raciocínio lógico - estratégia aula 01

8/18/2019 Raciocínio Lógico - Estratégia aula 01

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RACIOCÍNIO LÓGICO p/ MPUTEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS

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Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 1

AULA 01: PRINCÍPIOS DE CONTAGEM

SUMÁRIO PÁGINA1. Princípios de contagem (análise combinatória) 01

2. Resolução de exercícios 13

3. Questões apresentadas na aula 56

4. Gabarito 70

Prezado aluno, em nossa primeira aula veremos o tópico “Princípios de

contagem” do edital do MPU. Trata-se da famosa análise combinatória, que é ateoria necessária para resolver os exercícios de contagem. Na próxima,

trabalharemos com foco na probabilidade.

O entendimento da aula de hoje é essencial para o bom aproveitamento da

próxima aula. Portanto, muita atenção...

1. PRINCÍPIOS DE CONTAGEM (ANÁLISE COMBINATÓRIA)

1.1 Contagem e análise combinatóriaImagine que você possui em seu armário 3 calças , 4 camisetas e 2 pares de

tênis. De quantas maneiras diferentes você pode se vestir? Ora, basta imaginar que

para cada calça você pode utilizar qualquer uma das 4 camisetas, e para cada

conjunto calça-camiseta você pode usar qualquer dos 2 pares de tênis.

O princípio fundamental da contagem, ou regra do produto, nos diz que para

obter a quantidade total de maneiras de se vestir basta multiplicar o número de

calças pelo número de camisas e pelo número de tênis, isto é:Maneiras de se vestir = 3 x 4 x 2 = 24

Em outras palavras, quando temos acontecimentos sucessivos e

independentes (escolha da calça, da camiseta e do tênis), basta multiplicarmos as

quantidades de possibilidades de cada acontecimento (isto é, 3 possibilidades para

o acontecimento “escolha da calça”; 4 para a “escolha da camiseta” e 2 para a

“escolha do tênis”).


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- para formar números de 3 algarismos distintos com os elementos {1, 2, 3, 4, 5, 6},

tínhamos 6 possibilidades para o primeiro algarismo E 5 possibilidades para o

segundo E 4 possibilidades para o terceiro, de modo que novamente efetuamos a

multiplicação 6 x 5 x 4.

- já para obter números de 3 algarismos distintos onde o 2 estivesse presente,

vimos que o 2 podia estar na primeira posição OU na segunda posição OU na

terceira posição. Foi por isso que tivemos que somar as 20 possibilidades de ter o 2

na primeira posição com as 20 possibilidades de ele estar na segunda posição e

com as 20 possibilidades de ele estar na terceira posição.

Lembrando-se que o “E” remete à multiplicação e o “OU” remete à soma,

você dificilmente errará uma questão. Em uma abordagem mais acadêmica,

dizemos que:

- o princípio multiplicativo é utilizado no caso de eventos independentes (a escolha

da camiseta independe da escolha da calça, que independe da escolha do tênis);

- o princípio aditivo é utilizado no caso de eventos mutuamente excludentes (a

presença do 2 em uma posição exclui a possibilidade de ele estar nas demais

posições);

1.2 Permutação simples

Analisemos agora o seguinte exemplo: temos 5 pessoas que devem se

sentar em uma fileira do cinema, uma ao lado da outra. De quantas maneiras

diferentes podemos sentar essas pessoas?

Na primeira cadeira, podemos colocar qualquer uma das 5 pessoas. Isto é,

temos 5 possibilidades. Já na segunda cadeira, temos apenas 4 possibilidades, pois

necessariamente uma pessoa já estará ocupando a primeira cadeira. Para terceira

cadeira sobram 3 possibilidades, assim como sobram 2 possibilidades para a quartacadeira, e uma para a última. Veja isso na tabela abaixo:

Cadeira 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª

Possibilidades

de ocupação5 4 3 2 1

Feito isso, podemos utilizar novamente a regra do produto para obter o

número total de formas de sentar as pessoas:


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Total de formas de sentar = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Observe um detalhe importante neste problema: em cada uma dessas 120

possibilidades de arrumação das pessoas, as mesmas 5 pessoas estão presentes.

O que torna diferente uma possibilidade da outra é somente a ordem de

posicionamento das pessoas.

Esse tipo de problema, onde o objetivo é arrumar “n” elementos em “n”

posições distintas (no caso, 5 pessoas em 5 cadeiras), e onde a ordem de

arrumação dos elementos diferencia uma possibilidade da outra, é chamado de

PERMUTAÇÃO SIMPLES. O cálculo da permutação simples de n elementos é dada

pela fórmula abaixo:

P(n) = n!

Nesta fórmula, n! significa “n fatorial”. Na matemática, chamamos de fatorial

de um número “n” o produto de todos os números inteiros e positivos iguais ou

inferiores a n, isto é:

n! = n x (n – 1) x (n – 2) x ... x 1

Exemplificando, 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Portanto, se fossemos aplicar

esta fórmula na questão das cadeiras do cinema, teríamos:

P(5) = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 formas de posicionar as pessoas

Atenção para um detalhe: só podemos usar a fórmula de permutação simples

nos problemas onde a ordem de arrumação dos “n” objetos torne uma possibilidade

diferente da outra! Vamos nos deparar com vários problemas onde a ordem não

torna uma possibilidade diferente da outra – e não poderemos resolvê-los demaneira tão simples como a vista aqui.

Vejamos um outro exemplo de permutação simples: quantos anagramas

podemos formar utilizando todas as letras da palavra BRASIL?

Um anagrama é um rearranjo das letras. SILBRA, por exemplo, é um

anagrama da palavra BRASIL. Veja que em BRASIL temos 6 letras distintas entre

si, isto é, sem repetição. Assim, cada anagrama será formado por 6 letras,

distribuídas entre 6 posições:


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Posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª

Letras

disponíveis6 5 4 3 2 1

Veja que o total de anagramas será dado por 6!, isto é, 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =

720. Utilizando a fórmula:

P(6) = 6! = 720

1.3 Permutação com repetição

Imagine que você queira calcular o número de anagramas da palavra

ARARA. A princípio você usaria a fórmula de permutação simples, como fizemos no

caso de BRASIL. Porém ARARA possui 3 repetições da letra A e 2 repetições da

letra R. Isso faz com que alguns anagramas seja, na verdade, repetições uns dos

outros.

Exemplificando, podemos construir o anagrama ARRAA, onde simplesmente

trocamos de posição o 2º R com o 2º A. Este mesmo anagrama poderia ter sido

construído trocando de posição o 1º R com o 2º A, e, a seguir, colocando o 1º A na

última posição. Não podemos contar 2 vezes esses anagramas, pois eles são

idênticos.

Por isso, quando há repetição devemos usar a fórmula da permutação

simples, porém dividir o resultado pelo número de permutações de cada letra

repetida. Como ARARA tem 5 letras, sendo que o A repete-se 3 vezes e o R repete-

se 2 vezes, temos:

5!(5 ; 3 2) 10

3! 2!PR e = =

×

anagramas

Generalizando, podemos dizer que a permutação de n elementos com

repetição de m e p é dada por:

!( ; )

! !

nPR n m e p

m p=

×

1.4 Arranjo simples


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Imagine agora que quiséssemos posicionar aquelas 5 pessoas nas cadeiras

do cinema, mas tivéssemos apenas 3 cadeiras à disposição. De quantas formas

poderíamos fazer isso?

Para a primeira cadeira temos, novamente, 5 pessoas disponíveis, isto é, 5

possibilidades. Já para a segunda cadeira, restam-nos 4 possibilidades, dado que

uma já foi utilizada na primeira cadeira. Por fim, na terceira cadeira poderemos

colocar qualquer das 3 pessoas restantes. Veja que sempre sobrarão duas pessoas

em pé, afinal temos apenas 3 cadeiras. A quantidade de formas de posicionar essas

pessoas sentadas é dada pela multiplicação abaixo:

Formas de organizar 5 pessoas em 3 cadeiras = 5 x 4 x 3 = 60

Um caso como esse, onde pretendemos posicionar “n” elementos em “m”

posições (m menor que n), e onde a ordem dos elementos diferencia uma

possibilidade da outra, é chamada de ARRANJO SIMPLES. Sua fórmula é dada

abaixo:

!( , )

( )!

n A n m

n m=

−

Exemplificando, em nosso exemplo temos n = 5 e m = 3. Portanto, teríamos:

!( , )

( )!

5! 5! 5 4 3 2 1(5,3)

(5 3)! 2! 2 1

(5, 3) 5 4 3 60

n A n m

n m

A

A

=

−

× × × ×= = =

− ×

= × × =

Lembre-se: estamos falando novamente de casos onde a ordem doselementos importa, isto é, a ordem dos elementos diferencia uma possibilidade de

outra. Imagine que as 5 pessoas sejam: Ana, Beto, Carlos, Daniela e Eduardo. Uma

forma de posicionar essas pessoas em 3 cadeiras seria:

Cadeira 1ª 2ª 3ª

Ocupante Beto Daniela Eduardo

Neste caso, Ana e Carlos estão de fora. Outra forma de posicionamento

seria:


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Cadeira 1ª 2ª 3ª

Ocupante Daniela Beto Eduardo

Veja que, novamente, Ana e Carlos estão de fora. E Eduardo está no mesmolugar. A única mudança foi a inversão de posições entre Beto e Daniela. Ou seja,

uma simples alteração na ordem dos elementos gera uma nova possibilidade de

posicionamento. É isso que quero dizer quando afirmo que “a ordem importa” para

os casos de Permutação e Arranjo.

