aula 01 rac. lÓgico

Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 1

Aula 1 - Questões Comentadas e Resolvidas Sinais, Frações, Decimais. Expoentes e Radicais. Fatoração. Aplicações da Álgebra – Equações e Inequações Como falamos na aula demonstrativa, vamos ver questões de várias bancas. Afinal, o conceito matemático é o mesmo. A ideia é deixar você bem preparado para resolver quaisquer questões. Como complemento a esse curso de exercícios, indicamos o nosso livro, que já está à venda nas melhores livrarias do país: Raciocínio Lógico, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística – Editora Método – Moraes Junior e Alexandre Lima – 1a Edição – Abril/2011. (Assistente em Administração-FUB-2010-Cespe) 1 Considere que os preços de venda de dois veículos sejam inversamente proporcionais aos seus tempos de uso e diretamente proporcionais aos seus rendimentos, expressos em km/L, e que o primeiro, com três anos e seis meses de uso, tenha sido vendido por R$ 40.000,00. Nessa situação, se o

segundo tiver três anos e oito meses de uso e se o seu rendimento for 3

4do

rendimento do primeiro, então esse segundo veículo deverá ser vendido por menos de R$ 30.000,00. Resolução Para que possamos resolver este item, temos que entender dois conceitos: inversamente proporcional e diretamente proporcional. Vamos lá. Se “A” é diretamente proporcional a “B”, conforme “A” aumenta, “B” também aumenta, ou, conforme “A” diminui “B” também diminui. Não entendeu? Vamos ver um exemplo: Suponha que o preço de feijão aumenta quando o preço da gasolina aumenta e diminui quando o preço da gasolina diminui. Portanto, os preços do feijão e da gasolina são diretamente proporcionais. Se “A” é inversamente proporcional a “B”, conforme “A” aumenta, “B” diminui, ou, conforme “A” diminui “B” aumenta. Não entendeu? Vamos ver um exemplo: Suponha que o preço de feijão diminui quando o preço do arroz aumenta e aumenta quando o preço do arroz diminui. Portanto, os preços do feijão e do arroz são inversamente proporcionais.




Vamos ver exemplos numéricos. Exemplo 1: Diretamente Proporcionais Preço do Feijão Preço da Gasolina

R$ 2,00 R$ 1,00 R$ 4,00 R$ 2,00 R$ 8,00 R$ 4,00

Repare que o preço do feijão é sempre duas vezes o valor do preço da gasolina. Portanto, se o preço da gasolina aumenta de R$ 2,00 para R$ 4,00, o preço do feijão também aumenta de R$ 4,00 para R$ 8,00. Por outro lado, se o preço da gasolina diminui de R$ 2,00 para R$ 1,00, o preço do feijão também diminui de R$ 4,00 para R$ 2,00. Nesse caso, poderíamos deduzir a seguinte fórmula para os preços diretamente proporcionais: Preço do Feijão = 2 x Preço da Gasolina Exemplo 2: Inversamente Proporcionais Preço do Feijão Preço do Arroz

R$ 4,00 R$ 1,00 R$ 2,00 R$ 2,00 R$ 1,00 R$ 4,00

Repare que se o preço do arroz aumenta de R$ 1,00 para R$ 2,00, o preço do feijão diminui de R$ 4,00 para R$ 2,00. Por outro lado, se o preço do arroz diminui de R$ 4,00 para R$ 2,00, o preço do feijão aumenta de R$ 1,00 para R$ 2,00. Nesse caso, poderíamos deduzir a seguinte fórmula para os preços inversamente proporcionais: Preço do Feijão = 4/Preço do Arroz Generalizando, teríamos: I – Diretamente proporcionais: A = k . B II – Inversamente proporcionais: A = k/B Onde k é a constante de proporcionalidade entre A e B.




E aí? Pronto para resolver a questão? Vamos analisá-la: I - Considere que os preços de venda de dois veículos... Dessa primeira parte, podemos “retirar” o seguinte: temos dois veículos, cada um com seu preço de venda. Veículo 1 ⇒ Preço de Venda 1 = PV1 Veículo 2 ⇒ Preço de Venda 1 = PV2 Utilizamos PV1 e PV2 apenas para facilitar e simplificar a identificação. II - Considere que os preços de venda de dois veículos sejam inversamente proporcionais aos seus tempos de uso... Ou seja, os preços de vendas dos veículos, definidos por nós como PV1 e PV2, são inversamente proporcionais aos seus tempos de uso. Vamos chamar os tempos de uso da seguinte maneira: Tempo de Uso do Veículo 1 = T1 Tempo de Uso do Veículo 2 = T2 Portanto, teremos a primeira relação:

1

1

kPV

T=

2

2

kPV

T=

III - Considere que os preços de venda de dois veículos sejam diretamente proporcionais aos seus rendimentos, expressos em km/L... Ou seja, os preços de vendas dos veículos, definidos por nós como PV1 e PV2, são diretamente proporcionais aos seus rendimentos (em km/L), onde: km = quilômetro L = litro km/L = quilômetro por litro Vamos chamar os rendimentos da seguinte maneira: Rendimento do Veículo 1 = R1 Rendimento do Veículo 2 = R2




Portanto, teremos a segunda relação:

1 1.PV k R=

2 2.PV k R= Juntando as relações, teríamos:

1 1

1

kPV R

T= i (I)

2 2

2

kPV R

T= i (II)

Se dividirmos (I) por (II), teríamos (o objetivo dessa divisão é eliminar a constante de proporcionalidade):

1

1 1

22

2

k R

PV T

k RPV

T

⋅

= ⇒⋅

1

1 1

22

2

R

PV T

RPV

T

=

Aqui, precisamos lembrar que a divisão de uma fração por outra equivale a multiplicação da fração do numerador pelo inverso da fração do denominador. Não entendeu? Veja:

Fração: min

a numerador

b deno ador=

Exemplo: 1

1 5 1 5 534 3 4 3 4 12

5

×= × = =

×

Fração do numerador = 1

3

Fração do denominador = 4

5

Inverso da Fração do Denominador = 5

4




Voltando a nossa fórmula, teríamos:

1

1 1

22

2

R

PV T

RPV

T

= ⇒ 1 1 2

2 1 2

PV R T

PV T R= ⋅ ⇒ 1 1 2

2 2 1

PV R T

PV R T= ⋅

Pronto! Chegamos a nossa relação para resolver a questão: 1 1 2

2 2 1

PV R T

PV R T= ⋅

Agora, vamos extrair os valores numéricos! IV - ... e que o primeiro, com três anos e seis meses de uso, tenha sido vendido por R$ 40.000,00. Portanto, o veículo 1 possui tempo de uso de três anos e seis meses e foi vendido por R$ 40.000,00. Preço de Venda 1 = PV1 = R$ 40.000,00 Tempo de Uso do Veículo 1 = T1 = 3 anos e 6 meses Vamos transformar o tempo de uso em “meses”. Sabemos que 12 meses corresponde a 1 ano. Portanto, teremos: T1 = 3 anos x 12 meses + 6 meses = 36 + 6 = 42 meses Até aqui, temos o seguinte:

Relação: 1 1 2

2 2 1

PV R T

PV R T= ⋅

PV1 = R$ 40.000,00 T1 = 42 meses V - Se o segundo tiver três anos e oito meses de uso e se o seu rendimento for 3

4 do rendimento do primeiro, então esse segundo veículo deverá ser vendido

por menos de R$ 30.000,00. Tempo de Uso do Veículo 2 = T2 = 3 anos e 8 meses T2 = 3 anos x 12 meses + 8 meses = 36 + 8 = 44 meses




Além disso, o item informa que o rendimento do segundo veículo é 3

4do

rendimento do primeiro veículo:

2 1

3

4R R= ⋅

Agora, finalmente, temos todos os valores para resolver a questão:

Relação: 1 1 2

2 2 1

PV R T

PV R T= ⋅ (I)

PV1 = R$ 40.000,00 T1 = 42 meses T2 = 44 meses

2 1

3

4R R= ⋅

Substituindo todos os valores na relação (I):

1 1 2

2 2 1

1

21

40.000 44

3 42

4

PV R T

PV R T

R

PVR

= ⋅ ⇒

⇒ = ⋅ ⇒⋅

2

40.000 1 44

3 42

4

PV⇒ = ⋅ ⇒

Repare que 1

3

4

é o inverso de 3

4. Portanto, é igual a

4

3.

2

40.000 4 44

3 42PV⇒ = ⋅ ⇒

Como 44 e 42 são divisíveis por 2, podemos dividir os dois números por 2 que a relação não se altera.

2

40.000 4 22

3 21PV⇒ = ⋅ ⇒




Repare que podemos dividir ambos os lados da relação por 4, que a igualdade não se altera:

2

40.000 4 22

4 3 4 21PV⇒ = ⋅ ⇒

⋅ ⋅

2

10.000 1 22

3 21PV⇒ = ⋅ ⇒

2

10.000 22

3 21PV⇒ = ⇒

⋅

Para achar o PV2 basta “multiplicar em cruz”(você multiplica em cruz um lado pelo outro da igualdade, pois é mais fácil para os cálculos). Vejamos:

2

10.000 22

3 21PV⇒ = ⇒

⋅

⇒10.000 . 3 . 21 = PV2 . 22 ⇒ ⇒ 30.000 . 21 = PV2 . 22 ⇒ Repare que podemos dividir ambos os lados da relação por 22, que a igualdade não se altera:

⇒ 2

30.000 21 22

22 22PV

⋅= ⋅ ⇒

⇒ PV2 = 30.000 . 21

22

Como 21 é menor que 22, temos certeza que PV2 será menor que R$

30.000,00, tendo em vista que 21

22 é menor que 1.

GABARITO: Certo

2 Na proporção 5 7 11

x y z= = , sabe-se que 2x + y + 3z = 250. Nesse caso, é

correto afirmar que x + y + z < 110. Resolução O item informa uma proporção e logo depois informa uma equação entre as variáveis. Para resolvê-lo, primeiramente, a partir da proporção, achamos as relações entre as variáveis x, y e z.




Depois, substituímos as relações na equação dada. Vamos lá: I – Relações entre as variáveis x, y e z

5 7 11

x y z= =

I.1 – Relação entre x e y

5 7

x y=

Vamos achar x em função de y (também é possível achar y em função de x, mas preferimos achar x em função de y). Para isso, precisamos “eliminar” o 5 do denominador de x. Basta passar o 5 multiplicando para o outro lado da igualdade. Não entendeu? Vejamos:

5 7

x y=

Se multiplicarmos por 5 ambos os lados da igualdade, ela não se altera:

5 55 7 5 7

x y x y= ⇒ × = ×

Simplificando o lado esquerdo da igualdade:

55 5

5 7 7

x y yx× = × ⇒ =

Ou seja, é o mesmo que passarmos o 5 para o outro lado da igualdade multiplicando (seria multiplicar por metade de uma cruz – risos – somente para um lado). I.2 – Relação entre as variáveis y e z

7 11

y z=

Para substituirmos na equação dada (2x + y + 3z = 250), temos que deixar duas variáveis em função de uma única. Já achamos a relação entre x e y. Agora, vamos calcular z em função de y. Para isso, basta passar o 11 (denominador de z) para o outro lado da equação multiplicando.




Já aprendemos como se faz acima. Por isso, faremos a conta diretamente:

1111

7 11 7 7

y z y yz= ⇒ = × =

II – Substituição das relações na equação dada (2x + y + 3z = 250) Relações:

5

7

yx =

11

7

yz =

Substituindo as relações na equação, teríamos:

2x + y + 3z = 250 ⇒ 2.5

7

y + y + 3.

11

7

y = 250

Repare que, do lado direito da equação, temos três termos. Dois com denominador 7 e um com denominador 1 (o termo y). Portanto, vamos reduzir ao denominador comum. Para isso, temos que calcular o mínimo múltiplo comum. Epa, epa, epa, professores? Como calcularemos o mínimo múltiplo comum? Vejamos: O Mínimo Múltiplo Comum (mmc) de dois ou mais números é calculado utilizando o seguinte procedimento: I. Fazer a fatoração dos números (em fatores primos), separadamente; e Para fazer uma fatoração em números primos, você deve pegar o número que deseja fatorar e efetuar a divisão pelos números primos a começar do 2 (dois). Números primos: são números inteiros, maiores que o número 1 (um), que são divisíveis apenas por eles mesmos e por 1 (um). Exemplos: 2, 3, 5, 7,... Se a divisão do número a ser fatorado pelo número primo não for exata (o resto da divisão for diferente de zero), você deve dividi-lo pelo número primo seguinte (em ordem crescente), e assim por diante. A fatoração acaba quando o resultado da divisão por um número primo for 1 (um). Não entendeu? Vamos ver um exemplo.




Exemplo: Fatorar o número 12. Passo 1: Dividir 12 pelo primeiro número primo (2) ⇒12 dividido por 2 é igual a 6 com resto 0 (zero). Portanto, 2 é primeiro fator primo de 12. Passo 2: Pegar o resultado da divisão do passo 1 (podemos considerar que o número a ser fatorado agora é o 6) e dividir ainda pelo primeiro número primo (2) ⇒ 6 dividido por 2 é igual a 3 com resto 0 (zero). Portanto, 2 é o segundo fator primo de 12. Passo 3: Pegar o resultado da divisão do passo 2 (podemos considerar que o número a ser fatorado agora é o 3) e dividir ainda pelo primeiro número primo (2) ⇒ 3 dividido por 2 é igual a 1 com resto 1 (um). Portanto, 2 não é o terceiro fator primo de 12. Passo 4: Como o resultado da divisão do passo 3 foi diferente de zero, devemos utilizar o próximo número primo (em ordem crescente). No caso, será o 3. Pegar o resultado da divisão do passo 2 (podemos considerar que o número a ser fatorado agora é o 3) e dividir pelo próximo número primo (3) ⇒ 3 dividido por 3 é igual a 1 com resto 0 (zero). Portanto, 3 é o terceiro fator primo de 12. Para facilitar, utilizamos a seguinte representação: 12 2 6 2 3 1

3

12 : 2 = 6 6 : 2 = 3 3 : 3 = 1 Fatoração de 12 = 2 x 2 x 3 = 22 x 3 II. mmc = produto de todos os fatores comuns e não comuns elevados ao maior expoente.

Exemplo: Calcule o mínimo múltiplo comum de 8 e 6. 8 2 4 2 2 2 1

Fatoração de 8 = 2 x 2 x 2 = 23




6 2 3 3 1

Fatoração de 6 = 2 x 3 Para achar o mínimo múltiplo comum, teríamos: Fatores comuns e não comuns: 8 = 23 6 = 2 x 3 Fator Comum = 2 Fator Não Comum = 3 Maiores expoentes: Maior expoente de 2 = 3 Fator Comum elevado ao maior expoente = 23

Maior expoente de 3 = 1 Fator Não Comum = 31 = 3 mmc (8,6) = 23 x 3 = 24 No caso de nosso item é mais simples, pois o mmc entre qualquer número e 1 é o próprio número. Como temos que calcular o mmc entre 1 e 7, ele será o próprio 7. Portanto, basta multiplicar e dividir o termo y por 7 (para que não altere a equação). Vejamos:

2.5

7

y + y + 3.

11

7

y = 250 ⇒

⇒ 2.5

7

y + y.

7

7 + 3.

11

7

y = 250

Agora que o lado direito da equação está todo com o denominador 7 podemos fazer a conta:

⇒ 2 5 7 3 11

2507 7 7

y y y× ×+ + = ⇒

⇒ 10 7 33

2507 7 7

y y y+ + = ⇒

⇒ 10 7 33

2507

y y y+ += ⇒

⇒ 50

2507

y=




Como os dois lados da igualdade são divisíveis por 50, vamos fazer a simplificação: 50 50 1 1

250 2507 7 50 50

y y= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

⇒ 57

y=

Fazendo a nossa famosa “multiplicação em cruz”: ⇒ y . 1 = 7 . 5 ⇒ y =35 Ufa! Achamos y! Para achar x e z, basta substituir o valor de y nas relações. Let´s go! Lembre que 35 dividido por 7 é igual 5!

5 5 355 5 25

7 7

yx x x x

×= ⇒ = ⇒ = × ⇒ =

11 11 3511 5 55

7 7

yz z z z

×= ⇒ = ⇒ = × ⇒ =

III – Verificando se o item está certo ou errado De acordo com o item “Nesse caso, é correto afirmar que x + y + z < 110”. Como já temos os valores de x, y e z, basta calcular a soma: x + y + z = 35 + 25 + 55 = 115 Como 115 é maior que 110, o item está errado. GABARITO: Errado (Administrativa-MPS-2010-Cespe) A soma dos salários de 3 empregados de uma empresa é igual a R$ 3.500,00 e esses salários são números diretamente proporcionais a 7, 11 e 17. Nesse caso, é correto afirmar que 3 o valor do salário intermediário é igual a R$ 1.100,00. Resolução Vamos “interpretar” a questão. I - A soma dos salários de 3 empregados de uma empresa é igual a R$ 3.500,00...




Vamos identificar os salários dos empregados conforme abaixo: Salário do Empregado 1 = S1 Salário do Empregado 2 = S2 Salário do Empregado 3 = S3 S1 + S2 + S3 = 3.500 II - ... e esses salários são números diretamente proporcionais a 7, 11 e 17. Logo, podemos tirar as seguintes relações:

S1 = k . 7 ⇒ Basta dividir por 7 os dois lados da igualdade ⇒ 1

7

Sk =


11

Sk =


17

Sk =

Ou, de forma direta (eliminando a constante de proporcionalidade k): S1 + S2 + S3 = 3.500

31 2

7 11 17

SS S= =

III – Cálculo do salário intermediário (S2): Repare que temos a soma dos salários e as relações entre eles. Portanto, basta achar, por exemplo, S1 e S3 em função de S2 (que é o salário intermediário solicitado no item) e substituir na equação da soma dos salários. Vamos lá: III.1 – Relação entre S1 e S2:

1 2

7 11

S S=

Multiplicando por 7 ambos os lados da igualdade, o valor não se altera:

1 2 21

77 7

7 11 11

S S SS

⋅× = × ⇒ =




III.2 – Relação entre S2 e S3:

32

11 17

SS=

Multiplicando por 17 ambos os lados da igualdade, o valor não se altera:

32 23

1717 17

11 17 11

SS SS

⋅× = × ⇒ =

III.3 – Substituindo as relações obtidas na equação da soma dos salários: S1 + S2 + S3 = 3.500

21

7

11

SS

⋅=

23

17

11

SS

⋅=

S1 + S2 + S3 = 3.500 ⇒ 2 22

7. 17.3.500

11 11

S SS+ + =

Temos três termos, dois com denominador 11 e um com denominador 1. Portanto, o mínimo múltiplo comum (m.m.c) entre 11 e 1 é 11. Lembre que o m.m.c entre um número N e 1 é N. Portanto, teríamos:

2 22

2 22

2 2 2

2

7. 17.3.500

11 11

7. 17.113.500

11 11 11

7. 11. 17.3.500

11

35.3.500

11

S SS

S SS

S S S

S

+ + = ⇒

⇒ + ⋅ + = ⇒

+ +⇒ = ⇒

⇒ =




Repare que podemos dividir os dois lados da equação por 35:

2

2

2

35.3.500

11

35. 1 13.500

11 35 35

10011

S

S

S

= ⇒

⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

⇒ =

Multiplicando os dois lados da igualdade por 11:

2 22

100 11 100 11 1.10011 11

S SS= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =

GABARITO: Certo 4 a diferença entre o maior salário e o menor salário é superior a R$ 1.200,00. Resolução Para calcular a diferença entre o maior salário (S3) e o menor salário (S1), basta fazer a diferença das relações de S3 com S2 e de S1 com S3.

21

7

11

SS

⋅=

23

17

11

SS

⋅=

S3 – S1 = 2 2 217 7 10

11 11 11

S S S⋅ ⋅ ⋅− =

Já calculamos S2 no item anterior: S2 = R$ 1.100,00. Substituindo S2 no resultado obtido acima:

S3 – S1 = 210 10 1.100

10 100 1.00011 11

S⋅ ⋅= = ⋅ =

Portanto, S3 – S2 = R$ 1.000,00. GABARITO: Errado




(Polícia Militar-ES-2010-Cespe) Considerando que um pai pretenda distribuir a quantia de R$ 4.100,00 a 3 filhos, de 11, 13 e 17 anos de idade, em valores diretamente proporcionais às suas idades, julgue os itens a seguir. 5 O filho mais novo receberá uma quantia superior a R$ 1.150,00. Resolução Mais uma questão de proporcionalidade. Vamos interpretar: I - Considerando que um pai pretenda distribuir a quantia de R$ 4.100,00 ... Quantia Distribuída = Q = R$ 4.100,00 II - ...a 3 filhos, de 11, 13 e 17 anos de idade, ... Idade do Filho Mais Novo = F1 = 11 anos Idade do Filho do Meio = F2 = 13 anos Idade do Filho Mais Velho = F3 = 17 anos III - ...em valores diretamente proporcionais às suas idades. Valor Recebido pelo Filho Mais Novo = V1 Valor Recebido pelo Filho do Meio = V2 Valor Recebido pelo Filho Mais Velho = V3

Portanto, temos que: Q = V1 + V2 + V3 = R$ 4.100,00 Repare que os valores recebidos são diretamente proporcionais às idades dos filhos. Portanto, teríamos: F1 = k . V1 F2 = k . V2 F3 = k . V3 Onde k é a constante de proporcionalidade. Fazendo diretamente (agora, já podemos fazer assim e na hora da prova também faça direto):

31 2

1 2 3

FF F

V V V= =




Substituindo os valores das idades: F1 = 11 anos F2 = 13 anos F3 = 17 anos

1 2 3

11 13 17

V V V= =

IV - O item deseja saber a quantia recebida pelo filho mais novo (V1). Portanto, vamos determinar as relações entre V1 e V2 e entre V1 e V3: IV.1 – Relação entre V1 e V2:

1 2

11 13

V V=

Multiplicando em cruz, teríamos: 11 x V2 = 13 x V1 Dividindo os dois lados da igualdade por 11 (para deixar V2 isolado):

2 1

12

1 111 13

11 11

13

11

V V

VV

× × = × × ⇒

⋅⇒ =

IV.2 – Relação entre V1 e V3:

1 3

11 17

V V=

Multiplicando em cruz, teríamos: 11 x V3 = 17 x V2 Dividindo os dois lados da igualdade por 11 (para deixar V3 isolado):

3 1

13

1 111 17

11 11

17

11

V V

VV

× × = × × ⇒

⋅⇒ =




IV.3 – Cálculo de V1: V1 + V2 + V3 = 4.100

12

13

11

VV

⋅=

13

17

11

VV

⋅=

Substituição as relações na equação:

V1 + V2 + V3 = 4.100 1 11

13 174.100

11 11

V VV

⋅ ⋅⇒ + + =

Temos três termos, dois com denominador 11 e um com denominador 1. Portanto, o mínimo múltiplo comum (m.m.c) entre 11 e 1 é 11. Lembre que o m.m.c entre um número N e 1 é N. Portanto, teríamos:

1 11

1 1 1

1

13 17114.100

11 11 11

11 13 174.100

11

41.4.100

11

V VV

V V V

V

⋅ ⋅⇒ ⋅ + + = ⇒

⋅ + ⋅ + ⋅⇒ = ⇒

⇒ =

Dividindo os dois lados da equação por 41:

1

1

1

41.4.100

11

41. 1 14.100

11 41 41

10011

V

V

V

= ⇒

⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

⇒ =




Multiplicando por 11 ambos os lados da igualdade:

1

1

1

10011

11 100 1111

1.100

V

V

V

= ⇒

⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

⇒ =

GABARITO: Errado 6 Os 2 filhos mais velhos receberão, juntos, uma quantia inferior a R$ 2.900,00. Resolução Como calculamos no item anterior, o filho mais novo recebeu R$ 1.100,00. Também sabemos que a quantia total que o pai deu aos filhos foi de R$ 4.100,00. Portanto, os dois filhos mais velhos receberam a diferença entre o valor total que o pai deu aos filhos e o valor que filho mais novo recebeu. Vamos aos cálculos: V1 + V2 + V3 = 4.100 V1 = 1.100 1.100 + V2 + V3 = 4.100 ⇒ V2 + V3 = 4.100 – 1.100 ⇒ V2 + V3 = 3.000 GABARITO: Errado Uma equipe composta por 12 garis foi contratada para recolher o lixo deixado no local onde se realizou um evento. Sabe-se que cada gari dessa equipe é capaz de recolher 4 kg de lixo em um minuto. Com base nessas informações e assumindo que todos os garis da equipe trabalhem no ritmo descrito anteriormente e que sejam recolhidos 3.600 kg de lixo, julgue os itens subsequentes. 7 Em 15 minutos de trabalho, 6 garis dessa equipe recolheriam 10% do lixo. Resolução Primeiramente, vamos estudar o conceito de regra de três simples: Regra de Três Simples: é formada por uma igualdade entre duas razões (proporção). Exemplo: Com 10 kg de farinha é possível fazer 100 pães. Quantos quilogramas de farinha são necessários para produzir 5.000 pães?




As grandezas quantidade de farinha e quantidades de pães são diretamente proporcionais, pois quanto maior a quantidade de pães, maior a quantidade de farinha. 10 kg de farinha ===== 100 pães x ===== 5.000 pães 100.x = 10 . 5.000 ⇒ x = 10 . 50 = 500 kg de farinha Vamos utilizar somente o nosso raciocínio para resolver o item: I - Uma equipe composta por 12 garis foi contratada para recolher o lixo deixado no local onde se realizou um evento. Sabe-se que cada gari dessa equipe é capaz de recolher 4 kg de lixo em um minuto. As informações importantes são: - Total de garis na equipe = 12 - Capacidade de recolhimento de lixo de um gari = 4 kg/minuto kg = quilograma II - Com base nessas informações e assumindo que todos os garis da equipe trabalhem no ritmo descrito anteriormente e que sejam recolhidos 3.600 kg de lixo, julgue os itens subsequentes. As informações importantes são: - Todos os garis trabalham no mesmo ritmo (capacidade de recolhimento de 4 kg por minuto). - Total de lixo a ser recolhido = 3.600 kg. III - Em 15 minutos de trabalho, 6 garis dessa equipe recolheriam qual percentual de lixo (em relação ao lixo total)? Se 1 gari recolhe 4 kg de lixo por minuto, 6 garis recolheriam quantos kg? Basta fazer uma regra de três simples. Vejamos: 1 gari ===� 4 kg/minuto 6 garis ===� X X = 6 x 4 = 24 kg/minuto Portanto, 6 garis recolheriam 24 kg/minuto. E quanto esses mesmos 6 garis recolheriam em 15 minutos? Aí é outra regra de três. Vejamos: 24 kg ===� 1 minuto Y ===� 15 minutos Y = 24 x 15 = 360 kg




Finalmente, qual seria o percentual recolhido em relação ao total de lixo? Total de lixo a ser recolhido = T = 3.600 kg Total de lixo recolhido por 6 garis em 15 minutos = R = 360 kg Percentual de Lixo que foi recolhido = P

360 1

3.600 10

RP

T= = =

Repare que dividimos a fração, no numerador e no denominador, por 360 e

chegamos à fração de “um décimo” 1

10

.

