJAM
DISTINTOS ENTRE SÍ PELA ORDEM OU PELA ESPÉCIE.
PROAB 2010
AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
ARRANJOS PODEM SER CLASSIFICADOS COMO:
• SIMPLES• COM REPETIÇÃO• CONDICIONAL
PROAB 2010
AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
ARRANJO SIMPLES
É O TIPO DE ARRANJO SEM REPETIÇÃO EM QUE UM GRUPO É DIFERENTE DE OUTRO PELA ORDEM OU
PELA NATUREZA DOS SEUS ELEMENTOS.
PROAB 2010
AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
FÓRMULA
ESTA FÓRMULA MOSTRA QUE OS ARRANJOS DOSn ELEMENTOS TOMADOS DE p A p, PODENDO SER
ESCRITO UTILIZANDO-SE FATORIAL.
PROAB 2010
AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
SEJA C = {A,B,C,D}, FORMAR ARRANJOS SIMPLES DESSES 4 ELEMENTOS, TOMADOS DE 2 A 2, FORMANDO GRUPOS
QUE NÃO POSSAM TER A REPETIÇÃO DE QUALQUER ELEMENTO MAS QUE POSSAM APARECER NA ORDEM
TROCADA.
PROAB 2010
AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SOLUÇÃO DO EXEMPLO:
A (4,2) = 4! / (4 – 2)!
A (4,2) = 4! / 2!
A (4,2) = 24 / 2
A (4,2) = 12
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
CONJUNTO FORMADO PARA O EXEMPLO:
A (4,2) = {AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
ARRANJO COM REPETIÇÃO
É O TIPO DE ARRANJO AONDE TODOS OS ELEMENTOSPODEM APARECER REPETIDOS EM CADA GRUPO DE
p ELEMENTOS.
PROAB 2010
AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
SEJA C = {A,B,C,D}, FORMAR ARRANJOS COM REPETIÇÃO DESSES 4 ELEMENTOS, TOMADOS DE 2 A 2, FORMANDO
GRUPOS ONDE POSSAM APARECER ELEMENTOS REPETIDOS EM CADA GRUPO.
PROAB 2010
AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
CONJUNTO FORMADO PARA O EXEMPLO:
A (4,2) = {AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
PROAB 2010
AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
ARRANJO CONDICIONAL
É O TIPO DE ARRANJO AONDE TODOS OS ELEMENTOSAPARECEM EM CADA GRUPO DE p ELEMENTOS, MAS EXISTE UMA CONDIÇÃO QUE DEVE SER SATISFEITA
ACERCA DE ALGUNS ELEMENTOS.
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
QUANTOS ARRANJOS COM 4 ELEMENTOS DO CONJUNTO {A,B,C,D,E,F,G}, COMEÇAM COM DUAS LETRAS
ESCOLHIDAS NO SUBCONJUNTO {A,B,C}?
AQUI TEMOS UM TOTAL DE n = 7 LETRAS, PARA FORMAR ARRANJOS DE p = 4 LETRAS, COM UM SUBCONJUNTO
ESCOLHIDO DE n1 = 3 ELEMENTOS PARA FORMAR ARRANJODO SUBCONJUNTO DE p1 = 2.
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
COM AS LETRAS A,B e C, TOMADAS DE 2 A 2, POSSUÍMOS6 GRUPOS DE ARRANJOS.
A (3,2) = 3! / (3 – 2)!
A (3,2) = 6 / 1 = 6
FORMANDO OS GRUPOS
A = {AB,AC,BA,BC,CA,CB}
PROAB 2010
AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
COM AS LETRAS D,E,F e G, TOMADAS DE 2 A 2, POSSUÍMOS12 GRUPOS DE ARRANJOS.
A (4,2) = 4! / (4 – 2)!
A (3,2) = 24 / 2 = 12
FORMANDO OS GRUPOS
A = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF}
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SOLUÇÃO DO EXEMPLO:
N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
USANDO A REGRA DO PRODUTO, TEREMOS 72 POSSIBILIDADES OBTIDAS PELA JUNÇÃO DE UM
ELEMENTO DO CONJUNTO PABC COM UM ELEMENTODO CONJUNTO PDEFG.
UM TÍPICO ARRANJO PARA ESTA SITUAÇÃO É O CAFG.
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
PERMUTAÇÕES
SÃO AGRUPAMENTOS FORMADOS COM p ELEMENTOS, (p=m) DE FORMA QUE OS p ELEMENTOS SEJAM
DISTINTOS ENTRE SÍ PELA ORDEM.
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
PERMUTAÇÕES PODEM SER CLASSIFICADOS COMO:
• SIMPLES• COM REPETIÇÃO• CIRCULARES
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
PERMUTAÇÃO SIMPLES
É O TIPO DE AGRUPAMENTO ORDENADO, SEM REPETIÇÃO EM QUE ENTRAM TODOS OS ELEMENTOS EM CADA
GRUPO.