Note ainda que podemos usar a fórmula de Arranjo para resolver um

problema de Permutação simples. Isto porque a permutação também é uma

ordenação de “n” elementos em “m” posições, porém nos casos de permutação n =

m. Sabendo que 0! é, por definição, igual a 1, podemos calcular o número de

permutações de 5 pessoas em 5 cadeiras de cinema com a fórmula de arranjo:

!( , )

( )!

5! 5! 5 4 3 2 1(5,5)

(5 5)! 0! 1

(5,5) 120

n A n m

n m

A

A

=

−

× × × ×= = =

−

=

1.5 Arranjo com repetição

Imagine que temos à disposição as letras A, B, C e D. Queremos utilizá-las

para formar placas de carros. Assim, precisamos de formar grupos de 3 letras,

sendo que essas letras podem ser repetidas. Isto é, podemos ter placas como: AAA,

AAB, ABA, BAA, ABC etc.

Para calcular o número de arranjos possíveis de “n” elementos em grupos de

“m”, e podendo repetir os elementos, usamos a fórmula do Arranjo com repetição:

A (n, m) = nm

(leia: “arranjo de n elementos, m a m, é dado por n elevado a m)

Portanto, se temos 4 letras (n = 4) e queremos formar grupos de 3 (m = 3)

podendo repetir as letras, será possível formar o total de arranjos abaixo:


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3

( , )

(4,3) 4

(4,3) 64 arranjos

m A n m n

A

A

=

=

=

Você pode resolver esse tipo de exercício sem o auxílio de fórmulas, apenas

utilizando o princípio multiplicativo. Basta lembrar que você quer montar placas

assim: __ __ __. E tem 4 possibilidades de letras para cada uma das lacunas.

Portanto, basta multiplicar 4 x 4 x 4 = 43 = 64 possibilidades.

1.6 Combinação

Imagine agora que você tem à sua disposição aquelas mesmas 5 pessoas,

porém agora precisa formar uma dupla para participar de um determinado evento.

Quantas duplas distintas é possível formar?

Veja que agora a ordem não importa mais. A dupla formada por Ana e Beto é

igual à dupla formada por Beto e Ana. Nesses casos, estamos diante de um

problema de Combinação.

Será preciso calcular quantas combinações de 5 pessoas, duas a duas, é

possível formar. Isto é feito através da fórmula abaixo:

( )

!( , )

! !

n nC n m

m m n m

= =

−

Veja quen

m

é uma outra forma de simbolizar “combinação de n elementos,

m a m”. Efetuando o cálculo para o exemplo acima, temos:

( )

( )

!( , )

! !

5 5! 5!(5,2)

2 2! 5 2 ! 2! 3!

5 5 4 3 2 1(5,2) 10

2 2 1 3 2 1

n nC n m

m m n m

C

C

= =

−

= = =

− ×

× × × ×= = =

× × × ×

Portanto, há 10 combinações de 5 elementos, dois a dois. Isto é, há 10

formas de criar duplas tendo para isso 5 pessoas disponíveis. Vejamos quais seriam

as 10 duplas:


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- Ana e Beto; Ana e Carlos; Ana e Daniela; Ana e Eduardo

- Beto e Carlos; Beto e Daniela; Beto e Eduardo;

- Carlos e Daniela; Carlos e Eduardo;

- Daniela e Eduardo.

A respeito de combinações, fica aqui uma dica para facilitar as contas. Ao

invés de utilizar a fórmula acima, você pode chegar ao mesmo caso fazendo o

seguinte:

1. multiplicando os “m” primeiros termos de “n!”

2. dividindo esse resultado por m!

No caso do nosso exemplo, bastava multiplicar os 2 primeiros termos de 5!

(que são 5 e 4) e dividir por 2! (2x1):

5 4 20(5,2) 10

2! 2C

×= = =

Outra dica para facilitar as contas: a combinação de 5 elementos, 2 a 2, é

igual à combinação de 5 elementos, 3 a 3. Isto porque 3 = 5 – 2. Da mesma forma, a

combinação de 15 elementos, 14 a 14, é igual à combinação de 15 elementos, 1 a 1

(pois 1 = 15 – 14). Generalizando: a combinação de n elementos, m a m, é igual à

combinação de n elementos, (n-m) a (n-m):n n

m n m

=

−

1.7 Permutação circular

Vimos que a permutação de n elementos é dada por P(n) = n!. Entretanto,

temos um caso particular de permutação, muito presente em provas de concurso,

que é a Permutação Circular.Ao estudar a permutação simples, calculamos de quantas maneiras distintas

podemos permutar 5 pessoas em uma fileira de cinema com 5 lugares. E se, ao

invés da fileira do cinema, tivéssemos uma mesa redonda com 5 lugares? Observe

as duas disposições abaixo das pessoas A, B, C, D, e E ao redor da mesa:


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Do ponto de vista de permutação, essas duas disposições são iguais (afinal,

a pessoa A tem à sua esquerda E, e à sua direita B, e assim sucessivamente). Não

podemos contar duas vezes a mesma disposição.

Repare ainda que, antes da primeira pessoa se sentar à mesa, todas as 5

posições disponíveis são equivalentes. Isto porque não existe uma referência

espacial. Nestes casos, devemos utilizar a fórmula da permutação circular de n

pessoas, que é:

Pc (n) = (n-1)!

Em nosso exemplo, o número de possibilidades de posicionar 5 pessoas ao

redor de uma mesa será:

Pc(5) = (5-1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Note que se houvesse uma posição da mesa com uma cadeira “de ouro”, por

exemplo, passaríamos a ter uma orientação espacial em relação a esta cadeira, e

deixaríamos de ter uma permutação circular.

1.8 Comentários finais para resolução de exercícios

Agora que já conhecemos os arranjos, permutações e combinações, gostariade gastar mais um tempinho reforçando as diferenças entre estas ferramentas.

Como você verá ao longo dos exercícios, é essencial saber diferenciar se estamos

diante de um caso de arranjo, permutação ou combinação, para só então resolvê-lo.

Ao se deparar com uma questão, você deve responder sempre a seguinte

pergunta:

- a ordem de escolha ou de disposição dos elementos torna uma

escolha/disposição diferente da outra?


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Exemplificando, imagine que você tenha 5 soldados (A, B, C, D, e E) à

disposição, e o seu objetivo é formar equipes de 3 soldados. Veja que a equipe

formada pelos soldados A, B, C é igual a equipe formada pelos soldados B, A, C,

que também é igual à equipe formada pelos soldados C, B, A, e assim por diante.

Isto é, a ordem de escolha dos soldados não é relevante, não torna uma escolha

diferente da outra.

Já se você quisesse formar filas com 3 soldados, a fila A-B-C é diferente da

fila B-A-C que é diferente da fila C-B-A, e assim por diante. Em uma fila, a ordem

importa. Se trocamos a posição do primeiro colocado com a do último, temos uma

fila diferente. Portanto, neste caso a ordem de escolha dos soldados é relevante, ou

seja, torna uma escolha diferente da outra.

Feita a pergunta, você tem duas possibilidades:

- se a ordem NÃO É RELEVANTE: utilizar a fórmula de combinação. Isto é muito

comum em questões onde o objetivo é formar equipes, grupos, comissões etc. Em

nosso exemplo acima, o resultado seria C(5,3), concorda?

- se a ordem É RELEVANTE: utilizar o princípio fundamental da contagem (aquela

multiplicação simples), que se resume nas fórmulas de arranjos e permutações. No

exemplo da fila acima, o resultado seria 5x4x3, concorda? Dependendo do caso,

você precisa fazer alguns ajustes, como no caso de haver repetição. Isto é:

- se houver repetição, basta dividir o resultado encontrado por n!, onde n é o

número de repetições (ou usar direto a fórmula da permutação com repetição);

- se houver mais de um item se repetindo, é preciso dividir por n!, s!, t! etc.

(conforme o número de itens se repetindo).

Caso 2 soldados fossem “idênticos”, de tal modo que não fosse possível

diferenciá-los (digamos que D = E), quantas filas diferentes conseguiríamos formar?Ora, temos uma repetição de 2 elementos, certo? Portanto, o número de filas seria

5x4x3/2! .

E se quiséssemos distribuir os 5 soldados em torno de uma mesa redonda?

Aí teríamos a permutação circular, que é dada por (n-1)!, ou seja, 4! = 24.

Por fim, qual a diferença entre Arranjo e Permutação? Imagine que vocêdispõe daqueles 5 soldados e pretende montar uma fila.


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2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS

1. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) A questão da desigualdade de gênero na

relação de poder entre homens e mulheres é forte componente no crime do tráfico

de pessoas para fins de exploração sexual, pois as vítimas são, na sua maioria,mulheres, meninas e adolescentes. Uma pesquisa realizada pelo Escritório das

Nações Unidas sobre Drogas e Crime (UNODC), concluída em 2009, indicou que

66% das vítimas eram mulheres, 13% eram meninas, enquanto apenas 12% eram

homens e 9% meninos.

Ministério da Justiça. Enfrentamento ao tráfico de

pessoas: relatório do plano nacional. Janeiro de 2010, p.

23 (com adaptaçes!.

Com base no texto acima, julgue o item a seguir.

( ) Se as vítimas indicadas na pesquisa totalizaram 250 pessoas, então o número de

maneiras distintas de se escolher um grupo de 3 homens entre as vítimas será

superior a 4.000.