Mas o item fala em “percentual”. Como acharemos o valor? Repare que a palavra “percentual”, significa “por cento” ou “por cem”. Portanto, devemos achar uma fração, cujo denominador seja 100. Como já temos 10 no denominador, basta multiplicar por 10. Para não alterar a fração, multiplicamos o numerador e o denominador por 10. Vejamos:

Percentual =1 10 10.

10 10 100=

Ou seja, teríamos 10 por cento (por cem) do lixo recolhido. Podemos

representar o percentual (por cento ou por cem) como %.

Percentual = 10%

GABARITO: Certo 8 Para recolher 800 kg de lixo em 20 minutos, serão necessários 10 garis dessa equipe. Resolução Quantos garis seriam necessários para recolher 800 kg em 20 minutos? Primeiramente, vamos verificar quanto lixo 1 gari recolheria em 20 minutos: Se 1 gari recolhe 4 kg de lixo por minuto, 6 garis recolheriam quantos kg? Basta fazer uma regra de três simples. Vejamos: 4 kg ===� 1 minuto X ===� 20 minutos X = 4 x 20 = 80 kg




Ou seja, 1 gari recolhe 80 kg de lixo em 20 minutos. Agora ficou fácil! Como queremos saber quantos garis recolhem 800 kg, para multiplicar 80 kg por 10, isto é, 10 garis. Ficou em dúvida? Então vamos calcular: 1 gari ===� 80 kg (em 20 minutos) Y ===� 800 kg (em 20 minutos)

80 x Y = 800 ⇒ Y = 800

80 ⇒ Y = 10 garis

GABARITO: Certo Considerando que a soma das idades de 2 meninos seja igual a 8 anos, que essas idades, em anos, sejam medidas por números inteiros e que cada menino tenha pelo menos 2 anos de idade, julgue os itens a seguir. 9 Se a diferença entre as idades dos meninos for 2 anos, então o produto das medidas dessas idades, em anos, será inferior a 14. Resolução Vamos interpretar a questão: I - Considerando que a soma das idades de 2 meninos seja igual a 8 anos, ... Vamos nomear as idades da seguinte forma: Idade do Menino 1 = I1 Idade do Menino 2 = I2 Portanto, temos a nossa primeira equação: I1 + I2 = 8 II - ... que essas idades, em anos, sejam medidas por números inteiros e que cada menino tenha pelo menos 2 anos de idade. Logo, as idades são números inteiros. Vamos estudar o que são números inteiros. Números Inteiros: englobam os números naturais (inteiros positivos) e seus opostos (inteiros negativos), ou seja, são conhecidos como números inteiros positivos e negativos, tais como: ...-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...




Em relação ao item, temos que as idades I1 e I2 são números inteiros e que são maiores ou iguais a 2 anos (cada menino tem, pelo menos, 2 anos de idade). III - De acordo com o item a ser julgado: “Se a diferença entre as idades dos meninos for 2 anos, então o produto das medidas dessas idades, em anos, será inferior a 14.” Vamos verificar se está certo ou errdo. III.1 - Se a diferença entre as idades dos meninos for 2 anos... Vamos considerar que a idade do menino 2 é maior (tanto faz para a resolução considerar uma ou outra maior). Portanto, teríamos: I2 – I1 = 2 (A) Além disso, sabemos, da primeira equação, que: I1 + I2 = 8 (B) Repare que temos um sistema com duas equações e duas variáveis. Para resolvê-lo, basta determinar a relação entre I1 e I2 em uma equação e substituir em outra. I2 – I1 = 2 ⇒ I2 = 2 + I1 (C) Substituindo o valor de I2 na equação (A): I1 + I2 = 8 ⇒ I1 + 2 + I1 = 8 ⇒ 2.I1 = 8 – 2 ⇒ 2.I1 = 6 ⇒

⇒ I1 = 6

2 ⇒ I1 = 3

Substituindo o valor de I1 na relação (C): I2 = 2 + I1 ⇒ I2 = 2 + 3 ⇒ I2 = 5 III.2 - ... então o produto das medidas dessas idades, em anos, será inferior a 14. Vamos calcular o produto das idades: I1 . I2 = 3 x 5 = 15, que é superior a 14. GABARITO: Errado 10 Se a diferença entre as idades dos meninos for maior que 3 anos, então um dos meninos terá idade superior a 5 anos.




Resolução Aqui, não há como sairmos calculando as idades para diferença igual a 3, 4, 5, etc. Se fizermos dessa maneira, precisaríamos de uma prova com 48 horas de duração. Risos. Repare que o item fala que se diferença entre as idades dos meninos for maior que 3 anos, então um dos meninos terá idade superior a 5 anos. Ora, quando calculamos, no item anterior, para diferença entre as idades dos meninos igual a 2 anos, já encontramos um menino com 5 anos de idade. Portanto, basta realizar os mesmos cálculos, agora com diferença de idade igual a 4 anos (que é maior que 3). Se já encontrarmos um menino com idade superior a 5 anos, então o item estará correto. Vejamos: I2 – I1 = 4 (A) Além disso, sabemos, da primeira equação, que: I1 + I2 = 8 (B) Repare que temos um sistema com duas equações e duas variáveis. Para resolvê-lo, basta determinar a relação entre I1 e I2 em uma equação e substituir em outra. I2 – I1 = 4 ⇒ I2 = 4 + I1 (C) Substituindo o valor de I2 na equação (A): I1 + I2 = 8 ⇒ I1 + 4 + I1 = 8 ⇒ 2.I1 = 8 – 4 ⇒ 2.I1 = 4 ⇒

⇒ I1 = 4

2 ⇒ I1 = 2

Substituindo o valor de I1 na relação (C): I2 = 4 + I1 ⇒ I2 = 4 + 2 ⇒ I2 = 6 (que é maior que 5 anos) Ainda acha que não vale para todos os casos. Então, vamos fazer mais dois casos: Caso 1: Diferença entre as idades igual a 5 anos I2 – I1 = 5 (A) Além disso, sabemos, da primeira equação, que: I1 + I2 = 8 (B) Repare que temos um sistema com duas equações e duas variáveis. Para resolvê-lo, basta determinar a relação entre I1 e I2 em uma equação e substituir em outra. I2 – I1 = 5 ⇒ I2 = 5 + I1 (C)




Substituindo o valor de I2 na equação (A): I1 + I2 = 8 ⇒ I1 + 5 + I1 = 8 ⇒ 2.I1 = 8 – 5 ⇒ 2.I1 = 3 ⇒

⇒ I1 = 3

2 ⇒ I1 = 1,5 (não serve, pois, de acordo as definições, as idades são

números inteiros). Caso 2: Diferença entre as idades igual a 6 anos I2 – I1 = 6 (A) Além disso, sabemos, da primeira equação, que: I1 + I2 = 8 (B) Repare que temos um sistema com duas equações e duas variáveis. Para resolvê-lo, basta determinar a relação entre I1 e I2 em uma equação e substituir em outra. I2 – I1 = 6 ⇒ I2 = 6 + I1 (C) Substituindo o valor de I2 na equação (A): I1 + I2 = 8 ⇒ I1 + 6 + I1 = 8 ⇒ 2.I1 = 8 – 6 ⇒ 2.I1 = 2 ⇒

⇒ I1 = 2

2 ⇒ I1 = 1 (não serve, pois, de acordo as definições, as idades

devem ser superiores a 2). Portanto, a única opção possível, para diferença entre as idades maior que 3, seria essa diferença igual a 4. Como vimos, considerando a diferença igual a 4, um dos meninos possui idade de 6 anos. GABARITO: Certo (Professor-Secretaria de Educação do Estado da Bahia-2010-Cespe) 11. Em determinado estado da Federação, o sindicato local dos professores das escolas particulares negociou com os patrões e conseguiu um reajuste total dos salários em aproximadamente 28%. Para que cada professor calculasse quanto passaria a ganhar, foram dadas as seguintes instruções: calcular X = (carga horária mensal) × (valor da hora-aula) × 4,5; calcular o descanso semanal remunerado dado por Y = X ÷ 6; calcular a regência de classe, que é 2% de (X + Y); calcular o adicional noturno (somente para aqueles que tivessem atuação após as 22 h), dado por N = Z + 2% de Z, em que Z = 20% do valor da hora-aula multiplicado pela quantidade de horas noturnas trabalhadas e pelo fator 5,25. Desse modo, o salário do professor foi calculado por X + Y + regência de classe + adicional noturno. Nessa situação hipotética, considerando-se que um professor de escola particular do estado em questão trabalhe em uma escola cuja carga horária mensal seja de 50 horas e que pague R$ 25,60 por hora-aula, se, em determinado mês, esse professor trabalhar 3 horas após as 22 h, então, de acordo com as instruções




acima citadas, o seu salário bruto nesse mês, calculado com duas casas decimais, será de A R$ 8.144,64. B R$ 6.856,01. C R$ 6.936,65. D R$ 8.065,61. Resolução Não se assuste com o tamanho do enunciado. Vamos interpretá-lo com calma. I - Em determinado estado da Federação, o sindicato local dos professores das escolas particulares negociou com os patrões e conseguiu um reajuste total dos salários em aproximadamente 28%. Primeira informação: Reajuste Total de Salários dos Professores = 28% (aproximadamente) II - Para que cada professor calculasse quanto passaria a ganhar, foram dadas as seguintes instruções: calcular X = (carga horária mensal) × (valor da hora-aula) × 4,5; ... Primeira fórmula para o cálculo do novo salário (Cálculo de X): X = (Carga Horária Mensal) x (Valor da Hora-Aula) x 4,5 III - ...calcular o descanso semanal remunerado dado por Y = X ÷ 6; ... Segunda fórmula para o cálculo do novo salário (Y = descanso semanal remunerado): Y = X ÷ 6 IV - ...calcular a regência de classe, que é 2% de (X + Y); ... Terceira fórmula para o cálculo do novo salário: Regência de Classe = 2% x (X + Y) V - ...calcular o adicional noturno (somente para aqueles que tivessem atuação após as 22 h), dado por N = Z + 2% de Z, em que Z = 20% do valor da hora-aula multiplicado pela quantidade de horas noturnas trabalhadas e pelo fator 5,25. Quarta fórmula para o cálculo do novo salário (valor do adicional noturno somente para aqueles que trabalharem após as 22 horas): N = Z + 2% x Z Z = 20% x Valor da Hora-Aula x Horas Noturnas Trabalhadas x 5,25




VI - Desse modo, o salário do professor foi calculado por X + Y + regência de classe + adicional noturno. Salário do Professor = X + Y + Regência de Classe + Adicional Noturno Onde, X = (Carga Horária Mensal) x (Valor da Hora-Aula) x 4,5 Y = X ÷ 6 Regência de Classe = 2% x (X + Y) Adicional Noturno = N = Z + 2% x Z Z = 20% x Valor da Hora-Aula x Horas Noturnas Trabalhadas x 5,25 VII - Nessa situação hipotética, considerando-se que um professor de escola particular do estado em questão trabalhe em uma escola cuja carga horária mensal seja de 50 horas e que pague R$ 25,60 por hora-aula, se, em determinado mês, esse professor trabalhar 3 horas após as 22 h, então, de acordo com as instruções acima citadas, o seu salário bruto nesse mês, calculado com duas casas decimais, será de: Devemos considerar os seguintes dados para o cálculo do salário de determinado professor: Carga Horária Mensal = 50 horas Valor da Hora-Aula = R$ 25,60 Horas Noturnas Trabalhadas = 3 horas VII.1 – Cálculo do adicional noturno: Adicional Noturno = N = Z + 2% Z = 20% x Valor da Hora-Aula x Horas Noturnas Trabalhadas x 5,25 Z = 20% x R$ 25,60 x 3 horas x 5,25 = 20% x 403,20 Lembre-se que 20% é, em “português”, 20 por cento ou 20 por cem. Portanto,

pode ser representado por 20

100.

Z = 20

100 x 403,20 =

2

10 x 403,20 = 2 x 40,32 = 80,64

Adicional Noturno = N = Z + 2% x Z Aqui, como temos Z nos dois termos a direita da equação, podemos colocá-lo em evidência. Vejamos: N = Z + 2% x Z = Z x (1 + 2%)




Sabemos que 2% é igual a 2

100, que é igual a 0,02. Está em dúvida? Vamos

relembrar alguns conceitos: Decimais: são frações especiais, tendo em vista que seus denominadores serão sempre múltiplos de 10 (10, 100, 1.000, 10.000, etc.), também chamados potências de 10. As potências de 10 são: 10 = 101 10 x 10 = 102 = 100 10 x 10 x 10 = 103 = 1.000 10 x 10 x 10 x 10 = 104 = 10.000 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 105 = 100.000 (...) Repare que o expoente do 10 indica o número de zeros do resultado, colocando sempre o 1 na frente. Exemplo: 105 = 100.000 (5 zeros) O número de casas decimais à direita da vírgula indica o número de zeros da potência de 10 que será escrita no denominador. Exemplos: A) 0,45 Há dois números após a vírgula (4 e 5). Portanto, a potência de 10 escrita no denominador será 102 = 100.

0,45 = 45

100

B) 0,451 Há três números após a vírgula (4, 5 e 1). Portanto, a potência de 10 escrita no denominador será 103 = 1.000.

0,451 = 451

1.000

C) 23,13335 Há cinco números após a vírgula (1, 3, 3, 3 e 5). Portanto, a potência de 10 escrita no denominador será 105 = 100.000.

23,13335 = 2.313.335

100.000

D) 0,25 Há dois números após a vírgula (2 e 5). Portanto, a potência de 10 escrita no denominador será 102 = 100.




0,25 = 25 1

100 4= ⇒ repare que é possível simplificar o 25 do numerador com o

100 do denominador, dividindo ambos por 25. Entendeu agora? Então vamos em frente. N = Z x (1 + 2%) = Z x (1 + 0,02) = 1,02 x Z = 1,02 x 80,64 = 82,2528 Como a questão pediu até a segunda casa decimal: N = 82,25 VII.2 – Cálculo do X: X = (Carga Horária Mensal) x (Valor da Hora-Aula) x 4,5 ⇒ ⇒ X = 50 horas x R$ 25,60 x 4,5 = 5.760 VII.3 – Cálculo do Y: Y = X ÷ 6 ⇒ Y = 5.760 ÷ 6 = 960 VII.4 – Cálculo da Regência de Classe: Regência de Classe = 2% x (X + Y) ⇒ ⇒ Regência de Classe = 0,02 x (5.760 + 960) ⇒ ⇒ Regência de Classe = 0,02 x 6.720 ⇒ ⇒ Regência de Classe = 134,40 VII.5 – Cálculo do Salário do Professor: Salário do Professor = X + Y + Regência de Classe + Adicional Noturno ⇒ ⇒ Salário do Professor = 5.760 + 960 + 134,40 + 82,25 ⇒ ⇒ Salário do Professor = R$ 6.936,65 GABARITO: C 12. Em certo ano, determinada cooperativa conseguiu vender a caixa de laranja ao preço de R$ 6,00 na safra e de R$ 13,00 na entressafra, tendo arrecadado um total de R$ 880.000,00 pela venda de 100 mil dessas caixas. Nesse caso, denominando-se por x e y, respectivamente, as quantidades de caixas vendidas pela cooperativa na safra e na entressafra, as equações que modelam adequadamente a situação descrita são x + y = 100.000 e A 6y +13x = 880.000. B 6x +13y = 880. C 6x +13y = 880.000. D 6y +13x = 880.




Resolução Repare que x é a quantidade de caixas de laranja vendidas na safra e que y é a quantidade de caixas de laranja vendidas na entressafra. O preço da caixa de laranja na safra foi de R$ 6,00 e na entressafra foi de R$ 13,00. Sabe-se que: x + y = 100.000 (foram vendidas, ao todo, 100.000 caixas de laranja). Além disso, sabe-se que o valor total arrecadado foi de R$ 880.000,00. Esse valor é formado pelo total de caixas de laranja vendidas na safra (x) multiplicado pelo preço da caixa na safra (R$ 6,00), somado ao total de caixas de laranja vendidas na entressafra (y) multiplicado pelo preço da caixa na entressafra (R$ 13,00). Vejamos: 6.x + 13.y = 880.000 GABARITO: C 13. Em uma de suas viagens a Brasília, Carlos, que mora em Barreiras-BA, leu o seguinte anúncio em determinado jornal: Vendo carro muito econômico a gasolina. 13 km/L dentro do perímetro urbano; 15 km/L fora. Tanque: 50 L Carlos comprou o carro anunciado e decidiu dirigi-lo até Barreiras. No início da viagem, ele abasteceu o tanque do veículo com gasolina até o limite máximo. Após percorrer 280 km da viagem, Carlos parou em outro posto de combustível e reabasteceu novamente o tanque com gasolina, até o limite máximo. Depois disso, Carlos viajou sem parar até Barreiras, circulando apenas em rodovias fora do perímetro urbano dos municípios por onde passou, percorrendo o total de 670 km desde sua saída de Brasília. Considerando-se verdadeiras as informações do anúncio de venda do carro, a quantidade máxima de quilômetros que Carlos pode percorrer nesse veículo no perímetro urbano da cidade de Barreiras, sem realizar novo abastecimento de combustível, é igual a A 572. B 312. C 338. D 360.




Resolução Vamos interpretar a questão. I - Em uma de suas viagens a Brasília, Carlos, que mora em Barreiras-BA, leu o seguinte anúncio em determinado jornal: Vendo carro muito econômico a gasolina. 13 km/L dentro do perímetro urbano; 15 km/L fora. Tanque: 50 L Carlos comprou o carro anunciado e decidiu dirigi-lo até Barreiras. Portanto, temos duas informações importantes sobre o consumo do carro comprado por Carlos: Consumo no Perímetro Urbano = PD = 13 Km/L Consumo fora do Perímetro Urbano = PF = 15 Km/L Onde: Km = quilômetro L = litro Além disso, a questão informa que o tanque do carro é de 50 litros. II - No início da viagem, ele abasteceu o tanque do veículo com gasolina até o limite máximo. Após percorrer 280 km da viagem, Carlos parou em outro posto de combustível e reabasteceu novamente o tanque com gasolina, até o limite máximo. Depois disso, Carlos viajou sem parar até Barreiras, circulando apenas em rodovias fora do perímetro urbano dos municípios por onde passou, percorrendo o total de 670 km desde sua saída de Brasília. Portanto, a ordem cronológica foi a seguinte. II.1 – Início da viagem: Carlos abasteceu o veículo até o limite máximo (50 litros). II.2 – Percorreu 280 km e novamente abasteceu o veículo até o limite máximo (50 litros). II.3 – Viajou sem parar até Barreiras, somente fora do perímetro urbano e a distância total percorrida foi de 670 Km. Repare que ele já havia percorrido 280 Km. Logo, a distância percorrida fora do perímetro urbano foi de: Distância Percorrida Fora do Perímetro Urbano = 670 – 280 = 390 Km




Portanto, ele estava com o tanque cheio (50 litros) e percorreu 390 Km. O consumo fora do perímetro urbano é de 15 Km/L. Vamos calcular quantos litros sobraram ao chegar a Barreiras: Distância Percorrida = 390 Km Consumo por litro (fora do perímetro urbano) = 15 Km/L Fazendo uma regra de três simples: 1 Litro ===� 15 Km X Litros ===� 390 Km

15 . X = 1 . 390 ⇒ X = 390

15 ⇒ X = 26 Litros

Portanto, ainda há 24 Litros (50 Litros – 26 Litros) no tanque do carro. II.4 - Quantidade máxima de quilômetros que Carlos pode percorrer nesse veículo no perímetro urbano da cidade de Barreiras, sem realizar novo abastecimento de combustível. Litros Restantes do Tanque = 24 litros Consumo por litro (dentro do perímetro urbano) = 13 Km/L Distância Máxima = 13 km/L x 24 litros = 312 Km GABARITO: B 14. Considere que, no resultado de exame de colesterol a que um paciente se submeteu, o LDL (low density lipoprotein) tenha sido igual a 125 mg/dL. Nessa situação, se o resultado do LDL fosse fornecido em g/L, o novo valor seria igual a A 1.250. B 12,5. C 1,25. D 0,125. Resolução Vamos relembrar a unidade de medida em questão: Para medir massa: grama (g) Quilograma (kg) = 1.000 gramas = 103 gramas Hectograma (hg) = 100 gramas = 102 gramas Decagrama (dag) = 10 gramas = 101 gramas Grama (g) = 1 grama




Decigrama (dg) = 0,1 grama = 10-1 grama Centigrama (cg) = 0,01 grama = 10-2 grama Miligrama (mg) = 0,001 grama = 10-3 grama Para medir capacidade: litro (l) Quilolitro (kl) = 1.000 litros = 103 litros Hectolitro (hl) = 100 litros = 102 litros Decalitro (dam) = 10 litros = 101 litros Litro (l) = 1 litro Decilitro (dl) = 0,1 litro = 10-1 litro Centilitro (cl) = 0,01 litro = 10-2 litro Mililitro (ml) = 0,001 litro = 10-3 litro A questão informa o valor de: 125 mg/dL (cento e vinte e cinco miligramas por decilitro). Para converter miligrama para grama, temos que multiplicar a miligrama por 10-3, pois cada miligrama equivale a 0,001 grama. Por outro lado, para decilitro para litro, temos que o decilitro por 10-1, pois cada decilitro equivale a 0,1 litro. Portanto, teríamos a seguinte conta:

125 mg/L = 125,0 x 3

1

10

10

g

L

−

−

E agora? Como dividiremos 10-3 por 10-1. Vamos relembrar a divisão de potências. xn ÷ xm = xn – m ⇒ divisão de potências de mesma base ⇒ conserva a base e subtrai os expoentes. Exemplo: 28 ÷ 22 = 28-2 = 26

Em relação à questão, temos: 10-3 ÷10-1 = 10-3-(-1) = 10-3+1 = 10-2

Portanto, teríamos: 125 mg/dL = 125,0 x 3

1

10

10

g

L

−

−= 125,0 x 10-2 g/L

E como faremos esta multiplicação? Multiplicação por potências de 10 é simples. Se o expoente for positivo, “andamos com a vírgula” do número que está sendo multiplicado para a direita. Por outro lado, se o expoente for negativo, “andamos com a vírgula” do número que está sendo multiplicado para a esquerda.




Não entendeu? Vamos ver alguns exemplos: Exemplos: 1) 2 x 10 = 2,0 x 10 = 20 Repare que 2 é o mesmo que 2,0. Quando multiplicamos por 101, andamos com a vírgula uma posição para a direita. 2) 4,134 x 104 = 41.340 Quando multiplicamos por 104, andamos com a vírgula quatro posições para a direita. 3) 543,23 x 10-3 = 0,54323 Quando multiplicamos por 10-3, andamos com a vírgula três posições para a esquerda. Voltando a nossa questão:

125 mg/dL = 125,0 x 3

1

10

10

g

L

−

−= 125,0 x 10-2 g/L

Quando multiplicamos por 10-2, andamos com a vírgula duas posições para a esquerda. 125 mg/dL = 125,0 x 10-2 g/L = 1,25 g/L GABARITO: C 15. Considere os números a seguir. Em I e II, o último algarismo repete-se infinitamente. Em III, o padrão de formação da parte decimal repete-se infinitamente. I) 12,0310540000000000... II) 12,092740333333333... III) 12,03003000300003000003... Acerca desses números, assinale a opção correta. A Apenas os números I e II são racionais. B Apenas os números II e III são racionais. C Apenas o número I é racional. D Apenas o número III é racional. Resolução Vamos relembrar os conceitos de números racionais e irracionais: Números racionais: são aqueles que podem ser descritos em forma de fração, ou seja, todos os números racionais possuem uma fração equivalente.




Pode-se concluir que os números racionais englobam os números inteiros e, consequentemente, englobam os números naturais. E o que são frações? Veja:

min

a numerador

b deno ador= (fração)

São exemplos de números racionais: 3

4= 0,75;

7

5; 1

10= 0,1; etc.

Repare que existem números racionais cujas casas decimais se repetem de acordo com um padrão (4,156156156.... ou 0,777777777...). Esse números são conhecidos como dízimas periódicas. Números irracionais: como o próprio nome diz, são irracionais. Risos. Ou seja, são números não racionais, ou opostos aos números racionais, não podendo, por conseguinte, ser representados por frações. São conhecidos como dízimas não periódicas. Vamos analisar os números da questão: I) 12,0310540000000000...: Repare que os zeros a direita do 4 (sexto número após a vírgula) não tem significado e o número pode ser reescrito como 12,031054, que é um número racional. Ainda dúvida? Você pode representar esse número por uma fração decimal:

12,031054 = 12.031.054 x 10-6 = 6

12.031.054 12.031.054

10 1.000.000=

Portanto, se pode ser representado por uma fração é um número racional. Ainda não entendeu como cheguei no resultado acima. Vamos estudar alguns conceitos: Decimais: são frações especiais, tendo em vista que seus denominadores serão sempre múltiplos de 10 (10, 100, 1.000, 10.000, etc.), também chamados potências de 10. As potências de 10 são: 10 = 101 10 x 10 = 102 = 100 10 x 10 x 10 = 103 = 1.000 10 x 10 x 10 x 10 = 104 = 10.000 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 105 = 100.000 (...)




Repare que o expoente do 10 indica o número de zeros do resultado, colocando sempre o 1 na frente. Exemplo: 105 = 100.000 (5 zeros) O número de casas decimais à direita da vírgula indica o número de zeros da potência de 10 que será escrita no denominador. Exemplos: A) 0,45 Há dois números após a vírgula (4 e 5). Portanto, a potência de 10 escrita no denominador será 102 = 100.

0,45 = 45

100

B) 0,451 Há três números após a vírgula (4, 5 e 1). Portanto, a potência de 10 escrita no denominador será 103 = 1.000.

0,451 = 451

1.000

C) 23,13335 Há cinco números após a vírgula (1, 3, 3, 3 e 5). Portanto, a potência de 10 escrita no denominador será 105 = 100.000.

23,13335 = 2.313.335

100.000

D) 0,25 Há dois números após a vírgula (2 e 5). Portanto, a potência de 10 escrita no denominador será 102 = 100.

0,25 = 25 1

100 4= ⇒ repare que é possível simplificar o 25 do numerador com o

100 do denominador, dividindo ambos por 25. Expoente ou potência: é um número sobrescrito à direita de um número real, chamado de base, que indica quantas vezes você multiplica o número real por ele mesmo. Ou seja, foi um símbolo criado pelos matemáticos para que não ficássemos escrevendo, repetidas vezes, o número multiplicado por ele mesmo. Xn = X.X.X.X...X (X multiplicado por ele mesmo n vezes). Onde, X = base (pode ser qualquer número real) n = expoente (indica o número vezes que o número é multiplicado por ele mesmo e também pode ser qualquer número real, positivo ou negativo).