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
FÓRMULA
P(n) = n!
O NÚMERO DE PERMUTAÇÕES SIMPLES QUE SE PODE FORMAR COM n ELEMENTOS É IGUAL AO
FATORIAL DE n.
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
SEJA C = {A,B,C}, FORMAR ARRANJOS SIMPLES DESSES 3 ELEMENTOS, FORMANDO GRUPOS QUE NÃO POSSAM TER A
REPETIÇÃO DE QUALQUER ELEMENTO MAS QUE POSSAM APARECER NA ORDEM TROCADA.
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
CONJUNTO FORMADO PARA O EXEMPLO:
A (3) = {ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
É O TIPO DE AGRUPAMENTO ORDENADO, COM REPETIÇÃO EM QUE ENTRAM TODOS OS ELEMENTOS EM CADA
GRUPO.
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
FÓRMULA
P(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)
ANAGRAMA
É UMA OUTRA PALAVRA CONSTRUÍDA COM AS MESMAS LETRAS DA PALAVRA ORIGINAL TROCADAS DE
POSIÇÃO.
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
QUANTOS SÃO OS ANAGRAMAS POSSÍVEIS COM AS LETRAS DA PALAVRA ARARA?
AUXÍLIO: A LETRA “A” APARECE 3 VEZES E A LETRA “R” APARECE 2 VEZES.
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SOLUÇÃO DO EXEMPLO:
p1 = n(A) = 3 p2 = n(R) = 2 N = Pr (5;3+2)
N = (3 + 2)! / (3! x 2!)N = 120 / (6 x 2)
N = 120 / 12N = 10
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
CONJUNTO FORMADO PARA O EXEMPLO:
A (5) = {AAARR,AARAR,AARRA,ARAAR, ARARA, ARRAA, RAAAR, RAARA, RARAA, RRAAA}
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
PERMUTAÇÃO CIRCULAR
É O TIPO DE AGRUPAMENTO QUE OCORRE QUANDO TEMOS GRUPOS COM n ELEMENTOS DISTINTOS FORMANDO UMA
CIRCUNFERÊNCIA DE CÍRCULO.
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
SEJA UM CONJUNTO COM 4 PESSOAS C = {A,B,C,D}. DE QUANTOS MODOS DISTINTOS ESTAS PESSOAS
PODERÃO SENTAR-SE JUNTO A UMA MESA CIRCULAR PARA REALIZAR O JANTAR SEM QUE HAJA
REPETIÇÃO DAS POSIÇÕES?
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
SE CONSIDERÁSSIMOS TODAS AS PERMUTAÇÕES SIMPLES POSSÍVEIS COM ESTAS 4 PESSOAS,
TERIAMOS 24 GRUPOS, APRESENTADOS NO CONJUNTO:
{ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC, BCAD, BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,
DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
ACONTECE QUE JUNTO A UMA MESA CIRCULAR TEMOS AS SEGUINTES POSIÇÕES REPETIDAS:
{ABCD = BCDA = CDAB = DABCABDC = BDCA = DCAB = CABDACBD = CBDA = BDAC = DACBACBD = CDBA = DBAC = BACDADBC = DBCA = BCAD = CADBADCB = DCBA = CBAD = BADC}
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
CONJUNTO FORMADO PARA O EXEMPLO:
EXISTEM SOMENTE 6 GRUPOS DISTINTOS, DADOS POR:
{ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
COMBINAÇÕES
SÃO AGRUPAMENTOS FORMADOS COM p ELEMENTOS, (p<m) DE FORMA QUE OS p ELEMENTOS SEJAM
DISTINTOS ENTRE SÍ APENAS PELA ESPÉCIE.
PROAB 2010
AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
COMBINAÇÕES PODEM SER CLASSIFICADOS COMO:
• SIMPLES• COM REPETIÇÃO
PROAB 2010
AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
COMBINAÇÃO SIMPLES
É O TIPO DE AGRUPAMENTO AONDE NÃO OCORRE A REPETIÇÃO DE QUALQUER ELEMENTO EM CADA
GRUPO DE p ELEMENTOS.
PROAB 2010
AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
SEJA C = {A,B,C,D}, FORMAR COMBINAÇÕES SIMPLES DESSES 4 ELEMENTOS, TOMADOS DE 2 A 2, QUE NÃO
POSSAM TER A REPETIÇÃO DE QUALQUER ELEMENTO E NEM POSSAM APARECER NA ORDEM TROCADA.
PROAB 2010
AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SOLUÇÃO DO EXEMPLO:
C (4,2) = 4! / [2! x 2!]