RESOLUÇÃO:Se 12% das vítimas são homens, então o número de homens é:

Homens = 12% de 250 = 12% x 250 = 0,12 x 250 = 30

Temos 30 homens, e queremos saber quantos grupos de 3 homens podemos

criar. Repare que escolher os homens A, B e C é igual a escolher os homens C, B e

A (em ambos os casos temos grupos formados pelos mesmos 3 indivíduos). Em

outras palavras, a ordem de escolha dos homens para formar um grupo não

importa, não torna um grupo diferente do outro. Quando a ordem não importa,devemos utilizar a fórmula da combinação de 30 homens, 3 a 3, para obter o total

de grupos possíveis:

30 29 28(30,3) 10 29 14 4060

3 2 1C

× ×= = × × =

× ×

Este número é superior a 4000, portanto o item está CERTO.

Resposta: C


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2. CESPE – EBC – 2011) Considerando que, em uma empresa, haja 5 candidatos,

de nomes distintos, a 3 vagas de um mesmo cargo, julgue os próximos itens.

( ) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos

candidatos. Nesse caso, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, dois desses

nomes aparecerão em mais de 5 dessas listas.


candidatos. Nessa situação, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, 3 dessas

listas conterão apenas um desses nomes.

( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher 3 pessoas entre os 5

candidatos é igual a 20.

RESOLUÇÃO:


candidatos. Nesse caso, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, dois desses

nomes aparecerão em mais de 5 dessas listas.

Devemos combinar os 3 nomes dados (Alberto, Bento e Carlos) 2 a 2, para

escolher dois deles. A seguir, devemos multiplicar este número de combinações

pelo número de combinações dos 2 candidatos restantes para ocupar a última vaga.

Isto é:

C(3,2) x C(2,1) = 3 x 2 = 6

Item CORRETO.


candidatos. Nessa situação, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, 3 dessas

listas conterão apenas um desses nomes.

Para que uma lista contenha Alberto, e não contenha nem Bento nem Carlos,

existe uma única possibilidade: Alberto e mais os 2 candidatos restantes.Analogamente, para que uma lista contenha Bento e não contenha nem

Alberto e nem Carlos, a única possibilidade é: Bento e mais os 2 candidatos

restantes.

Por fim, para a lista conter apenas Carlos, a única opção é ela ser formada

por Carlos e os 2 candidatos restantes.

Ao todo, temos exatamente 3 listas possíveis com o nome de apenas um dos

3 rapazes citados. Item CORRETO.


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( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher 3 pessoas entre os 5

candidatos é igual a 20.

A combinação de 5 pessoas, 3 a 3 é:

C(5,3) = C(5,2) = 5x4/2 = 10

Item ERRADO.

Resposta: C C E

3. CESPE – Polícia Federal – 2012) Dez policiais federais – dois delegados, dois

peritos, dois escrivães e quatro agentes – foram designados para cumprir mandado

de busca e apreensão em duas localidades próximas à superintendência regional. O

grupo será dividido em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja

composta, necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois

agentes.

Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.

( ) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas

as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro

de um veículo com cinco lugares – motorista e mais quatro pasageiros – será

superior a 100.

( ) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes.

RESOLUÇÃO:

( ) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas

as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro

de um veículo com cinco lugares – motorista e mais quatro pasageiros – será

superior a 100.Temos 5 lugares no carro para preencher com 5 pessoas. Pelo princípio

fundamental da contagem, o número de possibilidades é dado por 5x4x3x2x1 = 120.

Este número é superior a 100, tornando o item CORRETO.

( ) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes.

Precisamos escolher 1 delegado dos 2 disponíveis, 1 perito dos 2

disponíveis, 1 escrivão dentre os 2 disponíveis e 2 agentes dentre os 4 disponíveis.


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Como a ordem de escolha não importa, usamos a fórmula da combinação. Logo, o

total de maneiras de compor as equipes é dado por:

C(2,1)xC(2,1)xC(2,1)xC(4,2) = 2x2x2x6 = 48

Este número é inferior a 50, tornando o item ERRADO.

Resposta: C E

4. ESAF – AFT – 2010) O departamento de vendas de uma empresa possui 10

funcionários, sendo 4 homens e 6 mulheres. Quantas opções possíveis existem

para se formar uma equipe de vendas de 3 funcionários, havendo na equipe pelomenos um homem e pelo menos uma mulher?

a) 192.

b) 36.

c) 96.

d) 48.

e) 60.

RESOLUÇÃO:Se a equipe tem 3 pessoas, precisa ter pelo menos 1 homem e 1 mulher,

temos 2 possíveis grupos: 2 homens e 1 mulher, ou 2 mulheres e 1 homem.

Vejamos quantas possibilidades temos para cada tipo de grupo.

2 homens e 1 mulher:

Para escolher 2 homens em um total de 4 disponíveis, basta calcular a

combinação de 4, 2 a 2:

4 4 3(4,2) 6

2 2 1C

×= = =

×

E para escolher 1 mulher em um total de 6, temos 6 possibilidades, como

você pode comprovar abaixo:

6 6(6,1) 6

1 1!C

= = =


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Pelo princípio fundamental da contagem, temos 6 x 6 = 36 formas de agrupar

2 homens e 1 mulher.

2 mulheres e 1 homem:

Para escolher 2 mulheres em um total de 6 disponíveis, basta calcular a

combinação de 6, 2 a 2:

6 6 5

(6,2) 152 2 1

C ×

= = = ×

E para escolher 1 homem em um total de 4, temos 4 possibilidades, como

você pode comprovar abaixo:

4 4(4,1) 41 1!

C = = =

Pelo princípio fundamental da contagem, temos 15 x 4 = 60 formas de

agrupar 2 mulheres e 1 homem.

Assim, ao todo temos 36 + 60 = 96 equipes distintas com 3 funcionários,

respeitando as condições do enunciado.Resposta: C

5. ESAF – SMF/RJ – 2010) O departamento de vendas de imóveis de uma

imobiliária tem 8 corretores, sendo 5 homens e 3 mulheres. Quantas equipes de

vendas distintas podem ser formadas com 2 corretores, havendo em cada equipe

pelo menos uma mulher?

a) 15

b) 45

c) 31

d) 18

e) 25

RESOLUÇÃO:

Veja que podemos ter equipes com 1 mulher e 1 homem, ou equipes com 2mulheres.


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No primeiro caso, precisamos combinar 3 mulheres, 1 a 1, e combinar 5

homens, 1 a 1:

(3,1) 3

(5,1) 5

C

C

=

=

Portanto, é possível formar 3 x 5 = 15 equipes distintas.

No segundo caso, precisamos apenas combinar as 3 mulheres, 2 a 2:

3 2(3,2) 3

2 1C

×= =

×

Assim, podemos formar 3 equipes distintas. Ao todo, temos 15 + 3 = 18

equipes distintas.Resposta: D

6. ESAF – STN – 2008) Ana possui em seu closet 90 pares de sapatos, todos

devidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede

emprestado à Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana

retira do closet quatro caixas de sapatos. O número de retiradas possíveis que Ana

pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a:

a) 681384

b) 382426

c) 43262

d) 7488

e) 2120

RESOLUÇÃO:

Veja no esquema abaixo as possibilidades de retiradas, e suas respectivas

explicações:

Retirada 1 Retirada 2 Retirada 3 Retirada 4

89 possibilidades

(pois a caixa 20 não

pode estar aqui, só na

retirada 3)

88 possibilidades

(pois nem a caixa 20

nem a da retirada 1

podem estar aqui)

1 possibilidade

(caixa 20)

87 possibilidades (90

menos a caixa 20 e as das

retiradas 1 e 2)

Pelo princípio fundamental da contagem, temos:


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89 88 1 87 681384Possibilidades = × × × =

Resposta: A

7. ESAF – MPOG – 2008) Marcos está se arrumando para ir ao teatro com sua

nova namorada, quando todas as luzes de seu apartamento apagam. Apressado,

ele corre até uma de suas gavetas onde guarda 24 meias de cores diferentes, a

saber: 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. Para que Marcos não saia com

sua namorada vestindo meias de cores diferentes, o número mínimo de meias que

Marcos deverá tirar da gaveta para ter a certeza de obter um par de mesma cor é

igual a:

a) 30

b) 40

c) 246

d) 124

e) 5

RESOLUÇÃO:

Veja que temos 4 possibilidades de cores de meias: pretas, brancas, azuis eamarelas. Portanto, se Marcos tirar da gaveta apenas 4 meias, ele pode “dar o azar”

de tirar exatamente 1 meia de cada cor. Entretanto, ao tirar a 5ª meia da gaveta, ela

necessariamente será de uma das 4 cores que ele já tirou. Assim, ele certamente

conseguirá formar um par de meias da mesma cor.

Isso mostra que é preciso tirar pelo menos 5 meias da gaveta para ter

certeza de obter um par da mesma cor.

Resposta: E

8. ESAF – CGU – 2008) Ana precisa fazer uma prova de matemática composta de

15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 questões das

15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as

questões?

a) 3003

b) 2980


20/70




c) 2800

d) 3006

e) 3005

RESOLUÇÃO:

Se temos 15 questões e, delas, queremos separar um grupo de 10 questões

para resolver, basta calcular a combinação de 15, 10 a 10. Isso porque a ordem das

questões não importa: escolher as questões 1, 3 e 5 é igual a escolher as questões

3, 5 e 1.