Relações importantes: x0 = 1 ⇒ qualquer número elevado a zero é igual a 1. Exemplos: 20 = 1; 30 = 1. x1 = x ⇒ qualquer número elevado a um é igual a ele mesmo. Exemplo: 201 = 20. 0n = 0 ⇒ zero elevado a qualquer número é igual a 0. Exemplo: 010 = 0.

X-n = 1 1 1 1 1

...

n

X X X X X

= × × ×

⇒ expoente negativo ⇒ inverte a base e o

sinal do expoente, ou seja, se um número X tiver um expoente negativo -n,

pode ser representando por 1

X elevado a um número positivo n.

Exemplos:

5-1 =

11 1

5 5

=

2

215 5 5 25

5

−

= = × =

Voltando ao nosso item:

12,031054 = 12.031.054 x 10-6 = 6

12.031.054 12.031.054

10 1.000.000=

10-6 = 6

1

10 ⇒ Um número elevado a um expoente negativo é igual a um

sobre o número elevado ao expoente positivo. 106 = 1.000.000 ⇒ O expoente 6 indica que são 6 zeros à direita do número 1 (1.000.000). Espero que, agora, tenha entendido a “transformação” que fiz. II) 12,092740333333333...: Repare que o número 3 após a sexta casa decimal se repete infinitamente de forma padrão (é sempre 3). Portanto, é um número racional. III) 12,03003000300003000003...: Repare que não há um padrão de repetição após a vírgula. Primeiramente é “03”, depois “003”, depois “0003”, e assim por diante. Portanto, esse número é irracional. GABARITO: A




16. Considerando que 3

7 de certo número é igual a

125, é correto afirmar que

esse número é A maior que 5. B menor que 4. C maior que 4 e menor que 5. D igual a 5.

Resolução Antes de resolver a questão, vamos entender o conceito de frações próprias, frações impróprias e números mistos: Frações Próprias: são frações cujo numerador é sempre menor que o denominador. Consequentemente, o resultado da divisão do numerador pelo denominador é sempre menor que um. Exemplos: 2 1 4 1; ; ; ; .3 5 7 16

etc

Frações Impróprias: são frações cujo numerador é sempre maior que o denominador. Consequentemente, o resultado da divisão do numerador pelo denominador é sempre maior que um. Exemplos: 5 9 11 19; ; ; ; .3 5 7 16

etc

Números mistos: correspondem a outra forma de representação das frações impróprias. Para transformar uma fração imprópria em um número misto, basta dividir o numerador pelo denominador. O quociente corresponderá ao número inteiro que vem na frente do número misto e o resto será representado na forma de fração própria. Exemplos: 5 3 2 2 2

1 13 3 3 3 3

9 5 4 4 41 1

5 5 5 5 5

11 10 1 1 15 5

2 2 2 2 2

= + = + =

= + = + =

= + = + =




Por outro lado, para passar de número misto para fração imprópria, basta multiplicar o número a frente do número misto pelo denominador da fração própria e somar esse número ao numerador da fração própria. A fração imprópria terá como numerador o resultado dessa operação e, como denominador, o denominador do número misto. Confuso? Vamos ver um exemplo que fica bem mais fácil. Exemplo: 1 5 2 1 1152 2 2

× += =

Passos: Número a frente do número misto = 5

Fração própria = 1

2

I – Multiplique 5 pelo denominador da fração própria (2) = 5 x 2 = 10 II – Some o resultado I com o numerador da fração própria = 10 + 1 = 11 III – Denominador da fração própria = 2

IV – Resultado: 11

2

De acordo com a questão, três sétimos (3

7) de certo número (que

chamaremos de X) é igual a dois inteiros e um quinto (125). A representação

matemática seria: 3 1

2.7 5

X⋅ =

Fazendo os cálculos: 3 1 3 2 5 1 3 10 1 3 11

2.7 5 7 5 7 5 7 5

X X XX

⋅ + +⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Fazendo a nossa “famosa” multiplicação em cruz:

3.X . 5 = 7. 11 ⇒ 15.X = 77 ⇒ X = 77

15

Repare que 15 x 5 = 75 e 15 x 6 = 90. Portanto, a divisão de 77 por 15 é um número maior que 5. Se a questão perguntasse saberíamos que a divisão de 77 por 15 é um número maior que 5 e menor que 6. GABARITO: A




17.(Analista de Controle Interno-Secretaria Especial da Controladoria Geral do Estado de Pernambuco-2010-Cespe) Uma empresa foi contratada para reformar as arquibancadas de um estádio de futebol em um prazo de 100 dias. Para cumprir o contrato, seriam necessários 20 homens trabalhando 8 horas por dia. Contudo, 10 dias após o início da empreitada, os trabalhos foram interrompidos durante 30 dias em razão de fortes chuvas. Nas condições descritas na situação hipotética acima, o número de homens necessários para concluir a obra no prazo estipulado pelo contrato, trabalhando 10 horas por dia, com a mesma eficiência dos que trabalharam no início da empreitada, é igual a A 9. B 24. C 30. D 38. E 47. Resolução De acordo com a questão, uma empresa foi contratada para reformar as arquibancadas de um estádio de futebol. As informações são as seguintes: Prazo = 100 dias Homens = 20 Jornada de Trabalho = 8 horas por dia Contudo, 10 dias após o início da empreitada, os trabalhos foram interrompidos durante 30 dias em razão de fortes chuvas. Nas condições descritas na situação hipotética acima, o número de homens necessários para concluir a obra no prazo estipulado pelo contrato, trabalhando 10 horas por dia, com a mesma eficiência dos que trabalharam no início da empreitada, é igual a... Ou seja, temos que: 20 homens trabalharam 8 horas por dia por um prazo de 10 dias e X homens trabalharam 10 horas por dia por um prazo de 60 dias. O prazo de 60 dias foi calculado da seguinte maneira: Prazo Restante = Prazo Total – Dias Trabalhados – Dias de Interrupção ⇒ ⇒ Prazo Restante = 100 – 10 – 30 = 60 dias Montando a regra de três, teríamos: 100 dias ===== 20 homens ===== 8 horas




Deve ser igual a: 10 dias ==== 20 homens ===== 8 horas (+) 60 dias ==== X homens ===== 10 horas 100 . 20 . 8 = 10 . 20 . 8 + 60 . X . 10 ⇒ Dividindo ambos os lados por 200: ⇒ 10 . 8 = 8 + 3 . X ⇒ ⇒ 80 = 8 + 3 . X ⇒ ⇒ 3 . X = 80 – 8 ⇒ ⇒ 3 . X = 72 ⇒

⇒ X = 72

3 ⇒ X = 24 homens

GABARITO: B (TRE/ES-Nível Superior-2010-Cespe) 18. Se em um município que tem 2.500 eleitores, a votação dura 10 horas, cada seção eleitoral possui apenas uma urna, todos os eleitores votam e cada eleitor leva 1 minuto e meio para votar, então, nesse município serão necessárias, no mínimo, 7 seções eleitorais. Resolução Vamos interpretar a questão. I – Cada eleitor leva 1,5 minutos para votar. Quanto tempo 2.500 eleitores levariam para votar: 1 eleitor ===� 1,5 minutos 2.500 eleitores ===� T T = 2.500 x 1,5 = 3.750 minutos

Como cada hora possui 60 minutos: T = 3.750

60 = 62,5 horas

II – De acordo com o item, a votação levou somente 10 horas. Repare que se tivéssemos apenas 1 seção eleitoral, a votação duraria 62,5 horas. Para levar 10 horas temos que ter, no mínimo, 7 seções eleitorais. Não entendeu? Vamos lá:




Se fossem 6 seções eleitorais, a duração de votação seria:

Duração = 62,5

6 > 10 horas

Ou seja, com 6 seções eleitorais, a votação ainda não duraria 10 horas. Se fossem 6 seções eleitorais, a duração de votação seria:

Duração = 62,5

7 < 10 horas

Portanto, o número mínimo de seções eleitorais para que a votação dure 10 horas é 7. GABARITO: Certo 19.(Agente de Trabalhos de Engenharia-ISS/RJ-2010-Esaf) Em um conjunto de números inteiros não nulos, há 150 números pares, 160 números ímpares e 120 números negativos. Se 80 números pares são negativos, quantos números ímpares são positivos? a) 80 b) 120 c) 50 d) 40 e) 110 Resolução Vamos interpretar a questão. I - Em um conjunto de números inteiros não nulos, ... Portanto, o conjunto é formado por números inteiros diferentes de 0 (zero). II - ...há 150 números pares, 160 números ímpares e 120 números negativos. Números Pares = 150 Números Ímpares = 160 Números Negativos = 120 III - Se 80 números pares são negativos, quantos números ímpares são positivos? Temos 150 números pares e desses 150, 80 são negativos. Portanto, temos mais 40 números negativos (120 números negativos – 80 números negativos pares).




Logo, estes 40 números negativos são ímpares, pois os outros 80 são pares. Como temos um total de 160 números ímpares, se 40 números ímpares são negativos, sobram 120 números ímpares positivos (160 – 40 = 120). GABARITO: B (Agente de Trabalhos de Engenharia-ISS/RJ-2010-Esaf) 20. A seguir estão representados pelo sistema binário, formado apenas pelos algarismos 0 e 1, os números naturais de 0 a 16 em ordem crescente: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000. Qual é o número que corresponde ao binário 111011? a) 59 b) 60 c) 58 d) 61 e) 62 Resolução Primeiramente, vamos estudar os conceitos. Base: indica a quantidade de algarismos utilizados para definir a numeração. Nós, normalmente, utilizamos a base de 10 (decimal) e representamos todos os números com algarismos de 0 a 9 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 = Total de 10 algarismos). Base Decimal: utiliza algarismos de 0 a 9 e as unidades, dezenas, centenas, milhares, etc, de um número são representadas por potências de 10 (como são 10 algarismos – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 – são potências de 10). As potências de 10 serão colocadas da direita para a esquerda de um algarismo, iniciando de 100 (primeiro número a direita = ordem zero) até 10n (último número a esquerda = ordem n). Cada potência multiplicará seu respectivo algarismo e todos os resultados serão somados para achar o número. Não entendeu? Vamos ver exemplos numéricos: Exemplo: 105.432 Algarismos da direita para a esquerda: 2 = Algarismo de ordem 0. Representa as unidades. Será multiplicado por 100. 3 = Algarismo de ordem 1. Representa as dezenas. Será multiplicado por 101. 4 = Algarismo de ordem 2. Representa as centenas. Será multiplicado por 102. 5 = Algarismo de ordem 3. Representa as milhares. Será multiplicado por 103. 0 = Algarismo de ordem 4. Representa as dezenas de milhares. Será multiplicado por 104. 1 = Algarismo de ordem 5. Representa as centenas de milhares. Será multiplicado por 105.




Portanto, o número 105.432, na base decimal, é representado por: 105.432 = 1 x 105 + 0 x 104 + 5 x 103 + 4 x 102 + 3 x 101 + 2 x 100 ⇒ ⇒ 105.432 = 1 x 100.000 + 0 x 10.000 + 5 x 1.000 + 4 x 100 + 3 x 10 + 2 ⇒ 105.432 = 100.000 + 0 + 5.000 + 400 + 30 + 2 ⇒ ⇒ 105.432 = 105.432 (ok) Base Binária: utiliza os algarismos 0 e 1 e o número é representadas por potências de 2 (como são dois algarismos, são potências de 2). O procedimento é o mesmo da base decimal (vale para todas as bases). Exemplo: 110001 Algarismos da direita para a esquerda: 1 = Algarismo de ordem 0. Será multiplicado por 20. 0 = Algarismo de ordem 1. Será multiplicado por 21. 0 = Algarismo de ordem 2. Será multiplicado por 22. 0 = Algarismo de ordem 3. Será multiplicado por 23. 1 = Algarismo de ordem 4. Será multiplicado por 24. 1 = Algarismo de ordem 5. Será multiplicado por 25. Portanto, o número 123, na base decimal, é representado por: 110001 = 1 x 25 + 1 x 24 + 0 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 ⇒ ⇒ 110001 = 1 x 32 + 1 x 16 + 0 x 8 + 0 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 ⇒ ⇒ 110001 = 32 + 16 + 0 + 0 + 0 + 1 ⇒ ⇒ 110001 (base binária) = 49 (base decimal) Vai, pode me perguntar. Sei que você está curioso. Como fazer para passar de decimal para binário? Neste caso, você deve pegar o número decimal e ir dividindo por 2 (base binária) até que o quociente da divisão seja menor que a base e o número será formado pelo quociente da última divisão e todos os restos. Confuso? Vamos verificar com um exemplo: Qual seria a representação binária do número 49? 49 2 - 48 24 2 1 -24 0 12 2 -12 0 6 2 -6 0 3 2 -2 1 1 49 (base decimal) = 110001 (base binária)




Ufa! Agora, vamos resolver a questão: Qual é o número que corresponde ao binário 111011? Binário = 111011 Decimal = 1 x 25 + 1 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 ⇒ Repare que: 20 = 1 21 = 2 22 = 2 x 2 = 4 23 = 2 x 2 x 2 = 8 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128 28 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256 29 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 512 210 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1.024 E assim por diante. ⇒ Decimal = 1 x 32 + 1 x 16 + 1 x 8 + 0 x 4 + 1 x 2 + 1 x 1 ⇒ ⇒ Decimal = 32 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 59 GABARITO: A 21. Considere a e b números reais. A única opção falsa é: a) |a+b|≤|a|+|b|. b) |a|+|b|≥|a−b|. c) |a−b|<|a|−|b|. d) |b−a|≥|b|−|a|. e) |b+a|≤|a|+|b|. Resolução Vamos relembrar a função modular. Função Modular: representa o módulo ou valor absoluto de um número. O módulo ou valor absoluto corresponde à distância do número ao 0 (zero). f(x) = |x| f(x) = x, para x ≥ 0 f(x) = -x, para x < 0




Portanto, se x for maior que zero, o módulo de x é igual ao próprio x. Por outro lado, se x for menor que zero, o módulo de x é igual a “menos” x. Não entendeu? Vamos ver dois exemplos: x = 2 ⇒ |2| = 2, ou seja, a distância de 2 até 0 é 2. x = - 2 ⇒ |-2| = 2, ou seja, a distância de -2 até 0 é 2. Tudo bem até aqui? Então vamos resolver a questão. Para facilitar a resolução, vamos utilizar exemplos numéricos. Para isso, temos que definir quais são as situações possíveis. Repare que, se temos dois números reais a e b, são quatro situações possíveis: I – a e b maiores que zero. II – a e b menores que zero. III – a maior que zero e b menor que zero, sendo módulo de a maior que o módulo de b. IV – a maior que zero e b menor que zero, sendo módulo de a menor que o módulo de b. Você pode estar se perguntando por que não considerei mais duas situações: V – a menor que zero e b maior que zero, sendo módulo de a menor que o módulo de b. VI – a menor que zero e b maior que zero, sendo módulo de a maior que o módulo de b. Como a e b são variáveis, as alternativas III e V são iguais, assim como as alternativas IV e VI. Por exemplo, se tenho os números 4 e -2, tanto faz considerarmos a = 4 e b = -2 (situação III) ou a = -2 e b = 4 (situação V). O resultado seria o mesmo.

x

f(x) = x

y

f(x) = - x




Definidas as situações, vamos calcular os valores de cada uma das alternativas: I – a e b maiores que zero Para testar as alternativas, vamos considerar que a = 4 e b =1. a) |a+b|≤|a|+|b|. |a + b| = |4 + 1| = |5| = 5 |a| + |b| = |4| + |1| = 4 + 1 = 5 Portanto, |4 + 1| = |4| + |1|. A alternativa é verdadeira. b) |a|+|b|≥|a−b|. |a| + |b| = |4| + |1| = 4 + 1 = 5 |a – b| = |4 – 1| = |3| = 3 Portanto, |4| + |1| > |4 – 1|. A alternativa é verdadeira. c) |a−b|<|a|−|b|. |a – b| = |4 – 1| = |3| = 3 |a| – |b| = |4| – |1| = 4 – 1 = 3 Portanto, |4 – 1| = |4| – |1|. A alternativa é falsa. d) |b−a|≥|b|−|a|. |b – a| = |1 – 4| = |-3| = 3 |b| – |a| = |1| – |4| = 1 – 4 = –3 Portanto, |1 – 4| > |1| – |4|. A alternativa é verdadeira. e) |b+a|≤|a|+|b|. Repare que esta alternativa é igual a alternativa “a”. Só mudou a ordem da soma (“a + b” e “b + a”). Vamos calculá-la apenas para fins didáticos. |b + a| = |1 + 4| = |5| = 5 |a| + |b| = |4| + |1| = 4 + 1 = 5 Portanto, |4 + 1| = |4| + |1|. A alternativa é verdadeira. Como já achamos, na primeira situação, que a alternativa “c” é falsa, já podíamos “cravar” a resposta “c” sem maiores traumas e acertar a questão. Para fins didáticos, vamos resolvê-la para as demais situações propostas. II – a e b menores que zero. Para testar as alternativas, vamos considerar que a = –4 e b =–1. a) |a+b|≤|a|+|b|. |a + b| = |–4 + (–1)| = |–5| = 5 |a| + |b| = |–4| + |–1| = 4 + 1 = 5 Portanto, |–4 + (–1)| = |–4| + |–1|. A alternativa é verdadeira.




b) |a|+|b|≥|a−b|. |a| + |b| = |–4| + |–1| = 4 + 1 = 5 |a – b| = |–4 – (–1)| = |–4 + 1| = |–3| = 3 Portanto, |–4| + |–1| > |–4 – (–1)|. A alternativa é verdadeira. Lembre que “menos com menos dá mais”. Exemplo: – (–1) = +1 c) |a−b|<|a|−|b|. |a – b| = |–4 – (–1)| = |–4 + 1| = |–3| = 3 |a| – |b| = |–4| – |–1| = 4 – 1 = 3 Portanto, |–4 – (–1)| = |–4| – |–1|. A alternativa é falsa. d) |b−a|≥|b|−|a|. |b – a| = |–1 – (–4)| = |–1 + 4| = |3| = 3 |b| – |a| = |–1| – |–4| = 1 – 4 = –3 Portanto, |–1 – (–4)| > |–1| – |–4|. A alternativa é verdadeira. e) |b+a|≤|a|+|b|. É igual a alternativa “a”. III – a maior que zero e b menor que zero, sendo módulo de a maior que o módulo de b. Para testar as alternativas, vamos considerar que a = 4 e b =–1. a) |a+b|≤|a|+|b|. |a + b| = |4 + (–1)| = |3| = 3 |a| + |b| = |4| + |–1| = 4 + 1 = 5 Portanto, |4 + (–1)| < |4| + |–1|. A alternativa é verdadeira. b) |a|+|b|≥|a−b|. |a| + |b| = |4| + |–1| = 4 + 1 = 5 |a – b| = |4 – (–1)| = |4 + 1| = |5| = 5 Portanto, |4| + |–1| = |4 – (–1)|. A alternativa é verdadeira. c) |a−b|<|a|−|b|. |a – b| = |4 – (–1)| = |4 + 1| = |5| = 5 |a| – |b| = |4| – |–1| = 4 – 1 = 3 Portanto, |4 – (–1)| > |4| – |–1|. A alternativa é falsa. d) |b−a|≥|b|−|a|. |b – a| = |–1 – 4| = |–5| = 5 |b| – |a| = |–1| – |4| = 1 – 4 = –3 Portanto, |–1 – 4| > |–1| – |4|. A alternativa é verdadeira. e) |b+a|≤|a|+|b|. É igual a alternativa “a”.




IV – a maior que zero e b menor que zero, sendo módulo de a menor que o módulo de b. Para testar as alternativas, vamos considerar que a = 1 e b =–4. a) |a+b|≤|a|+|b|. |a + b| = |1 + (–4)| = |–3| = 3 |a| + |b| = |1| + |–4| = 1 + 4 = 5 Portanto, |1 + (–4)| < |1| + |–4|. A alternativa é verdadeira. b) |a|+|b|≥|a−b|. |a| + |b| = |1| + |–4| = 1 + 4 = 5 |a – b| = |1 – (–4)| = |1 + 4| = |5| = 5 Portanto, |1| + |–4| = |1 – (–4)|. A alternativa é verdadeira. c) |a−b|<|a|−|b|. |a – b| = |1 – (–4)| = |1 + 4| = |5| = 5 |a| – |b| = |1| – |–4| = 1 – 4 = –3 Portanto, |1 – (–4)| > |1| – |–4|. A alternativa é falsa. d) |b−a|≥|b|−|a|. |b – a| = |–4 – 1| = |–5| = 5 |b| – |a| = |–4| – |1| = 4 – 1 = 3 Portanto, |–4 – 1| > |–4| – |3|. A alternativa é verdadeira. e) |b+a|≤|a|+|b|. É igual a alternativa “a”. Portanto, em todas as situações, pudemos confirmar que a alternativa “c” é falsa. GABARITO: C

22. Quais são os números reais x que satisfazem a condição

2

5 1

8 15 3

x

x x x

−=

− + −?

a) x ≠ 3 e x ≠ 5 b) x ≠ 3 c) x ≠ 3 ou x ≠ 5 d) Todos e) Todos, exceto x = 3 e x = 5 Resolução Repare que, para que a equação acima seja possível, os denominadores precisam ser diferentes de zero. Não podemos dividir um número por zero.




Vamos, então, achar os valores para os quais os denominadores são zero. A) x2 – 8x + 15 = 0 Temos que resolver essa equação do segundo grau. Vamos estudar os conceitos principais. Uma equação de segundo grau é representada da seguinte maneira: ax2 + bx + c = 0; a,b e c ∈ ℝ , com a ≠ 0. Exemplo: 2x2 + 3x + 5 = 0; a = 2, b = 3 e c = 5. Raízes de uma equação do segundo grau: serão calculadas pela Fórmula de Bhaskara: ax2 + bx + c = 0

2 42

b b acx

a− ± −=

2 4∆ b ac= − ∆ = 0 ⇒ a equação possui uma raiz real dupla: x´= x´´; ∆ > 0 ⇒ a equação possui duas raízes reais distintas: x´e x´´; e ∆ < 0 ⇒ a equação não possui raiz real.

Repare que a equação de segundo grau pode ser escrita de forma fatorada, quando as raízes são conhecidas:

ax2 + bx + c = 0 ⇒ x2 + (b

a)x + (

c

a) = 0 (I), ou

a (x – x´).(x – x´´) = 0 ⇒ (x – x´).(x – x´´) = 0 ⇒ ⇒ x2 – x´´.x – x´.x + x´.x´´ = 0 ⇒ x2 – (x´+ x´´) x + x´x´´ = 0 (II) Comparando (II) com (I), temos as Relações de Girard: b

a= – (x´+ x´´) ⇒ menos a soma das raízes

c

a= x´. x´´ ⇒ produto das raízes

Exemplo: x2 + 4x + 3 = 0; a = 1, b = 4 e c = 3.

2 24 4 4 4.1.3 4 16 122 2.1 2

4 4 4 22 1

2 2

b b acx

a

x

= = ⇒

⇒ =

− ± − − ± − − ± −=

− ± − ±= = − ±




x´= – 2 + 1 = – 1 x´´ = – 2 – 1 = – 3 Vamos retornar à questão:

x2 – 8x + 15 = 0 a = 1 b = – 8 c = 15 Repare que podemos achar as raízes da equação acima pelas relações de Girard. b

a=

8

1

− = – 8 = – (x´+ x´´) ⇒ x´ + x´´ = 8

c

a= 15

1 =15 = x´. x´´

Quais são os números que somados dão 8 e multiplicados dão 15? Vamos, você consegue! Pense um pouco....Isso mesmo! São 3 e 5. Vejamos: 3 + 5 = 8 3 x 5 = 15 Portanto, as raízes da equação “x2 – 8x + 15 = 0” são 3 e 5. Já sabemos, então, que x deve ser diferente de 3 e deve ser diferente de 5. Para o segundo denominador: B) x – 3 = 0 Nesse caso: x – 3 = 0 ⇒ x = 3 (já vimos esse valor no primeiro denominador). Portanto, até aqui, temos que: x ≠ 3 e x ≠ 5. Considerando essas restrições, vamos calcular o x na expressão:

2

5 1

8 15 3

x

x x x

−=

− + −




Repare que, como as raízes do denominador à esquerda são 3 e 5, podemos reescrevê-lo da seguinte forma: x2 – 8x + 15 = a.(x – x´).(x – x´´) Onde: a = 1 x´= 3 x´´ = 5 x2 – 8x + 15 = (x – 3).(x – 5) Duvidou? Então faça a conta: (x – 3).(x – 5) = x.(x – 5) – 3.(x – 5) = x.x + x.(-5) + (-3).x + (-3).(-5) = = x2 – 5x – 3x + 15 = x2 – 8x + 15 Nota: De acordo com a função distributiva, podemos distribuir dois termos (ou binômio) sobre vários outros termos, ou seja, distribuir é multiplicar o binômio por uma série de termos agrupados. Para facilitar, inicialmente, divida o primeiro binômio em dois termos e, depois multiplique cada termo do primeiro binômio pelos termos do segundo binômio. Vamos ver exemplos sobre o assunto. Exemplos: (a + b).(c + d) = a.(c + d) + b.(c + d) = a.c + a.d + b.c + b.d (a + b).(c – d) = a.(c – d) + b.(c – d) = a.c – a.d + b.c – b.d (a – b).(c + d) = a.(c + d) – b.(c + d) = a.c + a.d – b.c – b.d (a – b).(c – d) = a.(c – d) – b.(c – d) = a.c – a.d – b.c + b.d (x2 + 1).(y3 – 3) = x2.(y3 – 3) + 1.(y3 – 3) = x2.y3 - 3x2 + y3 – 3 (x2 + 1).(4x3 + 2x – 3) = x2. (4x3 + 2x – 3) + 1. (4x3 + 2x – 3) = = x2.4x3 + x2.2x – 3x2 + 4x3 + 2x – 3 = 4x3+2 + 2.x1+2 – 3x2 + 4x3 + 2x – 3 = = 4x5 + 2x3 – 3x2 + 4x3 + 2x – 3 = 4x5 + (2x3+ 4x3) – 3x2 + 2x – 3 = = 4x5 + 6x3 – 3x2 + 2x – 3 Voltando à expressão:

2

5 1

8 15 3

x

x x x

−= ⇒

− + −

5 1

( 3).( 5) 3

x

x x x

−⇒ = ⇒

− − −




Como tem (x – 3) dos dois lados da igualdade e já vimos que x é diferente de 3, podemos simplificar a expressão (caso contrário, não poderíamos simplificar zero com zero):

5 1

( 3).( 5) 3

x

x x x

−⇒ = ⇒

− − −

5 1

( 5) 1

x

x

−⇒ = ⇒

−

Da mesma maneira, como x é diferente de 5, podemos simplificar a fração do lado esquerdo da igualdade:

5 1

( 5) 1

x

x

−⇒ = ⇒

−

1 11 1

1 1= ⇒ =

Repare que, independentemente dos valores de x, 1 será sempre igual a 1. Logo, a expressão da questão é válida para quaisquer valores de x diferentes de 3 e 5 (que são os valores que tornam os denominadores iguais a zero). GABARITO: E