C (4,2) = 24 / 4
C (4,2) = 6
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
CONJUNTO FORMADO PARA O EXEMPLO:
A (4,2) = {AB,AC,AD,BC,BD,CD}
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO
É O TIPO DE AGRUPAMENTO AONDE TODOS OS ELEMENTOS PODEM APARECER REPETIDOS EM CADA GRUPO ATÉ
p VEZES.
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
SEJA C = {A,B,C,D}, FORMAR COMBINAÇÕES COM REPETIÇÃO DESSES 4 ELEMENTOS, TOMADOS DE 2 A 2, QUE POSSAM TER TODAS AS REPETIÇÕES POSSÍVEIS
DE ELEMENTOS EM GRUPO DE 2 ELEMENTOS NÃO PODENDO APARECER O MESMO GRUPO COM
A ORDEM TROCADA.
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SOLUÇÃO DO EXEMPLO:
C(4 + 2 – 1,2)
C (5,2) = 5! / [3! x 2!]
C (5,2) = 120 / 12
C (5,2) = 10
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
CONJUNTO FORMADO PARA O EXEMPLO:
A (5,2) = {AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO DE ARRANJO SIMPLES
QUANTOS NÚMEROS DIFERENTES COM 1 ALGARISMO, PODEMOS FORMAR COM OS ALGARISMOS: 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.
AUXÍLIO = N1 = A(n,p)
SOLUÇÃOA(9,1) = 9! / (9-1)!
A(9,1) = 9! / 8!9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362.880
8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320A(9,1) = 362.880 / 40320 = 9
RESPOSTA : 9 NÚMEROS DIFERENTES.
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO DE ARRANJO SIMPLES
QUANTOS NÚMEROS DISTINTOS COM 2 ALGARISMOS DIFERENTES, PODEMOS FORMAR COM OS ALGARISMOS:
0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.
AUXÍLIO = OS NÚMEROS INICIADOS POR 0 NÃO TERÃO 2 ALGARISMOS E SUA QUANTIDADE CORRESPONDE A A(9,1).
N2 = A(n,p)
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO DE ARRANJO SIMPLES
SOLUÇÃOA(10,2) – A(9,1) = 10! / (10-2)! - 9! / (9-1)!
A(10,2) – A(9,1) = 10! / 8! – 9! / 8!
10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3.628.8009! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362.880
8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320A(10,2) = 3.628.800 / 40.320 = 90
A(9,1) = 362.880 / 40320 = 9A(10,2) – A(9,1) = 90 – 9 = 81
RESPOSTA : 81 NÚMEROS DISTINTOS.
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO DE ARRANJO SIMPLES
USANDO APENAS OS ALGARISMOS 1,3,5,7 e 9, QUANTOS NÚMEROS COM 3 ALGARISMOS PODEM SER MONTADOS?
AUXÍLIO = A(n,p) = n! / (n-p)!
SOLUÇÃOA(5,3) = 5! / (5-3)!
A(5,3) = 5! / 2!5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
2! = 2 x 1 = 2A(5,2) = 120 / 2 = 60
RESPOSTA : 60 NÚMEROS.
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO DE ARRANJO SIMPLES
USANDO-SE AS 26 LETRAS DO ALFABETO: A,B,C,D,....,Z QUANTOS ARRANJOS DISTINTOS COM 3 LETRAS PODEM
SER MONTADOS?
AUXÍLIO = A(n,p) = n! / (n-p)!
SOLUÇÃOA(26,3) = 26! / (26-3)!
A(26,3) = 26! / 23!26! = 26 x 25 x 24 = 15600
A(5,2) = 15.600
RESPOSTA : 15.600 ARRANJOS.
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO DE ARRANJO COM REPETIÇÃO
QUANTOS NÚMEROS COM 4 ALGARISMOS PODEMOS FORMAR COM OS ALGARISMOS 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9?
AUXÍLIO = A(n,p) = np
SOLUÇÃO
A(10,4) = 104
A(10,4) = 10 x 10 x 10 x 10A(10,4) = 10.000
RESPOSTA : 10.000 NÚMEROS.
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO DE ARRANJO COM REPETIÇÃO
QUANTOS PALAVARS COM 3 LETRAS PODEMOS FORMAR COM AS 26 LETRAS DO NOSSO ALFABETO?
AUXÍLIO = A(n,p) = np
SOLUÇÃO
A(26,3) = 263
A(26,3) = 26 x 26 x 26A(26,3) = 17.576
RESPOSTA : 17.576 NÚMEROS.
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO DE ARRANJO COM REPETIÇÃO
QUANTOS NÚMEROS COM 3 DÍGITOS PODEM SER FORMADOS COM 5 ALGARISMOS?
AUXÍLIO = A(n,p) = np
SOLUÇÃO
A(5,3) = 53
A(5,3) = 5 x 5 x 5A(5,3) = 125
RESPOSTA : 125 NÚMEROS.