Para calcular de uma forma mais fácil a combinação de 15, 10 a 10, você

precisa lembrar a seguinte propriedade (que vimos na teoria de hoje):

(15,10) (15,5)C C =

Assim,

15 14 13 12 11(15,10) (15,5) 3003

5 4 3 2 1C C

× × × ×= = =

× × × ×

Ana pode escolher 10 das 15 questões de 3003 formas distintas.

Resposta: A

9. ESAF – AFRE/MG – 2005) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e

Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou

que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por

exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou

Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira

da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a:a) 420

b) 480

c) 360

d) 240

e) 60

RESOLUÇÃO:


21/70




Veja que temos 4 tipos de filas: aquelas com Ana no final, aquelas com

Beatriz no final, aquelas com Carla no final e aquelas com Denise no final.

Vamos calcular quantas filas podemos formar com Denise no final. Para isso,

considere o desenho abaixo:

Posição 1 Posição 2 Posição 3 Posição 4

6 possibilidades

(pois Denise já é a

última)

5 possibilidades 4 possibilidades1 possibilidade

(Denise)

Pelo princípio fundamental da contagem, temos 6 x 5 x 4 x 1 = 120

possibilidades de formar fila com Denise no final.

Vamos calcular a quantidade de filas com Ana no final. Para isso, é

importante lembrar que Denise não pode ser a primeira. Portanto, temos apenas 5

possibilidades para a posição 1 (pois Ana já está no final, e Denise não pode ser a

primeira). Para a posição 2, temos outras 5 possibilidades (pois agora podemos

incluir Denise). E para a posição 3, temos 4 possibilidades (pois já colocamos uma

pessoa nas posições 1, 2 e 4):

Posição 1 Posição 2 Posição 3 Posição 45 possibilidades

(pois Denise não pode

ser a primeira)

5 possibilidades 4 possibilidades1 possibilidade

(Ana)

Portanto, temos 5 x 5 x 4 x 1 = 100 possibilidades com Ana no final. O

raciocínio é análogo para as filas com Beatriz ou Carla no final, isto é, teremos mais

100 possibilidades em cada caso.

Assim, ao todo temos 120 + 100 + 100 + 100 = 420 possibilidades.

Resposta: A

10. CESPE – TRT/16ª – 2005) Julgue os itens que se seguem.

( ) O número de cadeias binárias (que só contêm 0 e 1) de 8 dígitos, e que

tenham exatamente 3 zeros, é superior a 50 .


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( ) Considere que o gerente de um laboratório de computação vai cadastrar

os usuários com senhas de 6 caracteres formadas pelas letras U, V e W e

os números 5, 6 e 7. É permitida uma única duplicidade de caractere, se o

usuário desejar, caso contrário, todos os caracteres têm de ser distintos. Nessa

situação, o número máximo de senhas que o gerente consegue cadastrar é 2.880.

RESOLUÇÃO:

( ) O número de cadeias binárias (que só contêm 0 e 1) de 8 dígitos, e que

tenham exatamente 3 zeros, é superior a 50 .

O objetivo aqui é formar conjuntos de 8 dígitos, usando apenas 0 e 1, de

forma que três dígitos sejam iguais a 0 e os demais cinco dígitos iguais a 1. Uma

possibilidade seria:

00011111

Veja que é preciso permutar esses 8 dígitos, e há a repetição de três (0) e de

cinco (1). Utilizando a fórmula da permutação com repetição, temos:

8! 8 7 6 5! 8 7 6(8;3,5) 56

3!5! 3!5! 3!P

× × × × ×= = = =

Veja que esse número é superior a 50. Item CORRETO.

( ) Considere que o gerente de um laboratório de computação vai cadastrar

os usuários com senhas de 6 caracteres formadas pelas letras U, V e W e

os números 5, 6 e 7. É permitida uma única duplicidade de caractere, se o

usuário desejar, caso contrário, todos os caracteres têm de ser distintos. Nessa

situação, o número máximo de senhas que o gerente consegue cadastrar é 2.880.

Vamos precisar calcular o número de senhas com 6 dígitos distintos e depois

o número de senhas com 1 dígito repetido. No primeiro caso temos a permutação

simples dos 6 dígitos disponíveis:

P(6) = 6! = 720

No segundo caso, cada senha de 6 caracteres será formada com o uso de

apenas 5 dígitos (pois um se repete 2 vezes). Assim, para cada conjunto de 5

dígitos que escolhermos (ex.: U, V, 5, 6, 7) o número de senhas possíveis será dado

pela permutação de 6 caracteres, com a repetição de 2:


23/70




6! 6 5 4 3 2!(6;2) 360

2! 2!P

× × × ×= = =

Quantos conjuntos de 5 dígitos podemos escolher, tendo um total de 6 dígitos

disponíveis? Ora, trata-se da combinação de 6 dígitos, 5 a 5:(6;5) (6;1) 6C C = =

Portanto, o número de senhas com 6 algarismo, com a repetição de 2, é dada

por 6 x 360 = 2160.

Ao todo, o número de senhas é: 720 + 2160 = 2880. Item CORRETO.

Resposta: C C

11. CESPE – TRT/16ª – 2005) Uma moeda é jogada para o alto 10 vezes. Em cada

jogada, pode ocorrer 1 (cara) ou 0 (coroa) e as ocorrências são registradas em uma

seqüência de dez dígitos, como, por exemplo, 0110011010. Considerando essas

informações, julgue os próximos itens.

( ) O número de seqüências nas quais é obtida pelo menos uma cara é inferior a

512.

RESOLUÇÃO:

O número de sequências nas quais temos pelo menos 1 cara é igual ao total

de sequências possíveis menos o número de sequências onde não temos nenhuma

cara. Vejamos:

total de sequências possíveis:

Pela regra do produto, como temos 2 possibilidades para cada lançamento, o

total é: 2x2x2x2x2x2x2x2x2x2 = 210 = 1024.

total de sequências sem nenhuma cara:

Ora, trata-se do caso onde obtemos coroa em todos os lançamentos. Trata-

se de uma única possibilidade.


24/70


25/70




No caso das consoantes, temos 4 letras, sem repetição. O número de

permutações de consoantes é:

P(4) = 4! = 24

Observe que, para cada uma das 60 permutações possíveis das vogais,

devemos contabilizar as 24 permutações possíveis das consoantes. Portanto, o total

de permutações das letras de EXECUTIVO (obedecendo a regra do enunciado) é

dado por:

60 x 24 = 1440

Esse valor é inferior a 1500, tornando o item CORRETO.

( ) Considere um evento em que será servido um jantar completo, no qual os

convidados podem escolher 1 entre 3 tipos diferentes de pratos, 1 entre 4 tipos

diferentes de bebidas e 1 entre 4 tipos diferentes de sobremesa. Desse modo, cada

convidado terá até 11 formas distintas para escolher seu jantar completo.

Pela regra do produto, cada convidado tem 3 x 4 x 4 = 48 formas diferentes

de escolher o seu jantar completo, dado que existem 3 possibilidades de pratos, 4

de bebidas e 4 de sobremesas. Item ERRADO.

Resposta: C E

13. CESPE – MDS – 2009) Considere que o governo de determinado estado da

Federação, que ainda não possua nenhum restaurante popular, tenha decidido

enviar um representante para conhecer as instalações de restaurantes populares,

restringindo que fossem visitados 1 dos 5 restaurantes da Bahia, 2 dos 12

restaurantes de Minas Gerais, 2 dos 12 restaurantes de São Paulo e 1 dos 6

restaurantes do Rio Grande do Sul. Nesse caso, esse representante terá mais de3.800 maneiras distintas para escolher os restaurantes para visitar.

RESOLUÇÃO:

Existem 5 possibilidades de se escolher 1 restaurante na Bahia (qualquer um

dos 5 existentes). Para escolher 2 dentre 12 restaurantes em Minas, é preciso

calcular o número de combinações de 12 restaurantes, 2 a 2:

12 11

(12,2) 662!C

×= =


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(usamos a combinação pois a ordem de escolha desses 2 restaurantes não importa.

Escolher o restaurante A e o restaurante B, formando o par {A,B} a ser visitado em

Minas, é igual a escolher o restaurante B e o restaurante A neste mesmo Estado)

Analogamente, para escolher 2 dentre 12 restaurantes em São Paulo, temosoutras 66 possibilidades. Por fim, existem 6 formas de escolher 1 dos 6

restaurantes do Rio Grande do Sul.

O número total de possibilidades é dado pela regra do produto:

5 x 66 x 66 x 6 = 130680

Este número é (bem) superior a 3800, portanto o item está CORRETO.

Resposta: C

Obs.: essa questão é uma exceção ao estilo CESPE. Quando temos

questões como essa, onde o enunciado diz “terá mais de 3.800 maneiras” , o normal

é você encontrar um resultado ligeiramente acima ou abaixo de 3.800 (tornando o

item C ou E, respectivamente). Quando você encontrar um resultado muito diferente

do valor “sugerido” no enunciado, muito cuidado: revise a sua resolução, verifique

se não errou algum cálculo.

14. CESPE – MDS – 2009) O projeto Fome Zero do governo federal compreende 4

eixos articuladores. Um deles, o Eixo 1, é composto de 15 programas e ações, entre

os quais o Bolsa Família. Suponha que fosse autorizado um aumento de recursos

financeiros para 5 dos programas e ações do Eixo 1, de modo que o Bolsa Família

fosse escolhido em primeiro lugar e os 4 outros pudessem ser escolhidos à vontade

por um comitê, colocando-os em uma ordem de prioridade. Nesse caso, esse

comitê teria mais de 30 mil maneiras diferentes de escolher esses programas e

ações.