(Agente de Fazenda-ISS/RJ-2010-Esaf) 23. O PIB de um país que entrou em recessão no fim de 2008 tinha crescido 10% no primeiro trimestre de 2008, 5% no segundo trimestre, tinha ficado estável no terceiro trimestre e tinha caído 10% no último trimestre daquele ano. Calcule a taxa de crescimento do PIB desse País, em 2008. a) 1,25%. b) 5%. c) 4,58%. d) 3,95%. e) -5%. Resolução Vamos interpretar a questão: I - O PIB de um país que entrou em recessão no fim de 2008 tinha crescido 10% no primeiro trimestre de 2008... Vamos denominar o PIB do início do ano de 2008 como P0 e o PIB do final do primeiro trimestre como P1. No primeiro trimestre, o PIB cresceu 10%. Portanto, teríamos: P1 = P0 + P0 x 10% P1 = P0 x (1 + 10%) ⇒




⇒ P1 = P0 x (1 + 0,10) ⇒ ⇒ P1 = 1,10 x P0 II - ..., tinha crescido 5% no segundo trimestre,... Vamos chamar o PIB do final do segundo trimestre de P2. P2 = P1 + P1 x 5% P2 = P1 x (1 + 5%) ⇒ ⇒ P2 = P1 x (1 + 0,05) ⇒ ⇒ P2 = 1,05 x P1 ⇒ Como P1 = 1,10 x P0: ⇒ P2 = 1,05 x (1,10 x P0) ⇒ ⇒ P2 = 1,05 x 1,10 x P0 ⇒ ⇒ P2 = 1,155 x P0 III - ...tinha ficado estável no terceiro trimestre ... Portanto, o PIB ao final do terceiro trimestre (P3) será igual ao PIB do final do segundo semestre (P2): P3 = P2 = 1,155 x P0 IV - ...e tinha caído 10% no último trimestre daquele ano. Vamos chamar o PIB do final do quarto trimestre de P4. P4 = P3 – P3 x 10% ⇒ ⇒ P4 = P3 x (1 – 10%) ⇒ ⇒ P4 = P3 x (1 – 0,10) ⇒ ⇒ P4 = 0,90 x P3 ⇒ Como P3 = 1,155 x P0: ⇒ P4 = 0,90 x (1,155 x P0) ⇒ ⇒ P4 = 0,90 x 1,155 x P0 ⇒ ⇒ P4 = 1,0395 x P0

V – Cálculo da taxa de crescimento do PIB desse País, em 2008: A taxa de crescimento será o valor encontrado no último trimestre (final do ano) menos o valor do início do ano: Taxa de Crescimento = P4 – P0 Como: P4 = 1,0395 x P0




Taxa de Crescimento = 1,0395 x P0 – P0 ⇒ ⇒ Taxa de Crescimento = (1,0395 – 1) x P0 ⇒ ⇒ Taxa de Crescimento = 0,0395 x P0 ⇒ ⇒ Taxa de Crescimento = 3,95% x P0 GABARITO: D 24. Dois trabalhadores, trabalhando 8 horas por dia cada um, durante 15 dias, colhem juntos 60 sacos de arroz. Três outros trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia cada um, colhem juntos 75 sacos de arroz em 10 dias. Em média, quanto um trabalhador do primeiro grupo é mais ou menos produtivo que um trabalhador do segundo grupo? a) O trabalhador do primeiro grupo é 10% menos produtivo. b) O trabalhador do primeiro grupo é 10% mais produtivo. c) O trabalhador do primeiro grupo é 25% mais produtivo. d) As produtividades dos trabalhadores dos dois grupos é a mesma. e) O trabalhador do primeiro grupo é 25% menos produtivo. Resolução Vamos interpretar a questão: I - Dois trabalhadores, trabalhando 8 horas por dia cada um, durante 15 dias, colhem juntos 60 sacos de arroz. Vamos calcular a produtividade de um trabalhador por hora. 2 trabalhadores ⇒ 8 horas por dia ⇒ 15 dias ⇒ 60 sacos de arroz Portanto, se considerarmos apenas 1 trabalhador, trabalhando 8 horas por dia,

em 15 dias, seriam colhidos 30 sacos de arroz (60

2).

Se dividirmos 30 sacos por 15 dias, temos quanto um trabalhador colheu em um dia:

1 Trabalhador (em 1 um dia com 8 horas de trabalho) = 30

15 = 2 sacos

Finalmente, se dividirmos os 2 sacos colhidos por esse trabalhador em 1 dia pelo número de horas trabalhadas por dia (8 horas), teremos a sua produtividade em horas:

Produtividade1 = 2

8 = 1

4 = 0,25 saco/hora




Poderíamos resolver a questão utilizando os conceitos de regra de três composta. Vejamos: Regra de Três Composta: são formadas por uma igualdade entre mais de duas razões (proporção). Exemplo: Em uma fábrica, 25 máquinas produzem 15.000 peças de automóvel em 12 dias, trabalhando 10 horas por dia. Quantas horas por dia deverão trabalhar 30 dessas máquinas para produzir 18.000 peças em 15 dias? Relações: I. Quanto mais horas por dia forem trabalhadas, menos máquinas serão necessárias (grandezas inversamente proporcionais). II. Quanto mais horas por dia forem trabalhadas, menos dias serão necessários (grandezas inversamente proporcionais). III. Quanto mais horas por dia forem trabalhadas, mais peças serão produzidas (grandezas diretamente proporcionais). Horas/Dia Máquinas Dias Sacos

10 25 12 15.000 X 30 15 18.000

10 30 15 15.000 10 6 5 5 10 5

. . . .25 12 18.000 5 4 6 4

2 18 /

4

x x x

x horas diax

= ⇒ = ⇒ = ⇒

⇒ = ⇒ =

Voltando à questão, teríamos: I. Quanto mais horas por dia forem trabalhadas, mais sacos serão colhidos (grandezas diretamente proporcionais). II. Quanto mais trabalhadores, mais sacos serão colhidos (grandezas diretamente proporcionais). III. Quanto mais dias trabalhados, mais sacos serão colhidos (grandezas diretamente proporcionais). Horas/Dia Trabalhadores Dias Sacos

8 2 15 60 1 1 1 x

60 8 2 15 60

. . 8 2 151 1 1x x

= ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒




Multiplicando em cruz: ⇒ x . 8 . 2 . 15 = 60 ⇒

⇒ x = 60

8 2 15⋅ ⋅

Simplificando:

⇒ x = 2 1

8 4= =0,25 sacos por dia

II - Três outros trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia cada um, colhem juntos 75 sacos de arroz em 10 dias. Horas/Dia Trabalhadores Dias Sacos

10 3 10 75 1 1 1 x

75 10 3 10 75

. . 10.3.101 1 1x x

= ⇒ = ⇒

Multiplicando em cruz: ⇒ x . 10. 3 . 10 = 75 ⇒

⇒ x = 75

10.3.10

Simplificando:

⇒ x = 25 25

10.10 100= = 0,25 sacos por dia

Portanto, as produtividades dos trabalhadores dos dois grupos é a mesma. GABARITO: D

25.(EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Se a idade de uma criança hoje é a diferença entre a metade da idade que ela teria daqui a dez anos e a metade da idade que ela tinha há dois anos, qual a sua idade hoje? a) 3 anos. b) 2 anos. c) 4 anos. d) 5 anos. e) 6 anos.




Resolução Idade Hoje = X Idade Daqui a 10 anos = X + 10 Idade Há 2 anos = X – 2 Pelo enunciado: a idade de uma criança hoje (X) é a diferença entre a metade

da idade que ela teria daqui a dez anos 10

2

X +

e a metade da idade que ela

tinha há dois anos 2

2

X −

. Ou seja, transformamos o enunciado em uma

expressão:

10 2 10 2 126

2 2 2 2

X X X XX X anos

+ − + − += − = ⇒ = =

GABARITO: E 26.(AFRFB-2009-Esaf) Considere uma esfera, um cone, um cubo e uma pirâmide. A esfera mais o cubo pesam o mesmo que o cone. A esfera pesa o mesmo que o cubo mais a pirâmide. Considerando ainda que dois cones pesariam o mesmo que três pirâmides, quantos cubos pesa a esfera? a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 1 Resolução Primeiramente, vamos verificar as informações fornecidas para que possamos “montar” nossas equações: Peso da Esfera = Pe Peso do Cubo = Pcb Peso do Cone = Pcn Peso da Pirâmide = Pp De acordo com a questão, a esfera mais o cubo pesam o mesmo que o cone. Pe + Pcb = Pcn (I) Ainda de acordo com a questão, a esfera pesa o mesmo que o cubo mais a pirâmide. Pe = Pcb + Pp ⇒ Pp = Pe – Pcb (II)




E, finalmente, que dois cones pesam o mesmo que três pirâmides. 2.Pcn = 3.Pp (III) A questão deseja saber quantos cubos pesa a esfera. Substituindo (II) em (III): Pp = Pe – Pcb (II) 2.Pcn = 3.Pp (III) ⇒2.Pcn = 3.(Pe – Pcb) ⇒

⇒Pcn = 3

2.(Pe – Pcb) ⇒

⇒ Pcn = 1,5.(Pe – Pcb) (IV) Substituindo (IV) em (I): Pe + Pcb = Pcn (I) Pcn = 1,5.(Pe – Pcb) (IV) ⇒ Pe + Pcb = 1,5.(Pe – Pcb) ⇒ ⇒ Pe + Pcb = 1,5.Pe – 1,5.Pcb ⇒ ⇒ 1,5.Pe – Pe = Pcb + 1,5.Pcb ⇒ ⇒ 0,5.Pe = 2,5.Pcb ⇒

⇒ Pe = 2,5

0,5.Pcb ⇒

⇒ Pe = 5.Pcb GABARITO: B 27.(AFRFB-2009-Esaf) Considere as inequações dadas por:

2( ) 2 1 0f x x x= − + ≤ e 2( ) 2 3 2 0g x x x= − + + ≥ . Sabendo-se que A é o conjunto solução de f (x) e B o conjunto solução de g(x), então o conjunto Y = A∩B é igual a:

a) 1

{ | 2}2

Y x x−

= ∈ < ≤ℝ

b) 1

{ | 2}2

Y x x−

= ∈ ≤ ≤ℝ

c) { | 1}Y x x= ∈ =ℝ

d) { | 0}Y x x= ∈ ≥ℝ

e) { | 0}Y x x= ∈ ≤ℝ




Resolução Vamos estudar os conceitos: A função quadrática é representada de seguinte forma:

f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0

O gráfico será sempre uma parábola. a > 0 ⇒ parábola com concavidade para cima. a < 0 ⇒ parábola com concavidade para baixo. Raízes: f(x) = y = 0

2 42

b b acx

a− ± −=

2 4∆ b ac= − ∆ = 0 ⇒ a equação possui uma raiz real dupla: x´= x´´; ∆ > 0 ⇒ a equação possui duas raízes reais distintas: x´e x´´; e ∆ < 0 ⇒ a equação não possui raiz real.

x = 0 ⇒ f(0) = y = c

Um ponto importante neste gráfico é o seu mínimo, que ocorre quando x é igual a –b/2a. E como calculamos este ponto mínimo? Simples, basta derivar a função quadrática e igualar a zero. Professores, que história é essa de derivada? Vejamos: Suponha que: F(X) = a.xn + b.xn-1 + c.xn-2 + ....+ w.x + z Se eu fosse fazer a derivada desta expressão (F´(x)), eu teria: F´(X) = a.n.xn-1 + b.(n-1).xn-2 + c.(n-2).xn-3 + ....+ w + 0,

x

y y = f(x) = ax2 + bx + c, a > 0 x2 < x < x1 ⇒ y < 0 x < x2 ou x > x1 ⇒ y > 0 x = x1 ou x = x2 ⇒ y = 0

-b/2a

c

x2 x1




Ou seja, para derivar esta expressão, eu passo o expoente das variáveis “x” dos termos para “baixo”, multiplicando o coeficiente do termo, e subtraio o expoente em uma unidade. Repare: a.xn ⇒ derivada ⇒ a.n.xn-1 b.xn-1 ⇒> derivada ⇒ b.(n-1).xn-2

(...) w.x ⇒ derivada => w.1.x1-1 = w.x0 = w.1 = w z = z ⇒ derivada ⇒ 0 (como é uma constante, a derivada é zero) No caso, temos: f(x) = ax2 + bx + c Derivada de f(x) = f´(x) = 2.a.x2-1 + 1.b.x1-1 + 0 = 2ax + b Se igualarmos a derivada a zero:

2ax + b = 0 ⇒ 2ax = - b ⇒ x = 2

b

a

−

Nota: Se x1 = x2 ⇒ y ≥ 0, qualquer que seja x.

x

y y = f(x) = ax2 + bx + c, a < 0 x2 < x < x1 ⇒ y > 0 x < x2 ou x > x1 ⇒ y < 0 x = x1 ou x = x2 ⇒ y = 0

-b/2a

c

x2 x1

x

y

c

x1 = x2




Um ponto importante neste gráfico é o seu máximo, que ocorre quando x é igual a –b/2a. E como calculamos este ponto mínimo? Simples, basta derivar a função quadrática e igualar a zero. Vejamos: f(x) = ax2 + bx + c Derivada de f(x) = f´(x) = 2.a.x2-1 + 1.b.x1-1 + 0 = 2ax + b Se igualarmos a derivada a zero:

2ax + b = 0 ⇒ 2ax = - b ⇒ x = 2

b

a

−

Nota: Se x1 = x2 ⇒ y ≤ 0, qualquer que seja x.

Exemplos: f(x) = 3x2 – 10 f(x) = -2x2 + x + 1 Voltando à resolução da questão:

1. 2( ) 2 1 0f x x x= − + ≤ Calculando as raízes da equação: f(x) = x2 – 2x + 1 = 0 ⇒ (x – 1)2 = 0 (repare que (x – 1).(x – 1) = x2 – x – x + 1 = x2 – 2x + 1) ⇒ x = 1 (raiz dupla). Portanto, esta equação nunca é menor que zero, mas será igual a zero em x = 1. Veja o gráfico:

2( ) 2 1 0f x x x= − + ≤ ⇒A = {1}. Repare que poderíamos parar por aqui, pois queremos a interseção de A com B e, como A só possui um elemento (1), ou a interseção será um conjunto vazio (não há alternativa) ou será {1} (alternativa “c”).

x

y

1

x

y

c

x1 = x2




Somente para conferir vamos determinar o conjunto B:

2. 2( ) 2 3 2 0g x x x= − + + ≥ Calculando as raízes da equação: -2x2 + 3x + 2 = 0 a = -2, b = 3 e c = 2

22 3 3 4.( 2).24 3 9 16 3 5

2 42.( 2) 4

b b acx

a

− ± − −− ± − − ± + − ±= = = =

−− −

Raízes: x = (-3 + 5)/-4 = -1/2 x = (-3 – 5)/-4 = 2 Logo, como a é negativo (-2), o gráfico seria da seguinte forma:

2( ) 2 3 2 0g x x x= − + + ≥ => B = 1

{ | 2}2

x x−

∈ ≤ ≤ℝ

Y = A∩∩∩B = 1 ⇒ { | 1}Y x x= ∈ =ℝ

O símbolo ∩∩∩ corresponde a uma interseção, ou seja, o que há de comum entre a solução A e a solução B. GABARITO: C 28.(AFRFB-2009-Esaf) Se um polinômio f for divisível separadamente por (x – a) e (x – b) com a ≠ b, então f é divisível pelo produto entre (x – a) e (x – b). Sabendo-se que 5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x - 1) e (x + 3), respectivamente, então o resto da divisão desse polinômio pelo produto dado por (x - 1) e (x + 3) é igual a:

a) 13 7

4 4x +

b) 7 13

4 4x −

c) 7 13

4 4x +

x

g

-1/2 2




d) 13 13

4 4x

−−

e) 13 7

4 4x

−−

Resolução Vamos estudar os conceitos: Divisão por Binômios de Primeiro Grau: se dividirmos um polinômio f(x) de grau n maior ou igual a 1 por um polinômio g(x) de grau 1, como o resto da divisão tem que ser um polinômio de grau menor que o grau de g(x), será uma constante (r(x) = constante). Vejamos um exemplo. Exemplo: f(x) = 2x3 – 7x2 + 4x – 1 g(x) = x – 4 Apure o resultado da divisão de f(x) por g(x). Vamos aproveitar para treinar o procedimento de divisão. I) Inicialmente, montamos a divisão como se fossem números “normais”. 2x3 – 7x2 + 4x – 1 x – 4 II) Se fôssemos dividir o primeiro termo de f(x) pelo primeiro termo de g(x), teríamos:

33 1 22

2 2x

x xx

−= =

Portanto, devemos multiplicar todo o polinômio g(x) por 2x2 e fazermos a subtração de f(x) pelo polinômio resultante desta multiplicação. Com isso, eliminaremos o termo 2x3. Veja: 2x2.g(x) = 2x2.(x – 4) = 2x2.x – 2x2.4 = 2x2+1 – 8x2 = 2x3 – 8x2

– (2x2.g(x)) = – (2x3 – 8x2) = – 2x3 + 8x2 2x3 – 7x2 + 4x – 1 x – 4 –2x3 + 8x2 2x2 0 + x2 + 4x – 1




O resultado desta primeira divisão foi o polinômio f´(x) = x2 + 4x – 1. Como o grau desse polinômio (grau = 2) ainda é maior que o grau do polinômio g(x) (grau = 1), podemos continuar a divisão. III) Se fôssemos dividir o primeiro termo de f´(x) pelo primeiro termo de g(x), teríamos: 2

2 1xx x

x

−= =

Portanto, devemos multiplicar todo o polinômio g(x) por x e fazermos a subtração de f´(x) pelo polinômio resultante desta multiplicação. Com isso, eliminaremos o termo x2. Veja: x.g(x) = x.(x – 4) = x1+1 – x.4 = x2 – 4x – (x.g(x)) = – (x2 – 4x) = – x2 + 4x

2x3 – 7x2 + 4x – 1 x – 4 –2x3 + 8x2 2x2 + x 0 + x2 + 4x – 1 – x2 + 4x 0 + 8x – 1 O resultado desta segunda divisão foi o polinômio f´´(x) = 8x – 1. Como o grau desse polinômio (grau = 1) é igual que o grau do polinômio g(x) (grau = 1), podemos continuar a divisão. IV) Se fôssemos dividir o primeiro termo de f´´(x) pelo primeiro termo de g(x), teríamos: 8

8x

x=

Portanto, devemos multiplicar todo o polinômio g(x) por 8 e fazermos a subtração de f´´(x) pelo polinômio resultante desta multiplicação. Com isso, eliminaremos o termo 8x. Veja: 8.g(x) = 8.(x – 4) = 8x – 8.4 = 8x – 32

– (8.g(x)) = – (8x – 32) = – 8x + 32

2x3 – 7x2 + 4x – 1 x – 4 –2x3 + 8x2 2x2 + x + 8 0 + x2 + 4x – 1 – x2 + 4x 0 + 8x – 1 – 8x + 32 0 + 31




Portanto, r(x) = 31 (constante). O resto r é obtido justamente pela substituição da raiz de g(x) em f(x). Veja: g(x) = x – 4. Para calcularmos a raiz de g(x), igualamos g(x) a zero: g(x) = 0 ⇒ x – 4 = 0 ⇒ x = 4 f(x) = 2x3 – 7x2 + 4x – 1 f(x = 4) = 2.43 – 7.42 + 4.4 – 1 = 2 x 64 – 7 x 16 + 16 – 1 ⇒ ⇒ f(4) = 128 – 112 + 16 – 1 ⇒ f(4) = 31 (igual ao resto r(x)). Portanto, o resto da divisão de um polinômio f por x – a é igual ao valor numérico de f em para x = a.

Teorema de D´Alembert: Um polinômio f(x) é divisível por x – a (ou seja, o resto da divisão é igual a zero) se, e somente se, a é raiz de f(x). Exemplo: I) Verifique de f(x) = x5 – x4 – 2x2 – 3x – 2 é divisível por g(x) = x – 2. f(2) = 25 – 24 – 2.22 – 3.2 – 2 = 32 – 16 – 8 – 6 – 2 = 0. Portanto, f(x) é divisível por g(x). II) Determine a de modo que f(x) = x3 – 2ax2 + (a – 1)x + 15 seja divisível por x – 5. Para que f(x) seja divisível por x – 5, f(5) deve ser igual a zero. f(5) = 0 ⇒ 53 – 2a.52 + (a – 1).5 + 15 = 0 ⇒ ⇒ 125 – 50a + 5a – 5 + 15 = 0 ⇒ ⇒ 135 – 45a = 0 ⇒ ⇒ 45a = 135 ⇒

⇒ a = 135

45 ⇒ a = 3

Memorize para a prova: N Até aqui, tudo bem? Então vamos ver outro teorema importante: Se um polinômio f(x) é divisível, separadamente, por x – a e x – b, com a ≠ b, então f(x) é divisível pelo produto (x – a).(x – b).

( )f x

x a−⇒ resto da divisão é igual a f(a).

Se f(a) é igual a 0, f(x) é divisível por x – a.




Sejam: q(x) o quociente; e r(x) = cx + d o resto da divisão de f(x) por g(x) = (x – a).(x – b). Portanto, teremos: q(x).g(x) + r(x) = f(x) ⇒ ⇒ q(x).(x – a).(x – b) + cx + d = f(x) (I) Para x = a, temos que: f(a) = 0 (porque f(x) é divisível por x – a) Substituindo x = a na equação (I), teríamos: ⇒ q(x).(x – a).(x – b) + cx + d = f(x) ⇒ ⇒q(a).(a – a).(a – b) + c.a + d = f(a) ⇒ (repare que a – a = 0) ⇒ 0 + c.a + d = 0 ⇒ ⇒ c.a + d = 0 (II) Para x = b, temos que: f(b) = 0 (porque f(x) é divisível por x – b) Substituindo x = b na equação (I), teríamos: ⇒ q(x).(x – a).(x – b) + cx + d = f(x) ⇒ ⇒q(b).(b – a).(b – b) + c.b + d = f(b) ⇒ (repare que b – b = 0) ⇒ 0 + c.b + d = 0 ⇒ ⇒ c.b + d = 0 (III) Portanto, chegamos a duas equações: c.a + d = 0 (II) c.b + d = 0 (III) Fazendo (III) – (II): c.b + d – c.a – d = 0 ⇒ c.(b – a) = 0 ⇒ c = 0 Substituindo c = 0 em (III): 0.b + d = 0 ⇒ d = 0 Portanto, o resto r(x) = cx + d da divisão de f(x) por g(x) = (x – a).(x – b) é igual a zero. Ufa! Vamos resolver a questão: Se 5 é o resto da divisão de f por (x – 1) ⇒ f(1) = 5 Se -2 é o resto da divisão de f por (x + 3) ⇒ f(-3) = -2 Se o resto da divisão do polinômio f pelo produto (x – 1).(x + 3) será dado por ax + b (lembre-se que o resto deve ser zero ou possuir grau menor que o divisor, que, no caso, possui grau 2). Substituindo por x = 1 e x = -3, temos: f(x = 1) = 5 ⇒ a.x + b = 5 ⇒ a.1 + b = 5 f(x = -3) = -2 ⇒ a.x + b = -2 ⇒ a.(-3) + b = -2




a + b = 5 ⇒ a = 5 – b (I) -3a + b = -2 (II) Substituindo (I) em (II): -3.(5 – b) + b = -2 ⇒ -15 + 3b + b = -2 ⇒ ⇒ 4b = 13 ⇒ b = 13/4 (IV) Substituindo (IV) em (I): a = 5 – 13/4 = (20 – 13)/4 = 7/4

Portanto, o resto da divisão seria: 7 13

4 4x +

GABARITO: C 29.(ATRFB-2009-Esaf) Sejam X, Y e Z três pontos distintos de uma reta. O segmento XY é igual ao triplo do segmento YZ. O segmento XZ mede 32 centímetros. Desse modo, uma das possíveis medidas do segmento XY, em centímetros, é igual a: a) 27 b) 48 c) 35 d) 63 e) 72 Resolução Vamos interpretar a questão: X, Y e Z ⇒ 3 pontos distintos de uma reta

XY = 3.YZ ⇒ YZ = 3

XY

XZ = 32 cm Supondo a seguinte configuração:

XY = XZ + ZY ⇒ XY = 32 + 3

XY ⇒

⇒ XY – 3

XY = 32 ⇒

⇒ XY.3

3 –

3

XY = 32 ⇒

X Y Z




⇒ 2.