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO DE ARRANJO CONDICIONAL
QUANTOS ARRANJOS DOS ELEMENTOS A,B,C,D,E,F e GTOMADOS 4 A 4, COMEÇAM COM DUAS LETRAS DENTRE
A,B e C?
AUXÍLIO = A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)
m = 7, p = 4, m1 = 3, p1 = 2
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO DE ARRANJO CONDICIONAL
SOLUÇÃO
N = A(3,2) x A(7-3,4-2)
N = A(3,2) x A(4,2)N = 3! / (3-2)! x 4! / (4-2)!
N = 3! / 1! x 4! / 2!N = 6/1 x 24/2
N = 6 X 12N = 72
RESPOSTA : 72 ARRANJOS.
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO DE ARRANJO CONDICIONAL
QUANTOS ARRANJOS DOS ELEMENTOS A,B,C e D TOMADOS 3 A 3, QUANTOS CONTEM JUNTOS AS LETRAS
A e B?
AUXÍLIO = A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)
m = 4, p = 3, m1 = 2, p1 = 2
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO DE ARRANJO CONDICIONAL
SOLUÇÃO
N = A(2,2) x A(4-2,3-2)
N = A(2,2) x A(2,1)N = 2! / (2-2)! x 2! / (2-1)!
N = 2! / 0! x 2! / 1!N = 2/1 x 2/1
N = 2 X 2N = 4
RESPOSTA : 4 ARRANJOS.
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO DE PERMUTAÇÃO SIMPLES
DE QUANTOS MODOS DISTINTOS PODEMOS COLOCAR 3 LIVROS JUNTOS EM UMA ESTANTE DE BIBLIOTECA?
AUXÍLIO = P(n) = n!
SOLUÇÃO
P(3) = 3!P(3) = 3 x 2 x 1 = 6
RESPOSTA : DE 6 MODOS DISTINTOS.
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO DE PERMUTAÇÃO SIMPLES
DE QUANTOS MODOS DISTINTOS 5 PESSOAS PODEM SENTAR-SE EM UM BANCO DE JARDIM COM 5
LUGARES?
AUXÍLIO = P(n) = n!
SOLUÇÃO
P(5) = 5!P(5) = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
RESPOSTA : DE 120 MODOS DISTINTOS.
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO DE PERMUTAÇÃO SIMPLES
QUAL É O NÚMERO POSSÍVEL DE ANAGRAMAS QUE SE PODE MONTAR COM AS LETRAS DA PALAVRA AMOR?
AUXÍLIO = P(n) = n!
SOLUÇÃO
P(4) = 4!P(4) = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
RESPOSTA : 24 ANAGRAMAS.
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO DE PERMUTAÇÃO SIMPLES
QUANTOS NÚMEROS COM 5 ALGARISMOS PODEMOS CONSTRUIR COM OS NÚMEROS ÍMPARES 1,3,5,7 e 9?
AUXÍLIO = P(n) = n!
SOLUÇÃO
P(5) = 5!P(5) = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
RESPOSTA : 120 NÚMEROS.
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO DE PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
QUANTOS SÃO OS ANAGRAMAS POSSÍVEIS COM AS LETRAS DA PALAVRA AMA?
AUXÍLIO = P(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)
PROAB 2010
AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO DE PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
SOLUÇÃO
p1 = n(A) = 2 p2 = n(M) = 1 N = Pr (3;2+1)
N = (2 + 1)! / (2! x 1!)N = 6 / (2 x 1)
N = 6 / 2N = 3
RESPOSTA : 3 ANAGRAMAS.
PROAB 2010
AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO DE PERMUTAÇÃO CIRCULAR
DE QUANTOS MODOS DISTINTOS 5 PESSOAS PODEM SENTAR-SE EM VOLTA DE UMA MESA RETANGULAR?
AUXÍLIO = N = P(n-1) = (n-1)!
SOLUÇÃO:P(5-1) = (5-1)! = 4! = 24
RESPOSTA: 24 MODOS DISTINTOS.
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO DE COMBINAÇÃO SIMPLES
QUANTOS GRUPOS DE 3 PESSOAS PODEM SER MONTADOS COM 8 PESSOAS?
AUXÍLIO = C(n,p) = n! / [p!(n-p)!] n = 8 e p = 3
SOLUÇÃO:C(8,3) = 8! / [3! x (8-3)!]
C(8,3) = 8! / [3! x 5!]C(8,3) = (8 x 7 x 6) / (3 x 2 x 1)
C(8,3) = 336 / 6 = 56
RESPOSTA: 56 GRUPOS.
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AULA 1
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO DE PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
DETERMINE O NÚMERO DE COMBINAÇÕES COM 4 ELEMENTOS TOMADOS COM A REPETIÇÃO DE 7 LIVROS.
AUXÍLIO = C(n,p) = C(n+p-1,p), n=7, p=4
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