RESOLUÇÃO:

Numa questão como essa, normalmente você poderia pensar em calcular a

combinação dos 14 programas restantes, 4 a 4. Entretanto, foi mencionada uma

ordem de prioridade, de modo que a ordem de escolha dos programas passa a ser

relevante. Assim, devemos calcular o arranjo de 14 programas, 4 a 4, ou seja,

14x13x12x11 = 24024 possibilidades.


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Trata-se de um número menor que 30mil, portanto o item está ERRADO.

Resposta: E

Obs.: se você resolvesse através da fórmula da combinação, encontraria

C(14,4) = 1001, que é um número MUITO menor que 30mil, valor “sugerido” pelo

CESPE. Com isso, você deveria, no mínimo, desconfiar que a sua resolução

pudesse estar incorreta (apesar de que, neste exercício, ainda assim você acertaria

o gabarito).

15. CESPE – PREVIC – 2011) Julgue os 2 itens, considerando que planos

previdenciários possam ser contratados de forma individual ou coletiva e possam

oferecer, juntos ou separadamente, os cinco seguintes tipos básicos de benefícios:

renda por aposentadoria, renda por invalidez, pensão por morte, pecúlio por morte e

pecúlio por invalidez.

( ) Para se contratar um plano previdenciário que contemple três dos cinco

benefícios básicos especificados acima, há menos de 12 escolhas possíveis.

( ) Suponha que os funcionários de uma empresa se organizem em 10 grupos para

contratar um plano previdenciário com apenas um benefício em cada contrato, demodo que a renda por invalidez seja contratada por 3 grupos, a pensão por morte, o

pecúlio por morte e o pecúlio por invalidez sejam contratados por 2 grupos cada, e a

renda por aposentadoria seja contratada por 1 grupo. Nessas condições, a

quantidade de maneiras em que esses 10 grupos poderão ser divididos para a

contratação dos 5 benefícios básicos será inferior a 7 × 104.

RESOLUÇÃO:

( ) Para se contratar um plano previdenciário que contemple três dos cinco

benefícios básicos especificados acima, há menos de 12 escolhas possíveis.

Trata-se da combinação de 5 benefícios, 3 a 3, que é:

5 4(5,3) (5,2) 10

2!C C

×= = =

De fato existem menos de 12 escolhas possíveis. Item CORRETO.


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( ) Suponha que os funcionários de uma empresa se organizem em 10 grupos para

contratar um plano previdenciário com apenas um benefício em cada contrato, de

modo que a renda por invalidez seja contratada por 3 grupos, a pensão por morte, o

pecúlio por morte e o pecúlio por invalidez sejam contratados por 2 grupos cada, e a

renda por aposentadoria seja contratada por 1 grupo. Nessas condições, a

quantidade de maneiras em que esses 10 grupos poderão ser divididos para a

contratação dos 5 benefícios básicos será inferior a 7 × 10 4 .

Chamando o benefício “renda por invalidez” de A, “pensão por morte” de B,

“pecúlio por morte” de C, “pecúlio por invalidez” de D e “aposentadoria” de E,

teremos 3 A, 2 B, 2 C, 2 D e 1 E. Devemos permutar entre os 10 grupos esses 10

benefícios, sabendo que temos repetição de 3 A, 2 B, 2 C e 2 D:10! 10 9 8 7 6 5 4 3!

(10;3,2,2,2)3!2!2!2! 3! (2 1) (2 1) (2 1)

10 9 8 7 6 5(10;3,2,2,2) 75600

2

P

P

× × × × × × ×= =

× × × × × ×

× × × × ×= =

Este número é superior a 70.000 (7 x 104), logo o item está ERRADO.

Resposta: C E

16. CESPE – Banco do Brasil – 2008) A Associação dos Correspondentes de

Imprensa Estrangeira no Brasil (ACIE) organiza, pelo quinto ano consecutivo, o

Prêmio e Mostra ACIE de Cinema. Os filmes indicados serão seguidos pela votação

de aproximadamente 250 correspondentes afiliados às associações de

correspondentes do Rio de Janeiro, de São Paulo e de Brasília. Os vencedores

serão escolhidos nas categorias Melhor Filme (ficção), Melhor Documentário,

Melhor Diretor, Melhor Roteiro, Melhor Ator, Melhor Atriz, Melhor Fotografia eMelhor Filme Júri Popular.

Internet: (com adaptações).

A partir da organização do texto acima e considerando os princípios de contagem,

julgue os itens subseqüentes.

( ) Caso se deseje escolher, entre os 50 correspondentes mais antigos, 3 para

constituírem uma comissão consultiva especial, haverá menos de 20 mil maneiraspossíveis para se formar essa comissão.


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( ) Se, em determinada edição do Prêmio e Mostra ACIE de Cinema, forem inscritos

13 filmes em uma mesma categoria, nesse caso, a quantidade de maneiras de se

fazer a indicação de 3 desses filmes, sendo um deles em 1.º lugar, outro em 2.º

lugar e outro em 3.º lugar, será inferior a 2 × 103.

( ) Suponha que determinado correspondente esteja designado para votar apenas

nas categorias Melhor Filme (ficção) e Melhor Documentário e que as quantidades

de filmes concorrentes em cada uma dessas categorias sejam 8 e 3,

respectivamente. Nessa situação, votando em apenas um filme de cada categoria,

esse correspondente poderá votar de mais 20 maneiras distintas.

RESOLUÇÃO:

( ) Caso se deseje escolher, entre os 50 correspondentes mais antigos, 3 para

constituírem uma comissão consultiva especial, haverá menos de 20 mil maneiras

possíveis para se formar essa comissão.

O número de comissões de 3 integrantes retirados de um total de 50 é dado

pela combinação:

50 49 48(50,3) 196003!C

× ×

= =

Esse número é inferior a 20mil, portanto o item está CORRETO.

( ) Se, em determinada edição do Prêmio e Mostra ACIE de Cinema, forem inscritos

13 filmes em uma mesma categoria, nesse caso, a quantidade de maneiras de se

fazer a indicação de 3 desses filmes, sendo um deles em 1.º lugar, outro em 2.º

lugar e outro em 3.º lugar, será inferior a 2 × 10 3 .

Temos 13 possibilidades para o primeiro lugar, 12 para o segundo e 11 para

o terceiro, totalizando:

13 x 12 x 11 = 1716

Esse número é inferior a 2000 (2x103), portanto o item está CORRETO.

( ) Suponha que determinado correspondente esteja designado para votar apenas

nas categorias Melhor Filme (ficção) e Melhor Documentário e que as quantidades

de filmes concorrentes em cada uma dessas categorias sejam 8 e 3,


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( ) Caso as senhas de acesso dos clientes aos caixas eletrônicos de certa

instituição bancária contenham 3 letras das 26 do alfabeto, admitindo-se repetição,

nesse caso, a quantidade dessas senhas que têm letras repetidas é superior a 2 ×

10 3 .

A quantidade de senhas com 2 ou 3 letras repetidas é igual ao total de

senhas possível menos a quantidade de senhas que não possuem letras repetidas.

Assim, temos:

total de senhas: 26 x 26 x 26 = 17576

quantidade de senhas que não possuem letras repetidas: 26x25x24 = 15600

Portanto, o número de senhas que possuam letras repetidas (2 ou 3 letras

repetidas) é simplesmente 17576 – 15600 = 1976.

Este valor é inferior a 2x103, portanto o item está ERRADO.

( ) Ao se listar todas as possíveis permutações das 13 letras da palavra

PROVAVELMENTE, incluindo-se as repetições, a quantidade de vezes que esta

palavra aparece é igual a 6.

A palavra PROVAVELMENTE possui 2 repetições da letra V e 3 repetições

da letra E. Normalmente consideraríamos que, ao trocar uma letra V pela outra, ou

uma letra E pela outra, temos em realidade um único anagrama. Entretanto, o

enunciado mandou incluir as repetições, ou seja, considerar que ao trocar uma letra

V pela outra e/ou trocar uma letra E pela outra, cada alteração dessas deve ser

considerada uma permutação distinta.

Para a palavra PROVAVELMENTE continuar aparecendo, devemosconsiderar apenas os casos onde trocamos um V pelo outro e/ou trocamos um E

por outro.

O número de permutações das duas letras V entre si é igual a P(2) = 2! = 2. E

o número de permutações das 3 letras E entre si é igual a P(3) = 6. Para cada

permutação das letras V, devemos contabilizar as 6 permutações da letra E. Ao

todo, temos 2 x 6 = 12 permutações onde são trocadas apenas as posições das

letras V entre si mesmas e/ou as posições das letras E entre si mesmas.


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C(30,3) = 30 x 29 x 28 / 3! = 30 x 29 x 28 / 6

C(30,3) = 5 x 29 x 28 = 4060

Este número é superior a 4000, portanto o item está CERTO.

Resposta: C

19. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) Julgue os itens seguintes, que dizem respeito

à determinação do número de possibilidades lógicas ou probabilidade de algum

evento.