3

XY = 32 ⇒

⇒ XY = 3

2 . 32 = 3 . 16 ⇒

⇒ XY = 48 cm (repare que a questão fala em uma das possíveis medidas) Supondo a seguinte configuração: XZ = XY + YZ ⇒

⇒ 32 = XY + 3

XY⇒

⇒ XY.3

3 +

3

XY = 32 ⇒

⇒ 4. 3

XY= 32 ⇒

⇒ XY = 3

4 . 32 = 3 . 8 ⇒ XY = 24 cm

GABARITO: B 30.(Especialista em Políticas Públicas e Gestão Governamental-MPOG-2009-Esaf) Um químico deve preparar dois litros de uma mistura formada por duas substâncias A e B na proporção de 3 de A para 2 de B. Distraidamente ele misturou 500 ml de A com 1 litro de B. Sabendo-se que ele não tem mais do elemento B, como deve proceder para obter a mistura desejada? a) Apenas acrescentar 1 litro da substância A à sua mistura. b) Apenas acrescentar 500 ml da substância A à sua mistura. c) Descartar 200 ml de sua mistura e acrescentar 700 ml da substância A. d) Descartar 300 ml de sua mistura e acrescentar 800 ml da substância A. e) Descartar 400 ml de sua mistura e acrescentar 900 ml da substância A. Resolução Mistura = 2 litros = A + B

Proporção ⇒ 3 de A e 2 de B ⇒ A

B = 3

2

X Z Y




Vamos montar o seguinte sistema de equações: A + B = 2 litros (I) A

B = 3

2 (II)

De (II), temos: A = 3

2 x B = 1,5 B (III)

Substituindo (III) em (I): 1,5B + B = 2 ⇒ ⇒ 2,5 B = 2 ⇒

⇒ B = 2

2,5= 0,8 litros

⇒ A = 1,5 x B = 1,5 x 0,8 = 1,2 litros Logo, esta deve ser a mistura: A = 1,2 litros e B = 0,8 litros Contudo, o químico, distraidamente, misturou 500 ml de A e 1 litro de B, e não possui mais a substância B: A = 500 ml = 0,5 litros B = 1 litro (não há mais a substância B) Total = 500 ml + 1 litro = 1,5 litros

Ou seja, na mistura feita, temos A

B = 0,5

1 = 1

2 (IV)

Como precisamos apenas de 0,8 litros (800 ml de B), precisamos retirar 200 ml de B, mas, como B já está misturado, a quantidade da mistura que será descartada é: B = 200 ml

De (IV) A = 2

B= 200

2

ml = 100 ml

Total da Mistura Errada a ser Descartada = 200 ml + 100 ml = 300 ml Logo, a mistura ficou da seguinte maneira: A = 500 ml – 100 ml = 400 ml B = 1 litro – 200 ml = 800 ml (ok)




Ou seja, para chegar na proporção desejada, temos que adicionar mais 800 ml da substância A: A = 400 ml + 800 ml = 1,2 litros (ok) B = 800 ml (ok) Total = A + B = 1,2 litros + 800 ml = 2 litros Logo, a alternativa correta é: d) Descartar 300 ml de sua mistura e acrescentar 800 ml da substância A. GABARITO: D 31.(Assistente Técnico-Administrativo-MF-2009-Esaf) Com 50 trabalhadores, com a mesmo produtividade, trabalhando 8 horas por dia, uma obra ficaria pronta em 24 dias. Com 40 trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia, com uma produtividade 20% menor que os primeiros, em quantos dias a mesma obra ficaria pronta? a) 24 b) 16 c) 30 d) 15 e) 20 Resolução Vamos uma regra de três composta. Isso tem que estar no seu sangue na hora da prova! I – O número de dias para terminar a obra é inversamente proporcional ao número de trabalhadores, ou seja, quanto maior o número de trabalhadores, menor o número de dias, e vice-versa. II – O número de dias para terminar a obra é inversamente proporcional à jornada de trabalho, ou seja, quanto maior a jornada de trabalho, menor o número de dias, e vice-versa. III – O número de dias para terminar a obra é inversamente proporcional à produtividade, ou seja, quanto maior produtividade, menor o número de dias, e vice-versa. Vamos interpretar a questão: I - Com 50 trabalhadores, com a mesmo produtividade, trabalhando 8 horas por dia, uma obra ficaria pronta em 24 dias. 50 trabalhadores ==� 8 horas por dia ==� 24 dias para a obra ficar pronta




Vamos considerar (sem fazer cálculos), que a produtividade desses trabalhadores seja P0. II - Com 40 trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia, com uma produtividade 20% menor que os primeiros, em quantos dias a mesma obra ficaria pronta? Agora temos: 40 trabalhadores ==� 10 horas por dia ==� X dias para a obra ficar pronta, considerando uma produtividade P1, sendo que P1 é 20% menor que P0 (produtividade dos primeiros trabalhadores). P1 = P0 – 20% x P0 ⇒ ⇒ P1 = P0 x (1 – 20%) ⇒

⇒ P1 = P0 x (1 - 20

100) ⇒

⇒ P1 = P0 x (1 – 0,20) ⇒ ⇒ P1 = 0,80 x P0 Vamos montar a regra de três composta:

Dias Trabalhadores Jornada Produtividade 24 50 8 P0 X 40 10 0,8P0

24 40 10 0,8.

50 8

P

X P= ⋅ ⋅ ⇒

Aqui, podemos divider 40 por 8 (resultado igual a 5) e 50 por 10 (resultado igual a 5): 24 5 1 0,8.

5 1

24 1 1 0,8.

1 1

P

X P

P

X P

⇒ = ⋅ ⋅ ⇒

⇒ = ⋅ ⋅ ⇒

Como P aparece no numerador e no denominador da fração do lado direito, podemos simplificar: 24

0,8X

⇒ = ⇒

⇒0,8 . X = 24 ⇒

⇒X = 24

0,8⇒ X = 30 dias

GABARITO: C




32.(Assistente Técnico-Administrativo-MF-2009-Esaf) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá? a) 12 horas b) 30 horas c) 20 horas d) 24 horas e) 16 horas Resolução Vamos interpretar a questão: I - Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Torneira 1 aberta (T1) ⇒ Tanque enche em 24 horas II - Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Torneira 2 aberta (T2) ⇒ Tanque enche em 48 horas

III - Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá? O tempo para encher o tanque com as duas torneiras juntas será sempre calculado da seguinte maneira:

2 1

1 2 1 2

1 2

1 2

1 1 1 1

24 48 1.15216

24 48 72

T T

T T T T T T

T T xT horas

T T

+= + ⇒ = ⇒

×

×⇒ = = = =

+ +

GABARITO: E




33.(Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças Públicas-Sefaz/SP-2009-Esaf) Num acampamento escolar com crianças que supostamente comem a mesma quantidade de comida por dia, havia comida suficiente para exatamente 60 dias. Passados 20 dias, chegaram inesperadamente mais vinte crianças que supostamente comiam a mesma quantidade de comida por dia que as que estavam acampadas e que ficaram 10 dias no local antes de seguirem viagem. Se, ao fim de 50 dias, a contar do início do acampamento, as crianças tiveram que ir embora porque a comida havia acabado, quantas eram elas? a) 120 b) 20 c) 30 d) 60 e) 10 Resolução I. Número de crianças inicial: X Tempo de Consumo da Comida = 60 dias Quantidade de Comida Total = Q

Quantidade de Comida Consumida por Dia = 60

Q

Quantidade de Comida Consumida por Criança por Dia = .60

Q

X

II. Passados 20 dias: mais 20 crianças, que ficaram 10 dias no local. Número de Crianças = X + 20 Tempo de Consumo Restante = 60 – 20 = 40 dias

Quant. de Comida Consumida por Criança por Dia (não foi alterada) = .60

Q

X

III. Término da Comida ⇒ 50 dias após o início do acampamento Cálculo: Primeiros 20 dias: Quantidade de Comida Consumida (Q1)

Q1 = 20 dias x X crianças x .60

Q

X= 3

Q

Do dia 21 ao dia 30 (10 dias): Quantidade de Comida Consumida (Q2)

Q2 = 10 dias x (X + 20) crianças x .60

Q

X=

( 20)

.6

Q X

X

⋅ +




Do dia 31 ao dia 50 (20 dias): as 20 crianças foram embora. Quantidade de Comida Consumida (Q3)

Q3 = 20 dias x X crianças x .60

Q

X= 3

Q

Q1 + Q2

+ Q3 = Q ⇒

.( 20)

3 6. 3

1 ( 20) 11

3 6. 3

20 21

6. 3

20 21

6. 3

20 1

6. 3

Q Q X QQ

X

X

X

X

X

X

X

X

X

+⇒ + + = ⇒

+⇒ + + = ⇒

+⇒ + =

+⇒ = − ⇒

+⇒ = ⇒

Multiplicando em cruz: 3.( 20) 6.

3. 60 6.

6. 3. 60

3. 60

60

3

X X

X X

X X

X

X

⇒ + = ⇒

⇒ + = ⇒

⇒ − = ⇒

⇒ = ⇒

⇒ = ⇒

⇒X = 20 dias

GABARITO: B 34.(Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças Públicas-Sefaz/SP-2009-Esaf) Suponha que um carro perde por ano 20% de seu valor em relação ao ano anterior, uma moto perde por ano 30% de seu valor em relação ao ano anterior e uma bicicleta perde por ano 10% de seu valor em relação ao ano anterior. Além disso, suponha que o carro custa o dobro de uma moto e uma moto o dobro de uma bicicleta. Sendo assim, ao final de 5 anos: a) a bicicleta valerá mais que a moto. b) o carro valerá mais que a moto e a moto valerá mais que a bicicleta. c) nenhum dos 3 valerá nada. d) a bicicleta valerá mais que o carro. e) apenas a bicicleta valerá algo.




Resolução Vamos interpretar a questão: I - Suponha que um carro perde por ano 20% de seu valor em relação ao ano anterior, uma moto perde por ano 30% de seu valor em relação ao ano anterior e uma bicicleta perde por ano 10% de seu valor em relação ao ano anterior. Carro ⇒ perde 20% de seu valor em relação ao ano anterior Moto ⇒ perde 30% de seu valor em relação ao ano anterior Bicicleta ⇒ perde 10% de seu valor em relação ao ano anterior II - Além disso, suponha que o carro custa o dobro de uma moto e uma moto o dobro de uma bicicleta. Preço do Carro (Pc) = 2.Preço da Moto (Pm) ⇒ Pc = 2.Pm

Preço da Moto (Pm) = 2.Preço da Bicicleta (Pb) ⇒ Pm = 2.Pb Pc = 2.Pm = 2. 2.Pb = 4.Pb (I) III - Sendo assim, ao final de 5 anos: I. Carro: Pc (ano 1) = Pc(ano 0) – 20%. Pc(ano 0) = 0,8. Pc(ano 0) Pc (ano 2) = Pc(ano 1) – 20%. Pc(ano 1) = 0,8. Pc(ano 0) – 20%.0,8. Pc(ano 0) Pc (ano 2) = 0,8. Pc (ano 0).(1 – 20%) = 0,8. Pc (ano 0).0,8 = 0,82.Pc(ano 0) Logo, por dedução, ao final de 5 anos: Pc(ano 5) = 0,85.Pc(ano 0) II. Moto: Pm (ano 1) = Pm(ano 0) – 30%. Pm(ano 0) = 0,7. Pm(ano 0) Pm (ano 2) = Pm(ano 1) – 30%.Pm(ano 1) = 0,7.Pm(ano 0) – 30%.0,7.Pm(ano 0) Pm (ano 2) = 0,7. Pm (ano 0).(1 – 30%) = 0,7. Pm (ano 0).0,7 = 0,72.Pm(ano 0) Logo, por dedução, ao final de 5 anos: Pm(ano 5) = 0,75.Pm(ano 0) III. Bicicleta: Pb (ano 1) = Pb(ano 0) – 10%. Pb(ano 0) = 0,9. Pb(ano 0) Pb (ano 2) = Pb(ano 1) – 10%.Pb(ano 1) = 0,9.Pb(ano 0) – 10%.0,9.Pb(ano 0) Pb (ano 2) = 0,9. Pb (ano 0).(1 – 10%) = 0,9. Pb (ano 0).0,9 = 0,92.Pb(ano 0) Logo, por dedução, ao final de 5 anos: Pb(ano 5) = 0,95.Pb(ano 0) Portanto, temos: Pc(ano 5) = 0,85.Pc(ano 0) Pm(ano 5) = 0,75.Pm(ano 0) Pb(ano 5) = 0,95.Pb(ano 0)




Relações 5 5 5

5 5 5

( 5) 0,8 . ( 0) 0,8 .2. ( 0) 0,8 .23,90

( 5) 0,7 . ( 0) 0,7 . ( 0) 0,7

c c m

m m m

P ano P ano P ano

P ano P ano P ano= = = =

Não é necessário fazer a conta, pois 2 x 0,85 é maior que 0,75. O preço do carro no ano 5 é maior que o preço da moto no ano 5.

5 5 5

5 5 5

( 5) 0,8 . ( 0) 0,8 .4. ( 0) 0,8 .42,22

( 5) 0,9 . ( 0) 0,9 . ( 0) 0,9

c c b

b b b

P ano P ano P ano


Se calcularmos os valores: 0,85 = 0,32768 4 x 0,85 = 4 x 0,32768 = 1,31072 0,95 = 0,59049 Portanto 4 x 0,85 é maior que 0,95. O preço do carro no ano 5 é maior que o preço da bicicleta no ano 5.

5 5 5

5 5 5

( 5) 0,7 . ( 0) 0,7 .2. ( 0) 0,7 .20,57

( 5) 0,9 . ( 0) 0,9 . ( 0) 0,9

m m m

b b b

P ano P ano P ano


Se calcularmos os valores: 0,75 = 0,16807 2 x 0,75 = 2 x 0,16807 = 0,33614 0,95 = 0,59049 Portanto 2 x 0,75 é menor que 0,95. O preço da moto no ano 5 é menor que o preço da bicicleta no ano 5. GABARITO: A 35.(Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças Públicas-Sefaz/SP-2009-Esaf) Em uma cidade, às 15 horas, a sombra de um poste de 10 metros de altura mede 20 metros e, às 16 horas do mesmo dia, a sombra deste mesmo poste mede 25 m. Por interpolação e extrapolação lineares, calcule quanto mediria a sombra de um poste de 20 metros, na mesma cidade, às 15h30min do mesmo dia. a) 45m b) 35m c) 20m d) 50m e) 65m




Resolução Vamos interpretar a questão: I - Em uma cidade, às 15 horas, a sombra de um poste de 10 metros de altura mede 20 metros e,... 15 horas ===== Sombra de Poste de 10 metros = 20 metros II - ... às 16 horas do mesmo dia, a sombra deste mesmo poste mede 25 m. 16 horas ===== Sombra de Poste de 10 metros = 25 metros III - Por interpolação e extrapolação lineares, calcule quanto mediria a sombra de um poste de 20 metros, na mesma cidade, às 15h30min do mesmo dia. Interpolação Linear: Sombra de um Poste de 10 metros às 15h30min Na interpolação linear, consideramos que a variação é linear, isto é, se assemelha a uma reta. Portanto, sabemos que, das 15 às 16 horas, há uma variação da sombra de 20 para 25 metros. Ou seja, em 1 horas (16 horas – 15 horas), a sobra variou 5 metros (25 metros – 20 metros). A questão deseja saber a sombra às 15 horas e 30 minutos. Montando a regra de três simples, teríamos: (16 – 15) horas = 1 hora ===� (25 – 20) metros = 5 metros (15h30min – 15) horas = 30 minutos = 0,50 hora ===� X 1.X = 0,5 . 5 ⇒ X = 2,5 metros Logo, às 15 h e 30 min, a sombra de um poste de 10 metros seria: S = 20 metros + 2,5 metros = 22,5 metros Agora, por extrapolação linear, ou seja, considerando que se a altura do poste variar, a sombra também variará linearmente, teríamos: A questão pede a sombra de um poste de 20 metros às 15h30min. 22,5 metros ===� 10 metros S´ ===� 20 metros

S´= 22,5 20

10

⋅ = 22,5 x 2 = 45 metros

GABARITO: A




36.(EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Uma picape para ir da cidade A para a cidade B gasta dois tanques e meio de óleo diesel. Se a distância entre a cidade A e a cidade B é de 500 km e neste percurso ele faz 100 km com 25 litros de óleo diesel, quantos litros de óleo diesel cabem no tanque da picape? a) 60 b) 50 c) 40 d) 70 e) 80 Resolução Vamos interpretar a questão: I - Uma picape para ir da cidade A para a cidade B gasta dois tanques e meio de óleo diesel. Gasto = 2,5 tanques de óleo diesel II - Se a distância entre a cidade A e a cidade B é de 500 km e neste percurso ele faz 100 km com 25 litros de óleo diesel, quantos litros de óleo diesel cabem no tanque da picape? Distância de A para B = 500 km

Consumo = 100 km com 25 litros = 100

25 = 4 km/l

Fazendo uma regra de três simples: a distância percorrida e o gasto de combustível são grandezas diretamente proporcionais. 4 km ==� 1litro 500 km ==� X

4.X = 500.1 ⇒ X = 500

4= 125 litros

A quantidade de litros e a quantidade de tanques são diretamente proporcionais. 125 litros ==� 2,5 tanques Y ==� 1 tanque

2,5.Y = 125 ⇒ Y = 125

2,5⇒ Y = 50 litros

GABARITO: B




37.(EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Dois pintores com habilidade padrão conseguem pintar um muro na velocidade de 5 metros quadrados por hora. Se fossem empregados, em vez de dois, três pintores com habilidade padrão, os três pintariam: a) 15 metros quadrados em 3 horas. b) 7,5 metros quadrados em 50 minutos. c) 6 metros quadrados em 50 minutos. d) 7,5 metros quadrados em 30 minutos. e) 5 metros quadrados em 40 minutos. Resolução O número de pintores e o número de metros quadrados pintados são grandezas diretamente proporcionais.

Pintores Velocidade 2 5 metros quadrados por hora 3 X

2 5 15

2. 3.5 7,53 2

X XX

= ⇒ = ⇒ = = metros quadrados por hora

7,5 metros quadrados ==� 1 hora T ==� 3 horas T = 3 x 7,5 = 22,5 metros quadrados em 3 horas 7,5 metros quadrados ==� 1 hora X ==� 50 minutos

X = 7,5 x 50

60= 6,25 metros quadrados em 50 minutos

7,5 metros quadrados ==� 1 hora Y ==� 40 minutos

Y = 7,5 x 40

60= 5 metros quadrados em 40 minutos

7,5 metros quadrados ==� 1 hora Z ==� 30 minutos

Z = 7,5 x 30

60= 3,75 metros quadrados em 30 minutos

GABARITO: E




38.(EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Uma empresa de turismo fechou um pacote para um grupo de 80 pessoas, com o qual ficou acordado que cada pessoa que participasse pagaria R$ 1.000,00 e cada pessoa que desistisse pagaria apenas uma taxa de R$ 150,00. Se a empresa de turismo arrecadou um total de R$ 59.600,00, qual a porcentagem das pessoas que desistiram do pacote? a) 20% b) 24% c) 30% d) 42% e) 36% Resolução Vamos interpretar a questão. I - Uma empresa de turismo fechou um pacote para um grupo de 80 pessoas, com o qual ficou acordado que cada pessoa que participasse pagaria R$ 1.000,00 e cada pessoa que desistisse pagaria apenas uma taxa de R$ 150,00. Pacote de Turismo: Pessoa Participante (Pp) = R$ 1.000,00 Pessoa Desistente (Pd) = R$ 150,00 Total de Pessoas (P) = 80 = Pp + Pd ⇒ Pp = 80 - Pd (i) II - Se a empresa de turismo arrecadou um total de R$ 59.600,00, qual a porcentagem das pessoas que desistiram do pacote? Arrecadação Total = R$ 59.600,00 = 1.000.Pp + 150.Pd (ii) Substituindo (i) em (ii): ⇒ 59.600 = 1.000.(80 - Pd) + 150.Pd ⇒ ⇒ 59.600 = 80.000 – 1.000.Pd + 150.Pd ⇒ ⇒ 59.600 = 80.000 – 850.Pd ⇒ ⇒ 850.Pd = 80.000 – 59.600 = 20.400 ⇒

⇒ Pd = 20.400

850 = 24 pessoas

Percentual de Pessoas Desistentes = 24

80= 30%

GABARITO: C




39.(EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Um passageiro, para viajar de A para C, deve ir de ônibus de A até B e de trem de B até C, sendo que B está na metade do caminho entre A e C. Os ônibus, de A para B, e os trens, de B para C, saem sempre no mesmo horário, a cada 20 minutos. Sabendo-se que a velocidade média do ônibus para ir de A até B é de 60 km/h, que a distância entre A e C é de 100 km e que o passageiro chegou em B, pegou o primeiro trem que partia para C e chegou em C exatamente uma hora e meia após partir de A, qual a velocidade média do trem para ir de B até C? a) 100 km/h b) 90 km/h c) 70 km/h d) 80 km/h e) 60 km/h Resolução Vamos relembrar o movimento uniforme: Movimento Uniforme: é o movimento que se caracteriza pela velocidade constante em qualquer instante ou intervalo de tempo. Podemos dizer ainda que o móvel percorre distâncias iguais em intervalos de tempos iguais. a = aceleração = zero v = velocidade = constante e diferente de zero s = posição no instante t s0 = posição no instante t0 s = s0 + v.t Velocidade = Distância Percorrida/Variação do Tempo Vamos resolver a questão: Passageiro ⇒ Viagem de A para C Ônibus ⇒ de A até B Trem ⇒ de B até C (B é metade do caminho de A para C) Distância entre A e C = 2X = 100 km

S0

v

S

Instante t0 Instante t v




Distância entre A e B = Distância entre B e C = X = 100

2= 50 km

Ônibus e Trens ⇒ saem no mesmo horário, a cada 20 minutos. Velocidade Média do Ônibus (para ir de A até B) = 60 km/h Passageiro chegou em B e pegou o primeiro trem que partia de C Tempo de Viagem entre A e C = 1 hora e meia = 90 minutos I – Tempo de viagem de A para B: Distância (entre A e B) = 50 km s0 = 0 s = 50 km Velocidade (vo) = 60 km/h Movimento Uniforme:

s = s0 + v.tAB ⇒ 50 = 0 + 60.tAB ⇒ tAB = 50

60 hora

Como 1 hora tem 60 minutos:

⇒ tAB = 50

60 x 60 minutos = 50 minutos

Como os trens saem de 20 e 20 minutos e ele chegou em B com 50 minutos, terá que esperar mais 10 minutos para pegar o trem. ⇒ tespera = 10 minutos II – Tempo Total: tAC = tAB + tespera + tBC ⇒ 90 = 50 + 10 + tBC ⇒ tBC = 30 minutos III – Velocidade Média do Trem: Distância (entre B e C) = 50 km s = 50 s´ = 100 km Velocidade do Trem = vt tBC = 30 minutos = 0,5 hora Movimento Uniforme: s = s0 + v.tAB ⇒ 100 = 50 + vt.0,5 ⇒ 0,5.vt = 50 ⇒ vt = 100 km/h GABARITO: A

A B C

X X s0 s s´




40.(ANA-2009-Esaf) Um rio principal tem, ao passar em determinado ponto, 20% de águas turvas e 80% de águas claras, que não se misturam. Logo abaixo desse ponto desemboca um afluente, que tem um volume d´água 30% menor que o rio principal e que, por sua vez, tem 70% de águas turvas e 30% de águas claras, que não se misturam nem entre si nem com as do rio principal. Obtenha o valor mais próximo da porcentagem de águas turvas que os dois rios terão logo apos se encontrarem. a) 41% b) 35% c) 45% d) 49% e) 55% Resolução Vamos interpretar a questão? Então let´s go: I - Um rio principal tem, ao passar em determinado ponto, 20% de águas turvas e 80% de águas claras, que não se misturam. Rio Principal = 20% de águas turvas (T) + 80% de águas claras (C) Volume do Rio Principal = V II - Logo abaixo desse ponto desemboca um afluente, que tem um volume d´água 30% menor que o rio principal e que, por sua vez, tem 70% de águas turvas e 30% de águas claras, que não se misturam nem entre si nem com as do rio principal. Afluente = 70% águas turvas (T) + 30% de águas claras (C) Volume do Afluente = V – 30%.V = V – 0,30.V = 0,7.V III - Obtenha o valor mais próximo da porcentagem de águas turvas que os dois rios terão logo apos se encontrarem. Quando os dois rios se encontrarem: Volume Total = V + 0,7.V = V.(20%.T + 80%.C) + 0,7.V.(70%.T + 30%.C) ⇒ 1,7.V = V.(20%.T + 80%.C) + 0,7.V.(70%.T + 30%.C) ⇒ ⇒ 1,7 = 0,2.T + 0,8.C + 0,7.(0,7.T + 0,3.C) ⇒ ⇒ 1,7 = 0,2.T + 0,49.T + 0,8.C + 0,21.C ⇒ ⇒ 1,7 = 0,69.T + 1,01.C

Porcentagem de Águas Turvas = 0,69

1,7= 40,59%

GABARITO: A




41.(ANA-2009-Esaf) Em um ponto de um canal, passam em media 25 barcos por hora quando esta chovendo e 35 barcos por hora quando não esta chovendo, exceto nos domingos, quando a freqüência dos barcos cai em 20%. Qual o valor mais próximo do numero médio de barcos que passaram por hora neste ponto, em um fim de semana, se choveu durante 2/3 das horas do sábado e durante 1/3 das horas do domingo? a) 24,33 b) 26,83 c) 25,67 d) 27,00 e) 30,00 Resolução Vamos interpretar a questão. I - Em um ponto de um canal, passam em media 25 barcos por hora quando esta chovendo e 35 barcos por hora quando não esta chovendo, exceto nos domingos, quando a freqüência dos barcos cai em 20%. Canal: Dias de chuva ⇒ 25 barcos por hora Dias sem chuva ⇒ 35 barcos por hora Exceto domingos ⇒ freqüência cai 20%. Domingos com chuva = 25 – 20%.25 ⇒ ⇒Domingos com chuva = 25 – 0,2 x 25 ⇒ ⇒Domingos com chuva = 25 – 5 = 20 barcos por hora Domingos sem chuva = 35 – 20%.35 ⇒ ⇒Domingos com chuva = 35 – 0,2 x 35 ⇒ ⇒Domingos com chuva = 35 – 7 = 28 barcos por hora II - Qual o valor mais próximo do numero médio de barcos que passaram por hora neste ponto, em um fim de semana, se choveu durante 2/3 das horas do sábado e durante 1/3 das horas do domingo? Número médio de barcos por hora ⇒ final de semana

Sábado ⇒ choveu durante 2

3 das horas

Domingo ⇒ choveu durante 1

3 das horas




Número Médio (Sábado) = 2

3 x 25 barcos/hora +

1

3 x 35 barcos/hora

⇒ Número Médio (Sábado) = 50

3 + 35

3 = 85

3 = 28,33 barcos/hora

Número Médio (Domingo) = 1

3 x 20 barcos/hora +

2

3 x 28 barcos/hora

⇒ Número Médio (Domingo) = 20

3 + 56

3 = 76

3= 25,33 barcos/hora

Número Médio (Final de Semana) = 28,33 25,33

2

+= 26,83

GABARITO: B 42.(ANA-2009-Esaf) Alguns amigos apostam uma corrida num percurso em linha reta delimitado com 20 bandeirinhas igualmente espaçadas. A largada e na primeira bandeirinha e a chegada na ultima. O corredor que esta na frente leva exatamente 13 segundos para passar pela 13a bandeirinha. Se ele mantiver a mesma velocidade durante o restante do trajeto, o valor mais próximo do tempo em que ele correra o percurso todo será de: a) 17,54 segundos. b) 19 segundos. c) 20,58 segundos. d) 20 segundos. e) 21,67 segundos. Resolução Percurso ⇒ 20 bandeirinhas igualmente espaçadas Corredor da frente ⇒ t = 13 segundos para passar da 13a bandeirinha Repare que as bandeiras são igualmente espaçadas e, até a 13a bandeira, o primeiro corredor percorreu 12.D. Até a 20a bandeira serão 19.D. 13 segundos ==� 12.D X ==� 19.D 12.D.X = 13.19.D ⇒

⇒12.X = 13.19 ⇒ X = 247

12= 20,58 segundos

GABARITO: C

13 20

D D D D D D D D D D D D D D D D D D D




43.(Analista de Processos Organizacionais-Administração-Bahiagás- 2010-FCC) Sendo x e y números reais, definiremos a operação Θ tal que xΘy é igual a x−y. Partindo-se dessa definição, é correto dizer que (xΘy) Θ (yΘx) é igual a (A) 2x (B) 2y (C) 2(x−y) (D) −2(x−y) (E) −2x Resolução Primeiramente, não precisa se assustar com símbolo Θ e outros que possam vir a aparecer em questões desse tipo. O que você precisa “tirar de informação” da questão é qual o significado do símbolo. No caso desta questão, o símbolo significa o “sinal de menos”. Portanto: xΘy = x−y; ou seja, Θ = – (menos). Portanto, basta pegar a informação dada na questão, substituir na expressão que a questão informa e calcular o resultado. Vamos lá: (xΘy) Θ (yΘx) = (x – y) – (y – x). Beleza até aqui? Repare que, no segundo termo: – (y – x) = – (+ y – x). Se retirarmos os parênteses, teríamos: – + y – – x = – y + x. Portanto, o que temos que guardar é: 1. Normalmente, não mostramos o sinal de mais (+) no primeiro termo, ou seja, (x + y) = (+ x + y). 2. Menos (–) multiplicado por mais (+) é igual a menos (–): – + = –. 3. Menos (–) multiplicado por menos (–) é igual a mais (+): – – = +. 4. Mais (+) multiplicado por mais (+) é igual a mais (+): + + = +. Voltando, a nossa questão, teríamos: (xΘy) Θ (yΘx) = (x – y) – (y – x) = x – y – y + x = 2x – 2y. Como aparece o número 2 nos dois termos, podemos colocar em evidência (todos os termos estão multiplicados por 2). Logo: 2x – 2y = 2 . (x – y). GABARITO: C




44.(Analista Judiciário-Área Administrativa-TRT/15R-2009-FCC) Do

total de projetos que estavam em um arquivo, sabe-se que: 2

5 deveriam ser

analisados e 4

7 referiam-se ao atendimento ao público interno. Com essa

informação, é correto concluir que o total de projetos existentes nesse arquivo NUNCA poderia ser um número compreendido entre (A) 10 e 50. (B) 60 e 100. (C) 110 e 160. (D) 150 e 170. (E) 180 e 220. Resolução Se consideramos que o número total de projetos é igual a “X”, sabemos que:

Projetos a serem analisados = X . 2

5

Projetos relacionados ao público interno = X . 4

7

Repare que o número de projetos a serem analisados e o número de projetos relacionados ao público interno devem ser números naturais, certo? Claro! Você já viu alguém analisar meio processo ou um processo negativo? Risos. Pois é. Esta é a “informação chave” da questão, pois, se são números naturais, o número total de processos deve ser divisível por 5 e divisível por 7. Se um número deve ser divisível por 5 e divisível por 7, ele deve ser divisível por 5 x 7 = 35 (que é o mínimo múltiplo comum de 5 e 7). Generalizando, se um número é divisível por A e divisível por B, ele deve ser divisível pelo mínimo múltiplo comum de A e B. Portanto, basta conhecer os múltiplos de 35 para verificarmos a resposta correta. Veja: 1 x 35 = 35 2 x 35 = 70 3 x 35 = 105 4 x 35 = 140 5 x 35 = 175 6 x 35 = 210 7 x 35 = 245




Logo, o número total de projetos “X” pode ser: 35, 70, 105, 140, 175, 210, 245,... Analisando as alternativas, temos que verificar em qual delas não há algum dos números supramencionados: (A) 10 e 50. ⇒35 está compreendido entre 10 e 50. (B) 60 e 100. ⇒70 está compreendido entre 60 e 100. (C) 110 e 160. ⇒105 e 140 estão compreendidos entre 110 e 160. (D) 150 e 170. ⇒ não há número divisível por 35 neste intervalo (E) 180 e 220. ⇒210 está compreendido entre 180 e 220. GABARITO: D 45.(Técnico Judiciário-Administrativa-TRF/4R-2010-FCC) A expressão N ÷ 0,0125 é equivalente ao produto de N por (A) 1,25. (B) 12,5.