( ) Suponha uma distribuição de prêmios em que são sorteados três números de

dois algarismos. Para formar cada número, primeiro sorteia-se o algarismo das

dezenas, que varia de 0 a 5. O algarismo das unidades é sorteado em seguida e

varia de 0 a 9. Se, para formar cada número, o algarismo das dezenas e o

algarismo das unidades já sorteadas não puderem ser repetidos, então a

quantidade de números que podem ocorrer é inferior a 104

RESOLUÇÃO:

Veja que temos 6 possibilidades (de 0 a 5) para o algarismo das dezenas e

10 possibilidades (de 0 a 9) para o algarismo das unidades, totalizando 6 x 10 = 60

possíveis números de dois algarismos para o primeiro sorteio.

Após sortear o primeiro número, sobram apenas 5 possibilidades para o

algarismo das dezenas e 9 possibilidades para o algarismo das unidades,

totalizando 5 x 9 = 45 possibilidades para o segundo número a ser sorteado.

A seguir, sobram 4 possibilidades para o algarismo das dezenas e 8

possibilidades para o algarismo das unidades, totalizando 4 x 8 = 32 possibilidades

para o terceiro número a ser sorteado.

Portanto, a regra do produto nos diz que temos ao todo 60 x 45 x 32 = 86400possibilidades de sortear 3 números de dois algarismos. Muito cuidado, pois a

resolução não termina aqui (embora quem parasse aqui acertasse o gabarito, por

mera coincidência).

A regra do produto, que utilizamos acima, é válida quando a ordem dos

números sorteados torna um conjunto de 3 números diferente de outro. Entretanto,

sabemos que o conjunto {21, 15, 07} é igual ao conjunto {07, 21, 15}, que é igual ao

{15, 07, 21} e às demais permutações destes 3 números. Isto porque em qualquer


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( ) Considerando-se que os bairros sob a responsabilidade de determinado

funcionário sejam agrupados, por proximidade geográfica, em duas regiões, A e B,

com dois bairros em A e três bairros em B, então esse funcionário poderá visitar

esses bairros de 24 maneiras distintas se ele visitar todos os bairros de uma mesma

região antes dos demais bairros.

RESOLUÇÃO:

PRIMEIRO ITEM:

Para o primeiro item, precisamos saber de quantas formas podemos distribuir

15 bairros entre 3 funcionários, deixando cada um deles com 5 bairros.

A combinação de 15 em grupos de 5 (isto é, 15, 5 a 5) nos diz de quantasmaneiras podemos distribuir os bairros do primeiro funcionário:

15 15 14 13 12 113003

5 5 4 3 2 1

× × × ×= =

× × × ×

Após separarmos os 5 bairros do primeiro funcionário, sobram 10 bairros, dos

quais 5 deverão ser distribuídos para o próximo funcionário. A combinação de 10

bairros, 5 a 5, nos dá o número de formas de efetuar essa distribuição:

10 10 9 8 7 6252

5 5 4 3 2 1

× × × ×= =

× × × ×

Por fim, sobram 5 bairros, que serão distribuídos para o último funcionário.

Só há uma forma de fazer isso, como vemos abaixo:

51

5

=

Multiplicando o número de formas de distribuir os bairros do primeiro

funcionário pelo número de formas para distribuir os bairros do segundo funcionário

e pelo número de formas de distribuir os bairros do último funcionário, temos:

3003 252 1 756756× × =

Portanto, esse item está ERRADO. No gabarito preliminar, este item foi

considerado correto, mas foi corrigido no gabarito definitivo.


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PRIMEIRO ITEM: quando o exercício diz que o código tem 2 dígitos, o

primeiro dígito não pode ser o zero, pois nesse caso teríamos, na verdade,

um número de apenas 1 dígito. Portanto, os códigos possíveis são aquelesque tem, no algarismo das dezenas, de 1 a 9 (9 possibilidades), e no

algarismo das unidades, de 0 a 9 (10 possibilidades). Assim, ao todo temos

90 possibilidades de código. Como eram apenas 79 caixas de

correspondência, 11 códigos não precisaram ser utilizados. CORRETO.

SEGUNDO ITEM: Se fossemos simplesmente montar um código com 4 letras

retiradas do conjunto de 10 letras do enunciado, seria possível formar

10x10x10x10 =104 códigos. Além disso, podemos escolher 2 algarismos de 0

a 9 (10 possibilidades), ou seja, podemos escolher 10 x 10 = 102 pares de 2

algarismos. Multiplicando apenas a quantidade de grupos de 4 letras (104)

pela quantidade de grupos de algarismos (102) já temos 106 possibilidades,

que é um resultado maior que aquele dado pelo enunciado, portanto o item

está ERRADO. Por fins didáticos, vamos prosseguir com a resolução.

Teremos um código da seguinte forma:

L L L L / / N N

Neste código acima, os L representam as 4 letras, as / representam as barras

e os N representam os 2 algarismos. Veja que não basta apenas multiplicar

as quantidades de grupos de letras (104) pela de números (102). Precisamos

ainda considerar que as letras, barras e números podem estar em qualquer

posição. Veja os 3 exemplos abaixo. Cada um representa um código distinto,

apesar de usar as mesmas letras e números:

Q R S T / / 1 2

Q R S T 1 2 / /

Q / R S / T 1 2

Assim, para cada grupo de 4 letras e 2 números que escolhermos,

precisamos calcular o número de permutações possíveis. Para piorar, trata-

se de uma permutação com repetição, pois a barra se repete. Temos, assim,


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8!(8, 2) 20160

2!PR = =

Portanto, ao todo teríamos 20160 x 104 x 102 códigos.

Resposta: C E

23. CESPE – TSE – 2007) Para aumentar a segurança no interior do prédio do TSE,

foram distribuídas senhas secretas para todos os funcionários, que deverão ser

digitadas na portaria para se obter acesso ao prédio. As senhas são compostas por

uma sequência de três letras (retiradas do alfabeto com 26 letras), seguida de uma

sequência de três algarismos (escolhidos entre 0 e 9). O número de senhas distintas

que podem ser formadas sem que seja admitida a repetição de letras, mas

admitindo-se a repetição de algarismos, é igual a:

a) 263 x 10 x 9 x 8

b) 263 x 103

c) 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8

d) 26 x 25 x 24 x 103

RESOLUÇÃO:

Veja que teremos senhas do tipo __ __ __ - __ __ __, onde as três primeiras

lacunas devem ser preenchidas por letras, e as três seguintes por números.

Veja que não há repetição de letras. Pelo princípio fundamental da contagem,

temos 26 possibilidades para a primeira letra, 25 para a segunda e 24 para a

terceira, isto é: 26 x 25 x 24 possibilidades.

Por outro lado, é permitido repetir algarismos. Temos 10 possibilidades para

o primeiro, outras 10 para o segundo e outras 10 para o terceiro, perfazendo 10 x 10

x 10 = 103 possibilidades.

Ao todo, teremos 26 x 25 x 24 x 103 possibilidades de senhas.

Resposta: D

Obs.: a título de exercício, repare que a letra A representa o caso onde

podemos repetir letras, mas não algarismos. A letra B representa o caso onde


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podemos repetir tanto as letras quanto os algarismos. A letra C representa o caso

onde não podemos repetir nem letras e nem algarismos.

24. CESPE – Polícia Federal – 2009) Considerando que, em um torneio de

basquete, as 11 equipes inscritas serão divididas nos grupos A e B, e que, para

formar o grupo A, serão sorteadas 5 equipes, julgue o item que se segue.

( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formarão o

grupo A será inferior a 400.

RESOLUÇÃO:

Observe que colocar as equipes 1, 2, 3, 4 e 5 no grupo A é equivalente acolocar as equipes 3, 2, 1, 5 e 4 neste grupo. Isto é, a ordem das equipes não

importa. Estamos diante de um problema de combinação. O número de maneiras de

se combinar 11 equipes em grupos de 5 é dado por:

11 11 10 9 8 7(11,5) 462

5 5 4 3 2 1C

× × × ×= = =

× × × ×

Portanto, a quantidade de maneiras distintas de se escolher 5 equipes que

formarão o grupo A será SUPERIOR a 400.

Resposta: E

25. CESPE – Polícia Federal – 2009) A Polícia Federal brasileira identificou pelo

menos 17 cidades de fronteira como locais de entrada ilegal de armas; 6 dessas

cidades estão na fronteira do Mato Grosso do Sul (MS) com o Paraguai.

Internet: (com adaptações).

Considerando as informações do texto acima, julgue o próximo item.

( ) Se uma organização criminosa escolher 6 das 17 cidades citadas no texto, com

exceção daquelas da fronteira do MS com o Paraguai, para a entrada ilegal de

armas no Brasil, então essa organização terá mais de 500 maneiras diferentes de

fazer essa escolha.

RESOLUÇÃO:


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Veja que, das 17 cidades de fronteira, apenas 11 (17 – 6) não estão na

fronteira do MS com o Paraguai, portanto apenas estas serão escolhidas pela

organização criminosa.

O número de maneiras de se combinar 11 em grupos de 6 é dado por:

11 10 9 8 7(11,6) (11,5) 462

5 4 3 2 1C C

× × × ×= = =

× × × ×

Este número é MENOR do que 500, portanto o item está ERRADO.

Resposta: E

26. CESPE – ABIN – 2010) Com relação aos princípios e técnicas de contagem, julgue os itens subsequentes.

( ) Caso o servidor responsável pela guarda de processos de determinado órgão

tenha de organizar, em uma estante com 5 prateleiras, 3 processos referentes a

cidades da região Nordeste, 3 da região Norte, 2 da região Sul, 2 da região Centro-

Oeste e 1 da região Sudeste, de modo que processos de regiões distintas fiquem

em prateleiras distintas, então esse servidor terá 17.280 maneiras distintas paraorganizar esses processos.

( ) Considere que seja possível chegar a uma pequena cidade por meio de carro,

por um dos 5 ônibus ou por um dos 2 barcos disponíveis e que, dado o caráter

sigiloso de uma operação a ser realizada nessa cidade, os agentes que participarão

dessa operação devam chegar à referida cidade de maneira independente, em

veículos distintos. Em face dessa situação, sabendo-se que o órgão de inteligênciadispõe de apenas um carro e que os deslocamentos devem ocorrer no mesmo dia,

é correto afirmar que o número de maneiras de o servidor responsável pela

organização das viagens escolher os veículos para transporte de 3 agentes para

essa missão é inferior a 50.

( ) Caso o chefe de um órgão de inteligência tenha de escolher 3 agentes entre os 7

disponíveis para viagens — um deles para coordenar a equipe, um para redigir o


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relatório de missão e um para fazer os levantamentos de informações —, o número

de maneiras de que esse chefe dispõe para fazer suas escolhas é inferior a 200.

RESOLUÇÃO:

PRIMEIRO ITEM: temos 5 prateleiras, e processos de 5 regiões para colocar

em cada uma. Todos os processos de uma mesma região devem ficar na

mesma prateleira. Isto pode ser representado pelo esquema abaixo:

Prateleira 1 Prateleira 2 Prateleira 3 Prateleira 4 Prateleira 5

5 possibilidades 4 possibilidades 3 possibilidades 2 possibilidades 1 possibilidade

Pelo princípio fundamental da contagem, temos 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 formas

distintas de dispor os processos de cada região numa mesma prateleira.

Imagine a seguinte distribuição:

Prateleira 1 Prateleira 2 Prateleira 3 Prateleira 4 Prateleira 5Região Norte

(3 processos)

Região Nordeste

(3 processos)

Região Sul

(2 processos)

Região Sudeste

(1 processo)

Região Centro-Oeste

(2 processos)

Note que é possível permutar os 3 processos da região Norte, dispondo-os

de 3! = 6 maneiras diferentes. Da mesma forma, podemos permutar os da região

Nordeste, dispondo-os de 3! = 6 maneiras diferentes. Para a região Sul temos 2! = 2maneiras distintas, o mesmo se aplicando à região Centro-Oeste, e apenas 1

maneira para a região Sudeste.

Assim, considerando as regiões distribuídas conforme esta última tabela,

teríamos 6 x 6 x 2 x 1 x 2 = 144 formas distintas de distribuir os processos, devido

às permutações dos mesmos dentro de cada prateleira.

Isto é, para cada uma das 120 formas de dispor os processos de cada região

nas prateleiras, existem 144 formas de organizar os processos de cada prateleira.

Ao todo, temos 120 x 144 = 17280 formas de distribuir os processos. Item CERTO.

SEGUNDO ITEM: Será preciso escolher 3 veículos, um para transportar cada

um dos agentes. A ordem não importa, o que interessa é escolher 3 dos 8

veículos disponíveis para transportar os agentes. Isto é, precisamos calcular

a combinação de 8 veículos em grupos de 3:

8 7 6

(8,3) 563 2 1C

× ×= =

× ×


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( ) Considere a seguinte situação hipotética. Há 6 estradas distintas ligando as

cidades A e B, 3 ligando B e C; e 2 ligando A e C diretamente. Cada estrada pode

ser utilizada nos dois sentidos.

Nessa situação, o número de rotas possíveis com origem e destino em A e escala

em C é igual a 400.

( ) O número de comissões constituídas por 4 pessoas que é possível obter de um

grupo de 5 pilotos e 6 co-pilotos, incluindo, pelo menos, 2 pilotos, é superior a 210.

RESOLUÇÃO:

PRIMEIRO ITEM: temos 3 cidades de partida, 4 para fazer escala e 7 de

destino. Saíndo de uma das 3 cidades de partida, temos 4 vôos possíveis

para a cidade de escala. Após esse primeiro vôo, temos outros 7 vôos

possíveis para a cidade de destino. Portanto, ao todo temos 3 x 4 x 7 = 84

vôos (que é múltiplo de 12). Item CERTO.

SEGUNDO ITEM: Veja que AEROPORTO possui a repetição de 2 R e 3 O.

Portanto, o número de anagramas é dado pela permutação de 9 letras, com a

repetição de 2 e de 3:

9! 362880(9;3,2) 30240

3!2! 12P = = =

Já TURBINA não possui letras repetidas. Entretanto, o exercício só quer os

anagramas que comecem com uma das 4 consoantes e termine com uma

das 3 vogais. Portanto, temos o seguinte esquema:

1ª letra 2ª letra 3ª letra 4ª letra 5ª letra 6ª letra 7ª letra 4 opções

(consoantes)

3 opções

(vogais)

Da 2ª à 6ª letra, podemos utilizar qualquer uma das 5 letras restantes.

Portanto, temos:

1ª letra 2ª letra 3ª letra 4ª letra 5ª letra 6ª letra 7ª letra

4 opções

(consoantes)

5 opções 4 opções 3 opções 2 opções 1 opção 3 opções

(vogais)


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Assim, existem 4 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 3 = 1440 anagramas de TURBINA que

atendem as condições do enunciado.

Portanto, A = 30240 e B = 1440. Veja que 21 x 1440 = 30240. Isto é, A = 21B.

Item CERTO.

TERCEIRO ITEM: Temos o esquema abaixo:

Para sair de A e voltar a A, passando por C, existem as seguintes formas:

1) A B C A

2) ACA

3) ACBA

4) A BCBA

Calculando as probabilidades de cada caso, temos:

1) 6 x 3 x 2 = 36

2) 2 x 2 = 4

3) 2 x 3 x 6 = 36

4) 6 x 3 x 3 x 6 = 324

Ao todo, temos 36 + 4 + 36 + 324 = 400 possibilidades. Item CERTO.

QUARTO ITEM: Neste caso, podemos somar o total de comissões contendo

2, 3 e 4 pilotos. Podemos também calcular o total de comissões possíveis


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com os 11 funcionários e subtrair deste total aquelas que não possuem piloto

ou possuem apenas 1 piloto. Para exercitar, vamos utilizar o segundo

método.

O total de combinações de 11 pessoas, 4 a 4, é dado por:

(11,4) 330C =

Já o total de grupos formados apenas por co-pilotos, isto é, sem nenhum

piloto, é dado pela combinação dos 6 co-pilotos, 4 a 4:

(6,4) 15C =

Por fim, o total de grupos formados por apenas 1 piloto e 3 co-pilotos é dado

pela multiplicação entre a combinação de 5 pilotos, 1 a 1, pela combinação

de 6 co-pilotos, 3 a 3:

(5,1) (6,3) 100C C × =

Portanto, o total de combinações que possuem 2 ou mais pilotos é:

330 – 15 – 100 = 215

Como este valor é superior a 210, o item está CERTO.

Resposta: C C C C

28. CESPE – BANCO DO BRASIL – 2007) Julgue os itens que se seguem quanto a

diferentes formas de contagem.

( ) Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem

usados em uma propaganda na televisão, em expressões do tipo Banco do Bruno,

Banco da Rosa etc. Suponha, também, que a quantidade total de nomes escolhidos

para aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada inserção da propaganda na

TV, sempre apareçam somente dois nomes distintos. Nesse caso, a quantidade de

inserções com pares diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70.


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( ) Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12 funcionários de

um banco em 3 agências, de modo que cada agência receba 4 funcionários.

( ) Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais,

pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas.

Nessa situação, se 3 faixas são verdes e indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e

indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá produzir, no máximo,

140 formas diferentes com essas faixas.

RESOLUÇÃO:

PRIMEIRO ITEM: Aqui temos a combinação de 12 nomes em pares de 2:

Item CERTO.

SEGUNDO ITEM: para a primeira agência, podemos combinar os 12

funcionários, 4 a 4. Já para a segunda agência, sobram 8 funcionários para

serem combinados 4 a 4. Por fim, para a terceira agência sobram 4

funcionários. Até aqui, temos:

(12,4) 495

(8,4) 70

(4,4) 1

C

C

C

=

=

=

Portanto, até aqui temos 495 x 70 x 1 possibilidades. Só isso já é superior a

495, portanto o item está ERRADO.

TERCEIRO ITEM: Veja que temos a permutação de 7 faixas, com a repetiçãode 3 (verdes) e 3 (amarelas). Utilizando a fórmula da permutação com

repetição, temos:

7!(7;3,3) 140

3!3!P = =

Isto é, existem 140 formas diferentes de dispor as 7 faixas. Item CERTO.

Resposta: C E C

(12,2) 66C =


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29. CESPE – MPE/RR – 2008) Em cada um dos próximos itens, é apresentada uma

situação hipotética a respeito de probabilidade e contagem, seguida de uma

assertiva a ser julgada.

( ) O arquivo de um tribunal contém 100 processos, distribuídos entre as seguintes

áreas: direito penal, 30; direito civil, 30; direito trabalhista, 30; direito tributário e

direito agrário, 10. Nessa situação, ao se retirar, um a um, os processos desse

arquivo, sem se verificar a que área se referem, para se ter a certeza de que, entre

os processos retirados do arquivo, 10 se refiram a uma mesma área, será

necessário que se retirem pelo menos 45 processos.