(C) 1.

80

(D) 80.

(E) 125

.100

Resolução Vamos aos conceitos: Decimais: o número de casas decimais à direita da vírgula indica o número de zeros da potência de 10 que será escrita no denominador. No caso concreto da questão, temos o número 0,0125. Representando esse número em forma de fração, teríamos: Número de casas decimais à direita da vírgula = 4 Denominador = 104 = 10.000

Portanto: 0,0125 = 125

10.000

A questão quer saber qual é a expressão equivalente a N ÷ 0,0125:

N ÷ 0,0125 = N ÷ 125

10.000




Mais um conceito: dividir por uma fração é multiplicar pelo seu inverso, ou seja, o que numerador vira denominador e vice-versa. No caso, teríamos:

N ÷ 125

10.000= N x

10.000

125 = N x 80

GABARITO: D 46.(Técnico Judiciário-Administrativa-TRF/4R-2010-FCC) Sejam x , y e z três números inteiros e positivos, tais que x < y < z. Sabe-se que o maior é a soma dos outros dois, e que o menor é um sexto do maior. Nessas condições, x, y e z são, nesta ordem, diretamente proporcionais a (A) 1, 3 e 6. (B) 1, 4 e 6. (C) 1, 5 e 6. (D) 1, 6 e 7. (E) 1, 7 e 8. Resolução Três números inteiros e positivos: x, y e z (x < y < z). Informações da questão: I - o maior é a soma dos outros dois: Maior número = z = Soma dos outros dois = x + y ⇒ z = x + y (I) II – o menor é um sexto do maior:

Menor número = x = um sexto do maior = maior sobre 6 = 6

z (II)

Repare que o valor “1” aparece em todas as alternativas. Logo, o menor número (x) tem que ser igual a 1. x = 1

Da expressão (II), temos que x = 6

z. Portanto, se multiplicarmos os dois lados

da expressão por 6 (para eliminar o denominador de z), não alteramos a igualdade:

x . 6 = 6

z . 6 ⇒ z = 6 . x ⇒ z = 6 . 1 ⇒ z = 6

Da expressão (I), z = x + y ⇒ 6 = 1 + y ⇒ y = 6 – 1 ⇒ y = 5 x = 1; y = 5 e z = 6 GABARITO: C




47.(Professor-Matemática-Secretaria Municipal de Educação/SP-2009-FCC) Todo número racional pode ser escrito como fração contínua finita. Segue abaixo um exemplo de fração contínua finita.

12

13

116

++

+

A fração contínua finita indicada corresponde a um número racional cuja representação decimal é uma dízima de período (A) 259. (B) 257. (C) 239. (D) 197. (E) 175. Resolução Nessa questão, só há um jeito: fazer os cálculos até ficar com uma única fração. Vamos lá:

I) 1 1 1

16 1

+6

= +

Primeiramente, temos que achar o m.m.c dos denominadores (1 e 6). Bom, com um denominador é igual ao número “1”, o m.m.c somente poderá ser o outro denominador (6). Portanto: m.m.c (1;6) = 6. Continuando a conta: 1 1 1 6 1 6 1 7

1 6 1 6 6 6 6

++ = × + = =

Por enquanto, temos: 1 1

2 21 1

3 31 7

16 6

+ = ++ +

+

II) 1

7

6

Dividir por uma fração é multiplicar pelo seu inverso, ou seja, o que numerador vira denominador e vice-versa. Logo, teremos:




1 6 61

7 7 7

6

= × =

Por enquanto, temos: 1 1

2 21 6

3 31 7

16

+ = ++ +

+

III) 6 3 6

37 1

+7

= +

Primeiramente, temos que achar o m.m.c dos denominadores (1 e 7). Bom, com um denominador é igual ao número “1”, o m.m.c somente poderá ser o outro denominador (7). Portanto: m.m.c (1;7) = 7. Continuando a conta: 3 6 3 7 6 21 6 21 6 27

1 7 1 7 7 7 7 7 7

++ = × + = + = =

Por enquanto, temos: 1 1 1 1

2 2 2 21 1 6 27

3 3 31 7 7 7

16 6

+ = + = + = ++ + +

+

IV) 1

27

7

Dividir por uma fração é multiplicar pelo seu inverso, ou seja, o que numerador vira denominador e vice-versa. Logo, teremos: 1 7 7

127 27 27

7

= × =

Por enquanto, temos: 1 1 1 1 7

2 2 2 2 21 1 6 27 27

3 3 31 7 7 7

16 6

+ = + = + = + = ++ + +

+




V) 7 2 7

227 1 27

+ = +

Primeiramente, temos que achar o m.m.c dos denominadores (1 e 27). Bom, com um denominador é igual ao número “1”, o m.m.c somente poderá ser o outro denominador (27). Portanto: m.m.c (1;27) = 27. Continuando a conta: 2 7 2 27 7 54 7 54 7 61

1 27 1 27 27 27 27 27 27

++ = × + = + = =

Ufa! Chegamos à fração final:

1 1 1 1 7 612 2 2 2 2

1 1 6 27 27 273 3 3

1 7 7 716 6

+ = + = + = + = + =+ + +

+

VI) Agora, temos que calcular o resultado da divisão de 61 por 27: 61` 27 -54 (27 x 2) 70 (*1) -54 (27 x 2) 160 (*2) -135 (27 x 5) 250 (*3) - 243 (27 x 9) 70 (*1) -54 (27 x 2) 160 (*2) -135 (27 x 5) 250 (*3) - 243 (27 x 9) 7 (...)

2,259259...

(*1) Como 7 é menor que 27, coloca-se o 0 após o 7 e a vírgula após o 2. (*2) Como 16 é menor que 27, coloca-se o 0 após o 16. (*3) Como 25 é menor que 27, coloca-se o 0 após o 25. Ou seja, a divisão de 61 por 27 tem como resultado um dízima periódica igual a 2,259259...(de período 259). GABARITO: A




48.(Professor-Matemática-Secretaria Municipal de Educação-Teresina-2009-FCC)Júlia tem que distribuir certo número de balas em 99 embalagens de forma que todas as embalagens fiquem com o mesmo número de balas. Sua remuneração para a tarefa será o número de balas que sobrarem. Fazendo uso de uma calculadora, Júlia dividiu o total de balas por 99, obtendo como resultado no visor o número 9,86868686. Para descobrir qual será sua remuneração, Júlia deve pegar o número indicado no visor da calculadora, (A) somar 9 e multiplicar o resultado por 99. (B) somar 99 e dividir o resultado por 9. (C) subtrair 9 e multiplicar o resultado por 86. (D) subtrair 9 e multiplicar o resultado por 99. (E) subtrair 9 e multiplicar o resultado por 986. Resolução Vamos entender a questão: Júlia tem que distribuir certo número (chamarei de X) de balas em 99 embalagens de forma que todas as embalagens fiquem com o mesmo número de balas e sua remuneração será o número balas que sobrarem, ou seja, será o resto da divisão de X por 99. Vamos relembrar: X = 99 . q + r Onde: X = dividendo 99 = divisor q = quociente r = resto A questão já informou o resultado da divisão: 9,868686...

9,868686...99

X=

Multiplicando por 99 nos dois lados, não alteramos a igualdade (o objetivo aqui é eliminar o denominador):

99 9,868686... 99 99 9,868686...99

XX× = × ⇒ = ×

Também é fácil perceber que: 9,868686... = 9 + 0,868686.....




Substituindo na expressão acima, teremos:

99 9,868686... 99 (9 0,868686...)

99 9 99 0,868686...

X

X

= × = × + ⇒

⇒ = × + ×

Repare que o quociente (q) é igual a 9 e o resto (r) será igual a 99 x 0,868686... Portanto, para chegarmos à remuneração de Júlia a partir do resultado da divisão de X por 99, temos que subtrair 9 e multiplicar o resultado da subtração por 99. Veja: 9,868686.... – 9 = 0,868686... Resto = 99 x 0,868686... GABARITO: D 49.(Professor-Matemática-Secretaria Municipal de Educação-Teresina-2009-FCC)Vários pacotes de papel sulfite foram empilhados como mostra a figura.

Para saber quantos pacotes tem esse empilhamento podemos proceder do seguinte modo: (A) 5 × 3 + 2 × 1 (B) (5 × 4) + (3 × 3) + (2 × 2) + 3 (C) (5 × 3 × 2 × 1) + (4 × 3 × 2 × 2) (D) (5 + 4) + (3 + 3) + (2 + 2) + 3 (E) (5 × 4) + (3 × 4) + (2 × 4) + 3




Resolução Para calcular o número de pacotes do empilhamento vamos verificar linha a linha:

Total = (5 x 4) + (3 x 3) + (2 x 2) + 3 GABARITO: B 50.(Analista Judiciário-Administrativa-TRF/15R-2010-FCC) No arquivo morto de um setor de uma Repartição Pública há algumas prateleiras vazias, onde deverão ser acomodados todos os processos de um lote. Sabe-se que, se forem colocados 8 processos por prateleira, sobrarão apenas 9 processos, que serão acomodados na única prateleira restante. Entretanto, se forem colocados 13 processos por prateleira, uma das duas prateleiras restantes ficará vazia e a outra acomodará apenas 2 processos. Nessas condições, é correto afirmar que o total de processos do lote é um número (A) par. (B) divisível por 5. (C) múltiplo de 3. (D) quadrado perfeito. (E) primo. Resolução Vamos interpretar a questão: Informação 1: Sabe-se que, se forem colocados 8 processos por prateleira, sobrarão apenas 9 processos, que serão acomodados na única prateleira restante. Se considerarmos que o número de prateleiras é igual a p e o número de processos é igual a n, teríamos: 8 processos x (p – 1) prateleira + 9 processos x 1 prateleira = n ⇒ (em “português” 8 processos por prateleira até a penúltima e mais 9 processos na última)

Linha 1: 5 x 4

Linha 2: 3 x 3

Linha 3: 2 x 2

Linha 4: 3




⇒ 8 x (p – 1) + 9 = n ⇒

⇒ 8p – 8 + 9 = n ⇒

⇒ 8p + 1 = n (I) Informação 2: Entretanto, se forem colocados 13 processos por prateleira, uma das duas prateleiras restantes ficará vazia e a outra acomodará apenas 2 processos. 13 processos x (p – 2) prateleira + 2 processos x 1 prateleira = n ⇒ (em “português” 13 processos por prateleira até a antepenúltima e mais 2 processos na penúltima e uma prateleira ficará vazia) ⇒ 13 x (p – 2) + 2 = n ⇒

⇒ 13p – 26 + 2 = n ⇒

⇒ 13p – 24 = n (II) ⇒ 8p + 1 = n (I) ⇒ 13p – 24 = n (II) Igualando as expressões, tendo em vista que ambas são iguais a n: (II) = (I) ⇒ 8p + 1 = 13p – 24 ⇒ ⇒ 13p – 8p = 1 + 24 ⇒ ⇒ 5p = 25 ⇒ ⇒ p = 25/5 = 5 prateleiras Substituindo p em (I) (poderia ser em (II) também): n = 8p + 1 = 8 x 5 + 1 = 40 + 1 = 41 processos Vamos analisar as alternativas: (A) par. Incorreta, pois 41 é ímpar. (B) divisível por 5. Incorreta, pois 41 não é divisível por 5. (C) múltiplo de 3. Incorreta, pois 41 não é múltiplo de 3. (D) quadrado perfeito. Incorreta, pois 41 não é quadrado perfeito. (E) primo. Correta, pois 41 só é divisível por 1 e por ele mesmo sendo, por conseguinte, um número primo. GABARITO: E




51.(Técnico Judiciário-Administrativa-TRF/4R-2010-FCC) Suponha que apenas um dentre 12 Técnicos Judiciários se aposenta e é substituído por um concursado que tem 24 anos de idade e, como consequência, a média das idades dos Técnicos diminui de 3,5 anos. Assim sendo, a idade do Técnico que se aposentou é um número (A) menor que 65. (B) quadrado perfeito. (C) primo. (D) divisível por 4. (E) múltiplo de 11. Resolução Informações: Apenas um dentre 12 Técnicos Judiciários se aposenta e é substituído por um concursado que tem 24 anos de idade e, como consequência, a média das idades dos Técnicos diminui de 3,5 anos. Suponha que as idades dos técnicos judiciários sejam: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K e L e suponha que a idade do técnico que se aposentou seja L. A média das idades inicial era:

Média Inicial = 12

A B C D E F G H I J K L+ + + + + + + + + + +

Se o técnico com idade L se aposentar e entrar um técnico com 24 anos de idade em seu lugar, a nova média será:

Média Final = 24

12

A B C D E F G H I J K+ + + + + + + + + + +

De acordo com o enunciado, com a entrada do novo técnico no lugar do técnico aposentado, houve uma diminuição na média de 3,5 anos. Portanto, teríamos: Média Inicial – Média Final = 3,5 anos ⇒

⇒ 12

A B C D E F G H I J K L+ + + + + + + + + + +-

- 24

12

A B C D E F G H I J K+ + + + + + + + + + += 3,5 ⇒

24

12

A A B B C C D D E E F F G G H H I I J J K K L− + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + −=3,5

⇒24

3,512

L −=

Multiplicando em cruz: L – 24 = 12 x 3,5 ⇒ L – 24 = 42 ⇒ L = 42 + 24 ⇒ ⇒ L = 66 anos




Analisando as alternativas: (A) menor que 65. Incorreta, pois 66 é maior que 65. (B) quadrado perfeito. Incorreta, pois 66 não é um quadrado perfeito. (C) primo. Incorreta, pois 66, por exemplo, é divisível por 2 e, portanto, não é primo. (D) divisível por 4. Incorreta, pois 66 não é divisível por 4. (E) múltiplo de 11. Correta, pois 66 é múltiplo de 11 (11 x 6 = 66). GABARITO: E 52.(Engenheiro-Dnocs-2010-FCC) Chama-se fração decimal toda fração da

forma 10nx

, em que x ∈ Z e n ∈ N. Com base nessa definição, se

0,00342

10 0,36n

x= , é correto concluir que:

(A) x < 100 e n > 5 (B) 50 < x < 80 e n < 5 (C) x + n = 100 (D) x é ímpar e n é par (E) x e n são ímpares Resolução

Para calcular 0,00342

10 0,36n

x= , vamos, inicialmente, passar o numerador e o

denominador da fração à direita para frações.

0,00342 = 342

100.000(como são 5 casas decimais após a vírgula, o denominador

da fração decimal terá 5 zeros).

0,36 = 36

100(como são 2 casas decimais após a vírgula, o denominador da

fração decimal terá 2 zeros). Portanto, teríamos a seguinte expressão:

342

100.0003610

100

342 100

10 100.000 36

n

n

x

x

= ⇒

⇒ = × ⇒




342 100

10 100.000 36

342

10 1.000 36

n

n

x

x

×⇒ = ⇒

×

⇒ =×

(repare que dividi o numerador e o denominador da fração à direita por 100) Se dividirmos 342 por 36: 342 36 - 324 9,5 180 - 180 0 Logo, a expressão final seria:

9,5

10 1.000n

x⇒ = ⇒

Como x deve ser inteiro (de acordo com o enunciado e com a definição de fração decimal), vamos multiplicar a fração à direita por 10 (numerador e denominador)

4

9,5 10

10 1.000 10

95

10 10.000

95

10 10

n

n

n

x

x

x

⇒ = × ⇒

⇒ = ⇒

⇒ =

Ou seja: x = 95 e n = 4. Analisando as alternativas: (A) x < 100 e n > 5. Incorreta, pois n < 5. (B) 50 < x < 80 e n < 5. Incorreta, pois x > 80. (C) x + n = 100. Incorreta, pois x + n = 95 + 4 = 99. (D) x é ímpar e n é par. Correta, pois x é ímpar (95) e n é par (4). (E) x e n são ímpares. Incorreta, pois n é par. GABARITO: D




53.(Analista Judiciário-Informática-TRF/4R-2010-FCC) Sabe-se que, no Brasil, nas operações financeiras é usado o sistema decimal de numeração, no qual um número inteiro N pode ser representado como: N = an.10n + an-1.10n-1 + an-2.10n-2 +...+ a2.102 + a1.101 + a0.100, em que 0 ≤ ai < 10 , para todo 0 ≤ i ≤ n. Nesse sistema, por exemplo, 8 903 = 8.103 + 9.102 + 0.101 + 3.100 Suponha que, em férias, Benivaldo visitou certo país, no qual todas as operações financeiras eram feitas num sistema de numeração de base 6 e cuja unidade monetária era o “delta”. Após ter gasto 2.014 deltas em compras numa loja e percebendo que dispunha exclusivamente de cinco notas de 100 reais, Benivaldo convenceu o dono da loja a aceitar o pagamento na moeda brasileira, dispondo-se a receber o troco na moeda local. Nessas condições, a quantia que ele recebeu de troco, em deltas, era (A) 155. (B) 152. (C) 145. (D) 143. (E) 134. Resolução Nesta questão, temos um sistema com base 6. Se é na base 6, os algarismos utilizados será 0, 1, 2, 3, 4 e 5 e as potências terão como base o 6. I) 2.014 na base seis representa qual número na base decimal? Algarismos da direita para a esquerda: 4 = Algarismo de ordem 0. Será multiplicado por 60. 1 = Algarismo de ordem 1. Será multiplicado por 61. 0 = Algarismo de ordem 2. Será multiplicado por 62. 2 = Algarismo de ordem 3. Será multiplicado por 63. Portanto, o número 2.014 (base seis), na base decimal, é representado por: 2.014 = 2 x 63 + 0 x 62 + 1 x 61 + 4 x 60 ⇒ ⇒ 2.014 = 2 x 216 + 0 x 36 + 1 x 6 + 4 x 1 ⇒ ⇒ 2.014 = 432 + 0 + 6 + 4 ⇒ ⇒ 2.014 (base seis) = 442 (base decimal) Como Benivaldo possuía 5 notas de 100 reais (500 reais), o troco, em reais, será: Troca = 500 – 442 = 58 reais. Contudo a questão pede o troco em deltas, que é base 6. Para sair de uma base decimal (troco em reais) para a base 6, troco em deltas, temos que utilizar o seguinte procedimento:




58 6 - 54 9 6 4 -6 3 1 Troco (na base 6) = 134 deltas GABARITO: E 54.(Analista Judiciário-Informática-TRF/4R-2010-FCC) Um número escrito na notação científica é expresso pelo produto de um número racional x por 10n , sendo 1 ≤ x < 10 e n um número inteiro. Dessa forma, a expressão

do número 0,000000245 1.872.000.000

0,0000000325 49.000N

×=

× na notação científica é

(A) 2,08 ×103. (B) 2,88 ×104. (C) 2,08 ×104. (D) 2,88 ×105. (E) 2,08 ×105. Resolução Vamos aos conceitos: Notação Científica: é uma forma padrão de representar números muito grandes (Exemplo: distâncias entre planetas) e números muito pequenos (Exemplo: tamanho dos átomos), para que esses números possam caber em uma linha de um livro ou caderno e possam ser comparados com maior facilidade. Forma padrão: X . 10n Onde, X = número entre 1 e 10 (Não pode ser menor que 1 e maior ou igual a 10); e n = número inteiro positivo ou negativo A potência de 10 vai ser positiva ou negativa, a depender que como moveremos a vírgula. Se a vírgula for para a direita, o expoente n será negativo. Se for para a esquerda, o expoente n será positivo. Difícil? Vamos ver exemplos numéricos então.




Exemplos: 90.000 ⇒Notação Científica = 9,0 x 104 Repare que andei a vírgula quatro vezes para a esquerda: O número era 90.000,0 e ficou 9,0000. Portanto, se andei a vírgula quatro vezes para a esquerda, n = 4 (positivo). 123.000.000 ⇒Notação Científica = 1,23 x 108 Repare que andei a vírgula oito vezes para a esquerda: O número era 123.000.000,0 e ficou 1,23000000. Portanto, se andei a vírgula oito vezes para a esquerda, n = 8 (positivo). 0,25 ⇒Notação Científica = 2,5 x 10-1 Repare que andei a vírgula uma vez para a direita: O número era 0,25 e ficou 2,5. Portanto, se andei a vírgula uma vez para a direita, n = -1 (negativo). 0,000043 ⇒Notação Científica = 4,3 x 10-5 Repare que andei a vírgula cinco vezes para a direita: O número era 0,000043 e ficou 4,3. Portanto, se andei a vírgula cinco vezes para a direita, n = -5 (negativo). Vamos à resolução da questão: I) 0,000000245 ⇒Notação Científica = 2,45 x 10-7 Repare que andei a vírgula sete vezes para a direita: O número era 0,000000245 e ficou 2,45. Portanto, se andei a vírgula sete vezes para a direita, n = -7 (negativo). II) 1.872.000.000 ⇒Notação Científica = 1,872 x 109 Repare que andei a vírgula nove vezes para a esquerda: O número era 1.872.000.000 e ficou 1,872000000. Portanto, se andei a vírgula nove vezes para a esquerda, n = 9 (positivo). III) 0,0000000325 ⇒Notação Científica = 3,25 x 10-8 Repare que andei a vírgula oito vezes para a direita: O número era 0,0000000325 e ficou 3,25. Portanto, se andei a vírgula oito vezes para a direita, n = -8 (negativo). IV) 49.000 ⇒ Notação Científica = 4,9 x 104 Repare que andei a vírgula quatro vezes para a esquerda: O número era 49.000 e ficou 4,9000. Portanto, se andei a vírgula quatro vezes para a esquerda, n = 4 (positivo). A expressão ficaria da seguinte maneira:

7 9

8 4

2,45 10 1,872 10

3,5 10 4,9 10N

−

−

× × ×=

× × ×




Relembrando que, na multiplicação de potências de mesma base, os expoentes são somados e, na divisão de potências de mesma base, os expoentes são subtraídos, teremos:

7 9 2

8 4 4

2 ( 4)6

2,45 10 1,872 2,45 10 1,872

3,25 10 4,9 3,25 10 4,9

2,45 10 1,872 2,45 1,87210

3,25 4,9 3,25 4,9

N

N

− +

− + −

− −

× × × ×= = ⇒

× × × ×

× × ×⇒ = = ×

× ×

E aí? Precisamos fazer as contas precisas? É claro que não. Veja: 2,45 é exatamente a metade de 4,9. Portanto podemos dividir o numerador e o denominador por 2,45, sem alterar a proporção.

6 62,45 1,872 2,45 1,87210 10

3,25 4,9 2,45 3,25 2N

×= × ÷ = ×

× ×

Como o numerador (1,872) ficou menor que o denominador (3,25 x 2), vamos “ceder” um 10 da potência ao numerador, pois a notação científica ficaria erradamente representada por um número 0,....x106.

6 5 51,872 1,872 10 1,872 510 10 10

3,25 2 3,25 2 3,25N

× ×= × = × = ×

× ×

(repare que dividi o 10 do numerador pelo 2 do denominador). Se considerarmos que 1,872 é aproximadamente igual a 2 e que 3,25 é aproximadamente 3,3, teríamos a seguinte expressão:

5 52 5 1010 10

3,3 3,3N

×= × = ×

Repare que 3,3 x 3 = 9,9. Portanto, podemos dizer que 10 divididos por 3,3 é, aproximadamente, 3. Finalmente, teríamos:

5 51010 3 10N

3,3= × = × . A resposta que mais se aproxima é a letra “d”.