RESOLUÇÃO:

Vamos imaginar o pior caso possível. Imagine que, ao retirar 4 processos,

foram retirados exatamente 1 processo de cada tipo. Prosseguindo, após retirar

mais 4 processos, demos o “azar” de tirar mais 1 processo de cada tipo, totalizando

2 processos de cada tipo. Prosseguindo neste raciocínio, pode ser que, após retirar

36 processos, tenhamos 9 de cada tipo. Isto significa que, ao retirar o próximo

processo (o 37º), completaremos 10 processos de algum dos tipos. Isto é, é preciso

tirar 37 processos do arquivo para ter certeza de que pelo menos 10 são do mesmo

tipo. Item ERRADO.

Resposta: E

30. CESPE – Polícia Militar/CE – 2008) Cada um dos itens a seguir apresenta uma

informação seguida de uma assertiva a ser julgada a respeito de contagem.

( ) No Brasil, as placas dos automóveis possuem três letras do alfabeto, seguidas

de quatro algarismos. Então, com as letras A, B e C e com os algarismos 1, 2, 3 e 4

é possível formar mais de 140 placas distintas de automóveis.

( ) Determinada cidade possui quatro praças, cinco escolas e seis centros de saúde

que deverão ser vigiados pela polícia militar. Diariamente, um soldado deverá

escolher uma praça, uma escola e um centro de saúde para fazer a sua ronda.


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Nesse caso, o soldado disporá de mais de 150 formas diferentes de escolha dos

locais para sua ronda.

( ) Em determinada delegacia, há 10 celas iguais e 8 presidiários. Nesse caso, há

mais de 1.800.000 maneiras diferentes de se colocar um presidiário em cada cela.

( ) Um anagrama da palavra FORTALEZA é uma permutação das letras dessa

palavra, tendo ou não significado na linguagem comum. A quantidade de

anagramas que é possível formar com essa palavra é inferior a 180.000.

RESOLUÇÃO:

PRIMEIRO ITEM: Temos que formar placas com 3 letras e 4 algarismos com

as 3 letras disponíveis e os 4 algarismos disponíveis. Veja que o exercício

não disse que as letras ou os algarismos deviam ser distintos, isto é, pode

haver repetição. Pensando numa senha do tipo L L L – N N N N, onde a letra

“L” simboliza uma letra e a letra “N” simboliza um algarismo, sabemos que

temos 3 possibilidades para preencher cada “L”, e 4 possibilidades para

preencher cada “N”. Ao todo, temos: 3 x 3 x 3 x 4 x 4 x 4 x 4 = 6912

possibilidades. Isto é, BEM MAIS que 140 placas distintas. Item CERTO.

SEGUNDO ITEM: o policial tem 4 formas de escolher uma praça para fazer a

sua ronda. E 5 formas de escolher uma escola. E 6 formas de escolher um

centro de saúde. Portanto, ao todo o policial pode escolher um conjunto

praça-escola-centro de 4 x 5 x 6 = 120 formas distintas. Item ERRADO.

TERCEIRO ITEM: Veja que sempre sobrarão exatamente 2 celas vazias,

afinal devemos colocar um presidiário apenas por cela. Portanto, precisamos

resolver este item em 2 etapas:

- escolher 8 das 10 celas para preencher com presidiários. Para isso,

devemos combinar 10 celas, 8 a 8:

(10,8) (10,2) 45C C = =


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- escolhidas as 8 celas, devemos permutar os 8 presidiários entre as celas,

calculando a quantidade de forma de dispô-los:

(8) 8! 40320P = =

Portanto, temos 45 formas de escolher 8 celas, e, para cada uma dessasformas, temos 40320 formas de dispor os presidiários. Assim, ao todo temos:

45 x 40320 = 1.814.400

Item CERTO.

QUARTO ITEM: observe que FORTALEZA possui 9 letras, com a repetição

de 2 letras A. Portanto, a quantidade de anagramas é dada pela permutação

de 9, com repetição de 2:

9!(9;2) 181440

2!P = =

Isto é, temos mais de 180.000 anagramas. Item ERRADO.

Resposta: C E C E

31. CESPE – SECONT/ES – 2009) Com respeito à quantidade de possibilidades de

ocorrência de um evento, julgue os itens que se seguem.

( ) Considere que o acesso à ala de segurança de uma empresa seja permitido

para 152 empregados, desde que utilizem uma senha individual formada por 3

algarismos distintos escolhidos entre os algarismos de 1 a 7. Nesse caso, sobrarão

mais de 50 senhas.

( ) Considere que um jogo eletrônico consista em executar uma música utilizando

um conjunto de instrumentos musicais, seguindo determinado ritmo caracterizado

por um nível de dificuldade. O jogador tem 3 opções para a escolha dos

instrumentos musicais, 5 opções para o nível de dificuldade e 5 opções de música.

Nessa situação, o número máximo de configurações a escolher para participar do

jogo é igual a 13.

RESOLUÇÃO:


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( ) Considere que o acesso à ala de segurança de uma empresa seja permitido

para 152 empregados, desde que utilizem uma senha individual formada por 3

algarismos distintos escolhidos entre os algarismos de 1 a 7. Nesse caso, sobrarão

mais de 50 senhas.

Para formar senhas de 3 algarismos distintos com os 7 algarismos

disponíveis (de 1 a 7), temos 7 x 6 x 5 = 210 possibilidades. Distribuindo uma senha

para cada um dos 152 empregados, sobram 210 – 152 = 98 senhas. Item CERTO.

( ) Considere que um jogo eletrônico consista em executar uma música utilizando

um conjunto de instrumentos musicais, seguindo determinado ritmo caracterizado

por um nível de dificuldade. O jogador tem 3 opções para a escolha dos

instrumentos musicais, 5 opções para o nível de dificuldade e 5 opções de música.

Nessa situação, o número máximo de configurações a escolher para participar do

jogo é igual a 13.

Se temos 3 opções de instrumentos, 5 de dificuldades e 5 de músicas, ao

todo temos 3 x 5 x 5 = 75 possibilidades de configuração. Item ERRADO.

Resposta: C E

32. CESPE – SECONT/ES – 2009) Em uma solenidade, 9 pessoas ficarão

sentadas, lado a lado, no palco para serem homenageadas. Joaquim e Daniela,

duas dessas 9 pessoas, desejam ficar um ao lado do outro, com Daniela sempre à

direita de Joaquim. De acordo com essa configuração, julgue os próximos itens.

( ) Para respeitar a vontade de Joaquim e Daniela, a comissão organizadora do

evento poderá acomodá-los de, no máximo, 7 maneiras diferentes.

( ) Se, além das vontades de Joaquim e Daniela, a única pessoa homenageada que

tem mais de 65 anos de idade tiver de ser acomodada exatamente na posição

central entre os 9, então, nesse caso, haverá menos de 4.400 maneiras distintas de

a comissão acomodar os homenageados no palco.

RESOLUÇÃO:

( ) Para respeitar a vontade de Joaquim e Daniela, a comissão organizadora doevento poderá acomodá-los de, no máximo, 7 maneiras diferentes.


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Sejam as cadeiras 1 a 9, numeradas da esquerda para a direita. Se Daniela

sempre estará logo à direita de Joaquim, uma forma de acomodá-los seria Joaquim

se sentar na cadeira 1 e Daniela na 2, ou Joaquim na 2 e Daniela na 3, e assim por

diante. Note que Joaquim não pode se sentar na cadeira número 9 (pois não

haveria lugar para Daniela à sua direita). Ou seja, Joaquim pode se sentar em

qualquer das cadeiras 1 a 8, deixando a cadeira da direita para Daniela. Assim,

existem 8 formas de acomodá-los. Item ERRADO.

( ) Se, além das vontades de Joaquim e Daniela, a única pessoa homenageada que

tem mais de 65 anos de idade tiver de ser acomodada exatamente na posição

central entre os 9, então, nesse caso, haverá menos de 4.400 maneiras distintas de

a comissão acomodar os homenageados no palco.

A pessoa mais velha deve se sentar na cadeira do meio (cadeira 5, ou C5 no

desenho), ficando 4 cadeiras de cada lado:

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9

Veja que Joaquim e Daniela não podem ser separados. Portanto, ou os dois

ficam do lado direito (3 possibilidades, pois Joaquim só poderia se sentar em C1,

C2 ou C3 para Daniela ficar à sua direita), ou os dois ficam do lado esquerdo (outras

3 possibilidades, pois Joaquim não pode se sentar na cadeira C9).

Para cada uma dessas 6 possibilidades para Joaquim e Daniela, sobram

outras 6 cadeiras para os demais. Permutando-os, temos P(6) = 6! = 720

possibilidades.

Assim, para cada uma das 6 possibilidades para Joaquim e Daniela, temos

720 permutações possíveis para os demais. Ao todo, temos 6 x 720 = 4320

possibilidades, ou seja, menos de 4400. Item CERTO.

Resposta: E C

33. CESPE – TRE/BA – 2010) O jogo de dominó tradicional é jogado com 28 peças,

igualmente divididas entre 4 jogadores sentados face a face em torno de uma mesa

retangular. As peças são retangulares e possuem uma marcação que as divide em

duas metades iguais; em cada metade: ou não há nada gravado, ou está gravado

um determinado número de buracos que representam números. As metades

representam 7 números: 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 0, sendo este último representado por umametade sem marcação. Cada número ocorre em 7 peças distintas. Em 7 peças,


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Prof.

raciocínio lógico - estratégia aula 01

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