(D) 2,88 ×105. Se você quiser fazer a conta exata:

5 5 51,872 5 9,3610 10 2,88 10

3,25 3,25N

×= × = × = ×

GABARITO: D




55.(Analista Judiciário-Área: Administrativa-TRT/15R-2010-FCC) Um criptograma aritmético é um esquema operatório codificado, em que cada letra corresponde a um único algarismo do sistema decimal de numeração. Considere que o segredo de um cofre é um número formado pelas letras que compõem a palavra MOON, que pode ser obtido decodificando-se o seguinte criptograma: (IN)2 = MOON Sabendo que tal segredo é um número maior que 5.000, então a soma M + O + O + N é igual a (A) 16 (B) 19 (C) 25 (D) 28 (E) 31 Resolução Calma. Não precisa ficar nervoso. A questão parece difícil, mas não é. Vejamos. Vamos interpretar a questão. I) Se o segredo do cofre é a palavra MOON e cada letra corresponde a um algarismo, temos: M = algarismo dos milhares. O = algarismo das dezenas e das centenas (iguais) N = algarismo das unidades II) Além disso, outras informações importantes são que o segredo (MOON) é maior que 5.000 e que um número de dois algarismos (IN) elevado ao quadrado é igual a MOON. Além disso, o algarismo das dezenas de IN (I) é diferente de quaisquer algarismos do segredo (MOON). Como faremos o teste? Vamos adotar o seguinte procedimento. I – Repare que os algarismos das unidades (N) do número elevado ao quadrado (IN) tem que ser igual ao algarismo das unidades do segredo (MOON). Ora, quais são os números de 1 a 9 que elevados ao quadrado possuem algarismos das unidades iguais? Vejamos 02 = 0 (ok) 12 = 1 (ok) 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 (ok) 62 = 36 (ok)




72 = 49 82 = 64 92 = 81 Por enquanto, temos que N pode ser 0, 1, 5 ou 6. II – Com isso, quais são os números de dois algarismos (I0 ou I1 ou I5 ou I6) possíveis? São eles: 10, 11, 15, 16, 20, 21, 25, 26, 30, 31, 35, 36, 40, 41, 45, 46, 50, 51, 55, 56, 60, 61, 65, 66, 70, 71, 75, 76, 80, 81, 85, 86, 90, 91, 95, 96. Repare ainda que: (60)2 = 3.600, que é menor que 5.000. Logo, o segredo (MOON) é maior que 60. (70)2 = 4.900, que é menor que 5.000. Logo, o segredo (MOON) é maior que 70. Com isso todos os números menores ou iguais a 70 também terão os seus quadrados menores que 5.000. Com isso, eliminamos 10, 11, 15, 16, 20, 21, 25, 26, 30, 31, 35, 36, 40, 41, 45, 46, 50, 51, 55, 56, 60, 61, 65, 66 e 70. Nossa lista de testes ficou com: 71, 75, 76, 80, 81, 85, 86, 90, 91, 95, 96. IV – Vamos testar os demais: (IN)2 = (71)2 = 71 x 71 = 5.041 (é maior que 5.000, mas não atende a outra característica do segredo, ou seja, o algarismo das dezenas (4) não é igual ao algarismo das centenas (0)). (IN)2 = (75)2 = 75 x 75 = 5.625 (é maior que 5.000, mas não atende a outra característica do segredo, ou seja, o algarismo das dezenas (2) não é igual ao algarismo das centenas (6)). (IN)2 = (76)2 = 76 x 76 = 5.776 Será que este número atende todas as especificações da questão? Vejamos: I = 7 N =6 (IN)2 = MOON = 762 = 5.776 É maior que 5.000 e o algarismo das dezenas (7) é igual ao algarismo das centenas (7). Tudo bem até aqui? Sim, mas repare que o algarismo das dezenas de IN (I = 7) é igual do algarismo O (O = 7) do segredo, fato que não é possível, pois I é diferente de O. Portanto, 76 também não serve. Continuando os nossos testes: (IN)2 = (80)2 = 80 x 80 = 6.400 (é maior que 5.000, mas não atende a outra característica do segredo, ou seja, o algarismo das dezenas (0) não é igual ao algarismo das centenas (4)).




(IN)2 = (81)2 = 81 x 81 = 6.561 (é maior que 5.000, mas não atende a outra característica do segredo, ou seja, o algarismo das dezenas (6) não é igual ao algarismo das centenas (5)). (IN)2 = (85)2 = 85 x 85 = 7.225 É maior que 5.000 e o algarismo das dezenas (2) é igual ao algarismo das centenas (2). Tudo bem até aqui? Sim. Além disso, o algarismo das dezenas de IN (I = 8) é diferente do algarismo O (O = 2) do segredo. Portanto, o segredo é 7.225. M = 7 O = 2 O = 2 N = 5 A questão pede a soma: M + O + O + N = 7 + 2 + 2 + 5 = 16 GABARITO: A 56.(Analista de Processos Organizacoinais-Administração-Bahiagás-FCC-2010) Em uma partida de basquete o jogador pode fazer cestas valendo 3 pontos, 2 pontos ou 1 ponto. A respeito dos únicos cinco jogadores de uma equipe que participaram de uma partida, sabe-se que: − Alberto fez 19 pontos; − Bernardo fez apenas cestas de 3 pontos; − Cláudio fez apenas 13 cestas, todas de 2 pontos; − Diogo fez apenas cestas de 1 ponto; − Elton não fez cestas. Se Diogo fez o dobro do número de cestas de Bernardo, é correto afirmar que o total de pontos feitos pela equipe nessa partida necessariamente é um número (A) que deixa resto 2 na divisão por 5. (B) múltiplo de 7. (C) múltiplo de 5. (D) múltiplo de 3. (E) ímpar. Resolução A questão pede o número total de pontos feitos pela equipe de basquete. Vamos às informações da questão: I) Alberto = 19 pontos (já informado). II) Bernardo: não foi informado o número de pontos de Bernardo e sim que ele só fez cestas de 3 pontos. Vamos supor que Bernardo tenha feito X cestas.




Bernardo = X cestas x 3 pontos = 3.X pontos III) Cláudio: fez 13 cestas, todas de 2 pontos. Portanto, o total de pontos feitos por Cláudio é: Cláudio = 13 cestas x 2 pontos = 26 pontos. IV) Diogo: fez apenas cestas de 1 ponto. Além disso, foi informado que Diogo fez o dobro do número de cestas de Bernardo. Como consideramos que Bernardo fez X cestas, Diogo fez 2X cestas (o dobro do número de cestas de Bernardo). Diogo = 2.X cestas x 1 ponto = 2.X pontos. V) Elton: não fez cestas. Total de pontos do time de basquete = 19 + 3X + 26 + 2X = 5X + 45 ⇒ Repare que os dois termos (5X e 45) são múltiplos de 5 e, portanto, podemos colocar o 5 em “evidência”: ⇒ Total de pontos do time de basquete = 5.X + 5.9 = 5.(X + 9) Portanto, podemos afirmar, com certeza, que o número total de pontos do time de basquete é divisível por 5, pois ele pode ser fatorado em 5 vezes (X + 9). Se o número total de pontos do time de basquete é divisível por 5, ele é um número múltiplo de 5. GABARITO: C 57.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Educação/SP-2010-FCC) Um provedor de acesso à internet cobrava de seus clientes R$ 80,00 por mês para acesso discado sem qualquer controle das horas utilizadas. Querendo limitar o tempo de conexão dos clientes, ofereceu um plano, no qual, por R$ 60,00, o cliente usaria os serviços por no máximo 70 horas mensais e pagaria R$ 2,00 por hora excedente. No mês seguinte, ao receber sua conta de consumo, um cliente que havia optado por esse plano verificou que o valor de sua conta ficou 60% maior em relação ao valor que pagaria no plano anterior. O número de horas em que esse cliente esteve conectado foi (A) 96 (B) 104 (C) 110 (D) 122 (E) 126




Resolução Vamos, novamente, interpretar a questão e transformá-la em linguagem matemática: Provedor de acesso à internet: Preço cobrado = R$ 80,00 por mês sem controle das horas utilizadas. Querendo limitar o tempo de conexão dos clientes, o provedor ofereceu o seguinte plano: R$ 60,00 por 70 horas mensais R$ 2,00 por hora excedente Se fôssemos montar uma expressão matemática para o valor a ser pago pelos clientes neste novo plano, de acordo com as horas utilizadas, teríamos: X = número de horas utilizadas I) Se X ≤ 70 horas ⇒ Valor = R$ 60,00 II) Se X > 70 horas Valor = 60 + 2 x (X – 70), onde (X – 70) representa o excedente de horas acima de 70. No mês seguinte, ao receber sua conta de consumo, um cliente que havia optado por esse plano verificou que o valor de sua conta ficou 60% maior em relação ao valor que pagaria no plano anterior. Ou seja, no mês 1, o cliente pagou R$ 80,00 (acesso ilimitado). No mês 2, com a mudança para o plano novo, a conta do cliente aumentou em 60%. Valor Pago no Mês 2 = Valor Pago no Mês 1 + 60% x Valor Pago no Mês 1 ⇒

⇒ Valor Pago no Mês 2 = 80 + 60% x 80 = 80 + 60

100 x 80 ⇒

⇒ Valor Pago no Mês 2 = 80 + 0,60 x 80 = 80 + 48 = 128 Substituindo esse valor (R$ 128,00) na expressão que montamos, teríamos: Valor = 60 + 2 x (X – 70) ⇒ ⇒ 128 = 60 + 2 x (X – 70) ⇒ ⇒ 128 – 60 = 2 x (X – 70) ⇒ ⇒ 2 x (X – 70) = 68 ⇒

⇒ X – 70 = 68

2 ⇒

⇒ X – 70 = 34 ⇒ ⇒ X = 34 + 70 ⇒ ⇒ X = 104 horas GABARITO: B




58.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-Maranhão-2009-FCC) O seguinte arranjo de números é conhecido como triângulo de Pascal: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ... ... ... ... ... ... Sabe-se que os números do triângulo de Pascal correspondem aos coeficientes do desenvolvimento de (a + b)n, segundo as potências decrescentes de a. De acordo com essas informações, o coeficiente do termo contendo os fatores x5y2 no desenvolvimento de (2x + y)7 é (A) 672 (B) 480 (C) 240 (D) 32 (E) 21 Resolução Vamos lembrar a regra de formação do triângulo de Pascal: Primeira regra: a primeira linha começa com “1”. Segunda regra: a cada linha, aumentamos um termo. Terceira regra: os termos extremos (direita e esquerda) são sempre iguais a “1”. Quarta regra: os termos do meio de uma linha correspondem à soma dos termos acima e à direita da linha anterior. Vejamos: Linha 0: 1 Linha 1: 1 1 (Aumenta um termo – agora são dois - e os extremos devem ser 1. Não termos do meio) Linha 2: 1 2 1(Aumenta um termo – agora são três – e os extremos devem ser 1. O termo do meio é a soma dos termos acima (1) e à direita da linha anterior (1): 1 + 1 = 2). Linha 3: 1 3 3 1(Aumenta um termo – agora são quatro – e os extremos devem ser 1. Os termos do meio são a soma dos termos acima e à direita da linha anterior).




Termo do meio 1 = 1 + 2 = 3 Termo do meio 2 = 2 + 1 = 3 Linha 4: 1 4 6 4 1(Aumenta um termo – agora são cinco – e os extremos devem ser 1. Os termos do meio são a soma dos termos acima e à direita da linha anterior). Termo do meio 1 = 1 + 3 = 4 Termo do meio 2 = 3 + 3 = 6 Termo do meio 3 = 3 + 1 = 4 E assim por diante. Ou seja, o triângulo de Pascal seria: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 Outro dado importantíssimo é que estes termos correspondem aos valores das potências dos binômios. Considere um binômio (x + y)n. Quando: Linha 0: n = 0 ⇒ (a + b)0 = 1 (primeira linha do triângulo de Pascal) Repare que, para (a + b)1, só há dois termos a e b: Linha 1: n = 1 ⇒ (a + b)1 = a + b = 1.a + 1.b (os valores que multiplicam os termos correspondem à segunda linha do triângulo de Pascal) Repare que, para (a + b)2, começamos com o termo a2.b0 e, aí, vamos diminuindo em uma unidade a potência de a e aumentando em uma unidade a potência de b, até b2. Linha 2: n = 2 ⇒ (a + b)2 = a2.b0 + 2a2-1.b0+1 + a2-2.b0+2 = 1.a2 + 2ab + 1.b2 (os valores que multiplicam os termos correspondem à terceira linha do triângulo de Pascal) Repare que, para (a + b)3, começamos com o termo a3.b0 e, aí, vamos diminuindo em uma unidade a potência de a e aumentando em uma unidade a potência de b, até b3. Linha 3: n = 3 ⇒ (a + b)3 = a3.b0 + 3a3-1.b0+1 + 3a3-2.b0+2 + a3-3.b0+3 ⇒ ⇒ (a + b)3 = 1.a3 + 3a2b + 3ab2 + 1.b3 (os valores que multiplicam os termos correspondem à quarta linha do triângulo de Pascal).




Bom, agora que sabemos as regras, a questão pede o coeficiente do termo contendo os fatores x5y2 no desenvolvimento de (2x + y)7. Como n é igual 7 (potência do binômio), temos que montar o triângulo de Pascal até a sétima linha: Linha 0: 1 Linha 1: 1 1 Linha 2: 1 2 1 Linha 3: 1 3 3 1 Linha 4: 1 4 6 4 1 Linha 5: 1 5 10 10 5 1 Linha 6: 1 6 15 20 15 6 1 Linha 7: 1 7 21 35 35 21 7 1 Lembre que os termos do meio de uma linha são o resultado da soma dos termos acima e à direita da linha anterior. No caso da linha 7, teríamos: Termo do Meio 1 = 1 + 6 = 7 Termo do Meio 2 = 6 + 15 = 21 Termo do Meio 3 = 15 + 20 = 35 Termo do Meio 4 = 20 + 15 = 35 Termo do Meio 5 = 15 + 6 = 21 Termo do Meio 6 = 6 + 1 = 7 Precisamos montar (2x + y)7. Repare que nosso “a” será igual a 2x e nosso “b” será igual a y. Montando nossa expressão utilizando a linha 7 do triângulo de Pascal (a potência do binômio é igual 7): (2x + y)7 = 1.(2x)7.y0 + 7.(2x)7-1.y0+1 + 21.(2x)7-2.y0+2 + 35.(2x)7-3.y0+3 + 35. (2x)7-4.y0+4 + 21.(2x)7-5.y0+5 + 7.(2x)7-6.y0+6 + 1.(2x)7-7.y0+7

(2x + y)7 = 1.(2x)7 + 7.(2x)6.y1 + 21.(2x)5.y2 + 35.(2x)4.y3 + 35. (2x)3.y4 + 21.(2x)2.y5 + 7.(2x)1.y6 + 1.y7

A questão pede o coeficiente do x5.y2: Coeficiente de x5.y2 = 21.(2x)5.y2 = 21 . 25. x5 . y2 = 21 . 32 . x5y2 ⇒ ⇒ Coeficiente de x5.y2 = 672. x5y2 GABARITO: A




59.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SP-2010-FCC) Na equação x3 + 3x2 + x − 1 = 0, substituindo-se x por z − 1 obtém-se uma equação em z sem o termo quadrático, o que facilita sua resolução. A partir disso, podem-se obter também as soluções da equação original, uma das quais é

(A) 2

(B) 2 1− (C) – 2

(D) 3 2

(E) 3 2 2− Resolução Bom, a questão já está nos indicando que caminho devemos seguir, ou seja, devemos substituir a incógnita x da equação por z – 1 (transformação): x3 + 3x2 + x − 1 = 0 ⇒ (z – 1)3 + 3.(z – 1)2 + (z – 1) – 1 = 0 Vamos calcular separadamente: (z – 1)2 = (z – 1).(z – 1) = z.(z – 1) – 1.(z – 1) ⇒ ⇒ (z – 1)2 = z.z + z.(-1) – 1.z – 1.(-1) ⇒ ⇒ (z – 1)2 = z2 – z – z + 1 = z2 – 2z + 1 Só estou fazendo as contas detalhadamente para que você possa treinar, mas, na verdade, já estudamos que: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2. Portanto: (z – 1)2 = z2 – 2.z.1 + 12 = z2 – 2z + 1 Para calcular (z – 1)3 basta fazer (z – 1)2.(z – 1): (z – 1)3 = (z – 1)2.(z – 1) = (z2 – 2z + 1).(z – 1) ⇒ ⇒ (z – 1)3 = z2.(z – 1) – 2z.(z – 1) + 1.(z – 1) ⇒ ⇒ (z – 1)3 = z2.z + z2.(–1) – 2z.z – 2z.(–1) + 1.z + 1.(–1) ⇒ ⇒ (z – 1)3 = z3 – z2 – 2z2 + 2z + z – 1 ⇒ ⇒ (z – 1)3 = z3 – 3z2 + 3z – 1 Logo, temos: (z – 1)2 = z2 – 2z + 1 (z – 1)3 = z3 – 3z2 + 3z – 1 Substituindo tudo na equação abaixo: x3 + 3x2 + x − 1 = 0 ⇒ ⇒ (z – 1)3 + 3.(z – 1)2 + (z – 1) – 1 = 0 ⇒ ⇒ z3 – 3z2 + 3z – 1 + 3.( z2 – 2z + 1) + z – 1 – 1 = 0 ⇒ ⇒ z3 – 3z2 + 3z – 1 + 3z2 +3.(-2z) + 3.1 + z – 2 = 0 ⇒ ⇒ z3 – 3z2 + 3z – 1 + 3z2 – 6z + 3 + z – 2 = 0 ⇒




⇒ z3 – 3z2 + 3z2 + 3z – 6z + z – 1 + 3 – 2 = 0 ⇒ ⇒ z3 – 2z = 0 Repare que todos os termos da equação possuem z. Portanto, podemos colocar o z em evidência: ⇒ z3 – 2z = 0 ⇒ ⇒ z.(z2 – 2) = 0 Repare que, se temos A.B = 0, ou A = 0 ou B = 0 ou ambos são iguais a zero. Portanto, na equação z.(z2 – 2) = 0, temos as seguintes opções: z = 0 ou

z2 – 2 = 0 ⇒ z2 = 2 ⇒ z = 2± (repare que 2± elevado ao quadrado é igual a 2). Cuidado, pois achamos as raízes da equação transformada para z e a questão pergunta as raízes para equação com a variável x. Contudo, sabemos que a transformação foi x = z – 1. Portanto, as raízes da equação x3 + 3x2 + x − 1 serão: z = 0 ⇒ Como x = z – 1 ⇒ Como x = 0 – 1 ⇒ x = – 1

z = 2 ⇒ Como x = z – 1 ⇒ Como x = 2 – 1 ⇒ x = 2 – 1

z = 2− ⇒ Como x = z – 1 ⇒ Como x = 2− – 1 ⇒ x = 2− – 1 GABARITO: B 60.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SP-2010-FCC) Considere uma função polinomial real f que tem zeros para x = 1, x = 3 e x = 4, unicamente, e tal que f(0) = −6. Nessas condições, f é dada por

(A) f(x) = x3 – 4x2 + 19

2x – 6

(B) f(x) = x3 + 4x2 – 19

2x + 6

(C) f(x) = x4 – 8x2 + 13x – 6

(D) f(x) = 1

2x3 + 4x2 –

19

2x + 6

(E) f(x) = 1

2x3 – 4x2 +

19

2x – 6




Resolução Vamos verificar as informações da questão: Considere uma função polinomial real f que tem zeros para x = 1, x = 3 e x = 4, unicamente. Portanto, como vimos na teoria da matéria, se a função polinomial possui zeros, significa que estes zeros são as raízes dessa função. Além disso, a quantidade de zeros identifica o grau da função polinomial. No caso da questão, há três zeros para a função (x = 1, x = 3 e x = 4). Logo, esta é uma função de grau 3 (terceiro grau). Com isso, podemos representar a função da seguinte maneira: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d A questão ainda fornece outra informação, que nos permite achar a variável d. Veja: f(0) = −6. Substituindo x = 0 na equação, teremos: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d ⇒ ⇒ f(0) = a.03 + b.02 + c.0 + d = – 6 ⇒ ⇒ f(0) = d = - 6 ⇒ d = – 6 Até o momento, temos a seguinte função: f(x) = ax3 + bx2 + cx – 6 Para achar os demais termos, temos que substituir os valores das raízes na função polinomial. Vejamos: x = 1 é raiz da função polinomial ⇒ f(1) = 0 ⇒ ⇒ f(1) = a.13 + b.12 + c.1 – 6 = 0 ⇒ ⇒ a + b + c = 6 (I) x = 3 é raiz da função polinomial ⇒ f(3) = 0 ⇒ ⇒ f(3) = a.33 + b.32 + c.3 – 6 = 0 ⇒ ⇒ 27a + 9b + 3c = 6 (II) x = 4 é raiz da função polinomial ⇒ f(4) = 0 ⇒ ⇒ f(4) = a.43 + b.42 + c.4 – 6 = 0 ⇒ ⇒ 64a + 16b + 4c = 6 (III) Portanto, temos um sistema de três equações e três incógnitas: a + b + c = 6 (I) 27a + 9b + 3c = 6 (II) 64a + 16b + 4c = 6 (III) Se multiplicarmos toda a equação (I) por 3, temos: 3a + 3b + 3c = 3.6 ⇒ 3a + 3b + 3c = 18 (IV)




Fazendo (II) – (IV): 3a + 3b + 3c = 18 (IV) 27a + 9b + 3c = 6 (II) 27a + 9b + 3c – 3a – 3b – 3c = 6 – 18 ⇒ ⇒ 27a – 3a + 9b – 3b + 3c – 3c = – 12 ⇒ ⇒24a + 6b = – 12 (dividindo todos os termos por 6) ⇒ ⇒ 4a + b = – 2 (V) Na equação (III), os dois primeiros termos à esquerda da equação são divisíveis por 16. Portanto, podemos colocar o 16 em evidência: 64a + 16b + 4c = 6 (III) ⇒ 4.16a + 16b + 4c = 6 ⇒ ⇒ 16.(4a + b) + 4c = 6 (VI) Como achamos, em (V), que 4a + b = – 2, podemos substituir (V) em (VI): ⇒ 4a + b = – 2 (V) ⇒ 16.(4a + b) + 4c = 6 (VI) ⇒ 16.(– 2) + 4c = 6 ⇒ ⇒ - 32 + 4c = 6 ⇒ ⇒ 4c = 6 + 32 ⇒ ⇒ 4c = 38 ⇒

⇒ c = 38

4 ⇒

⇒ c = 19

2

Substituindo c em (I):

a + b + c = 6 (I) ⇒ a + b + 19

2 = 6 ⇒

⇒ a + b = 6 - 19

2 ⇒ a + b =

2.6 19 12 19

2 2

− −= ⇒

⇒ a + b = 7

2

−(VII)

Agora, para achar a e b, podemos utilizar as equações (V) e (VII): 4a + b = – 2 (V)

a + b = 7

2

−(VII)




Fazendo (V) – (VII):

⇒ 4a + b – a – b = – 2 – (7

2

−) ⇒

⇒ 4a – a = – 2 + 7

2 ⇒

⇒ 3a = 2.2 7

2

− +⇒

⇒ 3a = 4 7

2

− +⇒

⇒ 3a = 3

2⇒ a =

1

2

Com esses valores de a, c e d é possível verificar que a única alternativa possível é a alternativa “e”.

(E) f(x) = 1

2x3 – 4x2 +

19

2x – 6

Contudo, somente para conferir, vamos calcular o valor de b. Substituindo o valor encontrado de a em (V):

4a + b = – 2 (V) ⇒ 4. 1

2 + b = – 2 ⇒

⇒ 2 + b = – 2 ⇒ ⇒ b = – 2 – 2 ⇒ ⇒ b = – 4 Portanto, finalmente, chegamos ao resultado:

a = 1

2; b = – 4; c =

19

2 e d = – 6

f(x) = 1

2x3 – 4x2 +

19

2x – 6

GABARITO: E 61.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração-Maranhão-2009-FCC) Se a divisão do polinômio P(x) = ax3 + bx + 4 pelo polinômio T(x) = x – 2 é exata, então b é igual a (A) 2(2+a) (B) −2(1+2a) (C) −2(2a−1) (D) −2(a−2a) (E) 2(1−2a)




Resolução Se a divisão de um polinômio P(x) por T(x) = x – 2 é exata, significa que 2 é raiz de P(x), ou seja, P(2) = 0. Portanto, se x = 2, P(2) = 0 ⇒ ⇒ P(x) = ax3 + bx + 4 ⇒ P(2) = a.23 + b.2 + 4 = 0 ⇒ ⇒ 8a + 2b + 4 = 0 ⇒ 2b = – 4 – 8a (dividindo todos os termos por 2) ⇒ ⇒ b = – 2 – 4a Repare que os dois termos à direita da equação são divisíveis por – 2. Portanto, podemos colocar o – 2 em evidência. Vejamos: ⇒ b = – 2 – 4a ⇒ b = (– 2).1 + (– 2).2a ⇒ b = – 2.(1 + 2a) GABARITO: B Abraços e até a próxima aula, Bons estudos, Moraes Junior [email protected] Alexandre Lima [email protected]




Questões Comentadas e Resolvidas Nesta Aula (Assistente em Administração-FUB-2010-Cespe) 1 Considere que os preços de venda de dois veículos sejam inversamente proporcionais aos seus tempos de uso e diretamente proporcionais aos seus rendimentos, expressos em km/L, e que o primeiro, com três anos e seis meses de uso, tenha sido vendido por R$ 40.000,00. Nessa situação, se o

segundo tiver três anos e oito meses de uso e se o seu rendimento for 3

4do

rendimento do primeiro, então esse segundo veículo deverá ser vendido por menos de R$ 30.000,00.

2 Na proporção 5 7 11

x y z= = , sabe-se que 2x + y + 3z = 250. Nesse caso, é

correto afirmar que x + y + z < 110. (Administrativa-MPS-2010-Cespe) A soma dos salários de 3 empregados de uma empresa é igual a R$ 3.500,00 e esses salários são números diretamente proporcionais a 7, 11 e 17. Nesse caso, é correto afirmar que 3 o valor do salário intermediário é igual a R$ 1.100,00. 4 a diferença entre o maior salário e o menor salário é superior a R$ 1.200,00. (Polícia Militar-ES-2010-Cespe) Considerando que um pai pretenda distribuir a quantia de R$ 4.100,00 a 3 filhos, de 11, 13 e 17 anos de idade, em valores diretamente proporcionais às suas idades, julgue os itens a seguir. 5 O filho mais novo receberá uma quantia superior a R$ 1.150,00. 6 Os 2 filhos mais velhos receberão, juntos, uma quantia inferior a R$ 2.900,00. Uma equipe composta por 12 garis foi contratada para recolher o lixo deixado no local onde se realizou um evento. Sabe-se que cada gari dessa equipe é capaz de recolher 4 kg de lixo em um minuto. Com base nessas informações e assumindo que todos os garis da equipe trabalhem no ritmo descrito anteriormente e que sejam recolhidos 3.600 kg de lixo, julgue os itens subsequentes. 7 Em 15 minutos de trabalho, 6 garis dessa equipe recolheriam 10% do lixo. 8 Para recolher 800 kg de lixo em 20 minutos, serão necessários 10 garis dessa equipe.




Considerando que a soma das idades de 2 meninos seja igual a 8 anos, que essas idades, em anos, sejam medidas por números inteiros e que cada menino tenha pelo menos 2 anos de idade, julgue os itens a seguir. 9 Se a diferença entre as idades dos meninos for 2 anos, então o produto das medidas dessas idades, em anos, será inferior a 14. 10 Se a diferença entre as idades dos meninos for maior que 3 anos, então um dos meninos terá idade superior a 5 anos. (Professor-Secretaria de Educação do Estado da Bahia-2010-Cespe) 11. Em determinado estado da Federação, o sindicato local dos professores das escolas particulares negociou com os patrões e conseguiu um reajuste total dos salários em aproximadamente 28%. Para que cada professor calculasse quanto passaria a ganhar, foram dadas as seguintes instruções: calcular X = (carga horária mensal) × (valor da hora-aula) × 4,5; calcular o descanso semanal remunerado dado por Y = X ÷ 6; calcular a regência de classe, que é 2% de (X + Y); calcular o adicional noturno (somente para aqueles que tivessem atuação após as 22 h), dado por N = Z + 2% de Z, em que Z = 20% do valor da hora-aula multiplicado pela quantidade de horas noturnas trabalhadas e pelo fator 5,25. Desse modo, o salário do professor foi calculado por X + Y + regência de classe + adicional noturno. Nessa situação hipotética, considerando-se que um professor de escola particular do estado em questão trabalhe em uma escola cuja carga horária mensal seja de 50 horas e que pague R$ 25,60 por hora-aula, se, em determinado mês, esse professor trabalhar 3 horas após as 22 h, então, de acordo com as instruções acima citadas, o seu salário bruto nesse mês, calculado com duas casas decimais, será de A R$ 8.144,64. B R$ 6.856,01. C R$ 6.936,65. D R$ 8.065,61. 12. Em certo ano, determinada cooperativa conseguiu vender a caixa de laranja ao preço de R$ 6,00 na safra e de R$ 13,00 na entressafra, tendo arrecadado um total de R$ 880.000,00 pela venda de 100 mil dessas caixas. Nesse caso, denominando-se por x e y, respectivamente, as quantidades de caixas vendidas pela cooperativa na safra e na entressafra, as equações que modelam adequadamente a situação descrita são x + y = 100.000 e A 6y +13x = 880.000. B 6x +13y = 880. C 6x +13y = 880.000. D 6y +13x = 880.




13. Em uma de suas viagens a Brasília, Carlos, que mora em Barreiras-BA, leu o seguinte anúncio em determinado jornal: Vendo carro muito econômico a gasolina. 13 km/L dentro do perímetro urbano; 15 km/L fora. Tanque: 50 L Carlos comprou o carro anunciado e decidiu dirigi-lo até Barreiras. No início da viagem, ele abasteceu o tanque do veículo com gasolina até o limite máximo. Após percorrer 280 km da viagem, Carlos parou em outro posto de combustível e reabasteceu novamente o tanque com gasolina, até o limite máximo. Depois disso, Carlos viajou sem parar até Barreiras, circulando apenas em rodovias fora do perímetro urbano dos municípios por onde passou, percorrendo o total de 670 km desde sua saída de Brasília. Considerando-se verdadeiras as informações do anúncio de venda do carro, a quantidade máxima de quilômetros que Carlos pode percorrer nesse veículo no perímetro urbano da cidade de Barreiras, sem realizar novo abastecimento de combustível, é igual a A 572. B 312. C 338. D 360. 14. Considere que, no resultado de exame de colesterol a que um paciente se submeteu, o LDL (low density lipoprotein) tenha sido igual a 125 mg/dL. Nessa situação, se o resultado do LDL fosse fornecido em g/L, o novo valor seria igual a A 1.250. B 12,5. C 1,25. D 0,125. 15. Considere os números a seguir. Em I e II, o último algarismo repete-se infinitamente. Em III, o padrão de formação da parte decimal repete-se infinitamente. I) 12,0310540000000000... II) 12,092740333333333... III) 12,03003000300003000003... Acerca desses números, assinale a opção correta. A Apenas os números I e II são racionais. B Apenas os números II e III são racionais. C Apenas o número I é racional.




D Apenas o número III é racional.

16. Considerando que 3

7 de certo número é igual a

125, é correto afirmar que

esse número é A maior que 5. B menor que 4. C maior que 4 e menor que 5. D igual a 5.

17.(Analista de Controle Interno-Secretaria Especial da Controladoria Geral do Estado de Pernambuco-2010-Cespe) Uma empresa foi contratada para reformar as arquibancadas de um estádio de futebol em um prazo de 100 dias. Para cumprir o contrato, seriam necessários 20 homens trabalhando 8 horas por dia. Contudo, 10 dias após o início da empreitada, os trabalhos foram interrompidos durante 30 dias em razão de fortes chuvas. Nas condições descritas na situação hipotética acima, o número de homens necessários para concluir a obra no prazo estipulado pelo contrato, trabalhando 10 horas por dia, com a mesma eficiência dos que trabalharam no início da empreitada, é igual a A 9. B 24. C 30. D 38. E 47. (TRE/ES-Nível Superior-2010-Cespe) 18. Se em um município que tem 2.500 eleitores, a votação dura 10 horas, cada seção eleitoral possui apenas uma urna, todos os eleitores votam e cada eleitor leva 1 minuto e meio para votar, então, nesse município serão necessárias, no mínimo, 7 seções eleitorais. 19.(Agente de Trabalhos de Engenharia-ISS/RJ-2010-Esaf) Em um conjunto de números inteiros não nulos, há 150 números pares, 160 números ímpares e 120 números negativos. Se 80 números pares são negativos, quantos números ímpares são positivos? a) 80 b) 120 c) 50 d) 40 e) 110




(Agente de Trabalhos de Engenharia-ISS/RJ-2010-Esaf) 20. A seguir estão representados pelo sistema binário, formado apenas pelos algarismos 0 e 1, os números naturais de 0 a 16 em ordem crescente: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000. Qual é o número que corresponde ao binário 111011? a) 59 b) 60 c) 58 d) 61 e) 62 21. Considere a e b números reais. A única opção falsa é: a) |a+b|≤|a|+|b|. b) |a|+|b|≥|a−b|. c) |a−b|<|a|−|b|. d) |b−a|≥|b|−|a|. e) |b+a|≤|a|+|b|. 22. Quais são os números reais x que satisfazem a condição

2

5 1

8 15 3

x

x x x

−=

− + −?

a) x ≠ 3 e x ≠ 5 b) x ≠ 3 c) x ≠ 3 ou x ≠ 5 d) Todos e) Todos, exceto x = 3 e x = 5 (Agente de Fazenda-ISS/RJ-2010-Esaf) 23. O PIB de um país que entrou em recessão no fim de 2008 tinha crescido 10% no primeiro trimestre de 2008, 5% no segundo trimestre, tinha ficado estável no terceiro trimestre e tinha caído 10% no último trimestre daquele ano. Calcule a taxa de crescimento do PIB desse País, em 2008. a) 1,25%. b) 5%. c) 4,58%. d) 3,95%. e) -5%. 24. Dois trabalhadores, trabalhando 8 horas por dia cada um, durante 15 dias, colhem juntos 60 sacos de arroz. Três outros trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia cada um, colhem juntos 75 sacos de arroz em 10 dias. Em média, quanto um trabalhador do primeiro grupo é mais ou menos produtivo que um trabalhador do segundo grupo?




a) O trabalhador do primeiro grupo é 10% menos produtivo. b) O trabalhador do primeiro grupo é 10% mais produtivo. c) O trabalhador do primeiro grupo é 25% mais produtivo. d) As produtividades dos trabalhadores dos dois grupos é a mesma. e) O trabalhador do primeiro grupo é 25% menos produtivo. 25.(EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Se a idade de uma criança hoje é a diferença entre a metade da idade que ela teria daqui a dez anos e a metade da idade que ela tinha há dois anos, qual a sua idade hoje? a) 3 anos. b) 2 anos. c) 4 anos. d) 5 anos. e) 6 anos. 26.(AFRFB-2009-Esaf) Considere uma esfera, um cone, um cubo e uma pirâmide. A esfera mais o cubo pesam o mesmo que o cone. A esfera pesa o mesmo que o cubo mais a pirâmide. Considerando ainda que dois cones pesariam o mesmo que três pirâmides, quantos cubos pesa a esfera? a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 1 27.(AFRFB-2009-Esaf) Considere as inequações dadas por:

2( ) 2 1 0f x x x= − + ≤ e 2( ) 2 3 2 0g x x x= − + + ≥ . Sabendo-se que A é o conjunto solução de f (x) e B o conjunto solução de g(x), então o conjunto Y = A∩B é igual a:

a) 1

{ | 2}2

Y x x−

= ∈ < ≤ℝ

b) 1

{ | 2}2

Y x x−

= ∈ ≤ ≤ℝ

c) { | 1}Y x x= ∈ =ℝ

d) { | 0}Y x x= ∈ ≥ℝ

e) { | 0}Y x x= ∈ ≤ℝ




28.(AFRFB-2009-Esaf) Se um polinômio f for divisível separadamente por (x – a) e (x – b) com a ≠ b, então f é divisível pelo produto entre (x – a) e (x – b). Sabendo-se que 5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x - 1) e (x + 3), respectivamente, então o resto da divisão desse polinômio pelo produto dado por (x - 1) e (x + 3) é igual a:

a) 13 7

4 4x +

b) 7 13

4 4x −

c) 7 13

4 4x +

d) 13 13

4 4x

−−

e) 13 7

4 4x

−−

29.(ATRFB-2009-Esaf) Sejam X, Y e Z três pontos distintos de uma reta. O segmento XY é igual ao triplo do segmento YZ. O segmento XZ mede 32 centímetros. Desse modo, uma das possíveis medidas do segmento XY, em centímetros, é igual a: a) 27 b) 48 c) 35 d) 63 e) 72 30.(Especialista em Políticas Públicas e Gestão Governamental-MPOG-2009-Esaf) Um químico deve preparar dois litros de uma mistura formada por duas substâncias A e B na proporção de 3 de A para 2 de B. Distraidamente ele misturou 500 ml de A com 1 litro de B. Sabendo-se que ele não tem mais do elemento B, como deve proceder para obter a mistura desejada? a) Apenas acrescentar 1 litro da substância A à sua mistura. b) Apenas acrescentar 500 ml da substância A à sua mistura. c) Descartar 200 ml de sua mistura e acrescentar 700 ml da substância A. d) Descartar 300 ml de sua mistura e acrescentar 800 ml da substância A. e) Descartar 400 ml de sua mistura e acrescentar 900 ml da substância A. 31.(Assistente Técnico-Administrativo-MF-2009-Esaf) Com 50 trabalhadores, com a mesmo produtividade, trabalhando 8 horas por dia, uma obra ficaria pronta em 24 dias. Com 40 trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia, com uma produtividade 20% menor que os primeiros, em quantos dias a mesma obra ficaria pronta?




a) 24 b) 16 c) 30 d) 15 e) 20 32.(Assistente Técnico-Administrativo-MF-2009-Esaf) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá? a) 12 horas b) 30 horas c) 20 horas d) 24 horas e) 16 horas 33.(Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças Públicas-Sefaz/SP-2009-Esaf) Num acampamento escolar com crianças que supostamente comem a mesma quantidade de comida por dia, havia comida suficiente para exatamente 60 dias. Passados 20 dias, chegaram inesperadamente mais vinte crianças que supostamente comiam a mesma quantidade de comida por dia que as que estavam acampadas e que ficaram 10 dias no local antes de seguirem viagem. Se, ao fim de 50 dias, a contar do início do acampamento, as crianças tiveram que ir embora porque a comida havia acabado, quantas eram elas? a) 120 b) 20 c) 30 d) 60 e) 10 34.(Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças Públicas-Sefaz/SP-2009-Esaf) Suponha que um carro perde por ano 20% de seu valor em relação ao ano anterior, uma moto perde por ano 30% de seu valor em relação ao ano anterior e uma bicicleta perde por ano 10% de seu valor em relação ao ano anterior. Além disso, suponha que o carro custa o dobro de uma moto e uma moto o dobro de uma bicicleta. Sendo assim, ao final de 5 anos: a) a bicicleta valerá mais que a moto. b) o carro valerá mais que a moto e a moto valerá mais que a bicicleta. c) nenhum dos 3 valerá nada. d) a bicicleta valerá mais que o carro. e) apenas a bicicleta valerá algo.




35.(Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças Públicas-Sefaz/SP-2009-Esaf) Em uma cidade, às 15 horas, a sombra de um poste de 10 metros de altura mede 20 metros e, às 16 horas do mesmo dia, a sombra deste mesmo poste mede 25 m. Por interpolação e extrapolação lineares, calcule quanto mediria a sombra de um poste de 20 metros, na mesma cidade, às 15h30min do mesmo dia. a) 45m b) 35m c) 20m d) 50m e) 65m

36.(EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Uma picape para ir da cidade A para a cidade B gasta dois tanques e meio de óleo diesel. Se a distância entre a cidade A e a cidade B é de 500 km e neste percurso ele faz 100 km com 25 litros de óleo diesel, quantos litros de óleo diesel cabem no tanque da picape? a) 60 b) 50 c) 40 d) 70 e) 80 37.(EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Dois pintores com habilidade padrão conseguem pintar um muro na velocidade de 5 metros quadrados por hora. Se fossem empregados, em vez de dois, três pintores com habilidade padrão, os três pintariam: a) 15 metros quadrados em 3 horas. b) 7,5 metros quadrados em 50 minutos. c) 6 metros quadrados em 50 minutos. d) 7,5 metros quadrados em 30 minutos. e) 5 metros quadrados em 40 minutos. 38.(EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Uma empresa de turismo fechou um pacote para um grupo de 80 pessoas, com o qual ficou acordado que cada pessoa que participasse pagaria R$ 1.000,00 e cada pessoa que desistisse pagaria apenas uma taxa de R$ 150,00. Se a empresa de turismo arrecadou um total de R$ 59.600,00, qual a porcentagem das pessoas que desistiram do pacote? a) 20% b) 24% c) 30% d) 42% e) 36%




39.(EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Um passageiro, para viajar de A para C, deve ir de ônibus de A até B e de trem de B até C, sendo que B está na metade do caminho entre A e C. Os ônibus, de A para B, e os trens, de B para C, saem sempre no mesmo horário, a cada 20 minutos. Sabendo-se que a velocidade média do ônibus para ir de A até B é de 60 km/h, que a distância entre A e C é de 100 km e que o passageiro chegou em B, pegou o primeiro trem que partia para C e chegou em C exatamente uma hora e meia após partir de A, qual a velocidade média do trem para ir de B até C? a) 100 km/h b) 90 km/h c) 70 km/h d) 80 km/h e) 60 km/h 40.(ANA-2009-Esaf) Um rio principal tem, ao passar em determinado ponto, 20% de águas turvas e 80% de águas claras, que não se misturam. Logo abaixo desse ponto desemboca um afluente, que tem um volume d´água 30% menor que o rio principal e que, por sua vez, tem 70% de águas turvas e 30% de águas claras, que não se misturam nem entre si nem com as do rio principal. Obtenha o valor mais próximo da porcentagem de águas turvas que os dois rios terão logo apos se encontrarem. a) 41% b) 35% c) 45% d) 49% e) 55% 41.(ANA-2009-Esaf) Em um ponto de um canal, passam em media 25 barcos por hora quando esta chovendo e 35 barcos por hora quando não esta chovendo, exceto nos domingos, quando a freqüência dos barcos cai em 20%. Qual o valor mais próximo do numero médio de barcos que passaram por hora neste ponto, em um fim de semana, se choveu durante 2/3 das horas do sábado e durante 1/3 das horas do domingo? a) 24,33 b) 26,83 c) 25,67 d) 27,00 e) 30,00 42.(ANA-2009-Esaf) Alguns amigos apostam uma corrida num percurso em linha reta delimitado com 20 bandeirinhas igualmente espaçadas. A largada e na primeira bandeirinha e a chegada na ultima. O corredor que esta na frente leva exatamente 13 segundos para passar pela 13a bandeirinha. Se ele mantiver a mesma velocidade durante o restante do trajeto, o valor mais próximo do tempo em que ele correra o percurso todo será de:




a) 17,54 segundos. b) 19 segundos. c) 20,58 segundos. d) 20 segundos. e) 21,67 segundos. 43.(Analista de Processos Organizacionais-Administração-Bahiagás- 2010-FCC) Sendo x e y números reais, definiremos a operação Θ tal que xΘy é igual a x−y. Partindo-se dessa definição, é correto dizer que (xΘy) Θ (yΘx) é igual a (A) 2x (B) 2y (C) 2(x−y) (D) −2(x−y) (E) −2x 44.(Analista Judiciário-Área Administrativa-TRT/15R-2009-FCC) Do

total de projetos que estavam em um arquivo, sabe-se que: 2

5 deveriam ser

analisados e 4

7 referiam-se ao atendimento ao público interno. Com essa

informação, é correto concluir que o total de projetos existentes nesse arquivo NUNCA poderia ser um número compreendido entre (A) 10 e 50. (B) 60 e 100. (C) 110 e 160. (D) 150 e 170. (E) 180 e 220. 45.(Técnico Judiciário-Administrativa-TRF/4R-2010-FCC) A expressão N ÷ 0,0125 é equivalente ao produto de N por (A) 1,25. (B) 12,5.

(C) 1.

80

(D) 80.

(E) 125

.100

46.(Técnico Judiciário-Administrativa-TRF/4R-2010-FCC) Sejam x , y e z três números inteiros e positivos, tais que x < y < z. Sabe-se que o maior é a soma dos outros dois, e que o menor é um sexto do maior. Nessas condições, x, y e z são, nesta ordem, diretamente proporcionais a




(A) 1, 3 e 6. (B) 1, 4 e 6. (C) 1, 5 e 6. (D) 1, 6 e 7. (E) 1, 7 e 8. 47.(Professor-Matemática-Secretaria Municipal de Educação/SP-2009-FCC) Todo número racional pode ser escrito como fração contínua finita. Segue abaixo um exemplo de fração contínua finita.

12

13

116

++

+

A fração contínua finita indicada corresponde a um número racional cuja representação decimal é uma dízima de período (A) 259. (B) 257. (C) 239. (D) 197. (E) 175. 48.(Professor-Matemática-Secretaria Municipal de Educação-Teresina-2009-FCC)Júlia tem que distribuir certo número de balas em 99 embalagens de forma que todas as embalagens fiquem com o mesmo número de balas. Sua remuneração para a tarefa será o número de balas que sobrarem. Fazendo uso de uma calculadora, Júlia dividiu o total de balas por 99, obtendo como resultado no visor o número 9,86868686. Para descobrir qual será sua remuneração, Júlia deve pegar o número indicado no visor da calculadora, (A) somar 9 e multiplicar o resultado por 99. (B) somar 99 e dividir o resultado por 9. (C) subtrair 9 e multiplicar o resultado por 86. (D) subtrair 9 e multiplicar o resultado por 99. (E) subtrair 9 e multiplicar o resultado por 986.




49.(Professor-Matemática-Secretaria Municipal de Educação-Teresina-2009-FCC)Vários pacotes de papel sulfite foram empilhados como mostra a figura.

Para saber quantos pacotes tem esse empilhamento podemos proceder do seguinte modo: (A) 5 × 3 + 2 × 1 (B) (5 × 4) + (3 × 3) + (2 × 2) + 3 (C) (5 × 3 × 2 × 1) + (4 × 3 × 2 × 2) (D) (5 + 4) + (3 + 3) + (2 + 2) + 3 (E) (5 × 4) + (3 × 4) + (2 × 4) + 3 50.(Analista Judiciário-Administrativa-TRF/15R-2010-FCC) No arquivo morto de um setor de uma Repartição Pública há algumas prateleiras vazias, onde deverão ser acomodados todos os processos de um lote. Sabe-se que, se forem colocados 8 processos por prateleira, sobrarão apenas 9 processos, que serão acomodados na única prateleira restante. Entretanto, se forem colocados 13 processos por prateleira, uma das duas prateleiras restantes ficará vazia e a outra acomodará apenas 2 processos. Nessas condições, é correto afirmar que o total de processos do lote é um número (A) par. (B) divisível por 5. (C) múltiplo de 3. (D) quadrado perfeito. (E) primo. 51.(Técnico Judiciário-Administrativa-TRF/4R-2010-FCC) Suponha que apenas um dentre 12 Técnicos Judiciários se aposenta e é substituído por um concursado que tem 24 anos de idade e, como consequência, a média das idades dos Técnicos diminui de 3,5 anos. Assim sendo, a idade do Técnico que se aposentou é um número




(A) menor que 65. (B) quadrado perfeito. (C) primo. (D) divisível por 4. (E) múltiplo de 11. 52.(Engenheiro-Dnocs-2010-FCC) Chama-se fração decimal toda fração da

forma 10nx

, em que x ∈ Z e n ∈ N. Com base nessa definição, se

0,00342

10 0,36n

x= , é correto concluir que:

(A) x < 100 e n > 5 (B) 50 < x < 80 e n < 5 (C) x + n = 100 (D) x é ímpar e n é par (E) x e n são ímpares 53.(Analista Judiciário-Informática-TRF/4R-2010-FCC) Sabe-se que, no Brasil, nas operações financeiras é usado o sistema decimal de numeração, no qual um número inteiro N pode ser representado como: N = an.10n + an-1.10n-1 + an-2.10n-2 +...+ a2.102 + a1.101 + a0.100, em que 0 ≤ ai < 10 , para todo 0 ≤ i ≤ n. Nesse sistema, por exemplo, 8 903 = 8.103 + 9.102 + 0.101 + 3.100 Suponha que, em férias, Benivaldo visitou certo país, no qual todas as operações financeiras eram feitas num sistema de numeração de base 6 e cuja unidade monetária era o “delta”. Após ter gasto 2.014 deltas em compras numa loja e percebendo que dispunha exclusivamente de cinco notas de 100 reais, Benivaldo convenceu o dono da loja a aceitar o pagamento na moeda brasileira, dispondo-se a receber o troco na moeda local. Nessas condições, a quantia que ele recebeu de troco, em deltas, era (A) 155. (B) 152. (C) 145. (D) 143. (E) 134. 54.(Analista Judiciário-Informática-TRF/4R-2010-FCC) Um número escrito na notação científica é expresso pelo produto de um número racional x por 10n , sendo 1 ≤ x < 10 e n um número inteiro. Dessa forma, a expressão

do número 0,000000245 1.872.000.000

0,0000000325 49.000N

×=

× na notação científica é




(A) 2,08 ×103. (B) 2,88 ×104. (C) 2,08 ×104. (D) 2,88 ×105. (E) 2,08 ×105. 55.(Analista Judiciário-Área: Administrativa-TRT/15R-2010-FCC) Um criptograma aritmético é um esquema operatório codificado, em que cada letra corresponde a um único algarismo do sistema decimal de numeração. Considere que o segredo de um cofre é um número formado pelas letras que compõem a palavra MOON, que pode ser obtido decodificando-se o seguinte criptograma: (IN)2 = MOON Sabendo que tal segredo é um número maior que 5.000, então a soma M + O + O + N é igual a (A) 16 (B) 19 (C) 25 (D) 28 (E) 31 56.(Analista de Processos Organizacoinais-Administração-Bahiagás-FCC-2010) Em uma partida de basquete o jogador pode fazer cestas valendo 3 pontos, 2 pontos ou 1 ponto. A respeito dos únicos cinco jogadores de uma equipe que participaram de uma partida, sabe-se que: − Alberto fez 19 pontos; − Bernardo fez apenas cestas de 3 pontos; − Cláudio fez apenas 13 cestas, todas de 2 pontos; − Diogo fez apenas cestas de 1 ponto; − Elton não fez cestas. Se Diogo fez o dobro do número de cestas de Bernardo, é correto afirmar que o total de pontos feitos pela equipe nessa partida necessariamente é um número (A) que deixa resto 2 na divisão por 5. (B) múltiplo de 7. (C) múltiplo de 5. (D) múltiplo de 3. (E) ímpar. 57.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Educação/SP-2010-FCC) Um provedor de acesso à internet cobrava de seus clientes R$ 80,00 por mês para acesso discado sem qualquer controle das horas utilizadas. Querendo limitar o tempo de conexão dos clientes, ofereceu um plano, no




qual, por R$ 60,00, o cliente usaria os serviços por no máximo 70 horas mensais e pagaria R$ 2,00 por hora excedente. No mês seguinte, ao receber sua conta de consumo, um cliente que havia optado por esse plano verificou que o valor de sua conta ficou 60% maior em relação ao valor que pagaria no plano anterior. O número de horas em que esse cliente esteve conectado foi (A) 96 (B) 104 (C) 110 (D) 122 (E) 126 58.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-Maranhão-2009-FCC) O seguinte arranjo de números é conhecido como triângulo de Pascal: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ... ... ... ... ... ... Sabe-se que os números do triângulo de Pascal correspondem aos coeficientes do desenvolvimento de (a + b)n, segundo as potências decrescentes de a. De acordo com essas informações, o coeficiente do termo contendo os fatores x5y2 no desenvolvimento de (2x + y)7 é (A) 672 (B) 480 (C) 240 (D) 32 (E) 21 59.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SP-2010-FCC) Na equação x3 + 3x2 + x − 1 = 0, substituindo-se x por z − 1 obtém-se uma equação em z sem o termo quadrático, o que facilita sua resolução. A partir disso, podem-se obter também as soluções da equação original, uma das quais é

(A) 2

(B) 2 1− (C) – 2

(D) 3 2

(E) 3 2 2−




60.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SP-2010-FCC) Considere uma função polinomial real f que tem zeros para x = 1, x = 3 e x = 4, unicamente, e tal que f(0) = −6. Nessas condições, f é dada por

(A) f(x) = x3 – 4x2 + 19

2x – 6

(B) f(x) = x3 + 4x2 – 19

2x + 6

(C) f(x) = x4 – 8x2 + 13x – 6

(D) f(x) = 1

2x3 + 4x2 –

19

2x + 6

(E) f(x) = 1

2x3 – 4x2 +

19

2x – 6

61.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração-Maranhão-2009-FCC) Se a divisão do polinômio P(x) = ax3 + bx + 4 pelo polinômio T(x) = x – 2 é exata, então b é igual a (A) 2(2+a) (B) −2(1+2a) (C) −2(2a−1) (D) −2(a−2a) (E) 2(1−2a) GABARITO:

1 – Certo 11 – C 21 – C 31 – C 41 – B 51 – E 61 – B 2 - Errado 12 – C 22 – E 32 – E 42 – C 52 – D 3 – Certo 13 – B 23 – D 33 – B 43 – C 53 – E 4 – Errado 14 – C 24 – D 34 – A 44 – D 54 – D 5 – Errado 15 – A 25 – E 35 – A 45 – D 55 – A 6 – Errado 16 – A 26 – B 36 – B 46 – C 56 – C 7 – Certo 17 – B 27 – C 37 – E 47 – A 57 – B 8 – Certo 18 – Certo 28 – C 38 – C 48 – D 58 – A 9 – Errado 19 – B 29 – B 39 – A 49 – B 59 – B 10 – Certo 20 – A 30 – D 40 – A 50 – E 60 – E Bibliografia Moraes Junior, Alexandre Lima. Raciocínio Lógico, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística. Editora Método. Rio de Janeiro. 2010.

aula 01 rac. lÓgico

Documents